高中数学新学案同步 必修2苏教版 第一章 立体几何初步 1.3.2
1.3.2空间几何体的体积学习目标1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.3.会求简单组合体的体积及表面积．知识点一柱体、锥体、台体的体积公式1．柱体的体积公式V ＝Sh (S 为底面面积，h 为高)．2．锥体的体积公式V ＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)．3．台体的体积公式V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h (S ′，S 为上、下底面面积，h 为高)．4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V ＝Sh V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )hV ＝13Sh .知识点二球的表面积和体积公式1．球的表面积公式S ＝4πR 2(R 为球的半径)．2．球的体积公式V ＝43πR 3.知识点三球体的截面的特点1．球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆．2．利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径．1．锥体的体积等于底面面积与高之积．(×)2．台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．(√)类型一柱体、锥体、台体的体积例1(1)如图所示，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1－ABC 1的体积为____________．答案312解析三棱锥B 1－ABC 1的体积等于三棱锥A －B 1BC 1的体积，三棱锥A －B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312.(2)现有一个底面直径为20cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm ，高为20cm 的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降________cm.答案0.6解析设杯里的水下降h cm ，由题意知202h ＝13×20×π×32，解得h ＝0.6cm.反思与感悟(1)常见的求几何体体积的方法①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．(2)求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．跟踪训练1(1)如图所示，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C －A ′DD ′，求棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比．解设AB ＝a ，AD ＝b ，AA ′＝c ，∴V C －A ′D ′D ＝13CD ·S △A ′D ′D ＝13a ·12bc ＝16abc ，∴剩余部分的体积为V ABCD －A ′B ′C ′D ′－V C －A ′D ′D ＝abc －16abc ＝56abc ，∴棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.(2)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20cm 和30cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．解如图，在三棱台ABC －A ′B ′C ′中，取上、下底面的中心分别为O ′，O ，BC ，B ′C ′的中点分别为D ，D ′，则DD ′是梯形BCC ′B ′的高．所以S 侧＝3×12×(20＋30)×DD ′＝75DD ′.又因为A ′B ′＝20cm ，AB ＝30cm ，则上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253(cm 2)．由S 侧＝S 上＋S 下，得75DD ′＝3253，所以DD ′＝1333(cm)，O ′D ′＝36×20＝1033(cm)，OD ＝36×30＝53(cm)，所以棱台的高h ＝O ′O ＝D ′D 2－(OD －O ′D ′)243(cm)．由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V ＝h3(S 上＋S 下＋S 上×S 下)＝433×202＋34×302＋34×20×1900(cm 3)．类型二球的表面积与体积命题角度1与球有关的切、接问题例2(1)求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比．解如图，等边△ABC 为圆锥的轴截面，截球面得圆O .设球的半径OE ＝R ，OA ＝OEsin 30°＝2OE ＝2R .∴AD ＝OA ＋OD ＝2R ＋R ＝3R ，BD ＝AD ·tan 30°＝3R ，∴V 球＝43πR 3，V 圆锥＝13π·BD 2×AD ＝13π(3R )2×3R ＝3πR 3，∴V 球∶V 圆锥＝4∶9.(2)设长方体的长，宽，高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．答案6πa 2解析长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为(2a )2＋a 2＋a 2＝6a ，得球的半径为62a ，则球的表面积为62a ＝6πa 2.反思与感悟(1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图①.(2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r 2＝22a ，如图②.(3)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 3＝12a 2＋b 2＋c 2，如图③.(4)正方体的外接球正方体棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝3a .(5)正四面体的外接球正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝62a .跟踪训练2(1)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为________．答案4π3解析由题意知，此球是正方体的内切球．根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，所以体积是43×π×13＝4π3.(2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．答案73πa 2解析由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a .如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知AP ＝23×32a ＝33a ，OP ＝12a ，所以球的半径R ＝OA 满足R 2＝712a 2，故S 球＝4πR 2＝73πa 2.命题角度2球的截面例3已知过球面上三点A ，B ，C 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC ＝BC ＝6，AB ＝4，求球的表面积与球的体积．解如图所示，设球心为O ，球半径为R ，作OO 1⊥平面ABC 于点O 1，由于OA ＝OB ＝OC＝R ，则O 1是△ABC 的外心，设M 是AB 的中点，由于AC ＝BC ，则O 1∈CM .设O 1M ＝x ，易知O 1M ⊥AB ，则O 1A ＝22＋x 2，O 1C ＝CM －O 1M ＝62－22－x .又O 1A ＝O 1C ，∴22＋x 2＝62－22－x ，解得x ＝724.∴O 1A ＝O 1B ＝O 1C ＝924.在Rt △OO 1A 中，O 1O ＝R2，∠OO 1A ＝90°，OA ＝R ，由勾股定理得＝R 2，解得R ＝362，则S 球＝4πR 2＝54π，V 球＝43πR 3＝276π.反思与感悟设球的截面圆上一点A ，球心为O ，截面圆心为O 1，则△AO 1O 是以O 1为直角顶点的直角三角形，在解答球心的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面．跟踪训练3用过球心的平面将一个球分成两个半球，则两个半球的表面积之和是原来整球表面积的______倍．答案32解析设球的半径为R ，则S 球表＝4πR 2.分成两个半球后，表面积为原来球的表面积再加上两个圆面面积，S 圆＝πR 2，∴两个半球的表面积之和S ＝S 球表＋2S 圆＝6πR 2.∴S ∶S 球表＝3∶2.类型三组合体的体积例4如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．解不会溢出杯子．理由如下：因为V 半球＝12×43πR 3＝12×43π×43＝1283π(cm 3)，V 圆锥＝13πr 2h ＝13π×42×12＝64π(cm 3)，所以V 半球＜V 圆锥，所以冰淇淋融化了不会溢出杯子．反思与感悟代公式计算几何体的体积时，注意柱体与锥体的体积公式的区别．跟踪训练4如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周所得的几何体的体积．解如图，过点C 作CE 垂直于AD ，交AD 延长线于点E ，则所求几何体的体积可看成是由梯形ABCE 绕AE 所在直线旋转一周所得的圆台的体积，减去△EDC 绕DE 所在直线旋转一周所得的圆锥的体积．所以所求几何体的体积V ＝V 圆台－V 圆锥＝13π(52＋5×2＋22)×4－13π×22×2＝1483π.1．已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm 2，高为4cm ，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗)，那么铸成的铜块的棱长是________cm.答案4解析∵铜质的五棱柱的底面积为16cm 2，高为4cm ，∴铜质的五棱柱的体积V ＝16×4＝64(cm 3)．设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为a cm ，则a 3＝64，解得a ＝4(cm)．2．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于________．答案2π解析设圆柱的底面半径为r ，则S 侧＝2πr ×2r ＝4πr 2＝4π，得r ＝1，则圆柱的体积为πr 2×2r＝2π.3．正方体的外接球的体积是其内切球的体积的______倍．答案33解析设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为12，外接球的直径为正方体的体对角线，∴外接球的半径为32.∴外接球的体积为43π，内切球的体积为43π，∴外接球的体积是内切球的体积的33倍．4．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为________．答案3解析依题意得正六棱锥的高为5－12＝2，所以V ＝13Sh ＝13×6×34×2＝ 3.5．如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子可以看成是由底面半径为1cm 和底面半径为3cm 的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20cm ，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28cm ，则这个简单几何体的总高度为________cm.答案29解析在图(2)和图(3)中，瓶子上部没有液体的部分容积相等，设这个简单几何体的总高度为h cm ，则有π×12×(h －20)＝π×32×(h －28)，解得h ＝29(cm)．1．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系V 柱体＝Sh ←――S ′＝S V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)――→S ′＝0V 锥体＝13Sh .2．在三棱锥A －BCD 中，若求点A 到平面BCD 的距离h ，可以先求V A －BCD ，h ＝3VS △BCD .这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V 一般用换顶点法求解，即V A －BCD ＝V B －ACD ＝V C －ABD ＝V D －ABC ，求解的原则是V 易求，且△BCD 的面积易求．3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．4．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算．5．解决球与其他几何体的切接问题时，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．一、填空题1．已知正三棱锥S —ABC ，D ，E 分别为底面边AB ，AC 的中点，则四棱锥S —BCED 与三棱锥S —ABC 的体积之比为________．答案3∶4解析两锥体高相等，因此V S-BCED ∶V S-ABC ＝S BCED ∶S ABC ＝3∶4.2．一个正方体和一个圆柱等高并且侧面积相等，则正方体与圆柱的体积之比为________．答案π∶4解析设正方体棱长为1，则S 正方体侧＝S 圆柱侧＝4.设圆柱的底面半径为r ，则2πr ×1＝4，r ＝2π，则V 正方体＝1，V 圆柱＝2π·1＝4π.∴V 正方体∶V 圆柱＝π∶4.3．已知一个母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于240°，则该圆锥的体积为________．答案4581π解析由题意得圆锥的底面圆的周长为240°360°×2π×1＝43π，设底面圆的半径为r ，则有2πr ＝43π，所以r ＝23，所以圆锥的高h ＝12－232＝53，故圆锥的体积V ＝13×π23×53＝4581π.4．长方体共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的外接球表面积为________．答案9π解析设长方体共顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，ab ＝3，bc ＝5，ac ＝15，a ＝3，b ＝1，c ＝5，∴外接球半径为a 2＋b 2＋c 22＝32，∴外接球表面积为4π×(32)2＝9π.5.如图是一个下半部分为正方体、上半部分为正棱柱的盒子(中间连通)．若其表面积为(448＋323)cm 2，则其体积为______cm 3.答案512＋1283解析设正方体的棱长为a cm ，则5a 2＋2a 2＋34a 2×2＝448＋323，解得a ＝8(cm)．∴该几何体的体积为a 3＋34a 2·a ＝512＋1283(cm 3)．6．如图，在正直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 为棱AA 1的中点，若截面△BC 1D 是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________．答案83解析由题意，设AB ＝a ，AA 1＝b ，由题意可知BD ＝DC 1，故△BDC 1为以点D 为直角顶点的等腰直角三角形．又12BD 2＝6，所以BD ＝23，BC 1＝26，由AB 2＋AD 2＝BD 2，得a 2＋b 24＝12.①又由BC 2＋CC 21＝BC 21，得a 2＋b 2＝24，②由①②可得a ＝22，b ＝4，∴V ＝34×(22)2×4＝8 3.7.如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若E ，F 分别为AB ，AC 的中点，平面EB 1C 1F 将三棱柱分成体积为V 1，V 2的两部分，那么V 1∶V 2＝________.答案7∶5解析如图，延长A 1A 到A 2，B 1B 到B 2，C 1C 到C 2，且A 1A ＝AA 2，B 1B ＝BB 2，C 1C ＝CC 2，连结A 2C 2，A 2B 2，B 2C 2，则得到三棱柱ABC —A 2B 2C 2，且111222——ABC A B C ABC A B C V V ＝.延长B 1E ，C 1F ，则B 1E 与C 1F 相交于点A 2.因为A 2A ∶A 2A 1＝1∶2，所以2—A AEF V ＝182111A A B C V －.又2A AEF V －＝142A ABC V －＝14×13222—ABC A B C V ＝112111ABC A B C V －，所以V 1＝27A AEF V －＝712111—ABC A B C V ，故V 1∶V 2＝7∶(12－7)＝7∶5.8.圆柱形容器内盛有高度为6cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示．则球的半径是________cm.答案3解析设球半径为r ，则由3V 球＋V 水＝V 柱，可得3×43πr 3＋πr 2×6＝πr 2×6r ，解得r ＝3.9．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为____cm 3.答案500π3解析设球半径为R cm ，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm ，球心到截面的距离为(R －2)cm ，所以由42＋(R －2)2＝R 2，得R ＝5(cm)，所以球的体积V ＝43πR 3＝43π×53＝500π3(cm 3)．10．设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为V 1，S 1，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为V 2，S 2，若V 1V 2＝3π，则S 1S 2＝________.答案32π解析棱长为a 的正方体的体积V 1＝a 3，表面积S 1＝6a 2.底面半径和高均为r 的圆锥的体积V 2＝13πr 3，侧面积S 2＝2πr 2.由V 1V 2＝a 313πr 3＝3π，得a ＝r ，所以S 1S 2＝6a 22πr 2＝32π.二、解答题11．一倒置圆锥体的母线长为10cm ，底面半径为6cm.(1)求圆锥体的高；(2)一球刚好放进该圆锥体中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余的空间．解(1)设圆锥的高为h ，底面半径为R ，母线长为l ，则h ＝l 2－R 2＝102－62＝8(cm)．(2)球放入圆锥体后的轴截面如图所示，设球的半径为r ，由△OCD ∽△ACO 1，得OD AO 1＝OC AC，所以r 6＝8－r 10，解得r ＝3.因为圆锥体剩余的空间为圆锥的体积减去球的体积，所以V 锥－V 球＝13×π×62×8－43π×33＝96π－36π＝60π(cm 3)．12．如图，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，已知D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥A －FED 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，求V 1∶V 2的值．解设三棱柱的高为h ，∵F 是AA 1的中点，则三棱锥F －ADE 的高为h 2，∵D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴S △ADE ＝14S △ABC ，∵V 1＝13S △ADE ·h 2，V 2＝S △ABC ·h ，∴V 1V 2＝16S △ADE ·h S △ABC ·h ＝124.13．如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分是以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到的一几何体，求该几何体的表面积和体积．(其中∠BAC ＝30°)解过C 作CO 1⊥AB 于点O 1，由已知得∠BCA ＝90°，∵∠BAC ＝30°，AB ＝2R ，∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝32R .∴S 球＝4πR 2，S 圆锥AO 1侧＝π×32R ×3R ＝32πR 2，S 圆锥BO 1侧＝π×32R ×R ＝32πR 2，∴S 几何体表＝S 球＋S 圆锥AO 1侧＋S 圆锥BO 1侧＝4πR 2＋32πR 2＋32πR 2＝11＋32πR 2.又∵V 球＝43πR 3，1AO V 圆锥＝13·AO 1·π·CO 21＝14πR 2·AO 1，1BO V 圆锥＝13·BO 1·π·CO 21＝14πR 2·BO 1，∴V 几何体＝V 球－(1AO V 圆锥＋1BO V 圆锥)＝56πR 3.三、探究与拓展14．如图，ABC －A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C －AA ′B ′B 的体积是________．答案23解析∵V C －A ′B ′C ′＝13V ABC －A ′B ′C ′＝13，∴V C －AA ′B ′B ＝1－13＝23.15．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．解由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r ，水面的半径为3r ，则容器内水的体积为V＝V 圆锥－V 球＝13π·(3r )2·3r －43πr 3＝53πr 3.而将球取出后，设容器内水的深度为h ，则水面圆的半径为33h ，从而容器内水的体积为V ′＝13π··h ＝19πh 3，由V ＝V ′，得h ＝315r .即容器中水的深度为315r .。
数学新学案同步苏教版必修二讲义：第一章 立体几何初步1.2.3 第3课时
第3课时直线与平面垂直的判定学习目标1.理解直线与平面垂直的定义.2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并能灵活应用判定定理证明直线与平面垂直．知识点一直线与平面垂直的定义知识点二直线和平面垂直的判定定理将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)．观察折痕AD与桌面的位置关系．思考1折痕AD与桌面一定垂直吗？★★答案★★不一定．思考2当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？★★答案★★当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直．梳理1．若直线l⊥平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．(×) 2．若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.(×)3．若a⊥b，b⊥α，则a∥α.(×)类型一线面垂直的定义例1下列命题中，正确的序号是________．①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．★★答案★★③④解析当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以④正确．故填③④.反思与感悟(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任意一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．(2)由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.跟踪训练1设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是________．(填序号)①若l⊥m，m⊂α，则l⊥α；②若l⊥α，l∥m，则m⊥α；③若l∥α，m⊂α，则l∥m；④若l∥α，m∥α，则l∥m.★★答案★★②解析对于①，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于②，因为l⊥α，则l垂直于α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m 与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故②正确；对于③，也有可能是l，m 异面；对于④，l，m还可能相交或异面．类型二线面垂直的判定定理的应用命题角度1证明线面垂直例2如图所示，已知P A垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC.证明∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.而P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.又∵AE⊂平面P AC，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.引申探究若本例中其他条件不变，作AF⊥PB于点F，求证：PB⊥平面AEF.证明∵P A⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，∴P A⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC，而P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.又∵AE⊂平面P AC，∴BC⊥AE，又∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC，又∵PB⊂平面PBC，∴AE⊥PB，又∵AF⊥PB，且AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.反思与感悟应用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决．跟踪训练2 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是BB 1的中点，O 是底面正方形ABCD 的中心，求证：OE ⊥平面ACD 1.证明 连结BD ，AE ，CE ，D 1O ，D 1E ，B 1D 1，设正方体的棱长为a ，易证AE ＝CE .∵AO ＝OC ，∴OE ⊥AC .在正方体中易求出D 1O ＝DD 21＋DO 2＝a 2＋⎝⎛⎭⎫22a 2＝62a ， OE ＝BE 2＋OB 2＝⎝⎛⎭⎫a 22＋⎝⎛⎭⎫22a 2＝32a ，D 1E ＝D 1B 21＋B 1E 2＝(2a )2＋⎝⎛⎭⎫a 22＝32a ，∴D 1O 2＋OE 2＝D 1E 2，∴D 1O ⊥OE . ∵D 1O ∩AC ＝O ，D 1O ，AC ⊂平面ACD 1，∴OE⊥平面ACD1.命题角度2证明线线垂直例3如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD 上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE.证明(1)因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，CD，DE⊂平面BCDE，所以A1F⊥平面BCDE，所以A1F⊥BE.反思与感悟线线垂直的证明，常用方法是利用线面垂直的定义证明，即欲证线线垂直，可先证线面垂直．跟踪训练3如图所示，若MC⊥菱形ABCD所在的平面，求证：MA⊥BD.证明连结AC，因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.1．若一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，则能保证该直线与平面垂直的是_____．(填序号)①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．★★答案★★①③解析由线面垂直的判定定理可知，①③能判定直线与平面垂直；②中梯形的两边不一定相交，所以无法判定直线与平面垂直；④中正六边形的两边不一定相交，所以无法判定直线与平面垂直．2．给出下列命题，其中正确命题的序号是________．①垂直于平面内任意一条直线的直线垂直于这个平面；②垂直于平面的直线垂直于这个平面内的任意一条直线；③过一点和已知平面垂直的直线只有一条；④过一点和已知直线垂直的平面只有一个．★★答案★★①②③④解析由直线与平面垂直的定义知，①②正确；③④显然正确．3.如图，平行四边形ADEF的边AF垂直于平面ABCD，AF＝2，CD＝3，则CE＝________.★★答案★★13解析∵AF⊥平面ABCD，又DE∥AF，∴DE⊥平面ABCD，∴DE⊥CD.∵DE＝AF＝2，CD＝3，∴CE＝DE2＋CD2＝22＋32＝13.4．已知P A垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD的形状是________．★★答案★★菱形解析如图，∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BD.又PC⊥BD，∴BD⊥平面P AC，∴BD⊥AC，则平行四边形ABCD是菱形．5.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.证明如图，连结PE，EC，在Rt△P AE和Rt△CDE中，P A＝AB＝CD，AE＝DE，所以PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．又F是PC的中点，所以EF⊥PC.因为BP＝AP2＋AB2＝22＝BC，又F是PC的中点，所以BF⊥PC.又BF∩EF＝F，所以PC⊥平面BEF.1．线线垂直和线面垂直的相互转化2．证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义．(2)线面垂直的判定定理．(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．3．直线与平面垂直的性质定理是平行关系与垂直关系的完美结合，利用垂直关系可判断平行，反过来由平行关系也可判定垂直，即两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面．一、填空题1．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是________．(填序号)①m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α；②m⊥b，b∥α；③m∩b＝A，b⊥α；④m∥b，b⊥α.★★答案★★④解析由线线平行及线面垂直的判定知④正确．2．如图(1)，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是边G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个如图(2)所示的几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，则下面结论成立的是________．(填序号)①SG⊥平面EFG; ②SD⊥平面EFG；③GF⊥平面SEF; ④GD⊥平面SEF.★★答案★★①解析在图(1)中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，因此在图(2)中，SG⊥GE，SG⊥GF.又GE∩GF＝G，∴SG⊥平面EFG.3．已知ABCD—A1B1C1D1为正方体，下列结论正确的是________．(填序号)①BD∥平面CB1D1; ②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1; ④AC1⊥BD1.★★答案★★①②③解析正方体中由BD∥B1D1，易知①正确；由BD⊥AC，BD⊥CC1易得BD⊥平面ACC1，从而BD⊥AC1，即②正确；由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C，因此AC1⊥平面CB1D1，即③正确；由于四边形ABC1D1不是菱形，所以AC1⊥BD1不正确．故填①②③.4.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC＝90°，M为线段BB1上的一动点，则直线AM 与直线BC的位置关系为________．★★答案★★AM⊥BC解析∵BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥BC.又BC⊥AB，∴BC⊥平面ABB1A1，又AM⊂平面ABB1A1，∴BC⊥AM.5．已知直线l，m，n与平面α，给出下列说法：①若l⊥α，则l与α相交；②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；③若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n；④若m∥n，n⊂α，则m∥α.其中正确的说法为________．(填序号)★★答案★★①③解析由l⊥α，得l与α相交，所以①正确；若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，因为m，n不一定相交，所以l不一定垂直于α，所以②不正确；由m⊥α，n⊥α，可得m∥n，又l∥m，所以l∥n，所以③正确；由m∥n，n⊂α，得m∥α或m⊂α，所以④不正确．6.如图所示，P A⊥平面ABC，在△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．★★答案★★ 4 解析 ∵P A ⊥平面ABC ， BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC .又AC ⊥BC ，∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥PC ，∴直角三角形有△P AB ，△P AC ，△ABC ，△PBC ，共4个．7.如图所示，AB 是⊙O 的直径，P A ⊥⊙O 所在的平面，C 是圆上一点，且∠ABC ＝30°，P A ＝AB ，则直线PC 与平面ABC 所成角的正切值为________．考点 直线与平面所成的角 题点 直线与平面所成的角 ★★答案★★ 2解析 因为P A ⊥平面ABC ，所以AC 为斜线PC 在平面ABC 上的射影，所以∠PCA 即为PC 与平面ABC 所成的角．在Rt △P AC 中，AC ＝12AB ＝12P A ，所以tan ∠PCA ＝P AAC＝2.8．在三棱锥P－ABC中，P A⊥PB，P A⊥PC，PC⊥PB，则定点P在底面上的投影是底面△ABC________心．考点直线与平面垂直的判定题点三角形的四心★★答案★★垂解析设O是P在底面ABC上的投影，∵PB⊥P A，PB⊥PC，P A∩PC＝P，∴PB⊥平面P AC，∴PB⊥AC.①又∵O是P在底面ABC上的投影，∴PO⊥平面ABC，∴PO⊥AC.②由①②可得，AC⊥平面PBO，∴AC⊥BO.同理可得AO⊥BC，∴O是△ABC的垂心．9.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN 是直角，则∠C1MN＝______.★★答案★★90°解析∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.又∵MN⊥B1M，B1C1∩B1M＝B1，∴MN⊥平面C1B1M，∴MN⊥C1M，∴∠C1MN＝90°.10．在三棱柱ABC—A1B1C1中，已知AA1⊥平面ABC，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)★★答案★★A1C1⊥B1C1(★★答案★★不唯一)解析如图所示，连结B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可．由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)11．在正四棱锥P—ABCD中，P A＝32AB，M是BC的中点，G是△P AD的重心，则在平面P AD中经过G点且与直线PM垂直的直线有________条．★★答案★★无数解析设正四棱锥的底面边长为a，则侧棱长为3 2a.∵PM ⊥BC ， ∴PM ＝ ⎝⎛⎭⎫32a 2－⎝⎛⎭⎫a 22 ＝22a . 连结PG 并延长与AD 相交于N 点， 则PN ＝22a ，MN ＝AB ＝a .∴PM 2＋PN 2＝MN 2， ∴PM ⊥PN .∵AD ∥BC ，∴PM ⊥AD ，又PN ∩AD ＝N ，∴PM ⊥平面P AD ， ∴在平面P AD 中经过G 点的任意一条直线都与PM 垂直． 二、解答题12.如图，在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，AB ＝2，AD ＝2，AA 1＝3，E 为CD 上一点，DE ＝1，EC ＝3.证明：BE ⊥平面BB 1C 1C .证明 过点B 作CD 的垂线交CD 于点F ，则BF＝AD＝2，EF＝AB－DE＝1，FC＝2.在Rt△BFE中，BE＝3，在Rt△CFB中，BC＝ 6.在△BEC中，因为BE2＋BC2＝9＝EC2，所以BE⊥BC.又由BB1⊥平面ABCD，得BE⊥BB1，且BB1∩BC＝B，故BE⊥平面BB1C1C.13.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A垂直于底面，E，F分别是AB，PC的中点，P A＝AD.求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.证明(1)因为P A⊥底面ABCD，所以CD⊥P A.又在矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AD ∩P A ＝A ，所以CD ⊥平面P AD ，所以CD ⊥PD .(2)取PD 的中点G ，连结AG ，FG .因为底面ABCD 是矩形，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，所以GF 綊12CD ， 所以GF 綊AE ，所以四边形AEFG 是平行四边形，所以AG ∥EF .因为P A ＝AD ，G 是PD 的中点，所以AG ⊥PD ，所以EF ⊥PD ，由(1)知，CD ⊥平面P AD ，AG ⊂平面P AD ，所以CD ⊥AG ，所以EF ⊥CD .因为PD ∩CD ＝D ，所以EF ⊥平面PCD .三、探究与拓展14．设三棱锥P —ABC 的顶点P 在平面ABC 上的射影是H ，给出以下命题：①若P A ⊥BC ，PB ⊥AC ，则H 是△ABC 的垂心；②若P A ，PB ，PC 两两互相垂直，则H 是△ABC 的垂心；③若∠ABC ＝90°，H 是AC 的中点，则P A ＝PB ＝PC .其中正确命题的序号是________．★★答案★★ ①②③解析 因为PH ⊥底面ABC ，所以PH ⊥BC ，又P A ⊥BC ，所以BC ⊥平面P AH ，所以BC ⊥AH ，同理BH ⊥AC ，得H 是△ABC 的垂心，所以①正确；由P A ，PB ，PC 两两互相垂直，易推出BC ⊥AH ，BH ⊥AC ，得H 是△ABC 的垂心，所以②正确；由∠ABC ＝90°，H 是AC 的中点，得P A ，PB ，PC 在平面ABC 上的射影相等，所以P A ＝PB ＝PC ，所以③正确．15.如图，P A ⊥矩形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面P AD ；(2)若PD 与平面ABCD 所成的角为45°，求证：MN ⊥平面PCD .考点 直线与平面垂直的判定题点 直线与平面垂直的证明证明 (1)取PD 的中点E ，连结NE ，AE ，如图．又∵N 是PC 的中点，∴NE ∥DC 且NE ＝12DC .又∵DC ∥AB 且DC ＝AB ，AM ＝12AB ， ∴AM ∥CD 且AM ＝12CD ，∴NE ∥AM ，且NE ＝AM ， ∴四边形AMNE 是平行四边形，∴MN ∥AE . ∵AE ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD ，∴MN ∥平面P AD .(2)∵P A ⊥平面ABCD ，∴∠PDA 即为PD 与平面ABCD 所成的角， ∴∠PDA ＝45°，∴AP ＝AD ，∴AE ⊥PD .又∵MN ∥AE ，∴MN ⊥PD .∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥CD . 又∵CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ，P A ，AD ⊂平面P AD ， ∴CD ⊥平面P AD .∵AE ⊂平面P AD ，∴CD ⊥AE ，∴CD ⊥MN .又CD ∩PD ＝D ，CD ，PD ⊂平面PCD ， ∴MN ⊥平面PCD .。
数学新学案同步苏教版必修二讲义：第一章 立体几何初步1.2.2
1.2.2空间两条直线的位置关系学习目标1.了解两条直线的三种位置关系.2.理解异面直线的定义及判定，能判断两条直线是不是异面直线.3.理解公理4和等角定理，并会用公理4证明线线平行.4.理解异面直线所成的角的概念．知识点一空间两条直线的位置关系思考在同一平面内，两条直线有几种位置关系？观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？★★答案★★平行与相交．教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线；六角螺母中直线AB与CD.梳理空间两条直线的位置关系知识点二异面直线的判断思考 分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？ ★★答案★★ 不一定，可能平行、相交或异面． 梳理 判断异面直线的方法知识点三 平行公理(公理4)思考 在平面内有直线a ，b ，c ，若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，该结论在空间中是否成立？ ★★答案★★ 成立． 梳理 平行公理(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行． (2)符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c . 知识点四 等角定理及异面直线所成的角思考1 观察图象，在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，∠ADC 与∠A ′D ′C ′，∠ADC 与∠D ′A ′B ′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？★★答案★★ 从图中可以看出，∠ADC ＝∠A ′D ′C ′，∠ADC ＋∠D ′A ′B ′＝180°. 思考2 在平行六面体A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，BC 1∥AD 1，则“直线BC 1与直线BC 所成的角”与“直线AD 1与直线BC 所成的角”是否相等？★★答案★★相等．梳理(1)等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．(2)异面直线所成的角1．两直线若不是异面直线，则必相交或平行．(√)2．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠BAC＝∠B′A′C′.(×)类型一 公理4与等角定理的应用例1 如图，已知在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，AD 的中点．求证：(1)四边形MNA 1C 1是梯形； (2)∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.证明 (1)如图 ，连结AC ，在△ACD 中，∵M ，N 分别是CD ，AD 的中点， ∴MN 是△ACD 的中位线， ∴MN ∥AC ，且MN ＝12AC .由正方体的性质，得 AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1. ∴MN ∥A 1C 1，且MN ＝12A 1C 1，即MN ≠A 1C 1，∴四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)可知，MN ∥A 1C 1.又ND ∥A 1D 1，且∠DNM 与∠D 1A 1C 1的两边的方向相同，∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1. 反思与感悟 (1)空间两条直线平行的证明①定义法：即证明两条直线在同一平面内且两直线没有公共点． ②利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．(2)等角定理的结论是相等，在实际应用时，一般是借助于图形判断两角的两边方向是否相同．跟踪训练1 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，M 1分别是棱AD 和A 1D 1的中点．求证：(1)四边形BB1M1M为平行四边形；(2)∠BMC＝∠B1M1C1.证明(1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴A1M1∥AM，且A1M＝AM，∴四边形AMM1A1为平行四边形，∴A1A∥M1M，且A1A＝M1M.又∵A1A∥B1B，A1A＝B1B，∴M1M∥B1B，且M1M＝B1B，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．∴∠BMC＝∠B1M1C1.类型二异面直线的判断例2(1)在四棱锥P—ABCD中，各棱所在的直线互为异面的有________对．★★答案★★8解析与AB异面的有侧棱PD和PC，同理，与底面的各条边异面的都有两条侧棱，故共有异面直线4×2＝8(对)．(2)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？解三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.还原的正方体如图所示．反思与感悟判定异面直线的方法(1)定义法：利用异面直线的定义，说明两条直线不平行，也不相交，即不可能同在同一个平面内．(2)利用异面直线的判定定理．(3)反证法：假设两条直线不是异面直线，根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即可能相交或平行，然后推出矛盾即可．跟踪训练2如图所示，在三棱锥A—BCD中，E，F是棱AD上异于A，D的两个不同点，G，H是棱BC上异于B，C的两个不同点，给出下列说法：①AB与CD互为异面直线；②FH分别与DC，DB互为异面直线；③EG与FH互为异面直线；④EG与AB互为异面直线．其中说法正确的是________．(填序号)★★答案★★①②③④解析因为直线DC⊂平面BCD，直线AB⊄平面BCD，点B∉直线DC，所以由异面直线的判定定理可知，①正确；同理，②③④正确．1．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是______________．★★答案★★相交、平行或异面解析异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明，异面直线a，b，直线c的位置可如图所示．2．下列四个结论中错误命题的个数是________．①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．★★答案★★2解析①④均为错误命题．①可举反例，如a，b，c三线两两垂直．④如图甲，c，d与异面直线l1，l2交于四个点，此时c，d异面；当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c，d共面相交．3．在三棱锥的所有棱中，互为异面直线的有________对．★★答案★★ 3解析 如图，在三棱锥A —BCD 中，AB 与CD 异面，BC 与AD 异面，AC 与BD 异面，所以有3对异面直线．4.如图所示，在三棱锥A —BCD 中，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则当AC ，BD 满足________时，四边形EFGH 为菱形；当AC ，BD 满足________时，四边形EFGH 是正方形．★★答案★★ AC ＝BD AC ＝BD 且AC ⊥BD 解析 由题意可得EF ∥AC ∥HG ，且EF ＝12AC ＝HG ，∴四边形EFGH 为平行四边形， 又EH ∥BD ∥FG ，且EH ＝12BD ＝FG ，∴当EF ＝FG ，即AC ＝BD 时，四边形EFGH 为菱形；当EF ⊥FG 且EF ＝FG ，即AC ⊥BD 且AC ＝BD 时，四边形EFGH 为正方形．5.如图所示，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)若AC ⊥BD ，求证：四边形EFGH 是矩形． 证明 (1)如图所示，连结EF ，FG ，GH ，HE ，在△ABD 中，∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点， ∴EH ∥BD ，且EH ＝12BD .同理FG ∥BD ，且FG ＝12BD ，∴EH ∥FG ，且EH ＝FG ，∴E ，F ，G ，H 四点共面． (2)由(1)知EH ∥FG ，且EH ＝FG ，∴四边形EFGH为平行四边形．∵HG是△ADC的中位线，∴HG∥AC.又EH∥BD，AC⊥BD，∴EH⊥HG，∴四边形EFGH为矩形．1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．对于异面直线的判断，常用判定定理和反证法．2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，在解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小．作异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．一、填空题1．已知空间两个角α，β，α与β的两边对应平行，且α＝60°，则β＝________. ★★答案★★ 60°或120°2．如图所示，G ，H ，M ，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形是________．(填序号)★★答案★★ ②④解析 ①中，∵G ，M 是中点，∴AG ∥BM ，AG ＝BM ，∴GM ∥AB ∥HN ，GM ＝AB ＝HN ，故四边形GHNM 为平行四边形，∴GH ∥MN ，即G ，H ，M ，N 四点共面；②中，∵H ，G ，N 三点共面，且都在平面HGN 内，而点M 显然不在平面HGN 内，∴H ，G ，M ，N 四点不共面，即GH 与MN 异面；③中，∵G ，M 是中点，∴GM ∥CD ，且GM ＝12CD ，∴GM ∥HN ，且GM ＝12HN ，即GMNH 是梯形，则HG ，MN 必相交，即H ，G ，M ，N 四点共面；④中，同②，G，H，M，N四点不共面，即GH与MN异面．3．若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是________．(填序号)①OB∥O1B1且方向相同；②OB∥O1B1；③OB与O1B1不平行；④OB与O1B1不一定平行．★★答案★★④解析如图(1)，∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1但OB与O1B1不平行，故①②排除；如图(2)，∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，此时OB∥O1B1，故③排除．4．下列三种说法：①若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；②若a∥b，则a，b与c所成的角相等；③若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中正确的个数是________．★★答案★★1解析若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行、异面均有可能，故①不对；若a⊥b，b⊥c，则a，c平行、相交、异面均有可能，故③不对；②正确．5．已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且AC＝4，BD＝6，则MN 的取值范围为________．考点平行公理题点判断、证明线线平行★★答案★★ (1,5)解析 取AD 的中点H ，连结MH ，NH ，则MH ∥BD ，且MH ＝12BD ，NH ∥AC ，且NH ＝12AC ，且M ，N ，H 三点构成三角形，由三角形中三边关系，可得MH －NH <MN <MH ＋NH ，即1<MN <5. 6.如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为________．(写出所有正确结论的序号) ★★答案★★ ③④解析 ∵A ，M ，C ，C 1四点不共面， ∴直线AM 与CC 1是异面直线，故①错； 同理，直线AM ，BN 也是异面直线，故②错； 同理，直线BN 与MB 1是异面直线， 直线AM 与DD 1是异面直线， ∴③④正确．7.如图所示，设E ，F ，G ，H 依次是空间四边形ABCD 边AB ，BC ，CD ，DA 上除端点外的点，AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CGCD＝μ，则下列结论中不正确的是________．(填序号)①当λ＝μ时，四边形EFGH 是平行四边形； ②当λ≠μ时，四边形EFGH 是梯形；③当λ≠μ时，四边形EFGH 一定不是平行四边形； ④当λ＝μ时，四边形EFGH 是梯形． ★★答案★★ ④解析 由AE AB ＝AH AD ＝λ，得EH ∥BD ，且EHBD ＝λ.同理得FG ∥BD ，且FGBD ＝μ.当λ＝μ时，EH ∥FG 且EH ＝FG .当λ≠μ时，EH ∥FG ，但EH ≠FG .所以只有④错误．8．如果把两条异面直线看成“1对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有________对． ★★答案★★ 24解析 六条侧棱不是异面直线，一条侧棱与底面六边形的两条边相交，与另外四条边异面，这样异面直线一共有4×6＝24(对)．9．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②EF与MN是异面直线；③MN∥CD.以上结论中正确的序号为________．★★答案★★①②解析把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，所以只有①②正确．10．从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k的最大值是________．★★答案★★4解析正方体共有8个顶点，若选出的k条线两两异面，则不能共顶点，即至多可选出4条，∴k的最大值为4.二、解答题11.如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC ∥AD ，且BC ＝12AD ，BE ∥F A ，且BE ＝12F A ，G ，H 分别为F A ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)判断C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？ (1)证明 由已知得FG ＝GA ，FH ＝HD ， 可得GH ∥AD ，且GH ＝12AD .又BC ∥AD ，且BC ＝12AD ，∴GH ∥BC ，且GH ＝BC ， ∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解 由BE ∥AF ，且BE ＝12AF ，G 为F A 的中点知，BE ∥FG ，且BE ＝FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG ∥CH ，且BG ＝CH ， ∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面． 又D ∈FH ，∴C ，D ，F ，E 四点共面．12.如图所示，△ABC 和△A ′B ′C ′的对应顶点的连线AA ′、BB ′、CC ′交于同一点O ，且OA OA ′＝BO OB ′＝CO OC ′＝23.(1)求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；(2)求S△ABCS△A′B′C′的值．(1)证明∵AA′∩BB′＝O，且AOA′O＝BOB′O＝23，∴AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.(2)解∵A′B′∥AB，A′C′∥AC且AB和A′B′，AC和A′C′方向相反，∴∠BAC＝∠B′A′C′.同理∠ABC＝∠A′B′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，∴△ABC∽△A′B′C′且ABA′B′＝AOOA′＝23，∴S△ABCS△A′B′C′＝⎝⎛⎭⎫232＝49.三、探究与拓展13．设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线有________条．★★答案★★无数解析如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角．14．如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1－ABCD的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．考点平行公理题点判断、证明线线平行证明设Q是DD1的中点，连结EQ，QC1.∵E是AA1的中点，∴EQ∥A1D1且EQ＝A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1∥B1C1且A1D1＝B1C1，∴EQ∥B1C1且EQ＝B1C1.∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1E∥C1Q且B1E＝C1Q.又∵Q，F是DD1，C1C两边的中点，∴QD∥C1F且QD＝C1F，∴四边形QDFC1为平行四边形．∴C1Q∥DF且C1Q＝DF，∴B1E∥DF且B1E＝DF，∴四边形B1EDF为平行四边形．。
高中数学 第一章 立体几何第学案 苏教版必修2 学案
第20课时立体几何体复习一、【学习导航】知识网络2. 会证线线、线面、面面的平行与垂直的问题,会求简单的线线、线面、面面间的角与距离以及简单几何体的面积与体积的问题.【课堂互动】自学评价1.空间几何体(柱锥台球,三视图) 的概念：2.平面的基本性质(3个公理与3个推论) ：.3.空间两直线的位置关系(3种关系)：4. 直线和平面的位置关系(3种关系)：5.平面和平面的位置关系(2种关系) ：6.空间几何体的表面积和体积公式.7.三种角与六种距离的简单计算方法：8.物体按正投影向投影面投射所得到的图【精典范例】例1：已知平面外两平行直线中的一条平行于这个平面，求证另一条直线也平行于这个平面．略证．先写已知，求证，再进行证明．突出使用线面平行的性质与判定定理．例2：已知直线AC,DF被三个平行平面α,β,γ所截,交点为A,B,C及D,E,F.求证：AB DEBC EF证明：连ＡＦ交β于Ｋ．连ＢＫ，ＫＥ，ＣＦ，ＡＤ．由β∥γ得ＢＫ∥ＣＦ．因α∥β得ＡＤ∥ＫＥ．所以ＡＢ／ＢＣ＝ＡＫ／ＫＦ．听课随笔ＡＫ／ＫＦ＝ＤＥ／ＥＦ所以 ＡＢ／ＢＣ＝ＤＥ／ＥＦ．例3.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 和BD 的交点，G 为CC 1中点，求证：A 1O⊥面GBD ． 略证：连ＯＧ．易证：BD O A ⊥1． 又易证OG A 1∆为直角三角形． 所以 OG O A ⊥1所以⊥O A 1面GBD ．例4.四面体ABCD 中， AB ，BC ，BD 两两垂直，且AB ＝BC ＝2， E 是AC 的中点，异面直线AD 与BE求四面体ABCD 的体积．思路：用作证求角法或建空间直角坐标系的方法可求出ＢＤ＝４，所以四面体ABCD 的体积＝384231=⨯⨯．例5.设P 、A 、B 、C 是球O 表面上的四点, PA 、PB 、PC 两两垂直, 且PA=PB=PC=1, 则球的体积为π23, 球的表面积为π3 .例6．平面四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝a,∠Ｂ＝90°，∠ＤＣＢ＝135°，沿对角线ＡＣ将四边形折成直二面角，求证： （１）求证：ＡＢ⊥面ＢＣＤ （２）求面ＡＢＤ与面ＡＣＤ成的角． 略证：（１）易证略 （２）作ＣＨ⊥ＤＢ于Ｈ，作ＣE ⊥ＤA 于E ，连ＨＥ，可证得∠ＣＥＨ为所求二面角的平面角．在直角三角形ＣＥＨ中可求得sin ∠ＣＥＨ=23,所以∠ＣＥＨ＝ 60 所以所求二面角的大小为 60. 追踪训练 1.已知a//b,且c 与a,b 都相交，求证：a,b,c 共面． 易证略 2.空间四边形ABCD 中, AB=CD , 且AB 与CD 成60°角, E 、F 分别为AC 、BD 的中点, 则EF 与AB 所成角的度数为 6030或. 3.设长方体三棱长分别为a,b,c,若长方体所有棱长的和为24,一条对角线长为5,体积为2,则=++c b a 111 ( A ) A 411 B 114 C 211 D 112 4.正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为听课随笔5:2:8,体积为14, 则棱台的高为( B )A 3B 2C 5D 45. 一个正四面体的所有棱长都为2，四个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为( A )A 3πB 4πC 5πD 6π。
高中数学 第1章 立体几何1.2.3 直线与平面的位置关系同步教学案 苏教版必修2
高中数学第1章立体几何1.2.3 直线与平面的位置关系同步教学案苏教版必修2【课时目标】1．理解直线与平面平行的判定定理的含义，会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理；2．能运用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．位置关系直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝A a∥α图形表示2．直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和________________________平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为a⊄α，b⊂α且a∥b⇒a∥α．一、填空题1．以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)正确的个数为________．①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b．2．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是________．3．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系是______________________________________________________________________．4．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是________．5．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面为____________个．6．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有________条．7．经过直线外一点有________个平面与已知直线平行．8．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的面中：(1)与直线AB平行的平面是______________；(2)与直线AA1平行的平面是______________；(3)与直线AD平行的平面是______________．9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是__________________________________________________________________．二、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点．求证：EF∥平面BDD1B1．11．如图所示，P是▱ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD．求证：EF∥平面PBC．能力提升12．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形序号)13．正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP ＝DQ．求证PQ∥平面BCE．(用两种方法证明)直线与平面平行的判定方法(1)利用定义：证明直线a 与平面α没有公共点．这一点直接证明是很困难的，往往借助于反证法来证明．(2)利用直线和平面平行的判定定理：a ⊄α，a∥b，b ⊂α，则a∥α．使用定理时，一定要说明“不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行”，若不注明和平面内的直线平行，证明过程就不完整．因此要证明a∥平面α，则必须在平面α内找一条直线b ，使得a∥b，从而达到证明的目的．证明线线平行时常利用三角形中位线、平行线分线段成比例定理等．1．2．3 直线与平面的位置关系 第1课时 直线与平面平行的判定答案知识梳理1．直线在平面外 a ⊄α 2．这个平面内的一条直线 作业设计 1．0解析 ①a ⊂α也可能成立；②a，b 还有可能相交或异面；③a ⊂α也可能成立；④a，b 还有可能异面．2．b∥α或b 与α相交 3．平行或相交4．平行 5．0,1或无数 6．12解析 如图所示，与BD 平行的有4条，与BB 1平行的有4条，四边形GHFE 的对角线与面BB 1D 1D 平行，同等位置有4条，总共12条．7．无数8．(1)平面A 1C 1和平面DC 1 (2)平面BC 1和平面DC 1 (3)平面B 1C 和平面A 1C 1 9．平行解析 设BD 的中点为F ，则EF∥BD 1． 10．证明 取D 1B 1的中点O ， 连结OF ，OB ．∵OF 綊12B 1C 1，BE 綊12B 1C 1，∴OF 綊BE ．∴四边形OFEB 是平行四边形， ∴EF∥BO．∵EF ⊄平面BDD 1B 1， BO ⊂平面BDD 1B 1， ∴EF∥平面BDD 1B 1．11．证明 连结AF 延长交BC 于G ， 连结PG ．在▱ABCD 中，易证△BFG∽△DFA． ∴GF FA ＝BF FD ＝PE EA ， ∴EF∥PG．而EF ⊄平面PBC ， PG ⊂平面PBC ， ∴EF∥平面PBC ． 12．①③13．证明 方法一 如图(1)所示，作PM∥AB 交BE 于M ，作QN∥AB 交BC 于N ，连结MN ． ∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ， ∴AE＝BD ．又∵AP＝DQ ，∴PE＝QB ． 又∵PM∥AB∥QN， ∴PM AB ＝PE AE ，QN DC ＝BQ BD ． ∴PM 綊QN ．∴四边形PQNM 是平行四边形．∴PQ∥MN． 又MN ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ， ∴PQ∥平面BCE ．方法二 如图(2)所示，连结AQ 并延长交BC(或其延长线)于K ，连结EK ．∵KB∥AD，∴DQ BQ ＝AQQK．∵AP＝DQ ，AE ＝BD ，∴BQ＝PE ． ∴DQ BQ ＝AP PE ．∴AQ QK ＝APPE．∴PQ∥EK． 又PQ ⊄面BCE ，EK ⊂面BCE ，∴PQ∥面BCE ．第2课时直线与平面平行的性质【课时目标】1．能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述直线与平面平行的性质定理．2．能运用直线与平面平行的性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题．直线与平面平行的性质定理：经过一条直线和一个平面________，经过这条直线的平面和这个平面__________，那么这条直线就和交线________．(1)符号语言描述：______________．(2)性质定理的作用：可以作为________________平行的判定方法，也提供了一种作__________的方法．一、填空题1．已知直线l∥平面α，直线m⊂α，则直线l和m的位置关系是________．2．若不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A、B、CD/∈α，则面ABC与面α的位置关系为____________．3．若直线m不平行于平面α，且m⊄α，则下列结论成立的是________(填序号)．①α内的所有直线与m异面；②α内不存在与m平行的直线；③α内存在唯一的直线与m平行；④α内的直线与m都相交．4．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是________．5．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线条数为________．6．如图所示，平面α∩β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，l1∥l2，下列说法正确的是__________(填序号)．①l1平行于l3，且l2平行于l3；②l1平行于l3，且l2不平行于l3；③l1不平行于l3，且l2不平行于l3；④l1不平行于l3，但l2平行于l3．7．设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α．以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：______________．(用序号表示)8．如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________．9．如图所示，在空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH ，BD∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，当四边形EFGH 是菱形时，AE∶EB＝________．二、解答题10．ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP∥GH．11．如图所示，三棱锥A —BCD 被一平面所截，截面为平行四边形EFGH ． 求证：CD∥平面EFGH ．能力提升12．如图所示，在透明塑料制成的长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1容器中灌进一些水，将固定容器底面一边BC 置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有以下命题：①水的形状成棱柱形；②水面EFGH 的面积不变；③A 1D 1始终水面EFGH 平行．其中正确的命题序号是________．13．如图所示，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别为AB 、PC 的中点，平面PAD∩平面PBC ＝l ．(1)求证：BC∥l；(2)MN 与平面PAD 是否平行？试证明你的结论．直线与平面平行判定定理和直线与平面平行性质定理经常交替使用，也就是通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出新的线线平行，复杂的题目还可继续推下去．可有如下示意图：线线平行――→在平面内作或找一直线线面平行――→经过直线作或找平面与平面相交的交线线线平行．第2课时 直线与平面平行的性质 答案知识梳理平行 相交 平行⎭⎪⎬⎪⎫a∥αa ⊂ββ∩α＝b ⇒a∥b 直线和直线 平行线作业设计1．平行或异面 2．平行或相交 3．② 4．平行解析 ∵E、F 分别是AA 1、BB 1的中点，∴EF∥AB． 又AB ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ， ∴AB∥平面EFGH ． 又AB ⊂平面ABCD ，平面ABCD∩平面EFGH ＝GH ， ∴AB∥GH． 5．0或1解析 设这n 条直线的交点为P ，则点P 不在直线a 上，那么直线a 和点P 确定一个平面β，则点P 既在平面α内又在平面β内，则平面α与平面β相交，设交线为直线b ，则直线b 过点P ．又直线a∥平面α，则a∥b．很明显这样作出的直线b 有且只有一条，那么直线b 可能在这n 条直线中，也可能不在，即这n 条直线中与直线a 平行的直线至多有一条．6．①解析 ∵l 1∥l 2，l 2⊂γ，l 1⊄γ， ∴l 1∥γ．又l 1⊂β，β∩γ＝l 3， ∴l 1∥l 3∴l 1∥l 3∥l 2．7．①②⇒③(或①③⇒②)解析 设过m 的平面β与α交于l ． ∵m∥α，∴m∥l，∵m∥n，∴n∥l， ∵n ⊄α，l ⊂α，∴n∥α． 8．223a解析 ∵MN∥平面AC ，平面PMN∩平面AC ＝PQ ，∴MN∥PQ，易知DP ＝DQ ＝2a3，故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝22a 3．9．m∶n解析 ∵AC∥平面EFGH ，∴EF∥AC，GH∥AC，∴EF＝HG ＝m·BE BA ，同理EH ＝FG ＝n·AEAB．∵EFGH 是菱形，∴m·BE BA ＝n·AEAB，∴AE∶EB＝m∶n．10．证明 如图所示，连结AC 交BD 于O ，连结MO ， ∵ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 中点， 又M 是PC 的中点， ∴AP∥OM．根据直线和平面平行的判定定理， 则有PA∥平面BMD ．∵平面PAHG∩平面BMD ＝GH ， 根据直线和平面平行的性质定理， ∴PA∥GH．11．证明∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥GH．又GH⊂平面BCD，EF⊄平面BCD．∴EF∥平面BCD．而平面ACD∩平面BCD＝CD，EF⊂平面ACD，∴EF∥CD．而EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH．12．①③13．(1)证明因为BC∥AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD．又平面PAD∩平面PBC＝l，BC⊂平面PBC，所以BC∥l．(2)解MN∥平面PAD．证明如下：如图所示，取DC的中点Q．连结MQ、NQ．因为N为PC中点，所以NQ∥PD．因为PD⊂平面PAD，NQ⊄平面PAD，所以NQ∥平面PAD．同理MQ∥平面PAD．又NQ⊂平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，NQ∩MQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PAD．所以MN∥平面PAD．第3课时直线与平面垂直的判定【课时目标】1．理解直线与平面垂直的定义．2．掌握直线与平面垂直的判定定理并能灵活应用．1．如果直线a与平面α内的__________________，我们就说直线a与平面α互相垂直，记作：________．图形如图所示．2．从平面外一点引平面的垂线，这个点和________间的距离，叫做这个点到这个平面的距离．3．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条________直线垂直，那么这条直线______于这个平面．图形表示：用符号表示为：______________________________________________________________．一、选择题1．下列命题中正确的是________(填序号)．①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是________．3．若a、b、c表示直线，α表示平面，下列条件中能使a⊥α为________．(填序号)①a⊥b，b⊥c，b⊂α，c⊂α；②a⊥b，b∥α；③a∩b＝A，b⊂α，a⊥b；④a∥b，b⊥α．4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC的形状为__________三角形．5．如图①所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体(如图②使G1、G2、G3三点重合于一点G)，则下列结论中成立的有________(填序号)．①SG⊥面EFG；②SD⊥面EFG；③GF⊥面SEF；④GD⊥面SEF．6．△ABC的三条边长分别是5、12、13，点P到三点的距离都等于7，那么P到平面ABC 的距离为__________________________________________________________________．7．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．8．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件______时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________．二、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB．11．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB，PC的中点，PA＝AD．求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD．能力提升12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证B1O⊥平面PAC．13．如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，S A⊥平面ABC，过点A向SC和SB引垂线，垂足分别是P、Q，求证：(1)AQ⊥平面SBC；(2)PQ⊥SC．1．直线和平面垂直的判定方法(1)利用线面垂直的定义．(2)利用线面垂直的判定定理．(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β．2．在线面垂直的问题中，通过直线与直线垂直，可以证明直线与平面垂直；直线与平面垂直后，直线和平面内的任何直线都垂直．这样，就形成了线线垂直与线面垂直连环使用的思维形式，它对解题方法、策略乃至人们的思维，无疑都是一种提示．第3课时直线与平面垂直的判定答案知识梳理1．任意一条直线都垂直 a⊥α 2．垂足3．相交 垂直 m ，n ⊂α，m∩n＝O ，l⊥m，l⊥n ⇒l⊥α 作业设计1．④ 2．a ⊂β或a∥β 3．④ 4．直角解析 易证AC⊥面PBC ，所以AC⊥BC． 5．① 6．323解析 由P 到三个顶点距离相等．可知，P 为△ABC 的外心，又△ABC 为直角三角形，∴P到平面ABC 的距离为h ＝PD ＝72－⎝ ⎛⎭⎪⎫1322＝323．7．4解析⎭⎪⎬⎪⎫PA⊥平面ABC BC ⊂平面ABC⇒⎭⎪⎬⎪⎫PA⊥BC AC⊥BC ⇒BC⊥平面PAC ⇒BC⊥PC， ∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC． 8．∠A 1C 1B 1＝90° 解析如图所示，连结B 1C ，由BC ＝CC 1，可得BC 1⊥B 1C ，因此，要证AB 1⊥BC 1，则只要证明BC 1⊥平面AB 1C ，即只要证AC⊥BC 1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC 即可． 因为A 1C 1∥AC，B 1C 1∥BC， 故只要证A 1C 1⊥B 1C 1即可．(或者能推出A 1C 1⊥B 1C 1的条件，如∠A 1C 1B 1＝90°等) 9．90°解析 ∵B 1C 1⊥面ABB 1A 1， ∴B 1C 1⊥MN． 又∵MN⊥B 1M ， ∴MN⊥面C 1B 1M ， ∴MN⊥C 1M ．∴∠C 1MN ＝90°．10．证明 在平面B 1BCC 1中， ∵E、F 分别是B 1C 1、B 1B 的中点， ∴△BB 1E≌△CBF， ∴∠B 1BE ＝∠BCF，∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，又AB⊥平面B 1BCC 1，CF ⊂平面B 1BCC 1， ∴AB⊥CF，AB∩BE＝B ，∴CF⊥平面EAB ． 11．证明 (1)∵PA⊥底面ABCD ， ∴CD⊥PA．又矩形ABCD 中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A ， ∴CD⊥平面PAD ， ∴CD⊥PD．(2)取PD 的中点G ，连结AG ，FG ．又∵G、F 分别是PD ，PC 的中点，∴GF 綊12CD ，∴GF 綊AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形，∴AG∥EF． ∵PA＝AD ，G 是PD 的中点， ∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，∵CD⊥平面PAD ，AG ⊂平面PAD ． ∴CD⊥AG．∴EF⊥CD．∵PD∩CD＝D ，∴EF⊥平面PCD ．12．证明 连结AB 1，CB 1，设AB ＝1． ∴AB 1＝CB 1＝2，∵AO＝CO ，∴B 1O⊥AC． 连结PB 1．∵OB 21＝OB 2＋BB 21＝32，PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝94，OP 2＝PD 2＋DO 2＝34，∴OB 21＋OP 2＝PB 21． ∴B 1O⊥PO，又∵PO∩AC＝O ， ∴B 1O⊥平面PAC ．13．证明 (1)∵SA⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴SA⊥BC．又∵BC⊥AB，SA∩AB＝A ， ∴BC⊥平面SAB ． 又∵AQ ⊂平面SAB ，∴BC⊥AQ．又∵AQ⊥SB，BC∩SB＝B ， ∴AQ⊥平面SBC ．(2)∵AQ⊥平面SBC ，SC ⊂平面SBC ，∴AQ⊥SC．又∵AP⊥SC，AQ∩AP＝A ， ∴SC⊥平面APQ ．∵PQ ⊂平面APQ ，∴PQ⊥SC．第4课时 直线与平面垂直的性质【课时目标】 1．掌握直线与平面垂直的性质定理．2．会求直线与平面所成的角．1．直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线________．该定理用图形表示为：用符号表示为：________________________．2．直线和平面的距离：一条直线和一个平面________，这条直线上______________到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离．3．平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面______________．规定：若直线与平面垂直，则直线与平面所成的角是________．若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面所成的角是________的角．一、填空题1．与两条异面直线同时垂直的平面有________个．2．若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为________．① ⎭⎪⎬⎪⎫m∥n m⊥α⇒n⊥α； ②⎭⎪⎬⎪⎫m⊥αn⊥α⇒m∥n； ③⎭⎪⎬⎪⎫m⊥αn∥α⇒m⊥n； ④⎭⎪⎬⎪⎫m∥αm⊥n ⇒n⊥α． 3．已知直线PG⊥平面α于G ，直线EF ⊂α，且PF⊥EF 于F ，那么线段PE ，PF ，PG 的大小关系是______________．4．PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任一点，则下列关系正确的是________(填序号)．①PA⊥BC；②BC⊥平面PAC ； ③AC⊥PB； ④PC⊥BC．5．P 为△ABC 所在平面外一点，O 为P 在平面ABC 内的射影．(1)若P 到△ABC 三边距离相等，且O 在△ABC 的内部，则O 是△ABC 的________心； (2)若PA⊥BC，PB⊥AC ，则O 是△ABC 的______心；(3)若PA，PB，PC与底面所成的角相等，则O是△ABC的________心．6．线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．7．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．(只填序号)①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________．9．如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是________．(正三棱柱：侧棱与底面垂直，底面为正三角形的棱柱)二、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．11．如图所示，设三角形ABC的三个顶点在平面α的同侧，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′，CC′⊥α于C′，G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，求证：GG′⊥α．能力提升12．如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC．13．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分别是A1B，B1C1的中点．(1)求证：MN⊥平面A1BC；(2)求直线BC1和平面A1BC所成的角的大小．1．直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的判定定理，可以并入平行推导链中，实现平行与垂直的相互转化，即线线垂直⇒线面垂直⇒线线平行⇒线面平行．2．求线面角，确定直线在平面内的射影的位置，是解题的关键．因为只有确定了射影的位置，才能找到直线与平面所成的角，才能将空间的问题转化为平面的问题来解．第4课时直线与平面垂直的性质答案知识梳理1．平行 a⊥α，b⊥α⇒a∥b 2．平行 任意一点3．所成的角 直角 0° 作业设计 1．0 2．3解析 ①②③正确，④中n 与面α可能有：n ⊂α或n∥α或相交(包括n⊥α)． 3．PE>PF>PG解析 由于PG⊥平面α于G ，PF⊥EF， ∴PG 最短，PF<PE ，∴PE>PF>PG． 4．①②④解析 PA⊥平面ABC ，得PA⊥BC，①正确； 又BC⊥AC，∴BC⊥面PAC ， ∴BC⊥PC，②、④均正确． 5．(1)内 (2)垂 (3)外 6．4解析 由直线与平面垂直的性质定理知AB 中点到α距离为以3和5为上、下底的直角梯形的中位线的长．7．①②③解析 ①为直线与平面垂直的性质定理的应用，②为面面平行的性质，③为公理4的应用．8．(1)45° (2)30° (3)90° 解析(1)由线面角定义知∠A 1BA 为A 1B 与平面ABCD 所成的角，∠A 1BA ＝45°． (2)连结A 1D 、AD 1，交点为O ，则易证A 1D⊥面ABC 1D 1，所以A 1B 在面ABC 1D 1内的射影为OB ， ∴A 1B 与面ABC 1D 1所成的角为∠A 1BO ，∵A 1O ＝12A 1B ，∴∠A 1BO ＝30°．(3)∵A 1B⊥AB 1，A 1B⊥B 1C 1，∴A 1B⊥面AB 1C 1D ，即A 1B 与面AB 1C 1D 所成的角为90°． 9．30°解析 取AC 的中点E ，连结C 1E ，BE ，则∠BC 1E 即为所求的角．又由BC 1＝3，BE ＝32，所以sin ∠BC 1E ＝12，∠B C 1E ＝30°．10．证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形， ∴AD 1⊥A 1D ．又∵CD⊥平面ADD 1A 1，∴CD⊥AD 1． ∵A 1D∩CD＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC ． 又∵MN⊥平面A 1DC ， ∴MN∥AD 1．(2)连结ON ，在△A 1DC 中， A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ．∴ON 綊12CD 綊12AB ，∴ON∥AM． 又∵MN∥OA，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON＝AM ．∵ON＝12AB ，∴AM＝12AB ，∴M 是AB 的中点．11．证明连结AG 并延长交BC 于D ，连结A′G′并延长交B′C′于D′，连结DD′，由AA′⊥α，BB′⊥α，CC′⊥α，得AA′∥BB′∥CC′．∵D、D′分别为BC 和B′C′的中点， ∴DD′∥CC′∥BB′，∴DD′∥AA′，∵G、G′分别是△ABC 和△A′B′C′的重心， ∴AG GD ＝A′G′G′D′，∴GG′∥AA′， 又∵AA′⊥α，∴GG′⊥α．12．证明 ∵M、N 分别是EA 与EC 的中点， ∴MN∥AC，又∵AC ⊂平面ABC ，MN ⊄平面ABC ， ∴MN∥平面ABC ，∵DB⊥平面ABC ，EC⊥平面ABC ， ∴BD∥EC，四边形BDEC 为直角梯形， ∵N 为EC 中点，EC ＝2BD ，∴NC 綊BD ，∴四边形BCND 为矩形， ∴DN∥BC，又∵DN ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴DN∥平面ABC ， 又∵MN∩DN＝N ，∴平面DMN∥平面ABC ． 13．(1)证明 如图所示，由已知BC⊥AC，BC⊥CC 1， 得BC⊥平面ACC 1A 1．连结AC 1，则BC⊥AC 1．由已知，可知侧面ACC 1A 1是正方形，所以A 1C ⊥AC 1． 又BC∩A 1C ＝C ，所以AC 1⊥平面A 1BC ．因为侧面ABB 1A 1是正方形，M 是A 1B 的中点，连结AB 1，则点M 是AB 1的中点．又点N 是B 1C 1的中点，则MN 是△AB 1C 1的中位线，所以MN∥AC 1．故MN⊥平面A 1BC ． (2)解 如图所示，因为AC 1⊥平面A 1BC ，设AC 1与A 1C 相交于点D ，连结BD ， 则∠C 1BD 为直线BC 1和平面A 1BC 所成的角．设AC ＝BC ＝CC 1＝a ，则C 1D ＝22a ，BC 1＝2a ．在Rt △BDC 1中，sin ∠C 1BD ＝C 1D BC 1＝12，所以∠C 1BD ＝30°，故直线BC 1和平面A 1BC 所成的角为30°．。
高中数学新学案同步 必修2苏教版 第一章 立体几何初步 1.2.3 第1课时
1.2.3直线与平面的位置关系第1课时直线与平面平行的判定学习目标 1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系.2.掌握空间中直线与平面平行的判定定理．知识点一直线与平面的位置关系思考如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，线段BC1所在的直线与长方体的六个面所在的平面有几种位置关系？答案三种位置关系：(1)直线在平面内；(2)直线与平面相交；(3)直线与平面平行．梳理直线与平面的位置关系直线a在平面α外位置关系直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝A a∥α图形表示知识点二直线与平面平行的判定定理思考1如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在α内)和平面α有何位置关系？答案平行．思考2如图，平面α外的直线a 平行于平面α内的直线b .这两条直线共面吗？直线a 与平面α相交吗？答案由于直线a ∥b ，所以两条直线共面，直线a 与平面α不相交．梳理1．若直线a 与平面α内的所有直线都不平行，则a 不平行于平面α.(√)2．两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．(×)类型一直线与平面的位置关系例1下列说法中正确的是________．(填序号)①如果a ，b 是两条直线，a ∥b ，那么a 平行于经过b 的任何一个平面；②如果直线a 和平面α满足a ∥α，那么a 与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a ，b 满足a ∥α，b ∥α，那么a ∥b ；④如果平面α的同侧有两点A ，B 到平面α的距离相等，那么AB ∥α.答案④解析如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AA ′∥BB ′，但AA ′在过BB ′的平面AB ′内，故①不正确；AA ′∥平面B ′C ，BC ⊂平面B ′C ，但AA ′不平行于BC ，故②不正确；AA ′∥平面B ′C ，A ′D ′∥平面B ′C ，但AA ′与A ′D ′相交，所以③不正确；④显然正确．反思与感悟(1)此类题在求解时，常受思维定势影响，误以为直线在平面外就是直线与平面平行．(2)判断直线与平面位置关系的问题，其解决方式除了定义法外，还可以借助模型(如长方体)和举反例两种行之有效的方法．跟踪训练1若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是________．(填序号)①α内的所有直线都与直线a 异面；②α内不存在与a 平行的直线；③α内的直线都与a 相交；④直线a 与平面α有公共点．答案④解析直线a 不平行于平面α，则a 与平面α相交或a ⊂α，故④正确．类型二线面平行的判定定理及应用命题角度1以锥体为背景证明线面平行例2如图，M ，N 分别是底面为矩形的四棱锥P —ABCD 的棱AB ，PC 的中点，求证：MN ∥平面PAD .证明如图所示，取PD 的中点E ，连结AE ，NE ，∵N 是PC 的中点，∴EN ∥DC ，EN ＝12DC .又∵AM ∥CD ，AM ＝12CD ，∴NE ∥AM ，NE ＝AM ，∴四边形AMNE 是平行四边形，∴MN ∥AE .又∵AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ，∴MN ∥平面PAD .反思与感悟利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找出一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等．跟踪训练2如图，四边形ABCD 是平行四边形，P 是平面ABCD 外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．求证：MN ∥平面PAD .考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的证明证明如图，取PD 的中点G ，连结GA ，GN .∵G ，N 分别是△PDC 的边PD ，PC 的中点，∴GN ∥DC ，GN ＝12DC .∵M 为平行四边形ABCD 的边AB 的中点，∴AM ＝12DC ，AM ∥DC ，∴AM ∥GN ，AM ＝GN ，∴四边形AMNG 为平行四边形，∴MN ∥AG .又∵MN ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，∴MN ∥平面PAD .命题角度2以柱体为背景证明线面平行例3如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，A 1C 1的中点，求证：EF ∥平面A 1CD .证明∵在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，F 为A 1C 1的中点，∴A 1F 綊12AC ，∵D，E分别是棱AB，BC的中点，∴DE綊12 AC，∴A1F綊DE，则四边形A1DEF为平行四边形，∴EF∥A1D.又EF⊄平面A1CD且A1D⊂平面A1CD，∴EF∥平面A1CD.反思与感悟证明以柱体为背景包装的线面平行证明题，常用线面平行的判定定理，遇到题目中含有线段中点，常利用取中点去寻找平行线的方法．跟踪训练3如图所示，已知长方体ABCD—A1B1C1D1.(1)求证：BC1∥平面AB1D1；(2)若E，F分别是D1C，BD的中点，求证：EF∥平面ADD1A1.证明(1)∵BC1∥AD1，BC1⊄平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1.(2)∵点F为BD的中点，∴F为AC的中点．又∵点E为D1C的中点，∴EF∥AD1，∵EF⊄平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，∴EF∥平面ADD1A1.1．下列命题中正确命题的个数是________．①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．答案0解析①中，当l∩α＝A时，除A点以外所有的点均不在α内；②中，当l∥α时，α中有无数条直线与l异面；③中，另一条直线可能在平面内．2．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则A1C1与平面ACE的位置关系为________．考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案平行解析∵A1C1∥AC，A1C1⊄平面ACE，AC⊂平面ACE，∴A1C1∥平面ACE.3．如图(1)，已知正方形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图(2)所示，则BF与平面ADE的位置关系是________．答案平行解析∵BF∥DE，DE⊂平面ADE，BF⊄平面ADE，∴BF∥平面ADE.4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线A1D，B1D1的中点，则正方体6个面中与直线EF平行的平面有________________．答案平面C1CDD1和平面A1B1BA解析如图，连结A1C1，C1D，在△A1C1D中，EF为中位线，∴EF∥C1D，又EF⊄平面C1CDD1，C1D⊂平面C1CDD1，∴EF∥平面C1CDD1.同理可得EF∥平面A1B1BA.故与EF平行的平面有平面C1CDD1和平面A1B1BA.5．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，点O是AC与BD的交点．求证：B1O∥平面A1C1D.证明如图，连结B1D1，交A1C1于点O1，连结DO1.∵O1B1＝DO，O1B1∥DO，∴四边形O1B1OD为平行四边形，∴B1O∥O1D.∵B1O⊄平面A1C1D，O1D⊂平面A1C1D，∴B1O∥平面A1C1D.1．直线与平面的位置关系，其分类方式有两种：一类是按直线与平面是否有公共点，另一类是按直线是否在平面内．2．直线与平面平行的关键是在已知平面内找出一条直线和已知直线平行，即要证直线和平面平行，先证直线和直线平行，即由立体向平面转化，由高维向低维转化．一、填空题1．下列命题正确的是________．(填序号)①若一条直线a与平面α平行，则直线a与平面α没有公共点；②若一条直线a与平面α有公共点，则直线a与平面α相交；③若一条直线a与平面α有两个公共点，则a⊂α.答案①③解析因为当a∥α时，a与α无公共点，所以①正确；因为当直线a与平面α有两个公共点时，a⊂α，所以②错误，③正确．2．若直线l与平面α不平行，则下列结论正确的是______．(填序号)①α内的所有直线都与直线l异面；②α内不存在与l平行的直线；③α内的直线与l相交；④直线l与平面α有公共点．答案④解析①中，过公共点的直线与直线l相交，不异面，①错误；②③中，当l⊂α时，α内有无数多条直线与l平行，故②③错；④中，直线l与平面α不平行，则直线l与平面α相交或在平面内，所以l与平面α有公共点，故④正确．3．若平面外一条直线上有两点到该平面的距离相等，则这条直线与平面的位置关系是________．答案平行或相交解析当两点在平面的一侧时，这条直线与平面平行；当两点在平面的两侧时，这条直线与平面相交．所以这条直线与平面的位置关系是平行或相交．4.若P是△ABC所在平面外一点，E，F，G分别是AB，BC，PC的中点，则图中与过E，F，G的截面平行的线段有________条．答案2解析由题意知，EF∥AC，FG∥PB，∴AC∥平面EFG，PB∥平面EFG，即有2条与平面EFG平行的线段．5.如图，在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．(填“平行”或“相交”)答案平行解析∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE.又MN⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，∴MN∥平面ADE.6.如图所示，长方体ABCD—A1B1C1D1中，与BC平行的平面是________；与BC1平行的平面是________；与平面A1C1和平面A1B都平行的棱是________．答案平面A1C1与平面AD1平面AD1CD解析观察图形，根据判定定理可知，与BC平行的平面是平面A1C1与平面AD1；与BC1平行的平面是平面AD1；由于平面A1C1与平面A1B的交线是A1B1，所以与其都平行的棱是CD. 7．若AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是________．答案平行解析这三条线段放在正方体内如图，显然AC∥EF，AC⊄平面EFG.EF⊂平面EFG，故AC∥平面EFG.8．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是________．答案平行解析∵AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，∴EF∥AC.又∵EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，∴AC∥平面DEF.9．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有________条．答案12解析如图所示，与BD平行的有4条，与BB1平行的有4条，四边形GHFE的对角线与平面BB1D1D平行，同等位置有4条，总共12条．10．如图，四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形序号)答案①③解析①如图(1)，Q为所在棱的中点，连结MQ，NQ，PQ，则NQ∥AB，且NQ⊂平面MNP，AB⊄平面MNP，∴AB∥平面MNP.②过N作AB的平行线交底面正方形于其中心O，NO⊄平面MNP，AB⊄平面MNP，∴AB与平面MNP不平行．③易知AB∥MP，MP⊂平面MNP，AB⊄平面MNP，∴AB∥平面MNP.④如图(2)，过M作MC∥AB，∵MC⊄平面MNP，AB⊄平面MNP，∴AB与平面MNP不平行．二、解答题11.如图所示，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，Q是PA的中点．求证：PC∥平面BDQ.证明连结AC，交BD于O，连结OQ，因为底面ABCD为正方形，所以O为AC的中点．又因为Q是PA的中点，所以OQ∥PC，又因为OQ⊂平面BDQ，PC⊄平面BDQ，所以PC∥平面BDQ.12．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，点G为BC 的中点．求证：OG∥平面EFCD.证明∵四边形ABCD 是菱形，AC ∩BD ＝O ，∴点O 是BD 的中点．又点G 为BC 的中点，∴OG ∥CD .又OG ⊄平面EFCD ，CD ⊂平面EFCD ，∴OG ∥平面EFCD .13.如图，四边形ABCD 为正方形，△ABE 为等腰直角三角形，AB ＝AE ，P 是线段CD 的中点，在直线AE 上是否存在一点M ，使得PM ∥平面BCE .若存在，指出点M 的位置，并证明你的结论．考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的证明解如图，存在点M ，当点M 是线段AE 的中点时，PM ∥平面BCE .取BE 的中点N ，连结CN ，MN ，MN ∥AB 且MN ＝12AB ，又PC ∥AB 且PC ＝12AB ，所以四边形MNCP 为平行四边形，所以PM ∥CN .因为PM ⊄平面BCE ，CN ⊂平面BCE ，所以PM ∥平面BCE .三、探究与拓展14．如图，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案平面ABC，平面ABD解析连结BN，AM，并延长交CD于点E.由题意易得MN∥AB，MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，AB⊂平面ABD，∴MN∥平面ABC，MN∥平面ABD.15．已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB边AB上的高，D，E，F分别是AC，BC，SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明．解SG∥平面DEF.证明如下：连结CG交DE于点H，如图，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，∴H是CG的中点．∴FH是△SCG的中位线，∴FH∥SG.又SG⊄平面DEF，FH⊂平面DEF，∴SG∥平面DEF.。
2018-2019数学新学案同步苏教版必修二讲义：第一章 立体几何初步1.2.3 第4课时 Word版含答案
第4课时直线与平面垂直的性质学习目标 1.掌握空间中线面垂直的性质定理.2.能够运用线面垂直的性质定理证明一些简单的问题.3.掌握线面垂直的判定与性质的综合应用．知识点直线与平面垂直的性质定理思考在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆．一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？答案平行．梳理1．若l⊥α，则过l有无数个平面与α垂直．(√)2．两垂直平面的二面角的平面角大小为90°.(√)类型一线面垂直的性质定理及应用例1如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1.证明因为ADD1A1为正方形，所以AD 1⊥A 1D .又因为CD ⊥平面ADD 1A 1，所以CD ⊥AD 1. 因为A 1D ∩CD ＝D ，所以AD 1⊥平面A 1DC . 又因为MN ⊥平面A 1DC ，所以MN ∥AD 1. 引申探究若本例的条件不变，求证：M 是AB 的中点． 证明 连结ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ， ∴ON 綊12CD 綊12AB ，∴ON ∥AM . 又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM . ∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点．反思与感悟 证明线线平行的常用方法(1)利用线线平行定义：证明两条直线共面且无公共点． (2)利用三线平行公理：证明两条直线同时平行于第三条直线． (3)利用线面平行的性质定理：把证明线线平行转化为证明线面平行． (4)利用线面垂直的性质定理：把证明线线平行转化为证明线面垂直．跟踪训练1 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在A 1D ，AC 上，且EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC .求证：EF ∥BD 1.证明连结AB1，B1C，BD，B1D1，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C，B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.类型二线面垂直的综合应用命题角度1线面垂直中的探索性问题例2如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点．(1)求证：AE⊥DA1；(2)在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG.(1)证明连结AD1，BC1，由正方体的性质可知， DA 1⊥AD 1，DA 1⊥AB ， 又AB ∩AD 1＝A ， ∴DA 1⊥平面ABC 1D 1. 又AE ⊂平面ABC 1D 1， ∴DA 1⊥AE .(2)解 所求G 点即为A 1点，证明如下：由(1)可知AE ⊥DA 1，取CD 的中点H ，连结AH ，EH ， 由DF ⊥AH ，DF ⊥EH ，AH ∩EH ＝H ， 可证DF ⊥平面AHE ，∵AE ⊂平面AHE ，∴DF ⊥AE .又DF ∩A 1D ＝D ， ∴AE ⊥平面DF A 1，即AE ⊥平面DFG .反思与感悟 探索性问题主要有两种类型：一是结论型：从承认结论入手，探索出命题成立的条件．二是存在型：先假定“存在”，若经推理无矛盾，则“存在”成立；若推出矛盾，则结论为“不存在”．跟踪训练2 如图所示，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，BC ＝2，CC 1＝5，M 是棱CC 1上一点，是否存在这样的点M ，使得BM ⊥平面A 1B 1M ？若存在，求出C 1M 的长；若不存在，请说明理由．解 假设存在点M 使得BM ⊥平面A 1B 1M ，并设C 1M ＝x ， 则有Rt △B 1C 1M ∽Rt △BMB 1. ∴C 1M B 1M ＝B 1MBB 1，∴4＋x 2＝5x ， ∴x ＝4或x ＝1.当C1M＝1或4时，使得BM⊥平面A1B1M.命题角度2线线、线面垂直的相互转化例3如图所示，已知矩形ABCD，SA⊥平面ABCD，AE⊥SB于点E，EF⊥SC于点F.(1)求证：SC⊥AF；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD.证明(1)∵SA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴SA⊥BC.∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC.又AB∩SA＝A，∴BC⊥平面SAB，又∵AE⊂平面SAB，∴BC⊥AE.又SB⊥AE，SB∩BC＝B，∴AE⊥平面SBC，又∵SC⊂平面SBC，∴AE⊥SC.又EF⊥SC，EF∩AE＝E，∴SC⊥平面AEF.又AF⊂平面AEF，∴SC⊥AF.(2)∵SA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴SA⊥CD.又四边形ABCD为矩形，∴CD⊥AD.又SA∩AD＝A，∴CD⊥平面SAD.又AG⊂平面SAD，∴CD⊥AG.由(1)可知，SC⊥平面AEF，∵AG⊂平面AEF，∴AG⊥SC，又SC∩CD＝C，∴AG⊥平面SCD，又SD⊂平面SCD，∴AG⊥SD.反思与感悟(1)证明线线垂直常常转化为线面垂直问题，即证明其中一条直线垂直于另一条直线所在平面即可．(2)证明的转化途径是线线垂直→线面垂直→线线垂直．跟踪训练3如图所示，平面P AB⊥平面ABC，平面P AC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：P A⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．证明(1)在平面ABC内任取一点D，作DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G.∵平面P AC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面P AC.∵P A⊂平面P AC，∴DF⊥P A.同理可证DG⊥P A.∵DG∩DF＝D，∴P A⊥平面ABC.(2)连结BE并延长交PC于点H.∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH.又∵AE⊥平面PBC，∴PC⊥AE.∵BH∩AE＝E，BH，AE⊂平面ABE，∴PC⊥平面ABE，∴PC⊥AB.由(1)知P A⊥平面ABC，∴P A⊥AB.∵P A∩PC＝P，∴AB⊥平面P AC.∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．1．从圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是________．答案平行2．线段a和b在正方体ABCD—A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．(填序号)①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．答案①②③解析由直线与平面垂直的性质知，①能使a∥b成立；由正方体的性质知，②能使a∥b成立；由公理4知，③能使a∥b成立；④中条件不能保证a∥b，a与b有可能相交或异面．3.如图所示，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB，则直线a与直线l的位置关系是________．答案平行解析∵EA⊥α，平面α∩平面β＝l，即l⊂α，∴l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，∴l⊥平面EAB.∵EB⊥β，a⊂平面β，∴EB⊥a.又a⊥AB，EB∩AB＝B，∴a⊥平面EAB，∴a∥l.4.如图所示，P为△ABC所在平面外一点，P A⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F.求证：EF⊥PC.证明∵P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥P A.又BC⊥AB，AB∩P A＝A，∴BC⊥平面P AB.又∵AE⊂平面P AB，∴AE⊥BC.又AE⊥PB，∴AE⊥平面PBC，∴AE⊥PC.又AF⊥PC，∴PC⊥平面AEF，又EF⊂平面AEF，∴EF⊥PC.1．空间线面垂直与线线垂直经常相互转化．判定定理是将一条直线与平面内的两条相交的直线的垂直关系转化为直线与平面的垂直关系；同样直线与平面的垂直的定义也揭示了这两类垂直关系的转化．2．垂直关系与平行关系也可以相互转化．(1)线面平行的性质定理a⊥α，b⊥α⇒a∥b；(2)a⊥α，a∥b⇒b⊥α；(需要利用线面垂直的定义证明)(3)a⊥α，b∥α⇒a⊥b；(需要证明)(4)a⊥α，a⊥b，b⊄α⇒b∥α.(需要证明)一、填空题1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，l，m为两条不重合的直线，则直线l，m的位置关系是________．答案平行解析∵直线l⊥AB，l⊥AC，且AB∩AC＝A，∴l⊥平面α，同理直线m⊥平面α.由线面垂直的性质定理可得l∥m.2.如图，P A⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，下列结论中不正确的是_____．(填序号)①PB⊥BC；②PD⊥CD；③PO⊥BD；④P A⊥BD.答案③解析∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BC，又AB⊥BC，∴BC⊥平面P AB，∴PB⊥BC，故①正确；同理得PD⊥CD，故②正确；由P A⊥平面ABCD，得P A⊥BD，故④正确；而只有当AD＝AB时，PO⊥BD才成立．故③不正确．3．线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．答案 4解析∵AC⊥α，BD⊥α，∴AC ∥BD .连结CD ，设AB 的中点为E ，CD 的中点为F . 则EF 为梯形ABDC 的中位线， ∴EF ⊥α，则EF ＝12×(3＋5)＝4.即AB 的中点到α的距离为4.4．圆O 的半径为4，PO 垂直圆O 所在的平面，且PO ＝3，那么点P 到圆上各点的距离是________． 答案 5解析 设A 为圆上任意一点，连结OA ，P A .∵PO 垂直于圆O 所在的平面，OA ⊂圆O 所在的平面，OA ＝4，PO ＝3， ∴在△POA 中，PO ⊥OA ， ∴P A ＝PO 2＋OA 2＝42＋32＝5.5．对两条不相交的空间直线a 与b ，必存在平面α，使得________．(填序号) ①a ⊂α，b ⊂α；②a ⊂α，b ∥α； ③a ⊥α，b ⊥α；④a ⊂α，b ⊥α. 答案 ②解析 对于①，当a 与b 是异面直线时，①错误； 对于②，若a ，b 不相交，则a 与b 平行或异面， 都存在α，使a ⊂α，b ∥α，②正确；对于③，a ⊥α，b ⊥α，一定有a ∥b ，故③错误； 对于④，a ⊂α，b ⊥α，一定有a ⊥b ，④错误．6．若a ，b 表示直线(不重合)，α表示平面，有下列说法：①a⊥α，b∥α⇒a⊥b；②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.其中正确的是________．(填序号)答案①④解析a⊥α，b∥α，由线面垂直的性质得a⊥b，∴①正确；由a⊥α，a⊥b，可得b∥α或b⊂α，∴②不正确；由a∥α，a⊥b，得b⊂α或b⊥α或b∥α，∴③不正确；④显然成立．7.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点(点C不与A，B重合)，过动点C的直线VC 垂直于⊙O所在的平面，D，E分别是VA，VC的中点，则下列结论中正确的是________．(填写正确结论的序号)①直线DE∥平面ABC；②直线DE⊥平面VBC；③DE⊥VB；④DE⊥AB.答案①②③解析∵D，E分别是VA，VC的中点，∴DE∥AC，又DE⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴直线DE∥平面ABC，∴①正确；∵VC⊥平面ABC，∴VC⊥AC，又AC⊥BC，VC∩BC＝C，∴AC⊥平面VBC，又DE∥AC，∴DE⊥平面VBC，∴②正确；∵VB⊂平面VBC，∴DE⊥VB，∴③正确．④DE⊥AB，显然不正确．8．设a，b是异面直线，下列命题：①过不在a，b上的一点P一定可作一条直线和a，b都相交；②过不在a，b上的一点P一定可作一个平面和a，b都垂直；③过a一定可作一个平面与b垂直；④过a一定可作一个平面与b平行．其中正确的是________．(填序号)答案④解析①不正确，若点P和直线a确定平面α，当b∥α时，满足条件的直线不存在．②不正确，若a，b都垂直于同一个平面，则a∥b.③不正确，只有a，b垂直时才能作出满足条件的平面．9.如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论中，不正确的是________．(填序号)①EF⊥BB1；②EF∥平面ACC1A1；③EF⊥BD；④EF⊥平面BCC1B1.答案④解析由正方体的性质，得EF∥平面A1B1C1D1，BB1⊥平面A1B1C1D1，∴EF⊥BB1，故①正确；由正方体的性质，得EF∥AC，又EF⊄平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，∴EF∥平面ACC1A1，故②正确；由正方体的性质，得AC⊥BD，又EF∥AC，∴EF⊥BD，故③正确；由正方体的性质，得AC与平面BCC1B1不垂直，又EF∥AC，∴EF与平面BCC1B1不垂直，故④不对．10.如图所示，设三角形ABC的三个顶点在平面α的同侧，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′，CC′⊥α于C′，G，G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，则GG′与α的关系是________．答案垂直解析取AB的中点M，A′B′的中点M′，则MM′∥BB′，连结CM，C′M′，可知G，G′分别为CM，C′M′的靠近中点M，M′的三等分点，∴GG′∥MM′，∴GG′∥BB′.∵BB′⊥α，∴GG′⊥α.11.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.则BC1与AB1的关系是______．答案垂直解析因为棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.二、解答题12.如图，已知AD⊥AB，AD⊥AC，AE⊥BC交BC于点E，D为FG的中点，AF＝AG，EF ＝EG.求证：BC∥FG.证明∵AD⊥AB，AD⊥AC，AB∩AC＝A，∴AD⊥平面ABC，∴AD⊥BC.又∵AE⊥BC，AE∩AD＝A，∴BC⊥平面ADE，在△AFG中，D是FG的中点，由AF＝AG，得AD⊥FG，在△EFG中，D是FG的中点，由EF＝EG，得ED⊥FG，∴FG⊥平面ADE.又BC⊥平面ADE，∴BC∥FG.13.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F.解假设D1E⊥平面AB1F.∵AF⊂平面AB1F，∴D1E⊥AF.∵D1D⊥平面ABCD，AF⊂平面ABCD，∴D1D⊥AF.∵D1D∩D1E＝D1，∴AF⊥平面D1DE.∵DE⊂平面D1DE，∴AF⊥DE.∴∠F AD＋∠ADE＝90°.∵∠CDE＋∠ADE＝90°，∴∠F AD＝∠CDE，∴Rt△F AD≌Rt△EDC，∴FD＝EC.∵E是BC的中点，∴F是CD的中点．即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.三、探究与拓展14．如图所示，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC .其中正确结论的序号是________．答案 ①②③解析 ∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC .又∵AC ⊥BC ，P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥AF .∵AF ⊥PC ，BC ∩PC ＝C ，∴AF ⊥平面PBC ，∴AF ⊥PB .又∵AE ⊥PB ，AE ∩AF ＝A ，∴PB ⊥平面AEF ，∴PB ⊥EF .故①②③正确．15.如图所示，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面为菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°.(1)证明：C 1C ⊥BD ；(2)当CD CC 1的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ，然后证明这个结论． (1)证明 连结A 1C 1，AC ，AC 与BD 交于点O ，连结C 1O ，因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，BC ＝CD .又因为∠C 1CB ＝∠C 1CD ，C 1C 为公共边，所以△C 1BC ≌△C 1DC ，所以C 1B ＝C 1D .又DO ＝OB ，所以C 1O ⊥BD .又AC ⊥BD ，AC ∩C 1O ＝O ，所以BD ⊥平面AC 1.又C1C⊂平面AC1，所以C1C⊥BD.(2)解当CDCC1＝1时，能使A1C⊥平面C1BD.证明如下：由(1)可知BD⊥平面AC1.又因为A1C⊂平面AC1，所以BD⊥A1C.当CDCC1＝1时，四棱柱的六个面全都是菱形，同BD⊥A1C的证法类似可以证得BC1⊥A1C. 又因为BD∩BC1＝B，所以A1C⊥平面C1BD.。
高中数学新学案同步 必修2苏教版 第一章 立体几何初步 1.3.2
(2)求几何体体积时需注意的问题
柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用
截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算.
跟踪训练1
(1) 如 图 所 示 ， 在 长 方 体 ABCD －
A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′， 求棱锥C－A′DD′的体＝b，AA′＝c，
第1章 1.3
空间几何体的表面积和体积
1.3.2 空间几何体的体积
学习目标
1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何
体的体积.
2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及
体积.
3.会求简单组合体的体积及表面积.
内容索引
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一
柱体、锥体、台体的体积公式
(4)正方体的外接球 正方体棱长 a 与外接球半径 R 的关系为 2R＝ 3a. (5)正四面体的外接球 6 正四面体的棱长 a 与外接球半径 R 的关系为 2R＝ 2 a.
跟踪训练2
(1)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球 4π 3 的体积为________. 解析 由题意知，此球是正方体的内切球.根据其几何特征知，
1 1 1 1 ∴VC－A′D′D＝3CD· S△A′D′D＝3a· 2bc＝6abc，
1 5 ∴剩余部分的体积为 VABCD－A′B′C′D′－VC－A′D′D＝abc－6abc＝6abc，
∴棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.
解答
(2)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，
如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，
数学新学案同步苏教版必修二讲义：第一章 立体几何初步滚动训练一
滚动训练一(1.2.1～1.2.4)一、填空题1．下列命题错误的是________．(填序号)①两两相交的三条直线可确定一个平面；②两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面一定平行；③过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行；④和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线．考点异面直线的判定题点异面直线的判定★★答案★★①②④解析对于①，两两相交的三条直线可确定一个平面或三个平面，故①错误；对于②，两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面平行或相交，故②错误；对于③，过平面外一点的直线一定在平面外，且直线与这个平面相交或平行，故③正确；对于④，和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线或共面直线，故④错误．2．设X，Y，Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”为真命题的是________．①X，Y，Z是直线；②X，Y是直线，Z是平面；③Z是直线，X，Y是平面；④X，Y，Z是平面．考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定★★答案★★②③解析对于①，X，Y，Z是直线，“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”是假命题，如正方体共顶点的三条棱：对于②，X，Y是直线，Z是平面，“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”是真命题，根据线面垂直的性质定理可知正确；对于③，Z是直线，X，Y是平面，“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”是真命题，根据垂直于同一直线的两个平面平行可知正确；对于④，X，Y，Z是平面，“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”是假命题，如正方体共顶点的三个面．3．已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列说法正确的是________．(填序号)①若m⊂α，α⊥β，则m⊥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α； ④若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β. 考点 线、面平行、垂直的综合应用 题点 平行与垂直的判定 ★★答案★★ ④解析 由m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，知在①中，若m ⊂α，α⊥β，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故①错误；在②中，若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α与β相交或平行，故②错； 在③中，若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α或m ⊂α，故③错误；在④中，若m ⊥α，m ∥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故④正确． 4．正四棱锥P －ABCD 的底面积为3，体积为22，E 为侧棱PC 的中点，则P A 与BE 所成的角为________． 考点 异面直线所成的角 题点 求异面直线所成的角 ★★答案★★ 60°解析 如图，过顶点作垂线，交底面于正方形对角线交点O ，连结OE ，∵正四棱锥P －ABCD 的底面积为3，体积为22， ∴PO ＝22，AB ＝3，AC ＝6，P A ＝2，OB ＝62， ∵OE 与P A 在同一平面，是△P AC 的中位线， ∴OE ∥P A 且OE ＝12P A ，∴∠OEB即为P A与BE所成的角，OE＝2 2，由题意知，PO⊥BO，又BD⊥OC，PO∩OC＝0，∴BD⊥平面POC，∵OE⊂平面PDC，∴BO⊥OE.在Rt△OEB中，tan∠OEB＝OBOE＝3，∴∠OEB＝60°.5．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，给出下面结论：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1；④直线B1D1与BC所成的角为45°.其中正确结论的个数为________．考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定★★答案★★4解析在①中，由正方体的性质得，BD∥B1D1，∴BD∥平面CB1D1，故①正确；在②中，由正方体的性质得AC⊥BD，CC1⊥BD，又AC∩CC1＝C，∴BD⊥平面ACC1，∴AC1⊥BD，故②正确；在③中，由正方体的性质得BD∥B1D1，由②知，AC1⊥BD，∴AC1⊥B1D1，同理可证AC1⊥CB1，故AC1⊥平面CB1D1内的两条相交直线，∴AC1⊥平面CB1D1，故③正确；在④中，异面直线B1D1与BC所成的角就是直线BC与BD所成的角，故∠CBD为异面直线B1D1与BC所成的角，在等腰直角△BCD中，∠CBD＝45°，故直线B1D1与BC所成的角为45°，故④正确．6．已知三棱锥P－ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且AB＝BC＝CA＝23，平面P AB⊥平面ABC，则三棱锥P－ABC的体积的最大值为________．考点柱体、锥体、台体的体积题点锥体的体积★★答案★★3解析根据题意三棱椎P－ABC外接球半径为2，且AB＝BC＝CA＝23，∴△ABC是截面为大圆上的三角形，设圆心为O，AB的中点为N，ON＝22－3＝1，∵平面P AB⊥平面ABC，∴三棱锥P－ABC的体积最大时，PN⊥AB，PN⊥平面ABC，PN＝22－1＝3，∴三棱锥P－ABC的体积的最大值为1 3×34×(23)2×3＝3.7．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，AB＝2BC，E是CD上一点，若AE⊥平面PBD，则CEED＝________.考点 线、面平行、垂直的综合应用 题点 平行与垂直的计算与探索性问题 ★★答案★★ 3解析 ∵PD ⊥底面ABCD ，AE ⊂底面ABCD ， ∴PD ⊥AE ，当AE ⊥BD 时，AE ⊥平面PBD ，此时△ABD ∽△DAE ， 则AB AD ＝AD DE， ∵AB ＝2BC ， ∴DE ＝14AB ＝14DC ，∴CEED＝3. 8．如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，且P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ，则下列结论中正确的是________．①PB ⊥AD ；②平面P AB ⊥平面PBC ； ③直线BC ∥平面P AE ；④直线PD 与平面ABC 所成的角为45°. 考点 线面平行、垂直的综合应用 题点 直线与平面所成的角 ★★答案★★ ④解析 ∵P A ⊥平面ABC ，∴∠ADP 是直线PD 与平面ABC 所成的角． ∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴AD ＝2AB ，∴tan ∠ADP ＝P A AD ＝2AB2AB＝1，∴直线PD 与平面ABC 所成的角为45°.9．二面角α－l －β为60°，异面直线a ，b 分别垂直于α，β，则a 与b 所成角的大小是________． 考点 空间角题点 空间角的综合应用 ★★答案★★ 60°解析 过直线a 上一点作b 的平行线b ′，则根据二面角的定义和线面垂直的性质可知， a 与b ′的夹角为60°，所以a 与b 所成角的大小是60°.10.如图，两个正方形ABCD 和ADEF 所在平面互相垂直，设M ，N 分别是BD 和AE 的中点，那么下面所给结论：①AD⊥MN；②MN∥平面CDE；③MN∥CE；④MN，CE异面．其中正确的序号是________．考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定★★答案★★①②③解析∵两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M，N分别是BD和AE的中点，取AD的中点G，连结MG，NG，易得AD⊥平面MNG，进而得到AD⊥MN，故①正确；连结AC，CE，根据三角形中位线定理，可得MN∥CE，由线面平行的判定定理，可得②MN∥平面CDE及③MN∥CE正确，④MN，CE异面错误；故★★答案★★为①②③.11．我们将一个四面体四个角中直角三角形的个数定义为此四面体的直度，在四面体ABCD 中，AD⊥平面ABC，AC⊥BC，则四面体ABCD的直度为________．考点空间中的垂直问题题点空间中的垂直问题★★答案★★4解析∵在四面体ABCD中，AD⊥平面ABC，∴AD⊥AB，AD⊥AC，AD⊥BC，∵AC⊥BC，AC∩AD＝A，∴BC⊥平面ACD，∴BC⊥CD，∴四面体ABCD的四个面均为直角三角形，∴四面体ABCD的直度为4.二、解答题12.如图，已知△ABC是正三角形，EA，CD都垂直于平面ABC，且EA＝AB＝2a，DC＝a，F是BE的中点，求证：(1)FD∥平面ABC；(2)AF⊥平面EDB.考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行、垂直综合问题的证明证明(1)取AB的中点M，连结FM，MC.∵F ，M 分别是BE ，BA 的中点， ∴FM ∥EA ，FM ＝12EA ＝a .∵EA ，CD 都垂直于平面ABC ， ∴CD ∥EA ， ∴CD ∥FM .又∵DC ＝a ，∴FM ＝DC ， ∴四边形FMCD 是平行四边形， ∴FD ∥MC .∵FD ⊄平面ABC ，MC ⊂平面ABC ， ∴FD ∥平面ABC .(2)∵M 是AB 的中点，△ABC 是正三角形， ∴CM ⊥AB .又∵AE ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，∴CM ⊥AE ， 又∵AB ∩AE ＝A ，AB ，AE ⊂平面EAB ， ∴CM ⊥平面EAB ， 又AF ⊂平面EAB ， ∵CM ⊥AF . 又∵CM ∥FD ， ∴FD ⊥AF .∵F 是BE 的中点，EA ＝AB ， ∴AF ⊥BE .又∵FD ∩BE ＝F ，FD ，BE ⊂平面EDB ， ∴AF ⊥平面EDB .13．如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面BCE，BE⊥EC.(1)求证：平面AEC⊥平面ABE；(2)已知点F在BE上，若DE∥平面ACF，DC＝CE＝12BC＝3，求三棱锥A－BCF的体积．考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的计算与探索性问题(1)证明∵ABCD为矩形，∴AB⊥BC.∵平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面BCE.∵CE⊂平面BCE，∴CE⊥AB.∵CE⊥BE，AB⊂平面ABE，BE⊂平面ABE，AB∩BE＝B，∴CE⊥平面ABE.∵CE⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面ABE.(2)解如图所示，连结BD交AC于点O，连结OF.∵DE ∥平面ACF ，DE ⊂平面BDE ，平面ACF ∩平面BDE ＝OF ，∴DE ∥OF .又∵矩形ABCD 中，O 为BD 中点，∴F 为BE 中点，即BF ＝FE .在Rt △BEC 中，∵BC ＝6，EC ＝3，∴BE ＝62－32＝3 3.∴S △BFC ＝12×12×33×3＝934. 又AB ＝DC ＝3，∴V A －BCF ＝13×934×3＝934. 三、探究与拓展14．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为________．考点 空间角题点 空间角的综合运用 ★★答案★★ π3解析 如图所示，作PO ⊥平面ABC ，则O 为△ABC 的中心，连结AP ，AO .S △ABC ＝12×3×3×sin 60° ＝334. ∴VABC －A 1B 1C 1＝S △ABC ×OP ＝334×OP ＝94， ∴OP ＝ 3.又OA ＝32×3×23＝1， ∴tan ∠OAP ＝OP OA ＝3，又0<∠OAP <π2， ∴∠OAP ＝π3. 15.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，AB ＝2，P A ＝1，P A ⊥平面ABCD ，点E 是PC 的中点，F 是AB 的中点．(1)求证：BE ∥平面PDF ；(2)求直线BE 与平面P AD 所成角的正弦值．考点 空间角题点 空间角的综合运用(1)证明 如图所示，取PD 的中点为M ，连结ME ，MF .∵E 是PC 的中点，∴ME 是△PCD 的中位线，∴ME ∥CD 且ME ＝12CD . ∵F 是AB 的中点且ABCD 是菱形，∴AB ∥CD 且AB ＝CD ，∴ME ∥AB 且ME ＝12AB .∴ME ∥FB 且ME ＝FB .∴四边形MEBF 是平行四边形，∴BE ∥MF .又BE ⊄平面PDF ，MF ⊂平面PDF ，∴BE ∥平面PDF .(2)解 由(1)得BE ∥MF ，∴直线BE 与平面P AD 所成角就是直线MF 与平面P AD 所成角．取AD 的中点G ，连结BD ，BG .∵底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，∴△ABD 是正三角形，∴BG ⊥AD ，∵P A ⊥平面ABCD ，P A ⊂平面P AD ，∴平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，BG ⊥AD ，BG ⊂平面ABCD ，∴BG ⊥平面P AD ，过F 作FH ∥BG ，交AD 于H ，则FH ⊥平面P AD ，连结MH ，则∠FMH 就是MF 与平面P AD 所成的角．又F 是AB 的中点，∴H 是AG 的中点．连结MG ，又M 是PD 的中点，∴MG ∥P A 且MG ＝12P A . 在Rt △MGH 中，MG ＝12P A ＝12，GH ＝14AD ＝12， ∴MH ＝22. 在正三角形ABD 中，BG ＝3，∴FH ＝12BG ＝32. 在Rt △MHF 中，MF ＝⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫322＝52， ∴sin ∠FMH ＝FH FM ＝3252＝155， ∴直线BE 与平面P AD 所成角的正弦值为155.。
高中数学 第1章 立体几何初步 1 棱柱、棱锥和棱台教学案苏教版必修2
江苏省泰兴中学高一数学教学案(118)必修2 棱柱、棱锥和棱台班级 姓名目标要求:1、了解并掌握棱柱、棱锥和棱台的概念,弄清它们之间的关系及区别；2、能画出简单的棱柱、棱锥和棱台的空间图形；3、明确多面体的概念． 重点难点对几何体直观图的认识及棱柱、棱锥和棱台的定义、几何特征的理解． 典例剖析例1、仔细观察下列图形，并将图的序号填入横线内：(1)棱柱有 ；（2）棱锥有 ；(3)棱台有 ；(4)多面体有 ．例2、画一个四棱柱和一个三棱台．Ｆ ＥＢＣＤ例3、 (1)以四棱柱的侧棱为对边的平行四边形有______________.(2)某棱台的上下底面对应边之比为1:2,则上下底面面积之比为．(3) 一个骰子由1~6六个数字组成,请你根据图中三种状态所显示的数字,推出“？”处的数字是____________.例4、下列三个命题正确吗？为什么？(1)有两个面平行，其余各个面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；(2)有一个面是多边形，其余各个面都是三角形的几何体是棱锥；(3)有两个面平行，其它各个面都是梯形的几何体是棱台．学习反思1、熟练掌握棱柱、棱锥和棱台的定义,它们的几何特征分别是,并且知道它们相互转化过程；2、对于几何体的类型的判断除了熟悉基本几何体的基本性质、特点外，对于一些复杂的判断还是要回归到定义中去判断．课堂练习1、棱柱的侧面是形，棱锥的侧面是形，棱台的侧面是形．2、多面体至少有个面，这个多面体是；六棱台是面体．3、平行于棱柱侧棱的截面是什么图形？过棱锥顶点的截面是什么图形？请画图说明．4、判断：(1)棱柱至多有四个面是矩形； (2)四棱锥是四面体；(3)有两个面平行且相似，其它面是梯形的几何体是棱台．江苏省泰兴中学高一数学作业(118)班级 姓名 得分1、 下面四个图形中是四棱锥的是 ( )A B C D2、 下面四张图形中能较好的表示棱台的是 ( )A B C D 3、判断下列命题是否正确： ( ) (1)棱柱的侧面都是平行四边形； (2)棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点； (3)多面体至少有四个面； (4)棱台的侧棱所在的直线均相交于一点． 4、（1）正方体可以看作 平移，平移的距离为 形成的几何体．（2）如图，四棱柱的六个面都是平行四边形，这个四棱柱可以有哪个平面图形按照怎样的方向平移得到？BCDAB 1D 1C 1A 15、甲：“用一个平面去截一个长方体, 截面一定是长方形”；乙：“有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥”.这两种说法 （ ） A ．甲正确乙不正确 B ．甲不正确乙正确 C ．甲正确乙正确 D ．甲不正确乙不正确6、如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题： （1） 点H 与点C 重合； （2） 点D 与点M 与点R 重合；（3） 点B 与点Q 重合； （4） 点A 与点S 重合．其中正确的命题序号是 ．7、在正方体各顶点处割去一个三棱锥，使得三棱锥的底面三角形的顶点为正方形各棱的中点，试问：得到的几何体有多少个面？多少个顶点？多少条棱？8、（1）分别画出一个三棱锥、三棱柱和四棱台。
高中数学新学案同步 必修2苏教版 第一章 立体几何初步 1.2.1
证明
反思与感悟
证明多点共线通常利用公理 2 ，即两相交平面交线的唯
一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，
也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在直线上.
跟踪训练3
已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，
BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示.求证：P，Q，R三点共线.
面内，再证明两个平面重合.
跟踪训练 2
已知 l1∩l2 ＝ A ， l2∩l3 ＝ B ， l1∩l3 ＝ C ，如图所示 . 求证：直
线l1，l2，l3在同一平面内.
证明
类型三 点共线、线共点问题
命题角度1 点共线问题 例3 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于 点Q，求证：B，Q，D1三点共线.
在(2)中，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩l＝P，b∩l＝P.
解答
反思与感悟
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察
图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语
言表示，再用符号语言表示.
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.
跟踪训练1
思考 1
平面的基本性质
直线 l 与平面 α有且仅有一个公共点 P.直线 l 是否在平面 α内？有
两个公共点呢？
答案 前者不在，后者在. 思考2 观察图象，你能得出什么结论？
答案 不共线的三点可以确定一个平面.
梳理 公理(推论) 文字语言 如果一条直线上的 两点在 一个 平面 公理1 内，那么这条直线 上所有的点都在这 个平面内
A∈α B∈α
图形语言