同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方同步练习题
寒假培优同底数幂的乘法,幂的乘方,积的乘方
幂的运算一1．同底数幂的乘法：a m·a n=a m+n (m, n是自然数)同底数幂的乘法法则是本章中的第一个幂的运算法则，也是整式乘法的主要依据之一。
学习这个法则时应注意以下几个问题：（1）先弄清楚底数、指数、幂这三个基本概念的涵义。
（2）它的前提是“同底”，而且底可以是一个具体的数或字母，也可以是一个单项式或多项式，如： (2x+y)2·(2x+y)3=(2x+y)5，底数就是一个二项式(2x+y)。
（3）指数都是正整数（4）这个法则可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即a m·a n·a p....=a m+n+p+... (m, n, p都是自然数)。
（5）不要与整式加法相混淆。
乘法是只要求底数相同则可用法则计算，即底数不变指数相加，如：x5·x4=x5+4=x9；而加法法则要求两个相同；底数相同且指数也必须相同，实际上是幂相同系数相加，如-2x5+x5=(-2+1)x5=-x5，而x5+x4就不能合并。
例1．计算：(1) (- )(- )2(- )3 (2) -a4·(-a)3·(-a)5解：(1) (- )(- )2(- )3分析：①(- )就是(- )1，指数为1=(- )1+2+3②底数为- ，不变。
=(- )6③指数相加1+2+3=6= ④乘方时先定符号“+”，再计算的6次幂解：(2) -a4·(-a)3·(-a)5分析：①-a4与(-a)3不是同底数幂=-(-a)4·(-a)3·(-a)5可利用-(-a)4=-a4变为同底数幂=-(-a)4+3+5②本题也可作如下处理：=-(-a)12-a4·(-a)3·(-a)5=-a4(-a3)(-a5)=-a12=-(a4·a3·a5)=-a12例2．计算(1) (x-y)3(y-x)(y-x)6解：(x-y)3(y-x)(y-x)6分析：(x-y)3与(y-x)不是同底数幂=-(x-y)3(x-y)(x-y)6 可利用y-x=-(x-y), (y-x)6=(x-y)6=-(x-y)3+1+6变为(x-y)为底的同底数幂，再进行计算。
同底数幂的乘法及幂的乘方与积的乘方
同底数幂的乘法及幂的乘方与积的乘方知识要点一、同底数幂的乘法2. 幂的运算法则(重点) ：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即：a m·a n=a m+n（都是正整数）二、幂的乘方与积的乘方1、幂的乘方2、积的乘方（a m）n=a m n (m、n都是正整数)幂的乘方，底数a，指数mn。
（ab）n=a n b n（N是正整数）。
积的乘方等于每个因式分别乘方后的积。
例题1、计算：(1)741010⨯； (2) -25x x •(3)3()()x x ⋅－－ (4) 1m m yy ⋅＋例2、例3、例4、例5、已知a m =2,a n =3,求a m+n 的值。
例6、已知x ＋y ＝a ，求（x ＋y ）3（2x ＋2y ）3（3x ＋3y ）3的值．练习一、二、填空题：1. 111010m n ＋－=________,456(6)－=______.2. 234x x xx －=________,25()()x y x y －－=_________________.3. =___________.4. 若34m a a a ,则m=________;若416a x x x ,则a=__________;若2345y xx x x x x ,则y=______;若25()x a a a ,则x=_______. 5. 若2,5m n a a ,则m n a =________.三、解答题:(每题8分,共40分)1、计算下列各题:31010010100100100100001010⨯⨯⨯⨯⨯⨯－＋(1)x ·x ·x 3 (2) (a+b)(a+b)2(a+b)3(3)2x 3(-x)-x(-x)4 (4)x ·x m-1+x ·x m-2（5）(x-y)2(x-y)3(y-x)2(y-x)3； 6）(a-b-c)(b-a-c)2(c-a+b)3；（7）(-x)2(-x)3+2x(-x)4-(-x)x 4； （8）x ·x m-1·x 2·x m-2。
人教版八年级数学上册《幂的运算》专项练习题-附含答案
人教版八年级数学上册《幂的运算》专项练习题-附含答案一．同底数幂的乘法1．已知2m•2m•8＝211则m＝4．试题分析：将已知中的2m•2m•8化为同底数的幂然后利用同底数幂的乘法法则进行计算再根据指数相同列式求解即可．答案详解：解：2m•2m•8＝2m•2m•23＝2m+m+3∵2m•2m•8＝211∴m+m+3＝11解得m＝4．所以答案是4．2．已知2x+3y﹣2＝0 求9x•27y的值．试题分析：直接利用幂的乘方运算法则将原式变形进而化简得出答案．答案详解：解：∵2x +3y ﹣2＝0∴2x +3y ＝2∴9x •27y ＝32x •33y ＝32x +3y ＝32＝9．3．已知3x +2＝m 用含m 的代数式表示3x （ ）A ．3x ＝m ﹣9B ．3x =m 9C ．3x ＝m ﹣6D ．3x =m 6 试题分析：根据同底数幂的乘法法则解答即可．答案详解：解：∵3x +2＝3x ×32＝m∴3x =m 9． 所以选：B ．二．同底数幂的除法4．已知：3m ＝2 9n ＝3 则3m ﹣2n ＝ 23 ．试题分析：先利用幂的乘方变为同底数幂 再逆用同底数幂的除法求解．答案详解：解：∵9n ＝32n ＝3∴3m ﹣2n ＝3m ÷32n =23所以答案是：23．5．已知m =154344 n =54340 那么2016m ﹣n ＝ 1 ． 试题分析：根据积的乘方的性质将m 的分子转化为以3和5为底数的幂的积 然后化简从而得到m ＝n 再根据任何非零数的零次幂等于1解答．答案详解：解：∵m =154344=34⋅54344=54340 ∴m ＝n∴2016m ﹣n ＝20160＝1． 所以答案是：1．6．已知k a ＝4 k b ＝6 k c ＝9 2b +c •3b +c ＝6a ﹣2 则9a ÷27b ＝ 9 ． 试题分析：先将9a ÷27b 变形 再由k a ＝4 k b ＝6 k c ＝9 2b +c •3b +c ＝6a ﹣2分别得出a b c 的关系式 然后联立得方程组 整体求得（2a ﹣3b ）的值 最后代入将9a ÷27b 变形所得的式子即可得出答案．答案详解：解：9a ÷27b＝（32）a ÷（33）b＝（3）2a ﹣3b∵k a ＝4 k b ＝6 k c ＝9∴k a •k c ＝k b •k b∴k a +c ＝k 2b∴a +c ＝2b ①；∵2b +c •3b +c ＝6a ﹣2∴（2×3）b +c ＝6a ﹣2∴b +c ＝a ﹣2②；联立①②得：{a +c =2b b +c =a −2∴{c =2b −a c =a −2−b∴2b ﹣a ＝a ﹣2﹣b∴2a ﹣3b ＝2∴9a ÷27b＝（3）2a ﹣3b＝32＝9．所以答案是：9．三．幂的乘方与积的乘方（注意整体思想的运用）7．已知2m ＝a 32n ＝b m n 为正整数 则25m +10n ＝ a 5b 2 ．试题分析：根据积的乘方与幂的乘方及同底数幂的乘法的运算法则解答．答案详解：解：∵2m ＝a 32n ＝b∴25m +10n ＝（2m ）5•（25）2n ＝（2m ）5•322n ＝（2m ）5•（32n ）2＝a 5b 2所以答案是：a 5b 2．8．计算：（﹣0.2）100×5101＝ 5 ．试题分析：根据幂的乘方与积的乘方运算法则 将所求的式子变形为（﹣0.2×5）100×5再求解即可．答案详解：解：（﹣0.2）100×5101＝（﹣0.2）100×5100×5＝（﹣0.2×5）100×5＝5所以答案是：5．9．若x+3y﹣3＝0 则2x•8y＝8．试题分析：根据已知条件求得x＝3﹣3y然后根据同底数幂的乘法法则进行解答．答案详解：解：∵x+3y﹣3＝0∴x＝3﹣3y∴2x•8y＝23﹣3y•23y＝23＝8．所以答案是：8．四．幂的运算中的规律10．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22017+22018的值．解：设S＝1+2+22+23+24+…+22017+22018①将等式两边同时乘 2 得2S＝2+22+23+24+25+…+22018+22019②②﹣①得2S﹣S＝22019﹣1 即S＝22019﹣1所以1+2+22+23+24+…+22017+22018＝22019﹣1．请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+29+210；（2）1+3+32+33+34+…+3n﹣1+3n（其中n为正整数）．试题分析：（1）直接利用例题将原式变形进而得出答案；（2）直接利用例题将原式变形进而得出答案．答案详解：解：（1）设S＝1+2+22+23+24+ (210)将等式两边同时乘2得：2S＝2+22+23+24+…+210+211②②﹣①得2S﹣S＝211﹣1即S＝211﹣1∴1+2+22+23+24+…+210＝211﹣1．（2）设S＝1+3+32+33+34+…+3n①将等式两边同时乘3得：3S＝3+32+33+34+…+3n+3n+1②②﹣①得3S﹣S＝3n+1﹣1即S=12（3n+1﹣1）∴1+3+32+33+34+…+3n=12（3n+1﹣1）．11．（1）通过计算比较下列各式中两数的大小：（填“＞”、“＜”或“＝”）①12＜21②23＜32③34＞43④45＞54⑤56＞65…（2）由（1）可以猜测n n+1与（n+1）n（n为正整数）的大小关系：当n≤2时n n+1＜（n+1）n；当n≥3时n n+1＞（n+1）n；（3）根据上面的猜想可以知道：20082009＞20092008．试题分析：先要正确计算（1）中的各个数根据计算的结果确定所填的符号观察所填符号总结规律．答案详解：解：（1）①∵12＝1 21＝2∴12＜21②∵23＝8 32＝9∴23＜32③∵34＝81 43＝64∴34＞43④∵45＝1024 54＝625∴45＞54⑤∵56＝15625 65＝7776∴56＞65…（2）由（1）可以猜测n n+1与（n+1）n（n为正整数）的大小关系：当n≤2时n n+1＜（n+1）n；当n≥3时n n+1＞（n+1）n；（3）∵n ＝2008＞3∴20082009＞20092008．12．求1+2﹣1+2﹣2+2﹣3+2﹣4+…+2﹣200的值．试题分析：依据12=1−12 12+14=1−14 12+14+18=1−18 …可得规律12+14+18+⋯+12200=1−12200 进而得到1+2﹣1+2﹣2+2﹣3+2﹣4+…+2﹣200的值．答案详解：解：∵12=1−1212+14=1−1412+14+18=1−18…12+14+18+⋯+12200=1−12200∴1+2﹣1+2﹣2+2﹣3+2﹣4+…+2﹣200＝1+12+14+18+⋯+12200＝1+1−12200＝2−12200．13．探究：22﹣21＝2×21﹣1×21＝2（ 1 ）23﹣22＝ 2×22﹣1×22 ＝2（ 2 ）24﹣23＝ 2×23﹣1×23 ＝2（ 3 ）……（1）请仔细观察 写出第4个等式；（2）请你找规律 写出第n 个等式；（3）计算：21+22+23+…+22019﹣22020．试题分析：（1）根据给出的内容 直接可以仿写25﹣24＝2×24﹣1×24＝24（2）2n +1﹣2n ＝2×2n ﹣1×2n ＝2n（3）将原式进行变形 即提出负号后 就转化为原题中的类型 利用（1）（2）的结论 直接得出结果．答案详解：解：探究：22﹣21＝2×21﹣1×21＝2123﹣22＝2×22﹣1×22＝2224﹣23＝2×23﹣1×23＝23（1）25﹣24＝2×24﹣1×24＝24；（2）2n+1﹣2n＝2×2n﹣1×2n＝2n；（3）原式＝﹣（22020﹣22019﹣22018﹣22017﹣……﹣22﹣2）＝﹣2．所以答案是：1；2×22﹣1×22；2；2×23﹣1×23；3五．新定义14．定义一种新运算（a b）若a c＝b则（a b）＝c例（2 8）＝3 （3 81）＝4．已知（3 5）+（3 7）＝（3 x）则x的值为35．试题分析：设3m＝5 3n＝7 根据新运算定义用m、n表示（3 5）+（3 7）得方程求出x 的值．答案详解：解：设3m＝5 3n＝7依题意（3 5）＝m（3 7）＝n∴（3 5）+（3 7）＝m+n．∴（3 x）＝m+n∴x＝3m+n＝3m×3n＝5×7＝35．所以答案是：35．15．规定两数a b之间的一种运算记作（a b）；如果a c＝b那么（a b）＝c．例如：因为23＝8 所以（2 8）＝3．（1）根据上述规定填空：①（5 125）＝3（﹣2 ﹣32）＝5；②若（x 18）＝﹣3 则x＝2．（2）若（4 5）＝a（4 6）＝b（4 30）＝c试探究a b c之间存在的数量关系；（3）若（m8）+（m3）＝（m t）求t的值．试题分析：（1）①根据新定义的运算进行求解即可；②根据新定义的运算进行求解即可；（2）根据新定义的运算进行求解即可；（3）根据新定义的运算进行求解即可．答案详解：解：①∵53＝125∴（5 125）＝3∵（﹣2）5＝﹣32∴（﹣2 ﹣32）＝5所以答案是：3；5；②由题意得：x﹣3=1 8则x﹣3＝2﹣3∴x＝2所以答案是：2；（2）∵（4 5）＝a（4 6）＝b（4 30）＝c ∴4a＝5 4b＝6 4c＝30∵5×6＝30∴4a•4b＝4c∴a+b＝c．（3）设（m8）＝p（m3）＝q（m t）＝r ∴m p＝8 m q＝3 m r＝t∵（m8）+（m3）＝（m t）∴p+q＝r∴m p+q＝m r∴m p•m r＝m t即8×3＝t∴t＝24．16．规定两数a b之间的一种运算记作（a b）：如果a c＝b那么（a b）＝c．例如：因为23＝8 所以（2 8）＝3．（1）根据上述规定填空：（3 27）＝3（5 1）＝0（2 14）＝﹣2．（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n4n）＝（3 4）小明给出了如下的证明：设（3n4n）＝x则（3n）x＝4n即（3x）n＝4n所以3x＝4 即（3 4）＝x所以（3n4n）＝（3 4）．请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3 4）+（3 5）＝（3 20）试题分析：（1）分别计算左边与右边式子即可做出判断；（2）设（3 4）＝x（3 5）＝y根据同底数幂的乘法法则即可求解．答案详解：解：（1）∵33＝27∴（3 27）＝3；∵50＝1∴（5 1）＝0；∵2﹣2=1 4∴（2 14）＝﹣2；（2）设（3 4）＝x（3 5）＝y则3x＝4 3y＝5∴3x+y＝3x•3y＝20∴（3 20）＝x+y∴（3 4）+（3 5）＝（3 20）．所以答案是：3 0 ﹣2．六．阅读类---紧扣例题化归思想17．阅读下列材料：一般地n个相同的因数a相乘a⋅a⋯a︸n个记为a n．如2×2×2＝23＝8 此时3叫做以2为底8的对数记为log28（即log28＝3）．一般地若a n＝b（a＞0且a≠1 b＞0）则n叫做以a为底b的对数记为log a b（即log a b＝n）．如34＝81 则4叫做以3为底81的对数记为log381（即log381＝4）．（1）计算以下各对数的值：log24＝2log216＝4log264＝6．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果你能归纳出一个一般性的结论吗？log a M+log a N＝log a（MN）；（a＞0且a≠1 M＞0 N＞0）（4）根据幂的运算法则：a n•a m＝a n+m以及对数的含义证明上述结论．试题分析：首先认真阅读题目准确理解对数的定义把握好对数与指数的关系．（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察不难找到规律：4×16＝64 log24+log216＝log264；（3）由特殊到一般得出结论：log a M+log a N＝log a（MN）；（4）首先可设log a M＝b1log a N＝b2再根据幂的运算法则：a n•a m＝a n+m以及对数的含义证明结论．答案详解：解：（1）log24＝2 log216＝4 log264＝6；（2）4×16＝64 log24+log216＝log264；（3）log a M+log a N＝log a（MN）；（4）证明：设log a M＝b1log a N＝b2则a b1=M a b2=N∴MN=a b1⋅a b2=a b1+b2∴b1+b2＝log a（MN）即log a M+log a N＝log a（MN）．18．阅读下列材料：若a3＝2 b5＝3 则a b的大小关系是a＞b（填“＜”或“＞”）．解：因为a15＝（a3）5＝25＝32 b15＝（b5）3＝33＝27 32＞27 所以a15＞b15所以a ＞b ．解答下列问题：（1）上述求解过程中 逆用了哪一条幂的运算性质 CA ．同底数幂的乘法B ．同底数幂的除法C ．幂的乘方D ．积的乘方（2）已知x 7＝2 y 9＝3 试比较x 与y 的大小．试题分析：（1）根据幂的乘方进行解答即可；（2）根据题目所给的求解方法 进行比较．答案详解：解：∵a 15＝（a 3）5＝25＝32 b 15＝（b 5）3＝33＝27 32＞27 所以a 15＞b 15 所以a ＞b 所以答案是：＞；（1）上述求解过程中 逆用了幂的乘方 所以选C ；（2）∵x 63＝（x 7）9＝29＝512 y 63＝（y 9）7＝37＝2187 2187＞512∴x 63＜y 63∴x ＜y ．19．阅读下面一段话 解决后面的问题．观察下面一列数：1 2 4 8 … 我们发现 这一列数从第二项起 每一项与它前一项的比都等于2．一般地 如果一列数从第二项起 每一项与它前一项的比都等于同一个常数 这一列数就叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的比．（1）等比数列5 ﹣15 45 …的第四项是 ﹣135 ．（2）如果一列数a 1 a 2 a 3 a 4 …是等比数列 且公比为q 那么根据上述的规定 有a 2a 1=q ，a 3a 2=q ，a 4a 3= …所以a 2＝a 1q a 3＝a 2q ＝（a 1q ）q ＝a 1q 2 a 4＝a 3q ＝（a 1q 2）q ＝a 1q 3 … a n ＝ a 1q n ﹣1 （用含a 1与q 的代数式表示）．（3）一个等比数列的第二项是10 第三项是20 则它的第一项是 5 第四项是 40 ． 试题分析：（1）由于﹣15÷5＝﹣3 45÷（﹣15）＝﹣3 所以可以根据规律得到第四项．（2）通过观察发现 第n 项是首项a 1乘以公比q 的（n ﹣1）次方 这样就可以推出公式了；（3）由于第二项是10 第三项是20 由此可以得到公比然后就可以得到第一项和第四项．答案详解：解：（1）∵﹣15÷5＝﹣3 45÷（﹣15）＝﹣3∴第四项为45×（﹣3）＝﹣135．故填空答案：﹣135；（2）通过观察发现第n项是首项a1乘以公比q的（n﹣1）次方即：a n＝a1q n﹣1．故填空答案：a1q n﹣1；（3）∵公比等于20÷10＝2∴第一项等于：10÷2＝5第四项等于20×2＝40．a n＝a1q n﹣1．故填空答案：它的第一项是5 第四项是40．七．整式除法（难点）20．我阅读：类比于两数相除可以用竖式运算多项式除以多项式也可以用竖式运算其步骤是：（i）把被除式和除式按同一字母的降幂排列（若有缺项用零补齐）．（ii）用竖式进行运算．（ii）当余式的次数低于除式的次数时运算终止得到商式和余式．我会做：请把下面解答部分中的填空内容补充完整．求（5x4+3x3+2x﹣4）÷（x2+1）的商式和余式．解：答：商式是5x2+3x﹣5 余式是﹣x+1；我挑战：已知x4+x3+ax2+x+b能被x2+x+1整除请直接写出a、b的值．试题分析：我会做：根据“我阅读”的步骤计算填空即可；我挑战：用竖式计算令余式为0即可算出a b的值．答案详解：解：我阅读：（iii）余式是﹣x+1所以答案是：0x2﹣5x2﹣5x2﹣5x2+0x﹣5 ﹣x+1；我挑战：∴x4+x3+ax2+x+b＝（x2+x+1）（x2+a﹣1）+（2﹣a）x+b﹣a+1 ∵x4+x3+ax2+x+b能被x2+x+1整除∴（2﹣a）x+b﹣a+1＝0∴2﹣a＝0且b﹣a+1＝0解得a＝2 b＝1．21．计算：3a3b2÷a2+b•（a2b﹣3ab）．试题分析：根据单项式的除法以及单项式乘以多项式进行计算即可．答案详解：解：原式＝3ab2+a2b2﹣3ab2＝a2b2．22．计算：（2a3•3a﹣2a）÷（﹣2a）试题分析：依据单项式乘单项式法则进行计算然后再依据多项式除以单项式法则计算即可．答案详解：解：原式＝（6a4﹣2a）÷（﹣2a）＝6a4）÷（﹣2a）﹣2a÷（﹣2a）＝﹣3a3+1．八．巧妙比大小---化相同23．阅读下列解题过程试比较2100与375的大小．解：∵2100＝（24）25＝1625375＝（33）25＝2725而16＜27∴2100＜375请根据上述解答过程解答：比较255、344、433的大小．试题分析：根据幂的乘方的逆运算把各数化为指数相同、底数不同的形式再根据底数的大小比较即可．答案详解：解：∵255＝3211344＝8111433＝6411且32＜64＜81∴255＜433＜344．24．比较20162017与20172016的大小我们可以采用从“特殊到一般”的思想方法：（1）通过计算比较下列各式中两数的大小：（填“＞”、“＜”或“＝”）①12＜21②23＜32③34＞43④45＞54⑤56＞65…（2）由（1）可以猜测n n+1与（n+1）n（n为正整数）的大小关系：当n≤2时n n+1＜（n+1）n；当n＞2时n n+1＞（n+1）n；（3）根据上面的猜想则有：20162017＞20172016（填“＞”、“＜”或“＝”）．试题分析：（1）通过计算可比较大小；（2）观察（1）中的符号归纳n n+1与（n+1）n（n为正整数）的大小关系；（3）由（2）中的规律可直接得到答案；答案详解：解：（1）①∵12＝1 21＝2∴12＜21②∵23＝8 32＝9∴23＜32③∵34＝81 43＝64∴34＞43④∵45＝1024 54＝625∴45＞54⑤∵56＝15625 65＝7776∴56＞65（2）通过观察可以看出；n≤2时n n+1＜（n+1）n；n＞2时n n+1＞（n+1）n；（3）由（2）得到的结论；2016＞2∴20162017＞20172016．所以答案是：（1）＜＜＞＞；≤2 ＞2；＞．25．（1）用“＞”、“＜”、“＝”填空：35＜3653＜63（2）比较下列各组中三个数的大小并用“＜”连接：①41086164②255344433．试题分析：（1）根据底数为大于1的正数时底数相同指数越大幂越大和指数相同时底数越小幂越小填空即可；（2）①先把这3个数化为底数都为2的幂比较大小；②根据（a m）n＝a mn（m n是正整数）的逆运算把三个数化为指数相同的数再比较底数的大小即可．答案详解：解：（1）∵3＞1∴35＜36所以答案是：＜；∵1＜5＜6∴53＜63所以答案是：＜；（2）①∵410＝（42）5＝220164＝（42）4＝21686＝218∵220＞218＞216∴164＜86＜410；②∵255＝（25）11344＝（34）11433＝（43）11又∵25＝32＜43＝64＜34＝81∴255＜433＜344．九．幂的运算的综合提升26．已知5a＝2b＝10 求1a +1b的值．试题分析：想办法证明ab＝a+b即可．答案详解：解：∵5a＝2b＝10∴（5a）b＝10b（2b）a＝10a∴5ab＝10b2ab＝10a∴5ab•2ab＝10b•10a∴10ab＝10a+b∴ab＝a+b∴1a+1b=a+bab=127．已知6x＝192 32y＝192 则（﹣2017）（x﹣1）（y﹣1）﹣2＝−1 2017．试题分析：由6x＝192 32y＝192 推出6x＝192＝32×6 32y＝192＝32×6 推出6x﹣1＝32 32y ﹣1＝6 可得（6x﹣1）y﹣1＝6 推出（x﹣1）（y﹣1）＝1 由此即可解决问．答案详解：解：∵6x＝192 32y＝192∴6x＝192＝32×6 32y＝192＝32×6∴6x﹣1＝32 32y﹣1＝6∴（6x﹣1）y﹣1＝6∴（x﹣1）（y﹣1）＝1∴（﹣2017）（x﹣1）（y﹣1）﹣2＝（﹣2017）﹣1=−1 201728．已知三个互不相等的有理数既可以表示为1 a a+b的形式又可以表示0 bab的形式试求a2n﹣1•a2n（n≥1的整数）的值．试题分析：由于ba 有意义则a≠0 则应有a+b＝0 则ba=−1 故只能b＝1 a＝﹣1了再代入代数式求解．答案详解：解：由题可得：a≠0 a+b＝0∴ba=−1 b＝1∴a＝﹣1又∵2n﹣1为奇数﹣1的奇数次方得﹣1；2n为偶数﹣1的偶数次方得1∴a2n﹣1•a2n＝（﹣1）2n﹣1×（﹣1）2n＝﹣1×1＝﹣1．29．化简与求值：（1）已知3×9m×27m＝321求（﹣m2）3÷（m3•m2）m的值．（2）已知10a＝5 10b＝6 求①102a+103b的值；②102a+3b的值．试题分析：（1）先根据幂的乘方的运算法则求出m的值然后化简（﹣m2）3÷（m3•m2）m并代入求值；（2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则求解．答案详解：解：（1）3×9m×27m＝3×32m×33m＝35m+1＝321∴5m+1＝21解得：m＝4则（﹣m2）3÷（m3•m2）m＝﹣m6﹣5m将m＝4代入得：原式＝﹣46﹣20＝﹣4﹣14；（2）①102a+103b＝（10a）2+（10b）3＝52+63＝241；②102a+3b＝（10a）2•（10b）3＝25×216＝5400．。
(完整版)《幂的乘方与积的乘方》典型例题
《幂的乘方与积的乘方》典型例题例1 计算：（1）199********.08⨯；（2）3014225.01⨯-例2 计算题：（1）43)(b -； （2）n m 24)(； （3）5])[(m y x -； （4）3542)()(x x ⋅； （5）32)4(n m ⋅； （6）43)32(ab -．例3 计算题（1）33326)3()5(a a a ⋅-+-；（2）5335654)()2(a a a a a -+--⋅⋅；（3）1232332312)()(3)()(4--⋅+⋅-n n n n a b b a ；（4）))(2()3(24232xy y x xy --+-。
例4 计算题。
（1）20012001125.08⨯； （2）199910003)91(⨯-； （3）2010225.0⨯。
例5 比较5553，4444，3335的大小。
参考答案例1 解：（1）原式199********.088⨯⨯=8181997=⨯=；（2）原式15214)2(25.01⨯-= 1514425.01⨯-= 4425.011414⨯⨯-=4)425.0(114⨯⨯-=41114⨯-=41-= 说明：（1）逆用了积的乘方性质；n n n ab b a )(=；（2）先后逆用幂的乘方n m mn a a )(=和同底数幂的乘法n m n m a a a ⋅=+的运算性质。
例2 分析：运算中同底数幂相乘和幂的乘方要注意加以区分，同底数幂相乘指数相加 ，而幂的乘方是指数相乘。
在积的乘方运算中要注意以下的错误，如333)2()2(y a y a -=-。
解：（1）43)(b -;)()1(12434b b =⋅-=（2）n n n m m m 84242)(=⨯=；（3）m m y x y x 55)(])[(-=-；（4）231583542)()(x x x x x =⋅=⋅；（5）363264)4(n m n m =⋅；（6）1244344438116)()32()32(b a b a ab =⋅⋅-=-。
(完整版)同底数幂、幂的乘方、积的乘方知识点及习题,推荐文档
D.ａ2n 与ｂ2n
(2) –ａ·(-ａ)2·ａ3
(3) –ｂ2·(-ｂ)2·(-ｂ)3
(4) ｘ·(-ｘ2)·(-ｘ)2·(-ｘ3)·(-ｘ)3
(5) x n x x n1
(7) x6·(-x)5-(-x)8 ·(-x)3
(6)x4－m ·x4+m·(-x) (8) -ａ3·(-ａ)4·(-ａ)5
A. x5 ；
B. x5 ；
C. x6 ；
D. x6 .
7.下列四个算式中： ①（a3）3=a3+3=a6；②[（b2）2]2=b2×2×2=b8；③[（－x）3]4=（－x）12=x12； ④（－y2）5=y10，正确的算式有（ ）
A．0 个；
B．1 个；
C．2 个；
D．3 个.
8.下列各式：① a5
幂的运算
1、同底数幂的乘法 同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
公式表示为： am an amn m、n为正整数
同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即
am an a p amm p (m、n、为p 正整数 )
注意：（1）同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相 加，所得的和作为积的指数.
中等：
1、 (-10)3·10+100·(-102)的运算结果是( )
A.108
B.-2×104
2、(ｘ-ｙ)6·(ｙ-ｘ)5=_______。
C.0
D.-104
3、10m·10m-1·100=______________。
4、a 与 b 互为相反数且都不为 0，n 为正整数，则下列两数互为相反数的是( )
5．计算
x3
y2
(完整版)七年级下册-同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方练习
❖ 知识点一：同底数幂的乘法大山坪一长方形草坪的长比宽多2米，如果草坪的长和宽都增加3米，则这个长方形草坪的面积将增加75平方米，这块草坪原来的长和宽各是多少米？ 解：设这个长方形草坪的宽是x 米，则长为（x+2）米。
x （ x+2）+75=（x+3)（x+5）解这个方程需要用到整式的乘法。
思考： a n 表示的意义是什么？其中a 、n 、a n分 别叫做什么?概念：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数.含义：n a 中，a 为底数，n 为指数，即表示a 的个数，n a 表示有n 个a 连续相乘.问题：25表示什么？10×10×10×10×10 可以写成什么形式?25= . 10×10×10×10×10 = .思考： 式子103×102的意义是什么？幂的运算知识讲解这个式子中的两个因数有何特点？先根据自己的理解，解答下列各题。
103×102 =23×22 =a3×a2 =思考：观察下面各题左右两边，底数、指数有什么关系？103×102 = 10（） = 10（）；23×22 = 2（） = 2（）；a3× a2 = a（）= a（）。
猜想: a m · a n=? (当m、n都是正整数)分组讨论，并尝试证明你的猜想是否正确。
a m·a n=（aa…a）（aa…a）=aa…a=a m+nm个a n个a (m+n)个a即：a m·a n =a m+n (当m、n都是正整数)猜想是正确的！同底数幂的乘法：a m·a n =a m+n (当m、n都是正整数)同底数幂相乘，底数______，指数________。
运算形式（同底、乘法）运算方法（底不变、指数相加）如 43×45=43+5=48想一想：a m·a n·a p= （m、n、p都是正整数）问题：光在真空中的速度大约是3×105千米/秒，太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要4.22年。
同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方同步练习题(可编辑修改word版)
新北师大版七年级年级下册第一章幂的运算训练题一、单选题1、下列运算：①（－x2）3＝－x5；②3xy－3yx＝0；③3100·（－3）100＝0；④m·m5·m7＝m12；⑤3a4＋a4＝3a8 ⑥（x2）4＝x16．其中正确的有（）；A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个2、计算（－a2）3的结果是（）A．－a5 B．a6 C．－a6 D．a53、下列各式计算正确的是（）A．（x2）3＝x5 B．（x3）4＝x12 C．x n x3n 1 D．x5·x6＝x304、我们约定a b＝10a×10b，如2 3＝102×103＝105，那么4 8 为（）A．32 B．1032 C．1012 D．12105、如果x m3 x n x2，则n 等于（）A．m－1 B．m＋5 C．4－m D．5－m6、m9 可以写成（）A．m4＋m5 B．m4·m5 C．m3·m3 D．m2＋m77、下列几个算式：①a4·a4＝2a4；②m3＋m2＝m5；③x·x2·x3＝x5；④n2＋n2＝n4．其中计算正确的有（）A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个8、计算（－2）2008＋（－2）2009等于（）A．－22008 B．－2 C．－1 D．220089、在y m2( ) y= 2m2中，括号内应填的代数式是（）A．y m B．y m4C．y m2D．y m310、设 a m=8，a n=16，则 a m+n=（）A．24 B．32 C．64 D．12811、如果 23m=26，那么 m 的值为（）A．2 B．4 C．6 D．812、下列各式能用同底数幂乘法法则进行计算的是（）A．（x+y）2（x-y）2 B．（x+y）2（-x-y）C．（x+y）2+2（x+y）2D．（x-y）2（-x-y）13、若 22a+3•2b-2=210，则 2a+b 的值是（）A．8 B．9 C．10 D．1114、下列各式中，计算结果为x7 的是（）A.x xB.x x5C.x xD.x3x415、计算（﹣x2）•x3的结果是（）A． x3B．﹣x5C．x6D．﹣x616、计算3 x3x2的结果是( )A．2 x2B．3x2C．3x D．317、如果938，则 n 的值是（）A．4 B．2 C．3 D．无法确定18、下列各式中，① x4 x2x8，② x3 x2 2 x6，③ a4 a3a7，④ a5a7a12，⑤a a a7.正确的式子的个数是()A．1个；B．2个；C．3个；D．4个.19、若a2m=25，则a-m等于（）A．15 B．-51 1C.或-5 5D.62520、下列计算错误的有（）①a8÷a2=a4；②（-m）4÷（-m）2=-m2；③x2n÷x n=x n；④-x2÷（-x）2=-1．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个二、填空题21、计算：-a2•（-a）2n+2=22、计算0.1252008×（﹣8）2009=．（n 是整数）．．23、计算：（1）（－a5）5＝；（2）（－y2）3·（－y3）2＝；（3）（a2）4·a4＝；（4）＝．24、计算：（1）－22×（－2）3＝；（2）a m·a·＝；（3）10m×10000 ＝；（4）＝．25、一台电子计算机每秒可作1012 次运算，它工作5×106 秒可作次运算．26、（1）＝81，则x＝；（2）＝n，用含n 的代表式表示3x＝．27、（1）a3·a m＝a8，则m＝；（2）2m＝6，2n＝5，则＝．28、（1）32×32－3×33＝；（2）x5·x2＋x3·x4＝；（3）（a－b）·（b－a）3·（a－b）4＝；（4）100·10n·＝；（5）a m··a2m·a＝；（6）2×4×8×2n＝．29、（1）107×103＝；（2）a3·a5＝；（3）x·x2·x3＝；（4）（－a）5·（－a）3·（－a）＝；（5）b m·＝；（6）＝．30、已知a m+1×a2m-1=a9，则m=．31、4m•4•16＝．32、若x•x a•x b•x c=x2011，则a+b+c= ．33、计算：-32•（-3）3= （结果用幂的形式表示）．34、已知10n=3，10m=4，则10n+m的值为．35.计算：（-2）2013+（-2）2014=．三、解答题36、计算下列各题：（1）（－2）·（－2）2·（－2）3；（2）（－x）6·x4·（－x）3·（－x）2；（3）；（4）．37、已知，x＋2y－4＝0．求：的值．38、计算：（1）（a－b）2（a－b）3（b－a）5；（2）（a－b＋c）3（b－a－c）5（a－b＋c）6；（3）（b－a）m·（b－a）n-5·（a－b）5；（4）x3·x5·x7－x2·x4·x9．39、计算：（1）10×104×105＋103×107；（2）m·m2·m4＋m2·m5；（3）（－x）2·（－x）3＋2x（－x）4；（4）103×10＋100×102．40、计算：（1）；（2）x m+15•x m﹣1（m 是大于 1 的整数）；（3）（﹣x）•（﹣x）6；（4）﹣m3•m4．41、为了求 1+2+22+23+...+22012的值，可令 s=1+2+22+23+...+22012，则 2s=2+22+23+24 (22013)因此 2s﹣s=22013﹣1，所以 1+2+22+23+…+22012=22013﹣1．仿照以上推理，计算1+5+52+53+…+52013的值．42、化简求值：（-3a b）-8（a）•（-b）•（-a b），其中a=1，b=-1.43、已知 x6-b∙x2b+1=x11，且 y a-1∙y4-b=y5，求 a+b 的值．44、计算：（1）－p2·（－p）4·[（－p）3]5；（2）（m－n）2[（n－m）3]5；（3）25·84·162．45、判断下列计算是否正确，并简要说明理由．（1）（a3）4＝a7；（2）a3·a4＝a12；（3）（a2）3·a4＝a9；（4）（a2）6＝a12．46、阅读材料：求 1+2+22+23+24+…+22013的值．解：设 S=1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘以 2 得：2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014将下式减去上式得 2S-S=22014-1 即 S=22014-1即 1+2+22+23+24+…+22013=22014-1请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+210（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中 n 为正整数）．47、我们约定a b 10a10b，如2 3 102103105．(1)试求12 3 和4 8 的值．(2)想一想，a b c是否与a b c的值相等?验证你的结论．。
幂的乘方与积的乘方同步培优题典(解析版)
专题4.2幂的乘方与积的乘方姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•碑林区校级期中）计算a 3（﹣a 3）2的结果是（ ）A ．a 8B ．﹣a 8C ．a 9D ．a 12【分析】首先计算幂的乘方，再算同底数幂的乘法即可．【解析】原式＝a 3•a 6＝a 9，故选：C ．2．（2020春•莘县期末）计算（−32）2020×（23）2021＝（ ） A ．﹣1 B ．−23 C ．1 D ．23 【分析】直接利用积的乘方运算法则将原式变形进而得出答案．【解析】（−32）2020×（23）2021 ＝（32）2020×（23）2021 ＝（32×23）2020×23 =23．故选：D ．3．（2020•黔南州）下列运算正确的是（ ）A ．（a 3）4＝a 12B ．a 3•a 4＝a 12C ．a 2+a 2＝a 4D ．（ab ）2＝ab 2 【分析】利用幂的乘方的性质、同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、积的乘方的性质分别进行计算即可．【解析】A 、（a 3）4＝a 12，故原题计算正确；B 、a 3•a 4＝a 7，故原题计算错误；C 、a 2+a 2＝2a 2，故原题计算错误；D 、（ab ）2＝a 2b 2，故原题计算错误；故选：A ．4．（2020春•安化县期末）下列运算结果为a 6的是（ ）A ．a 2+a 3B ．a 2•a 3C ．（﹣a 2）3D ．（﹣a 3）2【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方运算法则逐一判断即可．【解析】A ．a 2与a 3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；B ．a 2•a 3＝a 5，故本选项不合题意；C ．（﹣a 2）3＝﹣a 6，故本选项不合题意；D ．（﹣a 3）2＝a 6，故本选项符合题意．故选：D ．5．（2020春•来宾期末）计算（﹣112）2019×（23）2019的结果等于（ ） A ．1 B ．﹣1C ．−94D ．−49 【分析】利用积的乘方得到原式＝（−32×23）2019，然后根据乘方的意义计算．【解析】原式＝（−32×23）2019＝（﹣1）2019＝﹣1．故选：B ．6．（2020春•碑林区校级期中）已知a x ＝2，a y ＝3，则a 2x +3y 的值等于（ ）A ．108B ．36C ．31D ．27 【分析】利用同底数幂的乘法法则和幂的乘方的计算法则进行计算即可．【解析】a 2x +3y ＝（a x ）2×（a y ）3＝22×33＝108，故选：A ．7．（2020•思明区校级二模）下列化简的结果是4x 2的式子是（ ）A ．x 4B ．2x 2C ．（2x ）2D ．3x +x【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则对选项C 进行化简，根据合并同类项法则对选项D 进行化简即可判断．【解析】（2x ）2＝4x 2，3x +x ＝4x ，∴化简的结果是4x 2的式子是（2x ）2，故选：C ．8．（2020春•吴中区期末）已知3x﹣3•9x＝272，则x的值是（）A．2B．3C．4D．5【分析】将3x﹣3•9x＝272化为3x﹣3•32x＝36，得到x﹣3+2x＝6，从而求出x的值．【解析】3x﹣3•9x＝272，即3x﹣3•32x＝36，∴x﹣3+2x＝6，∴x＝3，故选：B．=（）9．（2020•河北）若k为正整数，则(k+k+⋯+k)k︸k个kA．k2k B．k2k+1C．2k k D．k2+k【分析】根据乘方的定义及幂的运算法则即可求解．=（（k•k）k＝（k2）k＝k2k，【解析】(k+k+⋯+k)k︸k个k故选：A．10．（2020春•杭州期末）我们知道：若a m＝a n（a＞0且a≠1），则m＝n．设5m＝3，5n＝15，5p＝75．现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①m+p＝2n；②m+n＝2p﹣1；③n2﹣mp＝1．其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】根据同底数幂的乘除法公式即可求出m、n、p的关系．【解析】∵5m＝3，∴5n＝15＝5×3＝5×5m＝51+m，∴n＝1+m，∵5p＝75＝52×3＝52+m，∴p＝2+m，∴p＝n+1，①m+p＝n﹣1+n+1＝2n，故此结论正确；②m+n＝p﹣2+p﹣1＝2p﹣3，故此结论错误；③n2﹣mp＝（1+m）2﹣m（2+m）＝1+m2+2m﹣2m﹣m2＝1，故此结论正确；故正确的是：①③．故选：B ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020春•丹阳市校级期末）计算：（2a 2b ）2＝ 4a 4b 2 ．【分析】利用积的乘方的性质和幂的乘方的性质进行计算即可．【解析】原式＝4a 4b 2，故答案为：4a 4b 2．12．（2020春•涟源市期末）计算：（12）2019×41010＝ 2 ． 【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则逐一判断即可．【解析】（12）2019×41010 ＝（12）2019×22020 ＝（12）2019×22019×2=(12×2)2019×2＝12019×2＝1×2＝2．故答案为：2．13．（2020春•徐州期末）比较大小：25 ＜ 43（填＞，＜或＝）．【分析】利用幂的乘方将43化为26，再比较即可求解．【解析】∵43＝（22）3＝26，25＜26，∴25＜43，故答案为＜．14．（2020春•来宾期末）若43×83＝2x ，则x ＝ 15 ．【分析】利用幂的乘方得到26×29＝2x ，然后利用积的乘方得到215＝2x ，从而得到x 的值．【解析】∵43×83＝2x ，∴（22）3×（23）3＝2x ，∴26×29＝2x ，∴215＝2x，∴x＝15．故答案为15．15．（2020春•会宁县期末）已知2x+3y﹣2＝0，则9x•27y＝9．【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则化简得出答案．【解析】∵2x+3y﹣2＝0，∴2x+3y＝2，则9x•27y＝32x•33y＝32x+3y＝32＝9．故答案为：9．16．（2020春•青白江区期末）若x＝4m+1，y＝64m﹣3，用x的代数式表示y，则y＝（x﹣1）3﹣3．【分析】首先根据x＝4m+1，可得：4m＝x﹣1，然后根据64m＝43m＝（4m）3，用x的代数式表示y即可．【解析】∵x＝4m+1，∴4m＝x﹣1，∴64m＝43m＝（4m）3＝（x﹣1）3，∴y＝64m﹣3＝（x﹣1）3﹣3．故答案为：（x﹣1）3﹣3．17．（2020春•岱岳区期末）已知m、n均为正整数，且2m+3n＝5，则4m•8n的值为32．【分析】根据同底数幂的乘法以及幂的乘方运算法则计算即可．【解析】∵2m+3n＝5，∴4m•8n＝22m•23n＝22m+3n＝25＝32．故答案为：32．18．（2020春•涟源市期末）已知2a＝3，2b＝6，2c＝12，则a+c﹣2b＝0．【分析】先计算22b，再逆运用同底数幂的乘除法法则，代入求值即可．【解析】∵2b＝6，∴（2b）2＝62．即22b＝36．∵2a+c﹣2b＝2a×2c÷22b＝3×12÷36＝1，∴a+c﹣2b＝0．故答案为：0．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020春•盐城期末）计算：（﹣a2）3•（﹣a3）2．【分析】利用幂的乘方的性质进行计算，再算乘法即可．【解析】原式＝﹣a6•a6＝﹣a12．20．（2020春•新沂市期末）化简：a•a5﹣（﹣2a3）2．【分析】分别根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方与积的乘方运算法则化简后，再合并同类项即可．【解析】a•a5﹣（﹣2a3）2＝a6﹣4 a6＝﹣3a6．21．计算：（1）（xy4）m（2）﹣（p2q）n（3）（xy3n）2+（xy6）n（4）（﹣3x3）2﹣[（2x）2]3．【分析】（1）利用积的乘方运算即可；（2）利用积的乘方运算即可；（3）利用积的乘方运算即可；（4）先算积的乘方，再合并同类项．【解析】（1）原式＝x m y4m；（2）原式＝﹣p2n q n；（3）原式＝x2y6n+x n y6n；（4）原式＝9x6﹣8x6＝x6．22．（2020春•雅安期末）已知3x+5y﹣1＝0，求8x•32y的值．【分析】根据幂的乘方的运算法则运算即可．【解析】原式＝23x•25y＝23x +5y ，∵3x +5y ﹣1＝0，∴3x +5y ＝1，∴原式＝21＝2．23．阅读理解已知：（a ×b ）2＝a 2×b 2、（a ×b ）3＝a 3×b 3、（a ×b ）4＝a 4×b 4．（1）用特列验证上述等式是否成立（取a ＝1，b ＝﹣2）；（2）通过上述验证，猜一猜：（a ×b ）100＝ a 100×b 100 ，归纳得出（a ×b ）n ＝ a n ×b n ；（3）上述性质可以用来进行积的乘方运算，反之仍然成立，即a n b n ＝（a ×b ）n ，计算：（−14）2019×42020． 【分析】（1）把a ＝1，b ＝﹣2代入，再进行计算，即可得出答案；（2）根据（1）中的算式得出答案即可；（3）先根据积的乘方进行变形，再求出即可．【解析】（1）当a ＝1，b ＝﹣2时，（a ×b ）2＝[1×（﹣2）]2＝4，a 2×b 2＝12×（﹣2）2＝4， 即（a ×b ）2＝a 2×b 2；当a ＝1，b ＝﹣2时，（a ×b ）3＝[1×（﹣2）]3＝﹣8，a 3×b 3＝13×（﹣2）3＝﹣8， 即（a ×b ）3＝a 3×b 3；当a ＝1，b ＝﹣2时，（a ×b ）4＝[1×（﹣2）]4＝16，a 4×b 4＝14×（﹣2）4＝16，即（a ×b ）4＝a 4×b 4；（2）（a ×b ）100＝a 100×b 100，（a ×b ）n ＝a n ×b n ，故答案为：a 100×b 100，a n ×b n ；（3）（−14）2019×42020＝[（−14）×4]2019×4＝﹣1×4＝﹣4．24．（2020春•漳州期末）如果x n ＝y ，那么我们规定（x ，y ）＝n ．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2．（1）[理解]根据上述规定，填空：（2，8）＝ 3 ，（2，14）＝ ﹣2 ；（2）[说理]记（4，12）＝a ，（4，5）＝b ，（4，60）＝c ．试说明：a +b ＝c ；（3）[应用]若（m ，16）+（m ，5）＝（m ，t ），求t 的值．【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；（2）根据积的乘方法则，结合定义计算；（3）根据定义解答即可．【解析】（1）23＝8，（2，8）＝3，2−2=14，（2，14）＝﹣2， 故答案为：3；﹣2；（2）证明：∵（4，12）＝a ，（4，5）＝b ，（4，60）＝c ，∴4a ＝12，4b ＝5，4c ＝60，∴4a ×4b ＝60，∴4a ×4b ＝4c ，∴a +b ＝c ；（3）设（m ，16）＝p ，（m ，5）＝q ，（m ，t ）＝r ，∴m p ＝16，m q ＝5，m r ＝t ，∵（m ，16）+（m ，5）＝（m ，t ），∴p +q ＝r ，∴m p +q ＝m r ，∴m p •m r ＝m t ，即16×5＝t ，∴t ＝80．。
第01周 1.1同底数幂的乘法 1.2幂的乘方与积的乘方
第01周周练习班级姓名A卷（100分）一、选择题（每小题3分，共30分）1．（2014•温州）计算：m6•m3的结果（B）2．（2014•江西模拟）下列计算正确的是（C）3．下列说法中，正确的是（C）4．若N=（a•a2•b3）4，那么N等于（C）5．（2014•随州）计算（﹣xy2）3，结果正确的是（B）A．x3y5 B．﹣x3y6 C．x3y6 D．﹣x3y56．下列计算错误的个数是（C）①（3x3）2=6x6；②（﹣5a5b5）2=﹣25a10b10；③；④（3x2y3）4=81x6y7．7．（2014•南京联合体二模）下列运算中，结果是a6的式子是（D）8．（﹣x2）2n﹣1等于（D）9．当b为偶数时，（m﹣n）a•（n﹣m）b与（n﹣m）a+b的关系是（C）10．（2012•滨州）求1+2+22+23+…+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22012，则2S=2+22+23+24+…+22013，因此2S﹣S=22013﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52012的值为（C）A．52012﹣1 B．52013﹣1 C．D．二、填空题（每小题4分，共16分）11．若a n﹣3•a2n+1=a10，则n=．12．若52x+1=125，则（x﹣2）2012+x=．13．若（a2b3）n+1=a6b3m，则m+n=．14．1平方千米的土地，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧1.3×105吨煤所产生的能量．已知，我国西部的广大地区约有6.4×106平方千米的广阔面积，那么，我国西部地区一年内从太阳得到的能量约相当于燃烧吨煤所产生的能量．三、解答题（共54分）15．计算：（1）﹣b2•（﹣b）2•（﹣b）3；（2）（a2）4+a•a7；（3）•22009；（4）（﹣2x2y）•（3x3y2）•（x2y）2．16．（1）已知a m=2，a n=3，求a3m+2n的值；（2）已知x3=m，x5=n，试用含m，n的代数式表示x14．17．已知2x+5y=7，求4x•32y的值．18．如果x、y是正整数，且2x•2y=32（1）求满足条件的整数x、y共有多少对？（2）根据条件能否快速判断出2x﹣1•2y+1的计算结果？19．已知20x=1000，50y=1000，求的值．20．若，b=（﹣4）3，c=（﹣3）4，试比较a，b，c的大小．B卷（20分）21．（3分）如果（3x m y m-n）3=27x12y9成立，那么整数m=_____，n=______．22．（3分）设a=334，b=251，c=425，按照从大到小的顺序排列为．23．计算：．24．（7分）阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘记为a n，记为a n．如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28=3）．一般地，若a n=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b（即log a b=n）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）．（1）计算以下各对数的值：log24=，log216=，log264=．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？log a M+log a N=；（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（4）根据幂的运算法则：a n•a m=a n+m以及对数的含义证明上述结论．答案：A卷：一、选择题：1-10：BCCCB CDDCC二、填空题：11．4；12．﹣1；13．5；14．8.32×1011；三、解答题：15．解：（1）﹣b2•（﹣b）2•（﹣b）3=﹣b2•b2•（﹣b3）=b7；（2）（a2）4+a•a7=a8+a8=2a8；（3）•22009=•22008•2=（﹣×2）2008×2=2；（4）（﹣2x2y）•（3x3y2）•（x2y）2=（﹣6x5y3）•（x4y2）=﹣6x9y5．16．解：（1）∵a m=2，a n=3，∴a3m+2n=a3m•a2n=（a m）3•（a n）2=23×32=72；（2）∵x3=m，x5=n，∴x14=（x3）3•x5=m3n．17．解：2x+5y=7，4x•32y=22x•25y=22x+5y=27=128．18．解：（1）∵2x•2y=2x+y=25，∴x+y=5，∵x、y是正整数，∴x=1时，y=4，x=2时，y=3，x=3时，y=2，x=4时，y=1，∴正整数x、y共有4对；（2）∵x﹣1+y+1=x+y，∴2x﹣1•2y+1的计算结果是32．19．解：∵20x=1000，50y=1000，∴=20，=50，∴=20×50=1000，∴+==1．∴故答案为：1．20．解：∵=•（﹣2）=2，b=（﹣4）3=﹣64，c=（﹣3）4=81，∴c＞a＞b．B卷：21．4，1；22．解：a=334=（32）17=917；b=b=251=（23）17=817；c=425=250；∴250＜251＜334即：c＜b＜a．故答案是：c＜b＜a．23．解：设1+++…+=m，1+++…+=n，则原式=（m﹣1）n﹣m（n﹣1）=m﹣n=．24．解：（1）log24=2，log216=4，log264=6；（2）4×16=64，log24+log216=log264；（3）log a M+log a N=log a（MN）；（4）证明：设log a M=b1，log a N=b2，则=M，=N，∴MN=，∴b1+b2=log a（MN）即log a M+log a N=log a（MN）．。
同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方问题
同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方问
题
背景
在数学中，幂是一种常见的运算方式。
幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是幂运算中的相关问题。
本文将探讨这些问题的定义、性质和解决方法。
同底数幂的乘法
同底数幂的乘法是指将底数相同的幂进行相乘的运算。
如果我们有两个同底数幂，即a^m和a^n，那么它们的乘积可以表示为
a^(m+n)。
简单说，就是将它们的指数相加，而底数不变。
例如，我们有2^3和2^4，它们的底数都是2。
根据同底数幂的乘法规则，它们的乘积为2^(3+4)，即2^7。
幂的乘方
幂的乘方是指将幂的结果再次进行幂运算的操作。
如果我们有
一个幂a^m，再对其进行幂运算，即(a^m)^n，那么它可以简化为
a^(m*n)。
换句话说，就是将它们的指数相乘。
举个例子，我们有2^3，如果我们对其进行幂的乘方，即
(2^3)^2，根据幂的乘方规则，它可以简化为2^(3*2)，即2^6。
积的乘方
积的乘方是指求积的幂的运算。
如果我们有一个积a*b，对其
进行乘方运算，即(a*b)^n，那么它可以展开为a^n * b^n。
简单说，就是将积的每个因子都进行乘方。
举个例子，我们有积2*3，我们对其进行乘方运算，即(2*3)^3，根据积的乘方规则，它可以展开为2^3 * 3^3。
结论
同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是幂运算中常见的问题。
通过了解它们的定义和规则，我们可以更好地进行幂运算的简化和
求解。
使用这些规则，我们可以轻松计算出任何同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方的结果。
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新北师大版七年级年级下册第一章幂的运算训练题
一、单选题
1、下列运算：①（－x 2）3＝－x 5；②3xy －3yx ＝0；③3100·（－3）100＝0；④m ·m 5·m 7＝m 12；⑤3a 4＋a 4＝3a 8 ⑥（x 2）4＝x 16．其中正确的有（ ）；
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2、计算（－a 2）3的结果是（ ）A ．－a 5 B ．a 6 C ．－a 6 D ．a 5
3、下列各式计算正确的是（ ）A ．（x 2）3＝x 5 B ．（x 3）4＝x 12
C ．()
3131n n x x ++= D ．x 5·x 6＝x 30 4、我们约定a ⊗b ＝10a ×10b ，如2⊗3＝102×103＝105，那么4⊗8为（ ）
A ．32
B ．1032
C ．1012
D ．1210
5、如果32m n x x x -=，则n 等于（ ）A ．m －1 B ．m ＋5 C ．4－m D ．5－m
6、m 9可以写成（ ）A ．m 4＋m 5 B ．m 4·m 5 C ．m 3·m 3 D ．m 2＋m 7
7、下列几个算式：①a 4·a 4＝2a 4；②m 3＋m 2＝m 5；③x ·x 2·x 3＝x 5；④n 2＋n 2＝n 4．其中计算正确的有（ ）A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
8、计算（－2）2008＋（－2）2009等于（ ）A ．－22008 B ．－2 C ．－1 D ．22008
9、在222( )y=y m m y -+中，括号内应填的代数式是（ ）
A ．y m
B ．4m y +
C ．2m y +
D ．3m y +
10、设a m =8，a n =16，则a m+n =（ ）A ．24 B ．32 C ．64 D ．128
11、如果23m=26，那么m 的值为（ ）A ．2 B ．4 C ．6 D ．8
12、下列各式能用同底数幂乘法法则进行计算的是（ ）A ．（x+y ）2（x-y ）2 B ．（x+y ）2（-x-y ） C ．（x+y ）2+2（x+y ）2 D ．（x-y ）2（-x-y ）
13、若22a+3•2b-2=210，则2a+b 的值是（ ）A ．8 B ．9 C ．10 D ．11
14、下列各式中，计算结果为x 7的是（ ）
A ．()()
25x x -⋅- B ．()25x x -⋅ C ．()()34x x -⋅- D ．34x x + 15、计算（﹣x 2）•x 3的结果是（ ）A ． x 3 B ．﹣x 5 C ．x 6 D ．﹣x 6
16、计算323x x ÷的结果是( )A ．22x B ．23x C ．3x D ．3
17、如果()2893n =，则n 的值是（ ）A ．4 B ．2 C ．3 D ．无法确定 18、下列各式中，①428x x x =，②3262x x x =，③437a a a =，④5712a a a +=，⑤()()437a a a --=.正确的式子的个数是( ) A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个.
19、若a 2m =25，则a -m 等于（ ） A ．15 B ．-5 C ．15或-15 D ．1625
20、下列计算错误的有（ ）①a 8÷a 2=a 4； ②（-m ）4÷（-m ）2=-m 2； ③x 2n ÷x n =x n ；
④-x 2÷（-x ）2=-1． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
二、填空题
21、计算：-a 2•（-a ）2n+2=_______．（n 是整数）．
22、计算 0.125 2008×（﹣8）2009=______．
23、计算：（1）（－a 5）5＝________；（2）（－y 2）3·（－y 3）2＝________；（3）（a 2）4·a 4＝________；（4）＝________．
24、计算：（1）－22×（－2）3＝________；（2）a m ·a ·
＝________；（3）10m ×10000＝________；（4）＝________．
25、一台电子计算机每秒可作1012次运算，它工作5×106秒可作________次运算．
26、（1）＝81，则x ＝________；（2）＝n ，用含n 的代表式表示3x ＝________．
27、（1）a3·a m＝a8，则m＝________；（2）2m＝6，2n＝5，则＝________．
28、（1）32×32－3×33＝________；（2）x5·x2＋x3·x4＝________；（3）（a－b）·（b－a）3·（a－b）4＝________；（4）100·10n·＝________；（5）a m··a2m·a＝________；（6）2×4×8×2n＝________．
29、（1）107×103＝________；（2）a3·a5＝________；（3）x·x2·x3＝________；（4）（－a）5·（－a）3·（－a）＝________；（5）b m·＝________；（6）＝
________．
30、已知a m+1×a2m-1=a9，则m=______．
31、4m·4·16＝_______．
32、若x•x a•x b•x c=x2011，则a+b+c=______．
33、计算：-32•（-3）3= ________（结果用幂的形式表示）．
34、已知10n=3，10m=4，则10n+m的值为______．
35.计算：（-2）2013+（-2）2014=_______．
三、解答题
36、计算下列各题：
（1）（－2）·（－2）2·（－2）3；（2）（－x）6·x4·（－x）3·（－x）2；（3）；（4）．
37、已知，x＋2y－4＝0．求：的值．
38、计算：
（1）（a－b）2（a－b）3（b－a）5；（2）（a－b＋c）3（b－a－c）5（a－b＋c）6；（3）（b－a）m·（b－a）n-5·（a－b）5；（4）x3·x5·x7－x2·x4·x9．
39、计算：
（1）10×104×105＋103×107；（2）m·m2·m4＋m2·m5；
（3）（－x）2·（－x）3＋2x（－x）4；（4）103×10＋100×102．
40、
计算：
（1）；（2）x m+15•x m﹣1（m是大于1的整数）；
（3）（﹣x）•（﹣x）6；（4）﹣m3•m4．
41、为了求1+2+22+23+...+22012的值，可令s=1+2+22+23+...+22012，则2s=2+22+23+24...+22013，因此2s﹣s=22013﹣1，所以1+2+22+23+...+22012=22013﹣1．仿照以上推理，计算1+5+52+53+ (52013)
值．
42、化简求值：（-3a b）-8（a）·（-b）·（-a b），其中a=1，b=-1.
43、已知x6-b∙x2b+1=x11，且y a-1∙y4-b=y5，求a+b的值．
44、计算：
（1）－p2·（－p）4·[（－p）3]5；（2）（m－n）2[（n－m）3]5；（3）25·84·162．
45、判断下列计算是否正确，并简要说明理由．
（1）（a 3）4＝a 7； （2）a 3·a 4＝a 12； （3）（a 2）3·a 4＝a 9；（4）（a 2）6＝a 12．
46、阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．
解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘以2得：
2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014 将下式减去上式得2S-S=22014-1 即S=22014-1 即1+2+22+23+24+…+22013=22014-1
请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+210（2）1+3+32+33+34+…+3n （其中n 为正整数）．
47、我们约定1010a b a b ⊗=⨯，如23523101010⊗=⨯=．(1)试求123⊗和48⊗的值．(2)想一想，()a b c ⊗⊗是否与()a b c ⊗⊗的值相等?验证你的结论．。