【精品课件】机器人动力学
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教学课件：第八讲-机器人动力学-牛顿-欧拉方程
教学课件：第八讲-机器人动力学牛顿-欧拉方程
目录
• 引言 • 牛顿-欧拉方程的原理 • 牛顿-欧拉方程的应用 • 机器人动力学仿真 • 牛顿-欧拉方程的扩展与展望
01 引言
主题简介
01
机器人动力学是研究机器人在运 动过程中力与运动关系的学科。
02
牛顿-欧拉方程是描述机器人关节 运动的数学模型，用于分析机器 人的动态行为。
动态特性分析
动态控制策略
根据动力学模型，设计合适的控制算 法和策略，实现机器人的稳定、快速 和准确的运动控制。
分析机器人在动态环境中的响应特性， 包括稳定性、动态精度和跟踪性能等。
机器人的控制策略
轨迹规划
根据任务需求，规划机器 人的运动轨迹，包括路径 规划、速度规划和加速度 规划等。
控制器设计
基于动力学模型和控制算 法，设计合适的控制器， 实现机器人对给定轨迹的 精确跟踪。
05
总结词：功能模块
06
详细描述：列举仿真软件的功能模块，例如建模模块、求 解器模块、后处理模块等，并简要介绍每个模块的作用。
仿真模型的建立
总结词：建模步骤 总结词：模型精度 总结词：模型验证
详细描述：介绍建立机器人动力学仿真的步骤，包括建 立机器人模型、设置约束和力矩、定义初始状态等。
详细描述：说明建模过程中需要考虑的因素，如模型的 精度、简化程度等，以及如何权衡这些因素。
机器人动力学模型
总结词
描述机器人运动过程中力和运动的数 学模型。
详细描述
机器人动力学模型基于牛顿-欧拉方程， 通过建立力和运动的数学关系，可以 预测机器人的运动轨迹和姿态。该模 型对于机器人的控制和优化设计至关 重要。
03 牛顿-欧拉方程的应用
目录
• 引言 • 牛顿-欧拉方程的原理 • 牛顿-欧拉方程的应用 • 机器人动力学仿真 • 牛顿-欧拉方程的扩展与展望
01 引言
主题简介
01
机器人动力学是研究机器人在运 动过程中力与运动关系的学科。
02
牛顿-欧拉方程是描述机器人关节 运动的数学模型，用于分析机器 人的动态行为。
动态特性分析
动态控制策略
根据动力学模型，设计合适的控制算 法和策略，实现机器人的稳定、快速 和准确的运动控制。
分析机器人在动态环境中的响应特性， 包括稳定性、动态精度和跟踪性能等。
机器人的控制策略
轨迹规划
根据任务需求，规划机器 人的运动轨迹，包括路径 规划、速度规划和加速度 规划等。
控制器设计
基于动力学模型和控制算 法，设计合适的控制器， 实现机器人对给定轨迹的 精确跟踪。
05
总结词：功能模块
06
详细描述：列举仿真软件的功能模块，例如建模模块、求 解器模块、后处理模块等，并简要介绍每个模块的作用。
仿真模型的建立
总结词：建模步骤 总结词：模型精度 总结词：模型验证
详细描述：介绍建立机器人动力学仿真的步骤，包括建 立机器人模型、设置约束和力矩、定义初始状态等。
详细描述：说明建模过程中需要考虑的因素，如模型的 精度、简化程度等，以及如何权衡这些因素。
机器人动力学模型
总结词
描述机器人运动过程中力和运动的数 学模型。
详细描述
机器人动力学模型基于牛顿-欧拉方程， 通过建立力和运动的数学关系，可以 预测机器人的运动轨迹和姿态。该模 型对于机器人的控制和优化设计至关 重要。
03 牛顿-欧拉方程的应用
第四章__机器人动力学ppt课件
pdii1npzii1opzji1apzk
pi 0i0j0k
§ 4.2 机械手动力学方程
n
Dij Tra(TcpepjIppiTpT) pmai,xj
n
mp piTkppjpdi•pdjprp(pdipjpdjpj)
pmai,xj
其中 kp
kkp2p2xxxy
kp2xz
kp2xy k2
pyy
力矩T1和T2的动力学表达式的一般形式和矩阵表达式为： T 1 D 1 1 1 D 1 2 D 1 1 1 2 1 D 1 2 2 2 2 D 1 1 1 2 2 D 1 2 2 1 1 D 1 （4.1-8) T 2 D 2 1 1 D 2 2 D 2 1 1 2 1 D 2 2 2 2 2 D 2 1 1 2 2 D 2 2 2 1 1 D 2 （4.1-9)
n
D i i m pp i 2 T x k p 2 x p i 2 x T y k p 2 y p i 2 y T z k p 2 zp d z i • p d i 2 p r p • ( p d i p i)
p m i ,jax
如果为旋转关节
n
D i i m p n 2 p T k p 2 x o x 2 p T k x p 2 y a y 2 p T k y p 2 z z p p • z p p 2 p r p • ( p p • n p ) i ( p p • o p ) j ( p p • a p ) k
惯量项和重力项在机器人的控制中特别重要，它们影响到系统的稳定性 和定位精度。向心力和哥氏力仅当机器人高速运动时才有意义。
§ 4.2 机械手动力学方程
4.2.2 动力学方程的简化
1 惯量项Dij的简化
工业机器人课件第四章 机器人动力学
（4.2-2) Dii I ai I ai 为传动装置的等效转动惯量
Dij Dijk
p maxi , j
n
I ai
Trace(
Tp q j
Ip
TpT qi Ip
) TpT qi
（4.n T T p T
n
Trace(
2Tp q j qk rp
把相应的偏导和导数代入拉格朗日方程，可求得力矩T1和T2的动力学表达式 d L L T1 dt 1 1 (m d 2 m d d cos ) [(m m )d 2 m d 2 2m d d cos ]
1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2
（4.1-9)
（4.1-10)
将在关节i上产生 D 的惯性力； Dii—关节i的有效惯量：关节i的加速度 i ii i 将在关节j和i上分别产 和 Dij—关节i和j的耦合惯量：关节i和j的加速度 j i 生一个等于 Diji 和 Dij j 的惯性力；
2 D22 m2 d 2
耦合惯量 向心加速度 系数
2 D12 m2 d2 m2 d1d2 cos2
D111 0 D122 m2 d1d 2 sin 2 D211 m2 d1d 2 sin 2 D222 0
哥氏加速度 系数
重力项
D112 D121 m2 d1d 2 sin 2 D212 D221 0
) （4.2-4)
（4.2-5)
Di m p g
p i
p
qi
惯量项和重力项在机器人的控制中特别重要，它们影响到系统的稳定 性和定位精度。向心力和哥氏力仅当机器人高速运动时才有意义。
机器人动力学ppt课件
24
25
ci
Ai i1iT
s i c i 1
si
s
0
i
1
si c i c i 1 ci si1
0
0
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0
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s
i
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1
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33
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35
36
两个例子
平面二连杆 RV-M1：假定各连杆是规则的矩形刚体
第5章 机械手臂动力学
引言 拉格朗日方程简单回顾 多自由度机器人的动力学方程 关节空间和操作空间的动力学 需要说明的几个问题
1
第1节 引言
为什么要学习机器人的动力学？
根据关节驱动力或力矩，计算操作臂末端执行器的位移、速度、加 速度—动力学正问题，与仿真有关。
计算每个关节所需要的驱动力矩：根据末端执行器的位移、速度、 加速度，求出关节力矩或力—动力学逆问题，与控制有关。
考察不同惯量负载对机器人的影响(与实际工作有关） 研究机器人不同部件之间的关系，合理设计机器人部件。
建立机器人动力学方程的方法有很多：拉格朗日方法（Ｌ ａｇｒａｎｇｅ）、牛顿－欧拉方法、凯恩方法等。
这里所使用的方法：拉格朗日法。其他方法参考分析力学 或多体动力学
2
第2节 拉格朗日力学方法的回顾
39
操作空间动力学方程
F V (q)x u(q, q) p(q) V (q)是操作空间的惯性矩阵； u(q, q)是离心力和哥氏力矢量， 其中，关节速度的平方项是离心力， 两关节速度的乘积项是哥氏力； p(q)是重力矢量。
40
操作力矩方程 J T (q)F J T (q)[V (q)x u(q, q) p(q)] J T (q)是力雅可比矩阵； V (q)是操作空间的惯性矩阵； u(q, q)是离心力和哥氏力矢量， 其中，关节速度的平方项是离心力， 两关节速度的乘积项是哥氏力； p(q)是重力矢量。
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两个例子
平面二连杆 RV-M1：假定各连杆是规则的矩形刚体
第5章 机械手臂动力学
引言 拉格朗日方程简单回顾 多自由度机器人的动力学方程 关节空间和操作空间的动力学 需要说明的几个问题
1
第1节 引言
为什么要学习机器人的动力学？
根据关节驱动力或力矩，计算操作臂末端执行器的位移、速度、加 速度—动力学正问题，与仿真有关。
计算每个关节所需要的驱动力矩：根据末端执行器的位移、速度、 加速度，求出关节力矩或力—动力学逆问题，与控制有关。
考察不同惯量负载对机器人的影响(与实际工作有关） 研究机器人不同部件之间的关系，合理设计机器人部件。
建立机器人动力学方程的方法有很多：拉格朗日方法（Ｌ ａｇｒａｎｇｅ）、牛顿－欧拉方法、凯恩方法等。
这里所使用的方法：拉格朗日法。其他方法参考分析力学 或多体动力学
2
第2节 拉格朗日力学方法的回顾
39
操作空间动力学方程
F V (q)x u(q, q) p(q) V (q)是操作空间的惯性矩阵； u(q, q)是离心力和哥氏力矢量， 其中，关节速度的平方项是离心力， 两关节速度的乘积项是哥氏力； p(q)是重力矢量。
40
操作力矩方程 J T (q)F J T (q)[V (q)x u(q, q) p(q)] J T (q)是力雅可比矩阵； V (q)是操作空间的惯性矩阵； u(q, q)是离心力和哥氏力矢量， 其中，关节速度的平方项是离心力， 两关节速度的乘积项是哥氏力； p(q)是重力矢量。
《机器人动力学》课件
机器人动力学有助于优化机器人的设 计和性能，提高机器人的运动性能和 作业能力。
安全性和稳定性
通过机器人动力学的研究，可以预测 机器人在不同环境和操作条件下的行 为，从而避免潜在的危险和保证机器 人的安全稳定运行。
机器人动力学的发展历程
初始阶段
早期的机器人动力学研究主要关注于简单的机械臂模型，采用经典力学理论进行分析。
刚体动力学是研究刚体在力作用下的运动规律的科学。刚体动力学建模
是研究刚体运动过程中力和运动状态之间的关系。
02
牛顿-欧拉法
牛顿-欧拉法是一种基于牛顿运动定律和欧拉方程的刚体动力学建模方
法。通过这种方法，可以建立刚体的运动方程，描述刚体的运动状态。
03
拉格朗日法
拉格朗日法是一种基于拉格朗日方程的刚体动力学建模方法。这种方法
《机器人动力学》ppt 课件
目录
Contents
• 机器人动力学概述 • 机器人动力学的基本原理 • 机器人动力学建模 • 机器人控制中的动力学应用 • 机器人动力学研究的挑战与展望 • 机器人动力学实验与案例分析
01 机器人动力学概述
定义与特点
定义
机器人动力学是研究机器人运动过程中力和运动状态之间关系的学科。它主要关注机器人在操作物体 、环境交互以及自身运动过程中产生的力和扭矩，以及这些力和扭矩如何影响机器人的运动状态。
在实际应用中的表现。
06 机器人动力学实验与案例分析
实验一：刚体动力学实验
总结词
理解刚体动力学基本原理
详细描述
通过实验一，学生将学习刚体动力学 的基本原理，包括刚体的运动学和动 力学特性。实验将通过演示刚体在不 同条件下的运动，帮助学生理解刚体 动力学的概念和应用。
机器人动力学ppt
5.2.3机器人静力关系式的推导
可用虚功原理证明。
以图所示的二自由度机械手为研究对象，要产生图 所示的虚位移，推导出图b所示各力之间的关系。
证明: 假设
X [X1,....,X m ]T , Rm1 手爪的虚位移 [1,....,n ]T , Rn1 关节的虚位移
奇异位形：由于雅可比矩阵J(q)是关节变量q的函数, 总会存在一些位形,在这些位形处,|J(q)|=0,即J(q)为奇 异矩阵,这些位形就叫奇异位形。
一般，奇异位形有两种类型：
工作域边界上的奇异：这种奇异位形出现在机器人 的机械手于工作区的边界上时，也就是在机器人手 臂全部展开或全部折回时出现。这种奇异位形并不 是特别严重，只要机器人末端执行器远离工作区边 界即可。
若令J1，J2 分别为上例中雅可比矩阵的第一列矢量和第二 列矢量，即
x [J1
J
2
]12
由上式可知，J11和J 22分别是由1和2 产生的手部速度的分量。 而J1是在 2 0时，也就是第二个关节固定时，仅在第一个关节 转动的情况下，手部平移速度在基础坐标系上表示出的向量。 同样，J2是第一关节固定时，仅在第二关节转动的情况下，手部 平移速度在基础坐标系上表示出的向量。
，可写成：X X (q) ，并且是一个6维列矢量。
dX [dX, dY, dZ, x , y , z ]T
反映了操作空间的微小运动，由机器人末端微小线位移和微小
角位移(微小转动)组成。可写为 dX J (q)dq
式中： J (q是) 6×n的偏导数矩阵，称为n自由度机器人速度雅可
0 20 0 0 0 0
J
0
1 0 0 1 0
第六章 机器人动力学PPT
• 如同运动学，动力学也有两个相反问题 （1）正问题 （2）逆问题
2020/6/15
4
动力学的两个相反问题
• 动力学正问题：已知机械手各关节的作用力或力矩， 求各关节的位移、速度和加速度（即运动轨迹），主 要用于机器人仿真。
• 动力学逆问题：已知机械手的运动轨迹，即几个关节 的位移、速度和加速度，求各关节所需要的驱动力或 力矩，用于机器人实时控制。
第六章 机器人动力学
2020/6/15
1
本章主要内容
（1）机器人动力学研究概述； （2）拉格朗日动力学方法； （3） r操作机的动力学分析； （4）二连杆机构的动力学分析； （5）倒立摆系统的动力学分析； （6）机器人动力学方程一般形式； （7）考虑非刚体效应的动力学方程。
2020/6/15
6.1 机器人动力学研究概述
n
T Ti i 1
n
V Vi i 1
n
D Di i 1
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8
6.2.3 拉格朗日函数方法
对于具有外力作用的非保守机械系统，其拉格朗日动力学函
数L可定义为
L T V
式中 T——系统总的动能； V——系统总的势能
若操作机的执行元件控制某个转动变量θ时，则执行元件的总
力矩 应为
Jc (Jc)
式中 Jc ω τ
物体转动惯量 物体角速度 力矩
2020/6/15
6
6.2 拉格朗日动力学方法
6.2.1 用于保守系统的拉格朗日方程
在《分析力学》一书中Lagrange是用s个独立变量来描述力学 体系的运动，这是一组二阶微分方程。通常把这一方程叫做
Lagrange 方程，其基本形式为
• 求解动力学方程的目的，通常是为了得到机器人的运 动方程，即一旦给定输入的力或力矩，就确定了系统 地运动结果。
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4
动力学的两个相反问题
• 动力学正问题：已知机械手各关节的作用力或力矩， 求各关节的位移、速度和加速度（即运动轨迹），主 要用于机器人仿真。
• 动力学逆问题：已知机械手的运动轨迹，即几个关节 的位移、速度和加速度，求各关节所需要的驱动力或 力矩，用于机器人实时控制。
第六章 机器人动力学
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1
本章主要内容
（1）机器人动力学研究概述； （2）拉格朗日动力学方法； （3） r操作机的动力学分析； （4）二连杆机构的动力学分析； （5）倒立摆系统的动力学分析； （6）机器人动力学方程一般形式； （7）考虑非刚体效应的动力学方程。
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6.1 机器人动力学研究概述
n
T Ti i 1
n
V Vi i 1
n
D Di i 1
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8
6.2.3 拉格朗日函数方法
对于具有外力作用的非保守机械系统，其拉格朗日动力学函
数L可定义为
L T V
式中 T——系统总的动能； V——系统总的势能
若操作机的执行元件控制某个转动变量θ时，则执行元件的总
力矩 应为
Jc (Jc)
式中 Jc ω τ
物体转动惯量 物体角速度 力矩
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6
6.2 拉格朗日动力学方法
6.2.1 用于保守系统的拉格朗日方程
在《分析力学》一书中Lagrange是用s个独立变量来描述力学 体系的运动，这是一组二阶微分方程。通常把这一方程叫做
Lagrange 方程，其基本形式为
• 求解动力学方程的目的，通常是为了得到机器人的运 动方程，即一旦给定输入的力或力矩，就确定了系统 地运动结果。
第五章机器人动力学ppt课件
Eki
1 2
mi
T
ci
ci
1 2
i Ti i
Iiii
…1
Ek1
1 2
m1l1212
1 2
I
2
yy1 1
Ek 2
1 2
m2
(d
2 2
21
d
2 2
)
1 2
I
yy
2
21
总动能为：
Ek
1 2
(m1l12
I yy1
I yy2
m2d22 )12
1 2
m2
d
2 2
(3)系统势能 因为：
g [0 g 0]T
H (q, q) J T (q)U x (q, q) J T (q) 9q)ar (q, q)
G(q) J T (q)Gx (q)
3．关节力矩—操作运动方程 机器人动力学最终是研究其关节输入力矩与其输出的
操作运动之间的关系．由式(4)和(5)，得(6) ：
F M x (q)x U x (q, q) Gx (q) ……4
E p q
g(m1l1 m2d2 )c1
gm2 s1
(5)拉格朗日动力学方程 将偏导数代入拉格朗日方
程，得到平面RP机器人的动 力学方程的封闭形式：
d Ek Ek Ep
dt q q q
拉格朗日方程
1
2
(m1l12
I yy1
I yy2
m2
d
2 2
)1
2m2d21d2
m2d2 m2d212 m2 gs1
q)
1 2
qT
D(q)q
式中，D(q是) nxn阶的机器人惯性矩阵
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机器人动力学
1 引言 2 机器人静力分析 3 机器人的动力学方程 4 机器人的动力学仿真分析
4.1引言
➢
机器人运动学只限于对机器人相对于参考坐标系的位姿和
运动问题的讨论，未涉及引起这些运动的力和力矩，及其与机
器人运动的关系
➢
机器人是一个复杂的动力学系统，在关节驱动力矩 (驱动
力的作用下产生运动变化，或与外载荷取得静力平衡
4.3 机器人动力学方程
对 x求导得速度分量：
x 2 d 1 co 1 )s 1 (d 2co 1 s2 )(( 1 2 ) y 2 d 1 si1 n )1( d 2 si1 n 2 ()( 1 2 ) v 2 2 x 2 2y 2 2 d 1 2 1 2 d 2 2 (1 2 2 1 2 2 2 ) 2 d 1 d 2co 2 )s ( 1 2 ( 1 2 )
➢
机器人控制系统是多变量的、非线性的自动控制系统，也
是动力学耦合系统，每一个控制任务本身就是一个动力学任务
。机器人动力学主要研究机器人运动和受力之间的关系，目的
是对机器人进行控制、优化设计和仿真
➢
动力学方程：是指作用于机器人各机构的力或力矩与其位
置、速度、加速度关系的方程式;机器人的动态性能不仅与运动
设有操作机如图所示，每个关节都作用有关节力矩
义驱动力，指向 z i 的正向)，在末端执行器的参考点 P
i
e
(广 处
将产生力 F e 和力矩 M e 。由于 F e 、M e 是操作机作用于外
界对象的力和力矩，为了和输入关节力矩 故应取负值。
i
一起进行运算，
4.2 机器人静力分析
利用虚功原理建立静力平衡方程，令
学因素有关，还与机器人的结构形式、质量分布、执行机构的
位置、传动装置等对动力学产生重要影响的因素有关
4.1引言
• 动力学的正逆问题： 正问题是已知机器人各关节的作用力或力 矩，求机器人各关节的位移、速度和加速度（即运动轨迹） ， 主要用于机器人的仿真； 逆问题是已知机器人各关节的位移、 速度和加速度，求解所需要的关节作用力或力矩，是实时控制 的需要
Fii
i
Ri1
Mii
ri
i
Ri1
0 Fii 1 1 Rii1Mii1
若以 i 0 表示不计重力的关节力或力矩值，对 于转动关节则有 ：
n
i i0 ki (ri,Cj Gj) ji
式中 r i ,C j ——是自 O i 到杆 L j 的质心 C j 的向径。
4.2 机器人静力分析
4.2.2 操作机的静力平衡
以下分别计算方程中各项：
一、动能和势能
K 1 mv2 pmgh
对质点 m ：1
2
1
动能： 势能：
k 11 2m 1 v 11 2m 1(d 11)21 2m 1 d 1 21 2 p 1 m 1gd 1co s(1)
❖（负号与坐标系建立有关）
1
对质点m 2 ： 先写出直角坐标表达式：
x2d 1sin 1) (d2sin 1 (2) y2 d 1co 1s ) (d2co 1s(2)
• 求解动力学方程的目的，通常是为了得到机器人的运动方程， 即一旦给定作为输入的力或力矩，就确定了系统的运动结果
• 机器人动力学的研究有牛顿-欧拉 (Newton Euler) 法、拉格朗 日法(Langrange Langrange)法、高斯(Gauss) 法、凯恩(Kane) 法及罗伯逊-魏登堡(Roberon-Wittenburg) 等法
4.2 机器人静力分析
4.2.1杆件之间的静力传递
在操作机中，任取两连杆 L i ，L i 1。设在杆 L i 1 上的 O i 1
点作用有力矩 M i1和力 F i 1 ；在杆 L i 上作用有自重力G i
〔过质心 的向径。
C i ）；r i
和 rC i
分别为由
F i1
O i 到 O i1 和 C i
为0，即 TqQTp0
4.2 机器人静力分析
由机器人运动微分关系可知， p Jq ，则有
JTQTq0
因为 q i 是独立坐标，则 q 0 ，所以有
JTQ
式中 J ——是速度分析时引出的雅可比矩阵，其元素为
相应的偏速度。
上式是针对操作机的关节力和执行器参考点P e 间所产生 的力和力矩之间的关系式。
1,,i,,nT
Q F e x ,F e y ,F e z,M e x ,M e y ,M e z T
q q 1 ,, q i,, q nT
p x e ,y e ,z e , x , y , z T
于是，操作机的总虚功是：
WTqQTp
根据虚功原理，若系统处于平衡，则总虚功(虚功之和)
❖ 系统的动能和势能可在任何坐标系（极坐标系、圆柱坐标系 等）中表示 ，不是一定在直角坐标系中。
动力学方程为：
i
d dt
L qi
L qi
广义力 广义速度 广义坐标
（力或力矩）（ 或 v） （ 或 d）
4.3 机器人动力学方程
举例：设二杆机器人臂杆长度分别为 m1,m2，质量分别集中在端 点为 d1,d2 ，坐标系选取如图。
式中 Gi0 mi g
( m i 为杆L i 的质量)。
求出 F i 和 M i 在 z i 轴上的分量，就得到了关节力和扭矩，
它们就是在忽略摩擦之后，驱动器为使操作机保持静力平衡所应提供
的关节力或关节力矩，记作 i
，其大小为
i
k Fi kM i
4.2 机器人静力分析
当忽略杆件自重时 G i ，上式可简记为 ：
该式表明关节空间和直角坐标空间广义力可以借助于雅可比矩阵 J
进行变换。这种变换关系，也可推广到任两杆间固联直角坐标系中的 广义力变幻，这时应将关节空间与直角坐标空间的雅可比矩阵，换作 直角坐标空间的雅可比矩阵。
4.3 机器人动力学方程
刚体系统拉Leabharlann 朗日方程应用质点系的拉格朗日方程来处理杆系的问题。 定义：L=K-P L—Lagrange函数；K—系统动能之和；P—系统势能之和。
M i1
4.2 机器人静力分析
按 静 力 学 方 法 ， 把 这 些 力 、 力 矩 简 化 到L i
可得：
F i F i1G i
固联坐标系
oi xi yi zi
或
M i M i1riFi1rC iG i
F ii R ii 1F ii 1 1R 0 iG i0
M ii R ii 1M ii 1 1riiR ii 1F ii 1 1rC iiR 0 iG i0
1 引言 2 机器人静力分析 3 机器人的动力学方程 4 机器人的动力学仿真分析
4.1引言
➢
机器人运动学只限于对机器人相对于参考坐标系的位姿和
运动问题的讨论，未涉及引起这些运动的力和力矩，及其与机
器人运动的关系
➢
机器人是一个复杂的动力学系统，在关节驱动力矩 (驱动
力的作用下产生运动变化，或与外载荷取得静力平衡
4.3 机器人动力学方程
对 x求导得速度分量：
x 2 d 1 co 1 )s 1 (d 2co 1 s2 )(( 1 2 ) y 2 d 1 si1 n )1( d 2 si1 n 2 ()( 1 2 ) v 2 2 x 2 2y 2 2 d 1 2 1 2 d 2 2 (1 2 2 1 2 2 2 ) 2 d 1 d 2co 2 )s ( 1 2 ( 1 2 )
➢
机器人控制系统是多变量的、非线性的自动控制系统，也
是动力学耦合系统，每一个控制任务本身就是一个动力学任务
。机器人动力学主要研究机器人运动和受力之间的关系，目的
是对机器人进行控制、优化设计和仿真
➢
动力学方程：是指作用于机器人各机构的力或力矩与其位
置、速度、加速度关系的方程式;机器人的动态性能不仅与运动
设有操作机如图所示，每个关节都作用有关节力矩
义驱动力，指向 z i 的正向)，在末端执行器的参考点 P
i
e
(广 处
将产生力 F e 和力矩 M e 。由于 F e 、M e 是操作机作用于外
界对象的力和力矩，为了和输入关节力矩 故应取负值。
i
一起进行运算，
4.2 机器人静力分析
利用虚功原理建立静力平衡方程，令
学因素有关，还与机器人的结构形式、质量分布、执行机构的
位置、传动装置等对动力学产生重要影响的因素有关
4.1引言
• 动力学的正逆问题： 正问题是已知机器人各关节的作用力或力 矩，求机器人各关节的位移、速度和加速度（即运动轨迹） ， 主要用于机器人的仿真； 逆问题是已知机器人各关节的位移、 速度和加速度，求解所需要的关节作用力或力矩，是实时控制 的需要
Fii
i
Ri1
Mii
ri
i
Ri1
0 Fii 1 1 Rii1Mii1
若以 i 0 表示不计重力的关节力或力矩值，对 于转动关节则有 ：
n
i i0 ki (ri,Cj Gj) ji
式中 r i ,C j ——是自 O i 到杆 L j 的质心 C j 的向径。
4.2 机器人静力分析
4.2.2 操作机的静力平衡
以下分别计算方程中各项：
一、动能和势能
K 1 mv2 pmgh
对质点 m ：1
2
1
动能： 势能：
k 11 2m 1 v 11 2m 1(d 11)21 2m 1 d 1 21 2 p 1 m 1gd 1co s(1)
❖（负号与坐标系建立有关）
1
对质点m 2 ： 先写出直角坐标表达式：
x2d 1sin 1) (d2sin 1 (2) y2 d 1co 1s ) (d2co 1s(2)
• 求解动力学方程的目的，通常是为了得到机器人的运动方程， 即一旦给定作为输入的力或力矩，就确定了系统的运动结果
• 机器人动力学的研究有牛顿-欧拉 (Newton Euler) 法、拉格朗 日法(Langrange Langrange)法、高斯(Gauss) 法、凯恩(Kane) 法及罗伯逊-魏登堡(Roberon-Wittenburg) 等法
4.2 机器人静力分析
4.2.1杆件之间的静力传递
在操作机中，任取两连杆 L i ，L i 1。设在杆 L i 1 上的 O i 1
点作用有力矩 M i1和力 F i 1 ；在杆 L i 上作用有自重力G i
〔过质心 的向径。
C i ）；r i
和 rC i
分别为由
F i1
O i 到 O i1 和 C i
为0，即 TqQTp0
4.2 机器人静力分析
由机器人运动微分关系可知， p Jq ，则有
JTQTq0
因为 q i 是独立坐标，则 q 0 ，所以有
JTQ
式中 J ——是速度分析时引出的雅可比矩阵，其元素为
相应的偏速度。
上式是针对操作机的关节力和执行器参考点P e 间所产生 的力和力矩之间的关系式。
1,,i,,nT
Q F e x ,F e y ,F e z,M e x ,M e y ,M e z T
q q 1 ,, q i,, q nT
p x e ,y e ,z e , x , y , z T
于是，操作机的总虚功是：
WTqQTp
根据虚功原理，若系统处于平衡，则总虚功(虚功之和)
❖ 系统的动能和势能可在任何坐标系（极坐标系、圆柱坐标系 等）中表示 ，不是一定在直角坐标系中。
动力学方程为：
i
d dt
L qi
L qi
广义力 广义速度 广义坐标
（力或力矩）（ 或 v） （ 或 d）
4.3 机器人动力学方程
举例：设二杆机器人臂杆长度分别为 m1,m2，质量分别集中在端 点为 d1,d2 ，坐标系选取如图。
式中 Gi0 mi g
( m i 为杆L i 的质量)。
求出 F i 和 M i 在 z i 轴上的分量，就得到了关节力和扭矩，
它们就是在忽略摩擦之后，驱动器为使操作机保持静力平衡所应提供
的关节力或关节力矩，记作 i
，其大小为
i
k Fi kM i
4.2 机器人静力分析
当忽略杆件自重时 G i ，上式可简记为 ：
该式表明关节空间和直角坐标空间广义力可以借助于雅可比矩阵 J
进行变换。这种变换关系，也可推广到任两杆间固联直角坐标系中的 广义力变幻，这时应将关节空间与直角坐标空间的雅可比矩阵，换作 直角坐标空间的雅可比矩阵。
4.3 机器人动力学方程
刚体系统拉Leabharlann 朗日方程应用质点系的拉格朗日方程来处理杆系的问题。 定义：L=K-P L—Lagrange函数；K—系统动能之和；P—系统势能之和。
M i1
4.2 机器人静力分析
按 静 力 学 方 法 ， 把 这 些 力 、 力 矩 简 化 到L i
可得：
F i F i1G i
固联坐标系
oi xi yi zi
或
M i M i1riFi1rC iG i
F ii R ii 1F ii 1 1R 0 iG i0
M ii R ii 1M ii 1 1riiR ii 1F ii 1 1rC iiR 0 iG i0