线代基本复习题

线代基本复习题2010年度第二学期《线性代数》期末考试安排预计考试时间：2011年5月7日期末答疑安排答疑时间：2011.04.27 答疑地点: 平时上课的课若干公式|A*|=|A|n-1, A*A=| A|I ，|A T |=|A|，|λA|=λn |A|，ϕ(A)的特征值ϕ(λ)11a b d b c d c a ad bc --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭基本问题● Ch1计算行列式, 求逆矩阵● Ch2判断线性相关性, 求秩, 求最大无关组 ● Ch2解线性方程组(齐次的和非齐次的) ● Ch3求矩阵（方阵）特征值和特征向量 ● Ch3矩阵的对角化 ● Ch4向量组的正交化 ● Ch4二次型的正交标准化 ● Ch4二次型正定性的判断一、 Ch1计算行列式()()()()()()()()()()1232131223322211121112021212.0r r r r yr r x y r x y x y x y x y x y y x y x y x y x x y y x y x x yx y x yx yx yxyx x y x y xx y x y x y x xy y x y y xyx++--++++++=+=+++++-=+-=+⋅⋅=+⋅⋅-+-=------二、 求逆矩阵1.7（P34）利用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵:(1) 122212221⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦32322121232313213219221210203312210012210021212010036210012033221001033011009221122100999212010999221001999r r r r r r r r r r r r r r ------+⎡⎤--⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→---→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦1122999122212,212999*********-⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥∴-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦三、 Ch2判断线性相关性2.1 （P63）讨论下列向量组的线性相关性 (3) 1234(1,2,1,2),(3,1,0,1),(2,1,3,2),(1,0,3,1)=-=-=-=--αααα ()13422332421234232132103521033211001560156,,,10331033035221210231023110331033015601010020200001313r r T T T Tr r r r r r r r +-+++---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪------⎪ ⎪ ⎪=→→⎪ ⎪ ⎪----- ⎪⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭----⎛⎫ ⎪---- ⎪→→⎪- ⎪-⎝⎭αααα0110000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎪⎝⎭四、 Ch2求秩, 求最大无关组2.2 （P63）求下列矩阵的秩(3)210312123115-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭32232213212210321032103511212010521,222311500000521r r r r r r r R -+--⎛⎫--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-→-→-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭--⎝⎭五、 Ch2解线性方程组(齐次的)2.3 求解下列齐次线性方程组(1) 1234123412342202020x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+++=⎩;(1) 对方程组的系数矩阵作行初等变换3221313121232121212121010112103330111211103330000r r r r r rr r r -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--→--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭得简化行阶梯形(Reduced row echelon form, RREF). 对应的同解方程组为1323400x x x x x +=⎧⎨-+=⎩, 方程组的解为()1121212121011,1001k k k k k k k k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪==+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x ¡.六、 Ch2解线性方程组(非齐次的)2.5 求下列非齐次线性方程组的通解(1)1234123412342212223x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+-+=⎨⎪+++=⎩对方程组的增广矩阵作行初等变换, 将之化为简化行阶梯形2233113321213241010212110303511113312122030350303550101311113111130000000000r r r r r r r r r r r +↔-+-⎛⎫ ⎪-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭立刻得到方程组的解()12124103015,3100010k k k k ⎛⎫⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪=++∈ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭x ¡七、 Ch3求特征值和特征向量3.1（P80）求下列矩阵的特征值和特征向量(3)1111111111111111⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦(3)解特征方程()()()()213143123433311111111111122001111202011112002111120001100110022221010101010011001r r r r r r r r r r I λλλλλλλλλλλλλλλλλλ++-+++-------------==------------+=-=-=-+A得特征值2,2,2,2λ=-.对于特征值2λ=-, 解齐次线性方程组()0I x λ-=A . 其系数矩阵21311234413111311131110000131144001100110011314040101010101113400410011001r r r r r r r r r r I λ++++++------------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ,可见特征向量为()11111111011k k x k k k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪==≠ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭.对于特征值2,2,2λ=, 11111111111100001111000011110000I λ------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪ ⎪-=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A .可见特征向量为234223434111100010001k k k k x k k k k k ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(234,,k k k 不全为0). 八、 Ch3矩阵的对角化3.10将下列矩阵对角化, 并求P , 使1-=P AP Λ(Λ为对角阵)(1)460350361⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 解特征方程()21312464604603501101110361101101r r r rI λλλλλλλλλλλ++-------=+=--=----A ()()212λλ=-+得特征值1232,1λλλ=-==.对于12λ=-,660101330011363000I λ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A , 得特征向量()111101k k -⎛⎫ ⎪≠ ⎪ ⎪⎝⎭. 选1111-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α.对于231λλ==,360120360000360000I λ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A , 得特征向量23201001k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (k 2, k 3不全为0). 选2210⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α.3001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α.令()123120,,110101-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ααα, 则有1211--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭P AP Λ.九、 Ch4向量组的正交化4.5（P107）设[][][]1231,2,1,1,3,1,4,1,0,TTT=-=-=-ααα试用施密特正交化方法把这组向量正交规范化. 正交化:[][][][][][]11212211131323312112212,1111,45321,,631114111,,2512120.,,630111⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭βααββαβββαβαββαββββββ单位化:111222333112,1111,1110.1⎛⎫⎪==⎪⎪-⎭-⎛⎫⎪==⎪⎪⎭⎛⎫⎪==⎪⎪⎭ηββηββηββ十、 Ch4二次型的正交标准化4.20（P108） 用正交变换化下列二次型为标准形 (2)2221231213233662f x x x x x x x x x =++---二次型f 的矩阵为333311311--⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A . 解特征方程3333110311I λλλλ--=-=-A ,得A 的特征值13λ=-,22λ=,36λ=.对于特征值13λ=-, 633101341011314000I λ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A , 取特征向量1111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α.对于特征值22λ=, 133100311011311000I λ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A . 取特征向量2011⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭α.对于特征值36λ=, 333102351011315000I λ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A . 取特征向量3211-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α.123,,ααα是正交的. 令3121230,,⎛⎫⎪== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎪⎭αααP ααα, 则P 是正交的. 作正交变换=x Py , 则给出的二次型化为标准形222123326f y y y =-++.十一、 Ch4二次型正定性的判断4.23判别下列二次型的正定性:(1)222123121326422f x x x x x x x =---++(2)2222123412131424343919242612f x x x x x x x x x x x x x x =+++-++--(1)二次型的矩阵211160104-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A 的各阶主子式依次为1232112120,110,1603801614--=-<==>=-=-<--ΔΔΔ. 故二次型是负定的.(2) 二次型的矩阵11211303209613619-⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪- ⎪--⎝⎭A 的各阶主子式依次为 12341121110,20,13060,24013209--=>==>=-=>==>-ΔΔΔΔA .故二次型是正定的.若干联系向量组{}12,,n =L A ααα构成矩阵()12,,n =L A ααα线性组合()12112212,,n n n n x x x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪+++== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L M ααααααAx向量b 能由向量组A 线性表示⇔=Ax b 有解⇔()(),R R =A b A向量组A 线性相关⇔=Ax b 有非零解⇔()R n <A (n =向量个数=未知数个数) 基础解系含n r -个解向量.部分定理定理2.1 若12,,m αααL 线性无关, 而12,,,m αααβL 线性相关. 则β可以由12,,m αααL 线性表示. 定理2.2 12,,m αααL (2≥m )线性相关的充要条件是至少有一个向量是其余向量的线性组合.定理2.3 线性相关的向量组添加向量后仍线性相关；线性无关的向量组的子向量组必线性无关；线性无关的向量组中的每个向量扩大同样的维数，得到的新向量组仍然线性无关。