浙江省台州一中天台中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学试卷【PDF版含答案】
/./
（6 分） 上运动，
（9 分）
（12 分）
所以当 即当
时，代入
得
，
时，∣ ∣ 取得最小值 √ ，此时点 .
/， .
/． （15 分）
20． (1)∵
，
（2 分）
∴
面
∴
（5 分）
(2)如图取 EF 中点 G,连接 DG, ������.
∵ ������
������
∴
面 ������
∴ 面 ������ 面
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求.
1.直线
的倾斜角为 ，则 ， 满足 ( ▲ )
A．
B.
C.
D.
2.在空间直角坐标系中，所有点 (
)( ) 的集合表示( ▲ )
A. 一条直线
B. 一个平行于
平面的平面
C. 一个平行于工
平面的平面
D. 两条直线
3.如果直线 平面 ，直线 平面 ，
，
， ， ，则 ( ▲ )
A.
B.
C.
D.
4.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角
三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形. 该多面体的各个
面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( ▲ )
A．10
B．12
C．14
为▲ ．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18.如图，在正三棱柱
中，
，
，为
的中点， 是 上
一点，且由点 沿棱柱侧面经过棱 的交点为 ，求：
到点 的最短路线长为 √ ，设这条最短路线与
（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；
（2） 和 的长．
19.如下图，已知正方体
，即 √
，所以圆心 到直线
离
√
（ 为圆 的半径），所以 与圆 相离．（4 分）
（2） 由点 在圆 上，且
，得
，即 ( )．
① 记直线 的倾斜角为 ，则
，又
，
所以直线 的倾斜角为
，
的距
所以
(
)
．
（9 分）
②记直线 的斜率为 ，则直线 的方程为
的方程得
(
)
，化简得
(
)
(
)
因为 是上述方程的一个根，所以
，
11．
，
12． ，
13.
，2
14． √ ， √
15. .
/
16．②③④
17.
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（1） 正三棱柱
的侧面展开图是一个长为 ，宽为 的矩形，其对角线长为
√
√ ． （6 分）
（2） 如图，将侧面
绕棱
动到点 的位置，连接 ，
（1）求证：
.
上的动点，且
（2）
时，求直线 与平面 所成角的余弦值.
，将
,
分
（第 20 题图）
21.已知圆 的方程为
，设点 ( )，直线
．
（1）若点 在圆 内，试判断直线 与圆 的位置关系；
（2）若点 在圆 上，且
， ，过点 作直线 ， 分别交圆 于
两
点，且直线 ， 的斜率互为相反数．
i）若直线 过点 ，求
为 轴， /．
( )，
为 轴建立空间直角坐标系， , -． （4 分）
∣ ∣ √( ) ( ) ( ) √
所以当
时，∣ ∣ 取得最小值 √ ，此时点 . /．
（2）因为点 在面对角线
所以可设点 (
)， (
由两点间的距离公式得
上运动，点 在面对角线 )， ， , -．
∣ ∣ √( ) ( ) (
)
√
√.
面对角线
上．
（1）当点 是面对角线
值；
（2）当点 在面对角线
值．
的棱长为 ，点 在面对角线
（第 18 题图）
上，点 在
的中点，点 的面对角线
上运动时，求 ∣ ∣ 的最小
上运动，点 在面对角线
上运动时，求 ∣ ∣ 的最小
（第 19 题图）
20.如图，边长为 2 的正方形
中， 分别是
别沿
折起，使 两点重合于点 .
旋转
使其与侧面
在同一平面上，点 运
则
就是由点 沿棱柱侧面经过棱
到点 的最短路线．（9 分）
设
，则
．
在
中，
，
即
(
所以
)
，解得
，
（
舍去）．
（12 分）
因为
，所以
．
（14 分）
19. （1） 以 为坐标原点， 为 轴，
因为点 是面对角线
的中点，可得 .
又点 在面对角线
上运动，所以可设点
由两点间的距离公式得
在，说明理由．
2017 学年第一学期期中台州一中、天台中学
高二年级数学学科试题参考答案
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求.）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A B A D C D B D
二、填空题: 本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分.
D．16
（第 4 题图）
5.如图，已知半径为 的半圆中， 为直径， 为圆心，点 在半圆弧上，且
，则
图中阴影部分绕直线 旋转一周所形成的几何体的体积为( ▲ )
A.
B.
C.
D.
6.已知椭圆
的离心率为 ，则实数 的值为( ▲ )
A.
B.
C.
或
D. 或
7.已知平面上点 满足条件的点 A.
*( )∣ (
)(
，动点 在直线
√
上，过点 分别作圆 ， 的切线，切点分别为 ， ，若满足
的点 有且只有两个，则实数 的取值范围是 ▲ ．
16.曲线 是平面内到直线 ：
和直线 ：
的距离之积等于常数 （ ）的
点的轨迹，下列四个结论：
① 曲线 过点 ( )；
② 曲线 关于点 ( ) 成中心对称；
③ 若点 在曲线 上，点 ， 分别在直线 ， 上，则 ∣ ∣ ∣ ∣ 不小于 ；
11.直线
，则 的倾斜角为 ▲ ；若 上点 的横坐标是 ，把 绕点 按
逆时针方向旋转 后所得的直线方程是 ▲ ．
12.如图所示，用斜二测画法画出的水平放置的
及 边上中线 的直观图是
及 ，其中
，试按此图判定原
中的 ， ， ， 四条线段中最长的线段是 ▲ ；
最短的线段是 ▲ 13.若直线
． 与圆
（第 12 题图）
④ 设 为曲线 上任意一点，则点 关于直线 ：
，点 ( ) 及直线 ：
对称的点分别为 ， ， ，则四边形
的面积为定值 ；
其中，所有正确结论的序号是 ▲ ．
17. a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 a，b 都
垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，当直线 AB 与 a 成 60°角时，则直线 AB 与 b 所成角
，将 ．
代入圆
由题意知
，同理可得
，所以
（12 分）
(
)
(
)
所以不论直线 的斜率怎样变化，直线 的斜率总为定值 ．
（15 分）
22. （1）当 =1 时,由题意： ：
：
整理得 ( )
∴点 P 的轨迹方程为
.
（2）由 ：
：
得到 ( )
整理得
./
./
因为
，所以得：
（i）当 √ 时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点
的值；
ii）试问：不论直线 的斜率怎样变化，直线 的斜率是否为定值？若是，求出该定值；
若不是，请说明理由．
22.已知常数
，经过原点 斜率为 的直线 与经过定点 ( ) 斜率为 的直线 相交于
点 ，且
．
（1）当 =1 时，求点 P 的轨迹方程.
（2）是否存在两个定点 ，使得 ∣ ∣ ∣ ∣ 为定值？若存在，求出 的坐标；若不存
2017 学年第一学期期中台州一中、天台中学 高二年级数学学科 试题
考生须知： 1．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷.
选择题部分（共 40 分）
)
+，其中
在平面上所组成图形的面积是( ▲ )
B.
C.
D.
（第 5 题图）
，当 ， 变化时，
8.已知平面
平面 ，
，点
， ，直线
，则下列四种位置关系中，不．一．定．成立的是( ▲ )
，直线
，直线
A. 9. (
)， (
B. ) 是直线
C.
D.
（ 为常数）上两个不同的点，则关于 和
， 的方
程组 {
的解的情况是( ▲ )
且面 ������ 面
������
∴点 在底面的投影在 ������上
∴
������（或其补角）就是直线 与底面 EFD 所成角
在 ������ 中可求得 ������ √
2017-2018学年高二(上)期中数学试卷(文科)带答案精讲
2017-2018学年高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集为R，集合A={x||x|≤2}，B={x|＞0}，则A∩B（）A．[﹣2，2]B．[﹣2，1）C．（1，2]D．[﹣2，+∞）2．（5分）在空间中，下列命题正确的是（）A．三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B．若平面α⊥β，且α∩β=l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面βC．若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥αD．若直线a与直线b平行，且直线l⊥a，则l∥b3．（5分）直线x+y=0被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．1 B．2 C．D．24．（5分）在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件5．（5分）已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．2 B．1 C．D．6．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（）A．B．C．D．27．（5分）如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．P=B．P=C．P=D．P=8．（5分）在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a7，则k=（）A．22 B．23 C．24 D．259．（5分）已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|+|=|﹣|，其中O为原点，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．或﹣10．（5分）若f（x）是R上的减函数，且f（0）=3，f（3）=﹣1，设P={x|﹣1＜f（x+t）＜3}，Q={x|f（x）＜﹣1}，若“x∈P”是”x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的范围是（）A．t≤0 B．t≥0 C．t≤﹣3 D．t≥﹣3二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）若数据组k1，k2...k8的平均数为3，方差为3，则2（k2+3），2（k2+3） (2)（k8+3）的方差为．12．（5分）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中6个选择题，4个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是．13．（5分）=．14．（5分）若正数a，b满足a+b=1，则+的最小值为．15．（5分）等比数列{a n}中，公比q=2，log2a1+log2a2+…+log2a10=35，则a1+a2+…+a10=．16．（5分）给出下列命题：以下命题正确的是（注：把你认为正确的命题的序号都填上）①非零向量、满足||=||=||，则与的夹角为30°；②•＞0，是、的夹角为锐角的充要条件；③命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”；④若（）=0，则△ABC为等腰三角形．17．（5分）过点（2，3）且与直线l1：y=0和l2：都相切的所有圆的半径之和为．三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（12分）在△ABC中，sin（C﹣A）=1，sinB=．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）设AC=，求△ABC的面积．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．20．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB=2，∠BAD=60°．（1）求证：OM∥平面PAB；（2）求证：平面PBD⊥平面PAC；（3）当四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求PB的长．21．（14分）已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x﹣4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为，圆C的面积小于13．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）设过点M（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．22．（14分）设α，β为函数h（x）=2x2﹣mx﹣2的两个零点，m∈R且α＜β，函数f（x）=（1）求的f（α）•f（β）值；（2）判断f（x）在区间[α，β]上的单调性并用函数单调性定义证明；（3）是否存在实数m，使得函数f（x）在[α，β]的最大值与最小值之差最小？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集为R，集合A={x||x|≤2}，B={x|＞0}，则A∩B（）A．[﹣2，2]B．[﹣2，1）C．（1，2]D．[﹣2，+∞）【分析】分别求出集合A和集合B中不等式的解集，求出两个解集的公共部分即为两个集合的交集．【解答】解：由集合B可知x﹣1＞0即x＞1；由集合A可知|x|≤2即﹣2≤x≤2．所以B∩A={x|1＜x≤2}故选C．【点评】本题是一道以求不等式的解集为平台，求集合交集的基础题，也是高考中的基本题型．2．（5分）在空间中，下列命题正确的是（）A．三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B．若平面α⊥β，且α∩β=l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面βC．若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥αD．若直线a与直线b平行，且直线l⊥a，则l∥b【分析】根据平面的基本性质，可判断A；根据面面垂直的性质定理可判断B；根据线面平行的判定定理可判断C；根据异面直线夹角的定义，可判断D【解答】解：三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面或三个平面，故A 错误；若平面α⊥β，且α∩β=l，由面面垂直的性质定理可得：过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β，故B正确；若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥α或m⊂α，故C错误；若直线a与直线b平行，且直线a⊥l，则l⊥b，故D错误；故选：B【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，平面的基本性质，面面垂直的性质定理，线面平行的判定定理，异面直线夹角的定义，难度不大，属于基础题．3．（5分）直线x+y=0被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．1 B．2 C．D．2【分析】首先根据已知题意分析圆心与半径．通过直线与圆相交构造一个直角三角形．直角边分别为半弦长，弦心距．斜边为半径．按照勾股定理求出半弦长，然后就能求出弦长．【解答】解：根据题意，圆为x2+y2﹣4y=0故其圆心为（0，2），半径为：2圆心到直线的距离为：d==由题意，圆的半径，圆心到直线的距离，以及圆的弦长的一半构成直角三角形故由勾股定理可得：l=2=2故选：B．【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，首先根据圆分析出圆的要素，然后根据直线与圆相交时构造的直角三角形按照勾股定理求出结果．属于基础题4．（5分）在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【分析】对两个条件，“cosA+sinA=cosB+sinB”与“C=90°”的关系，结合三角函数的定义，对选项进行判断【解答】解：“C=90°”成立时，有A+B=90°，故一定有“cosA+sinA=cosB+sinB”成立又当A=B时cosA+sinA=cosB+sinB”成立，即“cosA+sinA=cosB+sinB”得不出“C=90°”成立所以“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的必要非充分条件故选B．【点评】本题考查充要条件，解答本题要熟练理解掌握三角函数的定义，充分条件，必要条件的定义，且能灵活运用列举法的技巧对两个命题的关系进行验证，本题考查了推理论证的能力，解题时灵活选择证明问题的方法是解题成功的保证．5．（5分）已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．2 B．1 C．D．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定a的值即可．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．即2x+y=1，由，解得，即C（1，﹣1），∵点C也在直线y=a（x﹣3）上，∴﹣1=﹣2a，解得a=．故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．6．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（）A．B．C．D．2【分析】由三视图想象出空间几何体，代入数据求值．【解答】解：如图所示，四面体为正四面体．是由边长为1的正方体的面对角线围成．其边长为，则其表面积为4×（××）=2．故选D．【点评】本题考查了学生的空间想象力，属于中档题．7．（5分）如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．P=B．P=C．P=D．P=【分析】由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．【解答】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于1000时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为1000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是P=．故选：D．【点评】本题考查程序框图的作用，考查模拟方法估计圆周率π的方法，考查计算能力，属于基础题．8．（5分）在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a7，则k=（）A．22 B．23 C．24 D．25【分析】根据等差数列的性质，我们可将a k=a1+a2+a3+…+a7，转化为a k=7a4，又由首项a1=0，公差d≠0，我们易得a k=7a4=21d，进而求出k值．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列且首项a1=0，公差d≠0，又∵a k=（k﹣1）d=a1+a2+a3+…+a7=7a4=21d故k=22故选A【点评】本题考查的知识点是等差数列的性质，其中根据a4是数列前7项的平均项（中间项）将a k=a1+a2+a3+…+a7，化为a k=7a4，是解答本题的关键．9．（5分）已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|+|=|﹣|，其中O为原点，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．或﹣【分析】条件“||=||”是向量模的等式，通过向量的平方可得向量的数量积|2=||2，•=0，可得出垂直关系，接下来，如由直线与圆的方程组成方程组求出A、B两点的坐标，势必计算很繁，故采用设而不求的方法．【解答】解：由||=||得||2=||2，•=0，⊥，三角形AOB为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为，即=，a=±2，故选C．【点评】若非零向量，，满足||=||，则．模的处理方法一般进行平方，转化成向量的数量积．向量是既有大小，又有方向的量，它既有代数特征，又有几何特征，通过向量可以实现代数问题与几何问题的互相转化，所以向量是数形结合的桥梁．10．（5分）若f（x）是R上的减函数，且f（0）=3，f（3）=﹣1，设P={x|﹣1＜f（x+t）＜3}，Q={x|f（x）＜﹣1}，若“x∈P”是”x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的范围是（）A．t≤0 B．t≥0 C．t≤﹣3 D．t≥﹣3【分析】利用函数f（x）的单调性以及f（0）=3，f（3）=﹣1，求出集合P，Q 的解集，利用充分条件和必要条件的定义进行求解．【解答】解：∵f（x）是R上的减函数，且f（0）=3，f（3）=﹣1，∴不等式﹣1＜f（x+t）＜3，等价为f（3）＜f（x+t）＜f（0），即3＞x+t＞0，解得﹣t＜x＜3﹣t，即P={x|﹣t＜x＜3﹣t}．由f（x）＜﹣1得f（x）＜f（3），即x＞3，∴Q={x|x＞3}，∵“x∈P”是”x∈Q”的充分不必要条件，∴﹣t≥3，即t≤﹣3．故选：C．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，考查充分条件和必要条件的应用，利用函数的单调性先求解集合P，Q的等价条件是解决本题的关键．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）若数据组k1，k2...k8的平均数为3，方差为3，则2（k2+3），2（k2+3） (2)（k8+3）的方差为12．【分析】由方差的性质得2（k2+3），2（k2+3）…2（k8+3）的方差为22×3=12．【解答】解：∵数据组k1，k2…k8的平均数为3，方差为3，∴2（k2+3），2（k2+3）…2（k8+3）的方差为：22×3=12．故答案为：12．【点评】本题考查方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意方差性质的合理运用．12．（5分）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中6个选择题，4个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是．【分析】甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的对立事件是甲、乙二人依次都抽到判断题，先做出甲和乙都抽到判断题的概率，根据对立事件的概率公式得到结果．【解答】（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的对立事件是甲、乙二人依次都抽到判断题， ∵甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为， ∴甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为1﹣= 故答案为：． 【点评】本小题主要考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力，考查对立事件的概率．13．（5分）= ．【分析】考查已知条件和要求的表达式，不难得到结果．【解答】解：因为1﹣sin 2x=cos 2x ，所以又=，所以= 故答案为：【点评】本题是基础题，考查同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．14．（5分）若正数a ，b 满足a +b=1，则+的最小值为 ． 【分析】变形利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵正数a ，b 满足a +b=1，∴（3a +2）+（3b +2）=7．∴+===，当且仅当a=b=时取等号． ∴+的最小值为． 故答案为：．【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于中档题．15．（5分）等比数列{a n}中，公比q=2，log2a1+log2a2+…+log2a10=35，则a1+a2+…+a10=．【分析】等比数列{a n}中，公比q=2，可得a1a10=a2a9=...=a5a6=．由log2a1+log2a2+...+log2a10=35，利用对数的运算性质可得log2（a1a2 (10)==35，化为=27，可得a1．再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵等比数列{a n}中，公比q=2，∴a1a10=a2a9=…=a5a6=．∵log2a1+log2a2+…+log2a10=35，∴log2（a1a2…a10）==35，∴=27，∴a1=．∴a1+a2+…+a10==．故答案为：．【点评】本题考查了对数的运算性质、等比数列的性质通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（5分）给出下列命题：以下命题正确的是①③④（注：把你认为正确的命题的序号都填上）①非零向量、满足||=||=||，则与的夹角为30°；②•＞0，是、的夹角为锐角的充要条件；③命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”；④若（）=0，则△ABC为等腰三角形．【分析】根据向量加减法的平行四边形法则及菱形的性质可判断①，根据向量数量积的定义，及充要条件的定义，可判断②；根据否命题的定义，可判断③；根据向量数量积运算法则及向量模的定义，可判断④【解答】解：①非零向量、满足||=||=||，则以，为邻边的平行四边形为菱形，且，的夹角为60°，根据菱形的对角线平分对角，可得与的夹角为30°，故①正确； ②•＞0，、的夹角为锐角或0，故•＞0，是、的夹角为锐角的必要不充分条件，故②错误；③命题“若m 2+n 2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m 2+n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”，故③正确；④若（）===0，即，即AB=AC ，则△ABC 为等腰三角形，故④正确．故答案为：①③④【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了向量加减法的平行四边形法则及菱形的性质，向量数量积的定义，充要条件的定义，否命题的定义，向量数量积运算法则及向量模的定义，是向量与逻辑的综合应用，难度中档．17．（5分）过点（2，3）且与直线l 1：y=0和l 2：都相切的所有圆的半径之和为 42 ．【分析】设出圆的圆心坐标与半径，利用条件列出方程组，求出圆的半径即可．【解答】解：因为所求圆与y=0相切，所以设圆的圆心坐标（a ，r ），半径为r ，l 2：化为3x ﹣4y=0． 所以，解②得a=﹣r ，或a=3r ，由a=﹣r 以及①可得：a 2+14a +13=0，解得a=﹣1或a=﹣13，此时r=3或r=39， 所有半径之和为3+39=42．由a=3r以及①可得：9r2﹣18r+13=0，因为△=﹣144，方程无解；综上得，过点（2，3）且与直线l1：y=0和l2：都相切的所有圆的半径之和为：42．故答案为：42．【点评】本题考查圆的方程的求法，计算准确是解题的关键，考查计算能力．三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（12分）在△ABC中，sin（C﹣A）=1，sinB=．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）设AC=，求△ABC的面积．【分析】（I）利用sin（C﹣A）=1，求出A，C关系，通过三角形内角和结合sinB=，求出sinA的值；（II）通过正弦定理，利用（I）及AC=，求出BC，求出sinC，然后求△ABC 的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为sin（C﹣A）=1，所以，且C+A=π﹣B，∴，∴，∴，又sinA＞0，∴（Ⅱ）如图，由正弦定理得∴，又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=∴【点评】本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．【分析】（1）由题设条件知b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2和S n=4a n﹣1+2相减得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，即a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），所以b n=2b n﹣1，由此可知{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（2）由题设知．所以数列是首项为，公差为的等差数列．由此能求出数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）由a1=1，及S n+1=4a n+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a2﹣2a1=3．=4a n+2，①由S n+1则当n≥2时，有S n=4a n﹣1+2，②=4a n﹣4a n﹣1，所以a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），①﹣②得a n+1又b n=a n+1﹣2a n，所以b n=2b n﹣1，所以{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（6分）（2）由（I）可得b n=a n+1﹣2a n=3•2n﹣1，等式两边同时除以2n+1，得．所以数列是首项为，公差为的等差数列．所以，即a n=（3n﹣1）•2n﹣2（n∈N*）．（13分）【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要掌握等比数列的证明方法，会求数列的通项公式．20．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB=2，∠BAD=60°．（1）求证：OM∥平面PAB；（2）求证：平面PBD⊥平面PAC；（3）当四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求PB的长．【分析】（1）利用三角形中位线的性质，证明线线平行，从而可得线面平行；（2）先证明BD⊥平面PAC，即可证明平面PBD⊥平面PAC；（3）利用四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求出四棱锥P﹣ABCD的高为PA，利用PA⊥AB，即可求PB的长．【解答】（1）证明：∵在△PBD中，O、M分别是BD、PD的中点，∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB，…（1分）∵OM⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，…（3分）∴OM∥平面PAB．…（4分）（2）证明：∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，…（5分）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA．…（6分）∵AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，…（8分）∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．…（10分）（3）解：∵底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，∴菱形ABCD的面积为，…（11分）∵四棱锥P﹣ABCD的高为PA，∴，得…（12分）∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB．…（13分）在Rt△PAB中，．…（14分）【点评】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．21．（14分）已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x﹣4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为，圆C的面积小于13．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）设过点M（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）利用点到直线的距离公式，结合勾股定理，建立方程，根据圆C 的面积小于13，即可求圆C的标准方程；（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理，再假设∥，则﹣3（x1+x2）=y1+y2，即可得出结论．【解答】解：（I）设圆C：（x﹣a）2+y2=R2（a＞0），由题意知，解得a=1或a=，…（3分）又∵S=πR2＜13，∴a=1，∴圆C的标准方程为：（x﹣1）2+y2=4．…（6分）（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l为：x=0不满足题意．当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），又∵l与圆C相交于不同的两点，联立，消去y得：（1+k2）x2+（6k﹣2）x+6=0，…（9分）∴△=（6k﹣2）2﹣24（1+k2）=3k2﹣6k﹣5＞0，解得或．x 1+x2=，y1+y2=k（x1+x2）+6=，=（x1+x2，y1+y2），，假设∥，则﹣3（x1+x2）=y1+y2，∴，解得，假设不成立．∴不存在这样的直线l．…（13分）【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．22．（14分）设α，β为函数h（x）=2x2﹣mx﹣2的两个零点，m∈R且α＜β，函数f（x）=（1）求的f（α）•f（β）值；（2）判断f（x）在区间[α，β]上的单调性并用函数单调性定义证明；（3）是否存在实数m，使得函数f（x）在[α，β]的最大值与最小值之差最小？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）结合韦达定理用m把α，β的和、乘积表示出来，代入所求化简即可；（2）利用定义进行证明，在判断结果的符号时，要适当结合第一问m与α，β间的关系，将m用α，β替换，根据α，β与x1，x2的大小关系进行化简判断符号．（3）先假设存在，根据已知构造出取最值时的等式，只要取等号的条件存在，即存在．【解答】解：（1）由题意得，故．（2）∀x1，x2∈[α，β]，x1＜x2，可得，因为（x1﹣α）（x2﹣β）≤0，（x1﹣β）（x2﹣α）＜0，两式相加得2x1x2﹣（α+β）（x1+x2）+2αβ＜0；又因为，∴（x2﹣x1）[4x1x2﹣4﹣m（x1+x2）]＜0．所以f（x1）﹣f（x2）＜0，所以函数f（x）在[α，β]上为增函数．（3）函数在[α，β]上为增函数，所以．当且仅当时，等号成立，此时f（β）=2，即．结合可得m=0．综上可得，存在实数m=0满足题意．【点评】本题综合考查了函数的零点与方程的根之间的关系，即利用函数的观点解决方程的问题，或利用方程思想来解决函数问题．属于综合题，有一定难度．。
最新-【数学】浙江省台州中学2018学年高二上学期期中
台州中学2018-2018学年第一学期期中试题高二 数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 算法的三种基本结构是 ( )A. 顺序结构、模块结构、条件结构B. 顺序结构、循环结构、模块结构C. 顺序结构、条件结构、循环结构D. 模块结构、条件结构、循环结构2. 如图是2018年中秋节晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 A. 84，4.84 B. 84，1.6 C. 85，1.6D. 85，43. 下列程序：Input “A=”;1A=A*2A=A*3 A=A*4 A=A*5 print A end输出的结果A 是 （ ）A ．5 B. 6 C. 15 D. 1204. 某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（ ） A ．分层抽样法，系统抽样法B ．分层抽样法，简单随机抽样法C ．简单随机抽样法，分层抽样法D ．系统抽样法，分层抽样法5. 小强和小华两位同学约定下午在崇和门喷水池旁见面,约定谁先到后必须等10分钟,这时若另一人还没有来就可以离开.如果小强是1:40分到达的,假设小华在1点到2点内到达,且小华在 1点到2点之间何时到达是等可能的,则他们会面的概率是 ( ) A.16 B.12 C. 14D.13 6.某战士在打靶中，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是（ ） A 、两次都不中 B 、至多有一次中靶 C 、两次都中靶 D 、只有一次中靶7984464793第2题图7. 用秦九韶算法递推公式⎩⎨⎧+==--kn k k na x v v a v 10求多项式8.07.16.25.325)(2345-+-++=x x x x x x f ，当5=x 的函数值时，=2v （ ） A ．27 B ．138.5 C ．689.9 D ． 17255.28. 记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ） Ａ．480种Ｂ．720种Ｃ．960种Ｄ．1440种9. 读程序 甲：INPUT i=1 乙：INPUT i=1000 S=0 S=0 WHILE i<=1000 DO S=S+i S=S+i i=i+l i=i-1 WEND LOOP UNTIL i<1 PRINT S PRINT SEND END对甲乙两程序和输出结果判断正确的是（ ）A ．程序不同结果不同B ．程序不同，结果相同C ．程序相同结果不同D ．程序相同，结果相同10.若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=+=+17122y x by ax 有解，且所有解都是整数，则有序数对（a,b ）的数目为（ ）A ．8B ．16C ．24D ．32二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分. 11. 若将十进制数30化为)2(a ,则=a ______.12.从一个装有6个彩色球（3红，2黄，1蓝）的盒子中随机地取出2个球，则两球颜色相同的概率是 ．13.我市某机构调查小学生课业负担的情况，设平均每人每做作业时间X （单位：分钟），按时间分下列四种情况统计：0～30分钟；②30～60分钟；③60～90分钟；④90分钟以上，有1000名小学生参加了此项调查，右图是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是600，则平均每天做作业时间在0～60分钟内的学生的频率是________________.14.2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++ ， 则01211a a a a ++++ 的值为_______.15.一个总体分为A ，B 两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个数为_______。
2017-2018学年高二(上)期中数学试卷带答案精讲
2017-2018学年高二（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．请将答案填涂在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效）1．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．512．（5分）以下赋值语句书写正确的是（）A．2=a B．a=a+1 C．a*b=2 D．a+1=a3．（5分）某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为（）A．12 B．13 C．14 D．154．（5分）有下面的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在处应添加的条件是（）A．i＞12 B．i＞10 C．i=14 D．i=105．（5分）在样本方差的计算公式s2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]中，数字10和20分别表示样本的（）A．样本容量，方差 B．平均数，样本容量C．标准差，平均数 D．样本容量，平均数6．（5分）如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均分为91，现场做的7个得分的茎叶图（如图）后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x表示，则x的值为（）A．0 B．4 C．5 D．78．（5分）在区间[1，6]上随机取一个实数x，使得2x∈[2，4]的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）从有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是黒球B．至少有一个红球与都是红球C．至少有一个黒球与至少有1个红球D．恰有1个黒球与恰有2个黒球10．（5分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：若根据上表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，则表中m的值为（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.511．（5分）学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数和平均成绩分别是（）A．45，67 B．50，68 C．55，69 D．60，7012．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为（）A．﹣845 B．220 C．﹣57 D．34二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号（下面摘取了随机数表第7行至第9行）．84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．14．（5分）将二进制数101101（2）化为十进制数，结果为；再将结果化为8进制数，结果为．15．（5分）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于．16．（5分）某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填，输出的s=．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填在答题卡上对应题号的指定区域内）17．（10分）如图，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，点P在边BC上沿B→C运动，求△ABP的面积小于4的概率．18．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．19．（12分）甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．20．（12分）某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如图该种产品日需求量的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值，并估计日需求量的众数；（Ⅱ）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为x件（100≤x≤150），纯利润为S元．（ⅰ）将S表示为x的函数；（ⅱ）根据直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率．21．（12分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．22．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y 关于x 的线性回归方程=x +a ，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：b=，a=﹣b ．参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．请将答案填涂在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效）1．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．51【分析】用459除以357，得到商是1，余数是102，用357除以102，得到商是3，余数是51，用102除以51得到商是2，没有余数，得到两个数字的最大公约数是51．【解答】解：∵459÷357=1…102，357÷102=3…51，102÷51=2，∴459和357的最大公约数是51，故选D．【点评】本题考查辗转相除计算最大公约数，本题是一个基础题，是在算法案例中出现的一个案例，近几年在新课标中出现，学生掌握的比较好，若出现一定会得分．2．（5分）以下赋值语句书写正确的是（）A．2=a B．a=a+1 C．a*b=2 D．a+1=a【分析】根据赋值语句的格式，逐一进行分析，即可得到答案．【解答】解：由赋值语句的格式我们可知，赋值语句的赋值号左边必须是一个变量，而右边的运算符号与平常书写的运算符号有所不同．A中左侧是常数，不是变量，格式不对；B中满足赋值语句的格式与要求，正确；C与D中左侧是运算式，不对；故选：B．【点评】本题考查赋值语句，通过对赋值语句定义和格式的把握直接进行判断即可，属于基础题．3．（5分）某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为（）A．12 B．13 C．14 D．15【分析】根据分层抽样的定义，即可得到结论．【解答】解：∵高一240人，高二260人，高三300人，∴按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为×40=13，故选：B．【点评】本题考查了分层抽样的定义和应用问题，是基础题．4．（5分）有下面的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在处应添加的条件是（）A．i＞12 B．i＞10 C．i=14 D．i=10【分析】先根据输出的结果推出循环体执行的次数，再根据s=2+4+6+…+10=30得到程序中UNTIL后面的“条件”．【解答】解：因为输出的结果是30，即s=2+4+6+…+10，需执行5次，则程序中UNTIL后面的“条件”应为i＞10．故选B．【点评】本题主要考查了直到型循环语句，语句的识别问题是一个逆向性思维，一般认为学习是从算法步骤（自然语言）至程序框图，再到算法语言（程序）．如果将程序摆在我们的面前时，从识别逐个语句，整体把握，概括程序的功能．5．（5分）在样本方差的计算公式s2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]中，数字10和20分别表示样本的（）A．样本容量，方差 B．平均数，样本容量C．标准差，平均数 D．样本容量，平均数【分析】方差计算公式：S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，n表示样本容量，为平均数，根据此公式即可得到答案．【解答】解：由于S2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]，所以样本容量是10，平均数是20．故选：D．【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．6．（5分）如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有43种，对于A、B两个方格，由于其大小有序，则可以在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A 方格，小的放进B方格，由组合数公式计算可得其填法数目，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，由分步计数原理可得其填法数目，最后由分步计数原理，计算可得填入A方格的数字大于B方格的数字的填法种数，利用古典概型的概率计算公式求概率．【解答】解：根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有44=256种，对于A、B两个方格，可在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，有C42=6种情况，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4=16种情况，则填入A方格的数字大于B方格的数字的不同的填法共有16×6=96种，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为p=．故选D．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，考查排列、组合的运用，注意题意中数字可以重复的条件，这是易错点，此题是基础题，也是易错题．7．（5分）将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均分为91，现场做的7个得分的茎叶图（如图）后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x表示，则x的值为（）A．0 B．4 C．5 D．7【分析】根据茎叶图提供的数据，去掉1个最高分和1个最低分后，利用公式求平均数可得x的值．【解答】解：选手的7个得分中去掉1个最高分96，去掉1个最低分86，剩余5个得分为88，93，90，94，（90+x）；它们的平均分为=91，∴x=0；故选：A．【点评】本题考查了利用茎叶图求平均数的问题，是基础题．8．（5分）在区间[1，6]上随机取一个实数x，使得2x∈[2，4]的概率为（）A．B．C．D．【分析】使2x∈[2，4]的区间为[1，2]，由此能求出使得2x∈[2，4]的概率．【解答】解：∵2=2¹，4=22∴使2x∈[2，4]的区间为[1，2]，∵x∈[1，6]，且[1，6]长为5，[1，2]长为1∴使得2x∈[2，4]的概率p=．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意几何概型的合理运用．9．（5分）从有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是黒球B．至少有一个红球与都是红球C．至少有一个黒球与至少有1个红球D．恰有1个黒球与恰有2个黒球【分析】利用互斥事件和对立事件的概念求解．【解答】解：在A中，至少有一个黒球与都是黒球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在B中，至少有一个红球与都是红球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在C中，至少有一个黒球与至少有1个红球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在D中，恰有1个黒球与恰有2个黒球不能同时发生，可以同时不发生，两个事件是互斥而不对立事件．故选：D．【点评】本题考查互斥而不对立的两个事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件和对立事件的概念的合理运用．10．（5分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：若根据上表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，则表中m的值为（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.5【分析】先求样本中心点，再代入回归直线方程，即可求得m的值．【解答】解：由题意，，∵y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，∴2.5+0.25m=3.15+0.35，∴m=4．故选A．【点评】本题考查回归直线方程，解题的关键是利用回归直线方程恒过样本中心点，属于基础题．11．（5分）学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数和平均成绩分别是（）A．45，67 B．50，68 C．55，69 D．60，70【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，求出该班的学生数，再计算平均成绩．【解答】解：根据频率分布直方图，得；低于60分的频率是（0.005+0.01）×20=0.3，所以该班的学生人数为=50，；所以，该班的平均成绩为：30×0.005×20+50×0.01×20+70×0.02×20+90×0.015×20=68．故选：B．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，考查了求平均数的计算问题，是基础题目．12．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为（）A．﹣845 B．220 C．﹣57 D．34【分析】由于多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，可得当x=﹣4时，v0=3，v1=3×（﹣4）+5=﹣7，v2，v3即可得出．【解答】解：∵多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，当x=﹣4时，∴v0=3，v1=3×（﹣4）+5=﹣7，v2=﹣7×（﹣4）+6=34，v3=34×（﹣4）+79=﹣57．故选：C．【点评】本题考查了秦九韶算法计算多项式的值，考查了计算能力，属于基础题．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号785，667，199，507，175（下面摘取了随机数表第7行至第9行）．84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．【分析】找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数667合题意，这样依次读出结果．【解答】解：找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916它大于800要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数667合题意，这样依次读出结果．故答案为：785、667、199、507、175【点评】抽样方法，随机数表的使用，考生不要忽略．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．14．（5分）将二进制数101101（2）化为十进制数，结果为45；再将结果化为8进制数，结果为55（8）．【分析】根据二进制转化为十进制的方法，分别用每位数字乘以权重，累加后即可得到结果；根据“除8取余法”的方法转化为对应的八进制数即可得到结果．【解答】解：101101（2）=1×20+0×21+1×22+1×23+0×24+1×25=1+4+8+32=45．．又45=8×5+5，∴45=55（8）故答案为：45，55．（8）【点评】本题以进位制的转换为背景考查算法的多样性，解题的关键是熟练掌握进位制的转化规则，属于基础题．15．（5分）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于60．【分析】根据比例关系设出各组的频率，在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，求出前三组的频率，再频数和建立等量关系即可．【解答】解：设第一组至第六组数据的频率分别为2x，3x，4x，6x，4x，x，则2x+3x+4x+6x+4x+x=1，解得，所以前三组数据的频率分别是，故前三组数据的频数之和等于=27，解得n=60．故答案为60．【点评】本小题考查频率分布直方图的基础知识，熟练基本公式是解答好本题的关键，属于基础题．16．（5分）某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填i＜7（或i≤6），输出的s=51．【分析】由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故循环次数为6，由于第一次进行循环时，循环变量的初值为1，步长为1，故最后一次进入循环的终值应为6，故不难得到判断框中的条件及输出结果．【解答】解：由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故判断框应填i≤6或i＜7，输出s的值为：9+13+11+7+5+6=51．故答案为：i＜7（或i≤6），51．【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填在答题卡上对应题号的指定区域内）17．（10分）如图，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，点P在边BC上沿B→C运动，求△ABP的面积小于4的概率．【分析】利用线段的长度与面积的关系，直接利用几何概型求解即可．【解答】解：点P在BC边上沿B→C运动，落在BC上的任何一点都是等可能的．全部基本事件可用BC表示．…（2分）设事件M 为“△ABC面积小于4”，则事件M包含的基本事件可用长度为2的线段BP 表示，…（4分）由几何概型可知：即所求事件的概率为．…（10分）【点评】本题主要考查了几何概型．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解．18．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．【分析】（Ⅰ）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；（Ⅱ）先求基本事件总数，即从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“A1被选中，而B1未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）设“至少参加一个社团”为事件A；从45名同学中任选一名有45种选法，∴基本事件数为45；通过列表可知事件A的基本事件数为8+2+5=15；这是一个古典概型，∴P（A）=；（Ⅱ）从5名男同学中任选一个有5种选法，从3名女同学中任选一名有3种选法；∴从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人的选法有5×3=15，即基本事件总数为15；设“A1被选中，而B1未被选中”为事件B，显然事件B包含的基本事件数为2；这是一个古典概型，∴．【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步计数原理的应用．19．（12分）甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}做出集合对应的面积是边长为60的正方形的面积，写出满足条件的事件A═{（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}对应的集合和面积，根据面积之比得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，∵试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}集合对应的面积是边长为60的正方形的面积SΩ=60×60，而满足条件的事件对应的集合是A={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}得到S A=60×60﹣（60﹣15）×（60﹣15）∴两人能够会面的概率P==，∴两人能够会面的概率是．【点评】本题的难点是把时间分别用x，y坐标来表示，从而把时间长度这样的一维问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型的几何概型问题．20．（12分）某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如图该种产品日需求量的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值，并估计日需求量的众数；（Ⅱ）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为x件（100≤x≤150），纯利润为S元．（ⅰ）将S表示为x的函数；（ⅱ）根据直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率．【分析】（I）根据所有小矩形的面积之和为1，求得第四组的频率，再根据小矩形的高=求a的值；（II）利用分段函数写出S关于x的函数；根据S≥3400得x的范围，利用频率分布直方图求数据在范围内的频率及可得概率．【解答】解：（Ⅰ）由直方图可知：（0.013+0.015+0.017+a+0.030）×10=1，∴a=0.025，∵，∴估计日需求量的众数为125件；（Ⅱ）（ⅰ）当100≤x＜130时，S=30x﹣20（130﹣x）=50x﹣2600，当130≤x≤150时，S=30×130=3900，∴；（ⅱ）若S≥3400由50x﹣2600≥3400得x≥120，∵100≤x≤150，∴120≤x≤150，∴由直方图可知当120≤x≤150时的频率是（0.030+0.025+0.015）×10=0.7，∴可估计当天纯利润S不少于3400元的概率是0.7．【点评】本题考查了由频率分布直方图求频率与众数，考查了分段函数的值域与定义域，在频率分布直方图中小矩形的高=，所有小矩形的面积之和为1．21．（12分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．【分析】（I）算法的功能是求f（x）=的值，根据输入实数x 的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7求得a 、b ；（II ）分别在不同的段上求得函数的值域，再求并集．【解答】解：（Ⅰ）由程序框图知：算法的功能是求f （x ）=的值，∵输入x=﹣1＜0，输出f （﹣1）=﹣b=2，∴b=﹣2．∵输入x=3＞0，输出f （3）=a 3﹣1=7，∴a=2． ∴． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：①当x ＜0时，f （x ）=﹣2x ＞1，∴； ②当x ≥0时，f （x ）=2x ﹣1＞1，∴x ＞1．综上满足不等式f （x ）＞1的x 的取值范围为或x ＞1}．【点评】本题借助考查选择结构程序框图，考查了分段函数求值域，解题的关键是利用程序框图求得分段函数的解析式．22．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y 关于x 的线性回归方程=x +a ，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：b=，a=﹣b ．【分析】（1）利用题目条件直接画出散点图即可．（2）利用条件求解回归直线方程的参数，即可．（3）利用回归直线方程求解推出结果即可．【解答】解：（1）散点图如图所示，…（3分）（2）由表中数据得：=52.5，=3.5，=3.5；=54，∴===0.7，，==3.5﹣0.7×3.5=1.05，∴=0.7x+1.05 …（8分）（3）将x=10代入回归直线方程，得=0.7×10+1.05=8.05（小时）预测加工10个零件需要8.05小时．…（12分）【点评】本题考查回归直线方程的求法，散点图的画法，考查计算能力．。
浙江省台州市高二上学期期中联考数学试题(解析版)
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线 的倾斜角为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出直线的斜率后可求直线的倾斜角.
【详解】直线 的斜率为 ，故其倾斜角 满足 ，
【详解】由题可知圆心 ，半径 ，
则点 到圆心 的距离 ，
切线长 ，可看作 到定点 的距离，
由 ，则点 在圆 内.
则 的最小值即为 到直线 的距离，
如图，过 作直线 垂直于 ，垂足为 ，与 轴的交点即为点 .
，则直线 ： ，即
令 ，得 ,即
所以当点 与 重合时， 最小值.
故选：C.
非选择题部分（共110分）
7.若 为直线 的倾斜角，则过两点 、 的直线的斜率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出 的值，利用直线的斜率公式结合弦化切可求得结果.
【详解】由题意可得 ，所以， .
故选：B.
8.棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，AA1的中点，过E，F，C1三点的平面截正方体所得的截面的面积为（）
【详解】解：设圆台的上下底面的半径分别为r，R，
则 ，所以 ，
，所以 ，
作出圆台的轴截面，设圆台的高为h，根据题意圆台的母线长为3，
所以 ，
即该圆台的高为 .
故选：A.
5.在空间中，已知直线 ，两个不同的平面 ， ，一定能推出“ ”的条件是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
浙江省台州中学高二上学期期中考试(数学文).doc
浙江省台州中学高二上学期期中考试（数学文）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 算法的三种基本结构是 ( )A. 顺序结构、模块结构、条件结构B. 顺序结构、循环结构、模块结构C. 顺序结构、条件结构、循环结构D. 模块结构、条件结构、循环结构 2. 下列说法中,正确的是 （ ） A ．数据4、6、6、7、9、4的众数是4 B ．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C ．数据3,5,7,9的标准差是数据6、10、14、18的标准差的一半D ．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数 3.如图是中秋节晚会举办的挑战主持人大赛上， 七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个 最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差 分别为（ ） A. 84，4.84B. 84，1.6C. 85，1.6D. 85，44.椭圆1422=+y x 的离心率为（ ）.A 23.B 43C 22 .D 325.右边的程序框图（如图所示）,能判断任意输入数x 的奇偶性,其中判断框内的条件是( ) A. x=0 B. x=1 C. m=1 D. m=06.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、1180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（ ）A ．分层抽样法，系统抽样法B ．分层抽样法，简单随机抽样法C ．简单随机抽样法，分层抽样法D ．系统抽样法，分层抽样法7.某战士在打靶中，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是（ ）7第5题A 、两次都不中B 、至多有一次中靶C 、两次都中靶D 、只有一次中靶 8.读程序甲：INPUT i=1 乙：INPUT I=1000 S=0 S=0 WHILE i≤1000 DO S=S+i S=S+i i=i+l I=i 一1 WEND Loop UNTIL i<1 PRINT S PRINT SEND END对甲乙两程序和输出结果判断正确的是（ ）A ．程序不同结果不同B ．程序不同，结果相同C ．程序相同结果不同D ．程序相同，结果相同 9．设集合A ＝｛x |11+-x x ＜0}，B ＝｛x || x －1|＜a }，则“a ＝1”是“A ∩B ≠”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件10. 用秦九韶算法递推公式⎩⎨⎧+==--k n k kna x v v a v 10求多项式8.07.16.25.325)(2345-+-++=x x x x x x f ，当5=x 的函数值时，=2v （ ） A ．27 B ．138.5 C ．689.9 D ． 17255.2 二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分. 11. 若将十进制数30化为)2(a ,则=a ___▲ ___.12、一田径队中有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样方法从全队中抽出一个容量为28的样本，其中男运动员应抽取 ▲ 人.13．先后抛掷质地均匀的硬币三次,则至少一次正面朝上的概率是______▲ ________. 14．命题“任意满足12>x 的实数x ，都有1>x ”的否定是 ▲ .15.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)1P 、(2P ，则椭圆的标准方程为_______▲_______.16.我市某机构调查小学生课业负担的情况，设平均每人每天做作业时间X （单位：分钟），按时间分下列0.03 1000.0059080706050组距频率四种情况统计：0～30分钟；②30～60分钟；③60～90分钟；④90分钟以上，有1000名小学生参加了此项调查，右图是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是600，则平均每天做作业时间在0～60分钟内的学生的频率是_______▲_________.17. 设{}n F 是斐波那契数列， 则2121,1--+===n n n F F F F F ，右图是输出斐波那契数列的一个算法流程图，现要表示输出斐波那契数列的前那么在流程图中的判断框内应填写的条件是▲ .三、解答题：本大题共5小题，共49分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本小题9分)某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段[)60,50，[)70,60…[]100,90后画出如下部分．．频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求成绩在[)70,80之间的学生人数（2）求出物理成绩低于50分的学生人数；（3）估计这次考试物理学科及格率（60分及以上为及格）19．(本小题满分10分)已知0>c 且1≠c ，设p ：指数函数xc y )12(-=在实数集R 上为减函数，q ：不开始等式1)2(2>-+c x x 的解集为R ．若命题p 或q 是真命题, p 且q 是假命题,求c 的取值范围．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆy bxa =+； (2)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?（用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ˆˆˆ,ni i i ni i x y nx y bay bx x nx ==-==--åå.） 注：11221ni ii i n n i x yx y x y x y x y ==++++∑，22222121ni i n i x x x x x ==++++∑.21．（本小题满分10分）P （b a ，）是平面上的一个点，设事件A表示“2<-b a ”,其中b a 、为实常数．（1）若b a 、均为从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数(b a 、可相等)，求事件A 发生的概率； （2）若b a 、均为从区间[0，5）任取的一个数，求事件A 发生的概率．22、（本小题满分10分）在直角坐标系0x y 中，点P 到两点(10,F 、(2F 的距离之和等于4，设点P 的轨迹为曲线C ，直线1y kx =+与曲线C 交于A 、B 两点.（1）求出C 的方程；（2）若k =1，求AOB ∆的面积；（3）若OA OB ⊥，求实数k 的值。
2017—2018年度高二年级第一学期期中考试数学试卷
准考证号： 姓名： 班级：2017—2018年度高二年级第一学期期中考试数学试卷（100分）一、单项选择题 （每题3分，共30分）1.已知点A （0,x ），B （3,2-），且AB =5，则=x ( ) A.2- B.6 C.61或- D.26或-2.点A （4,3-），B （4,2）的对称中心的坐标是( )A.)4,21(B.)4,21(-C.)0,21(-D.)0,25(-3.已知直线l 经过点)0,2(-A 与点)3,5(-B ，则该直线的倾斜角是( ) A. 150 B. 135 C. 75 D. 454.下列哪对直线互相平行( )A.2:1-=y l 5:2=x lB. 12:1+=x y l 52:2-=x y lC. 1:1+=x y l 5:2--=x y lD. 13:1+=x y l 53:2--=x y l 5.若原点到直线08=++y ax 的距离为6，则a 的值是( ) A.37 B. 33± C. 37± D. 336.过点)1,0(，且一法向量为)3,2(的直线方程为( ) A.0332=-+y x B. 0332=++y x C. 0323=++y x D. 0323=-+y x7.方程064222=--++y x y x 表示的图形是( )A.以)2,1(-为圆心，11为半径的圆B.以)2,1(为圆心，11为半径的圆C.以)2,1(--为圆心，11为半径的圆D.以)2,1(-为圆心，11为半径的圆 8.直线01343:=++y x l 与圆9)1()1(22=-+-y x 的位置关系是( ) A. 相交 B.相离 C.相切 D.无法确定 9.过点)2,1(P 且与圆522=+y x 相切的直线方程是( ) A.052=++y x B.052=-+y x C.02=-y x D.052=-+y x 10.两直线01=+-y x 和05=-+y x 的交点坐标为( )A.)3,2(B.)3,2(-C. )3,2(-D. )3,2(--二.填空题(每题4分，共32分) 1.已知),5,1(),1,2(--B A 则AB =2.过点)2,4(),1,1(),0,0(N M O 的圆的方程是3.直线a x =与圆03222=--+x y x 相切，则=a4.与直线04=+-y x 平行，且截距为2-的直线的方程为5.x 轴上到直线01=+-y x 的距离为2的点的坐标是6.过点)1,0(和)3,0(且半径为1的圆的方程为7.圆066222=++++y x y x 的圆心坐标为8.直线05=++C y x 与圆2522=+y x 相切，则C =三．解答题（前五小题各6分，最后一题8分，共38分） 1.求过点)3,4(-且与直线035=-+y x 垂直的直线方程。
2017-2018学年浙江省台州市高二上学期期末数学试题(解析版)
绝密★启用前浙江省台州市2017-2018学年高二上学期期末考卷考试范围：立体几何、解析几何、充要条件.考试时间：120分钟【名师解读】本卷难度中等，全卷梯度设置合理．命题内容符合考试说明命题要求，全卷覆盖面广，涵盖了高中数学的立体几何、解析几何、充要条件等内容，无偏难怪出现，命题所占比例基本符合教章所占比例，重点内容重点考查.全卷仿高考试卷命制，突出基础知识、基本运算能力及推理论证能力的考查，选题贴近高考. 一、单选题1．直线10x y ++=的倾斜角为 （ ） A. 30 B. 45 C. 120 D. 1352．已知圆锥底面半径为1，母线长为2，则圆锥的侧面积为（ ） A. 4π B. 3π C. 2π D. π3．抛物线2y x =的准线方程为（ ）A. 12x =B. 14x =C. 12x =-D. 14x =- 4．4．圆心为()1,0，半径长为1的圆的方程为（ ）A. 2220x x y -+=B. 2220x x y ++=C. 2220x y y ++=D. 2220x y y +-=5．已知球O 的表面积为16π，则球O 的体积为（ ）A. 43πB. 83π C.163π D. 323π 6．已知直线l ， m ，平面α，若m α⊂，则“l m ⊥”是“l α⊥”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7．已知方程()()()()221313m x m y m m -+-=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围为（ ）A. ()1,2B. ()2,3C. (),1-∞D. ()3,+∞8．如图，二面角l αβ--的大小为θ， A ， B 为棱l 上相异的两点，射线AC ， BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱l ．若线段AC ， AB 和BD 的长分别为m ， d 和n ，则CD 的长为（ ）9．已知1F ， 2F 是双曲线2222:1x yC a b-=的左，右焦点，点P 在双曲线上，且12PF PF λ=，则下列结论正确的是（ ） A. 若1=7λ，则双曲线离心率的取值范围为10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B. 若1=7λ，则双曲线离心率的取值范围为101,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 若=7λ，则双曲线离心率的取值范围为41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 若=7λ，则双曲线离心率的取值范围为4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．若正方体1111ABCD A B C D -表面上的动点P 满足()2113CA PA PC PC ⋅+=，则动点P 的轨迹为（ ） A. 三段圆弧 B. 三条线段C. 椭圆的一部分和两段圆弧D. 双曲线的一部分和两条线段 二、填空题11．在空间直角坐标系中，点A 的坐标为()1,2,3，点B 的坐标为()0,1,2，则，两点间的距离为____．12．已知直线1l : 10x ay ++=与2l : 10x y -+=垂直，则a =____．13．已知圆C 以坐标原点为圆心，且与直线20x y -+=相切，则圆C 的方程为______；圆C 与圆()2221x y -+=的位置关系是_____．14．某几何体的三视图如图所示，若俯视图是边长为2的等边三角形，则这个几何体的体积等于____；表面积等于_____．15．已知1F ， 2F 为椭圆C ： 2221(1)xy a a+=>的左右焦点，若椭圆C 上存在点P ，且点P 在以线段12F F 为直径的圆内，则a 的取值范围为________．16．已知矩形ABCD 中， 2AB =， 4AD =， E ， F 分别在线段AD ， BC 上，且1AE =， 3BF =．如图所示，沿EF 将四边形AEFB 翻折成A EFB ''，则在翻折过程中，二面角B CD E '--的正切值．．．的最大值为 _______．三、解答题17．已知直线l 过点()2,1，且在y 轴上的截距为1-． （I ）求直线l 的方程；（II ）求直线l 被圆22:5C x y +=所截得的弦长．18．如图，在三棱锥P ABC -中，已知PA ⊥平面ABC ， BC AC ⊥， 2PA =， 1AC =， BC =．（I ）求证： BC ⊥平面PAC ；（II ）求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值．19．已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>经过点(，且离心率为12．（I ）求椭圆C 的方程；（II ）若一组斜率为2的平行线，当它们与椭圆C 相交时，证明：这组平行线被椭圆C 截得的线段的中点在同一条直线上．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=， 2PA AD ==， 1AB BC ==，点M ， E 分别是PA ， PD 的中点．（I ）求证： CE //平面PAB ；（Ⅱ）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DM 所成角最小时，求线段BQ 的长．21．已知直线l ： (0)y kx m m =+>与抛物线24x y =交于()11,A x y ， ()22,B x y 两点，记抛物线在A ， B 两点处的切线1l ， 2l 的交点为P ．（I ）求证: 124x x m =-；（II ）求点P 的坐标(用k ， m 表示)；（Ⅲ）若222m k mk +=，求△ABP 的面积的最小值．1．D 【解析】直线10x y ++=化为1y x =--，斜率1,k =-设直线的倾斜角为α，则tan 1α=-，结合[)0,απ∈，可得135α=，故选D.2．C 【解析】因为圆锥的母线长为2，底面半径1r =，则由圆锥的侧面积公式得122S rl πππ==⨯⨯=，故选C.5．D【解析】因为球O 的表面积是16π，所以球O 的半径为2，所以球O 的体积为3432233ππ⨯=，故选D. 6．B 【解析】由于线面垂直的判定定理成立的条件是直线与平面内的两条相交直线垂直，所以“l m ⊥”不能推出“l α⊥”，若“l α⊥”，由线面垂直的定义可得“l m ⊥”，所以“l m ⊥”是“l α⊥”的必要不充分条件，故选B.【方法点睛】本题线面垂直的判断主要考查充分条件与必要条件，属于中档题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.7．B 【解析】方程()()()()221313m x m y m m -+-=--，化为22131x y m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，可得130m m ->->，解得23m <<，实数m 的取值范围为(2,3），故选B. 8．A 【解析】,,AC l BD l AC ⊥⊥∴与BD 夹角的大小就是二面角θ，可得0,AC AB ⋅= 0,BD AB ⋅=()22cos ,AC BD mn CD CA AB BD θ⋅=∴=++ 222CA AB BD =++2222222CA AB BD AB CA BD m n d AC BD +⋅+⋅+⋅=++-⋅ 2222cos m n d mn θ=++-，故选A.9．C 【解析】若212111,7,627PF PF PF PF PF a λ==-==， 13a PF c a =≥-，得413c e a <=≤，若121227,7,62PF PF PF PF PF a λ==-==， 24,1,733a c PF c a e a λ=≥-<=≤∴=时，双曲线离心率范围41,3⎛⎤⎥⎝⎦，故选C. 【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的不等式，从而求出e 的值. 本题是利用焦半径的范围构造出关于e 的不等式，最后解出e 的范围.【方法点睛】本题主要考查空间想象能力、空间向量在立体几何中的应用及数学的转化与划归思想，属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题中，通过建立空间直角坐标系，将问题转化为轨迹方程求解，是解题的关键.11()()1,2,3,0,2,,A B A B ∴两点间的距离为AB ==12．1【解析】直线1l : 10x ay ++=与直线2l : 10x y -+=， ∴直线2:1l y x =+， 21,k ∴=∴直线1l :10x ay ++=的斜率存在， 0a ∴≠，且11,k a =-直线1l : 10x ay ++=与直线2l : 10x y -+=垂直，12111k k a ⎛⎫∴⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭，解得1a =，故答案为1.【方法点睛】本题主要考查直线的方程，两条直线垂直与斜率的关系，属于简单题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）1212||l l k k ⇔= ；（2）12121l l k k ⊥⇔⋅=-，这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.14．， 8+由三视图可知，该几何体是如图所示的四棱锥P ABCD -图中长方体中P 为棱的中点， 2,2,BC CD P ==到BC ∴四棱锥体积为143V =⨯=21111222222282222S =+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，故答案为 (2)8+15．)+∞【解析】设1212,,PF m PF n F PF θ==∠=，由余弦定理可得， 22242cos c m n mn θ=+-，由椭圆的定义可得， 22242a m n mn =++，两式相减可得， 241cos 2b mn θ+=，由2a m n =+≥，得2222,cos 1b mn a aθ≤≥-，当且仅当m n =时， cos θ有最小值，即m n =时， θ最大，即P 在()0,1处时，12F PF θ∠=最大，要使椭圆C 存在点P 在以线段12F F 为直径的圆内，则12F PF ∠的最大值大于90，可得1b a a =≤a >a 的取值范围为)+∞，故答案为)+∞.17．(Ⅰ) 10x y --= (Ⅱ) 【解析】试题分析：(Ⅰ)因为直线l 过点()2,1，且在y 轴上的截距为1-，所以直接写出直线的两点式方程，再化为一般式即可；(Ⅱ)由圆的半径、点到直线距离公式以及勾股定理可得结果.学*科网 试题解析：(Ⅰ) 由题意可得直线l 的斜率为11102--=-，所以直线l 的方程为1y x =-，即10x y --= ．(Ⅱ) 因为圆心()0,0到l 的距离d =2=， 所以弦长为=18．(Ⅰ)见解析(Ⅱ)4【解析】试题分析：(Ⅰ)由线面垂直的性质可得PA BC ⊥，结合已知BC AC ⊥，根据线面垂直的判定定理可得结论；(Ⅱ) 由(I)可得CPB ∠即为直线PB 与平面PAC 所成的角，在直角三角形CPB 中，可得sin CB CPB PB ∠===试题解析：(Ⅰ) 证明：因为PA ⊥平面ABC ， BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥，又因为BC AC ⊥，PA AC A ⋂=，所以BC ⊥平面PAC ．(Ⅱ) 解：由(I)可得CPB ∠即为直线PB 与平面PAC 所成的角，由已知得PC = PB =角三角形PCB 中， sin CB CPB PB ∠===，即直线PB 与平面PAC ． 【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理及线面角的求法，属于中档题. 解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论()||,a b a b αα⊥⇒⊥；（3）利用面面平行的性质(),||a a ααββ⊥⇒⊥；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.19．(Ⅰ) 22143x y += (Ⅱ)见解析试题解析：(Ⅰ)由已知可得b =12c a =， 又222a b c =+，可得2a =， 1c =， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=． (Ⅱ) 证明：设直线与椭圆的两个交点坐标分别为()11,x y ， ()22,x y ，它们的中点坐标为()00,x y ．由221122221,43{ 1,43x y x y +=+=两式相减可得()()()()21212121043x x x x y y y y -+-++=， ()()()()21212121043x x y y y y x x +-++=⨯-，由已知21212y y x x -=-，所以00380x y +=，故直线被椭圆C 截得的线段的中点都在直线380x y +=上.20．(Ⅰ)见解析(Ⅱ) BQ =试题解析：(Ⅰ) 证明：连接BM ， ME ，因为点M ， E 分别是PA ， PD 的中点，所以12ME AD =， ME // AD ，所以BC // ME ， BC ME =，所以四边形BCEM 为平行四边形，所以CE // BM .又因为BM ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，所以CE //平面PAB ．(Ⅱ) 解：如图，以A 为坐标原点建立空间坐标系O xyz -，则()1,0,0B ，()1,1,0C ， ()0,2,0D ， ()0,0,2P ， ()0,0,1M ． 所以()1,0,2BP =-， ()0,2,1DM =-，设(),0,2BQ BP λλλ==-， 01λ≤≤，又(),1,2CQ CB BQ λλ=+=--，所以21cos ,CQ DM λ+=.设1t λ+=， 则1t λ+=，[]1,2t ∈，所以2224cos ,55106tCQ DM tt =⋅-+， 2241cos ,61055CQ DM t t=⋅-+，当且仅当156t =，即15λ=时， cos ,CQ DM 取得最大值，即直线CQ 与DM 所成角取得最小值，此时15BQ BP ==【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、向量法求异面直线所成的角，属于难题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.21．(Ⅰ)见解析 (Ⅱ) ()2,k m -（III）28+()22212m k m k km ⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭，化简后利用基本不等式可得结果.试题解析：(Ⅰ) 解：由2,{4,y kx m x y =+= 可得2440x kx m --=，所以124x x k +=， 124x x m =-．(Ⅱ) 证明：由已知2114x y =，所以可设AP l ： ()21114xy k x x =-+，由()21112,{ 44,x y k x x x y =-+= 联立可得221111440x k x k x x -+-=，由()()2211114440k k x x∆=---=，所以112x k =． 所以AP l ： 21124x x x y =-，同理可得BP l ： 22224x x x y =-． 由21122224{24x x x y x x x y =-=-，，解得1222P x x x k +==， 124P x x y m ==-， 所以点P 的坐标为()2,k m -．。
浙江省台州市高二上学期期中数学试卷(理科)
浙江省台州市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·濮阳期末) 设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为；命题q：函数y=cosx 的图象关于直线x= 对称．则下列判断正确的是（）A . p为真B . ￢q为假C . p∧q为假D . p∨q为真2. （2分） (2019高三上·汉中月考) 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟，均为正整数）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，则它的极差不可能为（）A . 8B . 4C . 2D . 13. （2分）已知，，是空间的一个基底，设=+，=﹣，则下列向量中可以与，一起构成空间的另一个基底的是（）A .B .C .D . 以上都不对4. （2分） (2017高一下·定西期中) 从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（）A . 5，10，15，20，25B . 3，13，23，33，43C . 1，2，3，4，5D . 2，4，8，16，325. （2分）(2017·崇明模拟) 如图，已知椭圆C的中心为原点O，F（﹣2 ，0）为C的左焦点，P为C 上一点，满足|OP|=|OF|且|PF|=4，则椭圆C的方程为（）A . =1B . =1C . =1D . =16. （2分） (2020高二上·吴起期末) 是成立的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 不充分也不必要条件7. （2分）关于曲线C：x4+y2=1，给出下列四个命题：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y=x对称③曲线C围成的面积大于π④曲线C围成的面积小于π上述命题中，真命题的序号为（）A . ①②③B . ①②④C . ①④D . ①③8. （2分） (2017高二下·岳阳期中) 在△ABC中，已知D是BC延长线上一点，若 =2 ，点E为线段AD的中点，=λ + ，则λ=（）A .B .C .D .9. （2分）在半径为10cm的球面上有A，B，C三点，如果AB=8，∠ACB=60°，则球心O到平面ABC的距离为（）A . 2cmB . 4cmC . 6cmD . 8cm10. （2分）椭圆的弦被点平分，则此弦所在的直线方程是（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·广东模拟) 已知正三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O满足 =0，则二面角A﹣PB﹣C的正弦值为（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高二上·大连期中) 过点M（﹣2，0）的直线m与椭圆 +y2=1交于P1、P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1（k≠0），直线OP的斜率为k2 ，则k1k2的值为（）A . 2B . ﹣2C .D . ﹣二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·泰州期中) 抛物线x2=4y的焦点坐标为________．14. （1分） (2017高三上·安庆期末) 如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC；⑤平面PBC⊥平面PAC．其中正确命题的序号是________．15. （1分） (2016高二上·如东期中) 椭圆的离心率的值为________．16. （1分）面面垂直的性质定理符号表示________．三、解答题 (共6题；共61分)17. （1分） (2016高一上·历城期中) 对于函数f（x）定义域中任意的x1 ， x2（x1≠x2），有如下结论：（1）f（x1+x2）=f（x1）f（x2）（2）f（x1x2）=f（x1）+f（x2）（3）当f（x）=ex时，上述结论中正确结论的序号是________．18. （15分） (2016高二上·孝感期中) 某制造厂商10月份生产了一批乒乓球，从中随机抽取n个进行检查，测得每个球的直径（单位：mm），将数据进行分组，得到如表频率分布表：分组频数频率[39.95，39.97）6P1[39.97，39.99）120.20[39.99，40.01）a0.50[40.01，40.03）b P2合计n 1.00（1）求a、b、n及P1、P2的值，并画出频率分布直方图（结果保留两位小数）；（2）已知标准乒乓球的直径为40.00mm，直径误差不超过0.01mm的为五星乒乓球，若这批乒乓球共有10000个，试估计其中五星乒乓球的数目；（3）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[39.99，40.01）的中点值是40.00）作为代表，估计这批乒乓球直径的平均值和中位数．19. （10分） (2016高三上·平湖期中) 如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AD=DC=3，DD1=4，E是A1A 的中点．（1）求证：A1C∥平面BED；（2）求二面角E﹣BD﹣A的正切值．20. （10分） (2017高二上·南通期中) 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 + =1（a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1有相同的焦点F1 ， F2 ，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，且与椭圆在第一象限的交点为M，若|MF1|+|MF2|=2 ．（1）求椭圆的方程；（2）若|MF|= ，求抛物线的方程．21. （15分） (2018高二上·南宁月考) 如图，四边形是矩形，沿对角线将折起，使得点在平面上的射影恰好落在边AB上．（1）求证：平面平面；（2）（理科做）当时，求二面角的余弦值．（3）（文科做）当AB=2,AD=1时，求点B到平面ADC的距离.22. （10分）中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆相切．（1）求双曲线的离心率；（2）是渐近线上一点，是双曲线的左，右焦点，若，求双曲线的方程．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共61分) 17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。
2018-2019学年浙江省台州一中、天台中学高三(上)期中数学试卷及答案
2018-2019学年高三（上）期中数学试卷一、选择题1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，B＝{3，4}，则∁U（A∪B）＝（）A．{1，2，4，5} B．{1，2，5} C．{2，4，5} D．{2，5}2．双曲线y2＝1的渐近线方程是（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±3x D．y＝±x3．复数z＝（i是虚数单位）在复平面上所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．已知平面α，直线l，m，n满足l⊄α，m⊂α，n⊂α，则l⊥m，l⊥n是l⊥α的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．在同一直角坐标系中，函数y＝ax2﹣x+a与y＝a2x3﹣2ax2+x+2a（a∈R）的图象不可能的是（）A．B．C．D．6．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取i （i＝1，2）个球放入甲盒中（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i＝1，2）：（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i，（i＝1，2），则（）A．P1＞P2，E（ξ1）＜E（ξ2）B．P1＜P2，E（ξ1）＞E（ξ2）C．P1＞P2，E（ξ1）＞E（ξ2）D．P1＜P2，E（ξ1）＜E（ξ2）7．已知，是两个不共线的单位向量，则的最小值为（）A．B．1 C．2 D．48．设F是椭圆＝1的左焦点，A是该椭圆上位于第一象限的一点．过A作圆x2+y2＝3的切线，切点为P，则|AF|﹣|AP|＝（）A．1 B．C．2 D．49．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，M分别为线段BD1，BB1上的动点，N为B1C的中点，则△PMN的周长的最小值为（）A．B．C．D．10．已知f（x）＝a cos x﹣4cos3x，若对任意的x∈R，都有|f（x）|≤1，则a＝（）A．1 B．3 C．4 D．8二、填空题（本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每题4分，共36分）11．已知f（x）＝ax3﹣a+2，则f（1）＝；若f（ln（log32）＝1，则f（ln（log23））＝12．如图是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为，该三棱锥的外接球的表面积为．13．已知等差数列{a n}满足a1＞0，且a1+a2+……+a2018＝0，则a3+a2016＝；该数列的前n项和S n取得最大值时，n＝14．已知二项式（36，则展开式中常数项为；系数最大的项为15．将1，2，3，4，5，6排成一行，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的排法种数是（用数字作答）16．已知在圆O中，所对的圆心角∠AOB＝108°，点C为圆O上的动点，以AO，AC为边构造半行四边形AODC，当∠A＝时，线段BD最长．17．已知实数x，y满足x2﹣y2﹣x+3y﹣2＝0，则x2+y2的最小值为三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．设函数f（x）＝cos x（sin x+cos x）（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）若△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c且f（A）＝，a＝，c＝3，求△ABC的面积19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，Q为棱PD上的点，PA ＝AB＝2，∠ABC＝60°（1）若Q为PD的中点，求证：PB∥平面AQC；（2）若（0＜λ＜1），使得二面角A﹣QC﹣D的余弦值为，求λ的值20．已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a1＝2，a4+2是a2和a5的等差中项．数列{b n}满是b1＝1，2（b1+b2+……+b n）＝nb n+1（n∈N*）．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求证：．21．如图，已知直线PA，PB与抛物线x2＝4y分别相切于点A，B．（1）若点P在直线y＝﹣1上，求证：直线AB过定点（2）若点P是半椭圆＝1（y＜0）上的动点，求△PAB面积的取值范围22．已知函数f（x）＝4x﹣x2﹣lnx．（1）若f（x）在x＝x1，x＝x2（x1≠x2）处导数相等证明：f（x1）+f（x2）≤5+ln2 （2）若对任意k∈R，直线y＝kx+m与曲线y＝f（x）有唯一公共点，求实数m的取值范围参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，B＝{3，4}，则∁U（A∪B）＝（）A．{1，2，4，5} B．{1，2，5} C．{2，4，5} D．{2，5}解：∵A∪B＝{1，3，4}，∴∁U（A∪B）＝{2，5}．故选：D．2．双曲线y2＝1的渐近线方程是（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±3x D．y＝±x解：∵双曲线方程为，∴a＝，b＝1∴渐近线方程为y＝±即y＝故选：B．3．复数z＝（i是虚数单位）在复平面上所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：复数＝＝＝；复数z＝（i是虚数单位）在复平面上所对应的点位于第一象限．故选：A．4．已知平面α，直线l，m，n满足l⊄α，m⊂α，n⊂α，则l⊥m，l⊥n是l⊥α的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：因为l⊥m，l⊥n但m与n不一定相交，所以推不出l⊥α；根据线面垂直的定义知，l⊥α一定有l⊥m，l⊥n，所以l⊥m，l⊥n是l⊥α的必要不充分条件．故选：B．5．在同一直角坐标系中，函数y＝ax2﹣x+a与y＝a2x3﹣2ax2+x+2a（a∈R）的图象不可能的是（）A．B．C．D．解：当a＝0时，两个函数分别为y＝﹣x和y＝x，此时对应选项D，当a＞0时，y＝ax2﹣x+a过（0，a）点，对称轴为x＝﹣＝，又y＝a2x3﹣2ax2+x+2a的导数y′＝3a2x2﹣4ax+1＝（ax﹣1）（3ax﹣1），由f′（x）＝0得x＝或，若A选项，则a＞0，＞0，三次函数f（x）在x＝，取得极大值，在x＝，取得极小值，满足条件；B．a＞0，＞0，三次函数f（x）在x＝，取得极大值，在x＝，取得极小值，满足条件；C，a＜0，应该＜＜＜0，而从图象上观察，是＜＜＜0，则此函数图象错误，故选：C．6．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取i （i＝1，2）个球放入甲盒中（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i＝1，2）：（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i，（i＝1，2），则（）A．P1＞P2，E（ξ1）＜E（ξ2）B．P1＜P2，E（ξ1）＞E（ξ2）C．P1＞P2，E（ξ1）＞E（ξ2）D．P1＜P2，E（ξ1）＜E（ξ2）解：从乙盒中取1个球时，取出的红球个数记为ξ，则ξ的所有可能取值为0，1，则P（ξ＝0）＝＝P（ξ1＝1），P（ξ＝1）＝＝P（ξ1＝2），∴E（ξ1＝1）＝1•P（1＝1）+2•P（ξ1＝2）＝+1，∴P1＝＝，从乙盒中取2个球时，取出的红球数记为η，则η的可能取值为0，1，2，P（η＝0）＝＝P（ξ2＝1），P（η＝1）＝＝P（ξ2＝2），P（η＝2）＝＝P（ξ2＝3），E（ξ2）＝1•P（ξ2＝1）+2•P（ξ2＝2）3•P（ξ2＝3）＝+1，∴P2＝＝，∴P1＞P2，E（ξ1）＜E（ξ2）．故选：A．7．已知，是两个不共线的单位向量，则的最小值为（）A．B．1 C．2 D．4解：∵是不共线的单位向量，且设的夹角为θ，∴＝＝，∵时，sin2θ取最大值1，取最小值1，∴的最小值为1．故选：B．8．设F是椭圆＝1的左焦点，A是该椭圆上位于第一象限的一点．过A作圆x2+y2＝3的切线，切点为P，则|AF|﹣|AP|＝（）A．1 B．C．2 D．4解：F是椭圆＝1的左焦点，A是该椭圆上位于第一象限的一点．过A作圆x2+y2＝3的切线，切点为P，当A逐渐向y轴靠近时，AP越来越近，此时AF与AP值越来越近，当A在y轴时，AP＝0，AF＝FP＝a＝2．则|AF|﹣|AP|＝2．故选：C．9．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，M分别为线段BD1，BB1上的动点，N为B1C的中点，则△PMN的周长的最小值为（）A．B．C．D．解：如图1，连接BC1，则N为BC1的中点，将三棱锥B﹣B1C1D1沿BC1展开成平面图形，如图2，|NN'|即为三角形PMN周长的最小值，其中BN＝BN'＝，∠C1BC1'＝135°，所以△PMN的周长的最小值为：l＝|NN'|＝＝，故选：B．10．已知f（x）＝a cos x﹣4cos3x，若对任意的x∈R，都有|f（x）|≤1，则a＝（）A．1 B．3 C．4 D．8解：依题意，令cos x＝t，t∈[﹣1，1]，f（x）＝g（t）＝at﹣4t3在t∈[﹣1，1]时满足|g（t）|≤1成立，又g（t）[﹣1，1]上的奇函数，g（0）＝0，所以当t∈（0，1]时，g（t）∈[﹣1，1]，所以﹣1≤at﹣4t3≤1，即≤a≤，又y＝4在（0，1]上的最大值为3，y＝4t2+在（0，1]上的最小值为3，故a＝3．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每题4分，共36分）11．已知f（x）＝ax3﹣a+2，则f（1）＝ 2 ；若f（ln（log32）＝1，则f（ln（log23））＝ 3解：根据题意，f（x）＝ax3﹣a+2，则f（1）＝a﹣a+2＝2；又由f（﹣x）＝﹣（ax3﹣a）+2，则f（﹣x）+f（x）＝4，若f（ln（log32）＝1，而f（ln（log23））＝f（（﹣ln（log32）），则f（ln（log32）+f（ln（log23））＝4，故f（ln（log23））＝3；故答案为：2，3．12．如图是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为，该三棱锥的外接球的表面积为6π．解：几何体的直观图如图，是长方体的一部分，三棱锥A﹣BCD；长方体的三度为1，1，2，所以几何体的体积为：1×1×2﹣＝；外接球的直径为：＝，所以外接球的半径为：．外接球的表面积为：4＝6π．故答案为：；6π．13．已知等差数列{a n}满足a1＞0，且a1+a2+……+a2018＝0，则a3+a2016＝0 ；该数列的前n 项和S n取得最大值时，n＝1009解：等差数列{a n}满足a1＞0，且a1+a2+…+a2018＝0，∴公差d＜0，由等差数列的性质得，a1+a2018＝a2+a2017＝a3+a2016＝…＝a1009+a1010＝0则a3+a2016＝0；等差数列的前n项和是＝+，由于a1＞0，公差d＜0，S n是关于n的二次函数，开口向下，S2018＝0，故n＝1009时，S n取得最大值．故该数列的前n项和S n取得最大值时，n＝1009；故答案为：0，1009．14．已知二项式（36，则展开式中常数项为1215 ；系数最大的项为1458x 解：∵，∴T r+1＝＝．由＝0，得r＝2，∴二项式（36，则展开式中常数项为：＝1215，当r＝1时，得到系数最大的项为＝1458．故答案为：1215，1458．15．将1，2，3，4，5，6排成一行，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的排法种数是40 （用数字作答）解：根据题意，分2种情况讨论：①，若个位数是偶数，当2在个位时，则1在十位，共有A22A22＝4个符合条件的六位数，当2不在个位时，共有A12•A12•A22•A22＝16个符合条件的六位数，则当个位是偶数，有4+16＝20个六位数；②，若个位数是奇数，同理可得20个满足条件的六位数，故符合条件六位数的个数是40；故答案为：40．16．已知在圆O中，所对的圆心角∠AOB＝108°，点C为圆O上的动点，以AO，AC为边构造半行四边形AODC，当∠A＝27°时，线段BD最长．解：如图，连接OC，延长AO交⊙O于F，连接DF．∵四边形ACDO是平行四边形，∴∠DOF＝∠A，DO＝AC，∵OF＝AO，∴△DOF≌△CAO，∴DF＝OC，∴点D的运动轨迹是F为圆心OC为半径的圆，∴当点D在BF的延长线上时，BD的值最大，∵∠AOB＝108°，∴∠FOB＝72°，∵OF＝OB，∴∠OFB＝54°，∵FD＝FO，∴∠FOD＝∠FDO＝27°，∴∠A＝∠FOD＝27°，故答案为：27°．17．已知实数x，y满足x2﹣y2﹣x+3y﹣2＝0，则x2+y2的最小值为解：由x2﹣y2﹣x+3y﹣2＝0，得，即x﹣y+1＝0或x+y﹣2＝0．则x2+y2的最小值为原点O到直线x﹣y+1＝0的距离的平方，等于．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．设函数f（x）＝cos x（sin x+cos x）（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）若△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c且f（A）＝，a＝，c＝3，求△ABC的面积解：（1）∵f（x）＝cos x（sin x+cos x）＝sin2x+cos2x＝sin（2x+），∴函数f（x）的最小正周期T＝＝π，由2kπ+≤2x+≤2kπ+，解得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z．∴函数f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．（2）∵f（A）＝sin（2A+）＝，又A∈（0，π），2A+∈（，），∴可得A＝，又由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得b2﹣3b﹣4＝0，∴b＝4，∴S△ABC＝bc sin A＝3．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，Q为棱PD上的点，PA ＝AB＝2，∠ABC＝60°（1）若Q为PD的中点，求证：PB∥平面AQC；（2）若（0＜λ＜1），使得二面角A﹣QC﹣D的余弦值为，求λ的值解：（1）证明：连结BD，交AC于点O，连结OQ，∵Q是PD中点，∴OQ∥PB，又∵OQ⊂面AQC，PB⊄平面AQC，∴PB∥平面AQC．（2）解：以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），C（0，1，0），D（﹣，0，0），P（0，﹣1，2），∵＝，（0＜λ＜1），∴Q（﹣），＝（0，2，0），＝（﹣，λ，2﹣2λ），＝（0，2，﹣2），＝（﹣），设平面AQC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝2﹣2λ，得＝（2﹣2λ，0，），设平面CQD的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣），∵二面角A﹣QC﹣D的余弦值为，∴|cos＜＞|＝＝＝，整理得3λ2﹣2λ＝0，解得λ＝．20．已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a1＝2，a4+2是a2和a5的等差中项．数列{b n}满是b1＝1，2（b1+b2+……+b n）＝nb n+1（n∈N*）．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求证：．解：（1）各项均为正数的等比数列{a n}的公比设为q（q＞0），满足a1＝2，a4+2是a2和a5的等差中项，可得2（a4+2）＝a2+a5，即2（2q3+2）＝2q+2q4，化为（q﹣2）（q3+1）＝0，解得q＝2，则a n＝2n，数列{b n}满足b1＝1，2（b1+b2+…+b n）＝nb n+1（n∈N*），可得2（b1+b2+…+b n﹣1）＝（n﹣1）b n，n≥2，相减可得nb n+1＝（n+1）b n，n≥2，当n＝1时，2b1＝b2，可得b2＝2，则b n＝b1••…＝1•2•…•＝n；（2）证明：＝n•（）n，设S n＝++…+＝1•+2•+…+n•（）n，S n＝1•+2•+…+n•（）n+1，相减可得S n＝+++…+（）n﹣n•（）n+1＝﹣n•（）n+1，化为S n＝2﹣（n+2）•（）n，则++…+＜2．21．如图，已知直线PA，PB与抛物线x2＝4y分别相切于点A，B．（1）若点P在直线y＝﹣1上，求证：直线AB过定点（2）若点P是半椭圆＝1（y＜0）上的动点，求△PAB面积的取值范围解：（1）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），x2＝4y即y＝，可得y′＝，直线AB的斜率为＝＝，可得直线AB的方程为y﹣＝（x﹣x1），即y＝x﹣，切线PA的方程为y＝x﹣，切线PB的方程为y＝x﹣，两切线交于P，可得，由题意可得y0＝﹣1，则直线AB的方程为y＝x+1，可得直线AB过定点（0，1）；（2）由（1）可得AB：y＝x﹣y0，且，P到直线AB的距离为d＝，|AB|＝•＝•，△PAB面积为S＝d•|AB|＝，令t＝x02﹣4y0，由+＝1，可得t＝﹣y02﹣4y0+4＝﹣（y0+）2+7，y0∈[﹣，0），则t∈（4.7]，可得△PAB的面积的取值范围是（4，]．22．已知函数f（x）＝4x﹣x2﹣lnx．（1）若f（x）在x＝x1，x＝x2（x1≠x2）处导数相等证明：f（x1）+f（x2）≤5+ln2 （2）若对任意k∈R，直线y＝kx+m与曲线y＝f（x）有唯一公共点，求实数m的取值范围解：（1）证明：，令f′（x1）＝f′（x2）＝t，则即方程2x2+（t﹣4）x+1＝0的两根为x1，x2；∴且；∴＝＝；即证．（2）令g（x）＝f（x）﹣（kx+m）＝4x﹣x2﹣lnx﹣（kx+m），则问题等价于g（x）在（0，+∞）上有且只有一个零点，求m的取值范围．∵当x→0时，则g（x）→+∞，当x→+∞时，g（x）→﹣∞；∴g（x）在（0，+∞）内存在零点；下面证明其唯一性：g′（x）＝4﹣2x2﹣﹣k＝；①当k时，g（x）≤0在（0，+∞）恒成立，即g（x）在（0，+∞）单调递减，此时对于m∈R，g（x）在（0，+∞）上有且只有一个零点；②当k时，令g（x）＝0即2x2+（k﹣4）x+1＝0的两根为α，β（0＜α＜β）；∴，；∴，则g（x）在（0，α），（β，+∞）内单调递减，在（α，β）内单调递增；∴g（x）极小值＝g（α）＝α2﹣lnα+1﹣m，；∵g（x）在（0，+∞）上有且只有一个零点只需g（α）min＞0恒成立即可；∴，在（0，）内恒成立，即g（α）在（0，）内单调递减；∴；∴．。
2017-2018学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年高二上学期期中数学试卷一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．103．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=04．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=16．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．2017-2018学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：阅读型．分析：根据空间中直线与平面的位置关系可得答案．解答：解：根据空间中直线与平面的位置关系可得：b可能与平面α相交，也可能b与平面相交α，故选D．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握空间中点、直线以及平面之间的位置关系．2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．10考点：斜率的计算公式．专题：计算题．分析：因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．解答：解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2， m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，∴=﹣2，解得，故选 B．点评：本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用．3．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=0考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：首先讨论斜率不存在的情况，直线方程为x=﹣1满足条件．当斜率存在时，设直线方程为：y﹣5=k （x+1）．利用圆心到直线的距离等于半径解得k的值，从而确定圆的切线方程．解答：解：①斜率不存在时，过点M（﹣1，5）的直线方程为x=﹣1．此时，圆心（1，2）到直线x=﹣1的距离d=2=r．∴x=﹣1是圆的切线方程．②斜率存在时，设直线斜率为k，则直线方程为：y﹣5=k（x+1）．即kx﹣y+k+5=0．∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离．解得，．∴直线方程为5x+12y﹣55=0．∴过点M（﹣1，5）且与圆相切的直线方程为x=﹣1或5x+12y﹣55=0．故选：C．点评：本题考查直线与圆相切的性质，点到直线的距离公式等知识的运用．做题时容易忽略斜率不存在的情况．属于中档题．4．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：充分利用线面平行和线面垂直的性质和判定定理对四个选项逐一解答．A选项用垂直于同一条直线的两个平面平行判断即可；B选项用两个平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；C选项用线面垂直的性质定理判断即可；D选项由线面平行的性质定理判断即可．解答：解：A选项中命题是真命题，m⊥α，m⊥β，可以推出α∥β；B选项中命题是真命题，m∥n，m⊥α可得出n⊥α；C选项中命题是真命题，m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质得到n∥m；D选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．故选D．点评：本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练有关的定理．5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1考点：轨迹方程．专题：直线与圆．分析：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程．解答：解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故选A．点评：本题考查点的轨迹方程，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．6．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，代入圆锥体积公式，可得答案．解答：解：将△ABC绕直线BC旋转一周，得到一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，故所形成的几何体的体积V=×π×42×3=16π，故选：D点评：本题考查的知识点是旋转体，其中分析出旋转得到的几何体形状及底面半径，高等几何量是解答的关键．7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：利用三视图的数据，直接求解三棱柱的表面积．解答：解：因为正三棱柱的三视图，其中正（主）视图是边长为2的正方形，棱柱的侧棱长为2，底面三角形的边长为2，所以表面积为：2×+2×3×2=12+2．故选C．点评：本题考查几何体的三视图的应用，几何体的表面积的求法，考查计算能力．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：抛物线的应用．专题：函数的性质及应用．分析：本题可以设出点C的坐标（a，a2），求出C到直线AB的距离，得出三角形面积表达式，进而得到关于参数a的方程，转化为求解方程根的个数（不必解出这个跟），从而得到点C的个数．解答：解：设C（a，a2），由已知得直线AB的方程为，即：x+y﹣2=0点C到直线AB的距离为：d=，有三角形ABC的面积为2可得：=|a+a2﹣2|=2得：a2+a=0或a2+a﹣4=0，显然方程共有四个根，可知函数y=x2的图象上存在四个点（如上面图中四个点C1，C2，C3，C4）使得△ABC的面积为2（即图中的三角形△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4）．故应选：A点评：本题考查了截距式直线方程，点到直线的距离公式，三角形的面积的求法，就参数的值或范围，考查了数形结合的思想二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为x2+（y﹣1）2=1．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：利用点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程．解答：解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，故答案为：x2+（y﹣1）2=1．点评：本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），属于基础题．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为11cm．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：利用面积之比是相似比的平方，求出截取棱锥的高，然后求出截面与底面的距离．解答：解：设截取棱锥的高为：h，则，∴h=5，所以截面与底面的距离：16﹣5=11cm故答案为：11cm点评：本题是基础题，考查面积之比是选上比的平方，考查计算能力，空间想象能力．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为12π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球O的表面积．解答：解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为：=．所以球O的表面积为4π×3=12π．故答案为：12π．点评：本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力、计算能力．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．考点：平面与平面垂直的性质．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，利用余弦函数，即可求出cosα：cosβ．解答：解：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，∴cosα==，cosβ=，∴cosα：cosβ=，故答案为：．点评：本题考查平面与平面垂直的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=±．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．解答：解：圆心C（2，2），半径r=2，∵△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d==，解得a=±，故答案为：±．点评：本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A、B、C的坐标代入，建立关于D、E、F的方程组，解之即可得到△ABC的外接圆E的方程；（II）化圆E为标准方程，得圆心为E（1，2），半径r=1．设直线l方程为y=kx，由点到直线的距离公式和垂径定理建立关于k的方程，解之得到k=1或7，由此即可得到直线l的方程．解答：解：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0∵A（2，2）、B（1，3）、C（1，1）都在圆E上∴，解之得因此，圆E的方程为x2+y2﹣2x﹣4y+4=0；（II）将圆E化成标准方程，可得（x﹣1）2+（y﹣2）2=1∴圆心为E（1，2），半径r=1设直线l方程为y=kx，则圆心E到直线l的距离为d=∵直线l与圆E相交所得弦的长为，∴由垂径定理，得d2+（）2=r2=1可得d2=，即=，解之得k=1或7∴直线l的方程是y=x或y=7x．点评：本题给出三角形ABC三个顶点，求它的外接圆E的方程，并求截圆所得弦长为的直线方程．着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（I）根据三角形中位线定理，证出DE∥BC，再由线面平行判定定理即可证出DE∥面PBC；（II）连结PD，由等腰三角形“三线合一”，证出PD⊥AB，结合DE⊥AB证出AB⊥平面PDE，由此可得AB ⊥PE；（III）由面面垂直性质定理，证出PD⊥平面ABC，得PD是三棱锥P﹣BEC的高．结合题中数据算出PD=且S△BEC=，利用锥体体积公式求出三棱锥P﹣BEC的体积，即得三棱锥B﹣PEC的体积．解答：解：（I）∵△ABC中，D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC∵DE⊄面PBC且BC⊂面PBC，∴DE∥面PBC；（II）连结PD∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB，又∵PD、DE是平面PDE内的相交直线，∴AB⊥平面PDE∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE；（III）∵PD⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB∴PD⊥平面ABC，可得PD是三棱锥P﹣BEC的高又∵PD=，S△BEC=S△ABC=∴三棱锥B﹣PEC的体积V=V P﹣BEC=S△BEC×PD=点评：本题在三棱锥中求证线面平行、线线垂直，并求锥体的体积．着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）先根据线面垂直的性质证明出BB1⊥A1C1．进而根据菱形的性质证明出A1C1⊥B1D1．最后根据线面垂直的判定定理证明出A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．先证明OC1∥AE和OC1=AE，推断出AOC1E为平行四边形，进而推断AO∥C1E，最后利用线面平行的判定定理证明出AO∥平面BC1D．（Ⅲ）先由E为BD中点，推断出BD⊥C1E，进而根据C1D=C1B，推断出ME⊥BD，进而根据OM⊥BD，推断出BD∥B1D1．直角三角形OC1E中利用射影定理求得OM．解答：解：（Ⅰ）依题意，因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，所以BB1⊥底面A1B1C1D1．又A1C1⊂底面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1．因为A1B1C1D1为菱形，所以A1C1⊥B1D1．而BB1∩B1D1=B1，所以A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．依题意，AA1∥CC1，且AA1=CC1，AA1⊥AC，所以A1ACC1为矩形．所以OC1∥AE．又，，A1C1=AC，所以OC1=AE，所以AOC1E为平行四边形，则AO∥C1E．又AO⊄平面BC1D，C1E⊂平面BC1D，所以AO∥平面BC1D．（Ⅲ）在△BC1D内，满足OM⊥B1D1的点M的轨迹是线段C1E，包括端点．分析如下：连接OE，则BD⊥OE．由于BD∥B1D1，故欲使OM⊥B1D1，只需OM⊥BD，从而需ME⊥BD．又在△BC1D中，C1D=C1B，又E为BD中点，所以BD⊥C1E．故M点一定在线段C1E上．当OM⊥C1E时，OM取最小值．在直角三角形OC1E中，OE=1，，，所以．点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用．考查了学生基础知识的综合运用．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是1．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：在展开式的通项公式，令x的指数为3，利用（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，即可实数a的值．解答：解：（ax+1）5的展开式的通项公式为T r+1=，则∵（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，∴=10，∴a=1．故答案为：1．点评：二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题的重要方法．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为4．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：根据侧面展开图求解得出，再利用直角三角形求解．解答：解：∵正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，∴侧面展开为下图连接AA得：RT△中，长度为4，∴△AEF的周长的最小值为4，故答案为：4，点评：本题考查了空间几何体中的最小距离问题，属于中档题．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是（0，]．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：运用图形得||=||，再根据向量求解．解答：解：0为BD中点，∵AB=BC=CD=DA=BD=1，∴|OA|=|OB|=，||=||==，θ∈（0°，180°]∴AC的取值范围是（0，]故答案为：（0，]点评：本题考查了向量的运用求解距离，属于中档题．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1]．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是5．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．解答：解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5点评：本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．考点：直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）由线面垂直得A1A⊥AB，再由AB⊥AC，能证明AB⊥面A1CC1．（II）由AB∥DE，在△ABC中，E是棱BC的中点，推导出D是线段AC的中点．（III）由已知条件推导出A1C⊥AC1，AB⊥A1C，从而得到A1C⊥面ABC1，由此能证明EF⊥AC1．解答：（I）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴A1A⊥AB，（2分）∵AB⊥AC，A1A∩AC=A，∴AB⊥面A1CC1．（4分）（II）解：∵面DEF∥面ABC1，面ABC∩面DEF=DE，面ABC∩面ABC1=AB，∴AB∥DE，（7分）∵在△ABC中，E是棱BC的中点，∴D是线段AC的中点．（8分）（III）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A=AC，∴侧面A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1，（9分）由（Ⅰ）得AB⊥A1C，∵AB∩AC1=A，∴A1C⊥面ABC1，（11分）∴A1C⊥BC1．（12分）又∵E，F分别为棱BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，（13分）∴EF⊥AC1．（14分）点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查点的位置的确定，考查异面直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆的位置关系．专题：综合题．分析：（Ⅰ）分两种情况：当直线l的斜率存在时，设出直线l的斜率为k，由P的坐标和设出的k写出直线l的方程，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d，让d等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，利用求出的k和P写出直线l的方程即可；当直线l的斜率不存在时，得到在线l的方程，经过验证符合题意；（Ⅱ）由利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d，发现|CP|与d相等，所以得到P为MN的中点，所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；（Ⅲ）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，利用反证法证明：假设符合条件的a存在，由直线l2垂直平分弦AB得到圆心必在直线l2上，根据P与C的坐标即可求出l2的斜率，然后根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，即可求出直线ax﹣y+1=0的斜率，进而求出a的值，经过判断求出a的值不在求出的范围中，所以假设错误，故这样的a不存在．解答：解：（Ⅰ）设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y﹣0=k（x﹣2）．又圆C的圆心为（3，﹣2），半径r=3，由，解得．所以直线方程为，即3x+4y﹣6=0；当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2也满足条件；（Ⅱ）由于，而弦心距，所以d=，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为|MN|=2，故以MN为直径的圆Q的方程为（x﹣2）2+y2=4；（Ⅲ）把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A，B两点，故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l2上．所以l2的斜率k PC=﹣2，而，所以．由于，故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB．点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式及两点间的距离公式化简求值，考查了分类讨论的数学思想，以及会利用反证法进行证明，是一道综合题．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）由圆的方程找出圆心坐标，设出圆心关于直线l的对称点的坐标，由直线l的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线C1C2的斜率，由圆心及对称点的坐标表示出斜率，等于求出的斜率列出一个关系式，然后利用中点坐标公式，求出两圆心的中点坐标，代入直线l的方程，得到另一个关系式，两关系式联立即可用m表示出a与b，把表示出的a与b代入圆C2的方程即可；（Ⅱ）由表示出的a与b消去m，得到a与b的关系式，进而得到圆C2的圆心在定直线上；分公切线的斜率不存在和存在两种情况考虑，当公切线斜率不存在时，容易得到公切线方程为x=0；当公切线斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，根据点到直线的距离公式表示出圆心（a，b）到直线y=kx+b的距离d，当d等于圆的半径2|m|，化简后根据多项式为0时各项的系数为0，即可求出k与b的值，从而确定出C2所表示的一系列圆的公切线方程，这样得到所有C2所表示的一系列圆的公切线方程．解答：解：（Ⅰ）∵圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，∴圆心为（2，3m），设它关于直线l：y=x+m﹣1的对称点为（a，b），则，解得a=2m+1，b=m+1，∴圆C2的圆心为（2m+1，m+1），∴圆C2的方程为：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2，∴C1关于l对称的圆C2的方程：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2．（Ⅱ）根据（Ⅰ）得圆C2的圆心为（2m+1，m+1），令，消去m得x﹣2y+1=0，它表示一条直线，故C2的圆心在一条定直线上，①当公切线的斜率不存在时，易求公切线的方程为x=0；②当公切线的斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，∴=2|m|，即：（1﹣4k）m2+2（2k﹣1）（k+b﹣1）m+（k+b﹣1）2=0∵直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m值都成立，∴所以有：，解得，∴C2所表示的一系列圆的公切线方程为：y=，∴故所求圆的公切线为x=0或y=．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及关于点与直线对称的圆的方程．此题的综合性比较强，要求学生审清题意，综合运用方程与函数的关系，掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，在作（Ⅱ）时先用消去参数的方法求定直线的方程，然后采用分类讨论的数学思想分别求出C2所表示的一系列圆的公切线方程．。