等差数列讲义(学生版)

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等差数列及其前n项和讲义

等差数列及其前n 项和讲义一、知识梳理1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d .3．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d .(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2 或S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系：S n ＝d 2n 2＋)2(1d a -n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值．注意：等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列．(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列．二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( )(4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( )(5)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( )(6)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( ) 题组二：教材改编2．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( )A ．31B ．32C ．33D ．343．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________.题组三：易错自纠4．一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取值范围是( ) A ．d >875 B ．d <325 C.875<d <325 D.875<d ≤3255．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．6．一物体从1 960 m 的高空降落，如果第1秒降落4.90 m ，以后每秒比前一秒多降落9.80 m ，那么经过________秒落到地面．三、典型例题题型一：等差数列基本量的运算1．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．82．已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100等于( )A ．100B ．99C ．98D ．97思维升华：等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．题型二：等差数列的判定与证明典例已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．引申探究：本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式．思维升华：等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，再根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列．跟踪训练若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12. (1)求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．题型三：等差数列性质的应用命题点1：等差数列项的性质典例已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝________.命题点2：等差数列前n 项和的性质典例 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．27(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 018＝________. 思维升华：等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；②S 2n －1＝(2n －1)a n .跟踪训练 (1)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( )A ．58B ．88C ．143D ．176(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( ) A.3727 B.1914 C.3929 D.43等差数列的前n 项和及其最值典例1(1)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10等于( )A ．45B ．60C ．75D ．90(2)在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________.典例2在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值．四、反馈练习1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．62．由公差为d 的等差数列a 1，a 2，a 3，…组成的新数列a 1＋a 4，a 2＋a 5，a 3＋a 6，…是( )A ．公差为d 的等差数列B ．公差为2d 的等差数列C ．公差为3d 的等差数列D ．非等差数列3．若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，且a 2＝3a 4－6，则S 9等于( )A ．54B ．50C ．27D ．254．等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－9，S 99－S 77＝2，则S 10等于( ) A ．0 B ．－9 C ．10 D ．－105．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11＝22，则a 3＋a 7＋a 8等于( )A ．18B ．12C ．9D ．66．若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是( )A ．2 016B ．2 017C ．4 032D ．4 0337．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＋S 3＝4，a 3＋S 5＝12，则a 4＋S 7的值是________．8．等差数列{a n }中的a 4，a 2 016是3x 2－12x ＋4＝0的两根，则14log a 1 010＝________.9．张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布，则该女最后一天织________尺布．10．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________.11．等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.12．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．13．设数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝3，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，则a 20的值是______．14．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝________. 15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝________.16．设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n >0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10a 2n的最大值是________．。

等差数列及其前n项和讲义

等差数列及其前n项和讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1等差数列及其前n 项和一、等差数列的相关概念（一）等差数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的．．．．．．．．．．．．．．．差等于同一个常数．．．．．．．．，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。

利用：“1+n a －n a ＝d (d 为常数)”判断一个数列是否是等差数列。

注意：（1）如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项起或第4项起，那么此数列不是等差数列；（2）等差数列要求这个常数必须相同；（3）公差d ：d ＝1+n a －n a ＝n a －1-n a (n ≥2)；（4）当d ＝0时，数列为常数数列；当d ＞0，数列为递增数列；当d ＜0，数列为递减数列；（5）公差必须为后一项减前一项，不能颠倒。

（二）、等差数列的通项公式如果等差数列{n a }的首项为1a ，公差为d ，那么它的通项公式是n a ＝．1a ＋．(n ．．－．1)．．d ，或者通项公式的变形：n a ＝．m a ＋．(n ．．－．m)．．d 。

（三）、等差中项：（1）由三个数．．．．a ，．A ．，．b ．组成的等差数列，．．．．．．．．A ．叫做．．a 和．b ．的等差中项．．．．．，．则．2A ．．＝．a ＋．b ．；．（2）若在一个等差数列中，除去首项和末项以外，每一项都是它前一项与后一项的等差中项，即2n a ＝1-n a ＋1+n a 。

（3）特别地：在△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，则B ＝600。

例1：已知数列{n a }为等差数列3a ＝54，7a ＝－74，则15a ＝____________。

【基本量法】【解析】－314.变式练习1：若等差数列{n a }的公差d ≠0，且1a ，2a 是关于x 的方程x 2－3a x ＋4a ＝0的两根，求数列{n a }的通项公式。

高二数学经典讲义第5讲数列与等差数列学生版

满分晋级第5讲数列和等差数列数列1级数列初步数列2级数列的小伙伴们数列3级求和知识切片考点1：数列的定义与分类1．数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…，所以，数列的一般形式可以写成：123a a a L ，，，简记为{}n a ． 2．数列的分类① 按照数列的项数的多少可分为：有穷数列与无穷数列．项数有限的数列叫有穷数列，项数无限的数列叫无穷数列．② 按照数列的每一项随序号变化的情况可分为：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列．从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列．③ 按照任何一项的绝对值是否小于某一正数可分为：有界数列和无界数列．【例1】 ⑴下面数列哪些是递增数列，递减数列，常数列，摆动数列？哪些是有穷数列，无穷数列？①全体自然数组成数列：0，1，2，3，…；②某校6个班学生人数构成的数列：15，16，18，20，22，30；2.1数列的认识经典精讲知识点睛③数列：5，1-，3， 2.6-， 1.5-，8； ④数列：5，5，5，5，5；⑤数列：100，90，80，70，60，50，…． ⑵根据数列的规律填空①1 1 2 3 5 8 ＿＿②5 3 10 6 15 12 ＿＿＿＿ ③3 5 9 17 33 ＿＿④1 2 2 3 4 6 ＿＿ ⑶给出下面的数表序列：12845314311表3表2表1 其中表(123)n n =L ，，，有n 行，第1行的n 个数是1，3，5，…，21n -，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和，写出表4．【趣味答题】请写出下列数列的下一项：2，12，1112，3112，211213，______．2．按规律填空：①17 ＿＿ 9 100；②3 6 21 42 84 69 291 ＿＿＿＿；考点2：数列的通项公式与递推公式数列的表示方法：⑴ 图象法：数列是以正整数集*N （或它的有限子集{}12n L ，，，）为定义域的函数()n a f n =，当自变量按照从小到大的顺序取值时，所对应的项是一系列函数值．所以，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点作图来表示这个数列．全体正偶数组成的数列246L ，，，用图象法表示为（如图）：数列图象与一般函数图象的区别在于数列的图象是一系列孤立的点．⑵ 列表法：与函数一样，数列也可以用列表的方法来表示．n 1 2 3 … k …n a2 4 6 … 2k …整的反映一个数列，或数列的具体规律，所以并不是每一个数列都可以用列表的方法表示．⑶ 递推公式法：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任意一项n a 与它相邻的一项（或几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做数列的递推公式．如：数列知识点睛10865443221Ona n5，6，7，…用递推公式可这样表示：13a =，11n n a a +=+，n *∈N ．⑷ 通项公式法：数列{}n a 的第n 项n a 也叫做数列的通项．如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可用一个函数关系()n a f n =来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式．⑶中的数列可以用()*2n a n n =+∈N 来表示．【例2】 ⑴观察数列前几项，求出下列数列的一个通项公式① 1111--L ，，，，； ② 0101L ，，，，； ③ 1234--L ，，，，； ④ 1111111111L ，，，，； ⑤ 131793832435--L ，，，，，； ⑥ 11315228432，，，，，…； ⑵已知数列{}n a 满足11a =，11n n n a a n -=+（*2n n ∈N ，≥），则2a =_____；5a =______． ⑶已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a -=+（*2n n ∈N ，≥）），则2a =_____；10a =______．⑷（目标班专用）我们可以利用数列{}n a 的递推公式2,,n n n n a a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数()n *∈N ，求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．则2425a a +=_________；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第_____项．【例3】 ⑴根据下列数列的前几项，写出数列的一个通项公式，并分析． ① 24816⋅⋅⋅，求出()n a f n =，n a 是否有最大、最小值？②111124816⋅⋅⋅，求出()n a f n =，n a 是否有最大、最小值？ ③111124816----⋅⋅⋅，求出()n a f n =，n a 是否有最大、最小值？ ④ 111124816--⋅⋅⋅，求出()n a f n =，n a 是否有最大、最小值？ ⑵类比函数的单调性、有界性来分析数列的性质．① 数列{}n a 的通项公式是2610n a n n =-+，*n ∈N ，当n 取何值时，n a 最小？ ② 数列{}n a 的通项公式是()23.61n a n =-+，*n ∈N ，当n 取何值时，n a 最小？【拓展】若25n a n n λ=-+，当且仅当3n =时n a 有最小值，问λ的取值范围．考点3：数列的前n 项和n S经典精讲数列{}n a 的前n 项和用n S 来表示，如果n S 与n 的关系可用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的前n 项和公式．数列的前n 项和121n n n S a a a a -=++++L ．于是有1112n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩，，≥111n n n S S n a S n --=⎨=⎩，≥，【铺垫】⑴已知数列{}n a 的前n 项和3n S n =，则1a =______，3a =_____，通项n a =______．⑵已知数列{}n a 的前n 项和1n n S n+=，则1a =_____，6a =______．【例4】 ⑴已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，则其通项n a =＿＿；若它的第k 项满足58k a <<，则k =＿＿．⑵已知数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则其通项n a =______；满足2013k a <的最大正整数k 为______．1．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+-，求n a ．2．已知数列{}n a 的前n 项和2n n S =，求n a ．知识点睛经典精讲前n 项和减去前1n -项和第1项 12n n S a a a =+++L<教师备案>前面我们对于一般的数列学习了一些基本概念和知识，总体而言，大部分数列是没什么规律的，小部分规律明显，接下来我们学习一类有迹可循的特殊数列．例如：自然数数列，每个数都比它后面的数小1，正偶数数列，从第二项起，每项都比它前面的数多2，等等．这一类特殊的数列就是等差数列．考点4：等差数列的概念定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示．【例5】下列数列是等差数列吗？如果是求出公差，如果不是请说明理由．①13579L ，，，，，；②5137--L ，，，，；③5555L ，，，，； ④222222---L ，，，，，，；⑤531123---L ，，，，，，；考点5：等差数列的通项公式已知等差数列{}n a ，首项为1a ，公差为d ，第n 项（通项）为n a ，通项公式：()11n a a n d =+-．)1a n d +-【例6】 ⑴已知等差数列{}n a 的通项公式为73n a n =-，则公差为_______，首项为_____．⑵等差数列951L ，，，的第4项4a =_______，第20项20a =_______．2.2等差数列基本量计算经典精讲知识点睛经典精讲知识点睛首项公差等差数列{}n a 第n 项⑶等差数列3711103L ，，，，的项数n =______，第5项为_______．⑷已知数列{}n a 是等差数列，且22a =-，510a =，则数列{}n a 的通项n a =_______．【挑战5分钟】 ⑴已知43n a n =-，则d =______．⑵已知1001n a n =-，则d =______．⑶已知123a d ==，，则n a =______．⑷已知512a d ==-，，则n a =______．⑸已知4132a d ==，，则n a =______．⑹已知315122a d ==-，，则n a =_____．⑺等差数列34575L ，，，，的项数为______． ⑻等差数列42026-L ，，，，的项数为_______． ⑼等差数列3032013-L ，，，，的项数为______． ⑽等差数列110824--L ，，，，的项数为______．考点6：等差数列的求和公式已知等差数列{}n a ，首项为1a ，公差为d ，通项为n a ，前n 项和为n S ．前n 项和n S 的公式：⑴()12n n n a a S +=；⑵()112n n n S na d -=+．1n n a d n a S ，，，，知三求二，可考虑根据公式统一转化为两个基本量．()()11122n n n a a n n S na d +-==+【铺垫】⑴等差数列371179L ，，，，的各项的和为_______．⑵已知数列{}n a 是等差数列，13a =，2d =，则20S =________．经典精讲知识点睛项数首项等差数列前n 项和第n 项公差【例7】 ⑴已知数列{}n a 是等差数列，15a =，525a =，则前n 项和n S =________．⑵已知数列{}n a 是等差数列，14a =，716a =，则使得154n S =的项数n =________． ⑶已知等差数列{}n a 的前n 项和236n S n n =+，则1a =_____，n a =_______． ⑷设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若36324S S ==，，则9a = ．⑸已知正整数按如下规律排成一列：()1,1、()1,2、()2,1、()1,3、()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，……，则第60个数对是（）A ．()10,1B ．()2,10C ．()5,7D ．()7,5考点7：等差数列的性质1．等差中项：若x A y ，，成等差数列，则A 称为x y ，的等差中项，2x yA +=． 2．等差数列{}n a 的简单性质（其中公差为d ）： ⑴ ()n m a a n m d =+-（*m n ∈N ，）；⑵ 若p q m n +=+，则有p q m n a a a a +=+；若2m p q =+，则有2m p q a a a =+（p ，q ，m ，n *∈N ）；n +p q m n⑶ 在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即n a ，n m a +，2n m a +K ，，为等差数列，公差为md ；⑷{}n a 的前n 项和为n S ，则()2121n n S n a -=-． (2121n S n -=-【铺垫】⑴在等差数列{}n a 中，1910a a +=，则5a 的值为（）2.3 等差数列性质初步经典精讲知识点睛下标和相等对应项的和相等211221n n S a a a --=+++L项数中间项A ．5B ．6C ．8D ．10⑵在等差数列{}n a 中，37513a a ==，，则d =_______．11a =______．13S ＝_______．【例8】 ⑴①a 是42-与42+的等差中项，则a = ；②220180a ，，为等差数列，则a = ．⑵如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127a a a +++=L （） A ．14 B ．21 C ．28 D ．35⑶设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，128a =-，99S =-，则16S = ． ⑷已知等差数列{}n a 满足244a a +=，7910a a +=，则其前10项的和10S =______．⑸（目标班专用）在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则91113a a -的值为________．【演练1】写出下列数列{}n a 的通项n a ：⑴ 9999999999L ，，，，；⑵1313L ，，，；⑶24816--L ，，，，．【演练2】数列{}n a ：111234L ，，，，求出()n a f n =，n a 是否有最大、最小值？【演练3】已知数列{}n a 是一个等差数列，且48a =-，820a =-，则数列{}n a 的通项n a =______．【演练4】 ⑴已知等差数列{}n a 满足3824a a +=，则它的前10项的和10S 为________．⑵在等差数列{}n a 中，{}n a 的前n 项和为n S ，若515S =，则24a a += ．实战演练【演练5】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-，466a a +=-，求5a 的值，当n S 取最小值时n 的值．【演练6】第1列第2列第3列... 第1行 1 2 3 ... 第2行 2 4 6 (3)369… … … … ……列的数是．1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n a =___________．2．等差数列{}n a 的前n 项和公式n S =_______________=_____________． 3．等差数列{}n a ，若2p q m +=，则p q a a +____2m a概念要点回顾11谷神星的发现1766年，德国有一位名叫提丢斯的中学数学教师，把下面的数列：3，6，12，24，48，96，192……的前面加上0，即：0，3，6，12，24，48，96，192……然后再把每个数字都加上4，就得到了下面的数列：4，7，10，16，28，52，100，196……再把每个数都除以10，最后得到：0.40.711.6 2.8 5.21019.6L ，，，，，，，，令提丢斯惊奇的是，他发现这个数列的每一项与当时已知的六大行星（即水星、金星、地球、火星、木星、提丢斯的朋友，天文学家波得深知这一发现的重要意义，就于1772年公布了提丢斯的这一发现，这串数从此引起了科学家的极大重视；并被称为提丢斯——波得定则即太阳系行星与太阳的平均距离．当时，人们还没有发现天王星、海王星，以为土星就是距太阳最远的行星．1781年，英籍德国人赫歇尔在接近19.6的位置上（即数列中的第八项）发现了天王星，从此，人们就对这一定则深信不疑了．根据这一定则，在数列的第五项即2.8的位置上也应该对应一颗行星，只是还没有被发现．于是，许多天文学家和天文爱好者便以极大的热情，踏上了寻找这颗新行星的征程．1801年新年的晚上，意大利天文学家皮亚齐还在聚精会神地观察着星空．突然，他从望远镜里发现了一颗非常小的星星，正好在提丢斯——波得定则中2.8的位置上．可是，当皮亚齐再想进一步观察这颗小行星时，他却病倒了．等到他恢复健康，再想寻找这颗小行星时，它却不知去向了．皮亚齐没有放弃这一偶然的机会，他认为这可能就是人们一直没有发现的那颗行星，并把它命名为“谷神星”．在高斯之前，著名数学家欧拉曾经研究出了一种计算行星轨道的方法．可是，这个方法太麻烦．高斯决心去寻找一种简便易行的方法．在前人的基础上，高斯经过艰苦的运算，以其卓越的数学才能创立了一种崭新的行星轨道计算理论．他根据皮亚齐的观测资料，利用这种方法，只用了一个小时就算出了谷神星的轨道形状，并指出它将于何时出现在哪一片天空里．1801年12月31日夜，德国天文爱好者奥伯斯，在高斯预言的时间里，用望远镜对准了这片天空．果然不出所料，谷神星出现了！高斯的计算方法成功了．高斯从笔尖上寻找到的这颗行星，在隐藏了整整一年后，向人们显示了数学在科学研究中的巨大作用．。

等差数列-学生版

等差数列㈠求等差数列的通项公式1、已知数列{a n }为等差数列，且a 5=11，a 8=5，则a n =__________．2、已知{a n }是等差数列，a 5=10，d =3，求a 10.3、已知{a n }是等差数列，a 5=10，a 12=31，求a 20，a n .4、等差数列2，5，8，…，107共有多少项？5、在-1与7之间顺次插入三个数a 、b 、c 使这五个数成等差数列，试求出这个数列.6、成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．7、设数列{a n }是等差数列,a p =q,a q =p(p ≠q),求a p+q .8、两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？㈡等差数列的判断1、已知数列{a n }的通项公式为a n =pn+q,其中p 、q 为常数,且p≠0,问这个数列一定是等差数列吗？2、数列{a n }的通项公式a n =2n+5,则此数列( )A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n 的等差数列 3、在数列{a n }中,a 1=2,2a n+1=2a n +1则a 101的值为( ) A.49 B.50 C.51 D.52㈢等差数列的性质1、等差数列{a n }中,若a 1+a 2+a 3=3,a 4+a 5+a 6=9,则a 10+a 11+a 12=______________.2、等差数列{a n }中,已知a 2+a 3+a 10+a 11=36,则a 5+a 8=___________________.3、已知等差数列{a n }中,a 5+a 6+a 7=15,a 5·a 6·a 7=45,求数列{a n }的通项公式.4、设数列{a n }、{b n }都是等差数列,且a 1=25,b 1=75,a 2+b 2=100,则a 37+b 37等于( ) A.0 B.37 C.100 D.-375、已知方程(x 2-2x+m)(x 2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为41的等差数列,则|m-n|的值为 A.1B.43C.21D.83㈣等差数列的前n 项和1、求下列数列的和(1)1+2+3+…+n ； (2)1+3+5+…+(2n -1)；(3)2+4+6+…+2n ； (4)1-2+3-4+5-6+…+(2n -1)-2n .2、已知一个等差数列{}n a 前10项的和是310，前20项的和是1220．由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？3、已知数列{}n a 的前n 项和为212n S n n =+，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？4、在等差数列{}n a 中，若34567450a a a a a ++++=，则28a a +的值等于（）Ａ．90 Ｂ．100 Ｃ．180 Ｄ．2005、如果一个等差数列中，S 10=100，S 100=10，则S 110=（） A .90 B.－90 C.110 .D －1106、在等差数列{a n }中,S 4=1,S 8=4,则a 17+a 18+a 19+a 20的值是（）A.7B.8C.9D.10 7、若一个等差数列前3项和为34，最后3项和为146，且所有项和为390，则这个数列的项数是（） A ．13 B ．12 C ．11 D ．10 8、在等差数列{}n a 中，a 2+a 5=19,S 5=40,则a 10为（）A ．27 B.28 C.29 D.309、已知一个等差数列的前四项和为21,末四项之和为67,前n 项和为286,则项数n 为( ) A.24 B.26 C.27 D.2810、已知等差数列{a n }的通项公式为a n =2n+1,其前n 项和为S n ,则该数列{nS n }的前10项的和为（）A.120B.70C.75D.100 11、在等差数列中，154567405S S =-=，，则30S =（）Ａ．68 Ｂ．189 Ｃ．78 Ｄ．12912、等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为 A ．130 B ．170 C ．210 D ．26013、等差数列的前m 项和是25，前2m 项和是100，则前3m 项和是。

人教版高中数学必修五第4讲：等差数列的概念、性质(学生版)

人教版高中数学等差数列的概念、性质__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________教学重点：掌握等差数列的概念、通项公式及性质；求等差中项，判断等差数列及与函数的关系；教学难点：通项公式的求解及等差数列的判定。

1. 等差数列的概念一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于___________，那么这个数列就叫做___________，这个常数叫做等差数列的______，公差通常用字母d 来表示。

用递推关系系表示为_________________或()12,n n a a d n n N -+-=≥∈ 2. 等差数列的通项公式若{}n a 为等差数列，首项为1a ，公差为d ，则________________3. 等差中项如果三个数,,x A y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项4. 通项公式的变形对任意的,p q N +∈，在等差数列中，有：()11p a a p d =+-()11q a a q d =+- 两式相减，得()p q a a p q d =+- 其中,p q 的关系可以为,,p q p q p q <>=5. 等差数列与函数的关系由等差数列的通项公式()11n a a n d =+-可得()1n a dn a d =+-，这里1,a d 是常数，n 是自变量，n a 是n 的函数，如果设1,,d a a d b =-=则n a an b =+与函数y ax b =+对比，点(),n n a 在函数y ax b =+的图像上。

6. 等差数列的性质及应用（1）12132...n n n a a a a a a --+=+=+=（2）若2,m n p q w +=+=则2m n p q w a a a a a +=+=（,,,,m n p q w 都是正整数）（3）若,,m p n 成等差数列，则,,m p n a a a 也成等差数列（,,m n p 都是正整数）（4）()n m a a n m d =+-（,m n 都是正整数）（5）若数列{}n a 成等差数列，则(),n a pn q p q R =+∈（6）若数列{}n a 成等差数列，则数列{}n a b λ+（,b λ为常数）仍为等差数列（7）若{}n a 和{}n b 均为等差数列，则{}n n a b ±也是等差数列类型一：等差数列的判定、项及公差的求解、通项公式的求解例1.（2015河北唐山月考）数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2015,n a = 则n =A.672B.673C.662D.663 练习1. 数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2003,n a = 则n =A.669B.673C.662D.663 练习2. 数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2000,n a = 则n =A.669B.668C.662D.663例2.（2015山西太原段考）一个首项为23、公差为整数的等差数列从第7项开始为负数，则其公差d 为（）A.-2B.-3C.-4D.-6 练习3. 一个首项为23、公差为整数的等差数列从第6项开始为负数，则其公差d 为（）A.-2B.-3C.-4D.-5 练习4.等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 例3.（2014浙江绍兴一中期中）已知数列{}n a 满足1111,1,4n na a a +==- 其中n N +∈设221n n b a =-（1）求证：数列{}n b 是等差数列（2）求数列{}n a 的通项公式练习5.已知数列{}n a 满足()1114,21n n n a a a n a --==≥+令1n nb a = （1）求证：数列{}n b 是等差数列（2）求数列{}n b 与{}n a 的通项公式练习6.在等差数列{}n a 中，已知581,2,a a =-= 求1,a d例4.已知数列8,,2,,a b c 是等差数列，则,,a b c 的值分别为____________练习7. 已知数列8,,2,,a b 是等差数列，则,a b 的值分别为____________练习8. 已知数列2,,8,,a b c 是等差数列，则,,a b c 的值分别为____________类型二：等差数列的性质及与函数的关系例5.等差数列{}n a 中，已知100110142015a a +=，则12014a a +=（）A.2014B.2015C.2013D.2016练习9.在等差数列{}n a 中，若4681012120,a a a a a ++++=则10122a a -的值为（）A.24B.22C.20D.18练习10.（2015山东青岛检测）已知等差数列{}n a 中，1007100812015,1,a a a +==-则2014a = _____ 例6.已知数列{}n a 中，220132013,2a a ==且n a 是n 的一次函数，则 2015a =________ 练习11.若,,a b c 成等差数列，则二次函数()22f x ax bx c =-+的零点个数为（） A.0 B.1 C.2 D.1或2练习12.已知无穷等差数列{}n a 中，首项13,a = 公差5d =-，依次取出序号被4除余3的项组成数列{}n b（1）求1b 和2b（2）求{}n b 的通项公式（3）{}n b中的第503项是{}n a的第几项1.在等差数列{a n}中，a1＋a9＝10，则a5的值为()A．5 B．6 C．8 D．102.在数列{a n}中，a1＝2,2a n＋1＝2a n＋1，则a101的值为()A．49 B．50 C．51 D．523. 如果等差数列{a n}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14 B．21 C．28 D．354. 已知等差数列{a n}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有()A．a1＋a101>0 B．a2＋a100<0 C．a3＋a100≤0 D．a51＝0 5. 等差数列{a n}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为()A．30 B．27 C．24 D．216. 等差数列{a n}中，a5＝33，a45＝153，则201是该数列的第()项()A．60 B．61 C．62 D．63_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.在等差数列{a n}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝()A．11 B．12 C．13 D．142.若数列{a n}是等差数列，且a1＋a4＝45，a2＋a5＝39，则a3＋a6＝()A．24 B．27 C．30 D．333.已知等差数列{a n}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12等于()A．15 B．30 C．31 D．64 4.等差数列中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝420，则a2＋a10等于()A．100 B．120 C．140 D．1605.已知a＝13＋2，b＝13－2，则a，b的等差中项为()A.3B.2C.13D.126. 在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________.7. 等差数列{a n }中，公差为12，且a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝60，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100＝_______. 8. 在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为( ) A ．14 B ．15 C ．16 D ．179. 在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6＝________.10. 等差数列{a n }的前三项依次为x,2x ＋1,4x ＋2，则它的第5项为__________．11. 已知等差数列6,3,0，…，试求此数列的第100项．能力提升12. 等差数列的首项为125，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是( ) A ．d >875 B ．d <325 C.875<d <325 D.875<d ≤32513. 设等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 是( ) A ．48 B ．49 C ．50 D ．5114. 已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列{1a n ＋1}是等差数列，则a 11等于( ) A ．0 B.12 C.23D ．－1 15. 若a ≠b ，两个等差数列a ，x 1，x 2，b 与a ，y 1，y 2，y 3，b 的公差分别为d 1、d 2，则d 1d 2等于( ) A.32 B.23 C.43 D.3416. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．17. 等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( )A ．无实根B ．有两个相等实根C ．有两个不等实根D ．不能确定有无实根 18. 在a 和b 之间插入n 个数构成一个等差数列，则其公差为( ) A.b －a n B.a －b n ＋1 C.b －a n ＋1 D.b －a n －119. 在等差数列{a n }中，已知a m ＋n ＝A ，a m －n ＝B ，，则a m ＝__________.20．三个数成等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，则这三个数为__________．21. 在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________.22. 已知数列{a n }是等差数列，且a 1＝11，a 2＝8.(1)求a 13的值；(2)判断－101是不是数列中的项；(3)从第几项开始出现负数？(4)在区间(－31,0)中有几项？23. 已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？24. 已知函数f (x )＝3x x ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2，且n ∈N *)确定． (1)求证：{1x n}是等差数列； (2)当x 1＝12时，求x 100的值． 25. 四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．26. 已知等差数列{a n }中，a 2＋a 6＋a 10＝1，求a 3＋a 9.27. 在△ABC 中，若lgsin A ，lgsin B ，lgsin C 成等差数列，且三个内角A ，B ，C 也成等差数列，试判断三角形的形状．。

1奥数等差数列讲义

等差数列一、课前热身找出规律后填出下面数列中括号里的数：(1) 1，3，5，7，( )，11，13，( )，…(2) 1，4，7，10，( )，16，19，…(3) 1，3，6，10，15，( )，28，…(4) l，2，4，5，7，8，( )，( )，…(5) 5，7，11，19，35，( )，131；259，…二、准备知识：1、数列定义：（1） 1，2，3，4，5，6，7，8，…(等差)（2） 2，4，6，8，10，12，14，16，…(等差)（3） 1，4，9，16，25，36，49，…(非等差)⒈数列的定义：若干个数按一定次序进行排列的一列数，叫做数列.数列中的每一个数称为一项，其中第一个数称为首项，第二个数叫做第二项......以此类推，最后一个数叫做这个数列的末项，数列中数的个数称为项数，如：2，4，6，8， (100)注意：数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；2、等差数列：从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列。

我们将后项与前项的差称为公差.a－=d ，（n≥2，n∈N），后一项减前一项为一定值，我们把这{ EMBED Equation.3 |n个定值叫公差，用d表示。

例如：等差数列：3、6、9……96，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的数列。

练习:1、 3、6、9、12……75，这是一个首项为( )，末项为( )，项数为( )，公差为( )的数列。

2、下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由.①6，10，14，18，22，…，98；( )②1，2，1，2，3，4，5，6；( )③1，2，4，8，16，32，64；( )④9，8，7，6，5，4，3，2；( )⑤3，3，3，3，3，3，3，3；( )⑥1，0，1，0，l，0，1，0；( )3、计算等差数列的相关公式：等差数列的通项公式（每一项都可用通项公式来表示）：（1）末项公式：第几项(末项)＝首项＋（项数－1）×公差（2）项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1（3）求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2在等差数列中，如果已知首项、末项、公差。

1.2等差数列（讲义+典型例题+小练）（原卷版）

1.2等差数列（讲义+典型例题+小练）1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．（2）符号表示：11(2)(1)n n n n a a d n a a d n -+-=≥-=≥或2、通项公式：若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则()11n a a n d =+-．通项公式的变形：①()n m a a n m d =+-；②n ma a d n m-=-．通项公式特点：1()na dn a d =+-),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。

例1：1．在等差数列{}n a 中，已知28a =-，44a =-，则12a =（） A ．10B ．12C ．14D ．162．已知等差数列{n a }，43n a n =-，则公差d 的值是（） A ．4 B ．-6C ．8D ．-10举一反三1．已知等差数列{}n a 中，131,5a a ==，则2a =（） A ．3-B ．5-C ．5D ．32．已知等差数列{}n a 中，12a =，2313a a +=，则456a a a ++等于（） A ．40B ．42C ．43D ．453．已知数列{}n a 是等差数列，若12a =，342a a =，则公差d =_____. 3、等差中项若三个数a ，A ，b 组成等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若2a cb +=，则称b 为a 与c 的等差中项．即a 、b 、c 成等差数列<=>2a cb +=例2：1．在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则该数列第6项6a =（） A ．6 B ．8C ．12D ．16举一反三1．已知等差数列{}n a ，且4610a a +=，则5a =（）A ．3B ．5C ．7D ．92．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且34567150a a a a a ++++=，则9S =_________． 3．已知132a =+，132b =-，则a ，b 的等差中项为（）A ．3B ．2C ．33D ．24、等差数列{}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中（1）q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若。

等差数列知识点总结与题型归纳讲义

10.1等差数列知识梳理.等差数列1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)①通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝nd ＋(a 1－d )⇒当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数．②通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(3)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．①若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．②当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(4)前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2――→a n ＝a 1＋(n －1)dS n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋a 1－d2n ⇒当d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，且没有常数项．2.常用结论：已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．(1)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d .(2)若{a n }是等差数列，则S nn 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12.(3)若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a na n ＋1.若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝nn －1.题型一.等差数列的基本量1．已知等差数列{a n}满足a3+a4＝12，3a2＝a5，则a6＝11．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a4＝12，3a2＝a5，∴2a1+5d＝12，3（a1+d）＝a1+4d，联立解得a1＝1，d＝2，∴a6＝a1+5d＝11故答案为：112．（2018•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3＝S2+S4，a1＝2，则a5＝（）A．﹣12B．﹣10C．10D．12【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，3S3＝S2+S4，a1＝2，∴3×(31+3×22p=a1+a1+d+4a1+4×32d，把a1＝2，代入得d＝﹣3∴a5＝2+4×（﹣3）＝﹣10．故选：B．3．（2017•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．8【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5＝24，S6＝48，∴1+3+1+4=2461+6×52=48，解得a1＝﹣2，d＝4，∴{a n}的公差为4．故选：C．题型二.等差数列的基本性质1．在等差数列{a n}中，已知a5+a10＝12，则3a7+a9等于（）A．30B．24C．18D．12【解答】解：∵等差数列{a n}中，a5+a10＝12，∴2a1+13d＝12，∴3a7+a9＝4a1+26d＝2（2a1+13d）＝24．故选：B．2．在等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12＝120，则a9−1311的值为（）A．17B．16C．15D．14【解答】解：由a4+a6+a8+a10+a12＝（a4+a12）+（a6+a10）+a8＝5a8＝120，解得a8＝24．a9−1311=a1+8d−1+103=23a1+143d=23（a1+7d）=23a8＝16故选：B．3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＝10，S4＝36，则公差d为2．【解答】解：∵a3＝10，S4＝36，∴a1+2d＝10，4a1+4×32d＝36，解得d＝2．故答案为：2．题型三.等差数列的函数性质1．下面是关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：（1）数列{a n}是递增数列；（2）数列{na n}是递增数列；（3）数列{}是递减数列；（4）数列{a n+3nd}是递增数列．其中的真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：设等差数列的首项为a1，公差d＞0，则a n＝a1+（n﹣1）d＝dn+a1﹣d，∴数列{a n}是递增数列，故（1）正确；B=B2+(1−p，当n＜K12时，数列{na n}不是递增数列，故（2）错误；=+1−，当a1﹣d≤0时，数列{}不是递减数列，故（3）错误；a n+3nd＝4nd+a1﹣d，数列{a n+3nd}是递增数列，故（4）正确．∴真命题个数有2个．故选：C．2．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2（n∈N*），则{a n}的通项公式为（）A．a n＝2n B．a n＝2n﹣1C．a n＝3n﹣2D．=1，=12，≥2【解答】解：∵S n＝n2，∴当n＝1时，a1＝S1＝1．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，而当n＝1时也满足，∴a n＝2n﹣1．故选：B．3．在数列{a n}中，若a n＝5n﹣16，则此数列前n项和的最小值为（）A．﹣11B．﹣17C．﹣18D．3【解答】解：令a n＝5n﹣16≤0，解得n≤3+15．则此数列前n项和的最小值为S3=3×(−11+15−16)2=−18．故选：C．题型四.等差数列的前n项和经典结论1．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S9＝72，则S6＝（）A．27B．33C．36D．45【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S9＝72，∴S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差数列，故2（S6﹣S3）＝S3+S9﹣S6，即2（S6﹣9）＝9+72﹣S6，求得S6＝33，故选：B．2．等差数列{a n}中，S n是其前n项和，1=−11，1010−88=2，则S11＝（）A．﹣11B．11C．10D．﹣10【解答】解：=B1+oK1)2，得=1+(K1)2，由1010−88=2，得1+10−12−(1+8−12)=2，d＝2，1111=1+(11−1)2=−11+5×2=−1，∴S11＝﹣11，故选：A．3．若两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别是S n和T n，已知=2r1，则77等于（）A．1321B．214C．1327D．827【解答】解：∵=2r1，∴77=2727=132(1+13)132(1+13)=1313=132×13+1=1327，故选：C．题型五.等差数列的最值问题1．已知等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，若S16＞0，S17＜0，则当S n最大时，n的值为（）A．8B．9C．10D．16【解答】解：∵等差数列{a n}中，S16＞0且S17＜0∴a8+a9＞0，a9＜0，∴a8＞0，∴数列的前8项和最大故选：A．2．在等差数列{a n}中，已知a1＝20，前n项和为S n，且S10＝S15，求当n为何值时，S n取得最大值，并求出它的最大值．【解答】解：∵等差数列{a n}中S10＝S15，∴S15﹣S10＝a11+a12+a13+a14+a15＝5a13＝0，∴a13＝0，∴数列的前12项为正数，第13项为0，从第14项开始为负值，∴当n＝12或13时，S n取得最大值，又公差d=13−113−1=−53，∴S12＝12×20+12×112（−53）＝130∴S n的最大值为1303．（2014·江西）在等差数列{a n}中，a1＝7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n＝8时S n取得最大值，则d的取值范围为（﹣1，−78）．【解答】解：∵S n＝7n+oK1)2，当且仅当n＝8时S n取得最大值，∴7＜8 9＜8，即49+21＜56+2863+36＜56+28，解得：＞−1＜−78，综上：d的取值范围为（﹣1，−78）．题型六.证明等差数列1．已知数列{a n}满足1=35，=2−1K1(≥2，∈∗)，数列{b n}满足=1−1(∈∗)．（1）求证数列{b n}是等差数列；（2）求数列{a n}中的最大项和最小项．【解答】解：（1）由1=35，=2−1K1(≥2，∈∗)，得a n+1＝2−1（n∈N•）b n+1﹣b n=1r1−1−1−1=12−1−1−1−1=1…（4分）又b1=−52，所以{b n}是以−52为首项，1为公差的等差数列…（6分）（2）因为b n＝b1+（n﹣1）＝n−72，所以a n=1+1=22K7+1．…（9分）1≤n≤3时数列{a n}单调递减且a n＜1，n≥4时数列{a n}单调递减且a n＞1所以数列{a n}的最大项为a4＝3，最小项为a3＝﹣1．…（14分）2．已知数列{a n}中，a2＝1，前n项和为S n，且S n=o−1)2．（1）求a1；（2）证明数列{a n}为等差数列，并写出其通项公式；【解答】解：（1）令n＝1，则a1＝S1=1(1−1)2=0（2）由=o−1)2，即=B2，①得r1=(r1)r12．②②﹣①，得（n﹣1）a n+1＝na n．③于是，na n+2＝（n+1）a n+1．④③+④，得na n+2+na n＝2na n+1，即a n+2+a n＝2a n+1又a1＝0，a2＝1，a2﹣a1＝1，所以，数列{a n}是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，a n＝n﹣1课后作业.等差数列1．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＝72，则a1+a5+a9＝（）A．36B．24C．16D．8【解答】解：由等差数列的求和公式可得，S9=92（a1+a9）＝72，∴a1+a9＝16，由等差数列的性质可知，a1+a9＝2a5，∴a5＝8，∴a1+a5+a9＝24．故选：B．2．设等差数列{a n}的前n项和为S n，S8＝4a3，a7＝﹣2，则a10＝（）A．﹣8B．﹣6C．﹣4D．﹣2【解答】解：等差数列{a n}中，前n项和为S n，且S8＝4a3，a7＝﹣2，则81+28=41+81+6=−2，解得a1＝10，d＝﹣2，∴a10＝a1+9d＝﹣8．故选：A．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＞0，2a5+a11＝0，则下列说法错误的为（）A．a8＜0B．当且仅当n＝7时，S n取得最大值C．S4＝S9D．满足S n＞0的n的最大值为12【解答】解：∵2a5+a11＝0，∴2a1+8d+a1+10d＝0，∴a1＝﹣6d，∵a1＞0，∴d＜0，∴{a n}为递减数列，∴a n＝a1+（n﹣1）d＝﹣6d+（n﹣1）d＝（n﹣7）d，由a n≥0，（n﹣7）d≥0，解得n≤7，∴数列前6项大于0，第7项等于0，从第8项都小于0，∴a8＜0，当n＝6或7时，S n取得最大值，故A正确，B错误；∵S4＝4a1+6d＝﹣24d+6d＝﹣18d，S9＝9a1+36d＝﹣28d+36d＝﹣18d，∴S4＝S9，故C正确；∴S n＝na1+oK1)2=2（n2﹣13n）＞0，解得0＜n＜13，∴满足S n＞0的n的最大值为12，故D正确．故选：B．4．若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n＝8时，{a n}的前n项和最大；当S n＞0时n的最大值为15．【解答】解：∵a7+a8+a9＝3a8＞0，a7+a10＝a8+a9＜0，∴a8＞0，a9＜0，∴n＝8时，{a n}的前n项和最大；∵S15=15(1+15)2=15a8＞0，S16=16(1+16)2=8（a8+a9）＜0，∴当S n＞0时n的最大值为15．故答案为：8；15．5．在数列{a n}中，a2＝8，a5＝2，且2a n+1﹣a n+2＝a n（n∈N*），则|a1|+|a2|+…+|a10|的值是（）A．210B．10C．50D．90【解答】解：∵2a n+1﹣a n+2＝a n（n∈N*），即2a n+1＝a n+2+a n（n∈N*），∴数列{a n}是等差数列，设公差为d，则a1+d＝8，a1+4d＝2，联立解得a1＝10，d＝﹣2，∴a n＝10﹣2（n﹣1）＝12﹣2n．令a n≥0，解得n≤6．S n=o10+12−2p2=11n﹣n2．∴|a1|+|a2|+…+|a10|＝a1+a2+…+a6﹣a7﹣…﹣a10＝2S6﹣S10＝2（11×6﹣62）﹣（11×10﹣102）＝50．故选：C．6．已知在正整数数列{a n}中，前n项和S n满足：S n=18（a n+2）2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=12a n﹣30，求数列{b n}的前n项和的最小值．【解答】解：（1）∵S n=18（a n+2）2，∴当n＝1时，1=18(1+2)2，化为(1−2)2=0，解得a1＝2．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1=18（a n+2）2−18(K1+2)2，化为（a n﹣a n﹣1﹣4）（a n+a n﹣1）＝0，∵∀n∈N*，a n＞0，∴a n﹣a n﹣1＝4．∴数列{a n}是等差数列，首项为2，公差为4，∴a n＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2．（2）b n=12a n﹣30=12(4−2)−30=2n﹣31．由b n≤0，解得≤312，因此前15项的和最小．又数列{b n}是等差数列，∴数列{b n}的前15项和T15=15(−29+2×15−31)2=−225．∴数列{b n}的前n项和的最小值为﹣225．。

2019-2020年高中数学数列版块二等差数列等差数列的通项公式与求和完整讲义(学生版)

2019-2020年高中数学数列版块二等差数列等差数列的通项公式与求和完整讲义（学生版）典例分析【例1】等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．【例2】数列的前项和，求它的通项公式．【例3】数列的前项和，，则数列的前项和_______.【例4】数列的前项和，则_______.【例5】设等差数列的前项的和为，且，，求.【例6】设等差数列的前项的和为，且，，求.【例7】有两个等差数列，，其前项和分别为，，若对有成立，求．【例8】在等差数列中，，，为前项和，⑴求使的最小的正整数；⑵求的表达式.【例9】等差数列的前项和为，前项和为，则它的前项和为_______．【例10】等差数列中，，，问数列的多少项之和最大，并求此最大值．【例11】已知二次函数()()222103961100f x x n x n n =+-+-+，其中．⑴ 设函数的图象的顶点的横坐标构成数列，求证：数列为等差数列；⑵ 设函数的图象的顶点到轴的距离构成数列，求数列的前项和．【例12】等差数列前项的和为，其中，项数为奇数的各项的和为，求其第项及公差．【例13】设等差数列的公差为,，且，求当取得最大值时的值．【例14】已知等差数列中，，，，则（）A ．B ．C ．D ．【例15】已知是等差数列，且，，求数列的通项公式及的前项和．【例16】在各项均不为0的等差数列中，若，则等于（）A．B．C．D．【例17】设数列满足，，，且数列是等差数列，求数列的通项公式．【例18】已知22=-+++-，f x x n x n n()2(1)57⑴设的图象的顶点的纵坐标构成数列，求证为等差数列．⑵设的图象的顶点到轴的距离构成，求的前项和．【例19】已知数列是等差数列，其前项和为，．⑴求数列的通项公式；⑵设是正整数，且，证明．【例20】在等差数列中，，，为前项和，⑴求使的最小的正整数；⑵求的表达式.【例21】有固定项的数列的前项和，现从中抽取某一项（不包括首相、末项）后，余下的项的平均值是．⑴求数列的通项；⑵求这个数列的项数，抽取的是第几项．【例22】已知23123()n n f x a x a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，成等差数列(为正偶数)．又，，⑴求数列的通项；⑵试比较与的大小，并说明理由．【例23】设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足则的取值范围是．【例24】设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，等于（）A ．B ．C ．D ．【例25】在等比数列中，若公比，且前项之和等于，则该数列的通项公式．【例26】已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．⑴求数列的通项；⑵求数列的前项和．【例27】已知数列满足，，且对任意，都有22121122()m n m n a a a m n +-+-+=+-⑴求，；⑵设证明：是等差数列；⑶设，求数列的前项和．【例28】设等差数列的前项和为，，则等于（）A．10 B．12 C．15 D．30【例29】已知等差数列的前项和为，且满足，则数列的公差是（）A． B． C． D．【例30】若为等差数列，是其前项和，且，则的值为（）A．B．C．D．【例31】已知等差数列，等比数列，则该等差数列的公差为（）A．或 B．或 C． D．【例32】已知数列的通项公式，设其前项和为，则使成立的最小自然数等于（）A． B． C． D．【例33】等差数列中，，，此数列的通项公式为，设是数列的前项和，则等于．【例34】设集合由满足下列两个条件的数列构成：①②存在实数，使．（为正整数）⑴在只有项的有限数列，中，其中，，，，，，，，，；试判断数列，是否为集合的元素；⑵设是等差数列，是其前项和，，证明数列；并写出的取值范围；⑶设数列，且对满足条件的常数，存在正整数，使．求证：．【例35】已知数列满足：，21221,12,2n n n n a n n a a -+⎧⎪⎪=⎨++⎪⎪⎩为偶数为奇数，．⑴求的值；⑵设，，求证：数列是等比数列，并求出其通项公式；⑶对任意的，，在数列中是否存在连续的项构成等差数列？若存在，写出这项，并证明这项构成等差数列；若不存在，说明理由．2019-2020年高中数学数列的概念与简单表示”课堂实录一、教学目标：知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。

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2.2 等差数列
2.2.1 等差数列的概念、通项公式
【学习目标】
1.理解等差数列的定义(重点)；
2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题；
3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用(重、难点).
【要点整合】
1. 等差数列的概念
2. 等差中项
如果三个数a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.
注意根据等差中项的定义，a ，A ，b 成等差数列，则A ＝a ＋b 2；反之，若A ＝a ＋b 2
，也可得到a ，A ，b 成等差数列，所以A 是a ，b 的等差中项⇔A ＝a ＋b 2
3. 等差数列的通项公式
如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d .
上述公式中有4个变量，a 1，d ，n ，a n ，在4个变量中已知其中的三个便可求出其余的一个，即“知三求一”.其作用为：
(1)可以由首项和公差求出等差数列中的任一项；
(2)已知等差数列的任意两项，就可以求出首项和公差，从而可求等差数列中的任一项；
(3)由等差数列的通项公式可求出数列中的任意一项，也可判断某数是否为数列中的项及是第几项. 【典例讲练】
题型一等差数列的概念
例1 判断下列数列是不是等差数列？
(1)9,7,5,3，…，－2n ＋11，…；
(2)－1,11,23,35，…，12n －13，…；
(3)1,2,1,2，…；
(4)1,2,4,6,8,10，…；
(5)a，a，a，a，a，….
练习1：数列{a n}的通项公式a n＝2n＋5，则此数列()
A.是公差为2的等差数列
B.是公差为5的等差数列
C.是首项为5的等差数列
D.是公差为n的等差数列
题型二等差中项
例2在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列.
练习2：若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项.
题型三等差数列的通项公式及应用
例3(1)若{a n}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
(2)已知递减等差数列{a n}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？
（3）等差数列2,5,8,...,107共有项
练习3：已知{a n }为等差数列，根据下列条件分别写出它的通项公式.
(1)a 3＝5，a 7＝13； (2)前三项为：a ，2a －1，3－a .
题型四等差数列的判定
例4若a n ＝7n ＋
2，b n ＝lg a n ，证明{b n }为等差数列.
练习4：已知a 1＝2，若a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1，证明⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n 2n 为等差数列，并求{a n }的通项公式.
2.2.2 等差数列的性质
【学习目标】
1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质；
2.能运用等差数列的性质解决有关问题.
【要点整合】
1.等差数列与一次函数
（1）等差数列的图象
等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )，当d ＝0时，a n 是关于n 的常数函数；当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数，点(n ，a n )，(m ，a m )分布在以d 为斜率的直线上，且是这条直线上的一列孤立的点.
（2）公差d 与斜率
等差数列{a n }的图象是一条直线上的孤立的点，而这条直线的斜率即为公差d ，即d ＝a n －a 1n －1＝a n －a m n －m
(m,n≥2，m ≠n ，m,n ∈N *)，故等差数列的通项公式也可写为a n ＝a m ＋(n －m)d.
2.等差数列的性质
（1）等差数列的项的对称性 ①在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…
②下标性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .特别地，若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p .（2）由等差数列衍生的新数列
若{a n }，{b n }分别是公差为d ，d ′的等差数列，则有
【典例讲练】
题型一等差数列与一次函数的关系
例1 已知数列{a n}的通项公式a n＝pn＋q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？
练习1若数列{a n}满足a1＝15，3a n＋1＝3a n－2(n∈N*)，则使a k·a k＋1<0的k值为________.
题型二等差数列性质的应用
例2在等差数列{a n}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式.
练习2数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列，且b n＝a n＋1－a n(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，则a8等于() A.0 B.3 C.8 D.11
例3已知等差数列{a n}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式.
练习3已知{a n}为等差数列，a4＋a7＋a10＝30，则a3－2a5的值为()
A.10
B.－10
C.15
D.－15
例4已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列.
练习4已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数.
例5、已知两个等差数列5,8,11，...和3,7,11，...都有100项，问它们有多少共同项？。

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等差数列及其前n项和讲义

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人教版高中数学必修五第4讲：等差数列的概念、性质(学生版)

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