线性代数第4章

, n),
, pn 是Ａ的ｎ个线性无关的特征向量。
若Ａ有ｎ个线性无关的特征向量 p1 , p2 , 对应的特征值为 1 , 2 ,
, pn
, n， 即 , n),
Api i pi ( i 1,2,
令 P ( p1 p2
pn ), 则P 可逆，且 Apn ) (1 p1 2 p2
（2）线性性：
（3）正定性： T 0, 当且仅当 0 时 T 0. T T a1 a2 an , a a a ,
T T k k
T T
T


1
2
3

2 2 T a12 a2 a3
注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有
a1 a2
T
b1 b 2 an . bn
1 2 3 4 T 1 2 3 4 T 10 T 30 T 30
T
２、性质 （1）对称性： T T
下面证明 k1 k2 ks 0 T v 对于任意的i, i k1v1 k2v2 k s v s 0 即 ki viT vi 0
由于 v1 , v2 , , v s 是正交向量组,不包含0向量.因此 viT vi 0, 所以ki 0. 由i的任意性可得, k1 k2 ks 0. 即正交向量组是线性无关的.
定义4.2 设A为n阶矩阵,含有未知量λ的矩阵λI-A 称为A的特征矩阵,其行列式 称为A的特征方程. 求n阶矩阵的特征值和特征向量的步骤: 1. 由矩阵A的特征方程 I A 0 求出A的特征值 1 , 2 , s ( s n 2k )
I A
为λ 的n次多项式,称为A的特征多项式, I A 0
对Ａ进行运算P 1 AP , 称为对Ａ进行相似变换， 可逆矩阵Ｐ称为把Ａ变成Ｂ的相似变换矩阵．
定理4.4 (1)相似矩阵有相同的特征值. (2) 相似矩阵有相同的秩
(3) 相似矩阵的行列式相同.
(4) 相似矩阵同时可逆或者同时不可逆. 注(1)任何一个n阶矩阵都有相似矩阵; (2)我们赶兴趣的是一个n阶矩阵是否能够相似于一 个对角矩阵? (3)若不是任何一个矩阵都能相似于一个对角矩阵,矩 阵相似于对角矩阵需要什么条件?或者说什么样的
定义4.3 设Ａ,Ｂ都是n阶矩阵,若存在n阶可逆矩阵P,
使得 P 1 AP B, 则称Ｂ是Ａ的相似矩阵，或者说矩阵
记作： Ａ∽Ｂ ． Ａ与Ｂ相似．
3 1 4 0 1 1 例如：A , B , P 5 1 0 2 1 5 5 1 6 6 1 则 P 1 1 ，且P 1 AP B 6 6
定义4.8 若向量组中的向量两两正交，且均为非零 向量，则这个向量组称为正交向量组，简称正交组. 由单位向量组成的正交组称为标准正交组.
定理4.8 正交向量组是线性无关的.
证明: 若向量组 v1 , v2 ,
, v s 是正交向量组,则对于任意
不同的i , j , 有viT v j 0。若 k1v1 k2v2 ksv s 0
3.写出对角矩阵和相似变换矩阵。
特征值和特征向量的对应.
1. 求出n阶矩阵A的所有特征值 2. 求出矩阵A对应于所有特征值的特征向量 3.写出对角矩阵和相似变换矩阵。
3 1 A 5 1 1. I A 0 1 4, 2 2 T 的一个基础解系为 2. 1 I A x 0 v1 1 1
k k ;
（3）三角不等式： ;
（4）柯西－施瓦兹（Cauchy－Schwarz）不等式:

T
2

2
,
2
当且仅当α 与β 的线性相关时，等号成立. 1 0 是α 的单位向量. 注 ①当 0 时，

②由非零向量α 得到单位向量
例3. 求矩阵的特征值和特征向量 1 1 0 A 4 3 0 1 0 2
练习. 求矩阵的特征值和特征向量 3 2 A 2 3 例3. 求矩阵的特征值和特征向量 1 1 0 A 4 3 0 1 0 2 (1) I A 0 1 2, 2 3 1 T (2) 1 I A x 0 的一个基础解系为 v1 0 0 1 则矩阵对应于1 的特征向量为 k1v1 k1 0 .
r 1T r r 1 T r 1 r 1
则 1 , 2 ,
, r 两两正交，且与 1 , 2 ,
, r
, r 等价.
1
2）标准化 1 1 1 , 2 2 , 令 1
1
2
r
A p1 p2
pn p1 p2
1 2 pn
n
Ap1
Ap2
Apn 1 p1 2 p2
n pn
于是有 Api i pi ( i 1,2,
因为Ｐ可逆，故
, n),
pi 0( i 1,2
且 p1 , p2 , 充分性：
2 I A x 0
的一个基础解系为v2 1 -5
T
4 1 1 且 1 P AP . 3. P , 2 1 5
一、内积的定义与性质
定义4.5
a1 b1 a b 2 2 , , 称实数 设ｎ维实向量 a n bn a1b1 a2b2 anbn 为向量α 与β 的内积，记作 T 来自3 1 A 5 1
1 1 1 1 B C 1 1 0 1
例2. 求矩阵的特征值和特征向量
6 0 4 A 3 5 0 3 6 1
练习. 求矩阵的特征值和特征向量 3 2 A 2 3
二、特征值和特征向量的性质
定理4.1 n阶矩阵A与它的转置有相同的特征值.
I A I A
T
I AT
定理4.2 n阶矩阵A=(aij),若
(1)
或者 (2)
a
j 1 n
i 1
n
ij
1,
ij
i 1,2,
j 1,2,
, n
, n
a
1,
AP ( Ap1 Ap2
n pn )
( p1 p2
1 pn )
2
P, n
所以 P 1 AP , 即Ａ与对角矩阵Λ相似．
定理的证明告诉我们，如果ｎ阶矩阵Ａ与对角矩
阵Λ相似，则Λ的主对角线上的元素就是Ａ的全部 特征值．相似矩阵P的列是对应于Λ对角线上 元素的特征向量。
矩阵能相似于对角矩阵.
(二) n阶矩阵与对角矩阵相似的条件 定理4.5 ｎ阶矩阵Ａ与n阶对角矩阵，
1 2
n
相似的充要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量。
必要性：
设存在Ｐ可逆， 使得 P 1 AP AP P
若 P p1 p2 pn , 可得
故 pi 的取法不是唯一的，因此Ｐ也是不唯一的．
n阶矩阵A对角化的步骤：
1. 求出n阶矩阵A的所有特征值 若A的特征值的个数小于n（重根按重数计算），
则A不与对角矩阵相似。
2. 求出矩阵A对应于所有特征值的特征向量 若A有一个t重特征值，对应的特征向量在线性 无关的意义下小于t，则A不与对角矩阵相似。
推论 若ｎ阶矩阵A有n个两两不同的特征值，则
Ａ必与对角矩阵Λ相似
推论 若ｎ阶矩阵Ａ有n个特征值,则可相似对
角化<==>Ａ的任ti重特征值有对应ti个线性无 关的特征向量． 注意 （1）Ｐ中的列向量 p1 , p2 , , pn 的排列顺序要与 1 , 2 , , n 的顺序一致． （2）因 pi 是 ( A E ) x 0的基础解系中的解向量，
1 2 １、若λ ＝２为可逆阵Ａ的特征值，则 A 3 的一个特征值为（ ）
1
２、证ｎ阶方阵Ａ的满足 A2 A，则Ａ的特征值为 ０或１． ３、三阶方阵Ａ的三个特征值为１、２、０，则
2 I 3 A2 （
）
４、求下列方阵的特征值与特征向量 3 1 1 2 1 1 B 7 5 1 A 0 2 0 6 6 2 4 1 3
(2) 2 I A x 0 的一个基础解系为 v2 1 2 1 则矩阵对应于 1 的特征向量为 k2v2 k2 0 . 2 3
T
练习. 求矩阵B 的特征值和特征向量
1 2 0 B 2 1 0 3 2 1
0
1
称为把α 单位化或标准化.

的过程
二、正交向量组 T a1 a2 a3 , b1 b2
T
与 垂直 a1 a2 a3 b1 b2 b3 0
b3 ,
T
定义4.7 若 T 0， 则称α 与β 正交. 注
①若 0 ，则α 与任何向量都正交. ② 0.
施密特（Schmidt）正交化法 设 1 , 2 ,
, r 是线性无关的,把它们化为标准正交
向量组的过程称为标准正交化.这里我们讨论施密 特（Schmidt）正交化法.包括正交化和标准化两 个过程.
1）正交化 令 1 1
2 2 2 1 1
T 1 T 1
1T r 2T r r r T 1 T 2 1 1 2 2
有一个成立,则矩阵A的所有特征值的模小于1.即
1
定理4.3 互异特征值对应的特征向量线性无关。
若v1 , v2 , v3 是A 对应于特征值 的线性无关的特征向量 . 1 若v4 , v5是A 对应于特征值 的线性无关的特征向量 . 1
则 v1 , v2 , v3 , v4 , v5 是线性无关的.
2. 对于矩阵A的不同的特征值 i ,求出 i I A x 0的
一个基础解系vi1 , v i2 ,
为矩阵A对应特征值i 的特征向量.
ki1 vi1 ki2 vi2
, v it , 则 kit vit ki 1 , ki2 ,..., kit 不全是0


例1. 求矩阵的特征值和特征向量
2 T a12 a2
2 an
定义4.6 对于n维列向量α ,其长度为
T a12 a22
向量长度也叫向量的模或范数.
an 2
特别地,长度为１的向量称为单位向量.
向量长度的性质 （1）正定性： （2）齐次性：
0; 且 0 0；
一、特征值与特征向量的概念 定义4.1 Ａ为ｎ阶方阵，λ 为数， x 为ｎ维非零向量， 若 （１） Ax x 则λ 称为Ａ的特征值， x 称为Ａ的特征向量．
注 ① ② ③ 特征向量 x 0 ，特征值问题只针对方阵；
, x 并不一定唯一；
ｎ阶方阵Ａ的特征值，就是使齐次线性方程组 I A x 0 有非零解的λ值，即满足 I A 0 的λ 都是方阵Ａ的特征值．