玻尔兹曼分布例题1
经典统计中的玻尔兹曼分布
经典统计中的玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布是一种用于描述粒子在不同能级上分布的概率分布函数，其表达式为：f_i = \frac{g_i}{Z}e^{-\frac{E_i}{kT}}其中，f_i表示粒子在能级i上的分布概率，g_i为能级i的简并度，E_i为能级i的能量，k为玻尔兹曼常数，T为温度，Z为配分函数。
由于玻尔兹曼分布包含了简并度、能量和温度等多个变量，因此适用于描述各种物质系统中的粒子分布情况。
下面列举一些应用玻尔兹曼分布的例子：1. 原子和分子的能级分布在原子和分子中，由于能量量子化现象的存在，粒子只能处于特定的能级上。
玻尔兹曼分布可以用于描述这些粒子在不同能级上的分布情况，从而推导出物质的热力学性质，如内能、熵等。
2. 电子在半导体中的分布半导体中的电子可以分为价带和导带两种能级。
由于电子在半导体中的分布对半导体的导电性质有着重要影响，因此玻尔兹曼分布可以用于描述电子在不同能级上的分布情况，从而推导出半导体的电学性质，如载流子浓度、电导率等。
3. 气体分子的速度分布在气体中，分子的速度分布对气体的热力学性质有着重要影响。
玻尔兹曼分布可以用于描述气体分子在不同速度下的分布情况，从而推导出气体的热力学性质，如压强、温度等。
4. 固体中的振动分布在固体中，原子的振动状态对固体的热力学性质有着重要影响。
玻尔兹曼分布可以用于描述原子在不同振动状态下的分布情况，从而推导出固体的热力学性质，如比热容、热膨胀系数等。
5. 热辐射的能量分布热辐射是指物体在热平衡状态下所辐射出的电磁波。
由于热辐射的波长和能量密度对物体的热力学性质有着重要影响，玻尔兹曼分布可以用于描述热辐射在不同波长和不同能量下的分布情况，从而推导出物体的热力学性质，如辐射能量密度、辐射亮度等。
6. 激光中的光子分布激光是指一种能量高、相干性强的光束。
由于光子在激光中的分布对激光的光学性质有着重要影响，玻尔兹曼分布可以用于描述光子在不同能级上的分布情况，从而推导出激光的光学性质，如激光功率、激光波长等。
统计热力学习题1
统计热力学习题一 . 选择题1. 玻尔兹曼熵定理一般不适用于： ( )(A) 独立子体系 (B) 理想气体 (C) 量子气体 (D) 单个粒子2.下列各体系中属于独立粒子体系的是： ( )(A) 绝对零度的晶体 (B) 理想液体混合物(C) 纯气体 (D) 理想气体的混合物3. 玻尔兹曼分布 _______ 。
(A) 是最概然分布，但不是平衡分布。
(B) 是平衡分布，但不是最概然分布。
(C) 即是最概然分布，又是平衡分布。
(D) 不是最概然分布，也不是平衡分布。
4. 在 N 个 NO 分子组成的晶体中，每个分子都有两种可能的排列方式，即 NO 和 ON，也可将晶体视为 NO 和 ON 的混合物，在 0K 时该体系的熵值(A) S O = 0 (B) S O = kln2 (C) S O = Nkln2 (D) S O = 2klnN5. 在分子运动的各配分函数中与压力有关的是： ( )(A)电子运动的配分函数 (B)平均配分函数 (C)转动配分函数 (D)振动配分函数6. 已知 CO 的转动惯量 I = 1.45×10-26 kg.m2，则 CO 的转动特征温度为：(A) 0.36 K (B) 2.78 K (C) 2.78×107 K (D) 5.56 K7. 关于配分函数，下面哪一点是不正确的 ( )(A) 粒子的配分函数是一个粒子所有可能状态的玻尔兹曼因子之和；(B) 并不是所有配分函数都无量纲；(C) 粒子的配分函数只有在独立粒子体系中才有意义；(D) 只有平动配分函数才与体系的压力有关。
8. 热力学函数与分子配分函数的关系式对于定域粒子体系和离域粒子体系都相同的是 ( ) (A) G,F,S (B) U,H,S (C) U,H,C V (D) H,G,C V9. 粒子的配分函数 q 是 ( )(A) 一个粒子的 (B) 对一个粒子的玻尔兹曼因子取和；(C) 粒子的简并度和玻尔兹曼因子的乘积取和；(D) 对一个粒子的所有可能状态的玻尔兹曼因子取和。
7.6玻尔兹曼分布律
•分子质量越大，受重力的作用越大，分 子数密度减小得越迅速； •对于温度较高的气体，分子的无规则运 动剧烈。分子数密度随高度减小比较缓 慢。
法国物理学家佩兰据此测量 了玻耳兹曼常数进而得到了 阿伏伽德罗常数，于1922 年获得了诺贝尔物理奖。
三、重力场中等温气压公式
假设： 大气为理想气体,不同高度处温度相等,重力加速度
7.6 玻尔兹曼分布律
一、玻尔兹曼能量分布律
其指数仅包含分子运动动能
麦克斯韦速度分布函数
3
m 2vx 2v2 yvz2 1 2m2v k
dN vxvyvz
N
2m kT 2em vx 2v2 yvz 22kT dxv dyv dzv
问题：对于更一般的情形，如在外力场中的气体分子的分布
将如何？
3
2m kT2eK k Tdxvdyvdzv1
nddxNxd,y,zydnz0eP kT
二、重力场中粒子按高度的分布(εp= mgh)
nn0emg kT hn0egh RT
•重力场中，一方面是无规则的热运动使气体分子 均匀分布于它们所能够到达的空间。另一方面是 重力要使气体分子聚集到地面上。这两种作用平 衡时，气体分子则在空间作非均匀分布，即气体 分子数密度随高度的增加按指数规律减小；
3
dN x,y,z,vx,vy,vz n 0 2m kT 2e K Pkd T xdx y dd yv dz zvd
n0 为在εp=0处，单位体积内具有各种速度的分子总数。
•d单N 位x,y,体z 积n0 分e子P数kT dn xd ydz2m kT2 3eKkT dxvdyvdzv
n0eP k T dxdydz
也不变化 利用： p = nkT
8-4麦克斯韦-玻尔兹曼分布
二、麦克斯韦气体分子速率分布律
1、速率分布函数
速率分布函数的定义： 一定量的气体分子总数为N，dN表示速率分布在 某区间 v~v+dv内的分子数， dN/N表示分布在此 区间内的分子数占总分子数的比率。
实验规律：
•dN/N 是 v 的函数； •当速率区间足够小时（宏观小，微观大）， dN/N还应与区间大小成正比。
m
2kT
2 e K
kT dvxdvydvz
n0eP kT dxdydz
n
dN x, y,z dxdydz
n0e P
kT
•重力场中粒子按高度的分布(ε p=mgh)
n n0emgh kT n0e Mgh RT
•重力场中，一方面是无规则的热运动使气体分子均 匀分布于它们所能够到达的空间。另一方面是重力 要使气体分子聚集到地面上。这两种作用平衡时， 气体分子则在空间作非均匀分布，即气体分子数密 度随高度的增加按指数规律减小； •分子质量越大，受重力的作用越大，分子数密度减 小得越迅速； •对于温度较高的气体，分子的无规则运动剧烈。分 子数密度随高度减小比较缓慢。
o dv
v
曲线下面宽度为 dv 的小窄条面积等于分布在此速 率区间内的分子数占总分子数的概率dN/N 。
三、三种统计速率
1、最可几速率
定义：与 f(v)极大值相对应的速率，称为最 概然速率。
•物理意义：若把整个速率范围划分为许多相等 的小区间，则分布在vP所在区间的分子数比率 最大。
• vP的值： df v 0
麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831——1879)
19世纪伟大的英 国物理学家、数 学家。经典电磁 理论的奠基人， 气体动理论的创 始人之一。
第三章 例题精选1
N V2 dN V2 dN V1 dN
V1
0
0
令 v1
v p , v2
1.01v p
,
xi
vi vp
则
x1
v 1
vp
1,
x2
v2 vp
1.01,
3-16 设气体分子的总数为N，试证明速率在0到任 一给定值v之间的分子数为：
N0v N[erf (x)
v
2dv
4N
e v v
v2 v 2p
1
0
p
v2
v
2 p
dv
令 X v，则
vp
dv vpdx
∴
N 0v
4N
x ex2 x2dx
0
由提示得：
x2e
x2 dx =
1 [e
x2 dx - d( xe
x2
)]
2
∴
N 0v
4N
1 [ x ex2 dx 20
8.试指出下列各式所表示的物理意义
（1）1 kT 3 kT i kT
2
22
（2） 1 RT m 3 RT m i RT
2
M2
M2
答：各式都表示热学系统在平衡状态下，一定温度 时的一种能量表示式。其中
1 kT是物质分子在温度T时每一个自由度上的平均能量。
2
3 kT是一个物质分子在温度T时的平均平动动能。
( vx )2 vp
p0
x
N2 1
v2 vp
exp[(
vx
)2
]d
第七章玻耳兹曼统计习题及答案
第七章 玻耳兹曼统计7．1试根据公式Va P Lll∂∂-=∑ε证明，对于非相对论粒子 ()222222212z y x n n n L m m P ++⎪⎭⎫ ⎝⎛== πε，（ ,2,1,0,,±±=z y x n n n ）有V U P 32= 上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。
证明：处在边长为L 的立方体中，非相对论粒子的能量本征值为()22222,,2212z y x n n nn n n L m m P zy x ++⎪⎭⎫ ⎝⎛== πε （ ,2,1,0,,±±=z y x n n n ）-------（1） 为书写简便，我们将上式简记为32-=aVε-----------------------（2）其中V=L 3是系统的体积，常量()22222)2(z y x n n n ma ++= π，并以单一指标l 代表n x ,n y ,n z 三个量子数。
由（2）式可得VaV V l L εε323235-=-=∂∂----------------------（3） 代入压强公式，有VUa VV a P l ll L ll3232==∂∂-=∑∑εε----------------------（4） 式中 lll a U ε∑=是系统的内能。
上述证明未涉及分布的具体表达式，因此上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。
注：（4）式只适用于粒子仅有平移运动的情形。
如果粒子还有其他的自由度，式（4）中的U 仅指平动内能。
7．2根据公式Va P Lll∂∂-=∑ε证明，对于极端相对论粒子 ()212222z y x n n n Lc cp ++== πε， ,2,1,0,,±±=z y x n n n 有VUP 31=上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。
证明：处在边长为L 的立方体中，极端相对论粒子的能量本征值为()21222,,2z y x n n nn n n Lczy x ++= πε， ,2,1,0,,±±=z y x n n n -------（1）为书写简便，我们将上式简记为31-=aVε-----------------------（2）其中V=L 3是系统的体积，常量()212222z y x n n n c a ++= π，并以单一指标l 代表n x ,n y ,n z 三个量子数。
统计热力学自测题
统计热力学自测试题单选题第1题:(2分)对于玻尔兹曼分布定律的说法：① n是第i能级i上的粒子分布数。
② 随着能级升高，增大，n总是减少的。
③ 它只适用于可区分i的独立粒子体系。
④ 它适用于任何的大量粒子体系；其中正确的是：可供选择答案:1.①③2.③④3.①②4.②④第2题:(2分)经典粒子的零点能标度选择不同时, 必定影响:可供选择答案:1.配分函数的值2.粒子的分布规律3.系统的微观状态数4.各个能级上粒子的分布数5.各个量子态上粒子的分布数第3题:(2分)四个不可别粒子, 可分布在同一能级的两个不同量子态上, 其分布方式数为:可供选择答案:1.42.53.64.7同一分子中, 下列能量关系中正确的是可供选择答案:1.2.3.4.第5题:(2分)核运动配分函数对其无贡献的热力学函数是:可供选择答案:1.U，H2.G, A3.G，S4.S，H第6题:(2分)在相同的温度和压力下，摩尔平动熵最大的气体是：可供选择答案:1.NO2.C3H63.CO24.N25.CH3—CH3统计热力学研究的主要对象是：可供选择答案:1.微观粒子的各种变化规律2.宏观系统的各种性质3.宏观系统的平衡性质4.微观粒子的运动规律5.系统的宏观性质与微观结构的关系第8题:(2分)对于一个子数、体积和能量确定的系统，其微观状态数最大的分布就是最可几分布，得出这一结论的理论依据是：可供选择答案:1.玻耳兹曼分布2.分子运动论3.能量均分原理4.等几率假定5.统计学原理第9题:(2分)下列哪个体系不具有玻尔兹曼-麦克斯韦统计特点：可供选择答案:1.第一个可能的微观状态以相同的几率出现2.各能级的各量子态上分配的粒子数，受保里不相容原理的限制。
3.体系由独立可别的粒子组成，。
4.宏观状态参量N、U、V为定值的封闭体系。
对于近独立非定域粒子体系，在经典极限下能级分布D所拥有的微观状态数t为：可供选择答案:1.2.3.4.第11题:(2分)某双原子分子AB取振动基态能量为零，在T时的振动配分函数为1.02，则粒子分布在ν=0的基态上的分布数应为：可供选择答案:1.1.022.03.14.1/1.02第12题:(2分)能级的能量在最低能级时指定为零，此时配分函数以表示，如指定最低能级能量值为，此时配分函数以()表示，下列何者正确：可供选择答案:1.2.3.4.则5.选取或只影响熵及热容，不影响其它热力学函数。
玻尔兹曼速度分布律
3. 实验证明： 实验证明：
1909年皮兰定量地研究布朗运动， 1909年皮兰定量地研究布朗运动，尤其是悬浮 年皮兰定量地研究布朗运动 液中布朗粒子数密度随高度的分布， 液中布朗粒子数密度随高度的分布，测得高度分别 处的密度n 为z1, z2处的密度 1, n2时，Na=(6.5-6.8) 1023/mol
dvxdvy dvz =即
所以 dN′ = C′e
dxdydz E − ′ 分子数密度： 分子数密度： n = dN = C′e KT dxdydz
P
−
EP KT
(分子按势能的分布律)
三、重力场中微粒按高度分布
1. 重力场中微粒受到两种相互对立的作用 重力场中微粒受到两种相互对立的作用。 ①无规则热运动 ②重力 匀分布。 匀分布 使气体分子均匀分布。 使气体分子均匀分布。
M gh − mol
(高度计原理)
这说明， 越高， 越小， 这说明，T越高， mol 越小，它们相对而言就愈多地分 M 布在高层大气。这与大气逃逸问题的物理图象一致。 布在高层大气。这与大气逃逸问题的物理图象一致。
推导： 推导：玻尔兹曼速度分布律
一、从麦克斯韦分布律推广到分子处在重力场中
1. 麦克斯韦速度分布函数是讨论理想气体在热动平衡 状态下分子在没有外力场作用下的速度分布情况： 状态下分子在没有外力场作用下的速度分布情况
dN m −EK =( ) e KT dvxdvy dvz N 2πKT
这时，分子在空间分布是均匀的。 这时，分子在空间分布是均匀的。气体分子在空间 各处的密度分布也是均匀的。 各处的密度分布也是均匀的。
使气体分子聚集在地面上， 使气体分子聚集在地面上，非均
对于更一般的情形， 对于更一般的情形，如在外力场 中的气体分子的分布将如何？？ 中的气体分子的分布将如何？？