高考数学总复习(山东专用)第八章第9课时 圆锥曲线的综合问题 随堂检测(含解析)
2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第八章 第九节 圆锥曲线的综合问题 Word版含答案
第九节 圆锥曲线的综合问题2019考纲考题考情1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点。
(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得方程解的情况来判断。
设直线l的方程为Ax＋By ＋C＝0，圆锥曲线方程为f(x，y)＝0。
由Error!消元，(如消去y)得ax2＋bx＋c＝0。
①若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)。
②若a≠0，设Δ＝b2－4ac。
a．当Δ＞0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b．当Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c．当Δ＜0时，直线和圆锥曲线没有公共点。
2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长：|P1P2|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝·|x 1－x 2|1＋k 2＝(1＋1k 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝|y 1－y 2|。
1＋1k 2(2)斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)。
3．圆锥曲线的中点弦问题遇到弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解。
在椭圆＋＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜x 2a 2y 2b 2率k ＝－；在双曲线－＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所b 2x 0a 2y 0x 2a 2y 2b 2在直线的斜率k ＝；在抛物线y 2＝2px (p ＞0)中，以P (x 0，y 0)b 2x 0a2y 0为中点的弦所在直线的斜率k ＝。
在使用根与系数关系时，要py 0注意前提条件是Δ≥0。
点差法的常见结论(设AB 为圆锥曲线的弦，点M 为弦AB 的中点)：标准方程点差法结论＋＝1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2k AB ·k OM ＝－b 2a 2＋＝1(a >b >0)y 2a 2x 2b 2k AB ·k OM ＝－a 2b 2－＝1(a >0，b >0)x 2a 2y 2b 2k AB ·k OM ＝b 2a 2－＝1(a >0，b >0)y 2a 2x 2b 2k AB ·k OM ＝a 2b 2y 2＝2px (p ≠0)k AB ＝(y 0为中点M 的纵坐标)py 0x 2＝2py (p ≠0)k AB ＝(x 0为中点M 的横坐标)x 0p一、走进教材1．(选修2－1P 71例6改编)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)。
2021年高考数学一轮复习 8.9 圆锥曲线的综合问题课时作业 理(含解析)新人教A版
2021年高考数学一轮复习 8.9 圆锥曲线的综合问题课时作业 理（含解析）新人教A 版一、选择题1．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为( ) A ．1 B ．1或3 C ．0 D ．1或0 解析：由⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x ，得ky 2－8y ＋16＝0，若k ＝0，则y ＝2，若k ≠0，则Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1，因此若直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝0或k ＝1.答案：D2．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．22解析：设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，∴S ＝12×2c ×b ＝bc ＝1≤b 2＋c 22＝a 22.∴a 2≥2.∴a ≥ 2.∴长轴长2a ≥22，故选D. 答案：D3．(xx·山西适应性训练考试)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作倾斜角为30°的直线l 与抛物线交于P ，Q 两点，分别过P ，Q 两点作PP 1，QQ 1垂直于抛物线的准线于P 1，Q 1，若|PQ |＝2，则四边形PP 1Q 1Q 的面积是( )A ．1B ．2C ．3 D. 3解析：S ＝12(|PP 1|＋|QQ 1|)·|P 1Q 1|＝12×|PQ |×|PQ |×sin 30°＝12×4×12＝1. 答案：A4．(xx·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )A ．1 B.32C ．2D ．3解析：因为双曲线的离心率e ＝c a＝2，所以b ＝3a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x ，与抛物线的准线x ＝－p 2相交于A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，32p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，－32p ，所以△AOB 的面积为12×p2×3p ＝3，又p >0，所以p ＝2.答案：C5．(xx·东北三校第二次联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 与m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是( )A.12B.14C.22D.33解析：由题知m 2＋n 2＝c 2，即n 2＝c 2－m 2，n 2是2m 2与c 2的等差中项，有2m 2＋c 2＝2n 2＝2c 2－2m 2得m 2＝c 24即m ＝c 2，又因c 是a 与m 的等比中项，所以am ＝c 2，即a ·c 2＝c 2，c a ＝12，选A.答案：A6．(xx·浙江卷)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)①，点A 的坐标为(x 0，y 0)．由题意得a 2＋b 2＝3＝c 2②，则|OA |＝c ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3x 20＋4y 20＝4，解得x 20＝83，y 20＝13，又点A 在双曲线上，代入①得，83b 2－13a 2＝a 2b2③，联立②③解得a ＝2，所以e ＝c a ＝62，故选D. 答案：D 二、填空题7．(xx·河南十所名校第三次联考)圆x 2＋y 2－2x ＋my －2＝0关于抛物线x 2＝4y 的准线对称，则m ＝________.解析：由条件易知圆心在抛物线x 2＝4y 的准线y ＝－1上，得m ＝2. 答案：28．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (0，－1)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若AB 的中点为(2，－2)，则直线l 的方程为________．解析：由题意知，抛物线的方程为x 2＝－4y ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1≠x 2，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＝－4y 1，x 22＝－4y 2，两式相减得x 21－x 22＝－4(y 1－y 2)，∴y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2－4＝－1， ∴直线l 的方程为y ＋2＝－(x －2)，即y ＝－x . 答案：x ＋y ＝09．(xx·江西卷)抛物线x 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.解析：由x 2＝2py (p >0)得焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线l 为y ＝－p2，所以可求得抛物线的准线与双曲线x 23－y 23＝1的交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋p 22，－p 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋p 22，－p 2，所以|AB |＝12＋p 2，则|AF |＝|AB |＝12＋p 2，所以p |AF |＝sin π3，即p 12＋p2＝32，解得p ＝6. 答案：6 三、解答题10．(xx·安徽卷)设椭圆E ：x 2a 2＋y 21－a 2＝1的焦点在x 轴上．(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．解：(1)因为焦距为1，所以2a 2－1＝14，解得a 2＝58.故椭圆E 的方程为8x 25＋8y23＝1.(2)证明：设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝ 2a 2－1. 由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝y 0x 0＋c，直线F 2P 的斜率kF 2P ＝y 0x 0－c.故直线F 2P 的方程为y ＝y 0x 0－c(x －c )．当x ＝0时，y ＝cy 0c －x 0，即点Q 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，cy 0c －x 0. 因此，直线F 1Q 的斜率为kF 1Q ＝y 0c －x 0. 由于F 1P ⊥F 1Q ，所以kF 1P ·kF 1Q ＝y 0x 0＋c ·y 0c －x 0＝－1.化简得y 20＝x 20－(2a 2－1)．①将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限，解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2，即点P 在定直线x ＋y ＝1上．11．(xx·江西卷)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，离心率e ＝12，直线l 的方程为x ＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．解：(1)由P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上得，1a 2＋94b 2＝1① 依题设知a ＝2c ，则b 2＝3c 2② ②代入①解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由题意可设直线AB 的斜率为k ， 则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)③ 代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12并整理， 得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有 x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－34k 2＋3④ 在方程③中令x ＝4得，M 的坐标为(4,3k )． 从而k 1＝y 1－32x 1－1，k 2＝y 2－32x 2－1，k 3＝3k －324－1＝k －12.由于A ，F ，B 三点共线，则有k ＝k AF ＝k BF ，即有y 1x 1－1＝y 2x 2－1＝k .所以k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －32·x 1＋x 2－2x 1x 2－x 1＋x 2＋1⑤④代入⑤得k 1＋k 2＝2k －32·8k24k 2＋3－24k 2－34k 2＋3－8k24k 2＋3＋1 ＝2k －1，又k 3＝k －12，所以k 1＋k 2＝2k 3.故存在常数λ＝2符合题意．12．(xx·湖北武汉调考)已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB →的最小值．解：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有x －12＋y 2－|x |＝1，化简，得y 2＝2x ＋2|x |.当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0.∴动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x <0)．(2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x .得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k2，x 1x 2＝1.∵l 1⊥l 2，∴l 2的斜率为－1k.设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可是x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1. 故AD →·EB →＝(AF →＋FD →)·(EF →＋FB →) ＝AF →·EF →＋AF →·FB →＋FD →·EF →＋FD →·FB → ＝|AF →||FB →|＋|FD →||EF →|＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋4k2＋1＋1＋()2＋4k 2＋1＝8＋4⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋1k2≥8＋4×2k 2·1k2＝16.当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，AD →·EB →取最小值16.[热点预测]13．(xx·辽宁五校第一联合体考试)在直角坐标系xOy 上取两个定点A 1(－2,0)、A 2(2,0)，再取两个动点N 1(0，m )、N 2(0，n )，且mn ＝3.(1)求直线A 1N 1与A 2N 2交点的轨迹M 的方程；(2)已知F 2(1,0)，设直线l ：y ＝kx ＋m 与(1)中的轨迹M 交于P 、Q 两点，直线F 2P 、F 2Q 的倾斜角为α、β，且α＋β＝π，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标．解：(1)依题意知直线A 1N 1的方程为：y ＝m2(x ＋2)，①直线A 2N 2的方程为：y ＝－n2(x －2)，②设Q (x ，y )是直线A 1N 1与A 2N 2的交点，①×②得y 2＝－mn4(x 2－4)，由mn ＝3，整理得x 24＋y 23＝1.∵N 1、N 2不与原点重合，∴点A 1(－2,0)、A 2(2,0)不在轨迹M 上， ∴轨迹M 的方程为x 24＋y 23＝1(x ≠±2)．(2)由题意知，直线l 的斜率存在且不为零，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 24＋y23＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2x 1x 2＝4m 2－123＋4k2，且kF 2P ＝kx 1＋m x 1－1，kF 2Q ＝kx 2＋mx 2－1. 由已知α＋β＝π，得kF 2P ＋kF 2Q ＝0，∴kx 1＋m x 1－1＋kx 2＋mx 2－1＝0， 化简，得2kx 1x 2＋(m －k )(x 1＋x 2)－2m ＝0，代入，得2k 4m2－123＋4k2－8mk m－k3＋4k2－2m＝0，整理得m＝－4k.∴直线l的方程为y＝k(x－4)，因此直线l过定点，该定点的坐标为(4,0)．21576 5448 呈 x28442 6F1A 漚P] o39967 9C1F 鰟r%423362 5B42 孂xF。
高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析
高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析1.如图，已知椭圆，双曲线(a＞0，b＞0)，若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A，B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（）A．5B．C．D．【答案】C【解析】由已知，|OA|＝a＝设OA所在渐近线的方程为y＝kx(k＞0)，于是A点坐标可表示为A(x0，kx)(x＞0)于是，即A()，进而AB的一个三分点坐标为()该点在椭圆C1上，有，即，得k＝2即＝2，于是，所以离心率，选C【考点】圆的方程，椭圆的性质，双曲线的性质，双曲线的渐近线，直线与圆锥曲线的位置关系，双曲线的离心率.2.已知抛物线C：的焦点为F，准线为，P是上一点，Q是直线PF与C得一个焦点，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图所示，因为，故，过点作，垂足为M，则轴，所以，所以，由抛物线定义知，，选B．【考点】1、抛物线的定义；2、抛物线的标准方程；3、向量共线．3.已知椭圆C：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；（ii）当最小时，求点T的坐标.【答案】(1) ；（2）【解析】（1）因为焦距为4，所以，又，由此可求出的值，从而求得椭圆的方程.（2）椭圆方程化为.设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.（ⅰ）设PQ的中点为，求出，只要，即证得OT 平分线段PQ.（ⅱ）可用表示出PQ，TF可得：.再根据取等号的条件，可得T的坐标.试题解答：（1），又.（2）椭圆方程化为.（ⅰ）设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.设PQ的中点为，则又TF的方程为，则得，所以，即OT过PQ的中点，即OT平分线段PQ.（ⅱ），又，所以.当时取等号，此时T的坐标为.【考点】1、椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线；3、最值问题.4.已知的三个顶点在抛物线：上，为抛物线的焦点，点为的中点，；（1）若，求点的坐标；（2）求面积的最大值.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）根据抛物线方程为，写出焦点为，准线方程为，设，由抛物线的定义知，，把代入求得点的坐标，再由求得点的坐标；（2）设直线的方程为，，，，联立方程组，整理得，先求出的中点的坐标，再由，得出，用弦长公式表示，构造函数，用导数法求的面积的最大值.（1）由题意知，焦点为，准线方程为，设，由抛物线的定义知，，得到，代入求得或，所以或，由得或，（2）设直线的方程为，，，，由得，于是，所以，，所以的中点的坐标，由，所以，所以，因为，所以，由，，所以，又因为，点到直线的距离为，所以，记，，令解得，，所以在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，又，所以当时，取得最大值，此时，所以的面积的最大值为.【考点】抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，三角形的面积公式，平面向量的坐标运算.5.如图为椭圆C：的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率，的面积为.若点在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭圆”，直线与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭圆”分别为P，Q.（1）求椭圆C的标准方程；（2）问是否存在过左焦点的直线，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）直线方程为或.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线的标准方程、圆的标准方程、韦达定理、向量垂直的充要条件等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，利用椭圆的离心率和三角形面积公式列出表达式，解方程组，得到基本量a和b的值，从而得到椭圆的方程；第二问，直线l过左焦点，所以讨论直线的斜率是否存在，当斜率不存在时，可以直接写出直线方程，令直线与椭圆联立，得到交点坐标，验证以PQ为直径的圆不过坐标原点，当斜率存在时，直线与椭圆联立，消参，利用韦达定理，证明，解出k的值.（1）由题意，，即，，即 2分又得：∴椭圆的标准方程：． 5分(2)①当直线的斜率不存在时，直线的方程为联立，解得或，不妨令，，所以对应的“椭点”坐标，．而所以此时以为直径的圆不过坐标原点． 7分②当直线的斜率存在时，设直线的方程为消去得，设，则这两点的“椭点”坐标分别为由根与系数关系得： 9分若使得以为直径的圆过坐标原点，则而，∴即，即代入，解得：所以直线方程为或． 12分【考点】椭圆的标准方程、直线的标准方程、圆的标准方程、韦达定理、向量垂直的充要条件.6.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设A，B是椭圆C上的两点，△AOB的面积为.若A、B两点关于x轴对称，E为线段AB 的中点，射线OE交椭圆C于点P.如果＝t，求实数t的值．【答案】（1）＋y2＝1（2）t＝2或t＝【解析】(1)设椭圆C的方程为：(a＞b＞0)，则，解得a＝，b＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由于A、B两点关于x轴对称，可设直线AB的方程为x＝m(－＜x＜，且m≠0)．将x＝m代入椭圆方程得|y|＝，所以S△AOB＝|m| ＝.解得m2＝或m2＝.①又＝t＝t(＋)＝t(2m,0)＝(mt,0)，又点P在椭圆上，所以＝1.②由①②得t2＝4或t2＝.又因为t＞0，所以t＝2或t＝.7.双曲线的左右焦点分别为,且恰为抛物线的焦点,设双曲线与该抛物线的一个交点为,若是以为底边的等腰三角形,则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴焦点为，即，∵，∴，即，∴，则，即，∴．【考点】抛物线的标准方程及几何性质．8.已知双曲线＝1的左支上一点M到右焦点F2的距离为18，N是线段MF2的中点，O是坐标原点，则|ON|等于()A．4B．2C．1D．【答案】A【解析】设双曲线左焦点为F1，由双曲线的定义知，|MF2|－|MF1|＝2a，即18－|MF1|＝10，所以|MF1|＝8．又ON为△MF1F2的中位线，所以|ON|＝|MF1|＝4，所以选A．9.已知F1、F2为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，且满足||＝3||，则此双曲线的渐近线方程为________．【答案】y＝±x【解析】由双曲线的性质可推得||＝b，则||＝3b，在△MF1O中，||＝a，||＝c，cos∠F1OM＝－，由余弦定理可知＝－，又c2＝a2＋b2，可得a2＝2b2，即＝，因此渐近线方程为y＝±x．10.如图，已知，，，分别是椭圆的四个顶点，△是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆．（1）求椭圆及圆的方程；（2）若点是圆劣弧上一动点（点异于端点，），直线分别交线段，椭圆于点，，直线与交于点．（ⅰ）求的最大值；（ⅱ）试问：，两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【答案】（1），，（2）（ⅰ），（ⅱ）.【解析】（1）求椭圆标准方程，只需两个独立条件. 由题意知，，，所以，，所以椭圆的方程为，求圆的方程，有两个选择，一是求圆的标准方程，确定圆心与半径，二是求圆的一般方程，只需代入圆上三个点的坐标.本题两个方法皆简单，如易得圆心，，所以圆的方程为（2）（ⅰ）本题关键分析出比值暗示的解题方向，由于点在轴上，所以，因此解题方向为利用斜率分别表示出点与点的横坐标. 设直线的方程为，与直线的方程联立，解得点，联立，消去并整理得，，解得点,因此当且仅当时，取“=”，所以的最大值为．（ⅱ）求出点的横坐标，分析与点的横坐标的和是否为常数. 直线的方程为，与直线的方程联立，解得点，所以、两点的横坐标之和为．试题解析：（1）由题意知，，，所以，，所以椭圆的方程为， 2分易得圆心，，所以圆的方程为．4分（2）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，解得点， 6分联立，消去并整理得，，解得点，9分（ⅰ），当且仅当时，取“=”，所以的最大值为． 12分（ⅱ）直线的方程为，与直线的方程联立，解得点， 14分所以、两点的横坐标之和为．故、两点的横坐标之和为定值，该定值为． 16分【考点】椭圆与圆标准方程，直线与椭圆位置关系11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆＝1的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F.设过点T(t ，m)的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，其中m>0，y 1>0，y 2<0.(1)设动点P 满足PF 2－PB 2＝4，求点P 的轨迹； (2)设x 1＝2，x 2＝，求点T 的坐标；(3)设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)． 【答案】（1）x ＝（2）（3）见解析【解析】(1)解：设点P(x ，y)，则F(2，0)、B(3，0)、A(－3，0)．由PF 2－PB 2＝4，得(x －2)2＋y 2－[(x －3)2＋y 2]＝4，化简得x ＝，故所求点P 的轨迹为直线x ＝. (2)解：将x 1＝2，x 2＝分别代入椭圆方程，以及y 1>0，y 2<0得M 、N.直线MTA的方程为，即y ＝x ＋1.直线NTB 的方程为，即y ＝x －.联立方程组，解得所以点T 的坐标为.(3)证明：点T 的坐标为(9，m)，直线MTA 的方程为，即y ＝(x ＋3)．直线NTB 的方程为，即y ＝(x －3)．分别与椭圆＝1联立方程组，同时考虑到x 1≠－3，x 2≠3，解得 M、N(证法1)当x 1≠x 2时，直线MN 的方程为，令y ＝0，解得x＝1，此时必过点D(1，0)；当x 1＝x 2时，直线MN 的方程为x ＝1，与x 轴交点为D(1，0)，所以直线MN 必过x 轴上的一定点D(1，0)． (证法2)若x 1＝x 2，则由及m>0，得m ＝2，此时直线MN 的方程为x ＝1，过点D(1，0)．若x 1≠x 2，则m≠2.直线MD 的斜率k MD ＝，直线ND 的斜率k ND ＝，得k MD ＝k ND ，所以直线MN 过D 点．因此，直线MN 必过x 轴上的点D(1，0)．12.已知F是椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点,点P在椭圆C上,线段PF与圆（x-）2+y2=相切于点Q,且=2,则椭圆C的离心率等于()A．B．C．D．【答案】A【解析】记椭圆的左焦点为F′,圆(x-)2+y2=的圆心为E,连接PF′、QE.∵|EF|=|OF|-|OE|=c-=,=2,∴==,∴PF′∥QE,∴=,且PF′⊥PF.又∵|QE|=(圆的半径长),∴|PF′|=b.据椭圆的定义知:|PF′|+|PF|=2a,∴|PF|=2a-b.∵PF′⊥PF,∴|PF′|2+|PF|2=|F′F|2,∴b2+(2a-b)2=(2c)2,∴2(a2-c2)+b2=2ab,∴3b2=2ab,∴b=,c==a,=,∴椭圆的离心率为.13.设抛物线的焦点为，点，线段的中点在抛物线上.设动直线与抛物线相切于点，且与抛物线的准线相交于点，以为直径的圆记为圆．（1）求的值；（2）试判断圆与轴的位置关系；（3）在坐标平面上是否存在定点，使得圆恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）见解析（3）存在【解析】（1）判断抛物线的焦点位置，得到焦点坐标，利用中点坐标公式得到FA的中点坐标带入抛物线即可求的P的值.（2）直线与抛物线相切，联立直线与抛物线，判别式为0即可得到k,m之间的关系，可以用k 来替代m，得到P点的坐标，抛物线准线与直线的方程可得到Q点的坐标，利用中点坐标公式可得到PQ中点坐标，通过讨论k的取值范围得到中点到x轴距离与圆半径(PQ为直径)的大小比较即可判断圆与x轴的位置关系.（3）由(2)可以得到PQ的坐标(用k表示)，根据抛物线对称性知点在轴上，设点坐标为，则M点需满足，即向量内积为0，即可得到M点的坐标，M点的坐标如果为常数(不含k)，即存在这样的定点，如若不然，则不存在.试题解析：解：（1）利用抛物线的定义得，故线段的中点的坐标为，代入方程得，解得。
高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析
高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析1.已知圆经过椭圆的右焦点和上顶点．（1）求椭圆的方程；（2）过原点的射线与椭圆在第一象限的交点为，与圆的交点为，为的中点，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】本题考查直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数等基础知识，考查直线与圆锥曲线的位置关系；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合、化归与转化及函数与方程等数学思想．第一问，数形结合，令y=0，x=0即可分别求出c和b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，设出直线方程和P、Q点坐标，令直线与椭圆联立得到Q点横坐标，利用向量的数量积，将P、Q点坐标代入，得到关于k的表达式，利用导数求函数的最值；法二，将进行转化，变成，再利用配方法求最值.试题解析：（1）在中，令得，即，令，得，即， 2分由，∴椭圆：. 4分（2）法一：依题意射线的斜率存在，设，设 -5分得：，∴. 6分得：，∴， 7分∴. 9分．设，，令，得．又，∴在单调递增，在单调递减. 11分∴当时，，即的最大值为. 13分法二：依题意射线的斜率存在，设，设 5分得：，∴. 6分= 9分.设，则.当且仅当即.法三：设点，，6分= . 7分又，设与联立得： . 9分令. 11分又点在第一象限，∴当时，取最大值. 13分【考点】直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数.2.（本小题满分12分）已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.（1）求曲线的方程；（2）曲线在点处的切线与轴交于点.直线分别与直线及轴交于点，以为直径作圆，过点作圆的切线，切点为，试探究：当点在曲线上运动（点与原点不重合）时，线段的长度是否发生变化？证明你的结论.【答案】（1）.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明见解析.【解析】（1）思路一：设为曲线上任意一点，依题意可知曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，得到曲线的方程为.思路二：设为曲线上任意一点，由，化简即得.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：由（1）知抛物线的方程为，设，得，应用导数的几何意义，确定切线的斜率，进一步得切线的方程为.由，得.由，得.根据，得圆心，半径，由弦长，半径及圆心到直线的距离之关系，确定.试题解析：解法一：（1）设为曲线上任意一点，依题意，点S到的距离与它到直线的距离相等，所以曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：由（1）知抛物线的方程为，设，则，由，得切线的斜率，所以切线的方程为，即.由，得.由，得.又，所以圆心，半径，.所以点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变.解法二：（1）设为曲线上任意一点，则，依题意，点只能在直线的上方，所以，所以，化简得，曲线的方程为.（2）同解法一.【考点】抛物线的定义，导数的几何意义，直线方程，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系.3.已知抛物线C:的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.(1)求抛物线C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A,B两点，若AB的垂直平分线与C相交于M,N两点，且A,M,B,N四点在同一个圆上，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）x-y-1=0或x+y-1=0.【解析】（1）设Q（x0，4），代入由中得x=，在根据抛物线的性质可得，解出p即可（2）设直线l的方程为，（m≠0）代入中得，直线的方程为，将上式代入中，并整理得.A（x1,y1）,B(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4),根据二次函数根与系数的关系可得y1+y2=4m，y1y2=－4，.然后求出MN的中点为E和AB的中点为D坐标的表达式，计算的表达式,根据求出m即可.试题解析：（1）设Q（x0，4），代入由中得x=，所以，由题设得，解得p=－2（舍去）或p=2.所以C的方程为.（2）依题意知直线l与坐标轴不垂直，故可设直线l的方程为，（m≠0）代入中得，设A（x1,y1）,B(x2,y2),则y1+y2=4m，y1y2=－4，故AB的中点为D（2m2+1,2m），，有直线的斜率为－m，所以直线的方程为，将上式代入中，并整理得.设M(x3,y3),N(x4,y4),则.故MN的中点为E（）.由于MN垂直平分AB，故A,M,B,N四点在同一个圆上等价于,从而,即，化简得m2-1=0，解得m=1或m=－1，所以所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.【考点】1.抛物线的性质和方程；2.直线方程以及直线与曲线的位置关系.4.如图，已知椭圆的右焦点为，点是椭圆上任意一点，圆是以为直径的圆．（1）若圆过原点，求圆的方程；（2）写出一个定圆的方程，使得无论点在椭圆的什么位置，该定圆总与圆相切,请写出你的探究过程．【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）因为是圆的直径，所以当圆过原点时，一定有，由此可确定点的位置并进一步求出圆的标准方程；（2）设圆M的半径为,连结，显然有根据椭圆的标准方程知,所以，从而找到符合条件的定圆.解：（1）解法一：因为圆过原点，所以，所以是椭圆的短轴顶点，的坐标是或，于是点的坐标为或，易求圆的半径为所以圆的方程为或 6分解法二：设，因为圆过原点，所以所以，所以，所以点于是点的坐标为或，易求圆的半径所以圆的方程为或 6分（2）以原点为圆心，5为半径的定圆始终与圆相内切，定圆的方程为 8分探究过程为：设圆的半径为，定圆的半径为，因为，所以当原点为定圆圆心，半径时，定圆始终与圆相内切．（13分）【考点】1、椭圆的定义与标准方程；2、圆的定义与标准方程.5.已知，是双曲线的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点与点关于直线对称，则该双曲线的离心率为A．B．C．D．【答案】【解析】即双曲线的一条渐近线方程.过焦点且垂直渐近线的直线方程为：，与联立，解之可得故对称中心的点坐标为（）；由中点坐标公式可得对称点的坐标为，将其代入双曲线的方程可得结合化简可得，故．故选.【考点】双曲线的几何性质，直线方程，两直线的位置关系.6.已知F1、F2为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，且满足||＝3||，则此双曲线的渐近线方程为________．【答案】y＝±x【解析】由双曲线的性质可推得||＝b，则||＝3b，在△MF1O中，||＝a，||＝c，cos∠F1OM＝－，由余弦定理可知＝－，又c2＝a2＋b2，可得a2＝2b2，即＝，因此渐近线方程为y＝±x．7.抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．3【答案】B【解析】设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，分析可得，当m=时，取得最小值为，故选B．8.已知椭圆和椭圆的离心率相同，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上一点，过点作直线交椭圆于、两点，且恰为弦的中点。
数学一轮复习第八章平面解析几何第九节圆锥曲线的综合问题第1课时最值范围证明问题学案含解析
第九节圆锥曲线的综合问题最新考纲考情分析1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法．2．了解圆锥曲线的简单应用．3．理解数形结合的思想.1.直线与椭圆、抛物线的位置关系是近几年高考命题的热点．2．考查知识有直线与椭圆、抛物线相交，涉及弦长、中点、面积、对称、存在性问题．3．题型主要以解答题的形式出现,属中高档题。
知识点一直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0（A,B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y（也可以消去x）得到一个关于变量x(或变量y）的一元方程．即错误!消去y，得ax2＋bx＋c＝0。
（1）当a≠0时,设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ,则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．（2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0）的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1，y1），B（x2,y2),则|AB｜＝错误!｜x1－x2|＝错误!·错误!＝错误!·|y1－y2|＝错误!·错误!.知识点二圆锥曲线中的最值与取值范围问题圆锥曲线中的最值与取值范围问题一直是高考命题的热点，各种题型都有，命题角度很广,归纳起来常见的命题角度有：1．转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值；2．利用三角函数有界性求最值；3．数形结合利用几何性质求最值．知识点三圆锥曲线中的定值与定点问题1．这类问题一般考查直线与圆锥曲线的位置关系,一元二次方程的根与系数之间的关系，考查斜率、向量的运算以及运算能力．2．解决这类定点与定值问题的方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找；另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”）（1）直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点．(√)（2）直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点．(×)（3)直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C 只有一个公共点．（×)（4)如果直线x＝ty＋a与圆锥曲线相交于A(x1，y1）,B(x2，y2)两点,则弦长｜AB|＝错误!｜y1－y2|.(√）解析：(2)因为直线l与双曲线C的渐近线平行时,也只有一个公共点，是相交，但并不相切．（3）因为直线l与抛物线C的对称轴平行或重合时,也只有一个公共点，是相交，但不相切．2．小题热身（1)过点（0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(C)A．1条B．2条C．3条D．4条解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点（0,1)且平行于x轴的直线以及过点（0,1）且与抛物线相切的直线（非直线x＝0)．（2)（2020·浙江八校联考）抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋b(k≠0）交于A，B两点，且这两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则(B）A．x3＝x1＋x2B．x1x2＝x1x3＋x2x3C．x1＋x2＋x3＝0 D．x1x2＋x2x3＋x3x1＝0解析：由错误!消去y得ax2－kx－b＝0,可知x1＋x2＝错误!，x1x2＝－错误!，令kx＋b＝0得x3＝－错误!，所以x1x2＝x1x3＋x2x3.(3)已知抛物线y＝ax2(a>0)的准线为l,l与双曲线x24－y2＝1的两条渐近线分别交于A,B两点，若｜AB｜＝4，则a＝错误!.解析：抛物线y＝ax2(a〉0）的准线l：y＝－错误!,双曲线错误!－y2＝1的两条渐近线分别为y＝错误!x，y＝－错误!x，可得x A＝－错误!，x B＝错误!，可得｜AB|＝错误!－错误!＝4，解得a＝错误!。
高考数学一轮复习学案：9.9 圆锥曲线的综合问题(含答案)
高考数学一轮复习学案：9.9 圆锥曲线的综合问题（含答案）9.9圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的综合问题最新考纲考情考向分析1.掌握解决直线与椭圆.抛物线的位置关系的思想方法2.了解圆锥曲线的简单应用3.理解数形结合的思想.以考查直线与椭圆.双曲线.抛物线的位置关系为背景，主要涉及弦长.中点.面积.对称.存在性问题题型主要以解答题形式出现，属于中高档题.1直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x或y的一元方程ax2bxc0或ay2byc01若a0，可考虑一元二次方程的判别式，有0直线与圆锥曲线相交；0直线与圆锥曲线相切；0上，且直线AB过抛物线的焦点，则y1y2p2.题组二教材改编2P71例6过点0,1作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有A1条B2条C3条D4条答案C解析过0,1与抛物线y24x相切的直线有2条，过0,1与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点3P80A组T8已知与向量v1,0平行的直线l与双曲线x24y21相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________答案4解析由题意可设直线l的方程为ym，代入x24y21得x241m2，所以x141m221m2，x221m2，所以|AB||x1x2|41m24，即当m0时，|AB|有最小值4.题组三易错自纠4过抛物线y22x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线A有且只有一条B有且只有两条C有且只有三条D有且只有四条答案B解析设该抛物线的焦点为F，AxA，yA，BxB，yB，则|AB||AF||FB|xAp2xBp2xAxB132p2.所以符合条件的直线有且只有两条5xx江西省南昌市三模已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF24，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为________答案6已知双曲线x2a2y2b21a0，b0的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x22pyp0的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|c，则双曲线的渐近线方程为________答案yx解析抛物线的准线方程为yp2，焦点为F0，p2，a2p22c2.设抛物线的准线yp2交双曲线于Mx1，p2，Nx2，p2两点，yp2，x2a2y2b21，即x2a2p22b21，解得xap24b21，2ap24b212c.又b2c2a2，由，得c2a22.b2a2c2a211，解得ba1.双曲线的渐近线方程为yx.第第1课时课时范围.最值问题范围.最值问题题型一题型一范围问题范围问题典例xx天津设椭圆x2a2y231a3的右焦点为F，右顶点为A.已知1|OF|1|OA|3e|FA|，其中O为原点，e为椭圆的离心率1求椭圆的方程；2设过点A的直线l与椭圆交于点BB不在x 轴上，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BFHF，且MOAMAO，求直线l的斜率的取值范围解1设Fc,0，由1|OF|1|OA|3e|FA|，即1c1a3caac，可得a2c23c2.又a2c2b23，所以c21，因此a24.所以椭圆的方程为x24y231.2设直线l的斜率为kk0，则直线l的方程为ykx2设BxB，yB，由方程组x24y231，ykx2消去y，整理得4k23x216k2x16k2120.解得x2或x8k264k23.由题意得xB8k264k23，从而yB12k4k23.由1知，F1,0，设H0，yH，有FH1，yH，BF94k24k23，12k4k23.由BFHF，得BFFH0，所以4k294k2312kyH4k230，解得yH94k212k.因此直线MH的方程为y1kx94k212k.设MxM，yM，由方程组ykx2，y1kx94k212k，消去y，解得xM20k2912k21.在MAO中，由MOAMAO，得|MA||MO|，即xM22y2Mx2My2M，化简，得xM1，即20k2912k211，解得k64或k64.所以直线l的斜率的取值范围为，6464，.思维升华解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面1利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围2利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系3利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围4利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围5利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围跟踪训练xx开封质检已知椭圆Cx2a2y2b21ab0与双曲线x23y21的离心率互为倒数，且直线xy20经过椭圆的右顶点1求椭圆C的标准方程；2设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求OMN面积的取值范围解1双曲线的离心率为233，椭圆的离心率eca32.又直线xy20经过椭圆的右顶点，右顶点为点2,0，即a2，c3，b1，椭圆方程为x24y21.2由题意可设直线的方程为ykxmk0，m0，Mx1，y1，Nx2，y2联立ykxm，x24y21，消去y，并整理得14k2x28kmx4m210，则x1x28km14k2，x1x24m2114k2，于是y1y2kx1mkx2mk2x1x2kmx1x2m2.又直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，故y1x1y2x2k2x1x2kmx1x2m2x1x2k2，则8k2m214k2m20.由m0得k214，解得k12.又由64k2m21614k2m21164k2m210，得0m22，显然m21否则x1x20，x1，x2中至少有一个为0，直线OM，ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾设原点O到直线的距离为d，则SOMN12|MN|d121k2|x1x2||m|1k212|m|x1x224x1x2m2121.故由m的取值范围可得OMN面积的取值范围为0,1题型二题型二最值问题最值问题命题点1利用三角函数有界性求最值典例过抛物线y24x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF||BF|的最小值是A2B.2C4D22答案C解析设直线AB的倾斜角为，可得|AF|21cos，|BF|21cos，则|AF||BF|21cos21cos4sin24.命题点2数形结合利用几何性质求最值典例在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2y21右支上的一个动点若点P到直线xy10的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________答案22解析双曲线x2y21的渐近线为xy0，直线xy10与渐近线xy0平行，故两平行线的距离d|10|121222.由点P到直线xy10的距离大于c恒成立，得c22，故c的最大值为22.命题点3转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值典例xx山东在平面直角坐标系xOy中，椭圆Ex2a2y2b21ab0的离心率为22，焦距为2.1求椭圆E的方程；2如图，动直线lyk1x32交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为k2，且k1k224.M是线段OC延长线上一点，且|MC||AB|23，M的半径为|MC|，OS，OT是M的两条切线，切点分别为S，T.求SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率解1由题意知eca22，2c2，所以c1，所以a2，b1，所以椭圆E的方程为x22y21.2设Ax1，y1，Bx2，y2，联立方程x22y21，yk1x32，得4k212x243k1x10.由题意知0，且x1x223k12k211，x1x2122k211，所以|AB|1k21|x1x2|21k2118k2112k21.由题意可知，圆M的半径r为r23|AB|2231k2118k212k211，由题设知k1k224，所以k224k1，因此直线OC的方程为y24k1x.联立方程x22y21，y24k1x，得x28k2114k21，y2114k21，因此|OC|x2y218k2114k21.由题意可知，sinSOT2rr|OC|11|OC|r.而|OC|r18k2114k212231k2118k2112k2132412k2114k211k21，令t12k21，则t1，1t0,1，因此|OC|r32t2t2t132121t1t23211t122941，当且仅当1t12，即t2时等号成立，此时k122，所以sinSOT212，因此SOT26，所以SOT的最大值为3.综上所述，SOT的最大值为3，取得最大值时直线l的斜率为k122.思维升华处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法一是利用几何法，即通过利用曲线的定义.几何性质以及平面几何中的定理.性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个些参数的函数解析式，然后利用函数方法.不等式方法等进行求解跟踪训练xx邢台模拟已知椭圆x22y21上两个不同的点A，B关于直线ymx12对称1求实数m的取值范围；2求AOB面积的最大值O为坐标原点解1由题意知m0，可设直线AB的方程为y1mxb.由x22y21，y1mxb，消去y，得121m2x22bmxb210.因为直线y1mxb与椭圆x22y21有两个不同的交点，所以2b224m20，将AB的中点M2mbm22，m2bm22代入直线方程ymx12，解得bm222m2，由得m63或m63.2令t1m62，00，62，则t20，32.则|AB|t212t42t232t212，且O到直线AB的距离为dt212t21.设AOB的面积为St，所以St12|AB|d122t2122222，当且仅当t212时，等号成立，此时满足t20，32.故AOB面积的最大值为22.。
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第九节 圆锥曲线的综合问题教案(含解析)-高三全册数学教案
第九节 圆锥曲线的综合问题1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F x ，y ＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 2．弦长公式设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝1＋1k2·y 1＋y 22－4y 1y 2.[小题体验]1．(教材习题改编)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：选A 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．2．顶点在坐标原点，焦点在x 轴上的抛物线截得直线y ＝2x ＋1所得的弦AB 的长为15，则该抛物线的标准方程为____________．解析：设抛物线的方程为y 2＝mx (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝mx ，y ＝2x ＋1可得4x 2＋(4－m )x ＋1＝0.所以x 1＋x 2＝－4－m 4，x 1x 2＝14.所以|AB |＝1＋22[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 42－1＝15，解得m ＝12或m ＝－4.所以抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－4x . 答案：y 2＝12x 或y 2＝－4x1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．[小题纠偏]1．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选C 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．2．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0解析：选A 因为直线y ＝ba x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b ax 平行，所以它与双曲线只有1个交点．考点一 直线与圆锥曲线的位置关系重点保分型考点——师生共研[典例引领]在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1,0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2,1)，若直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，求实数k 的取值范围．解：(1)设点M (x ，y )，依题意|MF |＝|x |＋1， ∴x －12＋y 2＝|x |＋1，化简得y 2＝2(|x |＋x )，故轨迹C 的方程为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，0，x ＜0.(2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x (x ≥0)，C 2：y ＝0(x ＜0)． 依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝kx ＋2，y 2＝4x 消去x ，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.①当k ＝0时，此时y ＝1.把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝14.故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1. 当k ≠0时，方程①的Δ＝－16(2k 2＋k －1)＝－16(2k －1)(k ＋1)，② 设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0)，则由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k.③(ⅰ)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ＜0，x 0＜0，由②③解得k ＜－1或k ＞12.所以当k ＜－1或k ＞12时，直线l 与曲线C 1没有公共点，与曲线C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点.(ⅱ)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，x 0≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k 2＋k －1＝0，2k ＋1k＜0，解集为∅.综上可知，当k ＜－1或k ＞12或k ＝0时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．故实数k 的取值范围为(－∞，－1)∪{0}∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. [由题悟法]1．直线与圆锥曲线位置关系的判定方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数． 2．判定直线与圆锥曲线位置关系的注意点(1)联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况． (2)判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式Δ起着关键性的作用，第一：可以限定所给参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根．[即时应用]1．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为( ) A ．1 B ．1或3 C ．0D ．1或0解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k －8)x ＋4＝0，若k ＝0，则y ＝2，符合题意．若k ≠0，则Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1，所以直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点时，k ＝0或1.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)解析：选C 因为双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ，则由题意得b a ＞2，所以e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＞1＋4＝ 5.考点二 弦长问题重点保分型考点——师生共研[典例引领](2018·浙江六校联考)如图，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)和圆C 2：x 2＋y 2＝b 2，已知圆C 2将椭圆C 1的长轴三等分，且圆C 2的面积为π.椭圆C 1的下顶点为E ，过坐标原点O 且与坐标轴不重合的任意直线l 与圆C 2相交于点A ，B ，直线EA ，EB 与椭圆C 1的另一个交点分别是点P ，M .(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△EPM 面积最大时直线l 的方程． 解：(1)由题意得：b ＝1，则a ＝3b ， 所以椭圆C 1的方程为：x 29＋y 2＝1.(2)由题意得：直线PE ，ME 的斜率存在且不为0，PE ⊥EM ， 不妨设直线PE 的斜率为k (k ＞0)，则PE ：y ＝kx －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 29＋y 2＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18k9k 2＋1，y ＝9k 2－19k 2＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫18k 9k 2＋1，9k 2－19k 2＋1，同理得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－18k k 2＋9，9－k 2k 2＋9，则k PM ＝k 2－110k，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＋y 2＝1，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 1＋k 2，k 2－11＋k 2，所以k AB ＝k 2－12k ， 所以S △EPM ＝12|PE |·|EM |＝162k ＋k39k 4＋82k 2＋9＝162⎝⎛⎭⎪⎫k ＋1k 9k 2＋82＋9k 2.设t ＝k ＋1k ，则S △EPM ＝162t9t 2＋64＝1629t ＋64t≤278，当且仅当t ＝k ＋1k ＝83时取等号，所以k －1k ＝±237，则直线AB ：y ＝k 2－12k x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k x ， 所以所求直线l 方程为：y ＝±73x . [由题悟法]弦长的3种常用计算方法(1)定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义，可优化解题． (2)点距法：将直线的方程和圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．(3)弦长公式法：它体现了解析几何中设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系得到的．[提醒] 直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直的特殊情况．[即时应用](2018·温州二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，离心率为12，过右焦点的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，点P 的坐标为(4,3)，记直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)当|MN |＝247时，求直线l 的斜率．解：(1)∵2a ＝4，∴a ＝2，又e ＝c a ＝12，∴c ＝1，∴b 2＝3.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)椭圆右焦点(1,0)，当l 斜率不存在时，|MN |＝3，不合题意； 当l 斜率k 存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x －1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0，Δ＝144(k 2＋1)＞0成立， ∴x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－33＋4k 2， ∴|MN |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 23＋4k 22－4×4k 2－33＋4k 2＝247， 解得k ＝±1.故直线l 的斜率为±1.考点三 定点、定值问题重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F (1,0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上异于O 的两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求证：直线AB 过x 轴上一定点．解：(1)因为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标为(1,0)， 所以p2＝1，即p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：①当直线AB 的斜率不存在时，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，t ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，－t . 因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以t t24·－t t 24＝－12，化简得t 2＝32. 所以A (8，t )，B (8，－t )，此时直线AB 的方程为x ＝8. ②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋b ，消去x 得ky 2－4y ＋4b ＝0.由根与系数的关系得y A y B ＝4bk，因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以y A x A ·y B x B ＝－12，即x A x B ＋2y A y B ＝0.即y 2A 4·y 2B4＋2y A y B ＝0， 解得y A y B ＝0(舍去)或y A y B ＝－32. 所以y A y B ＝4bk＝－32，即b ＝－8k ，所以y ＝kx －8k ，即y ＝k (x －8)．综合①②可知，直线AB 过定点(8,0)．[由题悟法]1．圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 2．定值问题常见的2种求法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)引进变量法：其解题流程为[即时应用]1．(2018·宁波模拟)如图，中心在坐标原点，焦点分别在x 轴和y 轴上的椭圆T 1，T 2都过点M (0，－2)，且椭圆T 1与T 2的离心率均为22. (1)求椭圆T 1与椭圆T 2的标准方程；(2)过点M 引两条斜率分别为k ，k ′的直线分别交T 1，T 2于点P ，Q ，当k ′＝4k 时，问直线P Q 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．解：(1)设椭圆T 1，T 2的方程分别为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，y 2a ′2＋x 2b ′2＝1(a ′＞b ′＞0)，由题意得b ＝2，e ＝ca ＝22，又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2. 同理可得a ′＝2，b ′＝1，所以椭圆T 1和椭圆T 2的方程分别为x 24＋y 22＝1，y 22＋x 2＝1.(2)直线MP 的方程为y ＝kx －2，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx －2消去y 得(2k 2＋1)x 2－42kx ＝0，则点P 的横坐标为42k 2k 2＋1，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫42k 2k 2＋1，22k 2－22k 2＋1. 同理可得点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22k ′k ′2＋2，2k ′2－22k ′2＋2.又k ′＝4k ，则点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫42k 8k 2＋1，82k 2－28k 2＋1， 所以k P Q ＝82k 2－28k 2＋1－22k 2－22k 2＋142k 8k 2＋1－42k2k 2＋1＝－12k ，则直线P Q 的方程为y －22k 2－22k 2＋1＝－12k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －42k 2k 2＋1， 化简得y －2＝－12kx ，故直线P Q 过定点(0，2)．2．(2018·嘉兴模拟)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)经过点A (0，－1)，且离心率为22. (1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点P ，Q(均异于点A )，证明：直线AP 与A Q 的斜率之和为定值．解：(1)由题意知c a ＝22，b ＝1， 由a 2＝b 2＋c 2，得a ＝2， 所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：设直线P Q 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)， 代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0， 由题意知Δ＞0，设P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，且x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4kk －11＋2k 2，x 1x 2＝2k k －21＋2k2， 所以直线AP 与A Q 的斜率之和k AP ＋k A Q ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－k x 2＝2k ＋(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k k －12k k －2＝2k －2(k －1) ＝2.故直线AP 与A Q 的斜率之和为定值2.考点四 最值、范围问题重点保分型考点——师生共研[典例引领](2018·浙江原创猜题卷)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于P ，Q 两点，且|P Q|＝8，线段P Q 的中点到y 轴的距离为3.(1)求抛物线C 的方程；(2)若点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线C 上相异的两点，满足x 1＋x 2＝2，且AB 的中垂线交x 轴于点M ，求△AMB 的面积的最大值及此时直线AB 的方程．解：(1)设P (x P ，y P )，Q(x Q ，y Q )， 则P Q 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x P ＋x Q 2，y P ＋y Q 2.由题意知x P ＋x Q2＝3，∴x P ＋x Q ＝6，又|P Q|＝x P ＋x Q ＋p ＝8，∴p ＝2， 故抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)当AB 垂直于x 轴时，显然不符合题意， 所以可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝4x 消去y 并整理，得k 2x 2＋(2kb －4)x ＋b 2＝0，Δ＝16(1－kb )＞0，∴由x 1＋x 2＝4－2kb k2＝2，得b ＝2k－k ， ∴直线AB 的方程为y ＝k (x －1)＋2k.∵AB 中点的横坐标为1，∴AB 中点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，2k .可知AB 的中垂线的方程为y ＝－1k x ＋3k，∴M 点的坐标为(3,0)．∵直线AB 的方程为k 2x －ky ＋2－k 2＝0， ∴M 到直线AB 的距离d ＝|3k 2＋2－k 2|k 4＋k 2＝2k 2＋1|k |.由⎩⎪⎨⎪⎧k 2x －ky ＋2－k 2＝0，y 2＝4x ，得k 24y 2－ky ＋2－k 2＝0，Δ＝k 2(k 2－1)＞0，∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝8－4k2k2，∴|AB |＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝4k 2＋1k 2－1k2. 设△AMB 的面积为S ， 则S ＝12|AB |·d ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 21－1k2，设1－1k2＝t ，则0＜t ＜1，∴S ＝4t (2－t 2)＝－4t 3＋8t ，S ′＝－12t 2＋8， 由S ′＝0，得t ＝63(负值舍去)， 即当k ＝±3时，S max ＝1669，此时直线AB 的方程为3x ±3y －1＝0.[由题悟法]解决圆锥曲线中的取值范围问题的5种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．[即时应用]1．如图，设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1.(1)求p 的值；(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ，求M 的横坐标的取值范围．解：(1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离， 由抛物线的定义得p2＝1，即p ＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F (1,0)， 可设A (t 2,2t )，t ≠0，t ≠±1.因为AF 不垂直于y 轴，所以可设直线AF 的方程为x ＝sy ＋1(s ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1消去x 得y 2－4sy －4＝0.故y 1y 2＝－4，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2，－2t.又直线AB 的斜率为2tt 2－1， 故直线FN 的斜率为－t 2－12t，从而得直线FN 的方程为y ＝－t 2－12t(x －1)．又直线BN 的方程为y ＝－2t，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋3t 2－1，－2t .设M (m,0)，由A ，M ，N 三点共线得2tt 2－m＝2t ＋2tt 2－t 2＋3t 2－1，于是m ＝2t 2t 2－1＝21－1t2，得m ＜0或m ＞2.经检验，m ＜0或m ＞2满足题意．综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．2．(2018·温州期末)已知椭圆的焦点坐标为F 1(－1,0)，F 2(1，0)，过F 2垂直于长轴的直线交椭圆于P ，Q 两点，且|P Q|＝3，(1)求椭圆的方程；(2)如图，过F 2的直线l 与椭圆交于不同的两点M ，N ，则△F 1MN 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由焦点坐标可得c ＝1， 由|P Q|＝3，可得2b2a＝3，解得a ＝2，b ＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，△F 1MN 的内切圆的半径为R ， 则△F 1MN 的周长为4a ＝8，S △F 1MN ＝12(|MN |＋|F 1M |＋|F 1N |)R ＝4R ，因此S △F 1MN 最大，R 就最大，S △F 1MN ＝12|F 1F 2|(y 1－y 2)＝y 1－y 2.由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为x ＝my ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y23＝1得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，解得y 1＝－3m ＋6m 2＋13m 2＋4，y 2＝－3m －6m 2＋13m 2＋4， 则S △F 1MN ＝y 1－y 2＝12m 2＋13m 2＋4. 令t ＝m 2＋1，则t ≥1, 所以S △F 1MN ＝12t 3t 2＋1＝123t ＋1t，令f (t )＝3t ＋1t ，则f ′(t )＝3－1t2，当t ≥1时， f (t )在[1，＋∞)上单调递增，有f (t )≥f (1)＝4，S △F 1MN ≤ 124＝3，即当t ＝1，m ＝0时，取等号，又S △F 1MN ＝4R ，所以R max ＝34，故所求内切圆面积的最大值为916π.所以直线l 的方程为x ＝1时，△F 1MN 的内切圆面积取得最大值916π.一保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·台州模拟)已知双曲线x 212－y 24＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 B ．[－3，3]C.⎝⎛⎭⎪⎫－33，33 D ．(－3，3)解析：选A 易知该双曲线的渐近线方程为y ＝±33x ，当过右焦点的两条直线分别与两条渐近线平行，即两条直线的斜率分别为33和－33时，这两条直线与双曲线右支分别只有一个交点，所以此直线的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33. 2．(2018·宁波调研)已知不过原点O 的直线交抛物线y 2＝2px 于A ，B 两点，若OA ，AB 的斜率分别为k OA ＝2，k AB ＝6，则OB 的斜率为( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3解析：选 D 由题意可知，直线OA 的方程为y ＝2x ，与抛物线方程y 2＝2px 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 2，y ＝p ，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，p ，则直线AB 的方程为y －p ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，即y ＝6x －2p ，与抛物线方程y 2＝2px 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝6x －2p ，y 2＝2px ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p 9，y ＝－2p3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 2，y ＝p ，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2p9，－2p 3，所以直线OB 的斜率k OB ＝－2p32p 9＝－3.3．(2018·杭州二模)倾斜角为π4的直线经过椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F ，与椭圆交于A ，B 两点，且AF ＝2FB ，则该椭圆的离心率为( )A.32 B.23 C.22D.33解析：选B 由题可知，直线的方程为y ＝x －c ，与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b2＝1，y ＝x －c ，∴(a 2＋b 2)y 2＋2b 2cy －b 4＝0，且Δ＞0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝－2b 2c a 2＋b2，y 1y 2＝－b4a 2＋b 2，又AF ＝2FB ，∴(c －x 1，－y 1)＝2(x 2－c ，y 2)，∴－y 1＝2y 2，即⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－2b 2c a 2＋b 2，－2y 22＝－b4a 2＋b2，∴12＝4c 2a 2＋b 2，∴e ＝23，故选B. 4．(2018·温州十校联考)已知点P 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)右支上一点，F 1是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段PF 1的中垂线，则该双曲线的离心率是( )A. 2B. 3 C ．2D. 5解析：选D 设直线PF 1：y ＝a b (x ＋c )，则与渐近线y ＝－b a x 的交点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2c ，ab c .因为M 是PF 1的中点，利用中点坐标公式，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a2c＋c ，2ab c ，因为点P 在双曲线上，所以满足b 2－a 22a 2c 2－4a 2b 2c 2b2＝1，整理得c 4＝5a 2c 2，解得e ＝ 5.5．(2019·丽水五校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，过点F 且倾斜角为60°的直线交C 于A ，B 两点，AM ⊥l ，BN ⊥l ，M ，N 为垂足，点Q 为MN 的中点，|Q F |＝2，则p ＝________.解析：如图，由抛物线的几何性质可得，以AB 为直径的圆与准线相切，且切点为Q ，△MFN 是以∠MFN 为直角的直角三角形，∴|MN |＝2|Q F |＝4，过B 作BD ⊥AM ，垂足为D ，∴|AB |＝|BD |sin 60°＝432＝833.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，得12x 2－20px＋3p 2＝0，∴x 1＋x 2＝53p ，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝53p ＋p ＝83p ＝833，∴p ＝ 3.答案： 36．已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为________．解析：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 213＝1，x 22－y223＝1，两式相减，得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)＝13(y 2－y 1)(y 2＋y 1)，显然x 1≠x 2.∴y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝3，即k MN ·y 0x 0＝3， ∵M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，∴k MN ＝－1，∴y 0＝－3x 0.又∵y 0＝x 0＋m ，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4，3m 4，代入抛物线方程得916m 2＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4， 解得m ＝0或－8，经检验都符合． 答案：0或－87．(2019·湖州六校联考)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点P (－1,0)作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若S △ABF ＝2，且|AF |＜|BF |，则|AF ||BF |＝________.解析：设直线l 的方程为x ＝my －1，将直线方程代入抛物线C ：y 2＝4x 的方程，得y2－4my ＋4＝0，Δ＝16(m 2－1)＞0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，|y 1|＜|y 2|，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1·y 2＝4，又S △ABF ＝2，所以121＋m 2·|y 2－y 1|·2m 2＋1＝|y 2－y 1|＝2，因此y 21＋y 22＝10，所以y 21＋y 22y 1·y 2＝104＝52，从而⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1y 2＝12，即|AF ||BF |＝|x 1＋1||x 2＋1|＝|my 1－1＋1||my 2－1＋1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1y 2＝12.答案：128．(2019·衢州模拟)已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1，若一组斜率为14的平行直线被椭圆C 所截线段的中点均在直线l 上，则l 的斜率为________．解析：设弦的中点坐标为M (x ，y )，设直线y ＝14x ＋m 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x ＋m ，x22＋y 2＝1消去y ，得9x 2＋8mx ＋16m 2－16＝0，Δ＝64m 2－4×9×(16m2－16)＞0，解得－324＜m ＜324，x 1＋x 2＝－8m 9，x 1x 2＝16m 2－169，∵M (x ，y )为弦AB 的中点，∴x 1＋x 2＝2x ，解得x ＝－4m9，∵m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－324，324，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x ＋m ，x ＝－4m9消去m ，得y ＝－2x ，则直线l 的方程为y ＝－2x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23， ∴直线l 的斜率为－2. 答案：－29．(2018·东阳适应)已知椭圆x 2a2＋y 2＝1(a ＞1)．(1)若A (0,1)到焦点的距离为3，求椭圆的离心率．(2)Rt △ABC 以A (0,1)为直角顶点，边AB ，AC 与椭圆交于两点B ，C .若△ABC 面积的最大值为278，求a 的值．解：(1)由题可得a ＝3，所以c ＝2，所以e ＝c a ＝63. (2)不妨设AB 斜率k ＞0，则AB ：y ＝kx ＋1, AC ：y ＝－1kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2a2＋y 2＝1得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0，解得x B ＝－2a 2k 1＋a 2k 2，同理x C ＝2a 2k k 2＋a 2， S ＝12|AB ||AC |＝2a 4·k 1＋k2a 2k 4＋a 4k 2＋k 2＋a2 ＝2a 4·k ＋1ka 2k 2＋a 2k2＋a 4＋1＝2a 4·k ＋1ka 2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2＋a 2－12，设t ＝k ＋1k，则t ≥2，S ＝2a 4·ta 2t 2＋a 2－12＝2a4a 2t ＋a 2－12t≤a 3a 2－1，当且仅当t ＝a 2－1a ≥2，即a ≥1＋2时取等号， 由a 3a 2－1＝278，解得a ＝3，a ＝3＋29716(舍)， 若a ＜1＋2，显然无解．∴a ＝3.10．(2019·嘉兴模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为33，F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，过F 2的直线l 与C 相交于A ，B 两点，△F 1AB 的周长为4 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 上存在点P ，使四边形OAPB 为平行四边形，求此时直线l 的方程． 解：(1)∵椭圆的离心率为33，∴c a ＝33，∴a ＝3c ， 又△F 1AB 的周长为43，∴4a ＝43， 解得a ＝3，∴c ＝1，b ＝2，∴椭圆C 的标准方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，∵当直线l 的斜率不存在时，这样的直线不满足题意， ∴设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 将直线l 的方程代入椭圆方程， 整理得(2＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0， ∴x 1＋x 2＝6k22＋3k2，故y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝6k 32＋3k 2－2k ＝－4k2＋3k 2.∵四边形OAPB 为平行四边形，∴OP ＝OA ＋OB ， 从而x 0＝x 1＋x 2＝6k 22＋3k 2，y 0＝y 1＋y 2＝－4k2＋3k2，又P (x 0，y 0)在椭圆上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 22＋3k 223＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2＋3k 222＝1，化简得3k 4－4k 2－4＝0，解得k ＝±2， 故所求直线l 的方程为y ＝±2(x －1)． 二上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·湖州质检)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，不经过原点O 的直线l ：y ＝kx＋m (k ＞0)与椭圆E 相交于不同的两点A ，B ，直线OA ，AB ，OB 的斜率依次构成等比数列．(1)求a ，b ，k 的关系式；(2)若离心率e ＝12且|AB |＝7⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1m ，当m 为何值时，椭圆的焦距取得最小值？ 解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由题意得k 2＝k OA ·k OB ＝y 1y 2x 1x 2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b2＝1，y ＝kx ＋m消去y ，整理得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0，故Δ＝(2a 2km )2－4(b 2＋a 2k 2)(a 2m 2－a 2b 2)＞0， 即b 2－m 2＋a 2k 2＞0，且x 1＋x 2＝－2a 2km b 2＋a 2k 2，x 1·x 2＝a 2m 2－a 2b2b 2＋a 2k 2， 所以k 2＝y 1y 2x 1x 2＝k 2x 1x 2＋km x 1＋x 2＋m 2x 1x 2，即km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，－2a 2k 2m 2b 2＋a 2k2＋m 2＝0.又直线不经过原点，所以m ≠0，所以b 2＝a 2k 2，即b ＝ak . (2)因为e ＝12，则a ＝2c ，b ＝3c ，k ＝32，所以x 1＋x 2＝－2a 2km b 2＋a 2k 2＝－23m 3，x 1·x 2＝a 2m 2－a 2b 2b 2＋a 2k 2＝23m 2－2c 2， 所以|AB |＝1＋k2|x 1－x 2|＝72x 1＋x 22－4x 1·x 2＝72·⎝⎛⎭⎪⎫－23m 32－4⎝ ⎛⎭⎪⎫23m 2－2c 2＝72·－4m 23＋8c 2＝7⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1m ， 化简得2c 2＝4m 23＋1m 2＋2≥433＋2(Δ＞0恒成立),当且仅当4m 23＝1m 2，即m ＝±4122时，焦距最小．综上，当m ＝±4122时，椭圆的焦距取得最小值． 2．(2018·学军适考)已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点P (0，m )(m ＞0)的动直线l 与C 相交于A ，B 两点，抛物线C 在点A 和点B 处的切线相交于点Q ，直线A Q ，B Q 与x 轴分别相交于点E ，F .(1)写出抛物线C 的焦点坐标和准线方程； (2)求证：点Q 在直线y ＝－m 上；(3)判断是否存在点P ，使得四边形PE Q F 为矩形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)焦点坐标为(0,1)，准线方程为y ＝－1. (2)证明：由题意知直线l 的斜率存在，故设l 的方程为y ＝kx ＋m . 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4m ＝0，由题意，得Δ＝16k 2＋16m ＞0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ， 所以抛物线在点A 处的切线方程为y －14x 21＝12x 1(x －x 1)，化简，得y ＝12x 1x －14x 21，①同理，抛物线在点B 处的切线方程为y ＝12x 2x －14x 22.②联立方程①②，得12x 1x －14x 21＝12x 2x －14x 22，即12(x 1－x 2)x ＝14(x 1－x 2)(x 1＋x 2)，因为x 1≠x 2，所以x ＝12(x 1＋x 2), 代入①，得y ＝14x 1x 2＝－m ，所以点Q ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，－m ，即Q(2k ，－m )．所以点Q 在直线y ＝－m 上.(3)假设存在点P ，使得四边形PE Q F 为矩形， 由四边形PE Q F 为矩形，得E Q ⊥F Q ，即A Q ⊥B Q ， 所以k A Q ·k B Q ＝－1，即12x 1·12x 2＝－1.由(2)，得14x 1x 2＝14(－4m )＝－1，解得m ＝1.所以P (0,1)．以下只要验证此时的四边形PE Q F 为平行四边形即可．在①中，令y ＝0，得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1，0.同理得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2，0.所以直线EP 的斜率为k EP ＝1－00－12x 1＝－2x 1， 直线F Q 的斜率k F Q ＝0－－112x 2－x 1＋x 22＝－2x 1，所以k EP ＝k F Q ，即EP ∥F Q. 同理PF ∥E Q.所以四边形PE Q F 为平行四边形．综上所述，存在点P (0,1)，使得四边形PE Q F 为矩形． 命题点一 椭圆1．(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是C的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23 B.12C.13D.14解析：选D 如图，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1.由∠F 1F 2P ＝120°，可得|PB |＝3，|BF 2|＝1，故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2，tan ∠PAB ＝|PB ||AB |＝3a ＋2＝36，解得a ＝4，所以e ＝c a ＝14.2．(2018·浙江高考)已知点P (0,1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m ＞1)上两点A ，B 满足AP ―→＝2PB ―→，则当m ＝________时，点B 橫坐标的绝对值最大．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AP ―→＝2PB ―→，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝2x 2，1－y 1＝2y 2－1，即x 1＝－2x 2，y 1＝3－2y 2.因为点A ，B 在椭圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 224＋3－2y 22＝m ，x224＋y 22＝m ，解得y 2＝14m ＋34，所以x 22＝m －(3－2y 2)2＝－14m 2＋52m －94＝－14(m －5)2＋4≤4，所以当m ＝5时，点B 横坐标的绝对值最大． 答案：53．(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B两点，点M 的坐标为(2,0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB . 解：(1)由已知得F (1,0)，l 的方程为x ＝1. 则点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－22. 又M (2,0)，所以直线AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝22x －2， 即x ＋2y －2＝0或x －2y －2＝0.(2)证明：当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°. 当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线， 所以∠OMA ＝∠OMB .当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＜2，x 2＜2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2.由y 1＝kx 1－k ，y 2＝kx 2－k ，得k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k x 1＋x 2＋4kx 1－2x 2－2.将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2＝1， 得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k2k 2＋1＝0. 从而k MA ＋k MB ＝0， 故MA ，MB 的倾斜角互补． 所以∠OMA ＝∠OMB . 综上，∠OMA ＝∠OMB 成立．4．(2018·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为53，点A 的坐标为(b,0)，且|FB |·|AB |＝6 2. (1)求椭圆的方程．(2)设直线l ：y ＝kx (k ＞0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ，若|A Q||P Q|＝524sin ∠AO Q(O 为原点)，求k 的值． 解：(1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .①由已知可得|FB |＝a ，|AB |＝2b ， 又|FB |·|AB |＝62，可得ab ＝6.② 联立①②解得a ＝3，b ＝2. 所以椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点Q 的坐标为(x 2，y 2)． 由已知有y 1＞y 2＞0，故|P Q|sin ∠AO Q ＝y 1－y 2.又因为|A Q|＝y 2sin ∠OAB ，而∠OAB ＝π4，所以|A Q|＝2y 2.由|A Q||P Q|＝524sin ∠AO Q ，可得5y 1＝9y 2. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 29＋y24＝1消去x ，可得y 1＝6k 9k 2＋4.易知直线AB 的方程为x ＋y －2＝0， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x ＋y －2＝0消去x ，可得y 2＝2kk ＋1. 由5y 1＝9y 2，可得5(k ＋1)＝39k 2＋4，两边平方， 整理得56k 2－50k ＋11＝0，解得k ＝12或k ＝1128.所以k 的值为12或1128.5．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m ＞0)．(1)证明：k ＜－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP ―→＋FA ―→＋FB ―→＝0.证明：|FA ―→|，|FP ―→|，|FB ―→|成等差数列，并求该数列的公差．解：(1)证明:设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1. 两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0. 由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m.①由题设得0＜m ＜32，故k ＜－12.(2)由题意得F (1,0)．设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0,0)． 由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m ＜0.又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，|FP ―→|＝32， 于是|FA ―→|＝x 1－12＋y 21＝ x 1－12＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214 ＝2－x 12.同理|FB ―→|＝2－x 22.所以|FA ―→|＋|FB ―→|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|FP ―→|＝|FA ―→|＋|FB ―→|，即|FA ―→|，|FP ―→|，|FB ―→|成等差数列．设该数列的公差为d ，则2|d |＝|FB ―→|－|FA ―→|＝12|x 1－x 2|＝12x 1＋x 22－4x 1x 2.②将m ＝34代入①得k ＝－1，所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14＝0.故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128.所以该数列的公差为32128或－32128.命题点二 双曲线1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x 解析：选A ∵e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝3，∴a 2＋b 2＝3a 2，∴b ＝2a . ∴渐近线方程为y ＝±2x .2．(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D. 2解析：选C 法一：不妨设一条渐近线的方程为y ＝b ax ，则F 2到y ＝b ax 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b .在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ， 所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中， 根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－6a22ac＝－cos ∠POF 2＝－a c，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝c a＝ 3.法二：如图，过点F 1向OP 的反向延长线作垂线，垂足为P ′，连接P ′F 2，由题意可知，四边形PF 1P ′F 2为平行四边形，且△PP ′F 2是直角三角形．因为|F 2P |＝b ，|F 2O |＝c ，所以|OP |＝a .又|PF 1|＝6a ＝|F 2P ′|，|PP ′|＝2a ，所以|F 2P |＝2a ＝b ，所以c ＝a 2＋b 2＝3a ，所以e ＝c a＝ 3.3．(2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝1解析：选C 法一：如图，不妨设A 在B 的上方，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a . 又双曲线的一条渐近线为bx －ay ＝0，则d 1＋d 2＝bc －b 2＋bc ＋b 2a 2＋b 2＝2bcc ＝2b＝6，所以b ＝3.又由e ＝ca＝2，知a 2＋b 2＝4a 2，所以a ＝ 3.所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1.法二：由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，所以c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1.4．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32 B ．3 C ．2 3D ．4解析：选B 法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±13x .设两条渐近线的夹角为2α，则有tan α＝13＝33，所以α＝30°.所以∠MON ＝2α＝60°.又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示．在Rt △ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝ 3.在Rt △OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan 60°＝3.法二：因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°.不妨设过点F 的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2,0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x －2，y ＝33x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，所以|OM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3， 所以|MN |＝3|OM |＝3.5．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (c,0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值为________． 解析：∵双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0， ∴焦点F (c,0)到渐近线的距离d ＝|bc ±0|b 2＋a 2＝b ，∴b ＝32c ，∴a ＝c 2－b 2＝12c ， ∴e ＝c a＝2. 答案：26．(2018·北京高考)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为________．解析：法一：如图，∵双曲线N 的渐近线方程为y ＝±nmx ，∴n m＝tan 60°＝3，∴双曲线N 的离心率e 1满足e 21＝1＋n 2m2＝4，∴e 1＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，x 2a 2＋y 2b2＝1，得x 2＝a 2b 23a 2＋b2.设D 点的横坐标为x ，由正六边形的性质得|ED |＝2x ＝c ，∴4x 2＝c 2. ∴4a 2b 23a 2＋b2＝a 2－b 2，得3a 4－6a 2b 2－b 4＝0， ∴3－6b 2a2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 22＝0，解得b2a2＝23－3.∴椭圆M 的离心率e 2＝1－b 2a2＝4－23＝3－1. 法二：∵双曲线N 的渐近线方程为y ＝±n mx ，∴n m＝tan 60°＝ 3.又c 1＝m 2＋n 2＝2m ， ∴双曲线N 的离心率为c 1m＝2.如图，连接EC ，由题意知，F ，C 为椭圆M 的两焦点，设正六边形边长为1，则|FC |＝2c 2＝2，即c 2＝1.又E 为椭圆M 上一点， 则|EF |＋|EC |＝2a ， 即1＋3＝2a ，a ＝1＋32.∴椭圆M 的离心率为c 2a ＝21＋3＝3－1.答案：3－1 2 命题点三 抛物线1．(2017·全国卷Ⅰ)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10解析：选A 抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1,0)， 由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0. 不妨设直线l 1的斜率为k ，则l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k x －1消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k2，由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝2＋4k 2＋2＝4＋4k2.同理得|DE |＝4＋4k 2，∴|AB |＋|DE |＝4＋4k2＋4＋4k 2＝8＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋k 2≥8＋8＝16，当且仅当1k2＝k 2，即k ＝±1时取等号，故|AB |＋|DE |的最小值为16.2．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM ―→·FN ―→＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选D 由题意知直线MN 的方程为y ＝23(x ＋2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23x ＋2，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.不妨设M (1,2)，N (4,4)． ∵抛物线焦点为F (1,0)， ∴FM ―→＝(0,2)，FN ―→＝(3,4)． ∴FM ―→·FN ―→＝0×3＋2×4＝8.3．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.解析：法一：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，∴y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2. 设AB 中点为M ′(x 0，y 0)，抛物线的焦点为F ，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′，则|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)． ∵M ′(x 0，y 0)为AB 中点，。
圆锥曲线的综合问题(含答案)
课题：圆锥曲线的综合问题 【要点回顾】1．直线与圆锥曲线的位置关系判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y (或x )得关于变量x (或y )的方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)．若a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．若a ＝0且b ≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 2．圆锥曲线的弦长问题设直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则弦长|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|或 1＋1k2|y 1－y 2|.【热身练习】1．(教材习题改编)与椭圆x 212＋y 216＝1焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是( )A ．y 2－x 23＝1 B.y 23－x 2＝1 C.34x 2－38y 2＝1D.34y 2－38x 2＝1 解析：选A 设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝c 2，ca ＝2，c ＝2，得a ＝1，b ＝ 3.故双曲线方程为y 2－x 23＝1.2．(教材习题改编)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：选A 由于直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选C 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．4．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交点为B ，若|AM |＝|MB |，则该椭圆的离心率为________．解析：由题意知A 点的坐标为(－a,0)，l 的方程为y ＝x ＋a ，所以B 点的坐标为(0，a )，故M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a 2，代入椭圆方程得a 2＝3b 2，则c 2＝2b 2，则c 2a 2＝23，故e ＝63.5．已知双曲线方程是x 2－y 22＝1，过定点P (2,1)作直线交双曲线于P 1，P 2两点，并使P (2,1)为P 1P 2的中点，则此直线方程是________________．解析：设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则由x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，得k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 2＋x 1y 2＋y 1＝2×42＝4，从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x 2－56x ＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．答案：4x －y －7＝0 【方法指导】1.直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用．2．当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”． 【直线与圆锥曲线的位置关系】[例1] (2012·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． [自主解答] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以|MN |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝2＋k 2＋6k21＋2k2.又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2，所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |· d ＝|k |4＋6k 21＋2k .由|k |4＋6k 21＋2k ＝103，解得k ＝±1. 【由题悟法】研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥方程组成的方程组解的个数，但对于选择、填空题也可以利用几何条件，用数形结合的方法求解．【试一试】1．(2012·信阳模拟)设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1] D ．[－4,4]解析：选C 易知抛物线y 2＝8x 的准线x ＝－2与x 轴的交点为Q (－2,0)，于是，可设过点Q (－2,0)的直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)(由题可知k 是存在的)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k x ＋⇒k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.当k ＝0时，易知符合题意；当k ≠0时，其判别式为Δ＝(4k 2－8)2－16k 4＝－64k 2＋64≥0， 可解得－1≤k ≤1. 【最值与范围问题】[例2] (2012·浙江高考)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2,1)的距离为10.不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(1)求椭圆C 的方程；(2)求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程．[自主解答] (1)设椭圆左焦点为F (－c,0)，则由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧＋c 2＋1＝10，c a ＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＝2.所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M .当直线AB 与x 轴垂直时，直线AB 的方程为x ＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12消去y ，整理得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， ① 则Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0，所以线段AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2.因为M 在直线OP ：y ＝12x 上，所以3m 3＋4k 2＝－2km3＋4k 2.得m ＝0(舍去)或k ＝－32.此时方程①为3x 2－3mx ＋m 2－3＝0，则Δ＝3(12－m 2)＞0，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－33.所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝396·12－m 2， 设点P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|8－2m |32＋22＝2|m －4|13. 设△ABP 的面积为S ，则S ＝12|AB |·d ＝36·m －2－m2.其中m ∈(－23，0)∪(0,23)．令u (m )＝(12－m 2)(m －4)2，m ∈[－23，2 3 ]，u ′(m )＝－4(m －4)(m 2－2m －6)＝－4(m －4)(m －1－7)(m －1＋7)．所以当且仅当m ＝1－7时，u (m )取到最大值． 故当且仅当m ＝1－7时，S 取到最大值． 综上，所求直线l 的方程为3x ＋2y ＋27－2＝0. 【由题悟法】1．解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法．(1)若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法； (2)若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．2．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： (1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系； (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用基本不等式求出参数的取值范围； (5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 【试一试】2．(2012·东莞模拟)已知抛物线y 2＝2px (p ≠0)上存在关于直线x ＋y ＝1对称的相异两点，则实数p 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 解析：选B 设抛物线上关于直线x ＋y ＝1对称的两点是M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，设直线MN 的方程为y ＝x ＋b .将y ＝x ＋b 代入抛物线方程，得x 2＋(2b －2p )x ＋b 2＝0，则x 1＋x 2＝2p －2b ，y 1＋y 2＝(x 1＋x 2)＋2b ＝2p ，则MN 的中点P 的坐标为(p －b ，p )．因为点P 在直线x ＋y ＝1上，所以2p －b ＝1，即b ＝2p －1.又Δ＝(2b －2p )2－4b 2＝4p 2－8bp ＞0，将b ＝2p －1代入得4p 2－8p (2p －1)＞0，即3p 2－2p ＜0，解得0＜p ＜23. 【定点定值问题】[例3] (2012·辽宁高考)如图，椭圆C 0：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 21，b <t 1<a .点A 1，A 2分别为C 0的左，右顶点，C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；(2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b <t 2<a ，t 1≠t 2.若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，证明：t 21＋t 22为定值．[自主解答] (1)设 A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为y ＝y 1x 1＋a(x ＋a )，①直线A 2B 的方程为y ＝－y 1x 1－a(x －a )．② 由①②得y 2＝－y 21x 21－a2(x 2－a 2)．③由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故x 21a 2＋y 21b2＝1.从而y 21＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2，代入③得x 2a 2－y 2b 2＝1(x <－a ，y <0)． (2)证明：设A ′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得4|x 1||y 1|＝4|x 2|·|y 2|， 故x 21y 21＝x 22y 22.因为点A ，A ′均在椭圆上，所以b 2x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2＝b 2x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 22a 2.由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以x 21＋x 22＝a 2，从而y 21＋y 22＝b 2， 因此t 21＋t 22＝a 2＋b 2为定值． 【由题悟法】1．求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出表达式，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2．定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋b ，然后利用条件建立b 、k 等量关系进行消元，借助于直线系方程找出定点；(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况． 【试一试】3．(2012·山东省实验中学模拟)已知抛物线y 2＝2px (p ≠0)及定点A (a ，b )，B (－a,0)，ab ≠0，b 2≠2pa ，M 是抛物线上的点．设直线AM ，BM 与抛物线的另一个交点分别为M 1，M 2，当M 变动时，直线M 1M 2恒过一个定点，此定点坐标为________．解析：设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0，M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，M 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222p ，y 2，由点A ，M ，M 1共线可知y 0－b y 202p－a＝y 1－y 0y 212p －y 202p，得y 1＝by 0－2pa y 0－b ，同理由点B ，M ，M 2共线得y 2＝2pa y 0.设(x ，y )是直线M 1M 2上的点，则y 2－y 1y 222p －y 212p ＝y 2－y y 222p－x ，即y 1y 2＝y (y 1＋y 2)－2px ，又y 1＝by 0－2pa y 0－b ，y 2＝2pay 0， 则(2px －by )y 02＋2pb (a －x )y 0＋2pa (by －2pa )＝0. 当x ＝a ，y ＝2pa b时上式恒成立，即定点为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2pa b .答案：⎝⎛⎭⎪⎫a ，2pa b。
山东省齐河县高考数学三轮冲刺 专题 圆锥曲线中的综合问题练习(含解析)
圆锥曲线中的综合问题一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 已知F为抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，其中O为坐标原点，则与面积之和的最小值是A. 2B. 3C.D.（正确答案）B解：设直线AB的方程为：，点，，直线AB与x轴的交点为，由，根据韦达定理有，，，结合及，得，点A，B位于x轴的两侧，，故．不妨令点A在x轴上方，则，又，，．当且仅当，即时，取“”号，与面积之和的最小值是3，故选B．可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．2. 已知椭圆E：的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：交椭圆E于A，B两点，若，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是A. B. C. D.（正确答案）A解：如图所示，设为椭圆的左焦点，连接，，则四边形是平行四边形，，．取，点M到直线l的距离不小于，，解得．．椭圆E的离心率的取值范围是．故选：A．如图所示，设为椭圆的左焦点，连接，，则四边形是平行四边形，可得取，由点M到直线l的距离不小于，可得，解得再利用离心率计算公式即可得出．本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3. 已知点是椭圆C：的左顶点，过点P作圆O：的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，则的值是A. 12B. 13C. 14D. 15（正确答案）C解：由题意，．过点P作圆O：的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，，，，，，故选C．由题意，过点P作圆O：的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，可得，即可求出的值．本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．4. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分交于A点，，垂足为K，则的面积为A. 4B.C.D. 8（正确答案）C解：由抛物线的定义可得，则的斜率等于，的倾斜角等于，，，故为等边三角形．又焦点，AF的方程为，设，，由得，，故等边三角形的边长，的面积是，故选：C．先判断为等边三角形，求出A的坐标，可求出等边的边长的值，的面积可求．本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断为等边三角形是解题的关键．5. 已知抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于M，N两点，若为直角三角形，其中F为直角顶点，则A. B. C. D. 6（正确答案）A【分析】本题考查抛物线的定义及抛物线的几何性质，双曲线方程的应用，考查计算能力．【解答】解：由题设知抛物线的准线为，代入双曲线方程解得，由双曲线的对称性知为等腰直角三角形，，，，即，故选A．6. 若抛物线上恒有关于直线对称的两点A，B，则p的取值范围是A. B.C. D.（正确答案）C解：设，，因为点A和B在抛物线上，所以有得，．整理得，因为A，B关于直线对称，所以，即．所以．设AB的中点为，则．又M在直线上，所以．则．因为M在抛物线内部，所以．即，解得．所以p的取值范围是故选C．设出A，B两点的坐标，因为A，B在抛物线上，把两点的坐标代入抛物线方程，作差后求出AB中点的纵坐标，又AB的中点在直线上，代入后求其横坐标，然后由AB中点在抛物线内部列不等式求得实数p的取值范围．本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了点差法，是解决与弦中点有关问题的常用方法，解答的关键是由AB中点在抛物线内部得到关于p的不等式，是中档题．7. 已知点，A，B是椭圆上的动点，且，则的取值是A. B. C. D.（正确答案）C解：，可得，设，则，时，的最小值为；时，的最大值为9，故选：C．利用，可得，设，可得，即可求解数量积的取值范围．本题考查椭圆方程，考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．8. 过双曲线的右顶点A作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、若，则双曲线的离心率是A. B. C. D.（正确答案）C解：直线l：与渐近线：交于，l与渐近线：交于，，，，，，，，，，故选C．分别表示出直线l和两个渐近线的交点，进而表示出和，进而根据求得a和b的关系，进而根据，求得a和c的关系，则离心率可得．本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题要求学生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．9. 如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点A是，在第一象限内的公共点，若，则的离心率是A. B. C. D.（正确答案）C解：由题意，是双曲线与椭圆的公共焦点可知，，，，，，的离心率是．故选：C．利用椭圆以及双曲线的定义，转化求解椭圆的离心率即可．本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．10. 已知双曲线C：与抛物线的准线相交于A、B两点，双曲线的一条渐近线方程为，点F是抛物线的焦点，且是正三角形，则双曲线C的方程为A. B. C. D.（正确答案）B解：抛物线的焦点为，其准线方程为，为正三角形，，将代入双曲线可得，双曲线的一条渐近线方程是，，，，双曲线的方程为．故选：B．抛物线的焦点为，其准线方程为，利用为正三角形，可得A的坐标，代入双曲线的方程，可得a，b的方程，利用双曲线的一条渐近线方程是，可得a，b的方程，从而可得a，b的值，即可求出双曲线的方程．本题考查抛物线、双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，正确运用抛物线、双曲线的性质是关键．11. 抛物线：的焦点F是双曲线：的右焦点，点P为曲线，的公共点，点M在抛物线的准线上，为以点P为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为A. B. C. D.（正确答案）C解：抛物线：的焦点F是双曲线：的右焦点，，，则，P在双曲线上，满足：，解得，，所求双曲线的离心率为：．故选：C．求出抛物线以及双曲线的焦点坐标，利用已知条件推出P的坐标，代入双曲线方程，然后求解a、c，即可求解双曲线的离心率即可．本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的综合应用，考查转化思想以及计算能力．12. 已知P是双曲线上任意一点，过点P分别作曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则的值是A. B. C. D. 不能确定（正确答案）A解：设，则，即，由双曲线的渐近线方程为，则由解得交点；由解得交点，，则．故选：A．设，则，即，求出渐近线方程，求得交点A，B，再求向量PA，PB的坐标，由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到．本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查联立方程组求交点的方法，考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 设抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则 ______ ．（正确答案）解：抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，可得，，解得．故答案为：．求出抛物线的焦点坐标，利用已知条件求出b即可．本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．14. 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数p的值为______．（正确答案）6解：双曲线的方程，，，可得，因此双曲线的右焦点为，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，，解之得．故答案为：6．根据双曲线的方程，可得，从而得到双曲线的右焦点为，再根据抛物线的简单几何性质，可得，解之即可得到实数p的值．本题给出抛物线以原点为顶点，双曲线的右焦点为焦点，求抛物线方程，着重考查了双曲线、抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．15. 已知抛物线C：的焦点为F，过点F倾斜角为的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于______．（正确答案）3解：设，，则，，，即有，由直线l倾斜角为，则直线l的方程为：，即，联立抛物线方程，消去y并整理，得，则，可得，，则，故答案为：3．设出A、B坐标，利用焦半径公式求出，结合，求出A、B的坐标，然后求其比值．本题考查直线的倾斜角，抛物线的简单性质，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．16. 过双曲线右焦点且斜率为 2 的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为______．（正确答案）解：由题意过双曲线，右焦点且斜率为 2 的直线，与该双曲线的右支交于两点，可得双曲线的渐近线斜率，，，双曲线离心率的取值范围为故答案为：先确定双曲线的渐近线斜率小于2，结合离心率，即可求得双曲线离心率的取值范围．本题考查双曲线的离心率的范围，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是利用渐近线的斜率与离心率的关系，属于中档题．三、解答题（本大题共3小题，共30分）17. 已知曲线C：，直线l：为参数Ⅰ写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．Ⅱ过曲线C上任意一点P作与l夹角为的直线，交l于点A，求的最大值与最小值．（正确答案）解：Ⅰ对于曲线C：，可令、，故曲线C的参数方程为，为参数．对于直线l：，由得：，代入并整理得：；Ⅱ设曲线C上任意一点．P到直线l的距离为．则，其中为锐角．当时，取得最大值，最大值为．当时，取得最小值，最小值为．Ⅰ联想三角函数的平方关系可取、得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；Ⅱ设曲线C上任意一点由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以进一步得到，化积后由三角函数的范围求得的最大值与最小值．本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．18. 已知A是椭圆E：的左顶点，斜率为的直线交E与A，M两点，点N在E上，．当时，求的面积当时，证明：．（正确答案）解：由椭圆E的方程：知，其左顶点，，且，为等腰直角三角形，轴，设M的纵坐标为a，则，点M在E上，，整理得：，或舍，；设直线的方程为：，直线的方程为：，由消去y得：，，，，，又，，整理得：，设，则，为的增函数，又，，．依题意知椭圆E的左顶点，由，且，可知为等腰直角三角形，设，利用点M在E上，可得，解得：，从而可求的面积；设直线的方程为：，直线的方程为：，联立消去y，得，利用韦达定理及弦长公式可分别求得，，结合，可得，整理后，构造函数，利用导数法可判断其单调性，再结合零点存在定理即可证得结论成立．本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解，考查构造函数思想与导数法判断函数单调性，再结合零点存在定理确定参数范围，是难题．19. 如图，已知四边形ABCD是椭圆的内接平行四边形，且BC，AD分别经过椭圆的焦点，．Ⅰ若直线AC的方程为，求AC的长；Ⅱ求平行四边形ABCD面积的最大值．（正确答案）本小题满分14分Ⅰ解：由，消去y可得：，解得，分所以A，C两点的坐标为和，分所以分Ⅱ解：当直线AD的斜率不存在时，此时易得，，，，所以平行四边形ABCD的面积为分当直线AD的斜率存在时，设直线AD的方程为，将其代入椭圆方程，整理得分设点，，，则，分连结，，则平行四边形ABCD的面积分又分又，所以．综上，平行四边形ABCD面积的最大值是分Ⅰ通过，求出x，得到A，C两点的坐标，利用距离公式求解即可．Ⅱ当直线AD的斜率不存在时，求出三个点的坐标，然后求解平行四边形的面积．当直线AD的斜率存在时，设直线AD的方程为，与椭圆方程联立，设点，，，利用韦达定理，连结，，表示出面积表达式，然后求解最值．本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．。
(山东专用)高考数学总复习 第八章第9课时 圆锥曲线的综合问题 课时闯关(含解析)
2013年高考数学总复习（山东专用）第八章第9课时 圆锥曲线的综合问题 课时闯关（含解析）一、选择题1．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( ) A ．m >4 B ．m >1且m ≠3C ．m >3D ．m >0且m ≠3解析：选B.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1，得(3＋m )x 2＋4mx ＋m ＝0.若直线与椭圆有两个公共点，则Δ＝(4m )2－4m (3＋m )>0，求得m <0或m >1.又由x 2m ＋y 23＝1表示椭圆，知m >0且m ≠3.综上，得m 的取值范围是m >1且m ≠3.故选B.2．设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA →·OB →等于( )A.34 B ．－34C ．3D ．－3解析：选B.法一：(特殊值法)抛物线的焦点为F (12，0)，过F 且垂直于x 轴的直线交抛物线于A (12，1)，B (12，－1)， ∴OA →·OB →＝(12，1)·(12，－1)＝14－1＝－34. 法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2.由抛物线的过焦点的弦的性质知：x 1x 2＝p 24＝14，y 1y 2＝－p 2＝－1. ∴OA →·OB →＝14－1＝－34. 3．椭圆x 24＋y 23＝1的离心率为e ，点(1，e )是圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是( )A ．3x ＋2y －4＝0B ．4x ＋6y －7＝0C ．3x －2y －2＝0D ．4x －6y －1＝0解析：选B.依题意得e ＝12，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12的连线的斜率为2－122－1＝32，所求直线的斜率等于－23，所以所求直线方程是y －12＝－23(x －1)，即4x ＋6y －7＝0，选B.4．(2010·高考课标全国卷)已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1 解析：选B.∵k AB ＝0＋153＋12＝1， ∴直线AB 的方程为y ＝x －3.由于双曲线的焦点为F (3,0)，∴c ＝3，c 2＝9. 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则x 2a 2－x －2b 2＝1. 整理，得(b 2－a 2)x 2＋6a 2x －9a 2－a 2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6a 2a 2－b 2＝2×(－12)． ∴a 2＝－4a 2＋4b 2，∴5a 2＝4b 2.又a 2＋b 2＝9，∴a 2＝4，b 2＝5.∴双曲线E 的方程为x 24－y 25＝1. 5．(2012·成都调研)抛物线y ＝x 2到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是( )A ．(32，54) B ．(1,1) C ．(32，94) D ．(2,4) 解析：选B.设P (x ，y )为抛物线y ＝x 2上任 一点，则P 到直线的距离d ＝|2x －y －4|5＝|x 2－2x ＋4|5＝x －2＋35， ∴x ＝1时，d 取最小值355，此时P (1,1)． 二、填空题6．若圆x 2＋y 2－ax －2＝0与抛物线y 2＝4x 的准线相切，则a 的值是________．解析：抛物线y 2＝4x 的准线为x ＝－1， 圆的方程变形为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＝a 24＋2， 由题意得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋1＝ a 24＋2， 即a 24＋a ＋1＝a 24＋2，∴a ＝1. 答案：17．若m ＞0，点P (m ，52)在双曲线x 24－y 25＝1上，则点P 到该双曲线左焦点的距离为________． 解析：点P (m ，52)在双曲线x 24－y 25＝1上，且m ＞0，代入双曲线方程解得m ＝3，双曲线左焦点F 1(－3,0)，故|PF 1|＝＋2＋52－2＝132. 答案：1328．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B .若AM →＝MB →，则p ＝________.解析：如图，由AB 的斜率为3，知α＝60°，又AM →＝MB →，∴M 为AB 的中点．过点B 作BP 垂直准线l 于点P .则∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°.∴|BP |＝12|AB |＝|BM |. ∴M 为焦点，即p 2＝1，∴p ＝2. 答案：2三、解答题9．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F (7，0)．直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，求此双曲线方程． 解：设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，且c ＝7， 则a 2＋b 2＝7.①由MN 中点横坐标为－23知，中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－53. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－a 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，得2b 2＝5a 2.②由①，②求得a 2＝2，b 2＝5，故所求方程为x 22－y 25＝1. 10．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)上的两点，m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1b ，y 1a ，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2b ，y 2a ，且m ·n ＝0，椭圆离心率e ＝32，短轴长为2，O 为坐标原点． (1)求椭圆方程；(2)若存在斜率为k 的直线AB 过椭圆的焦点F (0，c )(c 为半焦距)，求k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝32b ＝1，解得a ＝2，b ＝1. ∴所求椭圆方程为y 24＋x 2＝1. (2)设AB 方程为y ＝kx ＋ 3. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋3y 24＋x 2＝1⇒(k 2＋4)x 2＋23kx －1＝0， x 1＋x 2＝－23k k 2＋4，x 1·x 2＝－1k 2＋4. 由已知：0＝m ·n ＝x 1x 2b 2＋y 1y 2a2＝x 1x 2＋14(kx 1＋3)(kx 2＋3) ＝k 2＋44·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＋4＋34k ·－23k k 2＋4＋34. 解得k ＝± 2.11．中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C 的一个顶点为B (0，－1)，右焦点到直线m ：x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率k ≠0的直线l 与C 交于M ，N 两点，使|BM |＝|BN |？若存在，求k 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)由题意，b 2＝1，设右焦点为F (c,0)，则d ＝|c ＋22|2＝3，即|c ＋22|＝3 2. 解得c ＝2，又a 2＝c 2＋b 2＝3，∴a 2＝3.∴所求椭圆C 的标准方程为x 23＋y 2＝1. (2)假设存在k 满足条件，设l 与C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 则⎩⎪⎨⎪⎧ x 213＋y 21＝1，x 223＋y 22＝1，两式相减得13(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 设MN 的中点为P (x 0，y 0)，∴k ·k OP ＝－13， 即k ＝－x 03y 0. 又∵BP ⊥l ，∴y 0＋1x 0＝－1k. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－32k ，y 0＝12，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32k ，12. ∵要使|BM |＝|BN |，须x 203＋y 20<1. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－32k 23＋14<1， ∴k 2<1且k ≠0.∴存在－1<k <0或0<k <1满足题设．。
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1 2013年高考数学总复习（山东专用）第八章第9课时 圆锥曲线的综合问题 随堂检测（含解析） 1．AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中心的弦，F (c,0)为它的焦点，则△FAB 的最大面积为( )
A ．b 2
B ．ab
C ．ac
D ．bc
解析：选D.设A 、B 两点的坐标为(x 1，y 1)、(－x 1，－y 1)，则S △FAB ＝12
|OF |·|2y 1|＝c |y 1|≤bc . 2．(2011·高考山东卷)设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以
F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )
A ．(0,2)
B ．[0,2]
C ．(2，＋∞)
D ．[2，＋∞)
解析：选C.∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知|MF |
＝y 0＋2.以F 为圆心、|FM |为半径的圆的标准方程为x 2＋(y －2)2＝(y 0＋2)2.
由于以F 为圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4，故4<y 0＋2，∴y 0>2.
3．已知曲线x 2a －y 2b ＝1与直线x ＋y －1＝0相交于P 、Q 两点，且OP →·OQ →＝0(O 为原点)，求1a
－1
b 的值．
解：设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2a －y 2b
＝1，x ＋y －1＝0，
则(b －a )x 2＋2ax －a －ab ＝0. 所以x 1＋x 2＝－2a b －a ，x 1x 2＝－a －ab b －a
， y 1y 2＝(1－x 1)(1－x 2)＝1－(x 1＋x 2)＋x 1x 2，
根据OP →·OQ →＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0，得
1－(x 1＋x 2)＋2x 1x 2＝0，
因此1＋2a b －a ＋2×－a －ab b －a ＝0，化简得b －a ab
＝2， 即1a －1b
＝2.。