二重积分定义的函数求导
国开电大 工程数学(本) 形考任务1-5答案 (2)
国开电大工程数学(本) 形考任务1-5答案任务1答案在工程数学中，任务1通常包括对于给定的函数或方程求解、求导或求积分等基本运算。
以下是对任务1的答案：1.1 求解方程对于给定的方程，求解意味着找到使方程成立的变量的值。
解方程的一般步骤如下：1.将方程移项，整理为标准形式；2.根据运算法则，对方程进行简化；3.通过合适的代数运算，解出变量的值。
例如，对于方程2x+5=15，我们可以按照以下步骤求解：1.将方程移项得到2x=15−5；2.简化方程为2x=10；3.通过除法运算解出x的值，得到 $x = \\frac{10}{2}= 5$。
因此，方程2x+5=15的解为x=5。
1.2 求导求导是对给定函数的导数进行计算。
函数的导数反映了函数在每个点上的变化率。
求导的一般步骤如下：1.根据导数的定义，写出函数的导数表达式；2.使用导数的基本运算法则，对函数进行求导。
例如，对于函数x(x)=3x2+2x+1，我们可以按照以下步骤求导：1.写出函数x(x)的导数表达式为x′(x)=6x+2；2.使用导数的基本运算法则得到x′(x)=6x+2。
因此，函数x(x)=3x2+2x+1的导数为x′(x)=6x+2。
1.3 求积分求积分是对给定函数的积分进行计算。
函数的积分表示了函数在指定区间上的面积或曲线长度。
求积分的一般步骤如下：1.根据积分的定义，写出函数的积分表达式；2.使用积分的基本运算法则，对函数进行积分。
例如，对于函数x(x)=3x2+2x+1，我们可以按照以下步骤求积分：1.写出函数x(x)的积分表达式为 $\\int{(3x^2 + 2x +1)dx}$；2.使用积分的基本运算法则得到 $\\int{(3x^2 + 2x +1)dx} = x^3 + x^2 + x + C$，其中x为常数。
因此，函数x(x)=3x2+2x+1的积分为 $\\int{(3x^2 +2x + 1)dx} = x^3 + x^2 + x + C$。
二重积分
z y 1 yx , x
z x y ln x , y
x z 1 z x y 1 1 y yx x ln x y x ln x y y ln x
x y x y 2z.
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原结论成立．
有关偏导数的几点说明：
u １、 偏导数 是一个整体记号，不能拆分; x
我们已经知道，一元函数的定义域是数轴上的点集,而一元 函数的图形是平面上的点集（通常表现为一条平面曲线）。 我们也已经知道，二元函数的定义域是平面上的点集，那么， 二元函数的图形又是怎样的呢？
设函数 z f ( x , y ) 的定义域为 D ，对于任意 取定的 ( x, y) D ，对应的函数值为 z f ( x , y ) ， 这样，以 x 为横坐标、 y 为纵坐标、 z 为竖坐标 在空间就确定一点 M ( x , y , z ) ，当( x ,y)取遍 D 上 一切点时，得一个空间点集 {( x , y , z ) | z f ( x , y ), ( x , y ) D}，所以说二元 函数的图形是空间的点集。通常表现为空间一 张曲面。
1 y y z ( 2 ) 2 2 y 2 x x y (1， 0) 0. 1 ( ) x x 1 y z ( )y (把x看成常量, 对y求导) y 2 x y 1 ( ) x 1 1 x z 2 2 y 2 x x y (1， 0) 1. 1 ( ) y x
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类似地可定义:
函数z f ( x , y )在点( x0 , y0 )处对y的偏导数 f ( x 0 , y 0 y ) f ( x 0 , y 0 ) lim lim y 0 y y 0 y z f 记作 | x x0 , | x x0 , z y | x x0 , f y ( x0 , y0 ). y y y 0 y y y 0 y y0 yz
大专高数知识点总结
大专高数知识点总结一、函数与极限1、函数的概念与性质函数关系的概念：若对于集合A中的每一个元素x, 通过一个确定的法则f，到达集合B中的唯一的一个元素y，则称y是关于元素x的函数，并记作y=f(x)。
其中，元素x称为自变量，元素y称为因变量，而f称为函数的解析式。
集合A称为函数的定义域，集合B称为函数的值域。
函数的性质：定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性。
2、极限的概念与性质极限的概念：当自变量x的取值无限接近于某一确定值时，因变量f(x)的取值趋于一个确定的值L，那么称f(x)当x趋于某一确定值时的极限为L，记作lim f(x) = L。
极限的性质：唯一性、保序性、极限的四则运算、无穷小量的性质。
3、导数的概念及计算导数的概念：函数y=f(x)在x_0处的导数定义为lim(x→x_0){f(x)-f(x_0)}/(x-x_0)。
导数的物理意义是函数图像在某一点的切线斜率。
导数的计算：基本导数公式、导数运算法则、高阶导数的计算。
4、微分的概念及应用微分的概念：对于函数y=f(x)，在点x_0处的微分dy=f'(x_0)dx。
微分的物理意义是函数在某一点处的局部线性近似。
微分的应用：微分中值定理、泰勒公式、误差估计。
5、函数的图像基本初等函数图像、函数的性质与图像。
二、不定积分与定积分1、不定积分的概念及计算不定积分的概念：若函数F(x)是f(x)的一个原函数，那么函数F(x)称为f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx=F(x)+C。
不定积分的计算：基本积分公式、换元积分法、分部积分法、有理函数积分、三角函数积分、定积分的概念及计算。
2、定积分的概念及计算定积分的概念：将函数f(x)在区间[a,b]上的取值的“有向长度”累加起来，得到的数，称为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫(a,b)f(x)dx。
定积分的计算：定积分的性质、变量代换法、分部积分法、定积分中值定理、定积分的应用。
多元函数求导经典例题 (1)可修改文字
注意 驻点
极值点
定理 2（充分条件）
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内连续，
有一阶及二阶连续偏导数，
又 f x ( x0 , y0 ) 0,
f y ( x0 , y0 ) 0 ， 令
f xx ( x0 , y0 ) A， f xy ( x0 , y0 ) B ， f yy ( x0 , y0 ) C ，
12.复合函数求导法则
定理 如果函数u (t) 及v (t) 都在点t 可
导，函数z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导
数，则复合函数 z f [ (t ), (t )] 在对应点t 可
导，且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt
以上公式中的导数 dz 称为全导数.
y
z x
2z xy
fxy ( x, y),
z x y
2z yx
f yx ( x, y).
混合偏导
定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏 导数.
９.偏导数在经济上的应用:交叉弹性
设函数z f x, y在x, y处偏导数
存在,函数对x的相对改变量
xz z
f x x, y f x, y f x, y
多元函数习题课
一 学习要求
(1) 理解多元函数的概念,理解二元函数的 几何意义;
(2) 理解二元函数的极限与连续性的概念, 以及有界闭域上连续函数的性质;
极多 限元 及函 连数 续的
概 念
(3) 理解偏导数和全微分的概念,会求全微
分,了解全微分存在的必要和充分条件,了 解全微分形式不变性;
二重积分的计算小结
二重积分的计算小结在数学中，二重积分是一种用来计算平面上曲线下的面积的方法。
它是定积分的扩展，可以用于计算更加复杂的形状的面积，例如圆形、椭圆形和弧形等。
在本文中，我们将详细介绍二重积分的计算方法，并提供一些重要的应用案例和技巧。
同时，我们还将讨论二重积分的性质以及它与其他数学概念的关系。
设 $f(x,y)$ 是定义在闭区域 $D$ 上的实函数，将闭区域 $D$ 分成许多小的矩形区域，其中第 $i$ 个小矩形的面积为 $\Delta A_i$，选择任意一点 $(x_i^*, y_i^*)$ 作为该矩形的代表点，则二重积分的近似值可以表示为：$$\sum_{i=1}^n f(x_i^*, y_i^*) \Delta A_i$$其中，$n$ 是划分区域时小矩形的个数，$\Delta A_i$ 是第 $i$ 个小矩形的面积。
当划分的小矩形越来越小，并且代表点 $(x_i^*, y_i^*)$ 在每个小矩形内部时，这个近似值将趋近于一个常数，即二重积分的值。
我们用符号 $\iint_D f(x,y) dA$ 表示二重积分的值，其中 $dA$ 表示对面积的微元。
接下来，我们将介绍几种计算二重积分的方法。
一、二重积分的计算方法1. 矩形法（Riemann和）：将区域 $D$ 划分为若干个小的矩形区域，计算每个矩形的面积和函数值，并将它们相加得到近似值。
2. 二次积分法（Fubini定理）：根据 Fubini 定理，我们可以将二重积分转化为两个一重积分的乘积：$$\iint_D f(x,y) dA = \int_a^b \left( \int_c^d f(x,y) dy\right) dx$$3. 极坐标法：当区域 $D$ 的形状具有旋转对称性时，使用极坐标计算二重积分可以更加简便。
通过转化为极坐标系，并利用极坐标下的Jacobian 行列式，可以将原二重积分转化为对一重积分的积分。
4. 线性代换法：对于不规则区域，我们可以通过线性代换将其转换为规则区域，然后再进行计算。
8月5日二重积分+无穷级数[1]
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cos x) dx = 1.
建议 02 cos xdx = 02 sin xdx = 1
要背下来.
例(19xf ( y )dy = baf ( x) (b x)dx
证法一 交换积分次序,本来先积
I=
10dx
2 x
xf (x,y)dy.
例(1997年专升本试题)
交换二重积分
I=
10dx
fx2
0
(
x,
y
)
dy
+
12dx
2 0
xf ( x,y)dy
的积分次序.
23
12dy y2f ( x,y) dx = f ( x, y)dxdy D
= 12dx 1xf ( x, y )dy
故应选C.
例(1994年专升本试题)
D
= lim f ( 0 i=1
i,
i)
i.
2. 二重积分的几何意义
当被积函数大于零时，二重积分是
柱体的体积．
当被积函数小于零时，二重积分是
2
如果在 D 上，f (x,y) = 1, 且 D 的面
积
为 ,则
= 1d = d .
D
D
性质 4 对区域具有可加性,如果
D=D1+D2, 则
f (x,y)d = f (x,y)d + f (x,y)d .
解 根据后积先定限可知, 在 D
上, 1 y 2, 再根据限内一条
线,在D上,
y x 2, 于是 D 的图形如图所
示. 对积分交换顺序即得
21
根据后积先定限,限内一条线可知
D1 :
0 0
y x
y1; D2 :
高数一公式-自己的笔记
第一章 极限连续五种基本初等函数：（缺少定义域） 1．幂函数为实数）μμ(x y = 2．指数函数)1,0(≠>=a a a y x 3．对数函数 )1,0(log ≠>=a a x y a4．三角函数x y x y x y x y x y x y csc ,sec ,cot ,tan ,cos ,sin ====== 5．反三角函数x arc y x y x y x y cot ,arctan ,arccos ,arcsin ====一、函数的极限：f(x)在x 0处极限存在的充分必要条件是f(x)在点x 0处的左极限与右极限都存在且相等，此时三者值相同。
是否有极限与在x 0处有无定义无关。
两个重要极限公式:⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=→∞→→e x e x x x x x x x x )11(lim ,)1(lim 1sin lim 100 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<∞>==++++++--→∞→∞nm n m n m ba b x b x b a x a x a x Q x P m m m n n n x x ,,0,......lim ,)()(lim 00110110可利用公式对于二、无穷小量：零可以作为无穷小量的唯一的数。
无穷小之商不一定无穷小。
无穷小量比较：设0lim ,0lim 0==→→βαx x x x。
不能在加减运算中使用除中使用注意：只能在乘存在，则且时性质：当时，当。
记为为等价无穷小量与时为同阶无穷小量。
与时则称在若为低阶无穷小量。
较时则称在若记为为高阶无穷小量较时则称在若,! ''limlim ''lim ,'~,'~~1,2~cos 1,~)1ln(,~tan ,~sin 0~,1A ,,0A lim ,,lim )(,,,0lim00000002000βαβαβαββααβαβαβαβαβαβαβοαβαβαx x x x x x xx x x x x x x x xe x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→→=→--+→=→≠=→∞==→=三、函数连续的三要素1〉f(x)在x 0处有定义；2〉0x x →时f(x)有极限；3〉极限值等于该点的函数值。
重积分运算的常用解法
重积分运算的常⽤解法积分运算的常⽤⽅法Warren K引⾔：本学期课程的⼀⼤重点在于重积分的运算、利⽤重积分解决实际问题的微元法以及线⾯积分及其应⽤。
这⾥根据⾃⼰学习的⼀些⼼得以及课本和参考书籍上的知识，归纳总结⼀些积分运算的常⽤⽅法。
⼀、⼆重积分（1）、化为累次积分公式==bax y x y dcy x y x s dxdy y x f dxdy y x f ds y x f )(2)(1)(2)(1)(),(),(),(例1:计算??)(s xyds ,其中S 为抛物线x y =2与直线2-=x y 所围成的区域.解将S 视为y 型区域，先对x 后对y 积分，得855])2[(5.02142212)(2=-+==--+dy y y y xydx dyxyds y s y 如果⽤直线把此区域（S ）分成两部分，那么（S ）可以看作是两个x 型区域的并。
先对y 后对x 积分得--+=412)(xx x xs xydy dx xydy dx xyds由上式可以得出同样的结果，但这种⽅法显然要⿇烦⼀些。
从这也可以看到，计算⼆重积分时，选取适当的积分顺序是⼀个值得注意的问题。
如果积分顺序选择不当，不仅可能引起计算上的⿇烦，⽽且可能导致积分⽆法算出。
（2）、化为极坐标若积分域（S ）与被积函数f(x,y)⽤极坐标表⽰更为简便，则应考虑将其化为极坐标的⼆重积分来计算。
为此，建⽴极坐标系，令极点与xOy 直⾓坐标系的原点重合，x 轴取为极轴。
利⽤直⾓坐标与极坐标的转换公式),20,0(sin ,cos π?ρ?ρ?ρ≤≤+∞≤≤==y x将（S ）的边界曲线化为极坐标，并把被积函数变换为).sin ,cos (),(?ρ?ρf y x f =接下来就是把⾯积微元由极坐标表⽰出来，.?ρρ??≈?s从⽽==βα?ρ?ρρρ?ρ?ρ??ρρ?ρ?ρ)()(21)sin ,cos (.)sin ,cos (),(d f d d d f ds y x f ss=??ba d f d )()(21)sin ,cos (ρ?ρ??ρ?ρ?ρρ例2：)0()(41022222>+-=??-+--a dy y x a dx I ax a a x解：将原积分化为极坐标下的累次积分计算.a d a d I a 224sin 2022-=-=??--πρρρθπθ（3）、曲线坐标下⼆重积分的计算法 1.正则变换⼆重积分??)(),(s ds y x f作变换.)(),()(),(),,(),,(22R s v u R s y x y x v v y x u u ?'∈?∈==若以下三个条件满⾜,则称上变换为⼀正则变换. a 、函数));((,)1(σC v u ∈b 、Jacobi ⾏列式);(),(,0),(),(σ∈?≠=??y x v u v u y x v u yyx x c 、此变换将域)(σ⼀⼀对应地映射为).(σ'2.x0y 坐标系下的⼆重积分与uOv 坐标系下⼆重积分之间的关系为σσσσ'??='d v u y x v u y v u x f d y x f ),(),()],(),,([),()( 例3：求-=σσd x y I )(，其中)(σ是由直线53,973,3,1+-=+-y x y x y x y 所围成的区域。
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t
t
t
（ x，t）
t
从而
（' t） = （' t）（P （ t），t）- （' t）（P （ t），t）+ （t） （P x，t）dx
（ t）
t
即我们得到
定理 2 函数 （ t）及区域 D 定义同上，我们有
（（ t），t）
（ （ t），t）
（' t） = （' t）
（f （ t），y，t）dy - （' t）
!（ t）
我们知道，如果 g（t）= （f x）dx，其中 "（t），!（t）关于 t 均可导，（f x）连续，那么 g（t）可导，且 "（ t）
g（' t） = （f !（ t））!（' t）_ （f "（ t））"（' t）
（l）
如果
!（ t）
g（ t） = （f x，t）dx "（ t）
其中 "（ t），!（ t）关于 t 均可导，（f x，t）关于 x 连续，关于 t 可偏导，那么 g（ t）是否可导，导数将是怎
样的呢？
此问题虽然很常见，但用一元函数定积分的知识还不能完整地给出解答. 让我们用二元函数
偏导数等知识讨论此问题.
!（ t）
先考虑特殊情形 g（0 t） = 0 （f x，t）dx
!（ t +!t）
显然 g（ t + !t） =
（f x，t + !t）dx，所以
0
!（ t +!t）
!（ t）
g（ t + !t）_ g（ t） =
引证文献(2条)
1.韩广华.戴更新.孟瑶 可替代性服务备件的末次备货问题研究[期刊论文]-科学技术与工程 2008(3) 2.钮宏霞 变限积分求导公式在高维典型立体上的推广[期刊论文]-数学的实践与认识 2008(20)
本文链接：/Periodical_gdsxyj200602017.aspx
D
（ t） （ x，t）
（ t） = dx （f x，y，t）dy （ t） （ x，t）
（3）
这样，我们反复利用公式（2），便能得到 （ t）的导数. 实际上，令
（ x，t）
（P x，t） =
（f x，y，t）dy
（ x，t）
由公式（2），我们有
（P x，t） = （ x，t）（f x，（ x，t），t）- （ x，t）（f x，（ x，t），t）+ （x，t） （f x，y，t）dy
（f （ t），y，t）dy +
（（ t），t）
（ （ t），t）
（t） （ x，t）（f x，（ x，t），t）dx - （t） （ x，t）（f x，（ x，t），t）dx + （f x，y，t）dxdy
（ t）
t
（ t）
t
t
D
下面举一例来说明此公式的应用.
2-t
t-x
例 1 设 F（ t） = dx （ x - y + t）dy，求 F（ t）的极值点.
高等数学研究
Vol. 9，No. 2
40
STUDIES IN C0LLEGE MATHEMATICS
Mar. ，2006
二重积分定义的函数求导
杨士林 彭良雪 （北京工业大学应用数理学院 北京 l00022）
摘 要 讨论二重积分定义的函数的求导问题 关键词 二重积分；导数；偏导数 中图分类号 0l72
偏导，则 g（ t）可导，且导数为
g（' t） =
!（' t）（f !（ t），t）_ "（' t）（f "（ t），t）+
!（t） $（f x，t）dx "（t） $t
（2）
对于一个给定的区域 D，其上的二重积分
收稿日期：2005. 0l - 23
第 9 卷第 2 期
杨士林，彭良雪：二重积分定义的函数求导
二重积分定义的函数求导
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
杨士林， 彭良雪 北京工业大学应用数理学院,北京,100022
高等数学研究 STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS 2006,9(2) 2次
参考文献(2条) 1.华东师范大学数学系 数学分析 1980 2.刘玉链;傅沛仁 数学分析讲义 2001
41
（f x，y，t）dxdy
D
定义了 t［ ，］的一个函数，如何求此函数的导数呢？此问题的一般形式较复杂，我们只对某些特 殊的情形加以讨论.
假定区域 D 满足 D：（ x，t） y （ x，t），（ t） x （ t）， t ，其中 t 是参数，令
首先将（3）化成累次积分
（ t） = （f x，y，t）dxdy
!（t）（f x，t
0
+
!t）_ !t
（f
x，t）dx
+
!（ t
+
!t）_ !t!（ t）Biblioteka f #，t +!t）
令 !-0，我们得到
g（' t） =
!（ t） 0
$（f $t
x，t）dx
+
!（' t）（f !（ t），t）
一般地，我们有
!（ t）
定理 l 设 g（ t）= （f x，t）dx，其中 "（ t），!（ t）关于 t 均可导，（f x，t）关于 x 连续，关于 t 可 "（ t）
本文读者也读过(10条) 1. 王泽晖 含参变量函数积分求导的推广[期刊论文]-大学数学2005,21(3) 2. 蒋群华.周永权.JIANG Qun-hua.ZHOU Yong-quan 基于二重积分定义的神经网络求数值积分方法研究 [期刊论文]-计算机工程与设计2008,29(24) 3. 蒋群华.周永权.JIANG Qun-hua.ZHOU Yong-quan 基于二重积分定义的神经网络求解数值积分模型及学 习算法[期刊论文]-广西科学2008,15(3) 4. 白克志.BAI Ke-Zhi 分段连续函数在分段点上的求导问题[期刊论文]-柳州职业技术学院学报(综合版) 2003,3(1) 5. 常敏慧.Chang Min-hui 变上限定积分求导及其应用[期刊论文]-科技信息（科学·教研）2007(33) 6. 舒伟.SHU Wei Faà di Bruno公式在函数逐次求导上的应用[期刊论文]-陕西工学院学报2000,16(4) 7. 李德新 利用球面坐标解一类条件极值问题[期刊论文]-高等数学研究2006,9(2) 8. 孔志宏 浅析解可延拓至整个X轴的条件[期刊论文]-高等数学研究2006,9(1) 9. 刘秀梅.杨新兵 一类问题下曲面积分的注释[期刊论文]-高等数学研究2006,9(2) 10. 胡杨子 求递推序列通项公式的一个方法[期刊论文]-高等数学研究2006,9(1)
（f x，t + !t）dx _ （f x，t）dx =
0
0
!（ t）
!（ t +!t）
［（f x，t + !t）_ （f x，t）］dx +
（f x，t + !t）dx
0
!（ t）
因此，由积分中值定理可知，存在 # 在 !（ t）和 !（ t + !t）之间，使得
g（ t
+
!t）_ !t
g（ t） =
0
0
解 由定理容易知道
2t -2
2-t
2-t
t-x
F（' t） = - （2 - y）dy + 2xdx + dx dy
0
0
0
0
即
F（' t） = - 1 t2 - 4t + 6 2
令 F（' t） = 0 得 t = - 4 : 2 !7. 容易知道它们均是极大值点. 我们现在给出一种特殊情形：函数 （ t）及区域 D 定义同上，但 ， 仅是 x 的一元函数，而 f 是
x，y 的二元函数，则有
（（ t））
（ （ t））
（' t） = （' t） （f （ t），y）dy - （' t） （f （ t），y）dy
（（ t））
（ （ t））
参考文献
［1］刘玉链，傅沛仁编. 数学分析讲义（ 第三版）. 高等教育出版社，2001 年. ［2］华东师范大学数学系编. 数学分析. 高等教育出版社，1980.