《数字信号处理》综合练习题,附答案

《数字信号处理》综合练习题
1、线性系统对信号的处理是符合 的。

2、因果系统的时域充要条件是 。

3、因果、稳定系统的系统函数H(z)的收敛域可表示为 。

4、序列x(n)的傅立叶变换是x(n)在Z 平面 上的Z 变换。

5、Z 变换在单位圆上的值表示 。

6、有限长序列x(n)的离散傅立叶变换X(k)就是x(n)在Z 平面单位圆上 的 抽样点上的Z 变换。

7、DFT 与DFS 有密切关系，因为有限长序列可以看成周期序列的主值区间 ，而周期序列可以看成有限长序列的 。

8、频域N 点采样造成时域的周期延拓，其周期是 。

9、IIR 系统的单位脉冲响应 。

10、级联型数字滤波器的H(z)是各子系统)(z H i 的 。

11、实际工作中，抽样频率总是选得小于两倍模拟信号的最高频率。

（ ）
12、因果系统一定是稳定系统。

（ ）
13、只要因果序列x(n)有收敛的Z 变换形式，则其“序列傅氏变换”就一定存在。

（ ）
14、右边序列一定是因果序列。

（ ）
15、当输入序列不同时，线性时不变系统的单位脉冲响应也不同。

（ ）
16、离散时间系统的滤波器特性可以由其幅频特性直接看出。

（ ）
17、某系统只要满足T[kx(n)]=ky(n)，即可判断系统为线性系统。

（ ）
18、差分方程的求解方法有递推法、时域经典法、卷积法和变换域法，其中递推法的求解依赖于初始条件和给定输入。

（ ）
19、确定一个线性时不变系统，在时域可由差分方程加初始条件，在Z 域可由系统函数加收敛域。

（ ）
20、因果稳定系统的系统函数的极点均在单位圆内。

（ ）
21、请写出线性系统的定义及判定公式。

22、请写出S 平面和Z 平面的对应关系。

23、写出序列)10)((-≤≤N n n x 的离散时间傅氏变换)(ωj e
X 、离散傅氏变换X(k)和Z 变换X(z)的定义式。

24、设计数字滤波器的一般步骤。

25、设某线性时不变系统的单位脉冲响应序列)1(5.0)(-=n u n h n ，求其系统函数、差分方程和频响，
26、研究一个输入为)(n x 和输出为)(n y 的时域线性离散移不变系统，已知它满足)()1()(3
10)1(n x n y n y n y =++--，并已知系统是稳定的。

试求其单位抽样响应。

27、已知某有限长序列)()1()(4n R n n x +=，求该序列的离散傅里叶变换)(k X 。

28、用双线性变换法设计一个三阶巴特沃兹数字低通滤波器，采样频率为kHz f s 2.1=，截
止频率为Hz f c 400=。

答案
1、叠加原理
2、h(n)=0 , n < 0
3、R - <|z|≤∞, R -<1
4、等距离
5、单位圆
6、等距离
7、周期延拓
8、N 9、无限长 10、乘积
11、× 12、× 13、× 14、× 15、×
16、√ 17、× 18、√ 19、√ 20、√
21、答：线性系统是指系统对信号的处理是符合叠加原理的。

(1分)
判定条件：若系统输入序列分别为)(1n x 和)(2n x 时，输出序列分别为)(1n y 和)(2n y
即：)]([)()]
([)(2211n x T n y n x T n y ==，那么当系统输入为)()(21n bx n ax +时，(2分)
有：)()()]()([2121n by n ay n bx n ax T +=+成立，则该系统为线性系统。

(2分)
22、答：S 平面的虚轴对应于Z 平面的单位圆；(1分)
S 平面的左半平面对应于Z 平面的单位圆内的区域；(2分)
S 平面的右半平面对应于Z 平面的单位圆外的区域。

(2分)
23、答：∑-=-=10
)()(N n n j j e
n x e X ωω (1分) ∑-==10)()(N n nk N W n x k X 10-≤≤N k (2分) ∑-=-=10)()(N n n z
n x z X (2分)
24、答：（1）按照实际需要确定滤波器的性能指标。

(1分)
（2）设法寻找一个因果稳定的系统函数H(z)，使其频响满足这个性能指标。

(2分)
（3）用适当的结构去实现上步得到的转移函数H(z)，即得到符合要求数字滤波器。

(2分)
25、解：
（1）解：求系统函数H(z)：
∵)1(5
.05.0)1(5.0)(1-⨯=-=-n u n u n h n n
∴根据Z 变换的移序性质有： 1
1
5.015.0)(---⨯=z z z H 求差分方程：∵H(z)=Y(z)/X(z)
∴11
5.015.0)(/)(---=z
z z X z Y )(5.0)5.01)((1
1z X z z z Y --=- )(5.0)(5.0)(11z Y z z X z z Y --+=
对以上方程两边同时取Z 反变换
y(n)=0.5x(n-1)+0.5y(n-1)
求频响：
ωω
ωωj j j j e
e e z z H e H ---===5.015.0/)()( )()(ωφωj j e e H = 根据Z 变换的移序性质有： )1()31()(3
1111
1-=↔----n u n h z z n (4分) （2）)3()2()1()()()(4-+-+-+==n n n n n R n x δδδδ
)]3()2()1()([)1()31()()()(1-+-+-+*-=*=-n n n n n u n h n x n y n δδδδ )4()3
1()3()31()2()31()1()31(4321-+-+-+-=----n u n u n u n u n n n n (4分) (3) H(z)的ROC 为：|z|＞3
1，包含单位圆，该系统是稳定的。

(2分)
26、解：
对给定的差分方程两边取Z 变换，得
)()()(310)(1z X z zY z Y z Y z =+-
- 则
⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-==-31)3(3101)
()()(1z z z z z z X z Y z H 可求得极点为
31=z ， 3
12=z 为了使系统稳定，收敛区域必须包括单位圆，故取1/3＜|z |＜3，利用已知的结果有： )]()1([1)(211
2n u a n u a a a n h n n +---=
， 31=a ， 3/12=a 即可求得：
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=)(31)1(383)(n u n u n h n n
27、解：∑-=-=102)()(N n nk N j e
n x k X π；k=0, 1, 2, 3；N=4，得：(2分)
∑∑-=--===+++==10421
0)()1(10
4321)()0(N n nk j N n e
n x X n x X π (2分)
j
j j e
e e e j j j j 224)1(3)(21432342242142042+-=+-+-+=+++=⋅-⋅-⋅-⋅-ππππ (2分) 3.2422.2421.2420.242432)2(ππππj j j j e e e e X ----+++= (2分)
2)1(43)2(1-=-++-+=
3.3422.3421.3420.342432)3(ππππj j j j e e e e X ----+++= (2分) =j j j 22)4()3(21--=-+-++
28、解：（1）ππππω3
2120014002122=⨯⨯=⨯==s c c c f f T f (2分) （2）预畸：323222T tg T tg T c c ===Ω
πω‘ (2分) （3）将c 'Ω代入三阶巴特沃兹模拟低通传递函数
13223223211221
)(2233'2'3'+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+Ω+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω=s T s T s T s s s s H c c c a (2分)
（4）双线性变换
1)1(312)1(312)1(311)()(1121131111211+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-==------+-⋅=--z z z z z z s H z H z z T s a 3
21321)357()373()373()357()
331(33----------++++++=z z z z z z 3213
2166.1124.9124.1566.15196.5588.15588.15196.5------++++++=z z z z z z。