数学分析 (III)
北京大学数学系课程表
1-16
3-4
7-8单周
20111228
00131420
数据结构 Data Structures
1
全校必修
3.0
51.0
3.0
孙猛
本科(公费)
180
1-16
1-2单周
3-4
20120106
00131420
数据结构 Data Structures
2
全校必修
3.0
51.0
3.0
牟克典
本科(公费)
90
1
专业必修
5.0
102.0
6.0
伍胜健
本科(公费)
132
1-16
3-4
1-2
20111230
00132301
数学分析（I） Mathematical Analysis (I)
2
专业必修
5.0
102.0
6.0
张 宁
本科(公费)
130
1-16
3-4
1-2
20111230
00132304
数学分析 (III) Mathematical Analysis (III)
任选
3.0
54.0
3.0
夏壁灿
本科(公费)
20
1-16
7-9
00113840
临床试验设计与分析 Clinical trial design and analysis
1
任选
3.0
51.0
3.0
本科(公费)
20
1-16
10-12
00113850
临床试验SAS高级编程 SAS Programming in Clinical Trials
数学分析 (III)习题
重积分的定义； 重积分的存在性与性质；重积分的计算：化为累次积分与 重积分的变量替换 ，广义重积分
六 曲线积分, 曲面积分与场论初步
第一型与第二型曲线积分；第一型与第二型曲面积分； Green公式； Gauss公式；Stokes公式； 曲线积分与路径无关 ；*微分流形初步：微分形式；外微分.
课堂讲授
平时成绩计入数学分析(中的点集拓扑初步，连续函数
中的点集拓扑初步；多元函数的极限与连续性
二 多元函数微分学
偏导数； 全微分； 微分的几何意义； 高阶偏导数；隐函数求导； 方向导数与梯度；Taylor公式；向量函数求导
三 隐函数定理
隐函数定理； 逆变换定理
四 多元函数的极值问题
普通极值问题； 条件极值问题； Lagrange乘子法； 最小二乘法
数学分析(III)习题课程详细信息
课程号
00132313
学分
0
英文名称
Problem-Solving on Mathematical Analysis (III)
先修课程
数学分析(I)(II)
中文简介
本课程主要是数学分析(III)的配套课程， 提供多元函数的微分学与积分学的基本习题的解题方法与技巧。 使得学生对数学分析(III)的内容有深刻的认识与掌握。
开课院系
数学科学学院
通选课领域
是否属于艺术与美育
否
平台课性质
平台课类型
授课语言
中文
教材
数学分析解题指南,林源渠，方企勤,北京大学出版社,2003年11月；
数学分析(III),伍胜健,北京大学出版社,2010年2月,
参考书
教学大纲
本课程主要是数学分析(III)的配套课程， 提供多元函数的微分学与积分学的基本习题的解题方法与技巧。 使得学生对数学分析(III)的内容有深刻的认识与掌握。
数学分析I,II,III
中国海洋大学本科生课程大纲课程属性：学科基础课程性质：必修一、课程介绍1.课程描述：数学分析是以极限为工具研究函数的学科，是数学专业的一门重要基础课，共分三个学期讲授。
数学分析针对数学类专业一、二年级学生开设，它一方面为后继课程提供所需的基础知识，同时又为培养学生利用数学工具进行独立工作的能力提供必需的训练。
学生学好这门课程的基本内容和方法，对后继课程的学习具有关键性的作用。
通过本课程的学习，要求学生掌握一元函数微积分学、多元函数微积分学与级数理论中的基本概念、基本理论和基本运算，并培养学生对数学问题的思维能力、论证能力、运算技能和独立分析、解决问题的能力。
本课程主要内容包括：数学分析I——函数、极限和连续、实数基本定理、导数与微分、微分学基本定理及应用、不定积分。
数学分析II——定积分、定积分的应用和近似计算、数项级数、广义积分、函数项级数、幂级数、Fourier级数和Fourier变换、多元函数的极限与连续。
数学分析III——多元函数的偏导数和全微分，极值和条件极值，隐函数存在定理，含参量的积分和含参量的反常积分，多元函数各种积分的定义、性质和运算，场论初步。
2.设计思路：本课程是专业基础课，为数学专业一二年级新生设置，教学历时3个学期，教学内- 9 -容为学生专业发展的后继学习奠定必要的理论基础。
课程内容的选取基于该课程作为分析类课程的基础性地位。
课程内容主要包括三大模块：单变量微积分学、多变量微积分学、级数理论；三大模块相互联系，体现了数学分析研究的基本内容和方法。
单变量微积分学是数学分析中最基础的部分，内容是研究函数的微分、积分及其应用，重用极限与连续的工具。
主要包括函数、极限和连续、实数基本定理、导数与微分、微分学基本定理及应用、不定积分、定积分、定积分的应用和近似计算、广义积分。
多变量微积分学是在单变量微积分学的基础上，将研究的一元函数推广为更为广泛的多元函数上去。
内容包括多元函数的极限与连续、多元函数的偏导数和全微分、极值和条件极值、隐函数存在定理、含参量的积分和含参量的反常积分、多元函数各种积分的定义、性质和运算、场论初步。
数学分析III
数学分析III数学分析III（Mathematical Analysis III）是大学数学系最后一门正规的大功课，也是大学数学系最重要的一门课程之一。
在这门课程中，学生需要掌握高级微积分和多元函数的概念、性质和重要的应用。
本文将简要介绍数学分析III的主要内容，以及它在数学和应用中的重要作用。
数学分析III的主要内容包括：1. 多元函数的概念和性质：多元函数包括二元函数、三元函数等，是指输入参数有两个或三个以上的函数。
在数学分析III 中，学生需要掌握多元函数的定义、极限、连续、偏导数、方向导数、二阶偏导数等基础概念和性质。
2. 多元函数的方向导数和梯度：方向导数是指一个多元函数在某一点上沿着某一给定方向上的导数，是多元函数的特殊导数。
学生需要掌握方向导数的定义、性质，以及梯度的概念，是指一个多元函数在某一点上的梯度是一个向量，指向上升最快的方向。
3. 多元函数的极值和条件极值：多元函数的极值是指一个多元函数在某一点上取得最大或最小值，而条件极值是指一个多元函数在满足一定条件下取得的极值。
学生需要掌握多元函数的局部极值和全局极值的概念和性质，以及如何求解多元函数的条件极值。
4. 多元函数的积分和重积分：多元函数的积分是指对多元函数进行积分运算，求出在某个区域内的面积、体积或质量等量。
重积分是指在三维坐标系中求解多元函数的积分，如三重积分、二重积分等。
学生需要掌握多元函数的积分和重积分的概念、性质和重要的计算方法。
5. 微分方程和偏微分方程：微分方程是指一个含有导数的方程，而偏微分方程是指一个含有偏导数的方程。
在数学分析III中，学生需要掌握微分方程和偏微分方程的求解方法和解的存在性与唯一性，以及应用于物理、工程和经济等领域的例子。
数学分析III在数学领域和应用领域具有重要作用，以下是它的几个重要应用：1. 物理学：多元函数的概念和性质以及微积分和微分方程的方法在物理学中有着广泛的应用，在量子力学、电磁学、热力学、流体动力学等多个领域都有重要作用。
陈纪修数学分析答案
陈纪修数学分析答案【篇一：陈纪修教授《数学分析》九讲学习笔记与心得】class=txt>云南分中心 ? 昆明学院 ? 周兴伟此次听陈教授的课，收益颇多。
陈教授的这些讲座，不仅是在教我们如何处理《数学分析》中一些教学重点和教学难点，更是几堂非常出色的示范课。
我们不妨来温习一下。
第一讲、微积分思想产生与发展的历史法国著名的数学家h.庞加莱说过：“如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。
” 那么，如果你要学好并用好《数学分析》，那么，掌故微积分思想产生与发展的历史是非常必要的。
陈教授就是以这一专题开讲的。
在学校中，我不仅讲授《数学分析》，也讲授《数学史》，所以我非常赞同陈教授在教学中渗透数学史的想法，这应该也是提高学生数学素养的有效途径。
在这一讲中，陈教授脉络清晰，分析精当，这是我自叹不如的。
讲《数学史》也有些年头，但仅满足于史料的堆砌，没有对一些精彩例子加以剖析。
如陈教授对祖暅是如何用“祖暅原理”求出球的体积的分析，这不仅对提高学生的学习兴趣是有益的（以疑激趣、以奇激趣），而且有利于提高学生的民族自豪感（陈教授也提到了这一点）。
第二讲、实数系的基本定理在这一讲中，陈教授从《实变函数》中对集合基数的讨论展开，对实数系的连续性作了有趣的讨论。
首先是从绅士开party的礼帽问题，带我们走进了“无穷的世界”。
我在开《数学赏析》时有一个专题就是“无穷的世界”，我给学生讲礼帽问题、也讲希尔伯特无穷旅馆问题，但遗憾的是，当我剖析“若无穷旅馆住满了人，再来两个时，可将住１号房间的移往３号房间，住２号房间的移往４号房间，从而空出两个房间”时，学生对我“能移”表示怀疑。
这一点我往往只能遗憾的说“跳不出有限的圈子，用有限的眼光来看无限，只能是‘只在此山中，云深不知处’”。
当然，我还是会进一步考虑如何来讲好这一讲。
若陈教授或其他老师有好的建议，能指点一下，则不胜感激。
对于集合[0,1]与(0,1)的对等关系，包括q与Ｒ的对等关系，或者说他们之间双射的构造。
数学分析三习题答案
数学分析三习题答案【篇一：《数学分析》第三版全册课后答案 (1)】class=txt>------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------第页(共)------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------【篇二：数学分析三试卷及答案】lass=txt>一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。
111.求函数f(x,y)??在点(0,0)处的二次极限与二重极限.yx11解：f(x,y)，因此二重极限为0.……(4分)yx1111因为与均不存在，x?0yxy?0yx故二次极限均不存在。
……(9分)zxf(xy),yy(x),2. 设? 是由方程组?所确定的隐函数,其中f和f分别f(x,y,z)?0z?z(x)??dz数,求.dx解：对两方程分别关于x求偏导:dy?dzf(xy)xf(xy)(1)，??dxdx?……(4分)dydz?f?f?fz?0。
xydxdxdzfy?f(x?y)?xf?(x?y)(fy?fx)?解此方程组并整理得.……(9分) dxfy?xf?(x?y)fz3. 取?,?为新自变量及w?w(?,v)为新函数，变换方程2z2zzz。
2?x?x?y?xx?yx?y设??,??,w?zey （假设出现的导数皆连续）.22解：z看成是x,y的复合函数如下：wx?yx?y。
数学分析III教学内容
本课程内容有四个教学模块，分别为1、多变量微分学理解偏导数和全微分的定义，了解全微分存在的必要条件和充分条件，会求多元函数的偏导数和全微分。
理解高阶偏导数和高阶全微分的概念，掌握复合函数求偏导的链式法则，会求复合函数的二阶偏导数。
理解方向导数与梯度的概念及其计算方法。
知道多元函数的泰勒公式。
了解极值，极值点和条件极值的概念，会求函数的极值。
2、隐函数理论会求隐函数（包括由方程（组）所确定的隐函数）的偏导数。
了解空间曲线的切线与法平面的求法，曲面的切平面与法线的求法。
理解方程或方程组的隐函数存在定理，理解函数行列式的性质。
3、含参变量的积分理解含参变量的积分及由含参变量积分所确定的函数的性质（连续性，可微性，可积性），了解含参变量广义积分的定义，掌握一致收敛的定义，一致收敛积分的判别法（魏尔斯特拉斯判别法）及一致收敛积分的性质（连续性定理，积分顺序交换定理，积分号下求导定理），了解欧拉积分。
4、多变量积分学掌握二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分、第二类曲线积分、第二类曲面积分的概念。
掌握二重积分与三重积分的计算及应用（化二重积分为二次积分，用极坐标计算二重积分，二重积分的一般变量替换，化三重积分为三次积分，三重积分的变量替换）。
了解积分在物理上的应用（质心，矩，引力）。
了解广义重积分的定义。
掌握第一、二类曲线积分和第一、二类曲面积分的计算，会计算曲面的面积，会化第一类曲面积分为二重积分。
了解两类曲线积分之间和两类曲面积分之间的联系，掌握各种积分间的联系（格林公式、高斯公式、斯托克司公式），会利用这些公式计算曲线的积分。
会使用平面曲线积分与路径无关的条件，了解场及向量场的散度与旋度的概念。
会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功等）。
数学分析3知识点整理
数学分析3知识点整理●场论●数量场●定义●在区域上的一个点将对应一个数量●f:D\rightarrow \mathrm{R}●向量场●定义●在区域上的一个点将对应一个向量●f:D\rightarrow \mathrm{R}^3●梯度●向量场●\operatorname{grad}f(\pmb{p})=\left(\frac{\partial f(\pmb{p})}{\partialx},\frac{\partial f(\pmb{p})}{\partial y},\frac{\partial f(\pmb{p})}{\partial z}\right)●Nabla 算子●定义●\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partialy},\frac{\partial}{\partial z}\right)●作用在数量场●\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partialf}{\partial z}\right)●性质●线性●\nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f●\nabla (\varphi\circ f)=\varphi '\circ f\nabla f●作用在向量场数量积形式●\nabla \bullet F=\left(\frac{\partial P}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partialy},\frac{\partial R}{\partial z}\right)●性质●线性●\nabla\bullet\varphi F=\varphi\nabla\bullet F+F\bullet\nabla\varphi\varphi是数量场●向量积形式●定义●F=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k●\nabla\times F=\begin{vmatrix}i&j&k\\\frac{\partial}{\partialx}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partialz}\\P&Q&R\end{vmatrix}●性质●线性●\nabla\times(\varphi\mathbf{F})=\varphi\nabla\times\mathbf{F}+\nabla\varphi\times\mathbf{F}\varphi为数量函数●\nabla\bullet(F_1\times\mathbf{F}_2)=(\nabla\times\mathbf{F}_1)\bullet\mathbf{F}_2-(\nabla\times\mathbf{F}_2)\bullet\mathbf{F}_1混合积●通量●定义●向量场通过正则曲面的流量●\iint\limits_{\Sigma}\pmb{F}\cdot \pmb{n}\mathrm{d}\sigma●正源区域通量为0●负源区域通量为负●无源区域通量为正●散度●定义●向量场\pmb{F}通过无限趋于一点M的闭曲面\Sigma的流量●(\mathrm{div} \pmb{F})_M=\lim\limits_{V\toM}\frac1{\mu(V)}\iint\limits_S\pmb{F}\cdot \pmb{n}\mathrm{d}\sigma●定理●散度计算●向量场F=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k●P.Q,R存在连续偏导●\operatorname{div}F= \nabla · F=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partialQ}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}●例子●静电场的Gauss 定理●不可压缩流体的连续性方程●Laplace 算子●定义●\Delta=\nabla^2=\nabla\cdot\nabla=\frac{\partial^2}{\partialx^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}●调和函数●定义●数量场u满足Laplace 方程●\Delta u =\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partialy^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}=0●u为区域上的调和函数●环量●定义●\Gamma圆周曲线中沿切线的变化速度●\int_\Gamma(F\cdot t)\mathrm{d}st为单位切向量●漩涡强度●确定一个平面上点的平均环量极限●\lim\limits_{\Gamma\to M}\left.\frac1A\right]_{\Gamma}(F\cdot t)\mathrm{d}s●旋度●定义●漩涡强度对应的最大方向，模为漩涡强度●\mathrm{rot~}F=(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partialz})i+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})j+(\frac{\partialQ}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})k●不同形式●\text{rot}F=\begin{vmatrix}i&j&k\\\frac{\partial}{\partialx}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\P&Q&R\end{vmatrix}●\operatorname{rot}F=\nabla\times F●例子●有心场●有势场●向量场F=(P,Q,R)●存在数量场\varphi满足\mathrm{grad} \:\varphi(p) = F(p)●\varphi为势函数●势函数（不计常数）唯一●保守场●曲线积分与路径无关●任意一条封闭曲线\int_\Gamma F\cdot \mathrm{d}p=0●无旋场●任意点旋度\operatorname{rot}F=0●空间单连通●区域中的任意封闭曲面包含在区域中●曲面单连通●对区域中任意逐段光滑曲线\Gamma,有逐段光滑曲面以\Gamma为边界●曲面单连通与空间单连通不相关●曲面单连通区域的等价场●F\in C^2(D)●F为有势场\Leftrightarrow无旋场\Leftrightarrow保守场●恰当微分形式●1次微分形式P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z●存在0形式微分\mathrm{d}\varphi=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z●隐函数\varphi(x,y)=c为恰当微分方程P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z=0的通解●旋度场●存在F=\nabla\times G●F为旋度场●向量场G为向量势●可推出无源场●向量势不唯一，G_1=G+\nabla \varphi也是向量势●星形域●区域两点的线段仍在区域●星形域上旋度场\Leftrightarrow无源场●正交曲线坐标系●定义●参数域与积分区域间的连续可微双射且\mathrm{det} \:J f>0●u_0\in D,p_0=f(u_0)\in f(D)u_0=(u_1,u_2,u_3)为参数坐标●h_i=||\frac{\partial f}{\partial u_i}||,\quad h_i e_i=\frac{\partial f}{\partial u_i}●e_i为正交向量系（随点变化）●梯度表示●\nabla \Phi=\sum\limits_{i=1}^{3}\frac{1}{h_{i}}\frac{\partial\Phi}{\partialu_{i}}e_{i}\nabla \Phi=(\frac{\partial\Phi}{\partial x_{1}},\frac{\partial\Phi}{\partialx_{2}},\frac{\partial\Phi}{\partial x_{3}})●引理●\begin{aligned}&(1)\nablau_{i}=\frac{e_{i}}{h_{i}}\left(i=1,2,3\right)\\&(2)\nabla\times\frac{e_i}{h_i}=0\left(i=1,2,3\right)\\&(3)\nabla\bullet\frac{e_1}{h_2h_3}=\nabla\bullet\frac{e_2}{h_1h_3}=\nabla\bullet\frac{e_3}{h_1h_2}=0\end{aligned}●散度表示●F=F_{1}e_{1}+F_{2}e_{2}+F_{3}e_{3}●\nabla\bulletF=\frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}}\Big(\frac{\partial(F_{1}h_{2}h_{3})}{\partialu_{1}}+\frac{\partial(F_{2}h_{1}h_{3})}{\partialu_{2}}+\frac{\partial(F_{3}h_{1}h_{2})}{\partial u_{3}}\Big)●旋度表示●F=F_{1}e_{1}+F_{2}e_{2}+F_{3}e_{3}●\nabla\timesF=\frac1{h_1h_2h_3}\left|\begin{array}{ccc}h_1e_1&h_2e_2&h_3e_3\\\frac\partial{\partial u_1}&\frac\partial{\partial u_2}&\frac\partial{\partialu_3}\\F_1h_1&F_2h_2&F_3h_3\end{array}\right|●Laplace 算子●\Delta\Phi=\frac1{h_1h_2h_3}\sum\limits_{i=1}^3\frac\partial{\partialu_i}\Big(\frac{h_1h_2h_3}{h_i^2}\frac{\partial\Phi}{\partial u_i}\Big)●Fourier级数●简弦波●定义●x(t)=A\sin(\omega t+\varphi)●周期T=2\pi/\omega●圆频率\omega●初相\varphi●振幅A●三角函数系1,\cos x,\sin x,\cos2x,\sin2x,\cdots,\cos nx,\sin nx,\cdots●正交性\delta_{mn}：克罗内克符号（Kronecker Symbol）●\int_{-\pi}^\pi \sin {mx}\sin {nx}=\pi \delta_{mn}●\int_{-\pi}^\pi \cos {mx}\cos{nx}=\pi \delta_{mn}●\int_{-\pi}^\pi \sin {nx}\cos {mx}=0●Fourier级数●定义●f(x)\sim\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)●Fourier系数●\begin{cases}a_n=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cosnx\mathrm{d}x\quad(n=0,1,\cdots)\\ \\b_n=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sinnx\mathrm{d}x\quad(n=1,2,\cdots)\end{cases}●Riemann-Lebesgue 引理●f(x)在[a,b](b可以是+\infty)可积且绝对可积●\lim\limits_{\lambda\to+\infty}\int_a^bf(x)\cos\lambda x\operatorname{d}x=0●\lim\limits_{\lambda\to+\infty}\int_a^bf(x)\sin\lambda x\operatorname{d}x=0●推论●[-\pi,\pi]可积且绝对可积的函数的Fourier系数●\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}b_n=0●\int _0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}●Fourier 级数部分和●S_n(x)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}(f(x_{0}+t)+f(x_{0}-t))\frac{\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)t}{2\sin\frac{t}{2}}\mathrm{d}t●为Dirichlet 积分●\frac{\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)t}{2\sin\frac{t}{2}} 为Dirichlet 核●局部化定理●f\in \mathrm{\pmb{R}}[-\pi,\pi].Fourier级数在x_0处收敛的收敛情况仅与f在x_0附近的行为有关f是以2\pi为周期的函数●Dini 判别法●条件●f\in \mathrm{\pmb{R}}[-\pi,\pi]，\varphi(t)=f(x_0+t)+f(x_0-t)-2sR[-\pi,\pi]是周期为2\pi的可积且绝对可积函数类●存在\delta>0,使得\varphi(t)/t在[0,\delta]上可积且绝对可积●则Fourier级数在x_0上收敛于s，即\lim\limits_{n\rightarrow \infty}S_n(x_0)=s ●Dini 判别法推论●f\in \mathrm{\pmb{R}}[-\pi,\pi]满足下列条件之一\RightarrowDini 判别法条件成立●满足\alpha阶Lipschitz条件●存在\delta>0,L>0,\alpha\in(0,1]●\mid f(x_0+t)-f(x_0+0)\mid\leqslant Lt^\alpha,\quad\mid f(x_0-t)-f(x_0-0)\mid\leqslant Lt^\alpha\alpha\geqslant 1可推得有界●存在有限单侧导数●f_{+}^{\prime}(x_{0})=\lim\limits_{t\to0^{+}}\frac{f(x_{0}+t)-f(x_{0})}{t},\quad f_{-}^{\prime}(x_{0})=\lim\limits_{t\to0^{+}}\frac{f(x_{0}-t)-f(x_{0})}{-t}●仅有两个有限的广义单侧导数●\lim\limits_{t\to0^+}\frac{f(x_0+t)-f(x_0+0)}t,\quad\lim\limits_{t\to0^+}\frac{f(x_0-t)-f(x_0-0)}{-t}●分段可微●定义●存在[a,b]的分割a=t_0<t_1<\cdots<t_n=b●g_i(x)=\begin{cases}f(t_{i-1}+0),&x=t_{i-1},\\f(x),&x\in(t_{i-1},t_i)\quadi=1,2,\cdots,n\\f(t_i-0),&x=t_i\end{cases}●g_i(x)都可微（端点处单侧可微）则函数f分段可微●分段可微的函数\lim\limits_{n\rightarrow \infty}S_n(x_0)=\frac{(f(x_0+0)+f(x_0-0))}{2}●延拓●对单侧函数\mathrm{def} \: f=(0,\pi)●偶性延拓●f(x)=f(-x)●展开为余弦级数f(x)\sim\frac{a_0}2+\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\cos nx●奇性延拓●f(x)=-f(-x)●展开为正弦级数f(x)\sim\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\sin nx●Cesàro和●Cesàro收敛●\sigma_n=\frac{S_1+\cdots+S_n}n\quad(n=1,2,\cdots)●\lim_{n\to\infty}\sigma_n=\sigma●称级数\sum\limits_{n=1}^\infty a_n在Cesàro意义下收敛到\sigma●记为\sum\limits_{n=1}^\infty a_n=\sigma(\mathrm{C})●Fejér 定理●f\in \mathrm{\pmb{R}}[-\pi,\pi]●x_0左右极限存在●\sigma_n(x_0)=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}S_k(x_0)●则\lim\limits_{n\to +\infty} S_n(x_0)=\frac{f(x_0-0)+f(x_0+0)}{2}(\mathrm{C})\sigma_n(x_0)\to \frac{f(x_0-0)+f(x_0+0)}{2},Cesàro和为左右极限的均值●若傅里叶级数收敛一定收敛到左右极限的均值●f是以2\pi为周期的连续函数●Fourier级数在Cesàro意义下在(-\infty,+\infty)上一致收敛于f●Weierstrass 逼近定理●f\in C[-\pi,\pi]且f(-\pi)=f(\pi)●f一定能用三角多项式一致逼近即\sigma_n(x)●平方平均逼近●\lim\limits_{n\to\infty}\int_{-\pi}^{\pi}(f(x)-T_n(x))^2\mathrm{d}x=0●部分和T_n平方平均逼近(收敛于)f● \mathrm{\pmb{R}}^2[a,b]可积且平方可积空间●定义●线性空间●函数加法与数乘●内积●\langle f,g\rangle=\int_a^bf(x)g(x)\mathrm{d}x●范数●||f||=\sqrt{\langle f,f\rangle}●正交●当\langle f,g\rangle=0●正交系●函数间两两正交●范数不为0●规范正交系●范数为1的函数正交系●Fourier系数●\{\varphi_k\}为规范正交系●c_k=\langle f,\varphi_k\rangle为f关于正交系的Fourier系数●Fourier级数●f(x)\sim\sum\limits_{k=1}^\infty c_k\varphi_k(x)c_k为Fourier系数●规范正交性上的投影●\parallel f-\sum\limits_{k=0}^n\alpha_k\varphi_k\parallel\geqslant\parallel f-\sum\limits_{k=0}^nc_k\varphi_k\parallel对任意a_k,n=1,2,\cdots●\parallel f-\sum\limits_{k=0}^nc_k\varphi_k\parallel^2=\parallel f\parallel^2-\sum\limits_{k=0}^nc_k^2●\sum\limits_{k=0}^\infty c_k^2\leqslant\|f\|^2Bessel不等式●Parseval 等式/封闭性方程●\sum\limits_{k=0}^\infty c_k^2=\|f\|^2Bessel不等式等号成立●完备正交系●对任意f，Paseval等式成立，即可用Fourier级数的部分和平方平均逼近●定理●三角函数系是完备的●与三角函数系中每个函数正交的连续函数为0●相同Fourier级数的连续函数唯一●函数内积计算●f的系数为a_n,b_n，g的系数为\alpha_n,\beta_n●\frac1\pi\int_{-x}^{\pi}f(x)g(x)\mathrm{d}x=\frac{a_0\alpha_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\alpha_n+b_n\beta_n)●逐项积分●f(x)\sim\frac{a_0}2+\sum\limits_{n\operatorname{=}1}^\infty(a_n\cosnx+b_n\sin nx)●则\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\int_a^b\frac{a_0}2\mathrm{d}x+\sum\limits_{n=1}^\infty\int_a^b(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\mathrm{d}x[a,b]\sub [-\pi,\pi]●\mathrm{\pmb R}[-l,l]●Fourier 级数●f(x)\sim\frac{a_0}2+\sum\limits_{n=1}^{x}\left(a_n\cos\frac{n\pi}lx+b_n\sin\frac{n\pi}lx\right)●Fourier 系数●\begin{aligned}a_n&=&\frac1l\int_{-1}^lf(x)\cos\frac{n\pi}lx\mathrm{d}x&(n=0,1,\cdots)\\b_n&=&\frac1l\int_{-l}^lf(x)\sin\frac{n\pi}lx\mathrm{d}x&(n=1,2,\cdots)\end{aligned}●Fourier积分f \in \mathrm{\pmb R}(-\infty,+\infty)●定义●a\left(u\right)=\frac1\pi\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos ut\mathrm{d}t,\quadb\left(u\right)=\frac1\pi\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\sin ut\mathrm{d}t●f(x)\thicksim\int_0^{+\infty}(a(u)\cos ux+b(u)\sin ux)\mathrm{d}u●a(u),b(u)在(-\infty,+\infty)一致连续●有限积分●\begin{aligned}S(\lambda,x)& =\int_0^\lambda(a(u)\cos ux+b(u)\sinux)\mathrm{d}u &\quad &(定义)\\&=\frac1\pi\int_{0}^{\lambda}(\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos u(t-x)\mathrm{d}t)\mathrm{d}u&\quad &(代入a(u),b(u))\\&=\frac1\pi\int_{0}^{+\infty}\left(f(x+t)+f(x-t)\right)\frac{\sin\lambda t}t\mathrm{d}t &\quad &(有限次序交换再取极限)\end{aligned}●局部化定理●f在x的Fourier积分收敛情况仅与f在x附近的函数值有关●Dini 定理●\varphi(t)=f(x+t)+f(x-t)-2s●存在\delta>0,使得\varphi(t)/t在[0,\delta]上可积且绝对可积●Fourier积分在x点收敛于s●收敛定理Fourier积分在x点收敛于左右极限的平均值●有广义左右导数●\frac1\pi\int_0^{+\infty}\mathrm{d}u\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos u\left(t-x\right)\mathrm{d}t=\frac12(f(x+0)+f(x-0))●\int_0^{+\infty}(a(u)\cos ux+b(u)\sin ux)\mathrm{d}u=\frac12(f(x+0)+f(x-0))●连续●f(x)=\frac1\pi\int_0^{+\infty}\mathrm{d}u\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cosu\left(t-x\right)\mathrm{d}t●f(x)=\int_0^{+\infty}(a(u)\cos ux+b(u)\sin ux)\mathrm{d}u●Fourier 余弦公式f为偶函数●g(u)=\sqrt{\frac2\pi}\int_0^{+\infty}f(t)\cos ut\mathrm{d}tFourier余弦变换公式●f(x)=\sqrt{\frac2\pi}\int_0^{+\infty}g(u)\cos xu\mathrm{d}u反变换公式●Fourier 正弦公式f为奇函数●h(u)=\sqrt{\frac2\pi}\int_0^{+\infty}f(t)\sin ut\mathrm{d}tFourier正弦变换公式●f(x)=\sqrt{\frac2\pi}\int_0^{+\infty}h(u)\sin xu\mathrm{d}u反变换公式●Fourier 积分复数形式●f(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d}u\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{\mathrm{i}u(x-t)}\mathrm{d}t●Fourier变换●\hat{f}(u)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}tu}\mathrm{d}t●反变换公式●f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\hat{f}(u)\mathrm{e}^{\mathrm{i}ux}\mathrm{d}u●导数定理●\lim \limits_{t\to \infty}f(t)=0 \Rightarrow\hat{f}^{\prime}(x)=\mathrm{i}x\hat{f}(x)●\lim \limits_{t\to \infty}f^{(k)}(t)=0 (k=1,2\cdots ,n-1)\Rightarrow\hat{f}^{(n)}(x)=(\mathrm{i}x)^n\hat{f}(x)●卷积●(f* g)(t)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t-u)g(u)\mathrm{d}u●卷积定理●\hat{(f* g)(t)}=\hat{f(t)}\hat{g(t)}●Fourier级数复数形式满足收敛定理●离散的Fourier变换●f(x)=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty\hat{f}(n)\mathrm{e}^{\mathrm{i}nx}●\hat{f}(n)=\begin{cases}\frac12(a_n-\mathrm{i}b_n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}nx}\mathrm{d}x,&n=1,2,\cdots\\\frac{a_0}{2},&n=0\\\frac12(a_n+\mathrm{i}b_n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pif(x)\mathrm{e}^{\mathrm{i}nx}\mathrm{d}x，&n=-1,-2,\cdots\end{cases}●离散的Fourier 反变换●\hat{f}(n)=\frac1{2\pi}{\int_{-\pi}^{\pi}}f(x)\mathrm{e}^{-inx}\mathrm{d}x\quad(n=0,\pm1,\cdots)。
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课程号
00132304
学分
4
英文名称
Mathematical Analysis (III)
先修课程
数学分析(I), (II)
中文简介
本课程是数学类各专业最重要的基础课之一。基本内容包括多元微分学与积分学。本课程是许多后继课程如微分方程、微分几何、复变函数、实变函数、概率论、基础物理、理论力学等学习的基础。数学分析同时也是大学数学的基本能力及思维方法的训练重要课程。具有良好的数学分析（III）的基础对于今后的学习和研究起着关键的作用。
课堂讲授
平时成绩+期中成绩+期末成绩
教学评估
刘培东：
五 重积分
重积分的定义； 重积分的存在性与性质；重积分的计算：化为累次积分与 重积分的变量替换 ，广义重积分
六 曲线积分, 曲面积分与场论初步
第一型与第二型曲线积分；第一型与第二型曲面积分； Green公式； Gauss公式；Stokes公式； 曲线积分与路径无关 ；*微分流形初步：微分形式；外微分；
开课院系
数学科学学院
通选课领域
是否属于艺术与美育
否
平台课性质
平台课类型
授课语言
中文
教材
数学分析（III）,伍胜健,北京大学出版社,2010.7,第一；
数学分析3,方企勤等,高等教育出版社,1982,
参考书
第一；
教学大纲
本课程是数学类各专业最重要的基础课之一。基本内容包括多元函数的微分学与积分学。本课程是许多后继课程如微分方程、微分几何、复变函数、实变函数、概率论、基础物理、理论力学等学习的基础。数学分析同时也是大学数学的基本能力及思维方法的训练重要课程。具有良好的数学分析的基础对于今后的学习和研究起着关键的作用。
多元微积分
一 中的点集拓扑初步，连续函数
中的点集拓扑初步；多元函数的极限与连续性
二 多元函数微分学
偏导数； 全微分； 微分的几何意义； 高阶偏导数；隐函数求导； 方向导数与梯度；Taylor公式；向量函数求导
三 隐函数定理
隐函数定理； 逆变换定理
四 多元函数的极值问题
普通极值问题； 条件极值问题； Lagrange乘子法； 最小二乘法
英文简介
Mathematical analysis （III） is one of the most important courses for the students who wish to study the mathematics and related subjects. The course mainly includes the theory of differentials and integral of functions of several multiples. The course is a basis or many courses such as differential equations; differential geometry, functions of one complex variable; real analysis, probability; basic physics, etc. The course provides the training for the mathematical thinking and skills.