南阳一中秋期期中考试高三理科数学试卷
2023-2024学年河南省南阳市高三上学期期中联考数学试题+答案解析
2023-2024学年河南省南阳市高三上学期期中联考数学试题✽一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四个集合中，是空集.( )A. B. ，且C. D.2.命题“，”的否定为( )A. ，B. ，C. ，D. ，3.若复数z满足，则( )A. B. 2 C. D. 4i4.公比不为1的等比数列满足，若，则m的值为( )A. 8B. 9C. 10D. 115.若函数有两个零点，则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.6.已知，，，则( )A. B.C. D.7.已知a，b，c分别为的三个内角的对边，若点P在的内部，且满足，则称P为的布洛卡点，称为布洛卡角.布洛卡角满足：注：则( )A. B. C. D.8.已知在上单调递减，则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下图是函数的部分图像，则( )A. B. C. D.10.已知是数列的前n项和，，则( )A.是等比数列 B. C. D.11.设，若，则的值可能为( )A. B. C. 1 D. 212.设，若为函数的极小值点，则下列关系可能成立的是( )A. 且B. 且C. 且D. 且三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.一个正实数的小数部分的2倍，整数部分和自身成等差数列，则这个正实数是__________.14.四边形ABCD中，，，BD是四边形ABCD的外接圆的直径，则__________.15.奇函数满足，，则__________.16.互不相等且均不为1的正数a，b，c满足b是a，c的等比中项，则函数的最小值为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题10分设数列为等差数列，其前n项和为，数列为等比数列．已知求数列和的通项公式；求数列的前n项和18.本小题12分已知函数，其中，若实数满足时，的最小值为求的值及的单调递减区间；若不等式对任意时恒成立，求实数a应满足的条件.19.本小题12分记为数列的前n项和.已知证明：是等差数列；若，，成等比数列，求数列的前2024项的和.20.本小题12分在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_____.从以下两个条件中任选一个补充在上面横线上作为已知，将其序号写在答题卡的横线上并作答条件①：条件②：求角A；若为锐角三角形，，求面积的取值范围.21.本小题12分已知函数，，曲线在点处的切线也是曲线的切线.若，求求a的取值范围.22.本小题12分已知函数，判断函数的单调性并证明；设n为大于1的整数，证明：答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了学生对空集的理解，属于基础题.根据空集的定义求解即可.【解答】解：对于选项A，含有一个元素0，不是空集；对于选项B，小于且大于2的实数不存在，因此，且为空集；对于选项C，，含有一个元素，不是空集；对于选项D，是无限集，不是空集.故本题选：2.【答案】A【解析】【分析】本题考查全称量词命题与存在量词命题，属于基础题.存在量词命题的否定为全称量词命题，据此得到答案.【解答】解：命题“，”的否定为“，”.故选：A3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查复数的除法运算，考查共轭复数，属于基础题.根据复数的除法运算法则，求得z，进一步计算即可.【解答】解：因为，所以，，则，故选：4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查等比中项，属于基础题.根据等比数列的性质列方程求得m的值.【解答】解：依题意，数列是等比数列，且公比，，，所以 .故选：C5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数零点与方程根的个数问题，属于中档题.利用函数有零点等价于对应方程有实根，通过换元将其转化成一元二次方程的根的问题即可求得.【解答】解：由函数有两个零点可知，方程有两个不相等的实根.不妨设则，依题意可知方程有两个不相等的正实根，故有，解得即实数a的取值范围为故选：6.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查指数函数图象与性质比较大小，考查三角函数值域，属于中档题.由，得到，再利用指数函数和幂函数的单调性求解.【解答】解：因为，所以，所以，所以，即，故选：7.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查正弦定理及变形，考查诱导公式等，属于中档题.结合图象，求得，，分别在，，中利用正弦定理可求得，，，三数相加化简即可.【解答】解：如图所示，，故，同理，，在中，由正弦定理得：，即，所以，在中同理可得：，在中同理可得：，所以，故选：8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了利用导数解决函数单调性问题，属于较难题.利用必要性探路得到，再证明充分性可以避免繁琐的讨论，简化运算，是解题的关键.确定在上恒成立，根据得到，再证明充分性，，设，求导得到单调区间，计算最值得到证明.【解答】解：，在上恒成立，设，，，①必要性：，恒成立，故，故，若，则存在，使时，，单调递增，，不满足条件；②充分性：，，设，在恒成立，故单调递减，，故恒成立，综上所述： .故选：9.【答案】BC【解析】【分析】本题主要考查了利用三角函数图象求三角函数的解析式，也考查了诱导公式的灵活应用，属于基础题.首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.【解答】解：由函数图像可知：，则，所以排除选项A，当时，，解得：，即函数的解析式为：而，故选项D项不正确.故选：10.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查等比数列的判断或证明，等比数列的通项公式，前n项和公式，等比中项等问题，属于中档题.利用递推关系求得，逐项验证即可.【解答】解：因为，①当时，则，当时，，②① - ②得，则，故是以1为首项，公比为的等比数列，且，故A正确；又，故B正确；，故C错误；由题中，，故D正确，故选：11.【答案】BC【解析】【分析】本题考查一元二次方程的解集问题，属于中档题.根据题意，由判别式法即可得到的范围，从而得到结果.【解答】解：令，则，代入可得，，关于x的方程有解，则，解得，所以，则BC选项符合题意.故选：12.【答案】AC【解析】【分析】本题考查利用导数根据极值点求参，属于较难题.根据题意，求得，结合函数极值点的定义，分类讨论，列出不等式，即可求解.【解答】解：由函数，可得，令，可得或，要使得为函数的极小值点，当时，则满足，解得，所以A正确；当时，则满足，解得，所以C正确.故选：13.【答案】或【解析】【分析】本题主要考查等差中项问题，属于基础题.根据等差数列的知识列方程，化简求得这个正实数.【解答】解：设这个正实数的小数部分是，整数部分是y，自身是，则，所以，由于，，当时，；当时，；当时，，不符合.综上所述，这个正实数是或 .故答案为：或14.【答案】【解析】【分析】本题主要考查向量数量积的运算，属于中档题.根据圆内接四边形的性质及数量积的定义即可求解.【解答】解：依题意：，故答案为：15.【答案】【解析】【分析】本题主要考查利用函数的奇偶性求函数值，考查函数的周期性，属于中档题.根据奇函数得到，确定函数周期为 6 ，计算得到答案.【解答】解：奇函数满足，则，，故，函数周期为 6 ，.故答案为： .16.【答案】4【解析】【分析】本题考查等比中项，利用基本不等式求取值范围，属于较难题.先根据条件：成等比数列，得到的关系，再用基本不等式求的最小值.【解答】解：是的等比中项，，是互不相等且均不为1的正数，， ..因为是互不相等且均不为1的正数，所以上式只能在，，时，即时取等号.故答案为：17.【答案】解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由可得，即，解得，所以，，，，则；，则①，可得②，① - ②得：，因此， .【解析】本题考查等差、等比数列的基本计算，错位相减法求和，考查运算求解能力，是中档题.设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，根据题意，列方程求解即可得答案；根据错位相减法求和即可.18.【答案】解：由题意，函数，因为实数满足时，的最小值为，所以的最小正周期，解得，所以，由，解得，所以的单调递减区间为由，因为，可得，令，则，所以，，即，即，令，可得，又由函数在为递减函数，所以，所以，解得，即实数a的取值范围是【解析】本题考查三角恒等变换的综合应用，三角函数的图象与性质，对勾函数的图象与性质，属于较难题.化简为，结合最小正周期求得，得到，结合三角函数的性质，即可求解函数的单调递减区间；化简，令，得到，结合函数的性质，即可求解.19.【答案】解：证明：，即①，当时，②，① - ②得，，即，即，所以，且，所以是以1为公差的等差数列.，，，，成等比数列，，解得，故，故 .数列的前2024项和为：【解析】本题考查裂项相消法求和，考查等比中项，等差数列的判定等，属于中档题.，，两式相减整理得到，得到证明；根据等比中项计算得到，确定，再利用裂项相消法求和即可.20.【答案】解：选择①，由及正弦定理，得，整理得，由余弦定理得，而，所以 .选择②，由，得，即，解得，又，所以 .由知，，由正弦定理得，即，而是锐角三角形，则，解得，，即，因此，，所以面积的取值范围是 .【解析】本题考查三角形面积公式，正余弦定理，诱导公式等，属于中档题.选择①，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得；选择②，利用诱导公式及同角三角函数的基本关系式求解即得.利用正弦定理求出边b的范围，再利用三角形面积公式求解即得.21.【答案】解：，，且故在点处的切线方程为又与相切，将直线代入得由得，曲线在点处的切线方程为，即由得，设在点处的切线方程为，即，，令，则当或时，，此时函数单调递减;当或时，，此时函数单调递增又，，，，故【解析】本题考查利用导数研究函数的切线方程，属于较难题.22.【答案】解：函数的定义域为，函数的定义域为函数在上单调递减，在上单调递增证明：，则为上的偶函数.，，故，所以函数在上单调递减，在上单调递增.证法一要证明，需证明即证明，即，由可知即证 .且在单调递增，所以对，成立.证法二要证明，即证明，即证，即证，设函数，，故函数在上单调递增又，，即成立，故原不等式成立.【解析】本题主要考查函数单调区间，利用导数证明不等式等，属于较难题.先求导，再分析导数的符号，进而可得函数的单调性.证法一将问题转化为证，由可知即证，进而可得答案.证法二将问题转化为证，即证，即可得出答案.。
河南省南阳市第一中学校2024届高三上学期第五次月考数学试题(含解析)
南阳一中2023年秋期高三年级第五次月考数学试题一、单选题（每小题5分共40分）1．已知集合A ={x x ≤-3或x >2}，B ={x x ≤a -1}，若A B =R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(-4,+∞)B ．[-4,+∞)C ．(3,+∞)D ．[3,+∞)2. 已知P (sin θ,cos θ)是角π3-的终边上一点，则tan θ=（ ）A.B. 3-C.3D.3.把ABC △按斜二测画法得到'''A B C △（如图所示），其中''''1B O C O == ，''AO =ABC △是一个（ ） A.等边三角形 B.直角三角形5. 已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数()1f x +为奇函数，当[]0,1x ∈时，()2x f x k a =⋅+，若()()036f f +=，则()2log 96f =（ ）A. 2B. 0C. -3D. -66．若直线l 与曲线y x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1B ．y =2x +12 C ．y =12x +1 D ．y =12x +127.在三棱锥A-BCD 中,△ABD 与△CBD 均是边长为2的等边三角形,且二面角A-BD-C 的平面角为,则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A.7π B.8π C.D.C ．1l ，2l 在y 轴上的截距之差为2D ．1l ，2l 在y 轴上的截距之积可能为1-二、多选题（每小题5分共20分） ．给出下列命题，其中正确的是（ ）．若空间向量(3,1,3m =，()1,,n λ=--，且m n ∥，则实数．若a b ∥，则存在唯一的实数λ，使得a b λ=．若空间向量()1,0,1a =，(2,1,2b =-，则向量b 在向量a 上的投影向量是()3,2,1M -关于平面yOz 对称的点的坐标是()3,2,1--- 10. 将函数()3sin π23f x x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π12个单位长度后关于y 轴对称，则ϕ的值可能为（ ） A. π3-B. π2C. 2π3D. 5π611. 已知,a b ∈R ，且22223a b a b ++=，则（ ）A. ab 的最大值为1B. ab 的最小值为－1C.11||||a b +的最小值为4 D. 222a b +的最小值为324a三、填空题（每小题20分）．设向量(,2AB x =在向量(3,AC =-15AC ，则x = ．8M m +=，则=a ______．15．甲、乙两队进行篮球比赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束），根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主主客客主”，设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，则甲队以获胜的概率是 ． 16. 已知△ABC 的面积为1，且AB =2BC ，则当AC 取得最小值时， BC 的长为________. 四、解答题 （70分）17. （10分）已知向量()212cos ,sin ,,3cos 2a x xb x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，函数()f x a b =⋅．（1）求()f x 的最小正周期和单调递减区间； （2）在ABC 中，()7π,1,12A B f A BC +===，求边AC 的长．19．（12分）如图，现有三棱锥A BCD -和E BCD -，其中三棱锥A BCD -的棱长均为2，三棱锥E BCD -有三个面是全等的等腰直角三角形，一个面是等边三角形，现将这两个三棱锥的一个面完全重合组成一个组合体ABCDE .(1)求这个组合体ABCDE 的体积；(2)若点F 为AC 的中点，求二面角E BC F --的余弦值.23124:220. （12分）数列 n a 的前n 项和n S ，已知214a a =+，()2n n S na n k n *=++∈N ，k 为常数.（1）求常数k 和数列{}n a 的通项公式； （2）数列 1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T ，证明：4133212n T n -≤<+.21. （12分）如图所示的几何体是由等高的14个圆柱和半个圆柱组合而成，点G 为DE 的中点，D 为14圆柱上底面的圆心，DE 为半个圆柱上底面的直径，O ，H 分别为DE ，AB 的中点，点A ，D ，E ，G 四点共面，AB ，EF 为母线．（1）证明：OH ∥平面BDF ；（2）若平面BDF 与平面CFG ，求直线OH 与平面CFG 所成角的正弦值．22. （12分）已知函数 ()()()222ee ln 2e x x xf x ax a x x x ---=+--+-+.（1）若0a =，求曲线f (x )在1x =处的切线方程；（2）当2e x x ->时，不等式()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围.第五次月考高三数学试题答案1．【答案】D 【详解】因为A B =R ，所以12a -≥，解得3a ≥． 所以，实数a 的取值范围是[)3,+∞. 2.【答案】B 【详解】因为()sin ,cos P θθ是角π3-的终边上一点，所以π1πcos sin ,sin cos 323θθ⎛⎫⎛⎫-==-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin tan cos 3θθθ==-，故选：B. 3.答案：A 解析：根据斜二侧画法还原直线ABC △在直角坐标系的图形,如下图所示:由图易得2AB BC AC === 故ABC △为等边三角形,故选A4. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，平面BEF I 平面11CDD C EF =，而B ∈平面11ABB A ，B ∈平面BEF ，平面11//CDD C 平面11ABB A ，则平面BEF 与平面11ABB A 的交线过点B ，且与直线EF 平行，与直线1AA 相交，令交点为G ，如图，而1DD ⊥平面ABCD ，1AA ⊥平面ABCD ，即,EFD GBA ∠∠分别为,EF GB 与平面ABCD 所成的角，而//EF GB ，则E F D G B ∠=∠，且有tan tan GA EDGBA EFD AB DF=∠=∠=，当F 与C 重合时，平面BEF 截该正方体所得的截面为四边形，12GA ED ==，G 为棱1AA 中点M ，当点F 由点C 向点D 移动过程中，GBA ∠逐渐增大，点G 由M 向点1A 方向移动， 当点G 为线段1MA 上任意一点时，平面BEF 只与该正方体的4个表面正方形有交线，即可围成四边形，当点G 在线段1MA 延长线上时，直线BG 必与棱11A B 交于除点1A 外的点， 而点F 与D 不重合，此时，平面BEF 与该正方体的5个表面正方形有交线，截面为五边形，如图，因此，F 为棱CD 上异于端点的动点，截面为四边形，点G 只能在线段1MA （除点M 外）上，即112GA <≤,显然，11[,1)22AB ED DF GA GA ⋅==∈，则11(0,]2CF DF =-∈， 所以线段的CF 的取值范围是1(0,]2.故选：D5. 【答案】C 【详解】因为()1f x +为奇函数，所以()()11f x f x -+=-+，又()f x 为偶函数，所以()()11f x f x -+=-，所以()()11f x f x -=-+，即()()2=-+f x f x ，所以()()()42f x f x f x +=-+=，故()f x 是以4为周期的周期函数；由()()11f x f x -+=-+，易得()10f =，()()()3110f f f =-==，所以()06f =，所以6k a +=，20k a +=，解得6k =-，12a =；所以()()()222log 965log 31log 3f f f =+=+()23log 2223log 31log 621232f f ⎛⎫⎛⎫=--=-=--⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故选：C ． 6．D 设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =，设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=， 由于直线l 与圆2215x y +=相切，=两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+故选：D. 7.【答案】D 如图,取BD 的中点E,连接AE,CE,因为△ABD 与△CBD 均为等边三角形,所以AE⊥BD,CE⊥BD,所以∠AEC 为二面角A-BD-C 的平面角,所以∠AEC=.设△CBD 与△ABD 外接圆的圆心分别为O1,O2,该三棱锥外接球的球心为O,连接OO1,OO2,则OO1⊥平面CBD,OO2⊥平面ABD.由题意,得EO1=EO2=×2= ,CO1=AO2=×2=.连接OC,OE,设球O 的半径为R,则OO1=OO2= --,又OE=OE,所以△OEO1≌△OEO2,所以∠OEO1=∠OEO2=.所以tan∠OEO1=-,解得R2= ,所以该三棱锥的外接球的表面积S=4πR2=,故选D.8．【答案】C 【详解】对于A ，B ，()ln f x x =的图象如下：当01x <<时，()ln f x x =-，()1f x x'=-，当1x >时，()ln f x x =，()1f x x '=，若1201x x <<<，此时()()120,0f x f x ''<<，则120l l k k ⋅>，两切线不垂直；同理若121x x <<，此时()()120,0f x f x ''>>，则120l l k k ⋅>，两切线不垂直；1201x x <<<时，满足要求．所以1l ，2l 的斜率分别为111k x =-，221k x =，因为12l l ⊥，所以121211k k x x =-=-，得121=x x ，122x x +>=，（因为12x x <，所以这里不能取等号）A ，B 错误． 对于C ，D ：1l 的方程为()1111ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x =-+-，令0x =，得11ln y x =-，所以1l 在y 轴上的截距为11ln x -． 2l 的方程为()2221ln y x x x x -=-，即2211ln y x x x =-+，可得2l 在y 轴上的截距为21ln x -+，因为()()12121ln 1ln 2ln 2x x x x ---+=-=，()()121ln 1ln x x --+()()()21111ln 1ln ln 11x x x =--+=->-，（利用121=x x 将此式子中的2x 代换掉），所以C 正确，D 错误．故选：C 9.【答案】AC 【详解】对于A ，可知31113λλ=⇒=--，即A 正确； 对于B ，显然0b =时，a b ∥恒成立，此时λ不唯一或者不存在，故B 错误； 对于C ，向量b 在向量a 上的投影向量()()221,0,12,0,2a b a a⋅⋅=⨯=，故C 正确；对于D ，易知点()3,2,1M -关于平面yOz 对称的点的坐标是()3,2,1--，故D 错误.故选：AC10. 【答案】AC 【详解】将函数()3sin π23fx x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象向左平移π12个单位长度后，所得函数解析式为π3sin 23sin 2123ππ6y x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因为所得函数图象关于y 轴对称，所以ππ,Z 2π6k k ϕ-+=+∈,即2ππ,Z 3k k ϕ=+∈， 当1,0,1k =-时，ϕ的值分别为π2π5π,,333-， 结合选项，所以ϕ的值可能为π2π,33-，故选:AC. 11. 【答案】AB 【详解】由于22223a b a b ++=，所以22222232a b a b a b ab =++≥+，即()()310ab ab +-≤，解得01ab ≤≤，即11ab -≤≤，故A 和B 均正确，令1,1a b ==，满足题干的式子，但是112||||a b +=，故C 错误， 将22223a b a b ++=变形可得22213ab a -=+，所以()222222241333321221a a b a a a a =-+=++-≥=+++，当且仅当21a =时等号成立，故D 错误，故选：AB.12．【答案】ACD 【详解】设截面与棱BD 的交点为P ，对于A 项，如图1，过棱AC 的截面为ACP △，易知当P 为棱BD 的中点时，,CP BD AP BD ⊥⊥,且AP CP ==，PC AP ⊂、平面APC ，故BD ⊥平面APC ，取AC 的中点E ，连接PE ，则PE AC ⊥，又PE ⊂平面APC ，PE BD ⊥，即PE是异面直线AC BD 、的公垂线，PE =，故此时ACP △的面积取得最小值，最小值为12S AC PE =⨯=A 正确；对于B 项，易知ABP CBP≅△△，故结合A 项，可设,AP CP t t a ⎫==∈⎪⎪⎣⎭，在A C P △中，由余弦定理222222222cos 1222AP CP AC t a a APC AP CP t t∠+--===-⋅，所以2241,3a a t t ⎛⎛⎤∈⇒∈ ⎥ ⎝⎦⎝⎦，即11cos 32APC ≤∠<，B 错误； 对于C 项，如图2，当截面EFNM 为平行四边形时，////EF NM AD ，////EM FN BC ， 由正四面体的性质可知AD BC ⊥，故EM MN ⊥，从而平行四边形EFNM 为长方形.设EM x =，则MN a x =-，所以长方形EFNM 的面积()24a S x a x =-≤，当且仅当2aEM x ==时，等号成立，C 正确；对于D 项，与该木块各个顶点的距离都相等的截面分为两类.第一类：平行于正四面体的一个面，且到顶点和到底面距离相等，这样的截面有4个. 第二类：平行于正四面体的两条对棱，且到两条棱距离相等，这样的截面有3个. 故与该木块各个顶点的距离都相等的截面共有7个，D 正确.故选：ACD 13．【答案】1 【详解】向量(),2AB x x =在向量()3,4AC =-上的投影向量为 3825AB AC AC x xAC AC AC ⋅-⋅=，则138525x x --=，解得1x =． 故答案为：1.14.答案 1【详解】()22(6)sin(3)[(3)9]sin(3)(3)3f x x x x x a x x x a =--++=---+-++，设3[3,3]x t -=∈-，则2(9)sin 3y t t t a =-+++，记2()(3)(9)sin g t y a t t t =-+=-+，因为2()(9)sin ()g t t t t g t -=---=-， 所以()g t 是在[3,3]-上的奇函数，最大值为(3)M a -+，最小值为(3)m a -+， 所以(3)(3)0M a m a -++-+=，又因为8M m +=，所以1a =，故答案为：1．15．【解析】欲使甲队获胜，则第六场甲胜，前五场甲获胜三场负两场， 故所求概率为 ． 16.【答案】【详解】记,,BC a AB c AC b ===，由已知2c a =，4:232221122323211211112111()()C ()()C C ()()322332223322P =⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯13119272736108=++=21sin sin 12ABC S ac B a B ===△，2222254cos 2cos 54cos sin B b a c ac B a a B B-=+-=-=， 令()54cos ,0,πsin B y B B -=∈，则22224sin 5cos 4cos 45cos sin sin B B B By B B-+-'==， 所以当4cos 0,5B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0'>y ，当4cos ,15B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0'<y ，设()4cos ,0,π5θθ=∈，则(),πB θ∈时，()54cos ,0,πsin B y B B-=∈单调递增， 当()0,B θ∈时，()54cos ,0,πsin By B B-=∈单调递减， 所以当,B θ=即43cos ,sin 55==B B 时，()54cos ,0,πsin B y B B-=∈，即AC 取得最小值， 此时215sin 3a B ==，a =.17.【小问1详解】由题意得2()cos cos f x x x a b x ⋅==11cos 2222x x =++π1sin 262x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==，令()ππ3π2π22π262k x k k +≤+≤+∈Z ，解得()π2πππ63k x k k +≤≤+∈Z ， 所以()f x 的单调递减区间为π2ππ,π()63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 【小问2详解】 由（1）知，π1()sin 2162f A A ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，则π1s i n 262A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由()0,πA ∈，得ππ13π2,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 则π5π266A +=，解得π3A =， 又由7π12A B +=，得π4B =，已知BC =， 则由正弦定理sin sin AC BCB A=，得sin sin BC B AC A ===18.【详解】（1）证明：设11(,)M x y ，则11(,)N x y --，∵(4,0)A ，(0,3)B ，∴114AM y k x =-+，114AN y k x =+，∵11(,)M x y 在椭圆上，∴22119(16)16y x =-∴22112211169916161616AM AN y x k k x x -⋅==⋅=---为定值． （2）设3:4l y x b =+，依题意：0k >，M 点在第一象限，∴33b -<<． 联立：22341169y x b x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：229128720x bx b ++-=，∴1243b x x +=-，212889x x b ⋅=-， 设A 到l 的距离为1d ，B 到l 的距离为2d ，∴1|124|44|3|(3)555b d b b +==⋅+=+，2|124|44|3|(3)555b d b b -+==⋅-=-，∴12245d d +=．又∵12||||MN x x -=0b =时取等号），∴121124||()225AMBNS MN d d =⋅+≤⋅=AMBN的面积的最大值为19.【详解】（1）因为三棱锥E BCD -有三个面是全等的等腰直角三角形，BCD △是等边三角形，所以BE DE CE ===111332E BCD CDE V S BE -⎛=⋅=⨯ ⎝△； 因为三棱锥A BCD -的棱长均为2，所以正三棱锥A BCD -个三棱锥，即311432A BCD V -⎛=-⨯⨯ ⎝ABCDE A BCD E BCD V V V --=+==（2）如图所示，以E 为坐标原点，EC ，ED ，EB 分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系E xyz -， 则()0,0,0E，(B，)C，F ⎭，(2,0,BC =，2,BF ⎛= ⎭，设平面EBC 的法向量为1n ，易得()10,1,0n =，设平面BCF 的法向量为()2,,n x y z =u u r，因为2200BC n BF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得00y z ⎧=⎪=，取1x =，可得()21,1,1n =-设二面角E BC F --的平面角大小为θ，由图易知，二面角E BC F --为钝角，则12121cos n n n n θ⋅=-=-=故二面角E BC F --的余弦值为20.【小问1详解】由2n n S na n k =++得()11211n n S n a n k --=-+-+，()2n ≥， 两式相减的()1211n n n a na n a -=+--，整理得()()1121n n n a n a --=-+， 当2n =时，得11a =，2145a a =+=，当3n ≥时，()()1111121221n n a a n n n n n n --⎛⎫-==-- ⎪------⎝⎭， 12112332n n a a n n n n --⎛⎫-=-- ⎪----⎝⎭，L ，3211212a a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，相加得2111112111223211n a a n n n n n -⎛⎫-=--+-++-=- ⎪----⎝⎭L ，所以43n a n =-，3n ≥， 当1n =，2时符合43n a n =-，所以43n a n =-，则()1222n n n a a S n n +==-，22432222n n na n k n n n k kS n n ++-++===-+，则02k =，即0k =.【小问2详解】由（1）得()()()2112211222121212121n S n n n n n n n n ==>=----+-+， 所以111111114135572121321n T S n n n ⎛⎫≥+-+-++-=- ⎪-++⎝⎭L ， 因为()1211222222n S n n n n<=---，2n ≥， 所以111111113132446222222n T S n n n ⎛⎫≤+-+-++-=-< ⎪-⎝⎭L ， 综上可得，4133212n T n -≤<+. 21.【小问1详解】证明：取EF 的中点M ，连接OM ，HM ，又O 为DE 的中点，所以OM DF ∥，又DF ⊂平面BDF ，OM ⊄平面BDF ，所以OM ∥平面BDF ，因为AB EF ∥，AB EF =，H ，M 分别为AB ，EF 的中点，所以BH FM ∥，且BHFM =，所以四边形BFMH 为平行四边形，所以HM BF ∥，又BF ⊂平面BDF ，HM ⊄平面BDF ，所以HM ∥平面BDF ，又OM ，HM ⊂平面OMH ，OM HM M ⋂=，所以平面OMH ∥平面BDF ，因为OH ⊂平面OMH ，所以OH ∥平面BDF ． 【小问2详解】由题意知CB ，CF ，CD 两两垂直，故以点C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系：设14圆柱底面半径为r ，高为h ，则(),0C ，(),0,0B r ，()0,,0F r ，()0,0,D h ，,,22r r G h ⎛⎫- ⎪⎝⎭，0,,2r O h ⎛⎫⎪⎝⎭，,0,2h H r ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以(),,0B F r r =-，()0,,DF r h =-，()0,,0CF r =，,,22r r CG h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,,22r h OH r ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．设平面BDF 的一个法向量(),,n x y z =r ，则0,0,n BF n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00rx ry ry hz -+=⎧⎨-=⎩令x h =，解得y h =，z r =，所以(),,n h h r =；设平面CFG 的一个法向量(),,m a b c =，则0,0,m CF m CG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0022rb r ra b hc =⎧⎪⎨-++=⎪⎩ 令2a h =，解得0b =，c r =，所以()2,0,m h r =，所以222cos ,52m n m n m nh ⋅====⋅ 化简，得22220r h -=，所以h r =，所以()2,0,m r r =，,,22r r OH r ⎛⎫=--⎪⎝⎭．设OH 与平面CFG 所成的角为θ，所以22sin cos ,6r OH m OH m OH mr θ-⋅====⋅⋅22.【小问1详解】当0a =时，()()()222ln 2ln 3x x x f x x x x x x x ---=⋅-+-+=⋅-+-ee e ，()211f =-e ，()()221ln 311x x f x x x x --⎛⎫'=-++-- ⎪⎝⎭e e ，则()211f '=-e ， 所以曲线()f x 在1x =处的切线方程为()22111y x ⎛⎫⎛⎫--=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭e e ，即21y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭e . 【小问2详解】不等式()0f x ≤可整理为2221ln 10x x x x x x a a---⎛⎫-+-+≤ ⎪⎝⎭e e e ，令()2e x xp x -=，()21ex xp x --'=，所以当()(),1,0x p x '∈-∞>，()p x 单调递增，当()()1,,0x p x '∈+∞<，()p x 单调递减，所以()()1e p x p ≤=，又2e x x ->，所以令(]21,e e x xt -=∈，则11ln 1a t t ≤--，令()(]()11,1,e ln 1x x x h x -∈-=，则()()()()()22221111ln 1ln 1x h x x x x x x x ⎡⎤'=-+=-+⎢⎥--⎢⎥⎣⎦，令()()()(]()221ln 1,e x s x x x x -=-∈，则()212ln 2ln 11x x x x s x x x x-+'=-+=， 令()(]()12ln ,1,e q x x x x x =-+∈，则()()(]()22212110,1,e x q x x x x x--'=--=<∈， 所以()q x 单调递减，()()10q x q <=，所以()0s x '<，()s x 单调递减，()()10s x s <=，所以()()(]()221ln 1,e x x x x-<∈，所以()()221ln 1xx x >-，()()()22110ln 1x h x x x x ⎡⎤'=-+<⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， 所以()h x 单调递减，()()111e e h x h ≥=--， 所以1e 11a ≤--.。
河南省南阳市高三上学期理数期中质量评估试卷【含答案】
，解得
，
由题知点 和点 的中点坐标为：
当直线
与函数
的交点在 轴上方，则
故
，所以
，
由
，即
，解得
或
，故
的解集是
即 化简得： 由①②联立得：
， ② ，
所以
即 解得： 当直线
与函数
的交点在 轴下方，则
（2）解：由（1）知
，
，故
所以
.
【解析】【分析】(1)由题意知，-1 和 3 是方程
后代入解不等式
的解集；
(2)根据作差法，结合对数的性质，证明
为函数
，若 D．7
的导数.则
D．8
A．0 12．已知函数
（）
B．2
C．2021
在
处取得极小值 ，若
D．2022 ，
使得
A．2 二、填空题
，且
，则
B．3
的最大值为（ ） C．4
D．6
13．若
，则
.
，则 ，
14．已知函数
，设
有两个零点，则实数
.
15．定义
表示不大于 的最大整数
，例如
，
恒成立的 的取值范围是
18．【答案】（1）解：
， 的两根，再由韦达定理，求出 a 和 b 的值，然 即可.
即 化简得： 由①③联立得：
， ③ ，
因为 得
是其一条对称轴，所以 ，即
， （经检验，符合题意）
所以
即
解得：
所以
或
故答案为：1 或 2.
【分析】 根据题意将条件转化为直线
与函数
（2）解：由
可得
，
又
，
河南省南阳一中2022学年高三数学秋期第一次周考 理
南阳市一中2022年秋期高三第一次周考数学（理科）试卷第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知全集U R =,集合X={|2－=0},Y={|2=0},则()u xc y 等于A ．∅B ．{0}C ．｛1｝D ．{－1,0,1}2．向量b n a m b a --==若),3,2(),2,1(与b a 2+共线（其中n m n R n m 则且)0,≠∈等于A ．21-B ．21C ．2D ．23．已知是等差数列的前项和，且63S =，1118S =，则a 9等于（ ）A ．3B ．5C ．8D ．154．在⊿ABC 中,三边a,b,c 所对的角分别为A,B,C,若a 2b 2=abc 2,则角C 为.450 C5．设(1)x y a =-与1()x y a =（且≠2）具有不同的单调性，则13(1)m a =-与31()N a=的大小关系是（ ）A ．MN D ．M ≤N6．不等式2210ax x -+<的解集非空的一个必要而不充分条件是（ ）A ．B ．C ．01a <<D ．7．若实数，满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥,1234,0,0y x y x 则132+++=x y x z 的取值范围是（ ）A ．]11,23[B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡11,23 C ．[3，11] D ．8．已知函数()cos ,(,3)2f x x x ππ=∈，若方程f =a 有三个不同的根，且三个根从小到大依次成等比数列，则a 得值可能是（ ）A ．B ．22C ．D ． —229．设函数f=－[]，其中[]为取整记号，如2]2.1[-=-，1]2.1[=，。
又函数3)(xx g -=，在区间（0，2）上零点的个数记为，与图像交点的个数记为，则⎰dxx g n m)(的值是（ ）A ．B ．C ．D ．10．实数满足θsin 1log 3+=x ，则|)9||1(|log 2-+-x x 的值为（ ）A．B ．3C ．4D ．与有关11．设O 为坐标原点，F 1、F 2是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=〉〉的焦点，若在双曲线上存在点1260,||F PF OP ∠=x=0y ±=0x=0y ±=1-x 12++x x x 12a b +7sin cos 13A A +==5sinA+4cosA，则15sinA-7cosA1112x +-222xy ax y ≤+[][]1,2,2,3x y ∈∈a B a B c C b cos 3cos cos =+2=•BC BA 22=b a 313ax 2a n a n S n S )(22+∈-N n n a n n a n b n b 2+n a n T }2{+n na b nT AOB (,)P x y (0,1)F 1y =-P LABCD 11(,)A x y 22(,)B x y 33(,)C x y 1230x x x <<≤L BC k ||l BC =l k ()l f k =ABCD S()1(0,)x f x e ax a e =--〉为自然对数的底数x R∈*121()()()()()1n n n n n n e n N n n n n e -++⋅⋅⋅++〈∈-其中，N 两点，求线段MN 长度的最大值。
河南省南阳市2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题及答案
2023年秋期高中三年级期中质量评估数学试题注意事项：1本试卷分第1卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效。
2答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上3选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚4请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．5保持卷面清洁，不折叠、不破损。
第1卷选择题（共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）］．下列集合中，表示空集的是A.{O}c.{xeN忙－1=0}2命题“3x。
ER'点＋X。
＋1,,0"的否定为A.\::/xER, x2+x+l>OC. V xE R, x2 +x+l,, 03．若复数z满足(l+z)i=2,则亡z= A.-2 B.2 B.{xlx<-2，主＞2}o.{xlx>4}B.3.x ER, x2+x+1>0 D．玉ER,x2+x+l<0C.-4iD.4i4公比不为1的等比数列{a,,｝满足a5a7+a凸＝16,若a2a3a9a,,,= 64,则m的值为A.8B.9C.10D.115若函数f(x)=4x-(a-1)2飞a2-5有两个零点，则实数a．的取值范围为A.(-1门B.(-1，.Js) 叶石，订 D (1+2气］6已知GE [0，王］（． ）Sina' y=c''' =s i n °0'"4 , x =(sinaY'"", y =(c o sa)""", z = (si n a)，则A.x<y<zB.x<z < yC.y<x<zD.z <x< y7已知a,b, c分别为6.ABC的三个内角A,B, C的对边，若点P在6.ABC的内部，且满足乙PAB ＝乙PBC ＝乙PCA=0,则称P 为6.ABC 的布洛卡(Brocard)点，0称为布洛卡角布洛卡角满足：PA PB PCcot0 = c otA + cotB + c ote（注：tanxcotx=1)则—+—-＋—-＝c a bA.2sin0B. 2cos0C.2tan0D.2cot08已知f(x) = a e x +�x 2 -ax 在(0,+oo ）上单调递减，则实数a．的取值范围为A.(--00,－1]B. (--00,-1)c.(O,+oo）D.[0,+oo）二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9如图是函数f(x) = sin (mx + rp ）的部分图象，则函数f(x )=yxA.si n(x +f )C.c os（三）B.sin（气－2x )D.c os（子－2x )10已知S,，是数列忆｝的前n项和，3S,，＝a,，＋2，则A.{a,,}是等比数列B.a 9+a.i o>OC.a 孔o a.11> 0D.S,, >01l 设x,yeR,若4x2+ y 2 +xy=l,则x+y 的值可能为A.-2B.-1C.ID.212设a;,r:O,若x=a 为函数f(x)= a (x-a/ (x-b)的极小值点，则下列关系可能成立的是A.a>O 且a>bC.a<O 且a<bB.a>O 且a<bD.a<O 且a>b第II 卷非选择题（共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13一个正实数的小数部分的2倍，整数部分和自身成等差数列，则这个正实数是＿＿＿14．四边形ABCD 中，AD=2,CD=3, BD 是四边形ABCD 的外接圆的直径，则AC-BD=15奇函数f(x)满足f(2+x)= J(l-x), /(-1)= 2023,则/(2023)=16互不相等且均不为1的正数a,b, c满足b是a,C的等比中项，则函数f(x) =a x +2b-·'+e x的最小值为四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17（本小题满分10分）设数列伈｝为等差数列其前n项和为S,,(neN.），数列｛丸｝为等比数列已知a1=b1=1,a5 = 3b2, S4 = 4S2(I)求数列忆｝和｛丸｝的通项公式；(2)求数列{a,,·b,,}的前n项和T”18（本小题满分12分）已知函数f(x)＝五sin皿coswx-sin汤x+½,其中w>O,若买数X1,X2满足V估）－f伈）1=2时，|凸一对的最小值为一(I)求0的值及．f'(x)的单调递减区间；(2)若不等式[f(x)J +2acos(2x＋勹－2a-2<0对任意XE(－工工12 6 ' )时恒成立，求实数a的取值范围．19（本小题满分12分）2S记S,，为数列伈｝的前n项和已知—�+n=2a,,+l(I)证明：忆｝是等差数列；(2)若QI'生，a7成等比数列，求数列{d,1:／1+1}的前2024项的和20（本小题满分12分）在L::;.ABC中，角A,B, C的对边分别为a,b, c,且满足＿＿＿（从以下两个条件中任选一个补充在上面横线上作为已知，将其序号写在答题卡的横线上并作答）条件CD,(b+c)(sinB+sinC) =a sinA+3bsinC条件＠：cos2（于小cosA=¾（l)求角A;(2)若L::;.ABC为锐角三角形，c=l.求L::;.ABC面积的取值范围21（本小题满分12分）已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a, aeR,曲线y=f(x)在卢、(xEf(x l))处的切线也是曲线y=g(x)的切线(I)若x l=1，求a;(2)求a的取值范围22（本小题满分12分）(I)已知函数f(x)=x l nx,判断函数g(x)= f(l+x)+ f(l-x)的单调性并证明．I.Il+－ l--(2)设n为大于1的整数，证明：（n＋1) "(n-l) n >n22023年秋期高中三年级期中质量评估一选择题：1-8.BADC CDBA二选择题：9.BC三填空题：4 8 13.－或－3 3 四解答题：JO.ABO14.-5数学参考答案II.BCl5.－2O2317解：（l）设等差数列忆｝的公差为d,等比数列｛丸｝的公比为q,由S4= 4S2可得4a,+6d = 4(2a1 +d),即6d+4=4(d+2)，解得d=2,所以，a,,=a1 +(n-l)d =1+2(n-1) =2n-l.3b2 = 3q = a5= 9, :. q = 3则b,.=b1q"一I=3•-I;(2)a;,b,,=(2n-1)· 3"-1,则T,,= 1-3° +3·31 +5-32 +···+(2n-1)·3"一1@，12.AC 16.4可得3兀＝1·31+3·32 +.. ·+(2n -3)·3n 一I +(2n-1)·3'危），6 l -3'1一l@－＠得：－2T,, = l + 2(31 + 32 +.. · + 3"一I)-(2n -1) · 3" = 1 + （）II1-3= (2-2n ) · 3" -2,因此，T,,=(n -1)·3" +ll8解：（l ）f(）✓3s i n(J)XCO S (J)X -s i n 2 1x l =.J 3s in(J)X C O S (J)x in (J)x +－2 石l -cos2(J)X.l =—sin2{JJX-＋－22 2石l =—sin2(J)x+-=-cos2(J)X2 2 =S i 中三）因为实数斗，X 2满足V 伈）－f 伈）1=2时，怀－对的最小值为：2冗所以f(x)的最小正周期T ＝冗＝—,解得cv=l,2Q-2n -l · 3',（）所以/(x)=sin （三）由2k 冗十%::,2x+¾::,2k 冗子(k eZ)得f (x)的单调递减区间为[k冗2冗冗＋一，k 冗＋—］(k e Z 6.3） (2)不等式[f(x)J +2acos(2气）－2a-2<0对任意XE(－启）时恒成立，[.f (x )J +2a cos （三）－2a -2= s in 2（三）＋2acos （三）－2a -2= -cos 2（三）＋2acos （三）－2a-l令I =CO S （三）气E (o :）c os （三）e (O,l )一t 2+2a t-2a -1<0,tE{0,1) t 2 + 12a(t -l)矿＋L 2a>—恒成立t -1t 2 +l m江2m+2 2令m=t -l E(-1,0)，一—=＝m+-=+2<-1 t -1m m:. 2a... -L 解得：a2':一一，12l故实数a 的取值范围是[-½,+oo)2S19解：（l)因为—'.!!..+n=2a 11+l,即2S,,+ n 2 = 2na11 + n(D,n当n2':2时，2S,,一1+(n-1/ =2(n-l)a,,一I +(n-1)@,＠－＠得，2S 11+1产2S 11一）－（n-1/ = 2na 11 + n-2(n-l)a,,一）－（n-1),即2a ,,+2n-l =2na 11 -2(n-l)a,'一i +L即2(n-l)a ,,-2(n-l)a ,,一）＝2(n-l)，所以a 11-a n -I = 1,,i 2': 2且n E N •,所以{a,,｝是以1为公差的等经数列(2)由（I)可得a 3=c� +2, � =a 1+6又a 1,a 3, a 1成等比数列，所以(a 1+2/ =a 1 ·(a 1 +6),解得a 1=2,所以a.=n +l1 1 1 1 ... -= � =—-．a ,,a ,,+1 (n+l)(n+2) n +l n+2 :．数列{a ,1:／1+1}的前2024项和为·且－i）＋（主计（曰）＋＋（幸声）千幸倡20解：解析：（l)选择条件＠：由题意及正弦定理知(b+c)=a 2+3bc,b 2 +c 2＿矿l:. a 2=b 2+c 2-bc, :. cosA =�=..'.:..·:O<A<冗，．·.A=色．32bc 2选择条件＠：因为cos2(f+ A )+cosA = ¾，所以sin 2A +cosA = ¾,5 45 1即l-cos 2A +co sA=－，解得cos A ＝一，又O<A ＜冗，42冗所以A=－3(2)由 b C—=—可得s i nB sinCb=气sm[！C+C )石l一cos C +�s i nC 1石）2 2 = --=-----= -＋—· sinC 2 2 tanC冗2因为t0:.ABC 是锐角三角形，由（l )知A =.:.:.,A+B+C ＝冗得到B+C ＝一冗，3 3O<C<.:.:..冗故｛卢－C 2＜工，解得产<C ＜亨所以½<b<232I,..✓3石"3Sil.ABC= ½bcs i n A＝了b 'Sil.ABC E(／＇了）21解：（I)巾题意知，f(l )=O,f'(x)=3x 2一l,f'（l )＝3-l =2,则y =f(x)在点(l,0)处的切线方程为y =2(x -l),y=2x-2设该切线与g(x)切千点化，g （凸）），g'(x)=2x,则g ＇（凸）＝2-Xz =2,解得x 2=1,则g(l )=l+a=2-2=0,解得a=-1;(2)因为f'(x)=3x 2-L 则y=f(x)在点(x I ,f （凸））处的切线方程为y-（式－x 1)= (3x� -l )(x-x,),整理得y =(3x 12－小－勾，设该切线与g (x)切千点化，g （凸）），g'(x)=2x,则g ＇（凸）＝勾～则切线方程为y-（斗＋a)=2凸(x 飞），整理得y =2x 2x －式＋a,则厂：：：：飞X+a，整理行a ＝x 户-2x f=（孚－订－2x f=：亡2x f －扫叶93 2,l令h(x)= �x 4-2x 3-�x +－，则h'(x)=9i 3-6x 2-3x = 3x(3x+l)(x -l ),4 2 4令h'(x)>0，解得－一<x<O 或x>1,3令h'(x)<0，解得x<-－或O<x<L3则x 变化时，h'(x),h(x)的变化悄况如下表：(－OO六）lX h'(x) 。
2019年河南省南阳市秋期高三期中数学(理)考试及答案
2019年河南省南阳市秋期高三期中数学(理)考试及答案2019年秋期高中三年级期中质量评估数学试题（理）参考答案一、选择题：1-5 CAADC 6-10 CABAD 11-12 CC12.解析：如图，由题知O 为垂心，所以C A OB -=∠π，C C cos ||||)cos(||||-=-=∙∴π同理，A OC OB OC OB cos ||||-=∙∴，B OA OC OA OC cos ||||-=∙∴，所以C cos ||||A cos ||||=B cos ||||=C B A cos :cos :cos ||:||:||=∴又A OC OB A OC OB S A sin ||||21)sin(||||21=-=π C B A C CB B A A S S SC B A tan :tan :tan cos sin :cos sin :cos sin ::===∴由奔驰定理得tan tan tan =⋅+⋅+⋅C B A 故选C二、填空：13. 2114. 3 15. 46 16. 6056三、解答题：17.解：（1）由题知⎩⎨⎧==+64204242a a a a ⎩⎨⎧==∴16442a a 或⎩⎨⎧==41642a a （舍）...............................3分 所以nn a q a 2,2,21=== ...............................5分（2）由（1）知n b n = ................................6分所以 nn n S 2232221321⋅++⋅+⋅+⋅==n S 2 13222)1(2221+⋅+⋅-++⋅+⋅n n n n=-∴n S 132122222+⋅-++++n n n 22)1(1-⋅--=+n n故n S 22)1(1+⋅-=+n n ................................10分18.解: (1)x x x f ωω2sin 2322cos 1)(+-=21)62sin(+-=πωx ................................4分 因为T=2π,所以222πωπ=(ω>0),所以ω=2, ................................6分即21)64sin()(+-=πx x f 于是由2k π-2π≤4x-6π≤2k π+2π(k ∈Z ),得f (x )的增区间为)](62,122[Z k k k ∈+-ππππ ................................8分(2)因为x ∈]3,0[π,所以]67,6[64πππ-∈-x ,]1,21[)64sin(-∈-∴πx所以f (x )∈]23,0[.故函数f (x )在区间]3,0[π上的值域为]23,0[.................................12分19.解：（1）sin cos 0a B A =2sin sin 2sin cos 0R A B R B A =则sin 0A A -= ………………………………3分tan A =3A π∴=……………………………..6分（2）法一：()()cos 945AB AC AB AC A AD DB AD DB ⋅==+⋅-=-=………8分510cos AB AC A∴== …………10分1=sin 22ABC S AB AC A ∴=△ ………12分 法二：在△ABC 中，由余弦定理得：1622=-+bc c b ............8分 又ADB c ∠-=cos 12132，ADC b ∠-=cos 12132,π=∠+∠ADC ADB ∴2622=+c b ，10=bc . ................................................................10分2353sin 21==∴∆πbc S ABC ................................................................12分20.解 (1)由3422+=+n n n S a a ,可知3421121+=++++n n n S a a两式相减可得221n n a a -++2(a n+1-a n )=4a n+1,即0)2)((11=--+++n n n n a a a a ....4分由于a n >0,可得a n+1-a n =2.又21a +2a 1=4a 1+3,解得a 1=1-(舍去),a 1=3. ....6分所以{a n }是首项为3,公差为2的等差数列,故{a n }的通项公式为a n =2n+1. .......7分 (2)由a n =2n+1可知)321121(21)32)(12(1+-+=++=n n n n b n ...................9分设数列{b n }的前n 项和为T n , 则T n =b 1+b 2+…+b n 96)]321121()7151()5131[(21+=+-+++-+-=n n n n . ....12分21.解：（1）xx e x ax e x a ax x f )2)(1(]2)12([)(2--=++-='由题知31,0)31()3(3=∴=--='a e a f ................3分 （2）①0=a 时，)(x f 在)2,(-∞单增，),2(+∞单减，符合题意； ................4分 ②0<a 时，)(x f 在)1,(a -∞单减，)2,1(a单增，),2(+∞单减，符合题意；...........6分 ③210<<a 时，21>a ，)(x f 在)2,(-∞单增，)1,2(a 单减，),1(+∞a单增，符合题意； ............8分④21=a 时，)(x f 在R 上单增，不符合题意； ................9分 ⑤21>a 时，)(x f 在)1,(a -∞单增，)2,1(a单减，),2(+∞单增，不符合题意；.........11分综上所述，实数a 的取值范围为)21,(-∞. ............................................12分22.解：（1）xxx x g +-=-+='1111)(，1->x 由0)(>'x g 得增区间为)0,1(-，由0)(<'x g 得减区间为),0(+∞. 故0)0()(max ==g x g ； ............................................... 3分 （2）由12)(+=x xx f 得121+=+n n n a a a ，两边取倒数后整理得)11(21111-=-+n n a a 又1111=-a ，故数列}11{-n a 是以1为首项，以21为公比的等比数列， ∴12111-=-n n a 故12111+=-n n a ...........................................6分（3） e a a a a n 21321> 等价于e n 2)211()211)(211)(211(1210<++++-即e n <+++-)211()211)(211(121 即证明：1)]211()211)(211ln[(121<+++-n即证：1)211ln()211ln()211ln(121<++++++-n .................................8分 由（1）知),0(+∞∈∀x ，x x <+)1ln(恒成立，令n x 21=得，n n 21)211ln(<+所以1211212121)211ln()211ln()211ln(112121<-=+++<++++++---n n n故ea a a a n 21321> 成立 .................................................12分。
河南省南阳市高三数学上学期期终质量评估 (理).doc
河南省南阳市秋期高中三年级期终质量评估数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卷面清洁，不折叠，不破损。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数512i ＋的共轭复数为A ．－53－103iB ．－53＋103i C ．1＋2iD ．1－2i2．设n S 是等差数列{n a }的前n 项和，S 5＝3（a 2＋a 8），则53a a 的值为 A ．56B ．13 C ．35 D ．163．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考察下列命题，其中真命题是A ．m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ⇒α⊥βB ．α∥β，m ⊥α，n ∥β⇒m ⊥nC ．α⊥β，m ⊥α，n ∥β⇒m ⊥nD ．α⊥β，α∩β＝m ，m ⊥n ⇒n ⊥β 4．已知命题p ：x ∃∈R ，使得a 2x ＋2x ＋1＜0成立，当p ⌝为假命题时，实数a 的取值范围是A ．[1，＋∞）B ．（－∞，1]C ．[0，1）D ．（－∞，1）5．设函数f （x ）＝sin （2x ＋3π），则下列结论正确的是 A ．f （x ）的图像关于直线x ＝3π对称B ．f （x ）的图像关于点（4π，0）对称C ．f （x ）的最小正周期为π，且在[0，6π]上为增函数D ．把f （x ）的图像向左平移12π个单位，得到一个偶函数的图像 6．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．2 B ．23C ．4D ．437．圆22x ＋22y ＝1与直线xsin θ＋y －1＝0（θ≠2π＋k π，k ∈Z ） 的位置关系是A ．相切B ．相离C ．相交D ．不能确定8．设函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f （x ）单调递减，若数列{n a }是等差数列，且a 3＜0，则f （a 1）＋f （a 2）＋f （a 3） ＋f （a 4）＋f （a 5）的值A ．恒为正数B ．恒为负数C ．恒为0D ．可正可负9．点M （a ，b ）在由不等式组0,0,2x x y ⎧⎪⎨⎪⎩≥y ≥＋≤确定的平面区域内，则点N （a ＋b ，a －b ）所在平面区域的面积是A ．1B ．2C ．4D ．810．已知P 是双曲线2221x a b2y －＝（a ＞0，b ＞0）上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且1PF ·2PF ＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为 A ．5 B ．6 C ．7 D ．811．已知球O 为棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 的截面面积为A．3π B ．3πC．6π D ．6π12．已知f （x ）＝ln （2x ＋1），g （x ）＝1()2x－m ，若1x ∀∈[0，3]，2x ∃∈[1，2]，使得f （x 1）＞g （x 2），则实数m 的取值范围是 A ．[14，＋∞） B ．（－∞，14] C ．[12，＋∞） D ．（－∞，－12]第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共把答案填在答题卡的相应位置．） 13．2)x x ⎰d ＝_______________．14．已知2sin θ＋cos θtan θ＝______________．15．若函数f （x ）＝2120,()0.x x x x ,⎧⎪⎨-,⎪⎩log ＞log ＜若f （a ）＞f （－a ），则实数a 的取值范围是__________．16．已知点G 是△ABC 的重心，AG ＝λAB ＋μAC （λ，μ∈R ），若∠A ＝1AB ·AC ＝－2，则｜AG ｜的最小值是_____________．三、解答题：（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．）17．（本小题满分10分）已知集合U ＝｛x ｜212(34)x x -log ＋＞－2且x ∈Z}，集合A ＝｛x ｜ax －1＝0｝，集合B ＝{x ｜2x －（a ＋3）x ＋2a ＋2＝0），若C U A ＝B ，求a 的值． 18．（本小题满分12分）已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b, c ，向量m ＝（1，1），n ＝（cosA ，1），且m ⊥n ． （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若b ＋c，求sin （B ＋6π）的值． 19．（本小题满分12分） 数列{n a }的前n 项和记为n S ，a 1＝t ，1n a ＋＝2n S ＋1（n ∈N ＋）． （Ⅰ）当t 为何值时，数列{n a }是等比数列；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若等差数列{n b }的前n 项和n T 有最大值，且3T ＝15，又 a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，求n T ．本小题满分12分）如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．（Ⅰ）证明PA∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角B－DE－C的余弦值；（Ⅲ）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF．证明你的结论．21．（本小题满分12分）如图，已知过点D（0，－2）作抛物线C1：2x＝2py（p＞0）的切线l，切点A在第二象限．（Ⅰ）求点A的纵坐标；（Ⅱ）若离心率为2的椭圆2221xa b2y＋＝（a＞b＞0）恰好经过点A，设直线l交椭圆的另一点为B，记直线l，OA，OB的斜率分别为k，k1，k2，若k1＋2k2＝4k，求椭圆方程．22．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝ax－lnx（a为常数）．（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）求函数f（x）在[1，＋∞）上的最值；（Ⅲ）试证明对任意的n∈N﹡都有1ln(1)nn＋＜1．参考答案一、选择题：CABDDB BACCDA二．填空题：13．2π- 14．2 15．()()÷∞⋃-,10,1 16．32 三、解答题：17．解:化简集合U :4log 2)43(log 21221=->+-x x ,即: 44302<+-<x x解得:30<<x ,又Z x ∈,故21或=x ∴U={1，2}．………3分（1）若Φ=A ,即:0=a ,则}2,1{}023|{2==+-=x x x B ,满足B A C U =,故0=a ．．．5分（2）若Φ≠A ,则:①当}1{=A 时:1=a ,则}2{}044|{2==+-=x x x B ,满足B A C U =,故1=a (7)分②当}2{=A 时:21=a ,则}23,2{}0327|{2==+-=x x x B ,不满足B A C U =,故 21≠a ……………9分综上: 0=a 或1=a ……………10分 18．解：（1）因为m ⊥ n ，所以m·n＝0即cosA ＋1－3sinA ＝0．…2分所以3sinA －cosA ＝1，即sin （A －π6）＝12． (4)有因为0＜A ＜π，所以－π6＜A －π6＜5π6，所以A －π6＝π6即A ＝π3． (6)（2）因为b ＋c ＝3a ，由正弦定理得sinB ＋sinC ＝3sinA ＝32．……8分因为B ＋C ＝2π3，所以sinB ＋sin （2π3－B ）＝32．化简得32sinB ＋32cosB ＝32，即sin （B ＋π6）＝32．………．．12分19 解：（I ）由121+=+n n S a ，可得121(2)n n a S n -=+≥，两式相减得)2(3,211≥==-++n a a a a a n n n n n 即，当2≥n 时，}{n a 是等比数列， ．．．．．．．4分 要使1≥n 时，}{n a 是等比数列，则只需31212=+=tt a a ，从而1=t ．…6分 （II ）设}{n b 的公差为d ，由153=T 得15321=++b b b ，于是52=b ， 故可设d b d b +=-=5,531，又9,3,1321===a a a ，由题意可得2)35()95)(15(+=+++-d d ，解得10,221-==d d ，…10分 ∵等差数列}{n b 的前n 项和n T 有最大值，∴10,0-=<d d ∴2520)10(2)1(15n n n n n T n -=-⨯-+=．………12分 （1）以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A （2，0，0），P （0，0，2），E （0，1，1），B （2，2，0） )0,2,2(),1,1,0(),2,0,2(==-=DB DE PA 设 1(,,)n x y z =是平面BDE 的一个法向量，则由 111001,(1,1,1).2200n DE y z y n x y n DB ⎧⋅=+=⎧⎪=-=-⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩得取得 ∵11220,,//.PA n PA n PA BDE PA BDE ⋅=-=∴⊥⊄∴，又平面平面 …………4分 （2）由（Ⅰ）知1(1,1,1)n =-是平面BDE 的一个法向量，又2(2,0,0)n DA ==是平面DEC 的一个法向量．设二面角B —DE —C 的平面角为θ， 由图可知12,n n θ=<> ∴121212cos cos ,||||3n n n n n n θ⋅=<>===⋅⨯ 故二面角B —DE —C 的余弦值为33………………8分（3）∵)1,1,0(),2,2,2(=-= ∴.,0220DE PB ⊥∴=-+=⋅假设棱PB 上存在点F ，使PB ⊥平面DEF ，设)10(<<=λλ， 则)22,2,2(),2,2,2(λλλλλλ-=+=-=PF DP DF PF ， 由0)22(244022=--+=⋅λλλλ得DF PF ，PB PF 31)1,0(31=∈=，此时λ即在棱PB 上存在点F ，31=PF PB ，使得PB ⊥平面DEF ………12分21．解：（Ⅰ）由22'12,,.4x x py y x y p===得从而有设切点),(00y x A ，且p x y 220=，由切线l 的斜率为p x k 0=，得l 的方程为p xx p x y 220-=，又点)2,0(-D 在l 上， 2220=∴p x，即点A 的纵坐标=0y 2．．．．．．．．．．4分（Ⅱ）由（Ⅰ） 得)2,2(p A -，切线斜率pk 2-=，设),(11y x B ，切线方程为2-=kx y ，由23=e ，得224b a =，所以椭圆方程为142222=+b y b x ，且过)2,2(p A -，42+=∴p b ……6分 由041616)41(442222222=-+-+⇒⎩⎨⎧=+-=b kx x k b y x kx y ， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+∴2210210414164116k b x x k k x x ， ．．．．．．．．8分1001101001101001110021423)2(2)2(222x x x x k x x kx x kx x x x y x y x x y x y k k +-=-+-=+=+=+k bk p k k k b p k kk x x x x x k 4416)41(4323414164413232)(232222210001=-+--=+--+-=++-= (10)将pk 2-=，42+=p b 代入得：32=p ，所以144,3622==a b ，椭圆方程为13614422=+y x ．………．12分 22．解（1）当1a =时，函数()f x =ln x x-，(0,)x ∈+∞∵1'()1f x x=-，令'()0f x =得1x = ∵当(0,1)x ∈时，'()0f x < ∴函数()f x 在(0,1)上为减函数 ∵当(1,)x ∈+∞时'()0f x > ∴函数()f x 在(1,)+∞上为增函数∴当1x =时，函数()f x 有最小值，()(1)1f x f ==最小值 --------3分 （2）∵1'()f x a x=-若0a ≤，则对任意的[1,)x ∈+∞都有'()0f x <，∴函数()f x 在[1,)+∞上为减函数 ∴函数()f x 在[1,)+∞上有最大值，没有最小值，()(1)f x f a ==最大值； --------4分若0a >，令'()0f x =得1x a= 当01a <<时，11a >，当1(1,)x a ∈时'()0f x <，函数()f x 在1(1,)a上为减函数当1(,)x a ∈+∞时'()0f x > ∴函数()f x 在1(,)a +∞上为增函数∴当1x a =时，函数()f x 有最小值，11()()1ln f x f a a==-最小值 ------6分当1a ≥时，11a≤在[1,)+∞恒有'()0f x ≥∴函数()f x 在[1,)+∞上为增函数，函数()f x 在[1,)+∞有最小值，()(1)f x f a ==最小值． ---------7分综上得：当0a ≤时，函数()f x 在[1,)+∞上有最大值，()f x a =最大值，没有最小值； 当01a <<时，函数()f x 有最小值，1()1lnf x a=-最小值，没有最大值； 当1a ≥时，函数()f x 在[1,)+∞有最小值，()f x a =最小值，没有最大值．---8分（3）由（1）知函数()f x =ln x x -在(0,)+∞上有最小值1即对任意的(0,)x ∈+∞都有ln 1x x -≥，即1ln x x -≥， ---------10分 当且仅当1x =时“＝”成立∵n N *∈ ∴10n n +>且11n n+≠ ∴11111ln ln n n n n n n n +++->⇔>111ln(1)1ln(1)n n n n⇔>+⇔>+∴对任意的n N *∈都有1ln(1)1n n+<． ……12分。
河南省南阳市数学高三上学期理数期中考试试卷
河南省南阳市数学高三上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分）已知全集则=（）A . {2}B . {3}C . {2,3,4}D . {0,l,2,3,4}2. （1分）(2019·浙江模拟) 已知平面，直线，若，，，则“ ”是“ 中至少有一条与垂直”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （1分） (2019高一下·南宁期末) 在直角三角形中，，，点在斜边的中线上，则的最大值为（）A .B .C .D .4. （1分）以Sn表示等差数列{an}的前n项和，若a2+a7﹣a5=6，则S7=（）A . 42B . 28C . 21D . 145. （1分）已知函数f(x)=x,g(x)为偶函数，且当时，g(x)=x2-2x．记．给出下列关于函数F(x)=max{f(x),g(x)}(x)的说法：①当时，F(x)=x2-2x；②函数为奇函数；③函数F(x)在[-1,1]上为增函数；④函数F(x)的最小值为-1，无最大值．其中正确的是（）A . ①②④B . ①③④C . ①③D . ②④6. （1分）(2016·陕西模拟) 若f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，∀x1 ，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，则（）A . f（3）＜f（1）＜f（﹣2）B . f（1）＜f（﹣1）＜f（3）C . f（﹣2）＜f（1）＜f（3）D . f（3）＜f（﹣2）＜f（1）7. （1分）函数y=cos22x﹣sin22x是（）A . 最小正周期为π的奇函数B . 最小正周期为π的偶函数C . 最小正周期为的奇函数D . 最小正周期为的偶函数8. （1分）(2012·全国卷理) 已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）A . ﹣2或2B . ﹣9或3C . ﹣1或1D . ﹣3或19. （1分） (2019高三上·西湖期中) 若，，，则的大小关系为（）A .B .C .D .10. （1分） (2018高一上·长安期末) 已知函数的值域为，那么实数的取值范围是（）A .B .C .D .11. （1分） (2016高一下·望都期中) 在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若bsinA﹣acosB=0，且b2=ac，则的值为（）A .B .C . 2D . 412. （1分） (2019高三上·安顺月考) 定义在上的函数的图象是连续不断的曲线，且，当时，恒成立，则下列判断一定正确的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高三下·成都期中) 若x，y满足则z=x+2y的最大值为________．14. （1分）(2018·南京模拟) 在平面直角坐标系中，若直线上存在一点，圆上存在一点，满足，则实数的最小值为________．15. （1分） (2017高二下·淄川期中) 若f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值，则a的取值范围是________．16. （1分） (2016高三上·浦东期中) 已知logab=﹣1，则a+4b的最小值为________三、解答题 (共6题；共10分)17. （2分）已知命题p：方程﹣=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（1，2）．若命题p、q有且只有一个为真，求m的取值范围．18. （2分） (2016高二上·临沂期中) 数列{an}满足an+1+an=4n﹣3（n∈N*）（Ⅰ）若{an}是等差数列，求其通项公式；（Ⅱ）若{an}满足a1=2，Sn为{an}的前n项和，求S2n+1 ．19. （1分）(2017·凉山模拟) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，cos2C+2 cosC+2=0．（1）求角C的大小；（2）若△ABC的面积为 sinAsinB，求c的值．20. （2分） (2017高二下·深圳月考) 已知函数，其中．（Ⅰ）求函数的零点；（Ⅱ）讨论在区间上的单调性；（Ⅲ）在区间上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．21. （2分） (2019高一上·九台月考) 已知二次函数满足条件和．（1）求的解析式；（2）求在区间上的取值范围．22. （1分）(2017·河南模拟) 已知函数f（x）=lnx﹣a（a∈R）与函数有公共切线．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）若不等式xf（x）+e＞2﹣a对于x＞0的一切值恒成立，求a的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共10分) 17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、第11 页共11 页。
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南阳一中2008年秋期期中考试高三数学试题（理科）考试日期：11月13日 注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
2、将第Ⅰ卷每小题答案涂在答题卡上，考试结束时，只交答题卡和答题卷。
第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（每小题5分，共60分）1、b a ,为非零实数，若b a <，则下列不等式中成立的是 A.22b a < B.b a ab 22< C.ba ab 2211< D.b a a b < 2、︒+︒15cot 15tan 等于A.2B.32+C.4D.3343、不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集为A.}11|{-≠<x x x 且B.}10|{<≤x xC.}10|{-≠<x x x 且D.}11|{<<-x x 4、函数)2cos(3)2sin()(ϕϕ+++=x x x f 为奇函数，则 A.62ππϕ+=k B.6ππϕ-=k C.32ππϕ-=k D.3ππϕ-=k5、函数)0,[(cos 3sin )(π-∈-=x x x x f 的单调递增区间为A.]65,[ππ-- B.]0,6[π-C.]6,65[ππ--D. ]0,3[π- 6、△ABC 中，C b a cos 2=，则该三角形的形状为A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形 7、设向量⋅⋅满足2||,1||,==⊥=++且，则2||等于 A.1 B.2 C.4 D.58、O 为△ABC 所在平面内一点，⋅=⋅=⋅，则O 为△ABC 的 A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 9、不等式)21,0(0log 2∈<-x a x x在时恒成立，则a 的取值范围为A.241161<<a B.16141<<a C.1161<≤a D.1610≤<a 10、32cos cos ,32sin sin =--=-y x y x ，已知x 、y 为锐角，则)tan(y x -的值为A.5142 B. 5142- C. 5142± D. 28145±11、△ABC 中，D 为AB 边上一点，若C λ+==31,2，则λ的值为 A.32 B.31 C.31- D.32- 12、若非零向量,满足||||=+，则A.|2||2|+>B.|2||2|+<C.|2||2|+>D.|2||2|+<第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（每小题5分，共20分） 13、函数)0(sin 2)(>=ωωx x f 在区间]4,3[ππ-上的最小值为－2，则ω的最小值等于 。
14、21,,22≤+≤∈∈y x R y R x ，已知22y xy x ++=Z ，则Z 的取值范围是 。
15、△ABC 中，O 为BC 中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同两点M 、N ，若n m ==,，则=+n m16、已知20<<x ，则xx -+2246的最小值为 三、解答题17、（10分）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为c b a ,,，且C A b B a 53co s c os =-⑴求B A cot tan ； ⑵求)tan(B A -的最大值 18、（12分）已知1,0,0=+>>b a b a⑴求)11)(11(ba ++的最小值； ⑵求1212+++b a 的最大值 19、（12分）已知向量b a 3+垂直于向量b a 57-，向量b a 4-垂直于向量b a 27-，求向量,的夹角；20、（12分）O 为直角坐标系原点，)0)(sin ,(cos ),2,0(),0,2(πααα<<C B A⑴若7||=+OC OA ，求OC OB 与的夹角； ⑵若⊥，求αtan 的值 21、（12分）设函数)1ln()(2++=x b x x f⑴21>b 时，判定)(x f 的单调性；⑵求证对任意的正整数n ，不等式3211)11ln(nn n ->+都成立 22、（12分）数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知)2(2,2111≥-==-n S S a a n n n⑴求n n a S 和；⑵设22221nn S S S T +⋅⋅⋅++=试讨论21和n T 的大小关系并证明南阳一中2008年秋期期中考试高三数学（理科）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1——5、C C A D B 6——10、A D C C B 11——12、A C 二、填空题（每小题5分，共20分） 13、23 14、]3,21[ 15、2 16、27 三、解答题17、解：⑴由C A b B a 53cos cos =-及正弦定理 )sin(53sin 53cos sin cos sin B A C A B B A +==-B A B A A B B A sin cos 53cos sin 53cos sin cos sin +=-∴B A B A sin cos 58cos sin 52=∴ 4c o t t a n =∴B A ⑵B A B A B A tan tan 1tan tan )tan(+-=- 令4tan ,4cot ,tan xB x B x A ===434234343414)t a n (2=≤+=+=⋅+-=-∴x xx x x x x x B A （当24==x x x 即时取等号）18、解：⑴abab ab b a ab b a b a 21111111)11)(11(+=+++=+++=++212=+≤b a ab 410≤<∴ab 981)11)(11(=+≥++∴b a⑵)32(42232222)12(22+=+⋅≤⋅+⋅a a a)32(422)12(22+≤⋅+b b 22)622(42)2)12(2)12((22=++≤+++∴b a b a 221212≤+++∴b a （当且仅当21==b a 时取等号） 19、)27()4(0)57()3(=-⋅-=-⋅+ 即83070151672222=+⋅-=-⋅+b b a a b b a a⋅====∴2||||||||222且即 21||||21||||c o s 22==⋅=∴a a b a θ︒≤≤︒1800θ︒=∴60θ20、⑴7||=+OC OA 7sin )cos 2(22=++∴αα 21c o s=∴α 而πα<<0 33ππα=∠=∴A O C 即又2π=∠AOB ⋅∴夹角为6π ⑵)2sin ,(cos ),sin ,2(cos -=-=αααα 0=⋅BC AC0)2(s i n s i n )2(c o s c o s =-+-∴αααα21sin cos =+∴αα ① 41)s i n (c o s 2=+∴αα043s i n c o s 2<-=αα 而0sin >α 0c o s<∴α 0s i n c o s <-αα ∴由47sin cos 21)sin (cos 2=-=-αααα 得27s i n c o s -=-αα ② 由①②： 471sin 471cos +=-=αα 374t a n +-=∴α 21、解：⑴由已知),1(+∞-∈x 12212)(21+++=++=x b x x x b x x f 设b x x x g ++=22)(2 其对称轴为),1(21+∞-∈-=x b g x g +=-=∴21)21()(min当021min )(21>+-=>b x ，g b 时)(x g ∴在),1(+∞-上恒有0)(>x g 0)('>∴x f 21>b 时，)(x f 在),1(+∞-单增 ⑵1-=b 时，)1ln()(2+-=x x x f令)1ln()()(233++-=-=x x x x f x x h则1)1(31123)('232+-+=++-=x x x x x x x h ∴当),0[+∞∈x 时， 0)('>x h)(x h ∴在),0(+∞上单调递增)0()(h x h >∴ 即 0)1ln(23>++-x x x∴令),0(1+∞∈=n x 可得 3211)11ln(nn n ->+ 22、解：⑴2≥n 时，1--=n n n S S a 112---=-∴n n n n S S S S显然01≠-n n S S 2111=-∴-n n S S 而2111==a S 211=∴S n n S S n 22)1(111=∈-+=∴n S n 21=∴ )1(21--=n n a n =∴n a)1(2121--n n)2()1(≥=n n⑵222)21()41()21(nT n +⋅⋅⋅++= ]131211[41222n+⋅⋅⋅+++=])1(14313212111[41nn -+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+≤)]111()3121()211(1[41n n --+⋅⋅⋅+-+-+=214121〈n -= .。