【数学建模】多目标规划方法

第六章 多目标规划方法
在地理学研究中，对于许多规划问题 ，常常需要考虑多个目标，如经济效益目 标，生态效益目标，社会效益目标，等等 。为了满足这类问题研究之需要，本章拟 结合有关实例，对多目标规划方法及其在 地理学研究中的应用问题作一些简单地介 绍。
本章主要内容：
•多目标规划及其求解技术简介 •目标规划方法 •多目标规划应用实例
max(min) Z f1(X )
(X ) G
F min 1
F1
F max 1
四、目标规划模型
也需要预先确定各个目标的期望值
f
i
，同时给每一个目标赋予一个优先因子和权
系数，假定有K个目标，L个优先级(L K)
，目标规划模型的数学形式为：
L
K
min Z
pl
(
lk
d
k
lk
d
k
)
目标值理想化的期望目标
f
* i
(i
1,2,,
k)
,每
一个目标对应的权重系数为 wi (i 1,2,, k)
假如，除第一个目标外，其余目标都可以 提出一个可供选择的范围，则该多目标规 划问题就可以转化为单目标规划问题：
max(min) Z f1 (x1, x2 ,, xn )
i (x1, x2 ,, xn ) gi (i 1,2,, m)
f min j
fj
f
( max
j
j
2,3,, k)
采用矩阵可记为：
l 1 k 1
i (x1, x2 ,, xn ) gi (i 1,2,, m)
fi
d
i
d
i
f
i
(i
1,2,, K )
（6.2.18） （6.2.19） （6.2.20）
式中：d i
和
d
分别表示与
i
f
i
相应的、与
fi*
相比
的目标超过值和不足值，即正、负偏差变量
； pl
lk
表示lk 第l个优先级；
即：
max(min)Z F(X )
（6.1.3）
(X ) G
（6.1.4）
式中： Z F(X ) 是k维函数向量，
k是目标函数的个数；
(X ) 是m维函数向量；
G 是m维常数向量；m是约束方程的
个数。
对于线性多目标规划问题，（6.1.3）和（ 6.1.4）式可以进一步用矩阵表示：
max(min)Z AX
多目标规划问题的求解不能只追求一个目 标的最优化（最大或最小），而不顾其它 目标。
在图6.1.1中，就方案①和②来说，①的 目标值比②大，但其目标值 比②小，因
非劣解可以用图6.1.1说明。 此无法确定这两个f 2方案的优与劣。在各个
方案之间，显然：f1③比②好，④比①好，
⑦比③好，⑤比④好。而对于方案⑤、⑥ 、⑦之间则无法确定优劣，而且又没有比 它们更好的其他方案，所以它们就被称之 为多目标规划问题的非劣解或有效解，其 余方案都称为劣解。所有非劣解构成的集 合称为非劣解集。
（6.1.5）
BX b
（6.1.6）
式中：X 为n维决策变量向量；
A 为k×n矩阵，即目标函数系数矩阵；
B 为m×n矩阵，即约束方程系数矩阵； b 为m维的向量，约束向量。
二、多目标规划的非劣解
对于上述多目标规划问题，求解就意味着 需要做出如下的复合选择： ▲每一个目标函数取什么值，原问题可以 得到最满意的解决？ ▲每一个决策变量取什么值，原问题可以 得到最满意的解决 ？
Z
F(X
)
max(min)
f
2
(
X
)
max(min) fk ( X )
1( X )
g1
(
X
)
2
(X
)
G
g2
m ( X )
gm
（6.1.1） （6.1.2）
式中： X [x1, x2 ,, xn ]T 为决策变量向量 。
如果将（6.1.1）和（6.1.2）式进一步缩写，
或写成矩阵形式：
min Z (F F )T A(F F )
(X ) G
式中， 是与第i个目标函数相关的权重；
A是a由i
组成的m×m对 角矩阵
。
ai (i 1,2,, k)
三、约束模型
理论依据 ：若规划问题的某一目标可以给 出一个可供选择的范围，则该目标就可以 作为约束条件而被排除出目标组，进入约 束条件组中。
图6.1.1 多目标规划的劣解与非劣解
当目标函数处于冲突状态时，就不 会存在使所有目标函数同时达到最大或 最小值的最优解，于是我们只能寻求非 劣解（又称非支配解或帕累托解）。
第二节 多目标规划求解技术简介
为了求得多目标规划问题的非劣解， 常常需要将多目标规划问题转化为单目标
规划问题去处理。实现这种转化，有如下
几种建模方法。
▪一、效用最优化模型 四、目标规划模型
•二、罚款模型
五、目标达到法
•三、约束模型
一、效用最优化模型
建摸依据：规划问题的各个目标函数可 以通过一定的方式进行求和运算。这种 方法将一系列的目标函数与效用函数建 立相关关系，各目标之间通过效用函数 协调，使多目标规划问题转化为传统的 单目标规划问题：
第一节 多目标规划及其非劣解
▪多目标规划及其非劣解
•多目标规划求解技术简介
一、多目标规划及其非劣解
（一）任何多目标规划问题，都由两个 基本部分组成：
（1）两个以上的目标函数； （2）若干个约束条件。
（二）对于多目标规划问题，可以将其 数学模型一般地描写为如下形式：
max(min)
f1
(
X
)
若采用向量i与矩阵
i 1
i 1
max T
( X ) G
二、罚款模型
规划决策者对每一个目标函数都能提出所期 望的值（或称满意值）；
通过比较实际值 fi 与期望值 fi之间的偏差 来选择问题的解，其数学表达式如下：
k
min Z ai (ຫໍສະໝຸດ fifi)
2
i 1
i (x1, x2 ,, xn ) gi (i 1,2,, m)
maxZ (X )
（6.2.1）
(X ) G
（6.2.2）
是与各目标函数相关的效用函数的和函数。
在用效用函数作为规划目标时，需要确 定一组权值 i来反映原问题中各目标函数 在总体目标中的权重，即：
k
max i i i 1
i (x1, x2 ,xn ) gi (i 1,2,, m)
式中，诸 应满足： k
pl
、 表示在同一优先级 中，不同目标
的正、负偏差变量的权系数。
五、目标达到法
首先将多目标规划模型化为如下标准形式
：
f1(X )
min
F
(
x)
min
f
2
(X
)
f
k
(
X
)
（6.2.21）
(
X
)
m12 (((XXX
) )
)
0 0 0
（6.2.22）
在求解之前，先设计与目标函数相应的一组