平面向量方法总结(带例题)【大全】
(完整版)平面向量知识点及方法总结总结
平面向量知识点小结及常用解题方法一、平面向量两个定理1。
平面向量的基本定理 2.共线向量定理.二、平面向量的数量积1.向量b 在向量a 上的投影：||cos b θ,它是一个实数，但不一定大于0.2。
a b ⋅的几何意义：数量积a b ⋅等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积。
三坐标运算：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，则（1）向量的加减法运算:1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--。
（2)实数与向量的积:1111(,)(,)a x y x y λλλλ==。
（3）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
（4）平面向量数量积:1212a b x x y y ⋅=+.（5）向量的模：222222||||a a x y a x y ==+⇔=+。
四、向量平行(共线）的充要条件221212//(0)()(||||)0a b a b b a b a b x y y x λ⇔=≠⇔⋅=⇔-=.五、向量垂直的充要条件12120||||0a b a b a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=-⇔+=。
六．121211222221(,),(,)cos ,.x x y y a x y b x y a b x y x +===+七、向量中一些常用的结论1.三角形重心公式在ABC △中，若11(,)A x y ，22(,)B x y ,33(,)C x y ，则重心坐标为123123(,)33x x x y y y G ++++。
2.三角形“三心"的向量表示(1)0GA GB GC G ++=⇔为△ABC 的重心。
(2)PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为△ABC 的垂心.（3）||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔为△ABC 的内心；3. 向量,,PA PB PC 中三终点,,A B C 共线⇔存在实数,αβ，使得PA PB PC αβ=+且1αβ+=．4. 在ABC △中若D 为BC 边中点则1()2AD AB AC =+5.与AB 共线的单位向量是||AB AB ±七．向量问题中常用的方法(一）基本结论的应用1。
高中数学第六章平面向量及其应用考点题型与解题方法(带答案)
高中数学第六章平面向量及其应用考点题型与解题方法单选题1、在△ABC 中，若AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ <0，则△ABC －定是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形 答案：C分析：根据向量的数量积的运算公式，求得cosA <0，得到A 为钝角，即可求解. 由向量的数量积的运算公式，可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA <0，即cosA <0， 因为A ∈(0,π)，所以A 为钝角，所以△ABC －定是钝角三角形. 故选：C.2、已知a ，b ⃗ 是不共线的向量，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λa +μb ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a −2b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a −3b ⃗ ，若A,B,C 三点共线，则实数λ，µ满足（ ）A ．λ=μ−5B ．λ=μ+5C ．λ=μ−1D ．λ=μ+1 答案：B解析：根据向量的线性运算方法，分别求得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−λ)a −(2+μ)b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a −b ⃗ ； 再由AB⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得到3−λ=−(2+μ)，即可求解. 由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λa +μb ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a −2b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a −3b⃗ ， 可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−λ)a −(2+μ)b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a −b ⃗ ； 若A,B,C 三点共线，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得3−λ=−(2+μ)，化简得λ=μ+5. 故选：B.3、在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且B =π3，b =3，a =√3，则c =（ ）． A ．√3B ．2√3C ．3−√3D ．3 答案：B分析：利用余弦定理可构造方程直接求得结果.在△ABC 中，由余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2accosB =3+c 2−√3c =9，即c 2−√3c −6=0，解得：c =−√3（舍），∴c =2√3.c故选：B.4、已知非零向量a →与b →共线，下列说法不正确的是（ ） A ．a →=b →或a →=−b →B ．a →与b →平行C ．a →与b →方向相同或相反D ．存在实数λ，使得a →=λb →答案：A分析：根据向量共线的概念，以及向量共线定理，逐项判断，即可得出结果． 非零向量a →与b →共线，对于A ，a →=λb →，λ≠0，故A 错误；对于B ，∵向量a →与b →共线，∴向量a →与b →平行，故B 正确； 对于C ，∵向量a →与b →共线，∴a →与b →方向相同或相反，故C 正确； 对于D ，∵a →与b →共线，∴存在实数λ，使得a →=λb →，故D 正确. 故选：A.5、已知向量a =(−1,m )，b ⃗ =(m +1,2)，且a ⊥b ⃗ ，则m =（ ） A ．2B ．−2C ．1D ．−1 答案：C分析：由向量垂直的坐标表示计算．由题意得a ⋅b ⃗ =−m −1+2m =0，解得m =1 故选：C ．6、已知f (x )=sin (ωx +π6)+cosωx （ω>0），将f (x )图象上的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变时），得到g (x )的图象．g (x )的部分图象如图所示（D 、C 分别为函数的最高点和最低点）：其中CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |22，则ω=（ ）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π 答案：C分析：先求出g (x )的解析式，再利用CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |22得到cos∠ACB =12，进而求出|AB |=2，所以T =2×2=4，ω=π 由f (x )=√32sinωx +32cosωx =√3sin (ωx +π3)，∴g (x )=√3sin (12ωx +π3)，因为D 、C 分别为函数的最高点和最低点，所以DA =AC =CB ，由CA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |22，即|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2⋅cos∠ACB =|AD |22∴cos∠ACB =12，∴△ACB 为正三角形，又△ABC 的高为√3， ∴|AB |=2 ∴T =2×2=4， ∴即2π12ω=4πω=4，∴ω=π， 故选：C ．7、某人先向东走3km ，位移记为a →，接着再向北走3km ，位移记为b →，则a →+b →表示（ ） A ．向东南走3√2km B ．向东北走3√2km C ．向东南走3√3km D ．向东北走3√3km 答案：B分析：由向量的加法进行求解.由题意和向量的加法，得a →+b →表示先向东走3km ，再向北走3km，即向东北走3√2km.故选：B.8、在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且2S=a2−(b−c)2，则2b2+c2bc 的取值范围为（）A．(4315,5915)B．[2√2,4315)C．[2√2,5915)D．[2√2,+∞)答案：C分析：根据余弦定理和△ABC的面积公式，结合题意求出sinA、cosA的值，再用C表示B，求出bc =sinBsinC的取值范围，即可求出2b2+c2bc的取值范围．解：在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA，且△ABC的面积S=12bcsinA，由2S=a2−(b−c)2，得bcsinA=2bc−2bccosA，化简得sinA+2cosA=2，又A∈(0,π2)，sin2A+cos2A=1，联立得5sin2A−4sinA=0，解得或sinA=0（舍去），所以bc =sinBsinC=sin(A+C)sinC=sinAcosC+cosAsinCsinC=45tanC+35，因为△ABC为锐角三角形，所以0<C<π2，B=π−A−C<π2，所以π2−A<C<π2，所以tanC>tan(π2−A)=1tanA=34，所以1tanC∈(0,43)，所以bc∈(35,53)，设bc =t，其中t∈(35,53)，所以2b2+c2bc=2bc+cb=2t+1t=2(t+12t)，由对勾函数单调性知y=2t+1t 在(35,√22)上单调递减，在(√22,53)上单调递增，当t=√22时，y=2√2；当t=35时，y=4315；当t=53时，y=5915；所以y∈[2√2,5915)，即2b2+c2bc的取值范围是[2√2,5915)．故选：C.小提示：关键点点睛：由2b2+c2bc =2bc+cb，所以本题的解题关键点是根据已知及bc=sinBsinC=sin(A+C)sinC=4 sin5AsinAcosC+cosAsinCsinC=45tanC+35求出bc的取值范围.多选题9、等边三角形ABC 中，BD →=DC →,EC →=2AE →，AD 与BE 交于F ，则下列结论正确的是（ ） A ．AD →=12(AB →+AC →)B ．BE →=23BC →+13BA →C ．AF →=12AD →D ．BF →=12BA →+13BC →答案：AC分析：可画出图形，根据条件可得出D 为边BC 的中点，从而得出选项A 正确； 由EC →=2AE →可得出AE →=13AC →，进而可得出BE →=13BC →+23BA →，从而得出选择B 错误；可设AF →=12AD →，进而得出AF →=λ2AB →+3λ2AE →，从而得出λ=12，进而得出选项C 正确；由AF →=12AD →即可得出BF →=12BA →+14BC →，从而得出选项D 错误． 如图，∵BD →=DC →，∴D 为BC 的中点，∴AD →=12(AB →+AC →)，∴A 正确； ∵EC →=2AE →，∴AE →=13AC →=13(BC →−BA →)，∴BE →=BA →+AE →=BA →+13(BC →−BA →)=13BC →+23BA →，∴ B 错误；设AF →=λAD →=λ2AB →+λ2AC →=λ2AB →+3λ2AE →，且B ，F ，E 三点共线，∴λ2+3λ2=1，解得λ=12，∴AF →=12AD →，∴C 正确；BF →=BA →+AF →=BA →+12AD →=BA →+12(BD →−BA →)=BA →+14BC →−12BA →=12BA →+14BC →，∴D 错误. 故选：AC10、已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC,AB 上的点，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD 与CE 交于点O ，则（ ）A ．OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +EO ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗B ．AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 C ．|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3D ．ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为76 答案：BD解析：可证明EO =CE ，结合平面向量线性运算法则可判断A ；由AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 结合平面向量数量积的定义可判断B ；建立直角坐标系，由平面向量线性运算及模的坐标表示可判断C ；由投影的计算公式可判断D. 因为△ABC 是边长为2的等边三角形，AE⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以E 为AB 的中点，且CE ⊥AB ，以E 为原点如图建立直角坐标系，则E (0,0)，A (−1,0)，B (1,0)，C(0,√3)，由AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23,2√33)，则D (−13,2√33)， 取BD 的中点G ，连接GE ，易得GE//AD 且GE =12AD =DC ， 所以△CDO ≌△EGO ，EO =CO ，则O (0,√32)， 对于A ，OC⃗⃗⃗⃗⃗ +EO ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠0⃗ ，故A 错误；对于B ，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，故B 正确； 对于C ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−√32)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√32)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√32)，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−13,√36)， 所以OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−13,−√33)，所以|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=23，故C 错误； 对于D ，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−13,2√33)， 所以ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC⃗⃗⃗⃗⃗ |=13+22=76，故D 正确.故选：BD.小提示：关键点点睛：建立合理的平面直角坐标系是解题关键. 11、下列说法中错误的是（ ）. A ．若a //b ⃗ ，b ⃗ //c ，c //d ，则a //d B ．若|a |=|b ⃗ |且a //b ⃗ ，则a =b⃗ C ．若a ，b ⃗ 非零向量且|a +b ⃗ |=|a −b ⃗ |，则a ⊥b ⃗ D ．若a //b ⃗ ，则有且只有一个实数λ，使得a =λb ⃗ 答案：ABD分析：对于题中所给的条件与结论需要考虑周全，可以得出结论. A 选项，当b ⃗ ，c 中至少有一个0⃗ 时，a 与d 可能不平行，故A 错误； B 选项，由|a |=|b ⃗ |且a //b ⃗ ，可得a =b ⃗ 或a =−b⃗ ，故B 错误； C 选项，|a +b ⃗ |=|a −b ⃗ |，根据数量积规则，则两边平方化简可得a ⋅b ⃗ =0， ∴a ⊥b⃗ ，故C 正确； D 选项，根据向量共线基本定理可知当a ,b⃗ 都为非零向量时成立， a 为零向量时也成立(λ=0) ，若b ⃗ =0⃗ 时，λ 不存在，但b ⃗ //a （零向量与所有的向量共线），故D 错误； 故选：ABD.12、下列说法错误的是（ ）A ．若a //b ⃗ ，则存在唯一实数λ使得a =λb⃗ B ．两个非零向量a ，b ⃗ ，若|a −b ⃗ |=|a |+|b ⃗ |，则a 与b⃗ 共线且反向C ．已知a =(1,2)，b ⃗ =(1,1)，且a 与a +λb ⃗ 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(−53,+∞) D ．在△ABC 中，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△ABC 为等腰三角形 答案：AC分析：若a =b ⃗ =0⃗ 可判断A ；将已知条件两边平方再进行数量积运算可判断B ；求出a +λb ⃗ 的坐标，根据a ⋅(a +λb ⃗ )>0且a 与a +λb ⃗ 不共线求出λ的取值范围可判断C ；取AC 的中点D ，根据向量的线性运算可得CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0可判断D ，进而可得正确选项. 对于A ：若a =b ⃗ =0⃗ 满足a //b⃗ ，则实数λ不唯一，故选项A 错误； 对于B ：两个非零向量a ，b ⃗ ，若|a −b ⃗ |=|a |+|b ⃗ |，则(a −b ⃗ )2=(|a |+|b⃗ |)2， 所以a 2+b ⃗ 2−2a ⋅b ⃗ =|a |2+|b ⃗ |2+2|a ||b ⃗ |，可得2a ⋅b ⃗ =2|a ||b ⃗ |⋅cos 〈a ⋅b ⃗ 〉=−2|a ||b ⃗ |，cos 〈a ⋅b ⃗ 〉=−1，因为0≤〈a ⋅b ⃗ 〉≤π，所以〈a ⋅b ⃗ 〉=π，所以a 与b⃗ 共线且反向，故选项B 正确； 对于C ：已知a =(1,2)，b ⃗ =(1,1)，所以a +λb ⃗ =(1+λ,2+λ)，若a 与a +λb ⃗ 的夹角为锐角，则a ⋅(a +λb ⃗ )=1+λ+2(2+λ)>0，解得：λ>−53，当λ=0时，a +λb ⃗ =a ，此时a 与a +λb ⃗ 的夹角为0，不符合题意，所以λ≠0，所以λ的取值范围是(−53,0)∪(0,+∞)，故选项C 不正确；对于D ：在△ABC 中，取AC 的中点D ，由BC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，故BD 垂直平分AC ，所以△ABC 为等腰三角形，故选项D 正确． 故选：AC ．13、有下列说法，其中错误的说法为 A ．若a //b ⃗ ,b ⃗ //c ，则a //cB ．若2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，S ΔAOC ，S ΔABC 分别表示ΔAOC ，ΔABC 的面积，则S ΔAOC :S ΔABC =1:6 C ．两个非零向量a ，b ⃗ ，若|a −b ⃗ |=|a |+|b ⃗ |，则a 与b ⃗ 共线且反向D ．若a //b ⃗ ，则存在唯一实数λ使得a =λb ⃗ 答案：AD分析：对每一个选项逐一分析判断得解.A. 若a //b ⃗ ,b ⃗ //c ，则a //c ，如果a ，c 都是非零向量，b ⃗ =0⃗ ，显然满足已知条件，但是结论不一定成立，所以该选项是错误的；B. 如图，D,E 分别是AC,BC 的中点，2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，∴2（OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）+（OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）=0⃗ ，∴4OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ,∴OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以OD =16AB,则S ΔAOC :S ΔABC =1:6,所以该选项是正确的；C. 两个非零向量a ，b ⃗ ，若|a −b ⃗ |=|a |+|b ⃗ |，则a 与b ⃗ 共线且反向，所以该选项是正确的；D. 若a //b ⃗ ，如果a 是非零向量，b ⃗ =0⃗ ，则不存在实数λ使得a =λb ⃗ ，所以该选项是错误的. 故选A,D小提示：本题主要考查平面向量的运算，考查向量的平行及性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 填空题14、已知P ，Q 分别是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，且a ,b ⃗ 是不共线的向量，则向量PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =___________. 答案：−12a −12b⃗ 分析：取AB 的中点E ，连接PE,QE ，然后利用向量的加法法则和三角形中位线定理求解. 如图，取AB 的中点E ，连接PE,QE ，因为P ，Q 分别是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b⃗ 所以PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a ,EQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12b ⃗ ， 所以PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a −12b⃗ .所以答案是：−12a−12b⃗15、在△ABC中，若a=2，c=2√3,cosC=−12，M是BC的中点，则AM的长为____________．答案：√7分析：在△ABC中，由余弦定理求出b=2，进而，在△AMC中，由余弦定理可得AM.在△ABC中，由余弦定理c2=b2+a2−2abcosC得b2+2b−8=0，又b>0，所以b=2.在△AMC中，CA=b=2，CM=a2=1，由余弦定理得AM2=CA2+CM2−2CA⋅CM⋅cosC=22+12−2×2×1×(−12)=7，所以AM=√7.所以答案是：√7.16、在△ABC中，cos∠BAC=−13，AC＝2，D是边BC上的点，且BD＝2DC，AD＝DC，则AB等于 ___．答案：3分析：运用余弦定理，通过解方程组进行求解即可.设DC=x,AB=y，因为BD＝2DC，AD＝DC，所以BC=3x,AD=DC=x，在△ADC中，由余弦定理可知：cosC=AC2+CD2−AD22AC⋅DC =4+x2−x24x=1x，在△ABC中，由余弦定理可知：cosC=AC2+CB2−AB22AC⋅BC =4+9x2−y212x，于是有4+9x2−y212x =1x⇒9x2−y2=8(1)，在△ABC中，由余弦定理可知：cosA=AB2+CA2−CB22AB⋅AC =y2+4−9x24y=−13，⇒27x2−3y2−4y=12(2)，把(1)代入(2)中得，y=3，所以答案是：3解答题17、记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)．(1)若A=2B，求C；(2)证明：2a2=b2+c2答案：(1)5π8；(2)证明见解析．分析：（1）根据题意可得，sinC=sin(C−A)，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得sinC(sinAcosB−cosAsinB)=sinB(sinCcosA−cosCsinA)，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．（1）由A=2B，sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)可得，sinCsinB=sinBsin(C−A)，而0<B<π2，所以sinB∈(0,1)，即有sinC=sin(C−A)>0，而0<C<π,0<C−A<π，显然C≠C−A，所以，C+C−A=π，而A=2B，A+B+C=π，所以C=5π8．（2）由sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)可得，sinC(sinAcosB−cosAsinB)=sinB(sinCcosA−cosCsinA)，再由正弦定理可得，accosB−bccosA=bccosA−abcosC，然后根据余弦定理可知，1 2(a2+c2−b2)−12(b2+c2−a2)=12(b2+c2−a2)−12(a2+b2−c2)，化简得：2a2=b2+c2，故原等式成立．18、如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径AB的长为2km，C，D两点在半圆弧上，且BC=CD，设∠COB=θ；（1）当θ=π12时，求四边形ABCD的面积.（2）若要在景区内铺设一条由线段AB，BC，CD和DA组成的观光道路，则当θ为何值时，观光道路的总长l 最长，并求出l的最大值.答案：（1）√6−√24+14；（2）5分析：（1）把四边形ABCD分解为三个等腰三角形：△COB,△COD,△DOA，利用三角形的面积公式即得解；（2）利用θ表示（1）中三个等腰三角形的顶角，利用正弦定理分别表示BC，CD和DA，令t=sinθ2，转化为二次函数的最值问题，即得解.（1）连结，则∠COD=π12,∠AOD=5π6∴四边形ABCD的面积为2×12×1×1×sinπ12+12×1×1×sin5π6=√6−√24+14（2）由题意，在△BOC中，∠OBC=π−θ2，由正弦定理BC sinθ=OBsin(π−θ2)=1cosθ2∴BC=CD=sinθcosθ2=2sinθ2同理在△AOD中，∠OAD=θ,∠DOA=π−2θ，由正弦定理DAsin(π−2θ)=ODsinθ∴DA=sin2θsinθ=2cosθ∴l=2+4sin θ2+2cosθ=2+4sinθ2+2(1−2sin2θ2),0<θ<π2OD令t =sin θ2(0<t <√22) ∴l =2+4t +2(1−2t 2)=4+4t −4t 2=−4(t −12)2+5 ∴t =12时，即θ=π3，l 的最大值为5 小提示：本题考查了三角函数和解三角形综合实际应用问题，考查了学生综合分析，数学建模，转化划归，数学运算能力，属于较难题。
高中数学必修二第六章平面向量及其应用重点知识点大全(带答案)
高中数学必修二第六章平面向量及其应用重点知识点大全单选题1、若M 为△ABC 的边AB 上一点，且AB⃑⃑⃑⃑⃑ =3AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,则CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =（ ） A ．3CM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −2CA ⃑⃑⃑⃑⃑ B ．3CA ⃑⃑⃑⃑⃑ −2CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ C ．3CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +2CA ⃑⃑⃑⃑⃑ D ．3CA ⃑⃑⃑⃑⃑ +2CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：A解析：先用向量CB →，CA →表示向量CM →，再转化为用CA →，CM →表示CB →即可得答案.解：根据题意做出图形，如图，所以CM →=CB →+BM →=CB →+23BA →=CB →+23(CA →−CB →)=13CB →+23CA →，所以CB →= 3CM →−2CA →.故选：A.小提示：关键点睛：解题关键在于利用向量的线性运算进行求解，属于基础题2、已知向量a ,b ⃑ 满足|a |⃑⃑⃑⃑⃑ =1,a ⊥b ⃑ ，则向量a −2b ⃑ 在向量a 方向上的投影向量为（ ）A ．aB ．1C ．-1D ．−a答案：A分析：根据给定条件，求出(a −2b ⃑ )⋅a ，再借助投影向量的意义计算作答.因|a |⃑⃑⃑⃑⃑ =1,a ⊥b ⃑ ，则(a −2b ⃑ )⋅a =a 2−2b ⃑ ⋅a =1，令向量a −2b ⃑ 与向量a 的夹角为θ，于是得|a −2b ⃑ |cosθ⋅a ⃑ |a ⃑ |=(a ⃑ −2b ⃑ )⋅a ⃑ |a ⃑ |⋅a⃑ |a ⃑ |=a ，所以向量a −2b ⃑ 在向量a 方向上的投影向量为a .故选：A3、如图，四边形ABCD 是平行四边形，则12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =（ ）A ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑ B ．CD ⃑⃑⃑⃑⃑C ．CB ⃑⃑⃑⃑⃑D ．AD ⃑⃑⃑⃑⃑答案：D分析：由平面向量的加减法法则进行计算.由题意得AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=AD ⃑⃑⃑⃑⃑ .故选：D.4、下列条件中能得到a ⃗=b ⃑⃗的是（ ）A ．|a ⃗|=|b ⃑⃗|B ．a ⃗与b ⃑⃗的方向相同；C ．a ⃗=0⃑⃗，b ⃑⃗为任意向量D ．a ⃗=0⃑⃗且b ⃑⃗=0⃑⃗答案：D分析：根据相等向量的概念，即可得到结果.由于a ⃗=b ⃑⃗，所以a ⃗与b ⃑⃗的大小相等，方向相同，故D 正确.故选：D.5、向量a ⃗，b ⃑⃗满足a ⃗=(1,√3)，|b ⃑⃗|=1，|a ⃗+b ⃑⃗|=√3，则b ⃑⃗在a ⃗方向上的投影为（）A ．-1B ．−12C ．12D ．1答案：B解析：根据题条件，先求出a ⃗⋅b ⃑⃗，再由向量数量积的几何意义，即可求出结果.因为向量a ⃗，b ⃑⃗满足a ⃗=(1,√3)，|b ⃑⃗|=1，|a ⃗+b ⃑⃗|=√3，所以|a ⃗|2+2a ⃗⋅b ⃑⃗+|b ⃑⃗|2=3，即4+2a ⃗⋅b ⃑⃗+1=3，则a ⃗⋅b⃑⃗=−1， 所以b ⃑⃗在a ⃗方向上的投影为|b →|cos <a →,b →>=a →⋅b →|a →|=−12. 故选：B.6、在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且a (sin A −sin B )+b sin B =c sin C,a +b =2c =2，则△ABC 的面积为（ ）A ．3√38B ．√34C ．√32D ．3√32 答案：B分析：由正弦定理化角为边结合余弦定理可求出C =π3，再由已知可求出ab =1，即可求出面积.因为a (sin A −sin B )+b sin B =c sin C ，由正弦定理得a (a −b )+b 2=c 2，即a 2+b 2−c 2=ab ，所以cos C =a 2+b 2−c 22ab =12， 又C ∈(0,π)，所以C =π3.又a +b =2c =2，则c =1,a +b =2，由a 2+b 2−c 2=a 2+b 2−1= ab,(a +b)2−3ab =1，得ab =1.所以S △ABC =12ab sin C =12×1×1×sin π3=√34. 故选：B.7、在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于（ ）A ．14B ．34C ．√24D ．√23答案：B分析：利用余弦定理求得cosB .b 2=ac,c =2a ，则b 2=2a 2，由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac =a 2+4a 2−2a 22a⋅2a =34. 故选：B8、在△ABC 中，若AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2=0，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形答案：B分析：先利用数量积运算化简得到accosB =c 2，再利用余弦定理化简得解.因为AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB⃑⃑⃑⃑⃑ 2=0，所以accos(π−B)+c 2=0， 所以accosB =c 2，所以ac ×a 2+c 2−b 22ac =c 2，所以b 2+c 2=a 2，所以三角形是直角三角形.故选：B多选题9、下列结果为零向量的是( )A ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −(BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +CA ⃑⃑⃑⃑⃑ )B ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −CD ⃑⃑⃑⃑⃑ C ．OA ⃑⃑⃑⃑⃑ −OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ D ．NO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +OP ⃑⃑⃑⃑⃑ +MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −MP⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：BCD分析：根据向量加减法的运算方法即可逐项判断.A 项，AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗−(BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)＝AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝2AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗； B 项，AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗−CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝0⃑⃗；C 项，OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝0⃑⃗；D 项，NO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋OP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗−MP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝NP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋PN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝0⃑⃗.故选：BCD.10、已知向量a ⃗=(1,−2)，b⃑⃗=(−1,m)，则（ ） A ．若a ⃗与b ⃑⃗垂直，则m =−1B ．若a ⃗//b⃑⃗，则m =2 C ．若m =1，则|a ⃗−b ⃑⃗|=√13D ．若m =−2，则a ⃗与b⃑⃗的夹角为60° 答案：BC分析：利用向量垂直、平行的坐标表示求参数m ，即可判断A 、B 的正误；由m 的值写出b⃑⃗的坐标，再由向量坐标的线性运算及模长的坐标求法、夹角的坐标求法求|a ⃗−b ⃑⃗|、a ⃗与b⃑⃗的夹角，即可判断C 、D 正误. A ：a ⃗与b ⃑⃗垂直，则−1−2m =0，可得m =−12，故错误；B：a⃗//b⃑⃗，则m−2=0，可得m=2，故正确；C：m=1有b⃑⃗=(−1,1)，则a⃗−b⃑⃗=(2,−3)，可得|a⃗−b⃑⃗|=√13，故正确；D：m=−2时，有b⃑⃗=(−1,−2)，所以cos<a⃗,b⃑⃗>=a⃑⃗⋅b⃑⃗|a⃑⃗||b⃑⃗|=√5×√5=35，即a⃗与b⃑⃗的夹角不为60°，故错误.故选：BC11、（多选）已知向量a⃗，b⃑⃗，在下列命题中正确的是（）A．若|a⃗|>|b⃑⃗|，则a⃗>b⃑⃗B．若|a⃗|=|b⃑⃗|，则a⃗=b⃑⃗C．若a⃗=b⃑⃗，则a⃗//b⃑⃗D．若|a⃗|=0，则a⃗=0答案：CD分析：根据向量相等和模值相等的区别分析四个选项便可得出答案.解：向量的模值可以比较大小，但是向量不能比较大小，故A错；向量的模值相等，只能证明大小相等并不能说明方向也相同，故B错；两个向量相等，这两个向量平行，所以C正确；模值为零的向量为零向量，故D正确故选：CD填空题12、《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪.以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形.中有都柱，傍行八道，施关发机.外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之.其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际.如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之.振声激扬，伺者因此觉知.虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在.验之以事，合契若神.”如图，为张衡地动仪的结构图，现要在相距200km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向，若A地动仪正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置在A地正东________________km.答案：100(√3+1)分析：依题意画出图象，即可得到A=60∘,B=75∘,C=45∘，AB=200，再利用正弦定理计算可得；解：如图，设震源在C处，则AB=200km，则由题意可得A=60∘,B=75∘,C=45∘，根据正弦定理可得200 sin45∘=ACsin75∘，又sin75∘=sin(45∘+30∘)=sin45∘cos30∘+cos45∘sin30∘=√22×√32+√22×12=√6+√24所以AC=200sin75∘sin45∘=200×√6+√24√22=100(√3+1)，所以震源在A地正东100(√3+1)km处.所以答案是：100(√3+1)13、已知向量a⃗,b⃑⃗的夹角为120°，|a⃗|=2,|b⃑⃗|=1，若(a⃗+3b⃑⃗)⊥(2a⃗+λb⃑⃗)，则实数λ=___________. 答案：−1分析：由(a⃗+3b⃑⃗)⊥(2a⃗+λb⃑⃗)，可得(a⃗+3b⃑⃗)⋅(2a⃗+λb⃑⃗)=0，化简后结已知条件可求得答案解：因为向量a⃗,b⃑⃗的夹角为120°，|a⃗|=2,|b⃑⃗|=1，且(a⃗+3b⃑⃗)⊥(2a⃗+λb⃑⃗)，所以(a ⃗+3b ⃑⃗)⋅(2a ⃗+λb ⃑⃗)=0，即2a ⃗2+(6+λ)a ⃗⋅b⃑⃗+3λb ⃑⃗2=0， 所以8+(6+λ)×2×1×(−12)+3λ=0，解得λ=−1，所以答案是：−114、设向量m ⃑⃑ =2a −3b ⃑ ,n ⃑ =4a −2b ⃑ ,p =3a +2b ⃑ ，若用m ⃑⃑ ,n ⃑ 表示p ，则p =________.答案：−74m ⃑⃑ +138n ⃑分析：根据平面向量基本定理进行求解即可.设p ⃗=xm ⃑⃑⃗+yn ⃑⃗，则有p ⃗=3a ⃗+2b ⃑⃗=x(2a ⃗−3b ⃑⃗)+y(4a ⃗−2b ⃑⃗)=(2x +4y)a ⃗+(−3x −2y)b⃑⃗， 得{2x +4y =3−3x −2y =2⇒{x =−74,y =138.，所以p ⃗=−74m ⃑⃑⃗+138n ⃑⃗， 所以答案是：−74m ⃑⃑⃗+138n ⃑⃗解答题 15、△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知asinAsinB +ccosA =(acosA +2b )cosB（1）求B ;（2）若b =2√3,AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =6，求△ABC 的周长 答案：（1）B =π3；（2）6√3. 分析：（1）根据asinAsinB +ccosA =(acosA +2b )cosB ，利用正弦定理结合两角和与差的三角函数化简为2sinBcosB =sinB 求解；（2）利用余弦定理得到(a +c )2−3ac =12，然后由AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =6求得ac 代入即可. （1）因为 asinAsinB +ccosA =(acosA +2b )cosB ，所以a (sinAsinB −cosAcosB )+ccosA =2bcosB ，所以−acos(A +B)+ccosA =2bcosB所以acosC +ccosA =2bcosB由正弦定理得sinAcosC +sinCcosA =2sinBcosB整理得sin (A +C )=2sinBcosB =sinB因为在△ABC 中，所以sinB ≠0，则2cosB =1所以B =π3 （2）由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2accosB ，即(a +c )2−3ac =12，因为AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =accosB =12ac =6， 所以ac =12，所以(a +c )2−36=12，解得a +c =4√3.所以△ABC 的周长是6√3小提示：方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．。
第13讲 平面向量十大题型总结(解析版)-2024高考数学常考题型
第13讲平面向量十大题型总结【题型目录】题型一：平面向量线性运算题型二：平面向量共线问题题型三：平面向量垂直问题题型四：平面向量的夹角问题题型五：平面向量数量积的计算题型六：平面向量的模问题题型七：平面向量的投影问题题型八：万能建系法解决向量问题题型九：平面向量中的最值范围问题题型十：平面向量中多选题【典型例题】题型一：平面向量线性运算【例1】在ABC △中，D 是AB 边上的中点，则CB =（）A ．2CD CA+ B ．2CD CA- C ．2CD CA- D ．2CD CA+ 【答案】C【解析】：CA CD AC CD CD AC CD AD CD DB CD CB -=+=++=+=+=22【例2】在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC-B ．1344AB AC-C ．3144+AB AC D ．1344+AB AC 【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC=+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC=++=+，所以3144EB AB AC =-，故选A.【例3】在ABC 中，点P 为AC 中点，点D 在BC 上，且3BD DC = ，则DP =()A ．1144AB AC+B ．1144AB AC--C ．1144AB AC-D ．1144AB AC-+【答案】B【解析】∵点P 为AC 中点，∴12AP AC = ,∵3BD DC =，()3AD AB AC AD ∴-=- ,∴1344AD AB AC =+ ,∴113244DP AP AD AC AB AC =-=-- =1144AB AC --,故选：B.【例4】在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且EB AB AC λμ=+，则λ=________，μ=_________．【答案】3414-【解析】如下图所示：D Q 为BC 的中点，则()()111222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，E 为AD 的中点，所以，()1124AE AD AB AC ==+，因此，()131444EB AB AE AB AB AC AB AC =-=-+=- ，即34λ=，14μ=-.故答案为：34；14-.【例5】如图，等腰梯形ABCD 中，3AB BC CD AD ===，点E 为线段CD 中点，点F 为线段BC 的中点，则FE =（）A ．2136AB AC+B ．2136AB AC-+C ．1263AB AC+D ．1263AB AC-+点F 为线段BC 的中点，13BD BA AD BA BC BA =+=+=+ 又2BD FE = ，2136FE AB AC ∴=-+.【题型专练】1.设,,D E F 分别为ABC 的三边BC,CA,AB 的中点，则EB FC +=()A ．ADB ．12ADC ．12BCD ．BC【答案】A【解析】111()()()222EB FC BA BC CA CB AB AC AD +=-+-+=+=，故选：A2.设D为△ABC所在平面内的一点,若3,AD BD CD CA CBλμ==+,则μλ=_____.【答案】3-【解析】如图所示：3CD CA AD CA BD=+=+，CA=+3(CD CB-)，即有CD=﹣1322CA CB+，因为CD CA CBλμ=+，所以λ=﹣12，μ=32，则μλ=﹣3，故答案为：﹣3.3.在ABC中，4AC AD=，P为BD上一点，若13AP AB ACλ=+，则实数λ的值（）A．18B．316C．16D．38【答案】C【解析】4AC AD=，14AD AC∴=，则14BD AD AB AC AB=-=-，1233BP AP AB AB AC AB AC ABλλ⎛⎫=-=+-=-⎪⎝⎭，由于P为BD上一点，则//BP BD，设BP k BD=，则21344kAC AB k AC AB AC k ABλ⎛⎫-=-=-⎪⎝⎭，所以423kkλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得16λ=.4.在ABC 中，2AB =，4BC =，60ABC ∠=︒，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO AB BC λμ=+，则λμ+=（）A ．13B ．23C ．38D ．58【答案】D【解析】AD 是BC 边上的高，∴90ADB ∠=︒，在ADB △中，1cos 22BD BD ABD AB ∠===，解得1BD =， 4BC =，∴14BD BC =，∴14AD AB BD AB BC =+=+， O 为AD 中点，∴1111122428AO AD AB BC AB BC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ ， AO AB BC λμ=+ ，∴1128AB BC AB BC λμ+=+ ，∴12λ=，18μ=，∴115288λμ+=+=.5.已知O 是ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（）A ．AO OD =B ．2AO OD=C ．3AO OD=D ．4AO OD =【答案】A【解析】D 为BC 边中点，∴2OB OC OD +=，∵20OA OB OC ++=，∴0OA OD =+，即AO OD =.6．设D 为ABC 所在平面内一点，且满足3CD BD =，则（）A ．3122AD AB AC =-B ．3122=+AD AB ACC ．4133AD AB AC =-D ．4133AD AB AC=+ ∴2CB BD =，即12BD CB = .()12123122AD AB BD ABCBAB AB ACAB AC ∴=+=+=+-=- 故选：A.题型二：平面向量共线问题【例1】已知向量()1,2a =- ，()sin ,cos b αα= ，若//a b，则tan α=（）A ．12-B ．2-C ．12D ．2【例2】与模长为13的向量()12,5d =平行的单位向量为（）A ．1251313⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．1251313⎛⎫-- ⎪⎝⎭，C ．1251313⎛⎫ ⎪，或1251313⎛⎫-- ⎪，D ．1251313⎛⎫- ⎪，或1251313⎛⎫- ⎪，【例3】已知向量()1,2AB =，(),7BC m =，()3,1CD =-，若A ，B ，D 三点共线，则m =________．【例4】设向量,a b 不平行，向量λ+a b 与2+a b 平行，则实数λ=___．【答案】21【解析】因向量λ+a b 与2+a b 平行，所以()b a b a ba μμμλ22+=+=+，所以⎩⎨⎧==μμλ21，解得⎪⎩⎪⎨⎧==2121μλ【例5】在ABC ∆中，点P 满足3BP PC = ，过点P 的直线与AB 、AC 所在的直线分别交于点M 、N ，若AM AB λ= ，()0,0AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（）A ．212+B ．12+C ．32D ．52【答案】B【解析】如下图所示：3BP PC = ，即()3AP AB AC AP -=- ，1344AP AB AC∴=+ ，AM AB λ= ，()0,0AN AC μλμ=>> ，1AB AM λ∴=，1AC ANμ= ，1344AP AM ANλμ∴=+ ，M 、P 、N 三点共线，则13144λμ+=.()133********λμλμλμλμμλ⎛⎫∴+=++=++≥=+ ⎪⎝⎭，当且仅当μ=时，等号成立，因此，λμ+的最小值为312+，故选：B.【题型专练】1.已知非零向量a ，b ，c ，若(1)a x = ，，(41)b =- ，，且//a c ，//b c则x =（）A ．4B ．4-C ．14D ．14-【答案】D【解析】：因非零向量c b a ,,，且//a c ，//b c ，所以a 与b 共线，所以()x 411=-⨯，所以41-=x 2.已知向量的(7,6)AB =，(3,)BC m =- ，(1,2)AD m =- ，若A ，C ，D 三点共线，则m =______.3.已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且35OA a b =+，47OB a b =+，OC a mb =+，若A ，B ，C 三点共线，则m =（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】A【解析】法一：b a b a b a OB AO AB 27453+=++--=+=，()b m a b m a b a OC BO BC 7374-+-=++--=+=，因A ，B ，C 三点共线，所以AB 与BC 共线，所以()[]()b m a b m a b a 73732-+-=-+-=+λλλ，所以()⎩⎨⎧-=-=7231m λλ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=131m λ法二：由,,A B C 三点共线，得(1)(4)(72)OC xOA x OB x a x b =+-=-+-，故41,72,x x m -=⎧⎨-=⎩解得1m =．4.设12e e，是两个不共线的向量，若向量12m e ke =-+（k ∈R ）与向量212n e e =-共线，则A ．0k =B ．1k =C ．2k =D ．12k =【答案】D【解析】因为向量12=-+ m e ke （k ∈R ）与向量212=-n e e 共线，所以存在实数λ，使得λ=m n ，所以有2211(2)λ-+=- e ke e e ，因此12k λλ=⎧⎨-=-⎩，解得12k =.5.如图，在ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM = ，AC nAN =，则m n +=（）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C【解析】连接AO ，由O 为BC 中点可得，1()222m n AO AB AC AM AN =+=+，M 、O 、N 三点共线，122m n∴+=，2m n ∴+=.故选：C.6.已知M 为ABC 的边AB 的中点，N 为ABC 内一点，且13AN AM BC =+ ，则AMNBCNS S =△△（）A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】B【解析】因为13AN AM BC =+，所以13MN BC = ，所以MN ∥BC ，又因为M 为边AB 的中点，所以点A 到MN 的距离等于点N 到BC 的距离，所以13AMNBCNMN S S BC== △△,题型三：平面向量垂直问题【例1】已知向量(1)(32)m =-，，=，a b ，且()+⊥a b b ，则m =（）A ．8-B ．6-C ．6D ．8【答案】D【解析】：()()()2,42,3,1-=-+=+m m b a ，因()b b a ⊥+，所以()0=⋅+b b a ，即()()()022122,32,4=--=--m m ，所以8=m 【例2】已知单位向量a ，b 的夹角为45°，ka –b 与a 垂直，则k =__________.【答案】22【解析】由题意可得：11cos 452a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =.【例3】已知单位向量,a b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（）A ．b a 2+B ．ba +2C ．ba 2-D ．ba -2【答案】D【思路导引】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可．【解析】由已知可得：11cos 601122⋅=︒=⨯⨯=a b a b ．A ：∵215(2)221022+⋅=⋅+=+⨯=≠a b b a b b ，∴本选项不符合题意；B ：∵21(2)221202+⋅=⋅+=⨯+=≠a b b a b b ，∴本选项不符合题意；C ：∵213(2)221022-⋅=⋅-=-⨯=-≠a b b a b b ，∴本选项不符合题意；D ：∵21(2)22102-⋅=⋅-=⨯-=b b b a b b ，∴本选项符合题意．故选D ．【例4】已知向量(2,1),(3,)a b m →→=-=，且()a b a →→→+⊥，则实数m =___________.【答案】1【分析】先求出+=(1,1)a b m →→+，再解方程1(2)1(1)0m ⨯-+⨯+=即得解.【详解】解：由题得+=(1,1)a b m →→+，因为()a b a →→→+⊥，所以()=0a b a →→→+g ，所以1(2)1(1)0,1m m ⨯-+⨯+=∴=.故答案为：1【例5】已知非零向量m,n 满足4|3|=m |n |，1cos ,3<>=m n ．若()t ⊥+n m n ，则实数t 的值为（）A ．4B ．–4C ．94D ．–94【答案】B 【解析】由()t ⊥+n m n 可得()0t ⋅+=n m n ，即20t ⋅+=m n n ，所以2221|cos |3||t |||<,>|||=-=-=-⋅⋅⨯⨯n n n m n m n m n m n ||4334||3=-=-⨯=-n m ．故选B ．【例6】已知向量AB 与AC 的夹角120，且|AB |=3，|AC |=2，若AP AB AC λ=+ ，且AP BC ⊥ ，则实数λ的值为_____．【答案】712【解析】向量与的夹角为，且所以．由得，，即，所以，即，解得．【题型专练】1.ΑΒC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2ΑΒ= a ，2ΑC =+a b ，则下列结论正确的是（）A ．1=b B ．⊥a bC ．1⋅=a b D ．()4ΒC-⊥a b 【答案】D【解析】如图由题意，(2)2BC AC AB a b a b =-=+-= ，故||2b = ，故A 错误；|2|2||2a a ==，所以||1a = ，又22(2)4||222cos 602AB AC a a b a ab ⋅=⋅+=+=⨯=，所以1a b ⋅=- ，故,B C 错误；设,B C 中点为D ，则2AB AC AD += ，且AD BC ⊥ ，所以()4C a b +⊥B ，故选D ．2.已知1e ，2e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60 ，则实数λ的值是．【答案】33【解析】解法一：因1e ，2e 11==，021=⋅e e所以221212112122)()λλλ-⋅+=+⋅-⋅-=-e e e e e e e e ，12|2-=e ，12||λ+===e e ，2cos60λ==，解得：33λ=．解法二：建立坐标系，设()()1,0,0,121==e e ()()λλ,1,1,3212=+-=-e e e ，所以()()2221213λ+=+=-+=)()λλ-=+-3212e e e所以由数量积的定义得︒⨯+⨯=-60cos 1232λλ，解得：33λ=．3.已知向量()(),2,1,1a m b ==，若()a b b +⊥ ，则m =__________.【答案】4-【分析】根据向量的坐标运算即可求解.【详解】由题意可得()1,3a b m +=+，则130m ++=，解得4m =-.故答案为：4-4.已知向量(,2),(2,4)m a a n a =+=- ，且()n m n ⊥-，则实数=a _____________．【答案】2【分析】根据向量坐标运算及向量垂直的坐标表示即得.【详解】因为(,2)(2,4)(2,2)m n a a a a -=+--=-，又()n m n ⊥- ，所以2(2)(2)40a a ⨯-+-⨯=，解得2a =．故答案为：2.5.在ABC 中，()1,2,3A k -，()2,1,0B -，()2,3,1C -，若ABC 为直角三角形，则k 的值为（）A ．23B ．83C ．－1D ．325-题型四：平面向量的夹角问题【例1】已知平面向量a ，b满足||4,||1== a b ，()a b b -⊥ ，则cos ,a b 〈〉= （）A ．14B ．4C．4D ．4【例2】已知(2,0)a = ，1,22b ⎛= ⎝⎭r ，则a b - 与12a b + 的夹角等于（）A ．150°B ．90°C ．60°D ．30°【例3】已知向量a=（2，1），()3,1b =- ，则（）A．若c =-⎝⎭ ，则a c ⊥B ．向量a 在向量b 上的投影向量为12b-C ．a 与a b -D ．()//a b a+【例4】若向量a ，b 满足||a = ，(2,1)b =-，5a b ⋅=- ，则a 与b 的夹角为_________．【例5】已知向量a b ，满足566a b a b ==⋅=-，，，则cos ,a a b +=()A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【例6】若非零向量,a b 满足32a b a b ==+，则a 与b 夹角的余弦值为________．【例7】设向量(68)=-，a ，(34)=，b ，t =+c a b，t ∈R ，若c 平分a与b 的夹角，则t 的值为．【答案】2【解析】解法一：()t t b t a c 48,36++-=+=，所以()()t t t c a 14100488366+=+++--=⋅；()()1425484363+=+++-=⋅t t t c b 510==因c 平分a 与b 的夹角，所以=c b c a ==，所以()1425214100+=+t t ，解得2=t解法二：因c 平分a 与b的夹角，所以()()⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎫⎛=58,054,3108,6λλλb a c ，又因()t t b t a c 48,36++-=+=，所以()()t t 3658480+-=+⨯，解得2=t 【例8】已知A B C △的三个顶点分别为(3(60)(5A B C ，，，，，求ACB ∠的大小．【答案】C【解析】()()3,1,0,2=-=CB CA()()()2312022222=+==+-=所以21223012cos -=⨯⨯+⨯-==∠CB CA ACB ，所以︒=∠120ACB 【题型专练】1.设非零向量、ab满足||2||,||||a b a b b =+= ，则向量a 与b的夹角为（）A ．30°B ．60︒C ．120︒D ．150︒2.已知(2,1)a =-，||b =，且()10a b a +⋅= ，则,a b 〈〉= ___________.3.已知向量,a b 满足||1a =，||a b =+1)b =- ，则,a b 的夹角等于___________.4.若两个非零向量a 、b 满足2a b a b a +=-=，则a b - 与b 的夹角___________.5.已知单位向量a ，b 满足0a b ⋅=，若向量c =+，则sin ,a c ＝（）A B C D6.已知向量,a b 满足()()3,4,·28a b a b a b ==+-=，则向量a 与b 所成的夹角为（）A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π37.已知向量a ，b 满足||2||2b a == ，|2|2a b -= ，则向量a ，b 的夹角为（）A ．30°B ．45︒C ．60︒D ．90︒8.已知向量()PA =，(1,PB =，则APB ∠=A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】D【解析】根据题意，可以求得2,2PA PB ===，所以333cos 222PA PB APB PA PB⋅∠===-⋅，结合向量所成角的范围，可以求得150APB ∠=︒，故选D ．9.非零向量a ，b 满足：-=a b a ，()0⋅-=a a b ，则-a b 与b 夹角的大小为A ．135︒B ．120︒C ．60︒D ．45︒【答案】A【解析】 非零向量a ，b 满足()0⋅-=a a b ，∴2=⋅a a b，由-=a b a 可得2222-⋅+=a a b b a，解得=b ，()22cos 2θ-⋅⋅-∴===--a b ba b b a b ba b，θ为-a b 与b 的夹角，135θ∴= ，故选A ．10.已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos,=a c ___________.【答案】23【解析】因为2=c a，0⋅=a b ，所以22⋅=⋅a c a b 2=，222||4||5||9=-⋅+=c a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c 22133⋅==⨯⋅a c a c ．11.已知向量(4,3),(1,2)a b =-=-，,a b的夹角为θ，则sin θ=__________.【答案】55【解析】依题意[]0,πθ∈，所以255cos ,sin 55||||a b a b θθ⋅===-== .故答案为.12.已知向量,a b 满足5,6,6==⋅=-a b a b ，则cos ,+=a a b （）A ．3531-B ．3519-C ．3517D ．3519【答案】D【思路导引】计算出()a ab ⋅+ 、a b + 的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b <+>的值．【解析】5a = ，6b = ，6a b ⋅=- ，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-= ．7a b +== ，因此()1919cos ,5735a ab a a b a a b ⋅+<+>===⨯⋅+ ．故选D ．题型五：平面向量数量积的计算【例1】（2021新高考2卷）已知向量0,||1,||||2,a b c a b c a b b c c a ++====⋅+⋅+⋅=_______．【答案】29-【解析】方法一：因为0=++c b a ，所以()02=++cb a ，即0222222=+++++c b c a b a c b a所以0222441=+++++c b c a b a ，所以9222-=++c b c a b a ，所以29-=++c b c a b a 方法二：因为0=++c b a ，所以c b a -=+，所以()()22c b a -=+，即2222cb a b a=++所以4241=++b a ，所以21-=b a ，同理b c a -=+，所以()()22b ca -=+，即2222b c a c a =++，所以4241=++c a ，所以21-=c a ，同理a c b -=+，所以()()22a c b -=+，即2222a c b c b =++，所以1244=++c b ，所以27-=⋅c b ，所以29-=++c b c a b a 【例2】在△ABC 中，6,AB O =为△ABC 的外心，则AO AB ⋅等于A B ．6C ．12D ．18【答案】D【解析】试题分析：如图，过点O 作OD AB ⊥于D ，则()36018AO AB AD DO AB AD AB DO AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯+=，应选D.【例3】已知边长为3的正2ABC BD DC = ，，则AB AD ⋅=（）A ．3B ．9C ．152D ．6【例4】已知ABC 为等边三角形，AB =2，设点P ，Q 满足AP AB λ=，(1)AQ AC λ=-，R λ∈，若2BQ CP ⋅=-，则λ=（）A ．12B ．12C ．12±D故选：A.【例5】在ABC 中，6A π=，||AB =||4AC =，3BD BC =，则AB AD ⋅=______．【答案】24-【分析】利用基底,AB AC 3AD AB BD AB BC =+=+ ,BC AC = 23AD AB AC ∴=-+ ,∴()232AB A AB AD AB AB C =⋅-+=-⋅ 【题型专练】1.如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC =，1AD = ，则AC AD ⋅=（）A ．B CD ．3-2.在ABC 中，3AB AC ==，DC BD 2=﹒若4AD BC ⋅=，则AB AC ⋅=______．3.ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，P 为线段BC 上任一点，则AP AC ⋅=（）A ．8B ．4C ．2D ．64.已知ABC 为等边三角形，D 为BC 的中点，3AB AD ⋅=，则BC =（）A BC ．2D ．45.如图，在ABC 中，3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足2AP mAC AB =+，若||3AC =，||4AB =，则AP CD ⋅的值为（）A ．-3B ．1312-C ．1312D ．1126．在平行四边形ABCD 中，AC ＝6，AB AD ⋅＝5，则BD ＝____________.【详解】AC AB BC AB AD =+=+ ，则2AC AB = 236226AD AB AD +=-⋅=，AD AB - ，则222BD AD AB AD =-⋅+ 7．已知在ABC 中，90C ∠=︒，4CA =，3CB =，D 为BC 的中点，2AE EB =，CE 交AD 于F ，则CE AD ⋅=_______【答案】73-##123-题型六：平面向量的模问题【例1】已知(1)t =，a ，(6)t =-，b ，则|2|+a b 的最小值为________．【答案】52【解析】：()()()40205362444462262,2222222+-=+-+++=-++=-+=+t t t t t t t t t t a对称轴2=t ，所以当2=t 时，524040202=+-=a 【例2】（2021新高考1卷）已知O 为坐标原点，点1(cos ,sin )P αα，2(cos ,sin )P ββ-，3(cos(),sin())P αβαβ++，(1,0)A ，则：A ．12||||OP OP = B ．12||||AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC 【解析】【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=- ，所以1||1OP == ，2||1OP == ，故12||||OP OP = ，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=- ，2(cos 1,sin )AP ββ=-- ，所以1||2|sin |2AP α===== ，同理2||2|sin |2AP β== ，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+ ，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯= ，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC【例3】已知向量a ，b 的夹角为60°，||2=a ，||1=b ，则|2|+a b =．【答案】324211244+⨯⨯⨯+====+3212==【例4】已知a 与b 均为单位向量，其中夹角为θ，有下列四个命题1p ：||1+>a b ⇔θ∈[0，23π）2p ：||1+>a b ⇔θ∈(23π，π]3p ：||1->a b ⇔θ∈[0，3π）4p ：||1->a b ⇔θ∈(3π，π]其中真命题是（A ）1p ，4p (B)1p ，3p (C)2p ，3p (D)3p ，4p 【答案】A【解析】由||1+>a b 得，221∙>a +2a b +b ，即∙a b ＞12-，即cos θ=||||∙a b a b ＞12-，∵θ∈[0，π]，∴θ∈[0，23π），由||1->a b 得，22-1∙>a 2a b +b ，即∙a b ＜12，即cos θ=||||∙a b a b ＜12，∵θ∈[0，π]，∴θ∈(3π，π]，故选A ．【例5】设a ，b 是两个非零向量A ．若||||||+=-a b a b ，则⊥a bB ．若⊥a b ，则||||||+=-a b a b C ．若||||||+=-a b a b ，则存在实数λ，使得λ=b a D ．若存在实数λ，使得λ=b a ，则||||||+=-a b a b 【答案】C【解析】对于A b b a a2222-=⇒+-=+⋅+⇒=θ，所以1cos -=θ，所以︒=180θ，所以A 错，B 错；C 对，D 有可能为︒0【题型专练】1．设向量(10)，a =，22()22=-b ，若t =+c a b (t ∈R)，则||c 的最小值为A B ．1C ．2D ．12【答案】C【解析】()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=t t t b t a c 22,22122,220,12222221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t 222122122121212222≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+++=t t t t t t 2.已知向量(1,2)a =- ，(21,1)b m =- ，且a b ⊥，则|2|a b -= （）A ．5B ．4C ．3D ．23.已知向量a ，b满足1a =，2b =，a b -=，则2a b +=（）A ．B ．C D4.已知[02π)αβ∈、，，(cos ,sin )a αα=r，(cos(),sin())b αβαβ=++，且23a b -=，则β可能为（）A ．π3B ．2π3C ．πD ．4π3【答案】BD【分析】根据向量模的运算列方程，化简求得cos β的值，进而求得正确答案.5.平面向量a 与b 的夹角为60︒，(3,4),||1==a b ，则|2|a b += _____________．6.已知向量,a b 满足||2,(2,2)a b == ，且|2|6a b += ，则||a b += __________．7.设,a b 为单位向量，且||1+=a b ，则||a b -=______________.【解析】因为,a b为单位向量，所以1a b ==r r所以1a b +==，解得：21a b ⋅=-所以a b -==8.设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵33-=+a b a b ，∴22(3)(3)-=+a b a b ，∴2269-⋅+=a ab b 2296+⋅+a a b b ，又||||1==a b ，∴0⋅=a b ，∴⊥a b ；反之也成立，故选C ．9.已知向量a ，b 夹角为045，且|a |=1，|2-a b |b |=．【答案】．【解析】∵|2-a b |=平方得224410-= a a b +b ，即260--=|b |b |，解得|b |=（舍）题型七：平面向量的投影问题【例1】已知向量(2,1),(1,1)a b =-= ，则a 在b上的投影向量的模为（）A B ．12C ．2D ．1【例2】已知6a =，3b =，向量a 在b 方向上投影向量是4e ，则a b ⋅ 为（）A ．12B ．8C ．-8D ．2【例3】已知平面向量a ，b ，满足2a =，1b =，a 与b 的夹角为23π，2b 在a 方向上的投影向量为（）A ．1-B ．12aC ．12a - D ．1【例4】已知平面向量a ，b 满足2=a ，()1,1b =，a b +=r r a 在b 上的投影向量的坐标为（）A ．22⎛ ⎝⎭B ．()1,1C ．()1,1--D ．⎛ ⎝⎭【例5】已知O 为正三角形ABC 的中心，则向量OA 在向量AB 上的投影向量为（）A ．ABB C ．12AB-D ．12AB故选：C【例6】设向量a 在向量b 上的投影向量为m ，则下列等式一定成立的是（）A ．||a b m bb ⋅=⋅ B ．2||a b m bb ⋅=⋅ C ．m b a b⋅=⋅ D ．ma b a⋅=⋅【题型专练】1．已知()1,2a = ，()1,2b =- ，则a 在b上的投影向量为（）A ．36,55⎛⎫- ⎪B ．36,55⎛⎫- ⎪C ．36,55⎛⎫-- ⎪D ．36,55⎛⎫ ⎪2．如图，在平面四边形ABCD 中，120ABC BCD ∠=∠= ，AB CD =，则向量CD 在向量AB 上的投影向量为（）A ．2AB -B ．12AB -C ．12AB D ．2AB 【答案】B【分析】根据图形求出向量AB 与CD的夹角，再根据投影向量的公式进行求解即可.【详解】延长AB ，DC 交于点E ，如图所示，3.已知向量()1,3a =，()2,4b =-，则下列结论正确的是（）A ．()a b a+⊥r r r B ．2a b +=C ．向量a 与向量b 的夹角为34πD ．b 在a的投影向量是()1,34.已知()3,1a =-，()1,2b =，下列结论正确的是（）A ．与b同向共线的单位向量是⎝⎭B ．a 与bC ．向量a在向量b 上的投影向量为12,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．15a b b⎛⎫-⊥ ⎪ 5.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（）A ．若1,,120a b a b ===︒，则()2a b a+⊥r r r B ．点()()1,1,3,2M N --，与向量MN同方向的单位向量为43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．若20a b a b a +=-=≠ ，则+r r a b 与a b - 的夹角为60°D ．若向量()()2,1,6,2a b =-= ，则向量b 在向量a 上的投影向量为2a-同方向的单位向量为6．己知空间向量||3,||2a b ==，且2a b ⋅=，则b 在a 上的投影向量为________．【答案】29a ##29a7.已知1a =，2b =，且()a ab ⊥+，则a 在b 上的投影向量为（）A ．b -B ．bC ．14b- D ．14b【答案】C 【详解】因为()a a b ⊥+ ，所以()0a a b ⋅+= ，即220,0a a b a a b +⋅=+⋅= ，又因为1a = ，设,a b 的夹角为θ，所以1a b ⋅=-，a 在b 上的投影为：cos b a b a θ⋅=⋅ ，所以a 在b 上的投影向量为214cos b a b b b ba b θ⋅⋅=⋅=⋅- .故选：C8.已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为ABC．D．【答案】A【解析】AB =（2，1），CD =（5，5），则向量AB 在向量CD方向上的射影为22325515255)5,5()1,2(cos 22=⨯+⨯=+⋅==CD AB AB θ9.若向量,a b满足22a a b =+= ，则a 在b 方向上投影的最大值是AB．CD．【答案】B【详解】由题意2,22a a b =+= ，所以2||4164b a b +⋅+=，设,a b 的夹角为θ，则2||8cos 120b b θ++= ，所以212cos 8b bθ+=- ，所以a 在b 方向上投影为2123cos 2()(48b b a bb θ+=⨯-=-+，因为3b b +≥cos a θ≤ ，故选B.题型八：万能建系法解决向量问题边长为a 的等边三角形已知夹角的任意三角形正方形矩形平行四边形直角梯形等腰梯形圆建系必备（1）三角函数知识cos ,sin x r y r q q ==；（2）向量三点共线知识(1)OC OB OAl l =+-（对面女孩看过来）．【例1】如图，在等腰梯形ABCD 中，2,3,4AB BC CD BC BE ==== ，则CA DE ⋅=（）A ．43B ．154-C ．558-D ．6516-3315,0,,0,1,D C A ⎛⎛⎫⎛⎫【例2】如图，正八边形ABCDEFGH 中，若AE AC AF λμ=+()R λμ∈，，则λμ+的值为________．正八边形的中心【详解】、HD BF 所在的直线分别为x y 、轴建立平面直角坐标系，正八边形的中心M 点，3608⎛∠=∠=∠=∠= ⎝AOB COB AOH EOD 18045135-= ，所以22.5∠= BAC ，13522.5112.5∠-∠=-= HAB CAB ，所以∠HAC y 轴，、AOM MOC 为等腰直角三角形，2，则2=====OD OF OE OA OC ，()0,2F ，2===OM MC ，所以()2,2--A ，(2,-C【点睛】本题主要考查了平面向量坐标法解决几何问题，建立坐标系是解题的关键，还考查了向量的加法运算，考查方程思想及转化思想，属于中档题．【题型专练】1.如图，在梯形ABCD 中，//AB DC ，10AB =，7BC =，2CD =，5AD =，则AC BD ⋅=___________.则5,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，532,2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，15,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，530,2D ⎛ ⎝953,22AC ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭ ，1553,22BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，AC BD ∴⋅ 故答案为：15-.2.已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+ ，则||PD = _________；PB PD ⋅=_________．【答案】(1).(2).1-【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+= ，则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =- ，因此，PD == ()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.题型九：平面向量中的最值范围问题【例1】如下图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，3BCD π∠=，CB CD ==M 为边BC 上的动点，则AM DM ⋅的最小值为（）A ．83B ．214C ．114-D ．133-【例2】ABC 是边长为4的等边三角形，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，且DE BC ⊥，则DA DE ⋅的最小值为（）AB ．C ．3D ．－3则(0,0),(2,23),(4,0)C A B【例3】四边形ABCD 中，4AB =，60A B ∠=∠=︒，150D ∠=︒，则DA DC ⋅的最小值为（）AB ．C ．3D ．－3∴90,60DCB E ∠=︒∠= ，设CE x =，则3,DC x DA =∴()423cos150DA DC x x ⋅=-⋅⋅ 所以当1x =时，DA DC ⋅的最小值为【例4】如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，2AD =，9BC =，5AB =，cos 5B =，若M ，N 是线段BC上的动点，且1MN = ，则DM DN ⋅的最小值为（）A ．134B ．132C ．634D ．352//AD BC ，32AD =，9BC =，5AB =(9,0)C ∴，∴3cos 5A xB AB ==，3,4A A x y ==9(3,4),(,4)2A D ∴，【例5】已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足2BE EC =，3AE BD ⋅=-，则AF BE⋅的最小值为（）A ．0B ．23C ．43D ．2【例6】已知向量a，b，c共面，且均为单位向量，0a b⋅=，则ab c++的最大值是（）A B C1D1【例7】骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆DABE △，BEC △，ECD 均是边长为4的等边三角形．设点P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AC BP ⋅的最小值为（）A ．12B ．24C ．36D ．18故选：A【例8】已知AB AC ⊥ ，1AB t = ，AC t = ，若点P 是ABC ∆所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+ ，则PB PC ⋅的最大值等于（）A ．13B ．15C ．19D ．21【答案】A【解析】以题意，以点A 为坐标原点，以AB 所在的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，所以点(1,4)P ，1(,0)B t，(0,)C t ，所以11(1,4)(1,4)(1)(1)4(4)PB PC t t t t ⋅=----=-⨯--⨯- =1174t t --17-≤=13（当且仅当14t t =，即12t =时取等号），所以PB PC ⋅ 的最大值为13．故选A ．【题型专练】1．已知梯形ABCD 中，3B π∠=，2AB =，4BC =，1AD =，点P ，Q 在线段BC 上移动，且1PQ =，则DP DQ ⋅的最小值为（）A ．1B ．112C ．132D ．1142．在ABC 中，902A AB AC ∠=== ，，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上运动，则AP MP ⋅的最小值为___________.【答案】78【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求出3.ABC 为等边三角形，且边长为2，则AB 与BC 的夹角大小为120，若1BD =，CE EA =，则AD BE ⋅的。
平面向量知识点总结、经典例题及解析、高考题50道及答案
）））））））第五章 平面向量【考纲说明】1、理解平面向量的概念和几何表示，理解两个向量相等及共线的含义，掌握向量的加、减、数乘运算及其几何意义，会用坐标表示。
2、了解平面向量的基本定理，掌握平面向量的坐标运算。
3、掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题。
【知识梳理】一、 向量的基本概念与线性运算 1 向量的概念：（1）向量：既有大小又有方向的量，记作AB ；向量的大小即向量的模（长度），记作|AB | 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．（2）零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行（3）单位向量：模为1个单位长度的向量常用e 表示．（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b平行向量也称为共线向量（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a= 大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x（6）相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作a-,零向量的相反向量仍是零向量若a 、b是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =2 向量的线性运算：（1）向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法 向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则” ．（2）向量的减法 ：求向量a 加上b 的相反向量的运算叫做a 与b的差．向量的减法有三角形法则，b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）（3）向量的数乘运算：求实数λ与向量a 的积的运算，记作λa．①a a⋅=λλ；②当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a的方向相反； 当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的③数乘向量满足交换律、结合律与分配律3. 两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =λ向量b 与非零向量a共线⇔有两个均不是零的实数λ、μ，使得0a b λμ+=．二、平面向量的基本定理与坐标表示 1 平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2. 平面向量的坐标表示：（1）在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底 由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，由于a 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a 的坐标，记作a =(x,y)，其中x 叫作a 在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标显然0=（0,0），(1,0)i =，(0,1)j =． （2）设OA xi y j =+.则向量OA 的坐标(x,y)就是终点A 的坐标，即若OA =(x,y)，则A 点的坐标为(x,y)，反之亦成立（O 是坐标原点）． 3 平面向量的坐标运算：（1）若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±±． （2）若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =--，1(AB x =（3）若a =(x,y)，则λa =(λx,λy)．（4）若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-=． （5）若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅． 三、平面向量的数量积 1 两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积叫做a 与b 的数量积（或内积），即a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ，规定00a ⋅=2 向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影 投影的绝对值称为射影 3 向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅==4 乘法公式成立：()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-； ()2222a b a a b b±=±⋅+222a a b b =±⋅+．5 平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a ⋅=⋅．②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈．③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅±； 特别注意：①结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅．②消去律不成立a b a c⋅=⋅不能得到b c =．③a b ⋅=0不能得到a =0或b =06 两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =1212x x y y + 7 向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角cos θ=cos ,a b a b a b⋅<>=⋅=当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题8 垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥ba ⊥b ⇔a ·b＝O ⇔2121=+y y x x【经典例题】【例1】（2010全国Ⅱ，8）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB a =，ECBA CA b =，1,2a b ==，则CD = （ ）（A ）1233a b + （B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355a b + 【答案】B ．【解析】由角平分线的性质得2AD DB =,即有22()()33AD CB CA a b =-=-．从而221()333CD CA AD b a b a b =+=+-=+．故选B ．【例2】（2009北京，2）已知向量a 、b 不共线，c k =a +b (k ∈R ),d =a -b ,如果c //d ， 那么 （ ） A ．1k =且c 与d 同向 B ．1k =且c 与d 反向 C ．1k =-且c 与d 同向 D ．1k =-且c 与d 反向 【答案】D ．【解析】取a ()1,0=，b ()0,1=，若1k =，则c =a +b ()1,1=，d =a -b ()1,1=-， 显然，a 与b 不平行，排除A 、B ．若1k =-，则c =-a +b ()1,1=-，d =-a +b ()1,1=--， 即c //d 且c 与d 反向，排除C ，故选D ．【例3】（2009湖南卷文）如图，D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( ) A ．0AD BE CF ++= B ．0BD CF DF -+=C ．0AD CE CF +-= D ．0BD BE FC --= 【答案】A ． 【解析】,,AD DB AD BE DB BE DE FC =∴+=+==得0AD BE CF ++=．或0AD BE CF AD DF CF AF CF ++=++=+=．【例4】（2009宁夏海南卷文）已知()()3,2,1,0a b =-=-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为( )A.17-B.17C.16-D.16【答案】A ．【解析】向量a b λ+＝（－3λ－1，2λ），2a b -＝（－1,2），因为两个向量垂直，故有（－3λ－1，2λ）×（－1,2）＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得：λ＝17-，故选A ． 【例5】（2009全国卷Ⅰ文）设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a , （ ）A ．150° B.120° C.60° D.30° 【答案】B ．【解析】由向量加法的平行四边形法则，知a 、b 可构成菱形的两条相邻边，且a 、b 为起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择B ．【例6】（2009安徽卷文）在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，或=+，其中，R ，则+= _________．【答案】43． 【解析】设BC b =、BA a =则12AF b a =- ,12AE b a =- ,AC b a =- 代入条件得2433u u λλ==∴+=． 【例7】（2009辽宁卷文）在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC,AD ∥BC,已知点A(－2，0)，B （6，8），C(8,6),则D 点的坐标为___________． 【答案】(0,－2)．【解析】平行四边形ABCD 中,OB OD OA OC +=+ ∴OD OA OC OB =+-＝(－2,0)＋(8,6)－(6,8)＝(0,－2) 即D 点坐标为(0,－2)．【例8】（2012江苏）如图,在矩形ABCD 中,22AB BC ==，，点E 为 BC 的中点，点F 在边CD 上,若2AB AF =,则AE BF 的值是___．【答案】2．【解析】由2AB AF =,得cos 2ABAF FAB ∠=,由矩形的性质,得cos =AF FAB DF ∠．∵2AB =，∴22DF ⋅=，∴1DF =∴21CF =-．记AE BF 和之间的夹角为,AEB FBC θαβ∠=∠=，，则θαβ=+． 又∵2BC =，点E 为BC 的中点，∴1BE =． ∴()()=cos =cos =cos cos sin sin AE BF AEBF AEBF AE BF θαβαβαβ+-()=cos cos sin sin =122212AE BF AE BF BE BC AB CF αβαβ--=⨯--=.本题也可建立以, AB AD 为坐标轴的直角坐标系,求出各点坐标后求解．【例9】(2009湖南卷理)在ABC ∆，已知2233AB AC AB AC BC ⋅=⋅=，求角A ，B ，C 的大小． 【答案】2,,663A B C πππ===． 【解析】解：设,,BC a AC b AB c ===由23AB AC AB AC ⋅=⋅得2cos 3bc A bc =，所以3cos 2A = 又(0,),A π∈因此6A π=由233AB AC BC ⋅=得23bc a =，于是23sin sin 3sin 4C B A ⋅=-所以53sin sin()64C C π⋅-=，133sin (cos sin )224C C C ⋅+=，因此 22sin cos 23sin 3,sin 23cos 20C C C C C ⋅+=-=，既sin(2)03C π-=由A=6π知506C π<<，所以3π-，4233C ππ-<，从而20,3C π-=或2,3C ππ-=，既,6C π=或2,3C π=故2,,,636A B C πππ===或2,,663A B C πππ===． 【课堂练习】一、选择题1.（2012辽宁理）已知两个非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |,则下面结论正确的是（ ）A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．{0,1,3}D ．a +b =a -b2. (2009年广东卷文)已知平面向量a =,1x （），b =2,x x （－），则向量+a b ( )A. 平行于x 轴B. 平行于第一、三象限的角平分线C. 平行于y 轴D. 平行于第二、四象限的角平分线3.（2012天津文）在ABC ∆中,90A ∠=︒,1AB =,AC=2,设点,P Q 满足,(1),AP AB AQ AC R λλλ==-∈.若2BQ CP ⋅=-,则λ=( )（ ）A ．13 B ．23C ．43D ．2 4.（2009浙江卷理）设向量a ，b 满足：||3=a ，||4=b ，0⋅=a b ．以a ，b ，-a b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ( )A ．3 B.4 C ．5D ．65.（2012重庆理）设,x y ∈R,向量()()()4,2,,1,1,-===c y b x a ,且c b c a //,⊥,则a b += （）A B C ．D ．106. （2009浙江卷文）已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c =（ ）A ．77(,)93B ．77(,)39--C ．77(,)39D ．77(,)93--7．（2012浙江理）设a ,b 是两个非零向量.（ ）A ．若|a +b |=|a |-|b |,则a ⊥bB ．若a ⊥b ,则|a +b |=|a |-|b |C ．若|a +b |=|a |-|b |,则存在实数λ,使得a =λbD ．若存在实数λ,使得a =λb ,则|a +b |=|a |-|b |8.（2009全国卷Ⅰ理）设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()a c b c -•-的最 小值为( )A.2- 2C.1-D.19.（2012天津理）已知△ABC 为等边三角形,=2AB ,设点P,Q 满足=AP AB λ,=(1)AQ AC λ-,R λ∈,若3=2BQ CP ⋅-,则=λ （ ）A ．12 B ．12± C ．12± D ．32-±10.（2009全国卷Ⅱ理）已知向量()2,1,10,||a a b a b =⋅=+=||b =( )A.B. C. 5 D. 2511.（2012大纲理）ABC ∆中,AB 边上的高为CD ,若,,0,||1,||2CB a CA b a b a b ==⋅===,则AD =（ ）A ．1133a b -B ．2233a b - C ．3355a b - D ．4455a b - 12.（2008湖南）设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD =2,CE EA =2,AF FB =则AD BE CF ++与BC( )A. 反向平行B. 同向平行C. 互相垂直D. 既不平行也不垂直13.（2008广东）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ）A ．1142+a b B ．2133+a b C ．1124+a bD ．1233+a b 14.（2007湖北）设(43)=，a ，a 在b 上的投影为522，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（ ）A ．(214)，B ．227⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．227⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．(28)，15.（2012安徽理）在平面直角坐标系中,(0,0),(6,8)O P ,将向量OP 按逆时针旋转34π后,得向量OQ 则点Q 的坐标是 （ ） A ．(72,2)-- B ．(72,2)- C ．(46,2)-- D ．(46,2)-二、填空题16.（2012浙江文）在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM=3,BC=10,则AB AC ⋅=________.17.（2009安徽卷理）给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动. 若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈,则x y + 的最大值是________.18.（2012上海文）在知形ABCD 中,边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足||||||||CD CN BC BM =,则AN AM ⋅的取值范围是_________ .19.（2012课标文）已知向量a ,b 夹角为045,且|a |=1,|2-a b |=10,则|b |=_______. 20.（2012湖南文）如图4,在平行四边形ABCD 中 ,AP ⊥BD,垂足为P,3AP =且APAC = _____.A DBCP21.（2012湖北文）已知向量(1,0),(1,1)a b ==,则(Ⅰ)与2a b +同向的单位向量的坐标表示为____________; (Ⅱ)向量3b a -与向量a 夹角的余弦值为____________.22.（2012北京文）已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB ⋅的值为________. 23.（2012安徽文）设向量(1,2),(1,1),(2,)a m b m c m ==+=,若()a c +⊥b ,则a =_____.24.（2012江苏）如图,在矩形ABCD 中,22AB BC ==，，点E 为BC 的中点,点F 在边CD上,若2AB AF =,则AE BF 的值是___.25.（2012安徽理）若平面向量,a b 满足:23a b -≤;则a b 的最小值是_____三、解答题26. (2009年广东卷文)（已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直，其中)2,0(πθ∈（1）求θsin 和θcos 的值（2）若ϕϕθcos 53)cos(5=-，<<ϕ02π,求ϕcos 的值 27.（2009上海卷文）已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =， (sin ,sin )n B A =，(2,2)p b a =-- .（1） 若m //n ，求证：ΔABC 为等腰三角形； （2） 若m ⊥p ，边长c = 2，角C =3π，求ΔABC 的面积 . 28. 已知A 、B 、C 分别为ABC △的三边a 、b 、c 所对的角，向量)sin ,(sin B A m =，)cos ,(cos A B n =，且C n m 2sin =⋅.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若A sin ，C sin ，B sin 成等差数列，且18)(=-⋅AC AB CA ，求边c 的长.【课后作业】一、选择题1.（2009辽宁卷理）平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b = 则2a b +=( )A.B. C. 4 D. 22.（2009宁夏海南卷理）已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PC PA •=•=•，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的( )A. 重心 外心 垂心B. 重心 外心 内心C. 外心 重心 垂心D. 外心 重心 内心3.（2008安徽）在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =，(1,3)AC =,则BD =（ ）A ． （－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4）4.（2008浙江）已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足0)()(=-⋅-c b c a ,则c 的最大值是( )A. 1B. 2C.2 D.225.（2007海南、宁夏）已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b（ ） A ．(21)--， B ．(21)-，C ．(10)-，D ．(12)，6.（2007湖南）设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条直线，则必有（ ）A ．⊥a bB ．∥a bC ．||||=a bD ．||||≠a b7. （2007天津）设两个向量22(2cos )λλα=+-，a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中mλα，，为实数．若2=a b ，则mλ的取值范围是 （ ） A ．[-6，1]B ．[48]，C ．（-6，1]D ．[-1，6]8. 在ABC BC AB ABC ∆︒︒=︒︒=∆则已知向量中),27cos 2,63cos 2(),72cos ,18(cos ,的面积等于（ ） A ．22 B ．42 C ．23 D ．29. 已知平面向量(3,1),(,3),//,a b x a b x ==-则等于 （ ）A ．9B ．1C ．－1D ．－910. 已知a 、b 是不共线的AB a b λ=+AC a b μ=+(,)R λμ∈，则A 、B 、C 三点共线的充要条件是：（ ）A ．1λμ+=B ．1λμ-=C ．1λμ=-D ．1λμ=二、填空题11. 设向量2,3,19,AB AC AB AC CAB ==+=∠=则_________.12. 若向量,2,2,()a b a b a b a ==-⊥ 满足，则向量b a 与的夹角等于 .13. 已知平面上的向量PA 、PB 满足224PA PB +=,2AB =，设向量2PC PA PB =+，则PC 的最小值是 .14.（2008江苏）a ，b 的夹角为120︒，1a =，3b = 则5a b -= ． 15. （2007安徽）在四面体O ABC -中，OA OB OC D ===，，，a b c 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE = （用，，a b c 表示）．16.（2007北京）已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是 .17. 已知向量(cos15,sin15)a =，(sin15,cos15)b =--，则a b |+|的值为 .18.（2007广东）若向量a 、b 满足b a b a 与,1==的夹角为120°，则b a b a ··+＝ .三、解答题19.（2009湖南卷文）已知向量(sin ,cos 2sin ),(1,2).a b θθθ=-=（1）若//a b ，求tan θ的值；（2）若||||,0,a b θπ=<<求θ的值。
高中平面向量知识点详细归纳总结(附带练习)
向量的概念一、高考要求：理解有向线段及向量的有关概念,掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则,掌握向量加法的交换律和结合律.二、知识要点：1. 有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A 为始点,B 为终点的有向线段记作AB ,注意:始点一定要写在前面,已知AB ,线段AB 的长度叫做有向线段AB 的长(或模),AB 的长度记作AB ||.有向线段包含三个要素:始点、方向和长度.2. 向量:具有大小和方向的量叫做向量,只有大小和方向的向量叫做自由向量.在本章中说到向量,如不特别说明,指的都是自由向量.一个向量可用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.用有向线段AB 表示向量时,我们就说向量AB .另外,在印刷时常用黑体小写字母a 、b 、c 、…等表示向量;手写时可写作带箭头的小写字母a 、b 、c 、…等.与向量有关的概念有:(1) 相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.向量a 和b 同向且等长,即a 和b 相等,记作a =b .(2) 零向量:长度等于零的向量叫做零向量,记作0.零向量的方向不确定.(3) 位置向量:任给一定点O 和向量a ,过点O 作有向线段OA a =,则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定,这时向量a 又常叫做点A 相对于点O 的位置向量.(4) 相反向量:与向量a 等长且方向相反的向量叫做向量a 的相反向量,记作a -.显然,()0a a +-=.(5) 单位向量:长度等于1的向量,叫做单位向量,记作e .与向量a 同方向的单位向量通常记作0a ,容易看出:0a a a =│ │. (6) 共线向量(平行向量):如果表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,即这些向量的方向相同或相反,则称这些向量为共线向量(或平行向量).向量a 平行于向量b ,记作a ∥b .零向量与任一个向量共线(平行).三、典型例题：例:在四边形ABCD 中,如果AB DC =且AB BC =│ │ │ │ ,那么四边形ABCD 是哪种四边形? 四、归纳小结：1. 用位置向量可确定一点相对于另一点的位置,这是用向量研究几何的依据.2. 共线向量(平行向量)可能有下列情况: (1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)方向相同,模相等(即相等向量);(4)方向相同,模不等;(5)方向相反,模相等;(6)方向相反,模不等.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 下列命题中: (1)向量只含有大小和方向两个要素. (2)只有大小和方向而无特定的位置的向量叫自由向量. (3)同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. (4)点A 相对于点B 的位置向量是BA . 正确的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个2. 设O 是正△ABC 的中心,则向量,,AO OB OC 是( )A.有相同起点的向量B.平行向量C.模相等的向量D.相等向量3. a b =的充要条件是( )A.a b =│ │ │ │ B.a b =│ │ │ │ 且a b ∥ []l C.a b ∥ D.a b =│ │ │ │ 且a 与b 同向 4. AA BB ''=是四边形ABB A ''是平行四边形的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件5. 依据下列条件,能判断四边形ABCD 是菱形的是( )A.AD BC =B.AD BC ∥且AB CD ∥C.AB DC =且AB AD =│ │ │ │ D.AB DC =且AD BC = 6. 下列关于零向量的说法中,错误的是( )A.零向量没有方向B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向任意7. 设与已知向量a 等长且方向相反的向量为b ,则它们的和向量a b +等于( )A.0B.0C.2aD.2b（二）填空题：8. 下列说法中: (1)AB 与BA 的长度相等 (2)长度不等且方向相反的两个向量不一定共线 (3)两个有共同起点且相等的向量,终点必相同(4)长度相等的两个向量必共线。
平面向量(附例题,习题及答案)
向量的线性运算一．教学目标1.理解向量的概念；2.掌握向量的线性运算；3。
理解向量线性运算的几何意义、向量共线的含义、平行向量基本定理；4。
理解平面向量基本定理,掌握平面向量的正交分解及其坐标表示、平面向量的坐标运算；5。
理解用坐标表示平面向量的共线条件。
二．知识清单1。
向量基本概念（1）向量的定义：既有又有称为向量；（2）向量的大小(或称模）：有向线段的表示向量的大小；（3）零向量与单位向量：叫做零向量，叫做单位向量; （4)共线向量与相等向量：叫做共线向量（或平行向量），叫做相等向量。
2。
向量的线性运算（1）向量的加法a。
向量加法的三角形法则、平行四边形法则和多边形法则.b.向量加法满足的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
(2）向量的减法a。
定义:a—b=a+（—b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.一个向量等于终点位置向量减始点位置向量，即AB=OB-OA.b。
三角形法则：“共始点,连终点，指向被减"。
（3）数乘向量a.定义：一般地，实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa。
b.数乘向量满足的运算律：（λ+μ）a=λ（μa）=λ（a+b)=3。
向量共线的条件与轴上向量坐标运算(1）向量共线的条件平行向量基本定理:如果，则；反之，如果，且 ,则一定存在，使。
（2）轴上向量的坐标运算4. 向量的分解与向量的坐标运算（1）平面向量基本定理如果是一平面内的的向量,那么该平面内的任一向量a，存在，使。
（2）平面向量的正交分解定义: 把一个向量分解为，叫做把向量正交分解。
（3）向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个_______作为基底。
对于平面内的任一个向量，由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y使得____________,这样，平面内的任一向量a都可由 __________唯一确定,我们把有序数对________叫做向量的坐标,记作___________此式叫做向量的坐标表示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.（4）向量的坐标运算向量坐标的加减与数乘若a=（a1，a2)，b=（b1，b2），则a+b=(a1+b1,a2+b2）,a-b=（a1-b1，a2—b2）,λa=(λa1，λa2).（5)用平面向量坐标表示向量共线条件两个向量a, b平行的条件：a=λb，b≠0。
平面向量常用方法归纳
平面向量常用方法归纳1、基底法 在处理平面向量问题时，有一类是所求的向量模长和夹角是在变化的，我们利用平面向量的基本定理，选取一组不共线的且模长和夹角知道的非零向量作为基底，把所求向量都用所选基底表示来处理问题.【例1.1】在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则__________． 【答案】16- 【解析】方法一：基底法 ()()()1625092-=-+=⋅++⋅+=+⋅+=⋅MC MB MC MB AM AM MC AM MB AM AC AB 方法二：极化恒等式法161004194122-=⋅-=-=⋅BC AM AC AB 【例1.2】已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，．若，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】方法一：基底法AB AC ⋅=ABCD 120BAD ,E F ,BC DC BE BC DF DC 1AE AF 23CE CF 122356712()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=-⋅-=+⋅+⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=⋅32111321DC BC DC AD BC AB CF CE AF AE μλμλ，()()⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-++-∴3111242μλλμλμμλ令μλ+=x ，λμ=y ，则原式可化为：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+-3111242x y y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==6165y x ，65=+∴μλ.方法二：解析法建立如图所示直角坐标系，则：()0,2B ，()3,1C ，()3,1-D ，又 BC BE λ=，DC DF μ=，易得()λλ3,2-E ，()3,12-μF()1224=--+=⋅∴λμμλAF AE ，()32222-=--+=⋅λμμλCF CE ，下同方法一. 65=+∴μλ【练习1.1】已知直角梯形中，//,,,是腰上的动点，则的最小值为____________.【答案】5 【提示】本题仍然推荐基底法和坐标法，可令DC DP λ=，当43=λ时取得最小值5.【练习1.2】如图，△ABC 是边长为32的等边三角形，P 是以C 为圆心，半径为1的圆上的任意一点，则BP AP ⋅的取值范围是 .【答案】[]13,1 【提示】本题可以使用基底法和极化恒等式两种方法处理，当然也可以使用解析法处理..2、平方法在向量中，遇到和模长有关的问题，很多时候都可以考虑把相关式子两边同时平方来处理，并且要灵活运用：向量的平方等于它模长的平方这个规律，即22||a a =.【例2.1】设,a b 是两个非零向量，( )A ．若||||||a b a b +=-，则a b ⊥B ．若a b ⊥，则||||||a b a b +=-C ．若||||||a b a b +=-，则存在实数λ，使得b a λ=D ．若存在实数λ，使得b a λ=，则||||||a b a b +=-【答案】CABCD AD BC 090ADC ∠=2,1AD BC ==P DC 3PA PB +C AB P【解析】方法一：平方法 对式子||||||b a b a -=+进行两边平方处理， 易得：1,cos -=b a ，即向量a 与b 反向，而“存在实数λ，使得b a λ=”表示向量a 与b 共线，故选项C 正确.方法二：三角不等式由三角不等式||||||||b a b a +≤-等号成立的条件是向量a 与b 反向，下同方法一.【例2.2】11. 如图，在△ABC 中，3BAC π∠=，D 为AB 的中点，P 为CD 上一点，且满足AP t AC =13AB +，若△ABC 的面积为332，则||AP 的最小值为 【答案】2【解析】由AP t AC =13AB +，点D 为AB 的中点，易得： AD AC t AP 32+=，又P D C 、、 三点共线，31=∴t ， AB AC AP 3131+=∴， 则A AC AB AB AC AB AC AP cos ||||2313131||222++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=，又233sin ||||21==∆A AC AB S ABC ，∴6||||=AC AB ，2||=≥=∴AP ， 当且仅当6||||==AC AB 时取等号.【练习2.1】设12,e e 为单位向量，非零向量12,,b xe ye x y R =+∈.若12,e e 的夹角为6π，则||||x b 的最大值等于__________．【答案】2【提示】平方法转化成二次函数最值问题，数形结合也可处理.【练习2.2】设为两个非零向量,a b 的夹角，已知对任意实数，||b ta +的最小值为1（ ）A.若确定，则||a |唯一确定B.若确定，则||b 唯一确定C.若||a 确定，则唯一确定D.若||b 确定，则唯一确定【答案】B【提示】平方法转化成一次二此不等式恒成立问题，或使用数形结合方法处理.3、投影法 平面向量数量积（点乘）：||||cos ,a b a b a b ⋅=<>θt θθθθ③b 在a 上的投影是||cos ,.b a b <>④投影有正有负，正负代表投影的位置.【例3.1】如图，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB 是在正方形的一条边，是小正方形的其余各个顶点，则的不同值的个数为（ ）A. 7B. 5C. 3D. 1【答案】C【解析】i AP 在向量AB 上的投影有三种情况，分别是52 AP AP 、的投影是0，1AP ，3AP ，6AP 的投影是1，4AP ，7AP的投影是2， 所以共有三个不同的结果，故选C.【例3.2】如图，在等腰直角ABO ∆中，1,OA OB C ==为AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，设,,OA a OB b OP p ===，则()p b a -等于( ) A ．12- B. 12 C ．32- D. 32【答案】A【提示】投影法(1,2,,7)i P i =(1,2,,7)i AB AP i ⋅=()2||41||||41AB AB AB AB OP a b p -=⋅-=⋅=-⋅， 又ABO ∆ 是等腰直角三角形，且1==OB OA ，2||=∴AB ，∴()21||412-=-=-⋅AB a b p .【练习3.1】已知，是平面单位向量，且．若平面向量满足，则 ． 【答案】332 【提示】方法一：投影法由题意知1||||21==e e ，又121=⋅=⋅e b e b ，由向量数量积的几何意义，可知b 在1e 与2e 上的投影均为1，又2121=⋅e e ，3,21π=e e ， 则向量b 如图所示，由几何关系易得332||=b 方法二：坐标法1e 2e 1212e e ⋅=b 121b e b e ⋅=⋅=b =建立如图所示的直角坐标系，设()y x b ,= 易得：()0,11=e ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23,212e ，121=⋅=⋅b e b e ，可得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=12321y x x ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==331y x ， 332||=∴b 方法三：数形结合121=⋅=⋅b e b e ，01cos ||||cos ||||2211>==∴θθe b e b ，21θθ=∴，又2121=⋅e e ，3,21π=e e ， 621πθθ==∴或65π（舍） 代回已知11=⋅e b ，易得332||=b 【练习3.2】在ABC 中，5BC =，G ，O 分别为ABC 的重心和外心，且5OG BC ⋅=，则ABC 的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．上述三种情况都有可能【答案】B【提示】方法一利用重心和外心的性质，利用投影的思想来处理5=⋅BC OG 这个条件，方法二利用基底代换，把条件5=⋅BC OG 转化为余弦定理形式来判断C ∠为钝角.4、坐标法 几何问题代数化是数学中比较重要的一个思想方法，在平面向量中，这个思想在处理很多问题时比较“直接无脑”。
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平面向量 应试技巧总结一．向量有关概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
如：已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB u u u r 按向量a r ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r共线的单位向量是||AB AB ±u u u r u u u r)； 4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0r)； ④三点A B C 、、共线⇔ AB AC u u u r u u u r、共线； 6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是－a 。
如下列命题：（1）若a b =r r，则a b =r r 。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若AB DC =u u u r u u u r ，则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =u u u r u u u r 。
（5）若,a b b c ==r r r r ，则a c =r r 。
（6）若//,//a b b c r r r r ，则//a c r r 。
其中正确的是_______（答：（4）（5））二．向量的表示方法：1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=r r r，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量的坐标表示。
如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
三．平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。
如（1）若(1,1),a b ==r r (1,1),(1,2)c -=-r ，则c =r______（答：1322a b -r r ）；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A. 12(0,0),(1,2)e e ==-u r u u rB. 12(1,2),(5,7)e e =-=u r u u rC. 12(3,5),(6,10)e e ==u r u u rD. 1213(2,3),(,)24e e =-=-u r u u r（答：B ）；（3）已知,AD BE u u u r u u u r 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==u u u r r u u u r r ,则BC uuu r可用向量,a br r 表示为_____（答：2433a b +rr ）；（4）已知ABC ∆中，点D 在BC 边上，且−→−−→−=DB CD 2，−→−−→−−→−+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___（答：0）四．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：()()1,2a a λλ=r r当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反，当λ＝0时，0a λ=r r，注意：λa ≠0。
五．平面向量的数量积：1．两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作,OA a OB b ==u u u r r u u u r r，AOB θ∠=()0θπ≤≤称为向量a ，b 的夹角，当θ＝0时，a ，b 同向，当θ＝π时，a ，b 反向，当θ＝2π时，a ，b 垂直。
2．平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θr r叫做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：a •b ，即a •b ＝cos a b θr r 。
规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。
如（1）△ABC 中，3||=−→−AB ，4||=−→−AC ，5||=−→−BC ，则=⋅_________（答：－9）；（2）已知11(1,),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=-r r r r r u r r r ，c r 与d u r 的夹角为4π，则k 等于____（答：1）；（3）已知2,5,3a b a b ===-rrr rg ，则a b +r r等于____）；（4）已知,a b r r是两个非零向量，且a b a b ==-r r r r ，则与a a b +r r r 的夹角为____（答：30o ）3．b 在a 上的投影为||cos b θr，它是一个实数，但不一定大于0。
如已知3||=→a ，5||=→b ，且12=⋅→→b a ，则向量→a 在向量→b 上的投影为______（答：512） 4．a •b 的几何意义：数量积a •b 等于a 的模||a r与b 在a 上的投影的积。
5．向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则：①0a b a b ⊥⇔•=r r r r；②当a ，b 同向时，a •b ＝a b r r ，特别地，22,a a a a a =•==r r r r r ；当a 与b 反向时，a •b ＝－a b r r；当θ为锐角时，a •b ＞0，且 a b r r 、不同向，0a b ⋅>r r 是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a •b ＜0，且 a b r r 、不反向，0a b ⋅<r r是θ为钝角的必要非充分条件； ③非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：cos a ba bθ•=r rr r ；④||||||a b a b •≤r r r r 。
如（1）已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______（答：43λ<-或0λ>且13λ≠）；（2）已知OFQ ∆的面积为S ，且1=⋅−→−−→−FQ OF ，若2321<<S ，则−→−−→−FQ OF ,夹角θ的取值范围是_________（答：(,)43ππ）；（3）已知(cos ,sin ),(cos ,sin ),a x x b y y ==r ra r 与b r 之间有关系式,0ka b kb k +=->r r r其中，①用k 表示a b ⋅r r ；②求a b ⋅r r 的最小值，并求此时a r 与b r的夹角θ的大小（答：①21(0)4k a b k k +⋅=>r r ；②最小值为12，60θ=o ）六．向量的运算：1．几何运算：①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设,AB a BC b ==u u u r r u u u r r ，那么向量AC uuu r 叫做a r 与br的和，即a b AB BC AC +=+=r r u u u r u u u r u u u r ；②向量的减法：用“三角形法则”：设,,AB a AC b a b AB AC CA ==-=-=u u u r r u u u r r r r u u u r u u u r u u u r那么，由减向量的终点指向被减向量的终点。
注意：此处减向量与被减向量的起点相同。
如（1）化简：①AB BC CD ++=u u u r u u u r u u u r ___；②AB AD DC --=u u u r u u u r u u u r____；③()()AB CD AC BD ---=u u u r u u u r u u u r u u u r _____（答：①AD u u u r ；②CB u u u r ；③0r）；（2）若正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，则||a b c ++r r r＝_____（答：）；（3）若O 是ABC V 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABC V 的形状为____（答：直角三角形）；（4）若D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++=u u u r u u u r u u u r r，设||||AP PD λ=u u u r u u u r ，则λ的值为___ （答：2）；（5）若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++=u u u r u u u r u u u r r，则ABC △的内角C 为____（答：120o ）；2．坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==r r，则： ①向量的加减法运算：12(a b x x ±=±r r，12)y y ±。
如（1）已知点(2,3),(5,4)A B ，(7,10)C ，若()AP AB AC R λλ=+∈u u u r u u u r u u u r，则当λ＝____时，点P 在第一、三象限的角平分线上（答：12）；（2）已知1(2,3),(1,4),(sin ,cos )2A B AB x y =u u u r 且，,(,)22x y ππ∈-，则x y +=（答：6π或2π-）； （3）已知作用在点(1,1)A 的三个力123(3,4),(2,5),(3,1)F F F ==-=u u r u u r u u r ，则合力123F F F F =++u r u u r u u r u u r的终点坐标是（答：（9,1））②实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==r。