二重积分的算法
§ 二重积分的计算
x1
y
x
x2 y,
c y d .
［Y－型］
其中函数x1 y, x2 y在区间c,d 上连续.
［Y－型］
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的 直线与区域边界相交不多于两个交点.
下面我们通过曲顶柱体体积的计算来说明二重积分
f x, y d 化为二次积分的方法，
y1 x
x, y dydx.
上式右端的积分称为先对y后对x的二次积分，
其中括号内的积分
y2 x y1 x
f
x,
y dy
是将x看作常数，
把f(x,y) 看作变量y的函数，其积分结果是x的函数，
再对x计算在区间[a,b]上的定积分。
先对y后对x的二次积分通常又记为：
f ( x, y)d f ( x, y)dxdy
0 x 1.
xy2dxdy
1
dx
x xy2dy
0
x2
D
y x
1 0
x
1 3
y
3
y
x
2
dx
1
1
x
x3 x6 dx
1
30
40
(2) 将D作为Y-型区域，D可表示为：
D
y
x
y,
0 y 1.
1
x y2dxdy
lim 0 i1
f (i ,i ) i .
现在用一族同心圆r=常数以及从极点出发的一族
射线 常数将D划分为任意的n个小闭区域。
小闭区域的面积 i 为：
二重积分四则运算公式
二重积分四则运算公式二重积分是微积分中的一个重要概念，也是数学计算中常用的工具之一、它是对二元函数在一些区域上的求和，可以用来计算曲线下面的面积、质心、重心、弯矩等问题。
在进行二重积分的计算时，有四个基本的运算公式，分别是加法公式、乘法公式、换元公式和分部积分公式。
下面将详细介绍这四个公式以及它们的应用。
一、加法公式加法公式是用来计算两个区域上的二重积分的和的公式，具体形式如下：∬(R1∪R2)f(x,y)dA=∬R1f(x,y)dA+∬R2f(x,y)dA其中，R1和R2是两个不相交的区域，f(x,y)是定义在R1∪R2上的函数，dA表示面积元素。
加法公式的应用非常广泛，可以用于计算不规则区域上的积分，将区域分成若干个小区域，然后分别计算每个小区域上的积分再求和即可。
二、乘法公式乘法公式是用来计算两个函数的乘积的积分的公式，具体形式如下：∬Rf(x,y)g(x,y)dA=∬Rf(x,y)dA·∬Rg(x,y)dA其中，f(x,y)和g(x,y)是定义在区域R上的函数，dA表示面积元素。
乘法公式可以简化积分的计算，将二重积分分成两个单变量的积分，分别计算再相乘即可。
三、换元公式换元公式是用来进行变量替换的公式，可以将一个二元函数在坐标变换后的区域上的积分转化为原区域上的积分，具体形式如下：∬Rf(x,y) dA = ∬R'(f(g(u,v),h(u,v)) ，J(u,v)， du dv其中，R是原区域，R'是通过坐标变换得到的新区域，f(x,y)是定义在R上的函数，J(u,v)，是变换后的雅可比行列式。
换元公式可以简化积分的计算，通过适当的坐标变换可以将原积分转化为更简单的形式，例如将直角坐标系中的积分转化为极坐标系中的积分等。
四、分部积分公式分部积分公式是用来计算二重积分中的积分运算的公式，具体形式如下：∬R(∂f/∂x + ∂g/∂y) dA = ∮C(f dx + g dy)其中，R是区域，C是区域R的边界曲线，f(x,y)和g(x,y)是定义在R上的函数，∂f/∂x和∂g/∂y分别表示函数f和g关于x和y的偏导数。
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法二重积分是微积分中的一个重要概念，用于计算平面上某个区域的面积、质量、质心等问题。
在本文中，我们将介绍二重积分的计算方法，包括直角坐标系下的二重积分和极坐标系下的二重积分。
一、直角坐标系下的二重积分计算方法在直角坐标系下，二重积分的计算通常通过累次积分的方式进行。
设有一个二元函数 f(x, y) 在某一闭区域 D 上连续，则 D 可以表示为水平投影区域 D' 在直角坐标系上的投影区域，并且可以将 D 划分成许多小的面积 dA。
二重积分的计算可以表示为：∬Df(x, y)dA = ∫∫Df(x, y)dxdy其中，D 表示闭区域 D 上的面积，f(x, y) 是定义在 D 上的二元函数，dA 表示面积元素。
根据累次积分的原理，上式可以改写为：∬Df(x, y)dxdy = ∫[a, b]∫[c(x), d(x)]f(x, y)dydx其中，[a, b] 表示 x 的取值范围，c(x) 和 d(x) 分别表示 D' 在 x 轴上的投影区间的下边界和上边界。
根据具体问题，我们可以选择先对 x进行积分，再对y 进行积分，或者先对y 进行积分，再对x 进行积分。
通过这样的累次积分方式，可以计算得到二重积分的结果。
二、极坐标系下的二重积分计算方法在某些问题中，使用极坐标系进行二重积分的计算更加方便。
对于闭区域 D 在极坐标系下的表示，我们可以将二重积分的计算公式改写为：∬Df(x, y)dA = ∫∫Df(r, θ)rdrdθ其中，D 表示闭区域 D 上的面积，f(r, θ) 是定义在 D 上的二元函数，dA 表示面积元素。
根据累次积分的原理，上式可以改写为：∬Df(r, θ)rdrdθ = ∫[α, β]∫[g(θ), h(θ)]f(r, θ)rdrdθ其中，[α, β] 表示θ的取值范围，g(θ) 和h(θ) 分别表示 D 在极坐标系下的投影区间的内半径和外半径。
同样地，通过选择先对θ进行积分，再对r进行积分，或者先对r进行积分，再对θ进行积分的方式，可以计算得到二重积分的结果。
第二节二重积分计算
y1(x) y y2 (x) a x b.
(1)
在[a,b]上取定一点x，过该点作垂直于x轴的平
面截曲顶柱体，截面为一曲边梯形.将这曲边梯形投
影到Oyz坐标面，它是区间[y1 (x),y2 (x)]上，以z=f(x,y) 为曲边的曲边梯形(将x认定为不变)，因此这个截面
的面积可以由对变元y的定积分来表示.
得
x y
2, 1. 2
x轴上的积分区间为[1,2].
D
x2 y2
dxdy
12
x 2 dx 1x
x
1 y2
dy
12
x2
1x
y 1
x
dx
12
x
2
x
1 x
dx
1 4
x4
2x2
2 1
9. 4
解法2 化为先对x积分后对y积分的二次积分. 作平行于x轴的直线与积分区域D相交，可知入 口曲线不唯一，这需要将积分区域分为两个子 区域.
为了便于确定积分区域D的不等式表达式，通常 可以采用下述步骤： (1) 画出积分区域D的图形. (2) 若先对y积分，且平行于y轴的直线与区域D的边界
线的交点不多于两点，那么确定关于y积分限的方 法是： 作平行于y轴的直线与区域D相交，所作出的直线 与区域D先相交的边界曲线y=y1(x)，称之为入口曲线， 作为积分下限.该直线离开区域D的边界线y=y2(x),称 之为出口曲线，作为积分上限.
x2 y2
dxdy
，其中D由不等式
y
x，1
xy
及 x 2所确定.
解法1 化为先对y积分后对x积分的二次积分.
作平行于y轴的直线与区域D相交，沿y轴正方 向看，入口曲线为y 1 ，出口曲线为y=x，
二重积分定理公式
二重积分定理公式
二重积分公式是f(x,y)≦g(x,y)。
设二元函数z=f（x，y）定义在有界闭区域D上，将区域D任意分成n个子域，并以表示第个子域的面积。
在上任取一点作和。
如果当各个子域的直径中的最大值趋于零时，此和式的极限存在，且该极限值与区域D的分法及的取法无关，则称此极限为函数在区域上的二重积分，记为，即。
这时，称在上可积，其中称被积函数，称为被积表达式，称为面积元素，称为积分区域，称为二重积分号。
二重积分应用
在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。
某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。
例如二重积分,其中，表示的是以上半球面为顶，半径为a的圆为底面的一个曲顶柱体，这个二重积分即为半球体的体积。
二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数字。
因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。
如函数，其积分区域D是由所围成的区域。
其中二重积分是一个常数，不妨设它为A。
对等式两端对D这个积分区域作二重定积分。
二重积分的计算法
0
法二
先x后y
2
x2+y2
a
2
x
D
e
a
x y
d xd y dy
a a2 y2
2 2
a
a y
e
x2 y 2
dx
e
a
y
2
dy
a y
e
x2
dx积不出
14
故本题无法用直角 坐标计算.
二、利用极坐标计算二重积分 y
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 及射线 =常数, 分划区域D 为
极坐标积分。
令x=rcos, y=rsin, 则 x2+y2 = 1的极坐标方程为r = 1. 由(2)
y
x2+y2 1
D*: 0 r 1, 0 2
0
x
D
1 x 2 y 2 dxdy
d 1 r 2 cos2 r 2 sin 2 rdr
1
x
y=x 1 D1
D2
0
D 1 x
注：分块函数的积分要分块(区域)来积. 另外，带绝对值的函数是分块函数。
10
例 11
求由下列曲面所围成的立体体积， z x y ， z xy， x y 1， x 0， y 0 .
解 画图. 所围立体在 xoy 面上的投影 D 如图所示。
x2 y2 R2 , x2 z 2 R2
利用对称性, 考虑第一卦限部分,
其曲顶柱体的顶为 z R 2 x 2
R
o x
0 y R 2 x 2 ( x, y ) D : 0 x R 则所求体积为
第二节_二重积分的计算法
第二节_二重积分的计算法二重积分：在平面上规定一个有界闭合区域D，对于D上的每一点P(x,y)，都有一个标量函数f(x,y)与之对应。
则二重积分的数值就是由函数f(x,y)在区域D上所有点处的函数值决定的。
二重积分一般可以表示为∬Df(x,y)dA。
计算二重积分的方法主要有以下几种：直角坐标法、极坐标法、换元积分法和累次积分法。
1.直角坐标法：针对矩形、直角三角形、抛物线和折线边界的区域，可以直接使用直角坐标法来计算二重积分。
具体步骤如下：(1)写出二重积分的累加和形式：I=ΣΣf(x,y)ΔA。
(2)将区域D分成若干小矩形，计算每个小矩形的面积ΔA。
(3)在每个小矩形上选择代表点(x,y)，计算f(x,y)的函数值。
(4)将函数值与相应小矩形的面积相乘，加和求和即可得到二重积分的数值。
2.极坐标法：当具有极坐标对称性的区域时，采用极坐标法可以简化计算。
具体步骤如下：(1) 确定极坐标变换：x=r*cosθ，y=r*sinθ。
(2) 根据变换的雅可比矩阵计算面积元素dA的极坐标形式：dA=rdrdθ。
(3) 将二重积分转化为极坐标下的累次积分：I=∫∫Df(x,y)dxdy=∫∫Df(r*cosθ,r*sinθ)rdrdθ。
(4)将极坐标下的积分区域和积分限进行变换，然后按照累次积分进行计算。
3.换元积分法：当二重积分区域D的边界方程比较复杂时，可以使用换元积分法来简化计算。
具体步骤如下：(1)根据边界方程对二重积分区域D进行变换，将原来的二重积分区域映射到一个新的坐标系中的区域G。
(2)根据变换的雅可比矩阵，计算新坐标系下的面积元素dA'。
(3) 将二重积分转化为新坐标系下的累次积分：I=∫∫Df(x,y)dxdy=∫∫Gf(x(u,v),y(u,v))，J(u,v)，dudv，其中J(u,v)为雅可比行列式。
(4)对新坐标系下的累次积分按照直角坐标法或极坐标法进行计算。
4.累次积分法：当二重积分区域D可以通过垂直于坐标轴的直线进行划分时，可以使用累次积分法进行计算。
二重积分的概念和计算方法
二重积分的概念和计算方法在数学中，我们经常遇到需要对二维区域上的函数进行求和或求平均的情况。
为了解决这类问题，人们引入了二重积分的概念。
本文将探讨二重积分的概念以及常见的计算方法。
一、二重积分的概念二重积分是对二维平面上的函数进行求和的操作。
它可以看作是将一个二维区域分割成无穷多个小的矩形，然后对每个小矩形内的函数值进行求和的过程。
一般来说，我们通过累次积分的方法来计算二重积分。
对于函数f(x, y)在区域D上的二重积分，可以表示为：∬f(x, y)dA其中，D表示二维区域，dA表示微元面积。
二重积分的结果是一个数值，代表了函数f(x, y)在区域D上的总体特征。
二、二重积分的计算方法1. 直角坐标系下的二重积分在直角坐标系下，计算二重积分需要先确定积分范围。
一般情况下，我们将区域D分割成一个个小矩形或小三角形，根据积分的性质进行求和。
对于给定的函数f(x, y)，其在区域D上的二重积分可以表示为：∬f(x, y)dA = ∫∫f(x, y)dxdy其中，积分区域D的边界可以表示为[a, b]和[c(x), d(x)]，其中c(x)和d(x)是关于x的函数。
通过确定积分的次序和边界，我们可以将二重积分转化为一重积分的形式，然后按照一重积分的计算方法进行求解。
2. 极坐标系下的二重积分在某些情况下，使用极坐标系进行二重积分的计算更为方便。
特别是当积分区域具有简单的几何形状，如圆形、扇形或圆环等情况下，使用极坐标系可以简化计算过程。
对于给定的函数f(x, y)，在极坐标系下的二重积分可以表示为：∬f(x, y)dA = ∫∫f(r, θ)rdrdθ其中，积分区域D的边界可以表示为[r1(θ), r2(θ)]和[a, b]，其中r1(θ)和r2(θ)是关于θ的函数。
通过确定积分的次序和边界，我们可以将二重积分转化为一重积分的形式，然后按照一重积分的计算方法进行求解。
3. 格林公式的应用在某些情况下，利用格林公式可以简化二重积分的计算。
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二重积分的算法
二重积分是微积分中的重要概念之一，它在许多科学和工程领域中都有广泛的应用。
二重积分的算法是求解二重积分的方法和步骤，下面将介绍二重积分的算法。
一、二重积分的定义
二重积分是对二元函数在有界闭区域上的积分。
设函数f(x,y)在闭区域D上有定义，其中D是一个有界闭区域，D的边界可以用一组参数方程x=x(t)，y=y(t)，a≤t≤b表示。
则称函数f(x,y)在闭区域D 上的二重积分为：
∬D f(x,y) dxdy
二、二重积分的计算方法
二重积分的计算方法有多种，常见的有直角坐标系下的直接计算法和极坐标系下的极坐标变换法。
1. 直接计算法
直角坐标系下的直接计算法是将二重积分转化为两个一重积分的叠加，按照积分的定义逐个计算。
具体步骤如下：
（1）确定积分区域D的范围和方向；
（2）将二重积分转化为两个一重积分，先对y进行积分，再对x进行积分；
（3）根据积分区域D的范围和方向，确定积分的上下限；
（4）按照一重积分的定义计算每个一重积分；
（5）将两个一重积分的结果相加，得到二重积分的结果。
2. 极坐标变换法
极坐标系下的极坐标变换法是通过极坐标系下的变换公式将二重积分转化为极坐标系下的一重积分。
具体步骤如下：
（1）确定积分区域D的范围和方向；
（2）通过极坐标变换公式将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的一重积分；
（3）根据积分区域D的范围和方向，确定极坐标下的积分范围和方向；
（4）按照一重积分的定义计算极坐标下的一重积分；
（5）得到极坐标下的一重积分后，根据极坐标变换公式将其转化为直角坐标系下的二重积分。
3. 其他计算方法
除了直接计算法和极坐标变换法外，还有其他一些特殊情况下的计算方法，如利用对称性、变量替换等方法进行计算。
具体使用哪种方法取决于具体的问题和积分区域的特点。
三、二重积分的性质
二重积分具有一些重要的性质，包括线性性、保号性、保序性、可
加性等。
这些性质在计算二重积分时起到了重要的作用，可以简化计算过程和提高计算效率。
四、二重积分的应用
二重积分在科学和工程领域中有广泛的应用，如计算质量、质心、面积、体积、物理力学中的质点转动惯量等。
通过对二重积分的计算，可以更好地理解和研究各种现象和问题。
总结：二重积分的算法是求解二重积分的方法和步骤。
常见的计算方法包括直接计算法和极坐标变换法，根据具体问题选择合适的方法进行计算。
二重积分具有一些重要的性质，这些性质在计算过程中起到了重要的作用。
二重积分在科学和工程领域中有广泛的应用，通过对二重积分的计算可以解决各种问题。
掌握二重积分的算法对于深入理解微积分和应用数学具有重要意义。