线性代数B期末试卷及答案

2008 – 2009学年第二学期《线性代数B 》试卷2009年6月22日 1、 设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=*8030010000100001A ,则A ＝ 、2、 A 为n 阶方阵,T AA =E 且=+<E A A 则,0 、3.设方阵12243,311t -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A B 为三阶非零矩阵,且AB=O ,则=t 、 4、 设向量组m ααα,,,21Λ线性无关,向量β不能由它们线性表示,则向量组,,,,21m αααΛβ 的秩为 、5.设A 为实对称阵,且|A |≠0,则二次型f =x T A x 化为f =y T A -1 y 的线性变换就是x = . ６.设3R 的两组基为()T11,1,1a =,()21,0,1a T=-,()31,0,1a T=;),1,2,1(1=βT,()()232,3,4,3,4,3ββ==TT,则由基123,,a a a 到基123,,βββ的过渡矩阵为 、二、单项选择题(共6小题,每小题3分,满分18分)1、设D n为n阶行列式,则D n＝0的必要条件就是[ ]、(A) D n中有两行元素对应成比例;(B) D n中各行元素之与为零;(C) D n中有一行元素全为零;(D)以D n为系数行列式的齐次线性方程组有非零解.2.若向量组α,β,γ线性无关,α,β,σ线性相关,则[ ]、(A)α必可由β,γ,σ线性表示;(B) β必可由α,γ,σ线性表示;(C)σ必可由β,γ,α线性表示;(D)γ必可由β,α,σ线性表示、３.设3阶方阵A有特征值0,－1,1,其对应的特征向量为P1,P2,P3,令P＝(P1,P2,P3),则P－1AP＝[ ]、(A)100010000⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (B)000010001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦;(C)000010001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－; (D)100000001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－.４.设α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线性相关的就是[ ]、(A)α1,α2,α3 - α1; (B)α1,α1+α2,α1+α3;(C)α1+α2,α2+α3,α3+α1; (D)α1-α2,α2-α3,α3-α1、５.若矩阵A3×4有一个3阶子式不为0,则A的秩Ｒ(A) =[ ]、(A) 1; (B)2;(C)3; (D) 4.６.实二次型f＝x T Ax为正定的充分必要条件就是[ ]、(A) A的特征值全大于零; (B) A的负惯性指数为零;(C) |A| > 0 ; (D) R(A) = n、三、解答题(共5小题,每道题8分,满分40分)1、求112233100110011011b b b D b b b --=----的值、 ２、 求向量组)4,1,1,1(1=α,)5,3,1,2(2=α,)2,3,1,1(3--=α,)6,5,1,3(4=α的一个极大无关组,并把其余的向量用该极大无关组线性表出、３、设A 、P 均为3阶矩阵,且T 100010,000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P AP=若P =(α1,α2,α3), Q =(α1+α2,α2,α3),求Q T AQ .4.设A 就是n 阶实对称矩阵,O A A =+22,若)0()(n k k R <<=A ,求E A 3+、5、设矩阵22082006a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A=相似于对角矩阵Λ,求a 、 四、(本题满分10分)对线性方程组23112131231222322313233323142434.x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，，，(1) 若4321,,,a a a a 两两不等,问方程组就是否有解,为什么？(2)若b a a ==31, b a a -==42 (b ≠0),且已知方程的两个解T 1(1,1,1)=-ξ,T 2(1,1,1)=-ξ,试给出方程组的通解.五、(本题满分8分)设二次曲面方程122=++byz xz axy (0>a )经正交变换x y z ξηζ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Q ,化成12222=-+ζηξ,求a 、b 的值及正交矩阵Q 、(本题满分6分)设A 为n 阶实矩阵,α为A 的对应于实特征值λ的特征向量,β为A T 的对应于实特征值μ的特征向量,且λ≠μ,证明α与β正交.2008 – 2009学年第二学期《线性代数B 》试卷参考答案 2009年6月22日 1、 设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=*8030010000100001A ,则A ＝ 2 、2、 A 为n 阶方阵,T AA =E 且=+<E A A 则,0 0 、3.设方阵12243,311t -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A B 为三阶非零矩阵,且AB=O ,则=t -3 、4、 设向量组m ααα,,,21Λ线性无关,向量β不能由它们线性表示,则向量组,,,,21m αααΛβ 的秩为 m +1 、5.设A 为实对称阵,且|A |≠0,则二次型f =x T A x 化为f =y T A -1 y 的线性变换就是x =____y 1-A __ . ６.设3R 的两组基为()T11,1,1a =,()21,0,1a T=-,()31,0,1a T=;T1(1,2,1,)=β,()()232,3,4,3,4,3ββ==TT,则由基123,,a a a 到基123,,βββ的过渡矩阵P =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---101010432. 二、单项选择题(共6小题,每小题3分,满分18分) 1、 设n D 为n 阶行列式,则n D ＝0的必要条件就是[ D ]、 (A) n D 中有两行元素对应成比例; (B) n D 中各行元素之与为零; (C)n D 中有一行元素全为零;(D)以n D 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解.2.若向量组α,β,γ 线性无关,α,β,σ 线性相关,则[ C ]、(A) α必可由β,γ,σ 线性表示、 (B) β必可由α,γ,σ 线性表示、(C) σ必可由β,γ,α 线性表示、 (D) γ必可由β,α,σ 线性表示、 ３.设3阶方阵A 有特征值0,－1,1,其对应的特征向量为P 1,P 2,P 3,令P ＝(P 1,P 2,P 3),则P －1AP ＝[ B ]、(A)100010000⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (B) 000010001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (C) 000010001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－;(D)100000001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－. ４.设α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线性相关的就是[ D ].(A)α1,α2,α3 - α1; (B)α1,α1+α2,α1+α3; (C)α1+α2,α2+α3,α3+α1; (D)α1-α2,α2-α3,α3-α1、 ５.若矩阵43⨯A 有一个3阶子式不为0,则[ C ]、(A)Ｒ(A )=1; (B) Ｒ(A )=2; (C) Ｒ(A )=3;(D) Ｒ(A )=4 . ６.实二次型f ＝x 'Ax 为正定的充分必要条件就是 [ A ]. (A) A 的特征值全大于零; (B) A 的负惯性指数为零; (C) |A | > 0 ; (D) R (A ) = n 、三、解答题(共5小题,每道题8分,满分40分)1、求1122331001100110011b b b D b b b --=----的值 解:1112222333331010*******010010 1.01100100101101101b b b b b b D b b b b b b ====------２、 求向量组)4,1,1,1(1=α,)5,3,1,2(2=α,)2,3,1,1(3--=α,)6,5,1,3(4=α的一个极大无关组,并把其余的向量用该极大无关组线性表出、解:极大无关组12,αα, 12332ααα-=,1242ααα-=、３、设A 、P 均为3阶矩阵,且T 100010,000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P AP=若 P =(α1,α2,α3),Q =(α1+α2,α2,α3),求Q T AQ .解:由于Q =(α1+α2,α2,α3)= (α1,α2,α3) 100100110110,001001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦P 于就是Q T AQ =TT 100100110100110110010110001001001001⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭ P A P P AP 110100100210010010110110.001000001000⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦4.设A 就是n 阶实对称矩阵,O A A =+22,若)0()(n k k R <<=A ,求E A 3+、解: 由O A A =+22知, A 的特征值-2或0,又)0()(n k k R <<=A ,且A 就是n 阶实对称矩阵,则22~00-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O OA (k 个-2),故E A 3+3n k -=.5、设矩阵22082006a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A=相似于对角矩阵Λ,求a 、 解: 由|A -λE |=0,得A 的三个特征值λ1=λ2=6,λ3= -2、由于A 相似于对角矩阵,R (A -6E )=1,即42021084~00000000a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 显然,当a =0时,R (A-6E )=1,A 的二重特征值6对应两个线性无关的特征向量. 四、(本题满分10分)对线性方程组23112131231222322313233323142434.x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，，，(1) 若4321,,,a a a a 两两不等,问方程组就是否有解,为什么？(2)若b a a ==31, b a a -==42 (b ≠0),且已知方程的两个解T 1(1,1,1)=-ξ,T 2(1,1,1)=-ξ,试给出方程组的通解.解:(1)因为0))()()()()((111134241423131234244332333222231211≠------=a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ,故()()R R ≠MA b A ,无解.(2)2)(=A R ,3=n ,故通解21121()01,()21k k k -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+=+∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦x ξξξR .五、(本题满分8分)设二次曲面的方程122=++byz xz axy )0>a 经正交变换x y z ξηζ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Q ,化成12222=-+ζηξ,求a 、b 的值及正交矩阵Q 、 解:设0120210a ab b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,由0,20-=+=A E A E 知1,2-==b a .当1λ=时,111111111~000111000---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦A E ,t )0,1,1(1=ξ,T )2,1,1(2-=ξ 当2λ=-时,1012~011000⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦A E T 3(1,1,1).=-ξ故正交阵263263063⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦Q 、 六、(本题满分6分)设A 为n 阶实矩阵,α为A 的对应于实特征值λ的特征向量,β为A T 的对应于实特征值μ的特征向量,且λ≠μ,证明α与β正交.证 :依题意得A α=λα, A T β=μβ,将A α=λα的两边转置得,αT A T =λαT ,在上式的两边右乘β得,αT A T β =λαT β,即μαT β=λαT β,亦即(μ-λ)αT β=0,由于λ≠μ,所以αT β=0,故α与β正交.。