弹性与塑性力学基础-第二章应变分析
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塑性力学第二章-应力和应变分析
主偏应力分量表示
J2
1 2 2 2 ( S1 S 2 S 3 ) 2
简单拉伸问题
1 , 2 3 0
J2 1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 1 2 6 3
定义等效应力
3J 2
1 I 2 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] 6
I2
1 1 2 2 2 eij eij (e1 e2 e3 ) 2 2
简单拉伸问题
1 , 2 3
I2 1 3 2 2 2 2 [( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) ] 6 4
i j ij i i jj
xy 1 i 2 j ij 2 11 21 x 12 22 y 13 13 z
11 22 xy 12 21 yx 12 23 yz
m
0
ij m ij eij
应变张量的不变量 主应变：
1 , 2 , 3
I1 x y z
2 2 2 I 2 x y y z z x xy yz zx
2 2 2 I 3 x y z 2 xy yz zx x yz y zx z xy
pij...l pij...lii jj ...ll
二阶张量
pij pijii jj
pi piii
一阶张量
应力是二阶张量
ij ijii jj
r rr ri rj ij
rx rx x ry ry y rx ry xy ry rx yx
弹塑性力学 第二章 应变与几何方程
具有相同性质的一组物理量，可以用一个带 下标的字母表示：
如：位移分量u、v 、w表示为u1 、u2、u 3，缩写为ui（i=1,2,3） 坐标x、y、z表示为x1、 x2、 x3 ，缩写为xi（i=1,2,3）。 单位矢量i、j、k表示ei（i=1,2,3）。
应力分量：
可表示为：
缩写为： 同理，应变分量可表示为：
z C
A
P
B
O
y
(2) 一点应变状态
z
其中
C
注：
应变无量纲； 应变分量均为位置坐标的函数，即
x
A
P
B
O
z
y
4. 位移
一点的位移 —— 矢量S 量纲：m 或 mm u —— x方向的位移 分量；
O
x
w
S u
P v
位移分量： v —— y方向的位移 分量； w—— z方向的位移 分量。
y
§3-2.几何方程
连续性方程
• 连续性方程是单连体小变形连续的必要和 充分条件。 • 如应变分量满足连续性方程，可保证位移 分量存在。
§3-6.应变率和应变增量
§3-7 位移边界条件
在位移边界问题中，位移分量在边界上还应当满足位移边 界条件 在给定位移的表面Su上
注：在给定某方向的面力后，就不能再给定该方向的位移； 反之亦然。但可某些方向给定位移，其它方向给定面力，即 混合边界条件。
PA=dx C C’ P P’ A A’ B B’ PB=dy PC=dz
研究在oxy平面 内投影的变形，
一点的变形 线段的伸长或缩短； 线段间的相对转动； O 考察P点邻域内线段的变形：
v
变形前 P 变形后
如：位移分量u、v 、w表示为u1 、u2、u 3，缩写为ui（i=1,2,3） 坐标x、y、z表示为x1、 x2、 x3 ，缩写为xi（i=1,2,3）。 单位矢量i、j、k表示ei（i=1,2,3）。
应力分量：
可表示为：
缩写为： 同理，应变分量可表示为：
z C
A
P
B
O
y
(2) 一点应变状态
z
其中
C
注：
应变无量纲； 应变分量均为位置坐标的函数，即
x
A
P
B
O
z
y
4. 位移
一点的位移 —— 矢量S 量纲：m 或 mm u —— x方向的位移 分量；
O
x
w
S u
P v
位移分量： v —— y方向的位移 分量； w—— z方向的位移 分量。
y
§3-2.几何方程
连续性方程
• 连续性方程是单连体小变形连续的必要和 充分条件。 • 如应变分量满足连续性方程，可保证位移 分量存在。
§3-6.应变率和应变增量
§3-7 位移边界条件
在位移边界问题中，位移分量在边界上还应当满足位移边 界条件 在给定位移的表面Su上
注：在给定某方向的面力后，就不能再给定该方向的位移； 反之亦然。但可某些方向给定位移，其它方向给定面力，即 混合边界条件。
PA=dx C C’ P P’ A A’ B B’ PB=dy PC=dz
研究在oxy平面 内投影的变形，
一点的变形 线段的伸长或缩短； 线段间的相对转动； O 考察P点邻域内线段的变形：
v
变形前 P 变形后
工程塑性力学(第二章)应变分析、应力分析和屈服条件
或
σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33
定义了一个量 Σ ，表征该点的应力状态，在坐标系 Oxyz 中。如果变换到另一个 坐标系 Ox ′y′z′
σ′ τ′ x xy τ ′ xz τ′ σ ′y τ ′yz yx τ′ τ′ σ′ zx zy z
仍然表征同一应力状态，仍为 Σ 。在数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换 式的 9 个数所定义的量叫做二阶张量。此二阶张量称为应力张量：
I1 = σ 1 + σ 2 + σ 3 I 2 = −(σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1 ) I 3 = σ 1σ 2σ 3
（2-11）
应力偏量 S ij 也是一种应力状态，同样也有不变量。进行类似的推导（或将
I1、I 2、I 3 式中的 σ x 、 σ y 和 σ z 分别用 s x 、 s y 和 sz 代替）即得应力偏量的三个不
2 J2 。 3
（2）等效应 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 2 1 2 2 2 = (σ x − σ y ) 2 + (σ y − σ z ) 2 + (σ z − σ x ) 2 + 6(τ xy + τ yz + τ zx ) （2-17） 2 = 3J 2
s xy = τ xy ， s yz = τ yz ， s zx = τ zx ，……
（2-4）
则应力偏张量：
⎡σ x − σ m τ xy τ xz ⎤ ⎡ s x s xy s xz ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ σ y −σm τ yz ⎥ = ⎢ s yx s y s yz ⎥ = S ij = σ ij − σ mδ ij （2-5） ⎢ τ yx ⎢ τ zx ⎢ ⎥ τ zy σz −σm⎥ ⎣ ⎦ ⎣ s zx s zy s z ⎦ 应力球张量表示各向均值应力状态，即静水压力情况。由于静水压力不影响 屈服，所以塑性变形只与应力偏量有关，因此在塑性力学中应力偏量的研究很重 要。
弹塑性力学讲义-应变共26页
▪ 球形张量对应的应变状态只有体积等向膨胀或收缩，而没有形状畸变； ▪ 偏应变张量对应的变形状态，只有形状畸变而没有体积改变
变形协调方程
▪ 问题 根据几何方程去求位移分量，多组位移解 表明物体发生裂缝或者相互嵌入，产生不连续。 因此，6个应变分量不能任意给定，必须满足一定的协调关系，
▪ 位移单值连续的必要条件，对单连通体，其充分条件是
1yzn＝0 2
1 zxl+ 1 zym+(z)n＝0
2
2
应变张量的分解
x
1 2
yx
1 2
xy
y
1 2
xz
1 2
yz
0 0
0
0
0
0
1 2
zx
1 2 zy
z
0 0 0
x - 0
1 2 yx
1 2
zx
1 2 xy
y - 0
1 2
zy
1 2 xz
1 2
yz
z
0
位移
z
A'
A
u
r R
y
x
u(x、y、z) = rx Rx
v(x、y、z) = ry Ry
w(x、y、z) = rz Rz
应变
考察物体内任意一微小线段 ▪ 长度的相对改变 正（线）应变
l l l x
▪ 方向的相对改变 剪（角）应变
900
x
z
B
l
B'
l'
A A'
y
z
B
l
l'
B'
0
A 90
A'
▪ 变形分解 （1）随A点平动； AB AB （2）相对A点刚体转动； AB AB （3）纯变形。 AB AB。
弹塑性力学与有限元：2 力学位移和应变分析T
O
x u u dx
x
u
u x
dx
u
dx
u x
PB的正应变：
u
P
dx
v P A
dy
x v v dx
x
y
v
v y
dy
dy
v
v y
P点的剪应变：
y
v v dy y
B
A
B
u u dy
P点两直角线v 段夹v角d的x 变 v化
tan
x dx u dx
xy
v x
u x
u
u
x dy
u
tan
y dy v dy
符号规定：u,v,w与坐标轴正方向一致为正，相反为负。
考虑外力作用下的两种状态： 平衡状态：M点只随位置变化，不随时间变化；位移分量（u,v,w）只随位置变化， 不随时间变化。 运动状态： M点不仅随位置变化，而且随时间变化；位移分量（u,v,w）随位置和 时间变化而变化。
本章仅考虑平衡状态。
根据连续性假设，物体上任一点M，当物体变形后， 都一一对应于相应的点M’；
考察P点邻域内线段的变形：
PA dx dy
y
u
P
dx
x u u dx x
v P A
dy
v v dx x
B
A
变形前 P
A
变形后
P
u v
v v dy y
B
u u dy y
u u dx x
A v v dx B
x
u u dy
B
y v v dy
y
注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。
PA的正应变：
弹塑性力学应变分析
弹塑性力学应变分析弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，研究了材料在外力作用下的弹性和塑性变形行为。
应变分析是弹塑性力学研究中的一个重要方法，用来描述材料的应变分布和变形机制。
本文将从简介弹塑性力学的基本概念开始，然后介绍应变分析的基本原理和方法，最后结合实例进行具体分析。
弹塑性力学是固体力学中研究物体在外力作用下产生变形和失去变形能力的行为的学科，弹塑性力学将材料的变形分为弹性和塑性两个阶段进行研究。
所谓弹性变形是指当外力作用撤除后，物体完全恢复到原来的形状和体积；而塑性变形则是在外力作用下，物体永久性的改变了形状和体积。
弹性力学研究了材料的弹性性质，主要通过描述应力-应变关系来分析材料的弹性行为；而塑性力学则以塑性应变的定义和计算为基础，研究材料的塑性行为。
应变分析是一种通过测量物体表面上的变形情况来分析物体内部应变分布和变形机制的方法。
应变分析的基本原理是根据平面几何关系，通过测量物体表面上的位移或形变情况，计算出表面上各点的法向和剪切应变分量，然后根据连续性假设推导出物体内部的应变分布。
应变分析主要通过两种方法进行，一种是光学方法，即应变光学方法；另一种是电子方法，即电子应变分析方法。
应变光学方法是应变分析中最常用的方法之一，主要利用光的干涉和衍射原理来测量物体表面上的位移和形变情况。
最常用的光学方法是全场应变测量方法，主要包括光栅投影法、相位差法和光弹性法。
在这些方法中，光栅投影法是最简单和最常用的方法，它通过在物体表面上投影一组光栅，然后根据物体表面上的光强分布来计算出位移和形变信息。
相位差法和光弹性法则是基于光的相位差和光的偏振状态来计算应变信息的。
电子应变分析方法主要利用电子束的散射和衍射原理来测量物体表面上的位移和形变信息。
最常用的电子应变分析方法是SEM-EBSD方法和EBSD方法。
SEM-EBSD方法是通过扫描电子显微镜和电子背散射衍射技术来测量物体表面上的位移和形变信息。
EBSD方法则是通过扫描电子显微镜和电子回散射衍射技术来测量物体表面上的位移和形变信息。
02应变分析(弹塑性力学讲义)
2 2 d x d y 2 + d y d z 2 + d z d x 2 + 3 d xy + d 2 + d zx yz 2
六、对数应变
当应变较大时，考虑一截面积为A0、长为l0 的杆，受力后 长为l ，截面积为A，当杆伸长dl 时，应变增量为：
v xy + x w yz + y u zx + z
平面问题的几何方程：
柱坐标下的几何方程： u r r 1 v u + r r w z z
x y xy
u x v y v u + x y
yz
yz
2 z x 2
2 zx 2 x + 2 zx z
xy
yz
v u + x y
w v + y z
u w + z x
xy z
yz
2v 2u + xz yz
zx
2v 2w + x zx yx zx 2w 2u + y xy zy
由体积不可压缩得：
A0l0 Al
A0 l * ln ln l0 A
l0 A A0 l
1 * ln ln(1 ) 1
1 e *
§2-4 应变协调方程（相容方程）
A
C
B
D
变形前是连续的，变形后仍然是连续的。不允许出 现裂纹或发生重叠现象。 为保证变形前后物体的连续性，应变之间必然存在 某种关系，描述这种关系的数学表达式就是应变协 调方程。
0.5
六、对数应变
当应变较大时，考虑一截面积为A0、长为l0 的杆，受力后 长为l ，截面积为A，当杆伸长dl 时，应变增量为：
v xy + x w yz + y u zx + z
平面问题的几何方程：
柱坐标下的几何方程： u r r 1 v u + r r w z z
x y xy
u x v y v u + x y
yz
yz
2 z x 2
2 zx 2 x + 2 zx z
xy
yz
v u + x y
w v + y z
u w + z x
xy z
yz
2v 2u + xz yz
zx
2v 2w + x zx yx zx 2w 2u + y xy zy
由体积不可压缩得：
A0l0 Al
A0 l * ln ln l0 A
l0 A A0 l
1 * ln ln(1 ) 1
1 e *
§2-4 应变协调方程（相容方程）
A
C
B
D
变形前是连续的，变形后仍然是连续的。不允许出 现裂纹或发生重叠现象。 为保证变形前后物体的连续性，应变之间必然存在 某种关系，描述这种关系的数学表达式就是应变协 调方程。
0.5
弹塑性力学2应变分析详解
zx
（2－6）
若A点在z 轴方向的位移为 w f2 (x, y, z) ，
8 8
则B点在Z 轴方向的位移为
w1
f2 (x dx, y, z)
w
w dx ， x
B点与A点沿Z 轴方向的位移之差为: z
C
C
BB
w1
w
w x
dx
w
A
B
B
w w dx x
在直角三角形 ABB 中，可得：
tg BB
第二章 应变分析
第一节 一点的应变状态 应变与位移的关系 第二节 应变状态分析 第三节 主应变 第四节 应变张量和应变偏量 第五节 应变协调方程（连续性方程、相容方程）
1
第一节 一点的应变状态 应变与位移的关系
定义：正应变
x
lim u x0 x
du dx
变形均匀，则有:
x
l l0 l0
l l0
x
u x
y
v y
z
w z
（2－5）
当 x， y， z 大于零时，表示线段伸长，反之表示缩短。
z
C
C
B
w
w w dx
A
B
x
A
B
o
u
x
u u dx x
下面研究六面体的剪应变，即各直角的改变。
取变形前的直角BAC或 BAC，变形时，棱边AB转动
一个角度 ，棱边 AC转动一个角度 ，在xoz平面内，角 应变用 zx表示，其值为 和 之和，即：
u y
dy
u dz z
N
p dr
o
y
同理可得 ： vN，wN 即有式（2－14） x
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弹性与塑性 力 学 基 础
第二章 应变分析
§2-3 主应变
2.3.1 主应变 对应于主方向的正应变则称主应变
2.3.2 应变张量
一点的应变状态也可用张量表示，这时应引进符号
xy yz zx
1 2 1 2 1 2 1 v u x y 2 1 v w z y 2 1 w u 2 x z
由直角三角形 A B B 可得
tg
u x
弹性与塑性 力 学 基 础
第二章 应变分析
§2-2 应变与位移的关系
2.2.2 应变与位移的关系―柯西(Cauchy)几何关系 角应变
u x
在分母中，
w x
用相同的方法可得
F 0 F1 F0
(F0、F1：分别为变形前后的截面积)与 是等效的。
弹性与塑性 力 学 基 础
第二章 应变分析
§2-1 名义应变与真实应变
2.1.1 应变定义
(1) 名义应变(工程应变)
名义应变主要缺点：把基长看成是固定的，所以并不能真实地反 映变化的基长对应变的影响，因而造成变形过程的总应变不等于
(2-2)
如果变形的分布是均匀的，正应变可以写为
x
l l0 l0 l l0
(2-3)
弹性与塑性 力 学 基 础
第二章 应变分析
§2-2 应变与位移的关系
2.2.2 应变与位移的关系―柯西(Cauchy)几何关系 直角坐标系中变形物体的微小的平行六面体，研究微小六面体变形
变形前：A (x，y，z)；变形后：A (x+u,y+v, z+w)，
§2-2 应变与位移的关系
2.2.1 应变 变形
物体中若任意两个点的相对位置发生了变化，即认为物体有了变形。
应变 发生变形的物体中将出现应变状态。
均匀应变：变形前相互平行的两条直线在变形后仍为平行直线
不均匀应变：不同点的位移是不同的 正应变定义为
x lim
x 0
u x
du dx
r 、 z 、
r
u r
zr
――分别为剪应变。
1 v r u r
在平面极坐标的情况下，则有 ，
，
r
1 u r
v r
v r
(2-11)
弹性与塑性 力 学 基 础
第二章 应变分析
§2-2 应变与位移的关系
2.2.4 直角坐标与柱坐标中的位移与应变之间的关系相比较 主要差别在于柱坐标中 和 r 中各多出一项，其几何意义如下：
应变，即六面体夹角的减小对应于正的剪应变 x z ，夹角的增大对应
于负的剪应变。
弹性与塑性 力 学 基 础
第二章 应变分析
§2-2 应变与位移的关系
2.2.3 应变与位移的关系―柱坐标的变形几何方程 利用类似的方法导出柱坐标的变形几何方程为
r z
u r 1 v r w z u r
假定平面物体的半径为r，圆周上微圆弧段发生了相同的位移u，则变
形后该微单元弧段长度为(r+u)d，而原始长度为rd，相对伸长为
( r u ) d rd rd u r
图2-9 具有相同径向位移的微圆弧
图2-10 具有环向移动的圆弧
弹性与塑性 力 学 基 础
第二章 应变分析
第二章 应变分析
§2-2 应变与位移的关系
2.2.2 应变与位移的关系―柯西(Cauchy)几何关系 角应变
六面体的各直角由于剪应变而发生角变形
变形前：直角BAC或 B A C 变形时，棱边 A B 转动角度 ； 棱边 A C 转动角度 。 xOz平面内：角应变用 即 其值为角 和角 之和，
x y z
u x v y w z
xy
yz
zx
v y x w v y z w u x z
u
(2-9)
对于正应变 x ，如果u随x的增大而增大，则为正值，相当于单元 dx的伸长；如果函数u随x的增大而减小，则将为负值，此时相当于 单元dx的缩短。
(2-4)
B点沿x轴位移与A点位移不同，由泰勒级数展开并略去高阶微量后， 表达式为
u 1 f 1 ( x dx , y , z ) u u x
dx
(2-5)
如果边长AB=dx，则在x轴上的投影的全伸长量是
u1 u u x dx
(2-6)
弹性与塑性 力 学 基 础
第二章 应变分析
前与半径重合的直线段AB，变形后移动到CD位置，不再与C点的半 v 径方向CE相重合，而彼此的夹角为 ，于是微元线段AB变形后的 r v CD与C点圆周切线(坐标线正方向)夹角为 ，夹角比 增大 2 2 r
了，根据剪应变的定义，即发生了剪应变 所多出项的几何意义。
r
v r
，这就说明了
与 80%不相等。
弹性与塑性 力 学 基 础
第二章 应变分析
§2-1 名义应变与真实应变
2.1.1 应变定义
(1) 真实应变(对数应变)
工件变形后的线尺寸与变形前的线尺寸之比的自然对数值。
ln
l1 l0
对数应变之所以是真实的就是因为它是某瞬时尺寸的无限小增量 与该瞬时尺寸比值（即应变增量）的积分： l1 dl l1 ln l 0 ln l l0 条件与困难：积分是在应变主轴方向基本不变的情况下才能进行。
2
3
4
- 1） （
( n 1 )
n
2
3
4
n
当
<1时，该级数收敛，忽略三次方项，
2
真实应变与名义应变之差为
2
两者绝对误差小于0.005，
相对误差小于5％，这时可以认为 。
弹性与塑性 力 学 基 础
第二章 应变分析
80
dl l
50
90
dl l
ln
90 50
0 . 59
80
分阶段变形之真实应变之和等于总的真实应变
弹性与塑性 力 学 基 础
第二章 应变分析
§2-1 名义应变与真实应变
2.1.2 名义应变(工程应变)与真实应变(对数应变)的关系
当应变量不大时，名义应变它与真实应变相差不多。
w 1 f ( x dx , y , z ) w
w x
dx
A点过渡到B点时， 位移由于x的变化而变化，
点 B 与点 A 沿z轴方向位移之差为
B B w 1 w w x dx
w B B A B x dx
dx dx
w x u 1 x
2.2.3 应变与位移的关系―― 柱坐标的变形几何方程
2.2.4 直角坐标与柱坐标中的位移与应变之间的关系相比较
弹性与塑性 力 学 基 础
第二章 应变分析
§2-3 主应变
2.3.1 主应变 2.3.2 应变张量 2.3.3 位移张量
2.3.4 主应变与应变张量不变量
§2-4 应变偏量、球形应变张量以及有关应变参量
r z
zr
v r
1 u r v z
1 w r w r
u z
v r
(2-10)
式中u、v、w―分别为径向( r )、环向( )及高度方向(z)的位移分量 。 r , , z ――分别为 r 方向、 方向和z方向的正应变；
特点：真实地反映变形的积累过程，具有可叠加性。
弹性与塑性 力 学 基 础
第二章 应变分析
§2-1 名义应变与真实应变
2.1.2 名义应变(工程应变)与真实应变(对数应变)的关系
ln
l1 l0 ln l0 l l0 ln( 1 l l0 ) ln( 1 )
u z
在xOz平面内相对剪应变
zx
可以得到 xOz和yOz平面内的剪应变为
xy
u z
w x ，
u y
v x
，
yz
v z
w y
(2-8)
弹性与塑性 力 学 基 础
第二章 应变分析
§2-2 应变与位移的关系
2.2.2 应变与位移的关系―柯西(Cauchy)几何关系 用位移表示应变的几何关系式――柯西(Cauchy)几何关系为
§2-2 应变与位移的关系
2.2.2 应变与位移的关系―柯西(Cauchy)几何关系 线应变
如用 x 表示沿x轴的相对伸长，则有
x
u1 u dx
u x
用同样方法可以得到平行于y轴和z轴边长的相对伸长为
y
v y
，
z
w z
(2-7)
弹性与塑性 力 学 基 础
各个阶段应变之和。
将50cm长的杆料拉长至总长为90cm， 总应变为，
90 50 50 80 %
若由50cm→80cm→90cm，则
1
80 50 50 60%
， 2
90 80 80
12 . 5 %
，
总应变量： 1 2 ( 60 12 . 5 )%， 72 . 5 %