第6讲 分式方程

第6讲 分式方程表头加底纹注意事项：只是章首页考纲要求 命题趋势1．理解分式方程的概念，会解可化为一元一次(二次)方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)，知道解分式方程的基本思想是把分式方程化为整式方程． 2．了解解分式方程产生增根的原因，能解决有关字母系数的问题． 3．会列分式方程解决实际问题. 中考中多以选择题、填空题、解答题的形式考查以下几点：(1)找分式方程的最简公分母，将分式方程化成整式方程；(2)已知方程有增根，确定有关字母的值；(3)解分式方程．列分式方程解决实际问题是中考的重点.知识梳理一、分式方程1．分母里含有________的有理方程叫做分式方程．2．使分式方程分母为零的未知数的值即为__________；分式方程的增根有两个特征：(1)增根使__________为零；(2)增根是分式方程化成的__________方程的根．二、分式方程的基本解法 解分式方程的一般步骤：(1)去分母，把分式方程转化为__________方程．(2)解这个整式方程，求得方程的根．(3)检验，把解得整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母为零，则它不是原方程的根，而是方程的__________，必须舍去；如果使最简公分母不为零，则它是原分式方程的根．三、分式方程的实际应用分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：(1)检验所求的解是否是所列分式方程的解；(2)检验所求的解是否符合实际．自主测试1．分式方程32x －4－x x －2＝12的解为( ) A ．x ＝52 B ．x ＝53 C ．x ＝5 D ．无解 2．货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，那么两车的速度各为多少？设货车的速度为x 千米/时，依题意列方程正确的是( )A ．25x ＝35x －20 B ．25x －20＝35xC ．25x ＝35x ＋20D ．25x ＋20＝35x3．已知关于x 的分式方程a ＋2x ＋1＝1的解是非正数，则a 的取值范围是__________．考点一、分式方程的解法【例1】解方程：x ＋12x ＝x ＋13.分析：把分式方程转化为整式方程，通过解整式方程求得分式方程的解．解：原方程两边同乘6x ，得3(x ＋1)＝2x ·(x ＋1)，整理得2x 2－x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝32.经验证知它们都是原方程的解，故原方程的解为x ＝－1或x ＝32. 方法总结 解分式方程时应注意以下两点：(1)去分母时，要将最简公分母乘以每一个式子，不要“漏乘”；(2)解分式方程时必须检验，检验时只要代入最简公分母看其是否为0即可．若能使最简公分母为0，则该解是原方程的增根．触类旁通1 解方程：x x ＋2＋x ＋2x －2＝8x 2－4. 【例2】解方程：x －1x ＋x x －1＝52. 解：设x －1x ＝y ，则原方程化为y ＋1y ＝52. 解得y 1＝2，y 2＝12.当y ＝2时，x －1x＝2，解得x ＝－1； 当y ＝12时，x －1x ＝12，解得x ＝2. 经检验，x 1＝－1，x 2＝2均符合题意，所以原方程的解为x 1＝－1，x 2＝2.方法总结 解分式方程时，如按常规用约去分母的方法解，所得到的整式方程比较复杂，不易继续求解，我们可采用换元法求解．一般分式方程有以下两种情况时，可考虑换元法：第一种情况是“倒数型”，如2x x －1＋x －1x ＝52，由于x x －1与x －1x 互为倒数，当设x x －1＝y 时，原方程可化为2y ＋1y ＝52；第二种情况是“平方型”，如⎝⎛⎭⎫x －1x 2－2⎝⎛⎭⎫x －1x －3＝0，此时设x －1x＝y ，则原方程可化为y 2－2y －3＝0. 触类旁通2 方程66x ＋3－60x＝0的根是________． 考点二、分式方程的增根【例3】分式方程x x －1－1＝m (x －1)(x ＋2)有增根，则m 的值为( ) A ．0或3 B ．1C ．1或－2D ．3解析：由(x －1)(x ＋2)＝0得增根可能是x ＝1或x ＝－2，把方程两边都乘(x －1)(x ＋2)得x (x ＋2)－(x －1)·(x ＋2)＝m ，当x ＝1时，得m ＝3，当x ＝－2时，得m ＝0，此时方程变为x x －1－1＝0，即x ＝x －1，此时方程无解，故m ＝0舍去，∴当m ＝3时，原方程有增根x ＝1.答案：D方法总结 利用增根求分式方程中字母的值：(1)确定增根；(2)将原分式方程化成整式方程；(3)增根代入变形后的整式方程，求出字母的值．触类旁通3 若解分式方程mx ＋1x －1＝－1时产生增根，则m 的值是( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1考点三、分式方程的应用【例4】某品牌瓶装饮料每箱价格26元．某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”促销活动，若整箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元．问该品牌饮料一箱有多少瓶？解：设该品牌饮料一箱有x 瓶，依题意，得26x －26x ＋3＝0.6，化简，得x 2＋3x －130＝0，解得x 1＝－13(不合题意，舍去)，x 2＝10.经检验：x ＝10符合题意．答：该品牌饮料一箱有10瓶．方法总结 列分式方程解决实际问题关键是找到“等量关系”，将实际问题抽象为方程问题．同时，既要注意求得的根是否是原分式方程的根，又要根据具体问题的实际意义，检验是否合理．触类旁通4 某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工要多用30天才可完成．(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天；(2)若甲工程队独做a 天后，再由甲、乙两工程队合作__________天(用含a 的代数式表示)可完成此项工程；(3)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？1．(2012浙江丽水)把分式方程2x ＋4＝1x 转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以( ) A ．x B ．2xC ．x ＋4D ．x (x ＋4)2．(2012四川宜宾)分式方程12x 2－9－2x －3＝1x ＋3的解为( ) A ．3 B ．－3 C ．无解 D ．3或－33．(2012浙江台州)小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了14，设公共汽车的平均速度为x 千米/时，则下面列出的方程中正确的是( ) A ．40x ＋20＝34×40xB ．40x ＝34×40x ＋20C ．40x ＋20＋14＝40xD ．40x ＝40x ＋20－14 4．(2012四川攀枝花)若分式方程：2＋1－kx x －2＝12－x有增根，则k ＝__________. 5．(2012广东梅州)解方程：4x 2－1＋x ＋21－x＝－1. 6．(2012山东临沂)某工厂加工某种产品，机器每小时加工产品的数量比手工每小时加工产品的数量的2倍多9件．若加工1 800件这样的产品，机器加工所用的时间是手工加工所用时间的37倍．求手工每小时加工产品的数量．1．解方程x x 2－1＋2(x 2－1)x ＝3时，设x x 2－1＝y ，则原方程化为y 的整式方程为( ) A ．2y 2－6y ＋1＝0 B ．y 2－3y ＋2＝0C ．2y 2－3y ＋1＝0D ．y 2＋2y －3＝02．分式方程2x －5x －2＝32－x的解是( ) A ．x ＝－2 B ．x ＝2C ．x ＝1D ．x ＝1或x ＝23．若关于x 的方程m －1x －1－x x －1＝0没有增根，则m 的值不能是( )A ．3B ．2C ．1D ．－14．某单位向一所希望小学赠送1 080件文具，现用A ，B 两种不同的包装箱进行包装，已知每个B 型包装箱比A 型包装箱多装15件文具，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用12个．设B 型包装箱每个可以装x 件文具，根据题意列方程为( )A ．1 080x ＝1 080x －15＋12B ．1 080x ＝1 080x －15－12 C ．1 080x ＝1 080x ＋15－12 D ．1 080x ＝1 080x ＋15＋12 5．已知x ＝1是分式方程1x ＋1＝3k x的根，则实数k ＝________. 6．若2x －1与1互为相反数，则x 的值是__________． 7．已知关于x 的方程2x ＋m x －2＝3的解是正数，则m 的取值范围为__________． 8．解分式方程：(1)x x ＋1＋1＝2x ＋1x ； (2)1x ＋1－2x x 2－1＝1. 9．某市为了治理城市污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道，铺设120米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加20%，结果共用了27天完成了这一任务，求原计划每天铺设管道多少米．参考答案导学必备知识自主测试1．B 去分母，得3－2x ＝x －2，解得x ＝53.经检验x ＝53是原方程的解． 2．C 相等关系为：货车行驶25千米所用时间＝小车行驶35千米所用时间．3．a ≤－1 去分母，得a ＋2＝x ＋1，解得x ＝a ＋1，由题意得a ＋1≤0，所以a ≤－1. 探究考点方法触类旁通1．解：去分母，得x (x －2)＋(x ＋2)2＝8.去括号，得x 2－2x ＋x 2＋4x ＋4＝8.整理，得x 2＋x －2＝0.解得x 1＝－2，x 2＝1.检验，当x 1＝－2时，x 2－4＝4－4＝0，∴x 1＝－2是增根；当x 2＝1时，x 2－4＝1－4＝－3≠0，∴原方程的根是x ＝1.触类旁通2．解：66x ＋3－60x＝0， 60x ＋180＝66x ，x ＝30.触类旁通3．C 使分母为零的未知数的值即为增根，增根一定是分式方程转化为整式方程后的这个整式方程的根．∵mx ＋1x －1＝－1有增根，∴x －1＝0，∴x ＝1，∴mx ＋1＝－x ＋1.当x ＝1时，解得m ＝－1.触类旁通4．解：(1)设乙单独做x 天完成此项工程，则甲单独做(x ＋30)天完成此项工程．由题意，得20⎝⎛⎭⎫1x ＋1x ＋30＝1， 整理，得x 2－10x －600＝0，解得x 1＝30，x 2＝－20.经检验：x 1＝30，x 2＝－20都是分式方程的解．但x 2＝－20不符合题意舍去，x ＋30＝60.答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天、30天．(2)设甲单独做a 天后，甲、乙再合作⎝⎛⎭⎫20－a 3天，可以完成此项工程． (3)由题意，得1×a ＋(1＋2.5)⎝⎛⎭⎫20－a 3≤64， 解得a ≥36.答：甲工程队至少要单独做36天后，再由甲、乙两队合作完成剩下的此项工程，才能使施工费不超过64万元．品鉴经典考题1．D2．C 解方程去分母得12－2(x ＋3)＝x －3解得x ＝3，经检验x ＝3是原方程的增根，原方程无解．3．A 因为公共汽车的平均速度为x 千米/时，则出租车的平均速度为(x ＋20)千米/时，小王乘公共汽车从甲地到乙地所花的时间为40x 小时，回来时路上所花时间为40x ＋20小时，根据相等关系：回来时路上所花时间＝去时路上所花时间×34，列方程为40x ＋20＝34×40x. 4．1 解方程去分母得2(x －2)＋1－kx ＝－1，由于原方程有增根，则x ＝2，解得k ＝1.5．解：方程两边都乘以(x ＋1)(x －1)，得4－(x ＋1)(x ＋2)＝－(x 2－1)，整理，得3x ＝1，解得x ＝13. 经检验，x ＝13是原方程的解． 故原方程的解是x ＝13. 6．解：设手工每小时加工产品x 件，则机器每小时加工产品(2x ＋9)件．根据题意，得1 800x ×37＝1 8002x ＋9. 解这个方程，得x ＝27.经检验，x ＝27是原方程的解．答：手工每小时加工产品27件．研习预测试题1．B 设x x 2－1＝y ，则原方程化为y ＋2y ＝3，去分母移项得y 2－3y ＋2＝0. 2．C 去分母，得2x －5＝－3，解得x ＝1.检验，当x ＝1时，x －2≠0，所以原方程的解为x ＝1.3．B 将分式方程两边都乘以(x －1)，得m －1－x ＝0，把x ＝1代入m －1－x ＝0，解得m ＝2.所以若原分式方程没有增根，则m ≠2.4．B 因为B 型包装箱每个可以装x 件文具，则A 型包装箱每个可以装(x －15)件文具．相等关系为：单独使用B 型包装箱数＝单独使用A 型包装箱数－12，列方程为1 080x ＝1 080x －15－12.5．16 把x ＝1代入方程，得12＝3k ，解得k ＝16. 6．－1 由题意，得2x －1＋1＝0，所以2＋(x －1)＝0， 所以x ＝－1.经检验x ＝－1是方程2x －1＋1＝0的解． 7．m ＞－6且m ≠－4 由2x ＋m x －2＝3，得x ＝m ＋6，∴m ＋6＞0，m ＞－6.又∵x －2≠0，即x ≠2，∴m ≠－4，故m ＞－6且m ≠－4.8．解：(1)去分母，得x 2＋x (x ＋1)＝(2x ＋1)(x ＋1)，解得x ＝－12.经检验：x ＝－12是原方程的解，所以原方程的解为x ＝－12. (2)去分母，得x －1－2x ＝x 2－1，化简，得x 2＋x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－1.经检验：x ＝－1不是原方程的解．所以原方程的解为x ＝0.9．解：设原计划每天铺设管道x 米．则120x ＋300－120x (1＋20%)＝27.解得x ＝10(米)．经检验，x ＝10是原方程的解．答：原计划每天铺设管道10米．。