二重积分的概念
二重积分的概念和几何意义
二重积分是数学中的一种重要概念，用于计算平面上的曲面面积、质量、质心等物理量。
它可以理解为在平面上对某个区域进行累积求和的操作。
几何意义上，二重积分可以被解释为平面上某个区域的面积。
具体而言，给定一个平面区域R，可以将该区域划分为许多小的面积元素，然后通过对这些面积元素的面积进行求和来计算整个区域的面积。
当面积元素的大小无限趋近于零时，对所有面积元素的求和就得到了准确的区域面积。
数学上，二重积分可以表示为：
∬R f(x, y) dA
其中，f(x, y) 是被积函数，表示在平面上某点(x, y) 处的函数值；R 是积分的区域，它可以是一个矩形、圆形或更复杂的曲线边界所围成的区域；dA 是微元面积元素。
二重积分的计算可以通过不同的积分方法进行，如直角坐标系下的重叠叠加、极坐标系下的极坐标转化、变量替换等方法。
除了计算面积，二重积分还可以用于计算质心、质量、重心、惯性矩等物理量，具体应用在物理学、工程学、经济学等领域。
总而言之，二重积分是用于计算平面区域上某个函数的累积效应，其几何意义为计算该区域的面积。
通过二重积分，可以对平面上的曲面进行量化分析和计算。
二重积分的概念及性质
积分对变量的可加性
定义
如果f(x,y)在平面上是可积的，那么对于任 意的a和b，有 ∫∫Df(x,y)dσ=∫a→bf(x,y)dσ+∫∫Df(x,y)dσ， 其中D是包含在区间[a,b]内的可积区域。
应用
该性质可以用于计算二重积分，特别是当被 积函数与某个变量的关系较为简单时。
04 二重积分的物理应用
个小弧段进行积分，然后将结果相加得到总长度。
平面曲线的曲率与挠率
曲率
曲率是描述曲线弯曲程度的量，可以 通过二重积分计算出曲线的曲率。
挠率
挠率是描述曲线在垂直方向上的弯曲 程度的量，也可以通过二重积分计算 出曲线的挠率。
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积分区域的可加性
定义
如果D1和D2是平面上互不相交的可积区域，则它们分别上的二重积分之和等于它们并集上的二重积分。 即，如果D=D1∪D2，则∫∫Df(x,y)dσ=∫∫D1f(x,y)dσ+∫∫D2f(x,y)dσ。
应用
该性质可以用于简化复杂的积分区域，将复杂区域分解为简单区域进行计算。
积分对区域的可加性
转换坐标
将被积函数从直角坐标转换为极坐标形式，即$x = rhocostheta$，$y = rhosintheta$。
分层积分
将极坐标下的二重积分拆分成两个累次积分，即先对角度积分再对极径积分。
逐个计算
对每个角度范围，计算其在极径上的积分值，并求和。
得出结果
将所有角度范围的积分结果相加，得到整个极坐标区域上的二重积分值。
二重积分的概念及性质
目录
• 二重积分的定义 • 二重积分的计算方法 • 二重积分的性质和定理 • 二重积分的物理应用 • 二重积分的数学应用
二重积分的难点与重点
计算二重积分时，画出积分区域并写出积分区域的不等式是最关键的，也是必须的二重积分的概念与难点一、二重积分的概念引例与定义1、曲顶柱体的体积 设函数(,)z f x y ，当(,)x y D 时，(,)0f x y ，且(,)f x y 在D 上连续。
由曲面(,)z f x y 、xoy 平面的区域D 、母线平行于z 轴的柱面所围成的空间区域称为曲顶柱体，或称为以曲面(,)z f x y 为顶，以xoy 平面的区域D 为底，母线平行于z 轴的立体称为曲顶柱体。
定义 设函数(,)f x y 是有界闭域D 上的有界函数。
将D 任意分割成n 个小的区域：1 、2 、...、n ，（i 既表示第i 个小区域也表示小区域的面积）；任取(,)i i i ，1,2,i n ，作和：1(,)ni i i i f ；记max {i 的直径}，若极限1lim (,)ni i i i f 存在，称极限值为函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分，记作：1lim (,)ni i i i f (,)Df x y d其中(,)f x y —被积函数，D —积分区域，d —面积微元，,x y —积分变量，(,)f x y d —被积表达式，1(,)ni i i i f —积分和。
即：(,)D f x y d(,)Df x y dxdy—直角坐标系下的二重积分(,)Df x y d(cos ,sin )Df r r rdrd —极坐标系下的二重积分2、二重积分的几何意义（1）当(,)0f x y ，(,)Df x y d 的几何意义表示以区域D 为底，以曲面(,)z f x y 为顶，母线平行于z 轴的曲顶柱体体积（位于平面xoy 的上方）；（2）当0),( y x f ，(,)Df x y d 的几何意义表示以区域D 为底，以曲面(,)z f x y 为顶，母线平行于z 轴的曲顶柱体的体积的负值（位于平面xoy 的下方）； （3）(,)Df x y d 的几何意义：表示以区域D 为底，以曲面(,)z f x y 为顶，母线平行于z 轴的曲顶柱体的体积的代数和。
二重积分证明题
二重积分证明题（原创实用版）目录一、二重积分的概念和性质二、二重积分的证明方法三、二重积分证明题的实例解析四、总结与展望正文一、二重积分的概念和性质二重积分是多元函数积分中的一种，它是指对一个函数在空间中某个区域上的值进行两次积分。
二重积分具有以下性质：线性性、连续性、可积性等。
二、二重积分的证明方法在解决二重积分证明题时，通常采用以下几种方法：1.直接积分法：适用于简单的二重积分，直接对被积函数进行积分。
2.重积分换元法：适用于较复杂的二重积分，通过换元将二重积分转化为单重积分。
3.重积分分部积分法：适用于具有一定规律的二重积分，通过分部积分将二重积分转化为求和或差。
4.重积分对称性法：适用于具有对称性的二重积分，通过利用对称性简化积分计算。
三、二重积分证明题的实例解析举例：设函数 f(x, y) = x^2 + y^2，证明∫∫f(x, y) dxdy = π。
解：采用重积分换元法。
令 x = rcosθ，y = rsinθ，则 dxdy = rdrd θ。
将被积函数代入得：∫∫f(x, y) dxdy = ∫∫(r^2cos^2θ + r^2sin^2θ) rdrdθ= ∫r^3cos^2θ dtdr + ∫r^3sin^2θ dtdr = ∫r^2(rcos^2θ + rsin^2θ) drdθ= ∫r^2 r drdθ= ∫r^3 dr= r^2 |_{0}^{1}= π因此，证明了∫∫f(x, y) dxdy = π。
四、总结与展望二重积分证明题是多元函数积分中的一个重要内容，掌握好二重积分的证明方法对于解决实际问题具有重要意义。
通过本篇文章的学习，读者对二重积分的概念、性质以及证明方法有了更加深入的了解。
二重积分1dxdy的几何意义
二重积分1dxdy的几何意义二重积分 $ \iint_D 1 dxdy $ 的几何意义二重积分是高等数学中的一个重要概念，也是数学分析学科中的一种积分方法。
在数理科学和工程学科中，常常需要利用二重积分的概念和方法解决一些实际问题。
本文将从几何意义上探讨二重积分 $ \iint_D 1 dxdy $ 的概念和应用。
一、二重积分的定义二重积分是针对二元函数进行积分的一种方法，在平面直角坐标系中表示为：$ I=\iint_D f(x,y) dxdy $其中，$ f(x,y) $ 是待求积函数，$ D $ 是其定义域，$ I $ 是二重积分的值。
二、二重积分的几何意义二重积分的几何意义较为直观，可以理解为平面区域 $ D $ 上的体积或者质量。
1.平面区域的体积在平面直角坐标系中，将平面区域 $D$ 划分为无限个微小的面元，则每个微小的面元的面积近似为 $ds$，面元的高度近似为 $f(x,y)$。
则该微小面元的体积为 $f(x,y)ds$。
将所有微小体积加起来，得到平面区域$ D $ 上的体积近似值 $ V $。
$ V \approx \sum_i f(x_i,y_i)ds_i $考虑当 $ ds $ 很小时，$ V $ 的近似值越来越精确，于是得到了平面区域 $ D $ 上的体积：$ V=\iint_D f(x,y) dxdy $2.平面区域的质量若将平面区域 $ D $ 看成一个平面物体，则其每个微小部分的面积 $ ds $ 与单位面积的密度 $ \rho $ 的乘积即为该微小部分的质量 $ dm $。
则该微小部分的质量为 $ \rho ds $。
将所有微小质量加起来，得到平面物体 $ D $ 的质量 $ m $。
$ m=\iint_D \rho(x,y) dxdy $三、二重积分的应用二重积分在数学、物理等领域有许多应用，例如：1.面积对于平面区域 $D$，其面积可以表示为：$ S=\iint_D dxdy $2.重心对于平面区域$D$，可以通过以下公式求得其重心$(\bar{x},\bar{y})$：$ \bar{x}=\frac{1}{S}\iint_D x dxdy $$ \bar{y}=\frac{1}{S}\iint_D y dxdy $3.质心对于平面物体$D$，可以通过以下公式求得其质心$(\bar{x},\bar{y})$：$ \bar{x}=\frac{1}{m}\iint_D x \rho(x,y) dxdy $$ \bar{y}=\frac{1}{m}\iint_D y \rho(x,y) dxdy $4.矩阵对于平面区域 $D$ 和平面物体 $D$，可以通过以下公式求得其矩：$ M_{xy}=\iint_D xy dxdy $$ M_{xx}=\iint_D x^2 dxdy $$ M_{yy}=\iint_D y^2 dxdy $四、结论二重积分是一种重要的数学概念，在物理、数学等领域都有广泛应用。
二重积分的定义求极限
二重积分的定义求极限一、引言积分是微积分中的重要概念之一，它广泛应用于数学、物理、工程等领域。
在本文中，我们将重点讨论二重积分的定义求极限的问题。
二重积分是对二元函数在某个有界区域上的积分，它可以用来计算面积、质量、重心等物理量。
二、二重积分的定义设函数f(x, y)在有界闭区域D上有定义，将D划分为n个小矩形，其中第i个小矩形的面积为ΔSi，取小矩形中任意一点(xi, yi)，将其作为代表点。
当n趋向于无穷大时，这些小矩形的面积ΔSi趋向于零，此时我们可以得到二重积分的定义如下：其中，ΔSi表示第i个小矩形的面积，(xi, yi)表示第i个小矩形的代表点，S表示二维平面上的面积，D表示有界闭区域。
三、二重积分的求解方法1. 直角坐标系下的二重积分在直角坐标系下，二重积分可以通过将被积函数f(x, y)乘以微元面积dS来求解。
具体步骤如下： 1. 将被积区域D投影到xy平面上，确定积分的上下限。
2. 写出二重积分的被积函数f(x, y)。
3. 将f(x, y)乘以微元面积dS，得到被积函数在xy平面上的微元面积元素f(x, y)dS。
4. 对被积函数在xy平面上的微元面积元素f(x, y)dS进行积分，即可得到二重积分的结果。
2. 极坐标系下的二重积分在极坐标系下，二重积分可以通过将被积函数f(r, θ)乘以微元面积dS来求解。
具体步骤如下： 1. 将被积区域D投影到极坐标系下，确定积分的上下限。
2. 写出二重积分的被积函数f(r, θ)。
3. 将f(r, θ)乘以微元面积dS，得到被积函数在极坐标系下的微元面积元素f(r, θ)dS。
4. 对被积函数在极坐标系下的微元面积元素f(r, θ)dS进行积分，即可得到二重积分的结果。
3. 其他坐标系下的二重积分除了直角坐标系和极坐标系，还可以使用其他坐标系进行二重积分的求解，如柱坐标系、球坐标系等。
具体的求解方法与极坐标系类似，只是微元面积元素的表达形式不同。
二 重 积 分
质量
一、二重积分的概念
(2)近似.设λi为小闭区域Δσi的直 径，当λi很小时，由于ρ(x,y)连续， ρ(x,y)在同一小闭区域内变化很小， 因此这些小块就可以近似地看作均匀 分布的.在每个Δσi中任取一点 (ξi,ηi)(见图9-3),则
ΔMi≈ρ(ξi,ηi)Δσi(i=1,2,…,n).
图 9-3
一、二重积分的概念
一、二重积分的概念
注
①和式(9-1)的极限存在时，称f(x,y)在区域D上是可 积的.可以证明，如果函数f(x,y)在区域D上连续，则f(x,y) 在区域D上一定是可积的.
②如果f(x,y)在区域D上是可积的，则和式(9-1)的极 限存在，且与D的分法和点(ξi,ηi)的选取及积分变量用什么 字母表示无关，其值只取决于被积函数和积分区域.
一、二重积分的概念
定义1
z=f(x,y)
D上的有界函数，
将D任意分成n个小区域
Δσ1,Δσ2,Δσ3,…,Δσn. 在每个小区域Δσi内任取一点(ξi,ηi)(i=1,2,…,n)，作 和式
(9-1)
一、二重积分的概念
当n无限增大，各小区域中的最大直径λ→0 时，不论区域D如何分割，也不论(ξi,ηi)如何选取， 如果和式(9-1)的极限存在，则称此极限为二元函 数z=f(x,y)在区域D上的二重积分，记作
一、二重积分的概念
(2)近似.设λi为小闭区域Δσi的直径(一 个闭区域的直径是指区域上任意两点距离 的最大值)，当λi很小时，由于f(x,y)连续， f(x,y)在同一小闭区域内变化很小，因此 可将小曲顶柱体近似看作小平顶柱体，于 是可用平顶柱体的体积公式来计算.在每个 Δσi中任取一点(ξi,ηi)，以f(ξi,ηi)为高而底 为Δσi的小曲顶柱体(见图9-2)的体积为
二重积分
8.6 二重积分二重积分也是由实际问题的需要而产生的。
在一元函数积分学中我们已经知道，定积分是某种特定形式的和的极限，把这种和的极限的概念推广到定义在某个区域上的二元函数的形式，便可得到二重积分的概念。
一． 二重积分的概念引例1 曲顶柱体的体积设有一立体，它的底是xoy 平面上的有界闭区域D ，它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面，它的顶是曲面),(y x f z =，这里0),(≥y x f ，且在D 上连续（如图所示）。
这种立体称为曲顶柱体。
现在我们来讨论它的体积。
关于曲项柱体，当点),(y x 在区域D 上变动时，高),(y x f 是个变量，因此它的体积不能直接用体积公式来计算。
不难想到，用求曲边梯形面积的方法来解这个问题。
(1) 分割：我们用一曲线网把区域D 任意分成n 个小区域1σ∆，2σ∆，…，n σ∆小区域i σ∆的面积也记作i σ∆。
以这些小区域的边界曲线为准线作母线平行于z 轴的柱面，这些柱面把原来的曲项柱体分为n 个细条的小曲顶柱体。
它们的体积分别记作1V ∆，2V ∆，…，n V ∆(2) 近似代替：对于一个小区域i σ∆，当直径（i σ∆最长两点的距离）很小时，由于),(y x f 连续，),(y x f 在i σ∆中的变化很小，可以近似地看作常数。
即若任意取点∈),(i i ηξi σ∆，则当i y x σ∆∈),(时，有),(y x f ),(i i f ηξ≈，从而以i σ∆为底的细条曲顶柱体可近似地看作以),(i i f ηξ为高的平顶柱体（如图所示）于是≈∆i V ),(i i f ηξi σ∆ ),,3,2,1(n i =(3) 求和：把这些细条曲顶柱体体积的近似值),(i i f ηξi σ∆加起来，就得到所求的曲顶柱体体积V 的近似值，即∑∑==∆≈∆=ni i i i n i i f V V 11),(σηξ(4) 取极限：一般地，如果区域D 分得越细，则上述和式就越接近于曲顶柱体体积V ，当把区域D 无限细分时，即当所有小区域的最大直径0→λ时，则和式的极限就是所求的曲顶柱体的体积V ，即0lim →=λV ∑=∆n i i ii f 1),(σηξ引例2 非均匀平面薄板的质量设薄片的形状为闭区域D(如图所示)，其面密度ρ是点),(y x 的函数，即),(y x ρρ=在D 上为正的连续函数．当质量分布是均匀时，即ρ为常数，则质量M 等于面密度乘以薄片的面积。
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ρ(ξi ,ηi )Δσi
3） 定义：设函数 z = f (x, y) 是有界闭区域 D 上连续的有界函
数，将闭区域分解成 n 份小闭区域：
Δσ1 ， Δσ 2 ， Δσ 3 …… Δσ n 其中 Δσ i 表示第 i 个小闭区域，也表示它的面积，在每个 Δσ i 上
任取一点 (ξi ,ηi ) ，做乘积 f (ξi ,ηi )Δσi（i=1、2、3、4……n），
质量=面密度×面积
求质量的具体步骤：
A. 用一组网格把 D 分割称 n 个小区域 Δσ1 ， Δσ 2 ， Δσ 3 …… Δσ n
B. 计算一个小区域薄片的质量：
ΔM = ρ(ξi ,ηi )Δσi （i=1、2、3、4……n）
C. 对其求和，得到整个薄片质量：
n
∑ M = lim λ→0 i=1
叫做曲顶柱体。
求其体积的步骤：
A. 用一组网格把 D 分割称 n 个小区域 Δσ1 ， Δσ 2 ， Δσ 3 …… Δσ n
B. 以这些小区域的边界为准线，母线平行与 z 轴，做一些小
曲顶柱体，因小区域足够小，且 z = f (x, y) 连续，视之为
平顶柱体
C. 计算一个平顶柱体的体积：
Δv = f (ξi ,ηi )Δσi （i=1、2、3、4……n）
积分必然存在。
2、 二重积分的性质：
∫∫kf (x, y)dxdy= k∫∫ f (x, y)dxdy
D
D
∫∫[ f (x, y) ± g(x, y)]dxdy= D
∫∫ f (x, y)dxdy± ∫∫g(x, y)dxdy
D
D
如果闭区域 D 被有限条曲线分为两个部分的闭区域，则：
∫∫ f (x, y)dxdy= ∫∫ f (x, y)dxdy+
D. 对其求和，得到曲顶柱面的体积：
n
∑ v = lim λ→0 i=1
f (ξi ,ηi )Δσi
2） 平面薄片的质量
设有一平面薄片占有xoy平面上的闭区域D，它在点 (x, y)
处的面密度为
ρ(x,
y)
，这里
ρ(x,
y)
q i ě z à i shànglián x ù
》0且在D上 连续，现
要计算薄片的质量。
《 ∫∫ f (x, y)dxdy ∫∫ g(x, y) dxdy
D
D
3、 二重积分的中值定理
设函数 z = f (x, y) 在闭区域 D 内连续，σ 是 D 的面积，则在 D 上至少有一点 (ξ ,η ) 使得下列式子成立：
∫∫ f (x, y)dσ =f (ξ,η)σ
D
D
D1
∫∫ f (x, y)dxdy
D2
∫∫ σ = 1dσ Nhomakorabea表示高为 1 的平顶柱体体积等于底面积。
D
f (x,y)≤g(x,y)则：
《 ∫∫ f (x, y)dxdy ∫∫g(x, y)dxdy
D
D
设 m 和 M 是函数 z = f (x, y) 在闭区域 D 内的最大值和最
小值，σ 是 D 的面积，则有：
二重积分的概念
1、 二重积分的概念
yǐn l ì
引例：
1） 曲顶柱体体积：
母线
准线
设有一立体，它的底是xoy平面上的闭区域D，它的侧面是以
D的边界曲线为准线而母线平行与z轴的柱面，它的顶是以曲
面
z
=
f
(x,
y) ，这里
z
=
f
(x,
y) q i ě z à i shànglián x ù
》0且在D上 连续，这种立体
n
∑ ξ η σ f ( , )Δ 分变量，D 叫做积分区域， i=1
ii
i 叫做积分和。
有因为：
Δσ i = Δxi • Δyi
即 dσ = dxdy （直角坐标系中的面积元素）
∫∫ f (x, y)dσ = ∫∫ f (x, y)dxdy
D
D
4） 定理：如果函数 z = f (x, y) 在闭区域 D 内连续，则二重
n
∑ 并做和
f (ξ i ,η i ) Δ σ i ，如果当各个小闭区域的直径的最大
i =1
λ → 0 值
时，这和的极限总是存在，则称此极限为函数在闭区域上
的二重积分，记作：
n
∫∫ ∑ f (x, y)dσ = lim
D
λ→0 i=1
f (ξi ,ηi )Δσi
其中 z = f (x, y) 为被积表达式，dσ 叫做面积元素，x,y 叫做积