计算球面距离的三种习题示范
高中数学球面距离的计算
球面距离的计算在球面上，不在同一直径上的两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这段劣弧的长叫做球面上这两点间的球面距离（也叫球面上的短程线或测地线）。
如下图，球的半径为R ，球面上有任意两点()11,βαA 、()22,βαB ，其中1α、2α分别为A 、B 两点的经度数，1β、2β分别为A 、B 两点的纬度数，过A 、B 两点的大圆劣弧所对的圆心角为θ，试证明A 、B 间的球面距离为：()]sin sin cos cos arccos[cos212121ββββααθ+-==R R AB ⌒（角均为弧度）证明：如上图，⊙1O 与⊙2O 分别为过A 、B 的纬度圈，过A 、C 的大圆，过B 、D 的大圆分别为A 、B 的经度圈，且经度圈与纬度圈所在的平面互相垂直，作⊥AE 面BC O 2，垂足E 位于C O 2上，连结EB 、AB ，则()2212212OO OO O O AE -==()221sin sin ββR R -=()2212sin sin ββ-=R在BE O 2∆中，由余弦定理，得：()212222222cos 2αα-⋅-+=B O E O B O E O BE()21212221cos 2αα-⋅-+=B O A O B O A O ()()()21212221cos cos cos 2cos cos ααββββ-⋅⋅-+=R R R R()]cos cos cos 2cos [cos 212122122ααββββ--+=R()]cos cos cos 2sin sin 22[2121212222ααββββ---=+=R BE AE AB ()]cos cos cos sin sin 1[22121212ααββββ---=R又由余弦定理，得，()θθcos 12cos 222222-=-+=R R R R AB ，比较上述两式，化简整理得：()212121sin sin cos cos cos cos ββββααθ+-=（角均为弧度） 所以()]sin sin cos cos arccos[cos 212121ββββααθ+-=（角均为弧度） 所以A 、B 间的球面距离为：()]sin sin cos cos arccos[cos212121ββββααθ+-==R R AB ⌒（角均为弧度） 从上面的推导过程可以看出，求解A 、B 两点的球面距离，关键是要求出圆心角AOB ∠的大小，而要求AOB ∠，往往要先求弦AB 的长，再利用余弦定理求出AOB ∠。
球面距离的计算范文
球面距离的计算范文球面距离是地理学中常用的一个测量距离的方法，也可以用于其他领域如航海、导航、天文学等。
它是通过测量地球表面两点之间的弧长来计算距离。
相比于直线距离，球面距离更准确地反映了地球的曲率。
本文将介绍球面距离的概念、计算方法和具体的应用。
一、球面距离的概念球面距离是指地球表面两点之间沿球面的最短路径的弧长。
这个概念可以用于测量地球上任意两点之间的距离。
球面距离常用弧度或者度来表示。
二、球面距离的计算方法1. Haversine公式Haversine公式是最常用的计算球面距离的方法之一、它基于地球是一个近似球体的假设，在假设地球半径为R的情况下，计算两点之间的距离。
具体计算公式如下：a = sin²(Δφ/2) + cos(φ1) * cos(φ2) * sin²(Δλ/2)c = 2 * atan2(√a, √(1−a))d=R*c其中，φ1、φ2为两点的纬度，Δφ为纬度的差值，Δλ为经度的差值，R为地球的半径。
2. Vicenty公式Vicenty公式是一种更精确的计算球面距离的方法。
它基于地球是一个贴近椭球体的假设，该公式考虑了地球的椭球度和可能存在的扁平度。
具体计算公式如下：a=R*gb=R*fc=R*(g-f)d = atan2( √(cos(φ2)*sin(∆λ))^2 + (cos(φ1)*sin(φ2) -sin(φ1)*cos(φ2)*cos(∆λ))^2, sin(φ1)*sin(φ2) +cos(φ1)*cos(φ2)*cos(∆λ))e = atan2( a*φ1 + b*φ2, c*φ1 + d*φ2 )f = atan2( sin(φ1) + sin(φ2),√((cos(φ1)+a)^2+(cos(φ1)+b)^2) )其中，φ1、φ2为两点的纬度，∆λ为经度的差值，R为地球的半径，g为地球的第一偏心率平方，f为地球的第二偏心率平方。
三、球面距离的应用球面距离常用于地理、航海、导航等领域。
15球面距离解析
B 问题1: 直观的观察,发现：
过A、B的圆中，半径越大，
A
在A、B之间的劣弧的长越小！
在过A、B点的球的截面中半径最大的是
过球心的大圆
球面上两点之间的最短连线的长度，就是 经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长 度. 我们把这个弧长叫做两点的球面距离.
一、球面距离
1 、A、B 两点的球面距离：
?
11062
?km
?
例5、设地球的半径为R，在北纬30 0圈上有甲 乙两地，它们的经度相差180 0，(精问确到1千米)
(1) 这两地所在纬线的长为34_6_5__0_(k__m_)_____ (2) 这两地的球面距离是1_3_3_3_7_(_k_m__)_____
A
O1
BA
B
O
O
例6、设地球的半径为R，在北纬45 0 圈上有两 个点A、B，A在西经40 0，B在东经50 0。求AB 所在纬线圈的长及AB两点的球面距离。
3
? ? AOB 为正三角形 ? AB ? R
A
O1
B ? 在? COD中，CD ? AB ? R，
CO
OC ? OD ? Rcos45 ?
D
OC 2 ? OD 2 ? CD 2
? cos ? COD ?
?0
2OC ?OD
? ? COD ? 90?
? B 的位置可能是：东经 110 ? ,西经 70?
2 、经度和纬度的规定： (1)P 地的纬度就是经过P点
的球半径和赤道平面所成的
北极
线面角 ∠POA的度数 .
G
P
纬线 等于∠GPO的度数
O
A 赤道
南极
球面距离问题的求解
玉邴图
球面距离问题的求解
在高中数关概念和例
题论述较少, 而在高考、竞赛及实际生活中, 涉 及球面问题的却有许多, 且有一定的难度, 为解
决这个难点, 本文介绍一个球心角定理及其推
论, 然后举例说明它们的应用, 其过程反映了球 面距离问题的一种求解方法, 供读者参考.
| O 1O 2 | = R | sin 1 - sin 2 |.
( 1)
设 N OS为地轴, 在半圆面 N SA 内, 作 AA 1
圆 O 2 所在的平面, 垂足为 A 1, 则 | O 2A 1 | =
| O 1A | = R co s 1, | O2 B | = R cos 2, 在三角形
A 1O 2B 中, 由余弦定理得
例 7 ( 2007年高考四川卷 ) 设球 O 的半 径为 1, A、B、C 是球面上三点, 已知 A 到 B、C 两
点的球面距离都是 2, 且二面角 B - OA - C 的
大小为 3, 则从点 A 沿球面经 B、C 两点再回到 A 点的最短距离是 .
解: 因 为球 O 的 半 径 为 1, 故 由题 意 知
9
数理化学习 ( 高中版 )
11340(千米 ). 例 10 (中国经营北京一纽约直飞航班的
距 离问题 ) 北京时间 2002年 9月 27日 14点, 国 航 CA981航班从首都国际机场准时起飞, 当地 时间 9月 27日 15点 30分, 该航班正点平稳落在 纽约肯尼迪机场; 北京时间 10月 1日 19点 14 分, CA982航班在经过 13个小时的飞行后, 准 点降落在北京首都国际机场, 至此国航北京
所以, = arccos[ sin 1 sin 2 + cos 1 cos 2 cos( 1 - 2 ) ] ,
一球面上的距离
第二讲 球面上的距离和 角
第一节 球面上的距离
庆阳第三中学 张晓红
学习目标：
1、理解球面距离的定义
2、利用定义会求地球表面上，同经度、同纬度两点之 间的距离
即球面上连结两点之间的最短路径是 经过这两点的一段大圆弧——劣弧。
球面上两点之间的距离
(1) 当球面上的两点A，A与球心
共线时，则A与A称为对径点。这
两点之间的球面距离是多少？
(2)当球面上的两点与球心不 共线时，这两点之间的球面距 离怎么求？
பைடு நூலகம்
牛刀小试（同经度两点之间的球面距离）
1.设地球半径为R，A 在东经
30°南纬60°，B 在东经30°北
纬30°，求A，B两点之间的球
面距离？
小试牛刀：
2.在半径为3的球面上有A，B，C三 点，ABC 900，BA=BC，球心O到 平面ABC的距离为 则B，C两点之 间的球面距离？
思考（同纬度球面上两点之间的距离）
假设地球的半径为R，如图， 在北纬45°纬线上有A，B两点， 且弧AB所对的圆心角AO'B 900 求球面上A，B两点间的距离。
探究：
3.长方体ABCD-A'B'C'D'的顶点均在
同一个球面上，AB=AA'=1，
BC=
，则A，B两点之间的
球面距离是多少？
作业布置：
3、灵活运用球面距离定义解决实际问题
一.回忆: 平面上两点之间的距离
球面距离的计算范文
球面距离的计算范文球面距离是地理学中一种常用的测量方式，用于计算地球上两个点之间的实际距离。
它是通过考虑地球是一个球体来计算的，与简单的平面距离计算方法不同。
本文将详细介绍球面距离的计算方法，包括理论背景、计算公式以及实际应用。
一、理论背景二、计算公式计算球面距离的公式可以由大圆弧长度公式推导而来。
假设两个点的经纬度分别为（θ1,φ1）和（θ2,φ2），其中θ表示经度，φ表示纬度。
那么球面距离D可以通过以下公式计算：D = R * arccos(sinφ1*sinφ2 + cosφ1*cosφ2*cos(θ2-θ1))其中R为地球半径。
上式中，我们使用了反余弦函数（arccos）以及正弦函数（sin）和余弦函数（cos）来计算距离。
三、实际应用另一个实际应用是计算地球上的区域面积。
通过将地球表面划分成许多小区域，每个区域的面积可以通过球面距离公式计算得到。
这对研究土地利用、气候变化等问题非常有帮助。
在计算球面距离时，还需要考虑地球椭球体的形状。
由于地球并非完全是一个规则的球体，而是稍微扁平的椭球体，因此实际的球面距离计算需要考虑椭球体的参数，如长半轴和短半轴。
这些参数可以根据地理数据和卫星观测得到。
总结：球面距离是地理学中常用的测量方法，用于计算地球上两个点之间的实际距离。
通过考虑地球是一个球体，我们可以使用大圆弧的长度来计算球面距离。
计算公式基于大圆弧长度公式，其中包括经纬度和地球半径。
球面距离的计算在地理学研究中有广泛的应用，包括城市间距离、飞行时间和路径、航线距离以及区域面积计算等。
地球的椭球体形状需考虑在内，以获得更准确的球面距离计算结果。
球面距离的计算及其计算公式
球面距离的计算及其计算公式
在球面上，不在同一直径上的两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣派的长度，我们把这段抓长叫做球面上这两点间的球面距离．（也叫球面上的短程线或测地线）
如图1，A、B为球面上不在同一直径上的两点，为圆心，⊙为过A、B的大圆，⊙为过A、B的任一个小圆，我们把这两个圆画在同一个平面内．（见图2）设，，球半径为，半径为．则有大圆弧长，小圆弧长
（1）
但，即
（2）
将（2）代入（1）得
（3）
∵ ，由（2）式知 .
由于，故只需证明函数在内为单调递减即可.
∴
（∵当时，有）
∴ 在单调递减
由（3）式不难得到
即 . 故大圆劣弧最短。
球面距离公式：设一个球面的半径为，球面上有两点、
. 其中，为点的经度数，、为点的纬度数，过、
两点的大圆劣弧所对的圆心角为，则有
（弧度）
A、B间的球面距离为：
证明：如图3，⊙与⊙分别为过A、B的纬度圈，过A、C的大圆，过、D的大圆分别为A、B的经度圈，而经度圈与纬度圈所在的平面互相垂直，作面，垂足位于上，连结、 . 则
在中，由余弦定理，得：
故
又
比较上述两式，化简整理得：
从而可证得关于与的两个式子.
例题北京在东经，北纬，上海在东经，北纬，求北京到上海的球面距离.
解：
∴（弧度）
∴所求球面距离为。
球面距离计算方法
球面距离计算方法说实话球面距离计算方法这事，我一开始也是瞎摸索。
我就想啊，球面上两点的距离肯定和普通平面上两点距离不一样，那咋算呢？我最开始想，能不能把球面摊平像算平面距离那样，但是很快就发现这根本不行，球面上的几何和平面几何有本质区别呢，就像你不能把一个球的皮完整地无拉伸无变形地摊平在一个平面上一样，这是我第一个失败的尝试。
后来我就去翻以前学的数学书，有说到大圆这个概念。
我了解到在球面上，两点之间的最短距离就是经过这两点的大圆的劣弧的长度。
这就好比在地球上，从北京到纽约，如果沿着过北京和纽约的那个大圆飞，这个路线就是最短的，而不是在平面地图上看着的直线，这里从立体的地球角度看可没有直线那种概念，因为地球是个球体。
那怎么算出这个大圆劣弧长度呢？我学了这个计算方法，要用弧长公式。
这得先确定圆心角。
有个公式是根据两点的经纬度可以算出圆心角的余弦值，这里面涉及一些三角函数的东西。
我最开始计算的时候老是把经纬度的数值搞混，比如说把北纬当成南纬的值带进去计算，这就导致结果错得离谱。
后来我才长记性，做的时候可仔细对着数值运算了。
可是就算前面都对了，算弧长的时候，我又容易忘记把角度转成弧度。
这就好比你汽车的油加错了型号，整个事儿就不对了。
弧长公式里的角度是要用弧度制的。
还有呢，在确定大圆的时候，也不是那么简单的。
有时候想找经过两点的大圆，容易被一些复杂的图形干扰，我就会多画图，不管画得多难看都没关系，只要能把想法表达清楚，帮助我理解是不是找到了正确的大圆就好。
现在我再算球面距离的时候，我都会先仔细确认两点的经纬度信息，然后一步步稳稳当当地算出圆心角，最后记住把角度转成弧度去计算弧长。
如果中间某个环节不确定，我就重新检查一遍前面的步骤，因为只要有一个地方错了，结果可就相差很多，就像盖房子，一块砖歪了，可能整面墙都不稳当了。
我觉得这球面距离计算方法啊，多练就能熟练掌握。
要是基础概念比如圆心角和大圆这些理解得模模糊糊的话，计算也会老是出错的。
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计算球面距离的三种习题示范
现行课本中，介绍了球面距离的概念，这方面的习题很多，同学们学习时普遍感到困难．下面给出这类习题解答的示范，以供同学们参考．
1．位于同一纬度线上两点的球面距离
例1 已知，两地都位于北纬，又分别位于东经和，设地球半径为，求，的球面距离．
分析：要求两点，的球面距离，过，作大圆，根据弧长公式，关键要求圆心角的大小（见图1），而要求往往首先要求弦的长，即要求两点的球面距离，往往要先求这两点的直线距离．
解作出直观图（见图2），设为球心，为北纬圈的圆心，连结
，，，，．由于地轴平面．
∴与为纬度，为二面角的平面角．∴（经度差）．
△中，．
△中，由余弦定理，
．
△中，由余弦定理：
，∴．
∴的球面距离约为．
2．位于同一经线上两点的球面距离
例2 求东经线上，纬度分别为北纬和的
两地，的球面距离．（设地球半径为）．（见图3）
解经过两地的大圆就是已知经线．
，．
3．位于不同经线，不同纬线上两点的球面距离
例3 地位于北纬，东经，地位于北纬，东经，求，
两地之间的球面距离．（见图4）
解设为球心，，分别为北纬和北纬圈的圆心，连结
，，．
△中，由纬度为知，
∴，
．
△中，，
∴，
∴．
注意到与是异面直线，它们的公垂线为，所成的角为经度差，利用异面直线上两点间的距离公式．
（为经度差）
．
△中，
．
∴．
∴的球面距离约为．。