动能定理
θ
dvC 1 M ds (2m1 + 3m2 ) ⋅ vC ⋅ = ( − m2 g sinθ ) ⋅ 2 dt R1 dt
ds = vC dt
dvC = aC dt
解得加速度：
2(M − m2 gR1 sinθ ) aC = R1 (2m1 + 3m2 )
选题
势力场．势能． § 15-4 势力场．势能．机械能守恒定律
3. 理想约束 光滑固定面、一端固定的绳索、光滑铰支座、 固定端等约束，其约束力都垂直于力作用点的位移， 约束反力不作功。 约束反力作功等于零的约束称为理想约束。 1）光滑铰链 2）不可伸长细绳 3）刚性二力杆
4）滑动摩擦力：与物体的相对位移反向，摩擦力作 负功，不是理想约束，应用动能定理时要计入摩擦 力的功。 5）当轮子在固定面上只滚不滑时，接触点为瞬心， 滑动摩擦力作用点没动，此时的滑动摩擦力不作功。 不计滚动摩阻时，纯滚动的接触点也是理想约束。
r r dr = v dt
质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。
1 d ( mv 2 ) = δW 2
积分：
∫
v2
v1
1 d ( mv 2 ) = W12 2
或
1 1 2 mv 2 − mv12 = W12 2 2
称质点动能定理的积分形式： 在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于 作用于质点的力作的功。 可见： 力作正功，质点动能增加； 力作负功，质点动能减小。
6）刚体内任意两个质点相互作用力是内力：等值、 反向、共线，距离保持不变。
沿这两点连线的位移必定相等，其中一力作正功，另一力 作负功，一对力所作的功的和等于零。 刚体所有内力作功的和等于零。
某些情形下，内力虽然等值而反向，但所作功的和并不等于零。
两个相互吸引的质点M1和M2 组成的质点系，两质点相互作用 的力F12和F21是一对内力。 虽然内力的矢量和等于零， 两力所作功的和不为零。
M1
M2
r F12
r F21
汽车发动机的气缸的作用力都是内力，内力功的和不等 于零，内力的功使汽车的动能增加。
从上分析，应用质点系的动能定理，要根据具体情况仔细 分析所有的作用力，以确定它是否作功；理想约束的约束反 力不作功，而质点系的内力作功之和并不一定等于零。
应用动能定理解题的步骤如下： 应用动能定理解题的步骤如下：
II
r FN
A
r vC
C
d
40 mm
I
应用动能定理： T2 − T1 = W12 1 d2 2 m( + ρ C )ω 2 = mgh 2 4 1 d2 2 h= + ρ C )ω 2 ( 2g 4
1 0.012 2 = ( + 0.014 2 ) ⋅ 100 2 = 0.1m 2 ⋅ 9.8 4
ω
解得速度：
s ϕ= R1
( M − m2 gR1 sin θ ) s vc = 2 R1 ( 2 m1 + 3m2 )
M
1 M 2 (2m1 + 3m2 ) ⋅ vc = ( − m2 g sinθ ) ⋅ s 4 R1
r m2 g
C
r Fs
D
r FN
r FOy r O FOx r m1 g
5）计算加速度 上式求导
10 12 20
注意到： W10 =V1 ， W20 =V2 于是得： W12 =V1 –V2
M0
O
y 即有势力所作的功：等于质点系在运 动过程的初始与终了位置的势能的差。 x 可以证明：当质点系受数个有势力作用在势力场中运动时，各 有势力所作功的代数和等于质点系在运动过程的初始与终了位 置的势能的差。
W12 = V1 − V2
′ T2 − T1 = V1 − V2 + W12
n
质点系动能定理的微分形式： 质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和。 积分，得
T2 − T1 = ∑ Wi
质点系动能定理的积分形式： 质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能的改变量， 等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。 T1和T2分别是质点系在某一段运动过程的起点和终点的动能。
3．机械能守恒定律 ．
质点系在某瞬时的动能与势能的代数和称为机械能。 设质点系在运动过程中的初始和终了瞬时的动能分别为T1和 T2。 所受力在这过程中所作的功为W12 。 根据动能定理有：
T2 − T1 = W12
如系统运动中，只有有势力作功，有势力的功可用势能计算：
T2 − T1 = W12 = V1 − V2
2. 质点系的动能定理 质点系内任一质点，质量为mi ，速度为vi，作用在该质点上 的力为Fi。 根据质点的动能定理的微分形式有:
1 d ( mi vi2 ) = δWi 2
设质点系有n个质点，每个质点都 可列出一个如上的方程. 将n个方程相加，得:
n 1 2 ∑ d ( 2 mi vi ) = ∑ δWi i =1 i =1 n
III
0 − 0 = mg ( h + δ max ) −
1 2 kδ max 2
mg 1 δ max = + m 2 g 2 + 2 kmgh 结果与前面相同 k k 质点在运动过程中动能是变化的；但在应用动能定理时不必考 虑在始、末位置之间动能是如何变化的。 选题
例2. Yo-yo如图，质量为 70 g , 角速度为100rad/s , 惯性半径为ρC = 14mm,d=12mm 求： Yo-yo能上升的高度。
§ 15-3 动能定理
r r dv =F 质点运动微分方程的矢量形式： m dt
⒈质点的动能定理
在方程两边点乘 dr 得：
r dv r r r m ⋅ dr = F ⋅ dr dt r r r r m v ⋅ dv = F ⋅ dr 1 d ( mv 2 ) = δW 2
称为质点动能定理的微分形式：
M
点M0的势能等于零，我们称它为零势能点。 在势力场中，势能的大小是相对于零势能点而言的。 零势能点M可以任意选取，对于不同的零势能点，在势力场 中同一位置的势能可有不同的数值。
质点系在势力场中运动，有势力的功可通过势能计算。 设某个有势力的作用点在质点系的运动过程中，从点M1 到点 M2 ，该力所作的功为Ｗ12。 取M0为零势能点，则从M1到 M0和从M2 到M0有势力所作的 功分别为M1和M2位置的势能 V1和 V2。 有势力的功与轨迹形状无关，M1经M2到达M0时，有势力的功为： z M1 M W = W +W 2
解得
δ max
mg 1 = + m 2 g 2 + 2 kmgh k k
本题把两段过程合在一起考虑，即对质点 从开始下落至弹簧压缩到最大值的过程 I → III，质点动能变化为0 重力作的功为mg(h+ δmax )， 弹簧力作的功：1/2 k(0-δmax2 ) 应用动能定理：
m
h
I II
δ max
J1、Jc为转动惯量：
J 1 = m2 R12 , J c = 1 2 m 2 R2 2
ω1和ω2 为角速度
vc2 T2 = ( 2 m1 + 3m2 ) 4
ω1 =
vc v ,ω 2 = c R1 R2
W12 = Mϕ − m2 g sin θ ⋅ s T1 = 0
vc2 T2 = ( 2 m1 + 3m2 ) 4
r mg
例3 卷扬机如图所示。鼓轮在常力偶M的作用下将圆柱沿斜 坡上拉。已知鼓轮的半径为R1，质量为m1，质量分布在轮缘 上；圆柱的半径为R2，质量为m2，质量均匀分布。设斜坡的 倾角为θ，圆柱只滚不滑。系统从静止开始运动，求圆柱中 心C经过路程S时的速度和加速度。 解： r M FOy 1) 取圆柱和鼓轮一起组成 r O FOx 的质点系为研究对象。 r C r Fs 2）力的功计算 m1 g r 作用在质点系的外力有： m2 g θ D 重力m1g和m2g ，外力偶M， r FN 水平轴支反力Fox和Foy， 斜面对圆柱的作用力FN 和静摩擦力FS。
1 m1v12 − 0 = mgh 2
v1 = 2 gh
质点位置: II → III，弹簧被压缩，质 点速度减小，速度等于零时，弹簧压 缩到最大值δmax。 在这段过程中重力作功：mgδmax ，弹 簧力作的功：1/2 k(0-δmax2 )
m
h
I II
δ max
III
应用动能定理
1 1 2 2 0 − mv1 = mg δ max − kδ max 2 2
M
C
r m2 g
4）应用质点系的动能定理
T2 − T1 = W12
r Fs
D
r FN
r FOy r O FOx r m1 g
θ
vc2 (2m1 + 3m2 ) − 0 = Mϕ − m2 g sin θ ⋅ s 4 1 M (2m1 + 3m2 ) ⋅ vc2 = ( − m2 g sin θ ) ⋅ s 4 R1
移项得：
V1 + T1 = V2 + T2
机械能守恒定律的数学表达式， 质点系仅在有势力的作用下运动时，其机械能保持不变。 这样的质点系称为保守系统。
如果质点系还受到非保守力的作用，称为非保守系统。 非保守系统的机械能是不守恒的。 设保守力所作的功W12 ，非保守力所作的功为W´12 由动能定理有： T2 − T1 = W12 + W12 ′ 因 有
解： 1）取Yo-yo为研究对象 2）运动和力分析： Yo-yo作平面运动，设质心为C, A点为速度瞬心 d vC = ω 2 重力mg ,绳拉力FN Yo-yo位置: 此时为I位置; 在最高处为II位置;
II
r FN
A
动能定理
• 质量为 的小球被系在轻绳的一端，在竖直平面 质量为m的小球被系在轻绳的一端， 的小球被系在轻绳的一端 内作半径为R的圆周运动 运动过程中 内作半径为 的圆周运动.运动过程中，小球受到 的圆周运动 运动过程中， 空气阻力的作用， 空气阻力的作用，在某一时刻小球通过轨道最低 点时绳子的拉力为7mg，此后小球继续作圆周运 ， 点时绳子的拉力为 动，转过半个圆周恰好通过最高点，则此过程中 转过半个圆周恰好通过最高点， 小球克服阻力所做的功为多大？ 小球克服阻力所做的功为多大？
解析：对全过程应用由动能定理： 解析：对全过程应用由动能定理：
mgh − fs = 0得s =
mgh h = = 3m µmg µ
3 = 6倍 0.5
相当于BC段长度的n =
例题1:一质量为 的小球 例题 一质量为m的小球，在光滑 一质量为 的小球， 水平面上，在拉力F的作用下沿半 水平面上，在拉力 的作用下沿半 作匀速圆周运动， 径r作匀速圆周运动，当外力增至 作匀速圆周运动 8F，使小球半径变为 仍做匀速 ，使小球半径变为r/2仍做匀速 圆周运动，求小球由r变为 变为r/2的过 圆周运动，求小球由 变为 的过 程中外力对小球所做的功？ 程中外力对小球所做的功？
3Fr WF = 2
v1
F
α
从而可以看出略去中间过程，解决了变力做功问题。 从而可以看出略去中间过程，解决了变力做功问题。 v2
8F
• 如图所示，一个物体从斜面上高h处由静止滑下 如图所示，一个物体从斜面上高 处由静止滑下 并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止， 并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止，测得 停止处与开始运动处的水平距离为s， 停止处与开始运动处的水平距离为 ，不考虑物体 滑至斜面底端的碰撞作用， 滑至斜面底端的碰撞作用，并认为斜面与水平面 对物体的动摩擦因数相同，求动摩擦因数µ. 对物体的动摩擦因数相同，求动摩擦因数
动能定理物体动能与功的关系
动能定理物体动能与功的关系动能定理是物理学中一个重要的定理，它描述了物体的动能与所受的做功之间的关系。
本文将详细介绍动能定理，并探讨物体动能与功之间的关系。
一、动能定理的定义和表达式动能定理是描述物体动能变化的定理。
它可以表达为：物体的动能变化等于物体所受的净外力所做的功。
动能定理的数学表达式为：物体的动能的变化量等于物体所受的净外力所做的功的总和。
数学表达式为：ΔKE = W_net其中，ΔKE表示物体动能的变化量，W_net表示物体所受的净外力所做的功的总和。
二、物体动能与功的关系根据动能定理，物体的动能的变化量等于物体所受的净外力所做的功的总和。
这意味着，当一个物体所受的净外力做功时，它的动能会发生变化。
1. 净外力与功的关系在动能定理中，功是由物体所受的净外力所做的。
净外力是指物体所受的所有作用力的矢量和。
功可以由净外力的大小和方向以及物体位移的大小和方向来计算。
2. 功对动能的影响根据动能定理，物体的动能的变化量等于物体所受的净外力所做的功的总和。
如果物体所受的净外力所做的功为正值，那么物体的动能将增加；如果功为负值，物体的动能将减小；如果功为零值，物体的动能将保持不变。
3. 动能与功的关系示例例如，当一个人用力推动一辆静止的小车，小车受到的作用力将进行功，将其推动到一定的位移。
这时，小车的动能将增加，同时也可以通过功的大小来计算增加的动能。
另一个示例是，当一个物体从高处自由下落时，在下落过程中，重力对物体进行功，使其动能增加。
这也可以通过功的大小来计算物体的动能增加量。
三、总结动能定理是描述物体动能与所受的净外力所做的功之间的关系的定理。
根据动能定理，物体的动能的变化量等于物体所受的净外力所做的功的总和。
净外力的大小和方向以及物体位移的大小和方向都会影响功的大小，进而影响物体动能的变化。
在实际问题中，我们可以利用动能定理来分析物体的运动情况和动能的变化。
通过计算功的大小和方向，我们可以了解物体动能的增加或减少，从而加深对动能和功之间关系的理解。
高中物理动能定理的内容与公式
高中物理动能定理的内容与公式高中物理动能定理公式是W=(1/2)mV₁²-(1/2)mVo²=Ek₂-Ek₁，W为外力做的功，Vo是物体初速度，V₁是末速度，Ek₂表示物体的末动能，Ek₁表示物体的初动能。
W是动能的变化，又称动能的增量，也表示合外力对物体做的总功。
动能定理研究的对象是单一的物体，或者可以称单一物体的物体系。
动能定理的计算式是等式，一般以地面为参考系。
动能定理适用于物体的直线运动，也适应于曲线运动;适用于恒力做功，也适用于变力做功;里可以是分段作用，也可以是同时作用，只要可以求出各个力的正负代数和。
拓展阅读：高中物理动能定理的知识点动能定理的基本概念合外力做的功，等于物体动能的改变量，这就是动能定理的内容。
动能定理还可以表述为：过程中所有分力做的功的代数和，等于动能的改变量。
这里的合外力指研究对象受到的所有外力的合力。
动能定理的表达式动能定理的基本表达式：F合s=W=ΔEk;动能定理的其他表示方法：∫Fds=W=ΔEk;F1s1+F2s2+F3s3+……=ΔEk;功虽然是标量，但有正负一说。
最为严谨的公式是第二个公式;最常用的，有些难度的却是第三个公式。
动能定理根源我们来推导动能定理，很多学生可能认为这是没有必要的，其实恰恰相反。
近几年的高考物理试题，特别注重基础知识的推导和与应用。
理解各个知识点之间的关联，能够帮你更好的理解物理考点。
在内心理解了动能定理，知道了它的本源，才能在考试中科学运用动能定理来解题。
动能定理的推导分为如下两步：(1)匀变速直线运动下的动能定理推导过程物体做匀变速直线运动，则其受力情况为F合=ma;由匀变速直线运动的公式：2as=v2-v02;方程的两边都乘以m，除以2，有：mas=½(mv2-v02)=Ek2-Ek1=ΔEk;上述方程的左端mas=F合s=W;因此有：F合s=W=ΔEk;这就是动能定理在匀变速直线运动情况下的推导过程。
动能和动能定理
F
2.当拉力为0.25F时，速度为v2. 1 v 22 2 1 mv 则0.25F= m 末动能EK2= FR 2 2 =4 2R
1 由动能定理得：拉力做功W=EK2-EK1=- FR 4
4.质量为m的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为 R的圆周运动，如图所示，运动过程中小球受到空气阻力 的作用。设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子 的张力为7mg，在此后小球继续做圆周运动，经过半个圆 周恰好能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力 所做的功是( )
2
5.如图，质量m的小物块与水平转盘之间的动摩擦因数μ，物体 与转轴轴心间距R，物块随转盘由静止开始转动，当转速缓慢 增加到某值时，物块即将在转盘上滑动，最大静摩擦力等滑动 摩擦力，此过程中摩擦力对物体做功为（ ）
A.0 C.2μmgR B.2πμmgR D. 0.5μmgR m
分析：末动能，即将滑动时的动能 v2 μmg=m R 初动能为0，由动能定理得
v
ABD
F
2.输出功率保持10KW不变的起重机，从静止开始起吊500Kg 的货物，当升高2m时速度达到最大(g=10m/s2)求： 1).最大速度 2)。这一过程所用时间 F V 解：1.当F=mg时，速度v最大。则v=P0/F=2m/s。
2.由动能定理得：
mg
1 2 W1+W2=EK2-EK1，则Pt-mgh= mv -0 2
1 A. mgR 4 1 C. mgR 2 1 B. mgR 3 D．mgR
解析：.在最高点，设绳子拉力 T. 2 2 v1 v T-mg= m 即6mg= m 1 R R .小球恰能通过最高点，绳子拉力为0.
所以Wf=0.5mgR
v2 则mg= m R 1 2 1 2 从最低点到最高点由动能定理：-mg2R-wf= mv2 _ mv1 2 2
理论力学 动能定理
第11章动能定理即质点系的动能等于其随质心平BCθABθCPA2rOr C力的功2rOr CAP2rOr CAP2rOr CAPs汽车驱动问题能量角度：汽缸内气体爆炸力是内力，不改变汽车的动量，但使汽车的动能增加。
动量角度：地面对后轮的摩擦力是驱动力，使汽车的动量增加，但不做功，不改变汽车的动能。
内力不能改变质点系的动量和动量矩，但可以改变能量；外力能改变质点系的动量和动量矩，但不一定能改变能量。
例题11-8水平悬臂梁AB，B端铰接滑轮B，匀质滑轮质量m1，半径r；绳一端接滚，轮C，半径r，质量m2视为质量集中在边缘；绳另端接重物D，质量m3。
求重物加速度。
CωDv BωCv 解：末位置是一般位置hconst 01==T T =2T 2321D v m 221B B J ω+221CP J ω+运动学关系rr v v B C C D ωω===2121rm J B =2222222rm r m r m J P=+=2321222121Dv m m m T ⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=gh m W 312=CωDv BωCv h1212W T T =−gh m T v m m m D 30232122121=−⎟⎠⎞⎜⎝⎛++对t 求导h g m vv m m m D D &&33210)221(=−++Dv h =&D D a v=&gm m m m a D 3213221++=例11-9匀质圆盘和滑块的质量均为m。
圆盘的半径为r。
杆平行于斜面，其质量不计。
斜面的倾斜角为θ。
圆盘、滑块与斜面的摩擦因数均为μ。
圆盘在斜面上作纯滚动。
试求滑块下滑加速度。
1212W T T =−01=T 2222212121mvJ mv T A ++=ω解()sF F mgs mgs W B A +−+=θθsin sin 12θμcos mg F F B A ==取导221,mrJ v r A ==ω2245mvT =()θμθcos sin 2452−=gs v a v v s==&&,()θμθcos sin 54−=g a F A 是静摩擦力，理想约束，不作功。
动能定理的推导及示例
动能定理的推导及示例动能定理是力学中的重要定理之一，描述了物体动能与物体的力学性质之间的关系。
本文将对动能定理进行推导，并通过示例来进一步说明其应用。
一、动能定理的推导对于一个物体，其动能（Kinetic Energy）可以通过质量（Mass）和速度（Velocity）的关系来描述，即动能等于质量乘以速度的平方的一半。
数学表示为：动能（K）= 1/2 * 质量（m）* 速度的平方（v^2）根据牛顿第二定律（Newton's Second Law），物体的加速度（Acceleration）与作用在物体上的力（Force）之间存在着关系，由以下公式表示：加速度（a）= 力（F）/ 质量（m）将力（F）表示为质量（m）乘以加速度（a），并将其代入动能的公式中，我们可以得到动能定理的关系式，如下：动能（K）= 1/2 * m * v^2 = F * s其中，s为物体在力F的作用下所做的位移（Displacement）。
二、动能定理的示例为了更好地理解动能定理的应用，我们将通过一个具体的示例来说明。
假设一个质量为2kg的物体在做匀加速运动，初始速度为2m/s，加速度为3m/s^2，求物体运动5秒后的动能。
首先，我们可以计算出物体在5秒后的速度。
由于加速度为3m/s^2，时间为5秒，根据匀加速运动的公式v = u + at（其中u为初始速度），我们可以得到：v = 2 + 3 * 5 = 17m/s接下来，我们将速度代入动能公式中，即：动能（K）= 1/2 * m * v^2 = 1/2 * 2 * (17^2) ≈ 289J因此，物体在5秒后的动能约为289焦耳（J）。
通过这个示例，我们可以看到动能定理在计算物体的动能时是非常有用的。
它告诉我们，物体的动能与物体的质量、速度以及作用在物体上的力之间存在着明确的关系。
结论：动能定理是描述物体动能与力学性质关系的重要定理。
通过对动能的推导，我们可以看到动能定理中质量、速度和力之间的关系。
动能定理内容
动能定理
动能定理是物理学中一个重要的定理，它是物体运动的重要理论依据，是物理学中最重要
的定理之一。
动能定理指出，物体在加速运动时，其动能增加，而在减速运动时，其动能
减少。
一、动能定理的内容
动能定理指出，当物体在加速运动时，其动能增加，而在减速运动时，其动能减少。
它可
以用来解释物体运动的原理，并用来计算物体的动能变化。
动能定理的数学表达式为：
$$W_{2}-W_{1}=\Delta W=F\Delta t$$
其中，$W_{2}$和$W_{1}$分别表示物体的最终动能和初始动能，$\Delta W$表示物体的动
能变化，$F$表示外力，$\Delta t$表示时间间隔。
二、动能定理的应用
1、动能定理可以用来解释物体运动的原理。
例如，当一个球从一定高度自由落下时，它
的动能会随着时间的推移而增加，这就是动能定理的体现。
2、动能定理可以用来计算物体的动能变化。
例如，当一个物体从一定高度落下时，可以
利用动能定理来计算它在落下过程中的动能变化。
3、动能定理也可以用来计算物体的运动轨迹。
例如，当一个物体在一个重力场中运动时，可以利用动能定理来计算它的运动轨迹。
三、动能定理的总结
动能定理是物理学中一个重要的定理，它是物体运动的重要理论依据。
它指出，当物体在
加速运动时，其动能增加，而在减速运动时，其动能减少。
动能定理可以用来解释物体运
动的原理，并用来计算物体的动能变化。
【高中物理】动能定理
湛江市二中物理
组
、3
一、动能EK 1.定义：物体由于运动而具有的能叫动能， 2.公式：Ek=1/2mv2，单位：J. 3.动能是标量，是状态量，V 4.动能的变化△Ek=1/2mVt2-1/2mV02. △Ek＞0， 表示物体的动能增加； △Ek＜0，表示物体的 动能减少.
二、动能定理
我们在处理问题时可以从能量变化来求功，也可以从物体做功的多少来求能量的变化．
P初
P末,
力做功等于重力势能的增加量W =ΔE =E -E 动能是标量，是状态量，V是瞬时速度。
(2)动能定理适用于单个物体，也适用于系统； 外力对物体做的总功为正功，则物体的动能增加；
克
P增 P末 P
初应用：利用动能定理求变力的功
(3)应用动能定理解题，一般比牛顿第二定律解题要简便. 一般牵扯到力与位移关系的题目中，优先考虑使用动能 定理
3.应用动能定理解题的基本步骤： (1) (2)分析研究对象的受力情况和各个力的做功情 况：受哪些力?每个力是否做功，做正功还ห้องสมุดไป่ตู้做 负功?做多少功?然后求各个力做功的代数和. (3)明确物体在过程的始未状态的动能EK0和EKt (4)列出动能的方程W合=EKt-EK0，及其他必要辅 助方程，进行求解.
P91 题型二
4、使用动能定理应注意的问题：
①物体动能的变化是由于外力对物体做功 引起的.外力对物体做的总功为正功，则 物体的动能增加；反之将减小.外力对物 体所做的总功，应为所有外力做功的代数 和，包含重力.
②有些力在物体运动全过程中不是始终存在的， 若物体运动过程中包含几个物理过程，物体运动 状态、受力等情况均发生变化，因而在考虑外力 做功时，必须根据不同情况分别对待.
3-4 动能定理
W
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
0
12t 3t 2 dt
3
0
36t 3 dt 9t 4 729J
讨论: “一对力”的功 把作用力与反作用力，更一般地，把两个大小相 等、方向相反的力～“一对力”
m1、m2组成一个封闭系统 在t时间内
dW f 2 (dr2 dr1 ) f 2 d (r2 r1 ) r2 r1 r21 dW f 2 dr21
解： ①子弹停留在木板内，末动能为零
1 1 1 2 2 2 f s mv mv0 mv0 2 2 2
m
v0
0.01 2002 f 5000( N ) 2 0.04 ②子弹穿过木板后，仍有一定速度。
1 1 2 2 f s ' mv mv 0 2 2
m1 r f1 dr 1 1 m2 r2 f 2 dr2 dW f1 dr1 f 2 dr2 f1 f 2
dr 1
r1
o
m1
dr 2 f f1 r21 2
r2
m2
两质点间的一对作用力和反作用力所做功之和等 于其中一个质点受的力沿着该质点相对于另一质 点所移动的路径所做的功。 即“一对力”作功与参照系无关。
Wmg mg dS mg S mgR
mg
1 R W f mgR m （F mg） 2 m
1 R（F 3mg ） 2
1 2 Wmg W f mvA 0 2
例2、质量为0.01kg的子弹，以200m/s的速度射击 木板。①射入木板内4cm时，子弹停留在木板内， 求木板的平均阻力；②若木板厚2cm，求子弹穿过 木板后的速度（设木板的平均阻力不变）。
(完整版)动能定理
动能定理知识梳理 一、动能（一）动能的表达式1.定义：物体由于运动而具有的能叫做动能.2.公式:E k =mv 2,动能的单位是焦耳. 说明:(1)动能是状态量,物体的运动状态一定,其动能就有确定的值,与物体是否受力无关.(2)动能是标量,且动能恒为正值,动能与物体的速度方向无关.一个物体,不论其速度的方向如何,只要速度的大小相等,该物体具有的动能就相等.(3)像所有的能量一样,动能也是相对的,同一物体,对不同的参考系会有不同的动能.没有特别指明时,都是以地面为参考系相对地面的动能. （二）动能定理1.内容:力在一个过程中对物体所做的功,等于物体在这个过程中动能的变化.2.表达式:W=E -E ,W 是外力所做的总功,E 、E 分别为初末状态的动能.若初、末速度分别为v 1、v 2,则E =mv 21,E =mv . 3.物理意义:动能定理揭示了外力对物体所做的总功与物体动能变化之间的关系,即外力对物体做的总功,对应着物体动能的变化,变化的大小由做功的多少来度量.动能定理的实质说明了功和能之间的密切关系,即做功的过程是能量转化的过程.利用动能定理来求解变力所做的功通常有以下两种情况： ①如果物体只受到一个变力的作用，那么：W=E k2-E k1.只要求出做功过程中物体的动能变化量ΔE k ，也就等于知道了这个过程中变力所做的功.②如果物体同时受到几个力作用，但是其中只有一个力F 1是变力，其他的力都是恒力，则可以先用恒力做功的公式求出这几个恒力所做的功，然后再运用动能定理来间接求变力做的功：W 1+W 其他=ΔE k .可见应把变力所做的功包括在上述动能定理的方程中. ③注意以下两点：122k 1k 1k 1k 1k 122k 1222a.变力的功只能用表示功的符号W来表示，一般不能用力和位移的乘积来表示.b.变力做功，可借助动能定理求解，动能中的速度有时也可以用分速度来表示.4.理解动能定理（1）力（合力）在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。