高考数学第一轮课时复习题20

课时作业(二十) [第20讲 三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质及三角函数模型的简单应用][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．函数y ＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6的振幅是________；周期是________；频率是________；相位是________；初相是________．2．函数y ＝|tan x |的最小正周期是________．3．为得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象向左平移________个单位长度．4．下列函数中，图象的一部分符合图K20－1的是________．图K20－1①y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6； ②y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6； ③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3； ④y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.能力提升5．[2018·北京东城区调研] f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω＝________.6．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的对称中心是________；对称轴方程是________；单调增区间是________．7．[2018·中山模拟] 把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动2 012个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是________．8．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图K20－2所示，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，则f (0)＝________.图K20－29．[2018·苏北四县市二模] 一个匀速旋转的摩天轮每12 min 转一周，最低点距地面2 m ，最高点距地面18 m ，P 是摩天轮轮周上一定点，从P 在最低点时开始计时，则16 min 后P 点距地面的高度是________ m.10．如果函数y ＝os(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为________．11．下列五个命题：①y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π；②终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π2，k ∈Z ；③在同一坐标系中，y ＝sin x 的图象和y ＝x 的图象有三个公共点；④y ＝sin x －π2在[0，π]上是减函数；⑤把y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位得到y ＝3sin2x的图象．其中真命题的序号是________．12．将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位，得到函数y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为增函数，则ω的最大值为________．13．如图K20－3，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (ω>0，|φ|<π)．(1)求这段时间的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式．图K20－314．用五点作图法画出函数y＝3sin x2＋cos x2的图象，并说明这个图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的．15．某港口水的深度y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，的图象．(1)试根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似表达式；(2)一般情况下，船舶航行时船底离海底的距离为5 m或5 m以上时是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5 m，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)?16．[2018·温州模拟] 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图象如图K20－4所示．(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )的单调减区间，并指出f (x )的最大值及取到最大值时x 的集合；(3)把f (x )的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？图K20－4课时作业(二十)【基础热身】 1.32 4π 14π 12x ＋π6 π6 [解析] 根据函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)中的各个量的几何意义、物理意义作结论．2．π [解答] 函数y故函数y ＝|tan x |的最小正周期为π.3.5π6 [解析] 因为y ＝sin x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，而y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋5π6，故向左平移5π6个单位长度． 4．④ [解析] 用三角函数图象所反映的周期确定ω，再由最高点确定函数类型．从而求得解析式．由图象知T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝π，故ω＝2，排除①、③.又当x ＝π12时，y ＝1，而②中，当x ＝π12时，y ＝0，故选④. 【能力提升】5．10 [解析] T ＝2πω＝π5⇒ω＝10.6.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z ) x ＝k π2＋5π12(k ∈Z ) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π(k ∈Z )[解析] 对称中心的横坐标满足2x －π3＝k π(k ∈Z )；对称轴方程满足2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )；单调递增区间是不等式2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )的解区间．7．y ＝sin(2x ＋2 012) [解析] y ＝sin x 向左平移2 012个单位长度,y ＝sin(x ＋2 012)错误!y ＝sin(2x ＋2 012)．8.23 [解析] 由图象可得最小正周期为2π3，于是f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，又因为2π3与π2关于7π12对称，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝23. 9．14 [解析] 每12 min 转一周，故16 min 转一圈又三分之一周，又圆周半径为8，故此时点P 距离地面高度为2＋8＋8×sin30°＝14(m)．10.π6 [解析] ∵函数y ＝os(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，∴2×4π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π－13π6(k ∈Z )，由此易得|φ|min＝π6.11．①⑤ [解析] y ＝sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x －cos 2x )(sin 2x ＋cos 2x )＝－cos2x ，故函数的最小正周期为π，从而①正确．终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而②不正确；因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，sin x ＜x ，故在同一坐标系中，y ＝sin x 的图象和y ＝x 的图象有一个公共点，从而③不正确；y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2在[0，π]上是增函数，从而④不正确；由于y ＝3sin2x ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6，故⑤正确． 12．2 [解析] 函数g (x )的解析式为g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3ω－π3ω＝2sin ωx .函数g (x )包含坐标原点的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω.若函数y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为增函数，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω，只要π2ω≥π4，得ω≤2.所以ω的最大值为2.13．[解答] (1)由题中图所示，这段时间的最大温差是30－10＝20(℃)．(2)图中从6时到14时的图象是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象，∴12 ·2πω＝14－6＝8，解得ω＝π8.由题图知A ＝12(30－10)＝10，b ＝12(30＋10)＝20.这时y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ＋20. 将x ＝6，y ＝10代入上式，可得φ＝3π4.综上，所求曲线的解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]． 14．[解答] (1)列表：将函数解析式化简为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6，列表如下：x 2＋π6 0 π2 π 3π2 2π x－π3 23π 53π 83π 113π y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π62－2(2)描点：描出点⎝ ⎭⎪－π3，0，⎝ ⎛⎭⎪2π3，2，⎝ ⎛⎭⎪5π3，0，⎝ ⎛⎭⎪8π3，－2⎝ ⎛⎭⎪11π3，0； (3)连线：用平滑的曲线将这五个点连接起来，最后将其向两端伸展一下，得到图象如下图．该图象由y ＝sin x 的图象先向左平移π6个单位得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，再将横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不标)，最后将纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6的图象．15．[解答] (1)由已知数据，易知函数y ＝f (t )的周期T ＝12，振幅A ＝3，b ＝10，∴ω＝2πT ＝2π12＝π6，∴y ＝3sin π6t ＋10.(2)由题意，该船进出港时， 水深应不小于5＋6.5＝11.5(m)，∴3sin π6t ＋10≥11.5，∴sin π6t ≥12，解得2k π＋π6≤π6t ≤2k π＋5π6(k ∈Z )，即12k ＋1≤t ≤12k ＋5(k ∈Z )，在同一天内，取k ＝0或k ＝1，∴1≤t ≤5或13≤t ≤17.∴该船可在当日凌晨1时进港，下午17时出港，在港口内最多停留16个小时．16．[解答] (1)由图知A ＝3，34T ＝4π－π4＝15π4，∴T ＝5π，∴ω＝25，∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ＋φ. ∵f (x )的图象过点(4π，－3)，∴－3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π5＋φ， ∴8π5＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π－21π10(k ∈Z )，∵|φ|<π2，∴φ＝－π10，∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x －π10.(2)由2k π＋π2≤25x －π10≤2k π＋3π2(k ∈Z )得，5k π＋3π2≤x ≤5k π＋4π(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5k π＋3π2，5k π＋4π(k ∈Z )．函数f (x )的最大值为3，取到最大值时x 的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝5k π＋3π2，k ∈Z .(3)解法一：f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 5－π10＝os ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 5－π10＝os ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 5－3π5＝os ⎣⎢⎡⎦⎥⎤25⎝⎛⎭⎪⎫x －3π2，故至少需左移3π2个单位才能使所对应函数为偶函数．解法二：f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 5－π10的图象的对称轴方程为25x －π10＝k π＋π2，∴x ＝5k π2＋3π2，当k ＝0时，x ＝3π2，k ＝－1时，x ＝－π，故至少左移3π2个单位才能使所对应的函数为偶函数．解法三：函数f (x )在原点右边第一个最大值点为2x 5－π10＝π2，∴x ＝3π2，把该点左移到y 轴上，需向左平移3π2个单位．。