(仅供参考)《信号检测与估计》复习纲要与复习题参考答案
《信号检测与估计》第十章习题解答
《信号检测与估计》第十章习题解答10.1 设线性滤波器的输入信号为()()()t n t s t x +=，其中()[]0E =t s ，()[]0E =t n ，并且已知()ττ-e =S R ，()ττ-2e=N R ，()0=τsn R ，求因果连续维纳滤波器的传递函数。
解：连续维纳滤波器与离散维纳滤波器的形式是相同的，即()()()()+⎦⎤⎢⎣⎡−⋅⋅=s B s P s B s H xs w112opt σ 因此需要求解()t s 的复功率谱和()t x 的时间信号模型。
考虑到信号与噪声不相关，因此观测数据的功率谱就等于信号的复功率谱加上噪声的复功率谱。
对观测数据的复功率谱进行谱分解，就可以得到()t x 的时间信号模型。
()t s 的复功率谱为()()()20s -10s 1-s --121111e e e e s s s d d d s P S −=−++=+==∫∫∫∞−+∞++∞∞−τττττττ ()t n 的复功率谱为()2s -2-44e es d s P N −==∫+∞∞−τττ因此，观测数据的复功率谱为()()()()()()()()()s s s s ss ss s P s P s P N S X −+−++=−+−=+=2211-226441122 取12=w σ()()()()s s ss B +++=2126()()()()()()()()()s s s s s s s s B s P s B s P N xs +=−==1-2-262-2-1-2612--2令()()()s B s P s F xs -=，()τf 是()s F 的拉普拉斯反变换。
要求()τf 是因果的，可将s 平面右半平面的极点扔掉，()()()[]12e 61,e Re e21-s s +=−==∫τττπτs F s ds s F jf C给()τf 取因果，并做拉普拉斯变换，得到()s d s F +⋅+=⋅⋅+=∫∞++11126e e 1260s --τττ()()()()()()())()()122261112626211112opt +++=+×+×+++×=⎦⎤⎢⎣⎡−⋅⋅=+ss ss s s s B s P s B s H xs wσ10.2 设已知()()()n n n s n x +=，以及()()()z z z G S 4.014.0192.01−−=−，()1=z G N ，()0=z G sn ()n s 和()n n 不相关。
信号检测估计复习资料
信号检测估计复习资料第二章随机信号及其统计描述1.两个随机过程不相关一定独立。
（）2.严格的平稳随机过程不一定是宽平稳随机过程。
（）3.平稳随机过程的功率谱密度与自相关函数是一对傅里叶变换。
（）4.白噪声是一种理想化模型，在实际中是不存在的。
（）5.功率谱密度是样本函数x在单位频带内在1欧姆电阻上的平均功率值。
（）6.加性噪声按功率谱密度分为（）噪声和（）噪声。
7.有色噪声的功率谱密度在频率范围内是均匀分布的。
（）8.对于白噪声下面哪个量是均匀分布的（）。
A.噪声电压B.噪声电流C.噪声功率D.噪声功率谱密度9.在信号检测与估计理论中，通信接收机中的噪声可以近似为平稳随机过程。
（）第三章经典检测理论1.什么是二元检测，其本质是什么？画出其理论模型。
2.二元检测中有两类错误的判决概率，两类正确判决概率。
( )3.下面哪种概率是虚警概率（）。
A．P（D0|H0）B．P（D1|H0）C.P（D1|H1）D. P（D0|H1）4.二元检测中有先验概率和后验概率，P（H0）是（）概率，P （H0|x）是（）概率。
5.下面哪个为后验概率密度函数（）。
A.f(x|H0)B.f(x|H1,a)C.f(a|x)D.f(a)6.经典检测理论中常用的4个检测准则分别为（）、（）、（）和（）。
7.最大后验概率准则和最小错误概率准则判决公式是不同的。
（）8.最大后验概率准则为何称为理想观测者准则？9.极大极小风险准则是在先验概率未知的情况下，使可能出现的最大风险达到极小的判别准则。
（）10.Neyman-Pearson准则规定，在给定( )概率情况下，使得（）概率尽可能大。
11.最大后验估计和最大似然估计的使用条件。
12.下面哪种判决准则是时平均风险最小的准则（）。
A.最大后验概率准则B.最小错误概率准则C.Bayes准则D.Neyman-Pearson准则13.当先验概率未知和代价函数均未知时，使用的判决准则是Neyman-Pearson准则。
信号检测与估计理论(复习题解)-精选文档
a ba 0 图 2. 1 (b)
ab y
2 b y x
2 2 y 4 x
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 例题解答
例 2 . 3 设连续随机信号 x ( t ) a cos( t ), 其振幅 a 和频率 已知 相位 在 [ , ) 范围内均匀分布。分析 该信号的广义平稳 并求其自 差函数 。 解 ： 分析该信号是否满足广 义平稳的条件。 信号的均值 ( t ) E a cos( t ) a cos( t ) p ( ) d x
2 1 ( y b ) / 2 1 x p ( y ) exp 2 2 2 2 2 x x 1 2
2 1 y ( 2 b ) x exp 2 2 8 8 x x 1 2
二. 离散随机信号矢量
1. 概率密度函数描述 。 2. 统计平均量：均值矢量 , 协方差, 协方差矩阵。 3. 各分量之间的互不相关 性和相互统计独立性及 关系。 4. 高斯离散随机信号矢量 的概率密度函数及特 点： x ~ N ( μ , C ), 互不相关等价于相互统 计独立 , 独立同分布 x x
E ( x b ) b
y
2 y
2 2 22 E ( y b ) E ( x b b ) E ( x 0 ) a / 6
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 例题解答
当 a b 2 a 时, p ( y ) 的函数曲线如图 2 . 1 (b)所示 。 p ( x) p( y ) 1/ a 1/ a
第 1章
信号检测与估计概论
《信号检测与估计》复习纲要与复习题参考答案
解： 令 S [s[0], s[1],..., s[ N 1]]T ， A ，那么信号模型可以写成如下
1 N 1 x ( n) N n 0 ˆ2 A/ 2 N 1 N 1 1 1 x ( n ) x ( n ) N n 0 N n0
2
8.对于信号模型
A 0 n M 1 s[n] A M n N 1
S T C 1 X 1 S T C 1S N
BLUE 为
x[n]
n 0
N 1
在拉普拉斯分布时，BLUE 并不是最小方差估计量。 ｂ）从题目可以知道， x ~ N ( ,1) 。那么该高斯分布的方差为 var( x ) 1。因此
S I,C I
S T C 1 X 1 BLUE 为 T 1 S C S N
p( x[n] | ) 1 exp 2 ( x[n] ) 2 2 2 1
2
2 在 给定的条件下， x[n] 是相互独立的。均值 具有先验 PDF N ( 0 , 0 )， 2 2 求 的 MMSE 和 MAP 估计量。另外，当 0 0 和 0 时将发生什么情况。
先验已知 P(Hi)，i=0,1,„,M-1 是 代价已知 Cij 是 Cij＝dij 否 数据PDF已知 是 否 指定先验PDF 是 尝试广义 ML准则（15） 否 否 否 否
是
贝叶斯风险 （5） 否 数据PDF已知 是 否 指定先验PDF 是
《信号检测与估计》第十二章习题解答
《信号检测与估计》第十二章习题解答12.1 采用下式给出的有偏自相关函数的定义，并加窗，得到BT 谱估计器：()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧−−−−−=−+=+=∑∗1,,2,11ˆ1,,1,01ˆL L N N m m R N m m n x n x N m R X X ()⎪⎩⎪⎨⎧−≤=其它011N m m W N()()()()∑−−−=−⋅⋅=11e ˆˆN N m m j X N X m R m W G ωω证明该BT 估计器与周期图相同。
解：()()()()()()()()()()()()()()()()()211111111e 1e e 1e e 1e 1e ˆˆωωωωωωωωj N N m n m j nj N N m nj n m j N N m m j N N N m m j X N XX N m n x n x N m n x n x N m n x n x N m W m R m W G =⋅+⋅⋅=⋅⋅+=⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅=⋅⋅=∑∑∑∑∑∑∑−−−=+−−∗−−−=−+−∗−−−=−∗−−−=− 12.2 设自相关函数()3,2,1,0,==m m R m X ρ。
试用Levinson-Durbin 递推法求解AR （3）模型参量。
解： ()()ρ−=−=0111X X R R a 110=a()()221121101ρσ−=⋅−=X R a ()()012211122=+−=σX X R a R a ρ−=⋅+=11221121a a a a ()2212222211ρσσ−=⋅−=a因此模型为一阶 ()()[]()012322222133=⋅+−=σX X X R a R a R a021332232=⋅+=a a a aρ−=⋅+=22332131a a a a()2222332311ρσσ−=⋅−=a 所以模型为()()()n w n x n x +−=1ρ12.3 设5=N 的数据记录为：10=x ，21=x ,32=x ,43=x ,54=x ，AR 模型的阶数3=p 试用Levinson-Durbin 递推法求模型参量。
《信号检测与估计》第四章习题解答
(3sinω0T
−
2sin3ω0T
)
则判决规则变为
H1
I
> <
β
H0
两种错误判决的概率分别为
+∞
∫ P(D1 | H0 ) = β f (I | H0 )dI
《信号检测与估计》习题解答
β
∫ P(D0 | H1) = −∞ f (I | H1)dI
平均错误概率 Pe 为
∫ ∫ Pe
= P(H0 )P(D1 | H0 ) + P(H1)P(D0
T 0
[x(t
)−
B
cos(ω2t
+φ
)]2
dt
《信号检测与估计》习题解答
( ) ( ) ( ) f xH0 =
1
∫ − 1
e N0
T 0
[x
(t
)−
s
0
(t
)]2
dt
=
2π σ k
1
∫ − 1
e N0
T 0
[x
(t
)−
A
cos
ω1t
−
B
cos(ω
2
t
+φ
)]2
dt
2π σ k
根据最小差错概率准则有
0 N0
T 2 s2(τ )dτ = 2a2T
0 N0
N0
输出信号
xo (T
)
=
T
∫0
h(t )x(T
−
t )dt
=
∫Ts(T 0
− t)x(T
−
t )dt
=
T
∫0
2 N0
s(τ
)x(τ
《信号检测与估计》第二章习题解答
E[x]
=
0
，
R(t, t
+τ
)
=
R(τ
)
=
a2 2
cos ω0τ
即数学期望与时间无关，自相关函数仅与时间间隔有关，故 X (t) 为广义平稳随机过程
2.7 设有状态连续，时间离散的随机过程 X (t) = sin(2πAt)，式中， t 只能取正整数，即 t = 1,2,3,L ，
A 为在区间 (0,1) 上均匀分布的随机变量，试讨论 X (t)的平稳性。
cos
t2
+
1 9
sin
t2
cos t1
=
1 9
+
1 9
sin
t1
+
1 9
cos
t1
+
1 9
sin
t2
+
1 9
cos t2
+
1 9
cos(t1
-
t2
)+
1 9
sin(t1
+
t2
)
2.4 随机过程 X (t)为 X (t) = A cosω0t + B sin ω0t
[ ] [ ] 式中，ω0 是常数，A 和 B 是两个相互独立的高斯随机变量，而且 E[A] = E[B] = 0 ，E A2 = E B2 = σ 2 。
1 ↔ e−aτ u(τ )
jω + a
所以
RX (τ ) = ⎜⎜⎝⎛
1 e− 3
3τ −
1e 3
3τ + 1 e− 22
2τ − 1 e 22
2τ ⎟⎟⎠⎞u(τ )
平均功率
信号检测与估计理论
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 内容提要
三. 离散随机信号的函数
1.一维雅可比特变别换是, 简单线性 的函 变数 。 换时 2. N维雅可比变换。
四. 连续随机信号
1任 .tk 时 意刻采 x (tk) 样 (x k ； tk)所 k ( 1 ,2 , 得 ,N )的 样 概 本 率 函数描述。
平均似然 广 比 义 检 似 验 然 ,比-检 皮验 尔和 逊奈 检曼 验的基
和方法。
第3章 信号状态的统计检测理论 例题解答
例3.1 设二元信号检测的模信型号为
H 0： x1n H1： x2n
其中 观,测n噪 服声 从对称三 如3 角 图 .1(a)分 所布 。 示,
若似然 1 ,求 比最 检 图 佳 测 示 判 门 计 判 P ( 决 H 限 算 1|H 0 决 )。 式域
也相互统计独立。
七. 信号模型及统计特性
确知信号 (未和 )知 参随 量机 ； 信 随号 机参量信性 号描 的述 统
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 例题解答
例 2.1设离散x随 服机 从信 对号 称 其 三 概 角 率 分 密 布 度 , 函
p(x)
11|x| a a2
axa (a0)
0
其他
第3章 信号状态的统计检测理论 内容提要
一.信号状态统计检测 的理 基论 本概念
信号状态观 的测 假信 设号 , 的数 概合 ,率理 密判 判 度决 决 函,结果 与判决概最 率佳 , 判决的概 。念
二.二元信号状态统计 的检 三测 个准则
贝叶斯最 检小 测平 准均 则准 错 , 奈 则 误 曼 , 皮 概尔 率逊 检 测准则的概 检 念 验 、 判 似 决 然 为 式 比 最 、简 化判 简决 能 式
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贝叶斯风险 （3）
否
否
数据PDF已知
否 指定先验PDF
是
是
是 MAP（2）
否
否
数据PDF已知
指定先验PDF
是
是
否
否
数据PDF已知
指定先验PDF
是
是
信号参数未知
噪声参数未知
信号和噪声 参数未知
否
否
线性信号模型
只有未知信号
LRT（1）
LRT（7） 是
是
是 是
GLRT（6）
LRT（16）
是
线性信号模型
否 LRT（7）
否 先验知识
否
否
是
新的数据模型或取 否
更多的数据
是
否 PDF已知
否 噪声中的信号
是 满足CRLB
否
是 MVU 估计量
是 线性信号
否 LSE
完备充分统计量 存在
否
是 使之无偏 是 MVU
是
估计量
否
否
前二阶噪声矩已知
计算MLE
MLE
是
否
是
计算矩法估计量
矩估计量
BLUE
否
经典方法
PDF已知
否 前二阶矩已知
是
否
计算后验PDF均值
是 MMSE 估计量
否 使后验PDF最大
否
是 MAP 估计量
是 LMMSE 估计量
贝叶斯方法
如何选择一个检测器－二元信号检测
先验已知否ຫໍສະໝຸດ P(H0)，P(H1)选择NP准则
是
代价已知
否
Cij
是
C00＝C11=0 C01＝C10=0
否 数据PDF已知 是
否
否
指定先验PDF
是
是 P(H0)=P(H1)
2011《信号检测与估计》复习参考题
参数估计部分：
1.基本概念理解：最小方差无偏估计，最佳线性无偏估计，最大似然估计，最小 二乘估计，矩方法估计，最小均方误差估计，最大似然估计，线性最小均方误差 估计，一般（经典）线性模型和贝叶斯线性模型。 2.观测数据为{x[0], x[1],, x[N 1]} ，其中 x[n] 是独立同分布的且服从 N(0, 2 ) ，
4.
解答：
5.观测数据样本{x[0], x[1],, x[N 1]} 是 IID 的，服从如下分布：
(1)拉普拉斯 p(x[n]; ) 1 exp[ | x[n] |] 2
(2)高斯
p(x[n], )
1 2
exp
1 2
(
x[n]
)
2
求两种情况下均值 的 BLUE。解释一下 的 MVU 估计。
(Estimation of Signal Waveform) 复习重点：信号检测与参量估计 信号检测：根据有限观测，“最佳”区分一个物理系统不同状态的理论
参量估计：根据有限观测，“最佳”找出一个物理系统不同参数的理论
如何选择一个估计量&估计量选择的决策过程
信号处理 问题
是 是一个多维问题
是 先验知识
解 ： a ） 从 题 目 可 以 知 道 ， x ~ Laplace(,1) 。 那 么 该 拉 普 拉 斯 分 布 的 方 差 为
是
代价已知
否
Cij
是
Cij＝dij
否 数据PDF已知 是
否
否
指定先验PDF
是
是 P(Hi)=1/M
贝叶斯风险 （5）
否
否
数据PDF已知
否 指定先验PDF
是
是
是 MAP（4）
数据PDF已知
指定先验PDF
否
否
是
是
ML（4）
多元假设检验的最佳贝叶斯方法
尝试广义 ML准则（15）
*注：
ARMA：自回归滑动平均 BLUE：最佳线性无偏估计 CFAR：恒虚警率 CRLB ：Cramer-Rao 下限 EM：数学期望最大化 GLRT：广义似然比检验 IID：独立同分布 LLR：对数似然比 LMMSE：线性最小均方误差 LMP：局部最大势 LRT：似然比检验 LSE：最小二乘估计 LSI：线性时不变 MAP：最大后验概率 MLE：最大似然估计 MMSE：最小均方误差估计 MVU：最小方差无偏 NP：Neyman-Pearson 准则 PRN：伪随机噪声 RBLS：Rao-Blackwell-Lehmann-Scheffe 定理 ROC:接收机工作特性 UMP：一致最大势 WGN：白色高斯噪声 WSS：广义平稳
是
高斯噪声
高斯噪声 是
否 噪声IID
GLRT（8，11）
线性信号模型 否 Rao(10,13)
是
LMP(14)
是
Rao（21）
白高斯噪声
尝试NP准则 或其它方法
LRT（20）
线性信号模型
否 GLRT（8，11） Rao(10,13)
LMP(14)
是
是 线性信号模型
否 GLRT（11） Rao(13)
过 对 信 号 的 观 测 ， 如 何 构 造 待 估 计 参 数 的 最 佳 估 计 量 问 题 (Estimation of Signal Parameters) 滤波理论(Filtering Theory)——为了改善信号质量，研究在噪声干扰中所感兴趣信号波 形的最佳恢复问题，或离散状态下表征信号在各离散时刻状态的最佳动态估计问题
否 线性信号模型
GLRT(11)
是
Rao(13)
Rao(19)
否 GLRT（11） Rao(13)
GLRT（17）
是 GLRT（18）
ML（2）
二元假设检验的最佳贝叶斯方法
二元假设检验的最佳Neyman-Pearson方法
复合二元假设检验的准最佳方法
如何选择一个检测器－多元信号检测
先验已知
否
P(Hi)，i=0,1,„,M-1
2011《信号检测与估计》复习纲要
“信号检测与估计”理论是现代信息科学的一个重要组成部分，它是把所要处理的问题， 归纳为一定的“数学模型”→运用“概率论”、“随机过程”、“数理统计”等数学工具→以普 遍化的形式提出，以寻求普遍化的答案和结论，并且理论与工程实践相结合，以雷达系统、 通信系统、声纳系统为主要研究对象，主要内容包括： 随机信号与噪声理论(The Theory of Random Signals and Noise)——分析随机信号与噪声
利用下式估计方差 2 ，即
ˆ 2
1
N 1
x2[n]
N n0
这是无偏估计吗？求ˆ 2 的方差，并考察当 N 时会发生什么情况？
3. 如 果 观 测 到 数 据 x[n] A w[n], n 0,1,, N 1 ， 其 中 噪 声 数 据 w [w[0], w[1],, w[N 1]]T N(0,C) ，求 A 的 CRLB。有效估计量存在吗？如果 存在请求出它的方差。
的数学工具 统计判决（检测）理论(Statistical Decision Theory)——研究在噪声干扰背景中，所关
心的信号是属于哪种状态的最佳判决问题(Detection of Signals in Noise) 参量估计理论(Estimation Theory of Signal Parameters)——研究在噪声干扰背景中，通