2017-2018学年高中数学苏教版选修4-2：章末小结

合集下载

(苏教版)2017-2018学年高中2.4逆变换与逆矩阵2.4.1逆矩阵的概念课件选修4-2(数学)

2 A＝ 0
1 0 ， B ＝ 0 5
3 ，求矩阵 AB 的逆矩阵． 1
x －3
13 ＝得－1 y 5 13 3 －1×13＋3×5 2 ＝＝，－1×13＋2×5 －3
2

5
x＝2，故 y＝－3，
即 A(2，－3)为所求．
2 －1 ，求矩阵 A B. 6
0 a b c d ＝ 2
解：设矩阵 A
1 0
a 的逆矩阵为 c
－a －b 1 0 0 ，即＝ 1 2c 2d 0 1 1 故 a＝－1，b＝0，c＝0，d＝2，从而 A 的逆矩阵为 A－1 －1 0 ＝ 1 ， 0 2 －1 0 1 2 －1 －1 －2 所以 A B＝＝ . 1 3 0 2 0 6 0
(2)矩阵 B 为旋转变换矩阵，它对应的几何变换为将平面内的点绕原点顺时针旋转 90° .它存在逆变换 TB－1：将平面内的点绕原点逆时针旋转 90° ，所对应的变换矩阵为 B
－1
0 ＝ 1
－1 . 0
从几何角度考虑矩阵对应的变换是否存在逆变换，就是观察在变换下是否能“走过去又能走回来”，即对应的变换是一一映射．关键是熟练掌握反射变换、伸缩变换、旋转变换、切变变换等常用变换对应的矩阵，根据矩阵对应的几何变换找出其逆变换，再写出逆变换对应的矩阵，即为所求逆矩阵．
b d － ad － bc ad － bc －c a ad－bc －1 ad － bc 可逆，且A ＝__________________.
b ，若ad－bc≠0，则A必 d

2017-2018学年高中数学苏教版选修2-3教学案：第1章章末小结知识整合与阶段检测缺答案

［对应学生用书P24］一、两个计数原理的应用1．分类计数原理首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下分类；其次,完成这件事的任何一种方法必须属于某一类．分别属于不同类的两种方法是不同的方法．2．分步计数原理首先根据问题的特点确定一个分步的标准．其次分步时要注意,完成一件事必须并且只有连续完成这n个步骤后，这件事才算完成．二、排列与组合概念及公式1．定义从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素,若按照一定的顺序排成一列，则叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；若合成一组，则叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．即排列和顺序有关，组合与顺序无关．2．排列数公式（1)A错误!＝n(n－1）(n－2）…（n－m＋1），规定A错误!＝1。

当m＝n时，A错误!＝n（n－1)（n－2）·…·3·2·1。

（2)A错误!＝错误!，其中A错误!＝n！，0！＝1.三、排列与组合的应用1．在求解排列与组合应用问题时,应注意：(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题;(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；（3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏;（4）列出式子计算并作答．2．处理排列组合的综合性问题,一般思想方法是先选元素(组合)，后排列．按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”，始终是处理排列组合问题的基本方法和原理，通过解题训练注意积累分类和分步的基本技能．3．解排列组合应用题时，常见的解题策略有以下几种：(1)特殊元素优先安排的策略；(2）合理分类和准确分步的策略；(3)排列、组合混合问题先选后排的策略；(4）正难则反、等价转化的策略；(5)相邻问题捆绑处理的策略；（6)不相邻问题插空处理的策略；（7）定序问题除法处理的策略；(8）分排问题直排处理的策略;(9）“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；（10)构造模型的策略．四、二项式定理及二项式系数的性质1．二项式定理公式（a＋b）n＝C错误!a n＋C错误!a n－1b＋…＋C错误!a n－r b r＋…＋C错误!b n，其中各项的系数C错误!（r＝0，1，2,…，n)称为二项式系数，第r＋1项C r，n a n－r b r称为通项．［说明］(1)二项式系数与项的系数是不同的概念，前者只与项数有关,而后者还与a,b的取值有关．（2)运用通项求展开式的特定值(或特定项的系数)，通常先由题意列方程求出r，再求所需的项（或项的系数)．2．二项式系数的性质(1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,体现了组合数性质C错误!＝C错误!.（2)增减性与最大值：当r<错误!时，二项式系数C错误!逐渐增大；当r>错误!时，二项式系数C错误!逐渐减小．当n是偶数时，展开式中间一项T错误!＋1的二项式系数C错误!n 最大；当n是奇数时,展开式中间两项T错误!与T错误!＋1的二项式系数C错误!n,C错误!n相等且最大．(3)各项的二项式系数之和等于2n，即C0n＋C错误!＋C错误!＋…＋C n，n＝2n;奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＝C错误!＋C错误!＋C错误!＋….［说明] 与二项展开式各项系数的和或差有关的问题，一般采用赋值法求解．错误!(时间120分钟，满分160分）一、填空题(本大题共14个小题,每小题5分,共70分,把正确答案填在题中横线上)1．从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次班会，则不同的选法种数为________．解析：由题意可得不同的选法为C17＝7种．答案：72．(湖南高考改编）错误!5的展开式中x2y3的系数是________．解析:由二项展开式的通项可得，第四项T4＝C错误!错误!2(－2y)3＝－20x2y3，故x2y3的系数为－20.答案：－203．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛,共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是________．解析：设男学生有x人，则女学生有(8－x)人，则C错误!C错误!A错误!＝90，即x(x－1)(8－x）＝30＝2×3×5，所以x＝3，8－x＝5。

2017_2018学年高中数学2.4逆变换与逆矩阵2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组课件苏教版选修4_2

ax＋by＝m 2．方程组写成矩阵形式为 AZ＝B，其中 A＝ cx＋dy＝n a b x m c d ，称为系数矩阵， Z ＝， B ＝，当 ________ A 可逆时，方 _______ y n
∴3x2－54≠0. ∴ x≠ ± 3 2. 故 x 的取值范围是{x|x∈R 且 x≠± 3 2}.
二元一次方程组的行列式解法及矩阵解法
[ 例 3]
3x－2y＝1，－x＋4y＝3.
分别利用行列式及逆矩阵解二元一次方程组
[思路点拨]
Dx Dy 求出相应行列式的值，利用 x＝ D ，y＝ D 求
0 . 1
－1 解：(1)二阶行列式 1
1 ＝－1－1＝－2≠0，所以矩阵 1
1 －2 可逆，逆矩阵为 1 2
1 2 . 1 2
1 (2)二阶行列式 0 a (3)二阶行列式 0
1 a ＝ 1 ≠ 0 ，所以矩阵可逆，逆矩阵为 1 0
a b b 与它的行列式 det( A ) ＝ c d 的意义是 d
不同的．矩阵 A 不是一个数，而是 4 个数按顺序排列成的一个数表，行列式 det(A)是由矩阵 A 算出来的一个数，不同的矩阵可以有相同的行列式的值．
a (2) c
b ＝ad－bc，它是位于两条对角线上的元素的乘积 d
ax＋by＝0 4．对于方程组 cx＋dy＝0
，令
a D＝ c
b ，当 D＝0 时， d
非零解．此方程组有_______
5．二阶矩阵＝
a A＝ c
b －1 det( A ) ≠ 0 可逆的充要条件是 __________ 且 A d

2017_2018学年高中数学全一册教学案(打包15套)苏教版选修4_2

2．1.1 矩阵的概念[对应学生用书P1]1．矩阵在数学中，把形如⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3m 3 －24，⎣⎢⎡⎦⎥⎤80 9065 85这样的矩形数字(或字母)阵列称作矩阵，一般地，我们用大写黑体拉丁字母A ，B ，…或者(a ij )来表示矩阵，其中i ，j 分别表示元素所在的行和列．同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母)叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数(或字母)叫做矩阵的列，组成矩阵的每一个数(或字母)称为矩阵的元素，所有元素都为0的矩阵称为零矩阵，记为0.2．行矩阵，列矩阵一般地，我们把像[a 11 a 12]这样只有一行的矩阵称为行矩阵，而把像⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11a 21这样只有一列的矩阵称为列矩阵，并用希腊字母α，β，…来表示．平面上向量α＝(x ，y )的坐标和平面上的点P (x ，y )都可以看做是行矩阵[x ，y ]，也可以看做是列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .因此，我们又称[x y ]为行向量，称⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 为列向量，在本书中，我们把平面向量(x ，y )的坐标写成⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 的形式．3．矩阵相等对于两个矩阵A ，B ，只有当A ，B 的行数与列数分别相等，并且对应位置的元素也分别相等时，A 和B 才相等，此时记作A ＝B .[对应学生用书P1][例1] 画出矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 43 1 －11所表示的三角形，并求该三角形的面积．[思路点拨] 写出平面图形顶点的坐标即可．[精解详析]矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 4 3 1 －11所表示的三角形的三个顶点分别为(－1,1)，(4，－1)，(3,1)．所求三角形的面积为4.1．矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 43 1 －11可以表示点A (－1,1)，B (4，－1)，C (3,1)或由它们构成的三角形；2．表示同一个三角形的矩阵不唯一，如本例三角形，可用矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 4 －1 3 1等表示；3．空间图形也可以用矩阵表示，不过需注意空间中点的坐标是由3个实数构成的有序数组．1．在平面直角坐标系内，分别画出矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－2所表示的以坐标原点为起点的向量．解：矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－2所表示的以坐标原点为起点的向量对应的坐标分别为(1,2)，(－1,2)，(1，－2)，(0，－2)．按要求画出相应向量即可．2．已知A (0,0)，B (2,3)，C (6,3)，D (4,0)，写出表示四边形ABCD 的一个矩阵．解：表示四边形ABCD 的矩阵可以为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2 6 40 3 3 0或⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 02 36 34 0等．[例2] 已知甲、乙、丙三人中，甲与乙相识，甲与丙不相识，乙与丙相识．用0表示两人之间不相识，用1表示两人之间相识，请用一个矩阵表示他们之间的相识关系(规定每个人和自己相识)．[思路点拨] 先列出一个表格表示他们之间的相识关系，然后利用表格再用矩阵表示即可．[精解详析] 将他们之间的相识关系列表如下：故用矩阵表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1 01 1 10 1 1.用矩阵表示实际问题时，要注意元素的次序，矩阵中元素的次序不一样，表示的实际问题可能就不一样．3．某物流公司负责从两个矿区向三个企业配送煤：从甲矿区向企业A ，B ，C 送的煤分别是100万吨、200万吨、150万吨；从乙矿区向企业A ，B ，C 送的煤分别是150万吨、150万吨、300万吨．试用矩阵表示上述数据关系．解：列表如下(单位：万吨)：记M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 200 150150 150 300，则矩阵M 就是上述数据关系的一个表示．4．两类药片有效成分如下表所示：试用矩阵表示A 、B 两种药品每片中三种成分所含的质量．解：表示A 、B 两种药品成分的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 5 11 7 6.[例3] 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a c －d c ＋d b ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2b ＋2 d －76－c 2a －4，若A ＝B ，试求a ，b ，c ，d 的值．[思路点拨] 我们说两个矩阵是相等的，是指两个矩阵的行数和列数相同，并且相应位置的元素也分别相等，本题考查对矩阵相等定义的理解．[精解详析]因为A ＝B ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a c －d c ＋d b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2b ＋2 d －76－c 2a －4，由矩阵相等的意义可知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＋2，c －d ＝d －7，c ＋d ＝6－c ，b ＝2a －4，由此解得a ＝2，b ＝0，c ＝1，d ＝4.两个同行同列的矩阵，只要有一个对应位置上的元素不一样，这两个矩阵就不相等，如⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 423≠⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 42 －3两个不同行(或者不同列)的矩阵一定是不相等的，如以零矩阵为例：[0,0]和⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 000，尽管两个矩阵的元素均为0，但两者不相等．这好比，现在有甲、乙两支球队进行足球比赛，前一个零矩阵可表示他们之间进行了一场比赛，比赛结果为0∶0，而后者可表示他们之间进行了两场比赛，两场比赛的结果均为0∶0.5．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋y 0 0 －2－y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 00 x －2y ，若A ＝B ，求x 与y 的值．解：∵A ＝B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝x ，－2－y ＝x －2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.6．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 54，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋n 3x －y x ＋y m －n ，且A ＝B ，求x ，y ，m ，n 的值．解：由矩阵相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝x ，3x －y ＝y ，x ＋y ＝5，m －n ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，m ＝3，n ＝－1.[对应学生用书P3]1．设A 为二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22，且规定元素a ij ＝i ＋j (i ＝1,2，j ＝1,2)，试求A .解：由题意可知a 11＝2，a 12＝3，a 21＝3，a 22＝4，∴A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 334.2．矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1 31 3 1表示平面中三角形ABC 的顶点坐标，问三角形是什么三角形？解：由A (1,1)，B (1,3)，C (3,1)，画图可得△ABC 是等腰直角三角形．3．已知二元一次方程组的系数矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －23 1，方程组右边的常数项矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，试写出该方程组．解：⎩⎪⎨⎪⎧4x －2y ＝3，3x ＋y ＝2.4．营养配餐中心为学生准备了各种菜肴，每份中能量、脂肪、蛋白质的含量各不相同．“红烧肉”中所含上述三种营养成分分别为649千卡(1千卡＝4 187 焦耳)、30 g 、10 g ；“青椒肉丝”中所含上述三种营养成分分别为258千卡、20 g 、19 g ；“韭菜豆芽”中所含上述三种营养成分分别为131千卡、15 g 、3 g ，试将上述结果用矩阵表示出来．解：每千克各种菜肴中各种营养成分的含量如下表：所以可用矩阵M 表示为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤649 30 10258 20 19131 15 3.5．已知平面上正方形ABCD (顺时针)的四个顶点可以用矩阵表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 a 0 b 0 c 4 d ，求a ，b ，c ，d 的值及正方形ABCD 的面积．解：由题意知正方形ABCD 的四个顶点的坐标依次为A (0,0)、B (a ，c )、C (0,4)、D (b ，d )，从而可求得a ＝－2，b ＝2，c ＝d ＝2.∴|AB |＝22，正方形ABCD 的面积为8.6．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x7－1 y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤y －1 m ＋n m －n 2，若A ＝B ，试求x ，y ，m ，n 的值．解：由于A ＝B ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y －1，y ＝2和⎩⎪⎨⎪⎧7＝m ＋n ，－1＝m －n ，解得x ＝1，y ＝2，m ＝3，n ＝4.7．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 cos α＋sin αcos β－sin β －1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 22 －1，若A ＝B ，求α、β.解：由矩阵相等的充要条件得⎩⎨⎧cos α＋sin α＝2，cos β－sin β＝ 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋π4 ＝1，cos β＋π4＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧α＝π4＋2k π k ∈Z ，β＝－π4＋2k π k ∈Z .8．设M 是一个3³3的矩阵，且规定其元素a ij ＝2i ＋j ，i ＝1，2,3，j ＝1,2,3，试求M .解：由题意可知，a 11＝3，a 12＝4，a 13＝5，a 21＝5，a 22＝6，a 23＝7，a 31＝7，a 32＝8，a 33＝9.故矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 4 55 6 77 8 9.2．1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法1．二阶矩阵与平面列向量的乘法规则(1)行矩阵[]a 11 a 12与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21的乘法规则：[]a 11 a 12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[]a 11³b 11＋a 12³b 21；(2)二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22与列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0的乘法规则：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11³x 0＋a 12³y 0a 21³x 0＋a 22³y 0.一般地，前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算． 2．二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义(1)一个列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 左乘一个2³2矩阵M 后得到一个新的列向量，如果列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 表示一个点P (x ，y )，那么列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 左乘矩阵M 后的列向量就对应平面上的一个新的点．(2)对于平面上的任意一个点(向量)(x ，y )，若按照对应法则T ，总能对应唯一的一个点(向量)(x ′，y ′)，则称T 为一个变换，简记为：T ：(x ，y )→(x ′，y ′)或T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′.(3)一般地，对于平面向量变换T ，如果变换规则为T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋by cx ＋dy ，那么根据二阶矩阵与平面列向量的乘法规则可以改写为T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 的矩阵形式，反之亦然(a 、b 、c 、d ∈R )．(4)由矩阵M 确定的变换，通常记为T M ，根据变换的定义，它是平面内点集到自身的一个映射，平面内的一个图形它在T M 的作用下得到一个新的图形．[对应学生用书P4][例1] 设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －1－1 1，Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，Y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，求AZ 和AY .[思路点拨] 利用二阶矩阵和平面列向量的乘法公式求解． [精解详析] AZ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －1－1 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，AY ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －1－1 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x －y －x ＋y .若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，列向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则A α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋by cx ＋dy ，其结果仍是一个列向量，同时应注意，给出点的坐标可写成列向量的形式．1．计算：(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤00；(4)⎣⎢⎡⎦⎥⎤111 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . 解：(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1²x ＋0²y 0²x ＋1²y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ； (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0²x ＋1²y 1²x ＋0²y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤y x ； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ²0＋b ²0c ²0＋d ²0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00； (4)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 111 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1²x ＋1²y 1²x ＋1²y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋y x ＋y . 2．给定向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤000，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 01，D ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110，计算A α，B α，C α，D α.解：根据矩阵与向量的乘法，得A α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，B α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， C α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 2，D α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23.[例2] (1)已知变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 21 5 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，试将它写成坐标变换的形式； (2)已知变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3y y ，试将它写成矩阵的乘法形式．[思路点拨] 直接应用二阶矩阵与向量乘积的规定．[精解详析] (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋2y x ＋5y .故它表示的坐标变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ＋2yy ′＝x ＋5y .(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －30 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .对于⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，首先由二阶矩阵与平面列向量乘法得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋by cx ＋dy ，再由向量相等，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ＋by ，y ′＝cx ＋dy .3．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋3yy ′＝y ，试将它写成二阶矩阵与平面向量相乘的形式．解：因为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋3y ，y ′＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋3y ，y ′＝0²x ＋1²y ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x ＋3y 0²x ＋1²y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . 故⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1301 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . 4．解下列用矩阵表达式表示的方程组．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －42 －3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21； (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －26 5 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 16. 解：(1)由⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －42 －3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x －4y 2x －3y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，即⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝2，2x －3y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.(2)由⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －26 5 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 16，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x －2y 6x ＋5y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 16，即⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝－1，6x ＋5y ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.[例3] 已知变换T ：平面上的点P (2，－1)，Q (－1,2)分别变换成点P 1(3，－4)，Q 1(0,5)，求变换矩阵A .[思路点拨] 由题意可知，变换矩阵A 为二阶矩阵，根据二阶矩阵与列向量的乘法，可列出方程组，解方程组即可求出二阶矩阵中的各元素．[精解详析] 设所求的变换矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd .依题意可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－4， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤05，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝3，2c －d ＝－4，－a ＋2b ＝0，－c ＋2d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝2.所以所求的变换矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－12.求变换矩阵的常用方法是待定系数法，要正确利用条件，合理准确计算．5．若点A (1,1)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 b a1对应变换的作用下得到的点为B (－1,1)，求矩阵M .解：由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋b a ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝－1，a ＋1＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，a ＝0，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1.6．设矩阵M 对应的线性变换把点A (1,2)变成点A ′(2,3)，把点B (－1,3)变成点B ′(2,1)，那么这个线性变换把点C (－5,10)变成什么？解：设变换矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， ∴M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋2b c ＋2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23. M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3b －a 3d －c ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝2，c ＋2d ＝3，3b －a ＝2，3d －c ＝1.解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝25，b ＝45，c ＝75，d ＝45.∴M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 4575 45. M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5 10＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 4575 45 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5 10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤61. ∴该线性变换把点C (－5,10)变成了点C ′(6,1)．[对应学生用书P5]1．给定向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 5，利用矩阵与向量的乘法，试说明下列矩阵把向量α分别变成了什么向量．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000. 解：(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 10. (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5－3. (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 0. 2．求点(x ，y )在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2对应的变换作用下对应点的坐标．解：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤ x 2y ，所以点(x ，y )在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002对应的变换作用下对应点的坐标为(x,2y )．3．(1)已知⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1102 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，试将它写成坐标变换的形式； (2)已知⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 2x －y ，试将它写成矩阵的乘法形式．解：(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1³x ＋1³y 0³x ＋2³y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋y 2y .(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 2x －y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . 4．计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，并解释计算结果的几何意义．解：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5－1.几何意义：表示点(3,1)在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －1对应的变换作用下变成点(5，－1)．5．已知在一个二阶矩阵M 对应的变换作用下，点A (1,2)变成了点A ′(7,10)，点B (2,0)变成了点B ′(2,4)，求矩阵M .解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤710，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＝7，c ＋2d ＝10，2a ＝2，2c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，c ＝2，d ＝4.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1324.6．已知点(x ，y )在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1012对应的变换作用下变为点(－1,1)，试求x ，y 的值．解：由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，x ＋2y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.7．已知矩阵T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ac b0，O 为坐标原点，点A (1,0)在矩阵T 的变换下得到点P .设b ＞0，当△POA 的面积为3，∠POA ＝π3时，求a ，b 的值．解：由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，得点P 坐标为(a ，b )．又b ＞0，所以S △POA ＝12³1³b ＝ 3.所以b ＝2 3.又∠POA ＝π3，所以a ＝2.即a ＝2，b ＝2 3.8.已知图形F 表示的四边形ABCD 如图所示，若由二阶矩阵M 确定的变换T ，使F 上点的纵坐标变为原来的一半而横坐标不变．求矩阵M.解：图形F 对应的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2 2 00 1 3 2，变换后的图形F ′对应的矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 2 00 12 32 1，设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤212＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤02，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，∴M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12. 2．2.1～2.2.2 恒等变换伸压变换1．恒等变换矩阵和恒等变换对平面上任何一点(向量)或图形施以矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001对应的变换，都把自己变成自己．我们把这种特殊的矩阵称为恒等变换矩阵或单位矩阵(简记为E )，所实施的对应的变换称作恒等变换．2．伸压变换矩阵和伸压变换像矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1这种将平面图形作沿y 轴方向伸长或压缩，作沿x 轴方向伸长或压缩的变换矩阵，通常称做沿y 或x 轴的垂直伸压变换矩阵；对应的变换称为垂直伸压变换，简称伸压变换．[说明](1)线段经过伸压变换以后仍然是线段，直线仍然是直线，恒等变换是伸压变换的特例．(2)将平面图形F 作沿x 轴方向的伸压变换，其对应的变换矩阵的一般形式是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 001(k >0)，沿y 轴方向的伸压变换对应的矩阵形式是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00k (k >0)．[对应学生用书P8][例1] 在直角坐标系xOy 内矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 2对应的坐标变换公式是什么？叙述这个变换的几何意义，并求出点P (4，－3)在这个变换作用下的象P ′.[思路点拨] 根据矩阵与变换之间的关系求出变换公式，此变换为伸缩变换，然后写出点P 在此变换下的象．[精解详析] 由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′得⎩⎪⎨⎪⎧x2＝x ′，2y ＝y ′.对应的坐标变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12xy ′＝2y ，这个变换把平面上的点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标伸长到原来的2倍；当x ＝4，y ＝－3时，x ′＝2，y ′＝－6，故点P 在这个变换下的象为P ′(2，－6)．把变换与矩阵之间的对应关系理解清楚，用数(即二阶矩阵与列向量的乘法)研究形(即变换作用下的象)．1．已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤300 12，求出点A (3，12)在矩阵M 对应变换作用下的象A ′.解：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 00 12 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤312＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤914 ∴A ′(9，14)．2．研究直角坐标平面内正方形OBCD 在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001对应的变换作用下得到的几何图形，其中O (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，D (0,2)．解：矩阵M 为恒等变换矩阵，O 、B 、C 、D 在矩阵对应的恒等变换作用下变成自身，即分别为O ′(0,0)，B ′(2,0)，C ′(2,2)，D ′(0,2)，仍然是正方形OBCD .[例2] 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001对应的变换作用下得到曲线F ，求曲线F 的方程．[思路点拨] 求曲线F 的方程即求F 上的任意一点的坐标(x ′0，y ′0)满足的关系式． [精解详析] 设P (x 0，y 0)是椭圆上的任意一点，点P (x 0，y 0)在矩阵A 对应的变换作用下得到的点为P ′(x ′0，y ′0)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x 0y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x 0，y ′0＝y 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′02，y 0＝y ′0，又因为点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以4x 20＋y 20＝1，从而有x ′20＋y ′20＝1，所以曲线F 的方程是x 2＋y 2＝1.先利用二阶矩阵与列向量的乘法把P (x 0、y 0)与P ′(x ′0，y ′0)的关系找出，再利用已知曲线的方程即可得到所求的方程．3．求圆C ：x 2＋y 2＝4在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001对应的伸压变换下所得的曲线的方程，并判断曲线的轨迹．解：设P (x ，y )是圆C ：x 2＋y 2＝4上的任意一点，而P 1(x ′，y ′)是P (x ，y )在矩阵A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1对应的伸压变换下的曲线上的对应点，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′.代入x 2＋y 2＝4得x ′24＋y ′2＝4，所以方程x 216＋y 24＝1即为所求的曲线方程，其表示的曲线的轨迹为椭圆．4．已知圆C ：x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a00b (a >0，b >0)对应的变换下变为椭圆x 2＋y 24＝1，求a ，b 的值．解：设P (x 0，y 0)为圆C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(x ′0，y ′0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，⎩⎪⎨⎪⎧x ′0＝ax 0，y ′0＝by 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′0a，y 0＝y′b .又因为点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，所以x 2＋y 20＝1，所以 x ′0 2a 2＋ y ′2b2＝1，即圆C 在矩阵A 对应的变换下的象为x 2a 2＋y 2b2＝1.由已知条件可知，变换后的椭圆方程为x 2＋y 24＝1，所以a 2＝1，b 2＝4，又因为a >0，b >0，所以a ＝1，b ＝2.5．已知矩阵M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001，M 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，研究圆x 2＋y 2＝1先在矩阵M 1对应的变换作用下，再在矩阵M 2对应的变换作用下，所得的曲线的方程．解：设P 0(x 0，y 0)为圆上的任意一点，在M 1的作用下变为P 1(x 1，y 1)，P 1在M 2的作用下变为P 2(x 2，y 2)，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x 0，y 1＝y 0，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 1，y 2＝12y 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2x 0，y 2＝12y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝12x 2，y 0＝2y 2.∵P 0在圆x 2＋y 2＝1上， ∴x 20＋y 20＝1. ∴14x 22＋4y 22＝1，故所求曲线的方程为x 24＋4y 2＝1.[对应学生用书P9]1．求圆x 2＋y 2＝9在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001对应的变换作用后所得图形的面积．解：矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001所对应变换是恒等变换，在它的作用下，圆x 2＋y 2＝9变成一个与原来的圆恒等的圆，故所求图形的面积为9π.2．已知点(x ，y )在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 3对应的变换作用下变为点(－1,3)，试求x ，y 的值．解：由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.3．在平面直角坐标系中，已知线性变换对应的二阶矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 0 12.求： (1)点A (15，3)在该变换作用下的象；(2)圆x 2＋y 2＝1上任意一点P (x 0，y 0)在该变换作用下的象．解：(1)由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 0 0 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1532，得点A (15，3)在该变换作用下的象为(15，32)；(2)由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0 0 12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 02，得点P (x 0，y 0)在变换作用下的象为(x 0，y 02)．4．求出如图所示的图形在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1.5对应的变换作用下所成的图形，并画出示意图，其中点A (1,0)，B (2,0)，C (2,1)，D (3,1)，E (3,2)，F (0,2)，G (0,1)，H (1,1)．解：M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1.5对应的是沿y 轴的伸压变换，保持横坐标不变，而纵坐标变成原来的1.5倍．在此变换下，A →A ′(1,0)，B →B ′(2,0)，C →C ′(2,1.5)，D →D ′(3，1.5)，E →E ′(3,3)，F →F ′(0,3)，G →G ′(0,1.5)，H →H ′(1,1.5)．变换后的图形如图所示．5．求椭圆C ：x 24＋y 29＝1先在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001对应的变换，再在矩阵N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 13对应的变换作用下得到的曲线C ′的方程．解：因为矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1对应的变换是恒等变换，所以曲线C ′是椭圆C ：x 24＋y 29＝1在矩阵N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 13对应变换下得到的曲线，设椭圆C 上任意一点P (x ，y )在矩阵N 对应的变换下得到曲线C ′上的点P (x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10013 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝13y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，y ＝3y ′.因为x 24＋y 29＝1，所以x ′24＋3y ′ 29＝1，即x ′24＋y ′2＝1.故曲线C ′的方程为x 24＋y2＝1.6.如图，一个含有60°角的菱形ABCD ，试求变换矩阵M ，使得只变换四个顶点中的两个顶点后，菱形即变成为正方形．试问该变换矩阵唯一吗？若不唯一，写出所有满足条件的变换矩阵．解：由题设知，这里的变换是伸压变换，且变换不唯一．由题设知，AC ∶BD ＝3∶1，若只变换A ，C 两点，则必须将A ，C 的横坐标进行压缩，于是变换矩阵为M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 0 0 1.若只变换B ，D 两点，则应把B ，D 的纵坐标伸长到原来的3倍，于是变换矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 3，所以满足条件的所有变换矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 0 0 1或⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 3.7．求出梯形OABC 先在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001对应的变换作用下，再在矩阵N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1对应的变换作用下的图形，其中O (0,0)，A (2,0)，B (1,1)，C (0,1)．解：矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001对应的是沿x 轴的伸压变换，保持纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍．而矩阵N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1对应的是沿x 轴的伸压变换，保持纵坐标不变，而横坐标变为原来的12倍，也就是说梯形OABC 先后两次变换，横、纵坐标不变，即图形保持不变．8．设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1，试求曲线C ：y ＝sin x 在矩阵M 、N 对应的变换先后两次作用下得到的曲线的方程．解：设P 0(x 0，y 0)为曲线C 上的任意一点，在T M 的作用下变为P 1(x 1，y 1)，P 1在T N 的作用下变为P 2(x 2，y 2)，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 0，y 1＝2y 0，⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝12x 1，y 2＝y 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝12x 0，y 2＝2y 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x 2，y 0＝12y 2.∵P 0在曲线C 上， ∴y 0＝sin x 0. ∴12y 2＝sin 2x 2，即y 2＝2sin 2x 2.∴所求曲线的方程为y ＝2sin 2x .2．2.3 反射变换1．反射变换矩阵和反射变换像⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1这样将一个平面图形F 变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵，我们称之为反射变换矩阵，对应的变换叫做反射变换．相应地，前者叫做轴反射，后者称做中心反射．其中定直线称为反射轴，定点称做反射点．2．线性变换二阶非零矩阵对应的变换把直线变为直线，这种把直线变为直线的变换称为线性变换．二阶零矩阵把平面上所有的点都变换到坐标原点(0,0)，此时为线性变换的退化情况．[对应学生用书P11][例1] (1)矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 01将点A (2,5)变成了什么图形？画图并指出该变换是什么变换．(2)矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110将点A (2,7)变成了怎样的图形？画图并指出该变换是什么变换．[思路点拨] 先通过反射变换求出变换后点的坐标，再画出图形即可看出是什么变换．[精解详析](1)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤25＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 5，即点A (2,5)经过变换后变为点A ′(－2,5)，它们关于y 轴对称，所以该变换为关于y 轴对称的反射变换(如图1)．(2)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤27＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤72，即点A (2,7)经过变换后变为点A ′(7,2)，它们关于y ＝x 对称，所以该变换为关于直线y ＝x 对称的反射变换(如图2)．(1)点在反射变换作用下对应的象还是点．(2)常见的反射变换矩阵：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1表示关于原点对称的反射变换矩阵，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1表示关于x 轴对称的反射变换矩阵，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 1表示关于y 轴对称的反射变换矩阵，⎣⎢⎡⎦⎥⎤110表示关于直线y ＝x 对称的反射变换矩阵，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1－1 0表示关于直线y ＝－x 对称的反射变换矩阵．1．计算下列各式，并说明其几何意义．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤53； (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤53；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤53. 解：(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤53＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－3；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤53＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5－3； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤53＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35. 三个矩阵对应的变换分别是将点(5,3)作关于x 轴反射变换、关于原点的中心反射变换以及关于直线y ＝x 的轴反射变换，得到的点分别是(5，－3)，(－5，－3)和(3,5)．2．求出△ABC 分别在M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 01，M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，M 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1对应的变换作用下的几何图形，并画出示意图，其中A (0,0)，B (2,0)，C (1,2)．解：在M 1下，A →A ′(0,0)，B →B ′(－2,0)，C →C ′(－1,2)；在M 2下，A →A ″(0,0)，B →B ″(2,0)，C →C ″(1，－2)；在M 3下，A →A (0,0)，B →B (－2,0)，C →C (－1，－2)．图形分别为曲线在反射变换作用下的象[例2] 椭圆x 29＋y 2＝1在经过矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0对应的变换后所得的曲线是什么图形？[思路点拨] 先通过反射变换求出曲线方程，再通过方程判断图形的形状．[精解详析] 任取椭圆x 29＋y 2＝1上的一点P (x 0，y 0)，它在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110对应的变换作用下变为P ′(x ′0，y ′0)．则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0，故⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x ′0x 0＝y ′0.因为点P 在椭圆x 29＋y 2＝1上，所以x 209＋y 20＝1，∴y ′209＋x ′ 20＝1；因此x ′ 20＋y ′209＝1.从而所求曲线方程为x 2＋y 29＝1，是椭圆．矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110把一个图形变换为与之关于直线y ＝x 对称的图形，反射变换对应的矩阵要区分类型：点对称、轴对称．3．求曲线y ＝1x (x >0)在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1对应的变换作用下得到的曲线．解：矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1对应的变换是关于原点对称的变换，因此，得到的曲线为y ＝1x (x <0)． 4．求直线y ＝4x 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1－1 0作用下变换所得的图形．解：任取直线y ＝4x 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1－1 0作用下变换所得的图形上的一点P (x ，y )，一定存在变换前的点P ′(x ′，y ′)与它对应，使得⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 －1－1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y ′，y ＝－x ′.(*)又点P ′(x ′，y ′)在直线y ＝4x 上，所以y ′＝4x ′，从而有y ＝14x ，从而直线y ＝4x 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1－1 0作用下变换成直线y ＝14x .根据(*)，它们关于直线y ＝－x 对称．如图所示．[对应学生用书P13]1．计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 －1－1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，并说明其几何意义．解：⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 －1－1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－y －x ，其几何意义是：由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1－1 0确定的变换是关于直线y ＝－x 的轴反射变换，将点(x ，y )变换为点(－y ，－x )．2．在矩阵变换下，图(1)，(2)中的△ABO 变成了△A ′B ′O ，其中点A 的象为点A ′，点B 的象为点B ′，试判断相应的几何变换是什么？解：(1)对应的是关于原点的中心反射变换，矩阵形式为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1.(2)对应的是关于y 轴的轴反射变换，矩阵形式为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 01. 3．求△ABC 在经过矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 01对应的变换后所得图形的面积，其中A (1,0)，B (－2,0)，C (5,4)．解：矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 1确定的变换是关于y 轴的轴反射变换，它将点(x ，y )变换为点(－x ，y )．所以平面△ABC 在经过矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1对应的变换后所得图形是与原图形全等的三角形，故只需求出△ABC 的面积即可．所以所求图形的面积为6.4．求出曲线y ＝e x先在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 01对应的变换，后在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1对应的变换作用下形成的曲线，并说明两次变换后对应的是什么变换？解：因为矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 1对应的变换是关于y 轴的轴反射变换，变换后曲线为y ＝e －x.又因为矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1对应的变换是关于原点O 的中心反射变换，变换后曲线为－y ＝e x，即y＝－e x.两次变换对应的变换是关于x 轴的轴反射变换．5．变换T 使图形F ：y ＝x 2－1变为F ′：y ＝|x 2－1|，试求变换T 对应的变换矩阵A .解：当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1；当x ∈[－1,1]时，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1.6．若曲线x 24＋y 22＝1经过反射变换T 变成曲线x 22＋y 24＝1，求变换T 对应的矩阵．(写出两个不同的矩阵)解：T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110或T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 －1－1 0. 7．求关于直线y ＝3x 对称的反射变换所对应的矩阵A .解：在平面上任取一点P (x ，y )，令点P 关于y ＝3x 的对称点为P ′(x ′，y ′)．则⎩⎪⎨⎪⎧ y －y ′x －x ′³3＝－1，y ＋y ′2＝3³x ＋x ′2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－45x ＋35y ，y ′＝35x ＋45y .∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－45 35 35 45 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . ∴关于直线y ＝3x 对称的反射变换对应的矩阵为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－45 3535 45. 8．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0.在平面直角坐标系中，设直线2x －y ＋1＝0在变换T M ，T N 先后作用下得到曲线F ，求曲线F 的方程．解：∵T M 是关于直线y ＝x 对称的反射变换， ∴直线2x －y ＋1＝0在T M 的作用下得到直线F ′： 2y －x ＋1＝0.设P (x 0，y 0)为F ′上的任意一点，它在T N 的作用下变为P ′(x ′，y ′)，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ′，y 0＝－x ′.∵点P 在直线F ′上， ∴2y 0－x 0＋1＝0，即－2x ′－y ′＋1＝0.∴所求曲线F 的方程为2x ＋y －1＝0.2．2.4 旋转变换[对应学生用书P14]1．旋转变换将一个图形F 绕某个定点O 旋转角度θ所得图形F ′的变换称为旋转变换．其中点O 称为旋转中心，角度θ称为旋转角．2．旋转变换矩阵像⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ这样的矩阵，称为旋转变换矩阵．旋转变换只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形的形状．[对应学生用书P14][例1] 在直角坐标系xOy 内，将每个点绕原点O 按逆时针方向旋转135°的变换称为旋转角是135°的旋转变换．(1)试写出这个旋转变换的坐标变换公式和相应的矩阵； (2)求点A (4,8)在这个旋转变换作用下的象A ′.[思路点拨] 根据其坐标变换公式写出旋转变换对应的矩阵后求解． [精解详析] (1)该变换的坐标变换公式为：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x cos 135°－y sin 135°y ′＝x sin 135°＋y cos 135°，该变换对应的矩阵为：⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 135° －sin 135°sin 135° cos 135°＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－22－22 22 －22. (2)由(1)知，当x ＝4，y ＝8时，x ′＝－62，y ′＝－22，所以点A (4,8)在这个旋转变换作用下的象为A ′(－62，－22)．由旋转角θ的大小，写出旋转变换矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ是解决这类问题的关键．逆时针旋转时，θ为正值，顺时针方向旋转时，θ为负值．1．求出△ABC 分别在M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1，M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，M 3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22 －2222 22对应的变换作用下的图形这里A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)．解析：在M 1下，A →A ′(0,0)，B →B ′(－2,0)，C →C ′(－1，－1)．在M 2下，A →A ″(0,0)，B →B ″(0,2)，C →C ″(－1,1)．在M 3下，A →A (0,0)，B →B (2，2)，C →C (0，2)．图形分别为2．在直角坐标系xOy 内，将每个点绕坐标原点O 按顺时针方向旋转60°的变换称为旋转角为－60°的旋转变换，求点A (－1,0)在这个旋转变换作用下得到的点A ′的坐标．解：由题意得旋转变换矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos －60° －sin －60° sin －60° cos －60° ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1232－3212，故对应的坐标变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ＋32y y ′＝－32x ＋12y .令x ＝－1，y ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－12y ′＝32.所以所求的点A ′的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.[例2] 已知曲线C ：x 2＋y 2＝2，将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转60°后，求得到的曲线C ′的方程．[思路点拨] 先求出旋转变换矩阵，再根据变换公式求曲线方程． [精解详析] 旋转变换对应的矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 60° －sin 60°sin 60° cos 60°＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12－323212，设P (x 0，y 0)为曲线C 上任意的一点，它在矩阵M 对应的变换作用下变为P ′(x ′0，y ′0)．则有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0，故⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝12 x ′＋3y ′0 ，y 0＝12 y ′0－3x ′0 .因为点P (x 0，y 0)在曲线C ：x 2＋y 2＝2上，所以x 20＋y 20＝2，即 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 x ′0＋3y ′0 2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 y ′0－3x ′0 2＝2， ∴x ′ 20＋y ′ 20＝2.从而曲线C ′的方程为x 2＋y 2＝2.理解与掌握旋转变换对应的变换矩阵和坐标变换公式是解答该类问题的关键，对于特殊图形的旋转变换，也可根据数形结合直接得出，如本例中，曲线C 是以原点为圆心的圆，所以它不管旋转多少度，所得的图形仍是其自身．3．将双曲线C ：x 2－y 2＝1上的点绕原点逆时针旋转45°，得到新图形C ′，试求C ′的方程．解：根据题意，得旋转变换矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 45° －sin 45°sin 45° cos 45°＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22－2222 22，任意选取双曲线x 2－y 2＝1上的一点P (x 0，y 0)，它在变换作用下变为P ′(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝22x 0－22y 0，y ＝22x 0＋22y 0，那么⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝22 x ＋y ，y 0＝22y －x ，又因为点P 在曲线x 2－y 2＝1上，所以x 20－y 20＝1，即有12(x ＋y )2－12(y －x )2＝1，整理可得2xy ＝1，所以所求C ′的方程为xy ＝12.4．已知椭圆Γ：x 24＋y 23＝1，试求该曲线绕逆时针方向旋转90°后所得到的曲线，画出示意图．解：设椭圆与坐标轴的交点分别为A (－2,0)，B (0，－3)，C (2,0)，D (0，3)(如图所示)．因为绕原点逆时针旋转90°的变换所对应的矩阵为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 90° －sin 90°sin 90° cos 90°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0. 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤02，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤03＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 0. 故点A ，B ，C ，D 在旋转变换M 的作用下分别变为点A ′(0，－2)，B ′(3，0)，C ′(0,2)，D ′(－3，0)，从而椭圆曲线Γ：x 24＋y 23＝1在逆时针旋转90°后所成的曲线为椭圆曲线Γ ′：x 23＋y 24＝1.[对应学生用书P15]1．若点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α对应的变换作用下得到的点为(1,0)，求α.解：由⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2222＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，得⎩⎪⎨⎪⎧22cos α－22sin α＝1，22sin α＋22cos α＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－1，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ α－π4＝－π2＋2k π，α＋π4＝k π.(k ∈Z )∴⎩⎪⎨⎪⎧α＝－π4＋2k π，α＝－π4＋k π.(k ∈Z )∴α＝－π4＋2k π(k ∈Z )．2．设点P 的坐标为(1，－2)，T 是绕原点逆时针旋转π3的旋转变换，求旋转变换T 对应的矩阵A ，并求点P 在旋转变换T 作用下得到的点P ′的坐标．解：由题意知旋转变换矩阵 A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos π3 －sin π3sin π3 cos π3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12 设P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′ ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12＋3，y ′＝32－1.即P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋3，32－1.3．已知曲线C ：xy ＝1.(1)将曲线C 绕坐标原点逆时针方向旋转45°后，求得到的曲线C ′的方程； (2)求曲线C ′的焦点坐标和渐近线的方程．解：(1)由题设知，M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤co s 45° －sin 45°sin 45° cos 45°＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22－222222. 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22－222222 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22x －22y 22x ＋22y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝22 x －y ，y ′＝22x ＋y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22 x ′＋y ′ ，y ＝22y ′－x ′ ，代入xy ＝1，得曲线C ′的方程为y 2－x 2＝2.(2)由(1)知曲线C ′的焦点为(0,2)，(0，－2)，渐近线方程为y ＝±x . 4．求直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转π6后所得的直线的方程．解：直线y ＝3x 的倾斜角为π3，绕原点逆时针旋转π6后所得的直线的倾斜角为π2，故所求的直线方程为x ＝0.5．将抛物线E ：y 2＝4x 绕它的顶点逆时针旋转60°，得到曲线E ′.求曲线E ′的焦点坐标和准线方程．解：已知抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为F (1,0)，准线方程l ：x ＝－1.旋转变换对应的矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12. 设点P (x ，y )为变换前坐标系中任意一点，经变换后得到P ′(x ′，y ′)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x －32y ，y ′＝32x ＋12y ，(1)将x ＝1，y ＝0代入(1)式得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12，y ′＝32.由(1)消去y ，并将x ＝－1代入，得x ′＋3y ′＝－2.∴曲线E ′仍为抛物线，它的焦点坐标F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，准线方程l ′：x ＋3y ＋2＝0.6．已知椭圆x 24＋y 23＝1经过矩阵M 对应的变换作用下变为椭圆x 23＋y 24＝1，求变换矩阵M .解：将椭圆x 24＋y 23＝1变换为椭圆x 23＋y 24＝1，可以伸压变换，可以是反射变换(关于原点成中心反射或关于直线y ＝x 与y ＝－x 成轴对称)，还可以是旋转变换(绕原点旋转90°)，其中反射与旋转较为方便，所以矩阵M 可以是⎣⎢⎡⎦⎥⎤110或⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0或⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 －1－1 0或⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1－10等． 7．已知椭圆C ：x 2＋y 2＋xy ＝3，将曲线C 绕原点O 顺时针旋转π4，得到椭圆C ′.求：(1)椭圆C ′的标准方程； (2)椭圆C 的焦点坐标．解：(1)矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 22 22－22 22，设椭圆C 上的点P (x ，y )变换后为P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 22 22－2222 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22 x ′－y ′ ，y ＝22 x ′＋y ′ .代入x 2＋y 2＋xy ＝3中，得12(x ′－y ′)2＋12(x ′＋y ′)2＋12(x ′2－y ′2)＝3. ∴椭圆C ′的方程为x 22＋y 26＝1.(2)∵椭圆C ′的焦点坐标为(0，±2)，∴椭圆C 的焦点坐标为F 1(－2，2)，F 2(2，－2)．8．已知点A (3,4)，点A 绕原点逆时针旋转60°后得到的对应点为B ，求点B 的坐标，并求出线段OA 旋转过程中所扫描过的图形的面积．解：由题意可得旋转变换矩阵为。

2017-2018学年高中数学苏教版必修四教学案：第2章章末小结小结与测评 Word版含答案

一、平面向量的概念 1．向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量． 2．表示方法用有向线段来表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示．3．模向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. 4．零向量长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是任意的． 5．单位向量长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．与a 平行的单位向量e ＝±a|a |.6．平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行，平行向量又称为共线向量．7．相等向量长度相等且方向相同的向量叫相等向量．[说明] 向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．二、平面向量的线性运算1．向量的加法(1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．(2)法则：三角形法则；平行四边形法则．(3)运算律：a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．2．向量的减法(1)定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法．(2)法则：三角形法则．[说明] 要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则的要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则的要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则的要素是“起点重合”．3．实数与向量的积(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：|λa|＝|λ||a|.当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.由此可见，总有λa与a平行．(2)运算律：λ(μa)＝(λμ)a，(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.三、两个定理1．向量共线定理(1)如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.(2)向量平行的坐标表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.2．平面向量基本定理平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量的分解．当e1，e2互相垂直时，就称为向量的正交分解．[说明] 零向量不能作基底，两个非零向量共线时不能作基底，平面内任意两个不共线的向量都可以作基底，一旦选择了一组基底，则定向量沿基底的分解是唯一的．四、平面向量的数量积1．平面向量数量积的概念及意义(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．(2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积．[说明] b在a方向上的投影|b|cos θ是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以为0.2．平面向量数量积的性质设a与b是非零向量，e是单位向量，〈a，e〉＝θ.(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝|a|2，或|a|＝a·a.(3)a⊥b⇔a·b＝0.(4)cos θ＝a·b|a||b|.(5)|a·b|≤|a||b|.[说明](1)数量积的运算要注意a＝0时，a·b＝0，但a·b＝0时不一定能得到a＝0或b＝0，因为a⊥b时，也有a·b＝0.(2)若向量a、b、c满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．3．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.[说明] 数量积的运算不满足结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)．4．平面向量数量积的坐标运算设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)a·b＝x1x2＋y1y2；(2)|a|＝x21＋y21；(3)cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22； (4)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.[说明] x 1y 2－x 2y 1＝0与x 1x 2＋y 1y 2＝0不同，前者是两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的条件，后者是它们垂直的条件．(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上) 1．AB ＋AC －BC ＋BA 化简后等于________．解析：原式＝(AB ＋BA )＋(AC －BC ) ＝(AB －AB )＋(AC ＋CB )＝0＋AB ＝AB . 答案：AB2．已知向量a ＝(1,3x )，b ＝(－1,9)，若a 与b 共线，则实数x 的值为________．解析：∵a 与b 共线，∴9＋3x ＝0，∴x ＝－3. 答案：－33．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝________ 解析：(m ＋n )⊥(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1) ＝－(2λ＋6)＝0，所以λ＝－3. 答案：－34．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为________．解析：AB ＝(3，－4)，所以|AB |＝5，这样同方向的单位向量是15AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－455．如图，M ，N 分别是AB ，AC 的一个三等分点，且MN ＝λ(AC －AB )成立，则λ＝________.解析：∵M ，N 分别是AB ，AC 的一个三等分点， ∴MN BC ＝13，即MN ＝13BC . 又MN ＝λ(AC －AB )＝λBC ， ∴λ＝13.答案：136．若|a |＝2，|b |＝6，a ·b ＝－3，则|a ＋b |等于________．解析：∵(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝4－6＋36＝34， ∴|a ＋b |＝34. 答案：347．已知向量OB ＝(2,0)，OC ＝(2,2)，CA ＝(－1，－3)，则OA 和OB 的夹角为________．解析：由题意，得OA ＝OC ＋CA ＝(1，－1)，则|OA |＝2，|OB |＝2，OA ·OB ＝2， ∴cos 〈OA ，OB 〉＝OA ·OB | OA ||OB |＝22.又0≤〈OA ，OB 〉≤π，∴〈OA ，OB 〉＝π4.答案：π48．在梯形ABCD 中，AB ＝2DC ，AC 与BD 相交于O 点．若AB ＝a ，AD ＝b ，则OC ＝________.解析：依题意得AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，OC AO ＝DC AB ＝12，OC ＝13AC ，又AC ＝AD ＋DC ＝b＋12a ，因此OC ＝13b ＋16a .答案：13b ＋16a9．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP ·AC ＝________.解析：设AC 与BD 的交点为O ，则AP ·AC ＝AP ·2AO ＝2AP 2＋2AP ·PO ＝2×32＋0＝18.答案：1810．已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a·b ＝0，则实数k 的值为________．解析：a·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2) ＝k e 21＋(1－2k )e 1·e 2－2e 22＝k ＋(1－2k )cos 2π3－2＝2k －52.又a·b ＝0， ∴2k －52＝0，∴k ＝54.答案：5411．下列5个说法：①共线的单位向量是相等向量；②若a ，b ，c 满足a ＋b ＝c 时，则以|a |，|b |，|c |为边一定能构成三角形； ③对任意的向量，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |； ④(a ·b )c ＝a (b ·c )； ⑤(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 其中正确的是________．解析：共线也有可能反向，故①不正确；若|a |＝0，显然不能构成三角形，故②不正确；由数量积的性质知④不正确；由向量加法的三角形法则知③正确；由数量积的性质知⑤正确．答案：③⑤12．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a ×b 是一个向量，它的模|a ×b |＝|a ||b |sin θ，若a ＝(－3，－1)，b ＝(1，3)，则|a ×b |＝________.解析：cos θ＝a ·b |a ||b |＝－3－32×2＝－32，∴sin θ＝12. ∴|a ×b |＝2×2×12＝2.答案：213．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ·CB 的值为____________；DE ·DC 的最大值为________．解析：法一：以AB ，AD 为基向量，设AE ＝λAB (0≤λ≤1)，则DE ＝AE －AD ＝λAB －AD ，CB ＝－AD ，所以DE ·CB ＝λAB －AD－AD )＝－λAB ·AD ＋AD 2,＝－λ×0＋1＝1. 又DC ＝AB ，所以DE ·DC ＝λAB －AD AB＝λAB 2－AD ·AB ,＝λ×1－0＝λ≤1，,即DE ·DC 的最大值为1. 法二：建立如图所示的平面直角坐标系，,令E 点坐标为t ，t 可得DE ·CB＝t ，－，－＝1，, DE ·DC ＝t ，－，＝t ≤1，,∴DE ·CB＝1，DE ·DC 最大值为1.答案：1 114．(上海高考)已知正方形ABCD 的边长为1，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为a 1，a 2，a 3；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为c 1，c 2，c 3.若i ，j ，k ，l ∈{1,2,3}且i ≠j ，k ≠l ，则()a i ＋a j ·()c k ＋c l 的最小值是________．解析：根据对称性，当向量()a i ＋a j 与()c k ＋c l 互为相反向量，且它们的模最大时，()a i ＋a j ·()c k ＋c l 最小．这时a i ＝AC ，a j ＝AD ，c k ＝CA ，c l ＝CB ，()a i ＋a j ·()c k ＋c l ＝－||a i ＋a j 2＝－5.答案：－5二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)在四边形ABCD (A 、B 、C 、D 顺时针排列)中，AB ＝(6,1)，CD ＝(－2，－3)，若有BC ∥DA ，又有AC ⊥BD ，求BC 的坐标．解：设BC ＝(x ，y )，则AC ＝AB ＋BC ＝(6＋x,1＋y )，AD ＝AC ＋CD ＝(4＋x ，y －2)， DA ＝－AD ＝(－x －4,2－y )，BD ＝BC ＋CD ＝(x －2，y －3)．又BC ∥DA 及AC ⊥BD ， ∴x (2－y )－(－x －4)y ＝0，① (6＋x )(x －2)＋(1＋y )(y －3)＝0.②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.∴BC ＝(－6,3)或(2，－1)．16．(本小题满分14分)已知|OA |＝1，|OB |＝3，OA ·OB ＝0，点C 在∠AOB 的内部，且∠AOC ＝30°，若OC ＝m OA ＋n OB (m ，n ∈R )，求mn的值．解：∵OA ·OB ＝0，∴OA ⊥OB ，∴∠AOB ＝90°，又∵∠AOC ＝30°，且点C 在∠AOB 内部， ∴∠BOC ＝60°.∴OA ·OC ＝OA ·(m OA ＋n OB )＝m ＝|OA ||OC |·cos ∠AOC ＝32|OC |， OB ·OC ＝OB ·(m OA ＋n OB )＝3n ＝|OB ||OC |·cos ∠BOC ＝32|OC |. ∴m ＝3n ，即m n＝3.17．(本小题满分14分)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且(a ＋2b )·(2a －b )＝0，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)设c ＝(x ，y )，∵|c |＝25，∴x 2＋y 2＝25，即x 2＋y 2＝20.①∵c ∥a ，a ＝(1,2)，∴2x －y ＝0，即y ＝2x .②联立①②，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4.∴c ＝(2,4)或(－2，－4)． (2)(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0,2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0.③ ∵|a |2＝5，|b |2＝54，代入③式，得a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－525×52＝－1. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.18．(本小题满分16分)已知向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.(1)求证：a ⊥b ；(2)是否存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ？如果存在，试确定k 和t 的关系；如果不存在，请说明理由．解：(1)证明：a ·b ＝(3，－1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＝32－32＝0，∴a ⊥b .(2)假设存在非零实数k ，t 使x⊥y ，则[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，整理得－k a 2＋[t －k (t 2－3)]a ·b ＋t (t 2－3)b 2＝0.又a ·b ＝0，a 2＝4，b 2＝1.∴－4k ＋t (t 2－3)＝0，即k ＝14(t 3－3t )(t ≠0)，故存在非零实数k ，t ，使x ⊥y 成立，其关系为k ＝14(t 3－3t )(t ≠0)．19．(本小题满分16分)已知A (2,0)，B (0,2)，C (cos α，sin α)(0＜α＜π)． (1)若|OA ＋OC |＝7(O 为坐标原点)，求OB 与OC 的夹角； (2)若AC ⊥BC ，求tan α的值．解：(1)∵OA ＋OC ＝(2＋cos α，sin α)， |OA ＋OC |＝7，∴(2＋cos α)2＋sin 2α＝7，∴cos α＝12.又α∈(0，π)，∴α＝π3，即∠AOC ＝π3，又易知∠AOB ＝∠AOC ＋∠BOC ＝π2，∴OB 与OC 的夹角为π6.(2)AC ＝(cos α－2，sin α)，BC ＝(cos α，sin α－2)，由AC ⊥BC ，知AC ·BC ＝0，可得cos α＋sin α＝12.①∴(cos α＋sin α)2＝14，∴2sin αcos α＝－34，∵α∈(0，π)，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 又(cos α－sin α)2＝1－2sin α cos α＝74，cos α－sin α＜0， ∴cos α－sin α＝－72.② 由①②得cos α＝1－74，sin α＝1＋74，从而tan α＝－4＋73.20．(本小题满分16分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1,2)，且点A (8,0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若AB ⊥a ，且|AB |＝5|OA |，求向量OB ；(2)若向量AC 与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求OA ·OC . 解：(1)因为AB ＝(n －8，t )，且AB ⊥a ，所以8－n ＋2t ＝0，即n ＝8＋2t . 又|AB |＝5|OA |，所以5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，解得t ＝±8. 所以OB ＝(24,8)或(－8，－8)．(2)因为AC ＝(k sin θ－8，t )，AC 与a 共线，所以t ＝－2k sin θ＋16.又t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ ＝－2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－4k 2＋32k，当k >4时，1>4k>0，所以当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k；由32k＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，故OC ＝(4,8)，所以OA ·OC ＝8×4＋8×0＝32.。

2017-2018学年高中数学苏教版选修4-4：4.4 4.4.1～4.4.2 参数方程的意义参数方程与普通方程的互化

4．4．4.1～4.4.2　参数方程的意义　参数方程与普通方程的互化[对应学生用书P19]1．参数方程的意义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点P的坐标x和y都可以表示为某个变量t的函数反过来，对于t的每一个允许值，由函数式所确定的点P(x，y)都在曲线C上，那么方程就叫做曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数．2．参数方程和普通方程的互化(1)参数方程与普通方程是曲线的两种不同的表达方式．(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y 的范围保持一致．[对应学生用书P19]参数方程与普通方程的互化[例1]　指出下列参数方程表示什么曲线：(1)(t为参数)；(2)(t为参数)；(3)(t为参数)．[思路点拨]　分析参数方程的结构特征，恰当地选择方法消去参数．[精解详析]　(1)∵cos2t＋sin2t＝1，∴(x－1)2＋(y＋2)2＝16cos2t＋16sin2t＝16，即(x－1)2＋(y＋2)2＝16.它表示以(1，－2)为圆心，半径为4的圆．(2)∵cos2t＋sin2t＝1，∴()2＋()2＝cos2t＋sin2t＝1，即＋＝1.它表示中心在原点，焦点在x轴上的椭圆．(3)∵x2－y2＝(2t－2－t)2－(2t＋2－t)2＝－4，∴y2－x2＝4.又2t>0，y≥2＝2，故y2－x2＝4(y≥2)，它表示双曲线的上支．1．化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有：代入消元法、加减消元法、利用恒等式(三角的或代数的)消元法，但要注意等价性，要先由参数范围求出x，y范围后再消参．2．普通方程化为参数方程，必须先指定参数或给出参数与x，y中之一的函数关系，对同一个普通方程，由于选择参数不同，得到的参数方程也不同．1．已知曲线C的参数方程为(t为参数，t＞0)，求曲线C的普通方程．解：因为x2＝t＋－2，所以x2＋2＝t＋＝，故曲线C的普通方程为3x2－y＋6＝0.2．根据下列条件求椭圆＋y2＝1的参数方程：(1)设y＝sin ¸，¸为参数；(2)设x＝2t，t为参数．解：(1)把y＝sin ¸代入椭圆方程，得到＋sin2¸＝1，于是x2＝4(1－sin2¸)＝4cos2¸，即x＝±2cos ¸，由于¸具有任意性，sin ¸与cos ¸的符号可以描述平面直角坐标系中点的坐标的符号，所以取x＝2cos ¸.因此，椭圆＋y2＝1的参数方程是(¸为参数)．(2)把x＝2t代入椭圆方程，得到＋y2＝1.于是y2＝1－t2，即y＝±.因此，椭圆＋y2＝1的参数方程是(t为参数)和(t为参数).直线的参数方程[例2]　求经过点0[思路点拨]　写出直线的普通方程，选择恰当参数得参数方程．[精解详析]　如图，由题意知，直线的普通方程是y＋1＝(x－2)tan±，直线方程可化为＝.令＝＝t，选择t为参数，得直线的参数方程为(t为参数)．其中参数t的几何意义是有向线段M0M的数量．1．经过点M0(x0，y0)，倾斜角为±的直线l的参数方程为(t为参数)．2．对于上述参数方程要注意以下几点：(1) 参数方程中±、x0、y0都是常数，t是参数且±是直线的倾斜角．(2)参数t的几何意义是有向线段M0M的数量，|t|表示直线上的动点M到定点M0的距离．(3)若令a＝cos ±，b＝sin ±，则直线方程可化为(t为参数)且a2＋b2＝1，b≥0.3．求直线(t为参数)的倾斜角．解：法一：直线的斜率k＝－＝－＝－tan 70°＝tan 110°.∴倾斜角为110°.法二：将方程改写成消去t，得y＝－(x－3)tan 70°，即y＝(x－3)tan 110°，∴倾斜角为110°.法三：将原参数方程化为令－t＝t′，则(t′为参数)．∴直线的倾斜角为110°.4.(湖南高考改编)在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：(s为参数)和直线l2：(t为参数)平行，求常数a的值．解：先把两直线的参数方程化成普通方程．直线l1：x－2y－1＝0，直线l2：2x－ay－a ＝0.因为两直线平行，所以1×(－a)＝－2×2，故a＝4，经检验，符合题意.圆的参数方程[例3](1)x2＋y2＝9；(2)(x－2)2＋(y－3)2＝9.[思路点拨]　联想三角函数选择角为参数可求参数方程．[精解详析]　(1)如图，设M(x，y)为圆上任一点，射线Ox轴逆时针旋转到OM形成的角为±，取±为参数．则圆x2＋y2＝9的参数方程为(±为参数 )．(2)设x－2＝cos ±，y－3＝sin ±，则因此圆(x －2)2＋(y －3)2＝9的参数方程为(±为参数)．1．圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程为(±为参数)．2．圆心在(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为(±为参数)．3．利用圆的参数方程求动点的轨迹方程是常见的题型，可以根据条件，用圆的参数把动点的坐标表示出来，然后利用坐标之间的关系，得到动点的轨迹方程．5．(陕西高考改编)如图，以过原点的直线的倾斜角¸为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．解：由x 2＋y 2－x ＝0，得2＋y 2＝，即圆的半径r ＝.∵OP ＝2r ·cos ¸＝cos ¸，∴x ＝OP ·cos ¸＝cos 2¸，y ＝OP ·sin ¸＝cos ¸·sin ¸.∴圆的参数方程为(¸为参数)．6.如图，已知点P 是圆x 2＋y 2＝16上的一个动点，定点A (12，0)，当点P 在圆上运动时，求线段PA 的中点M 的轨迹的参数方程．解：设点M (x ，y )．∵圆x 2＋y 2＝16的参数方程为(¸为参数)．∴设点P (4cos ¸，4sin ¸)，由线段中点坐标公式得(¸为参数)．即点M 的轨迹的参数方程为(¸为参数)．1．(江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为(t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：将直线l 的参数方程(t 为参数)代入抛物线方程y 2＝4x ，得2＝4，解得t 1＝0，t 2＝－8.所以AB ＝|t 1－t 2|＝8.2．直线(t 为参数)与曲线(±为参数)的交点个数．解：直线的普通方程为x ＋y －1＝0，圆的普通方程为x 2＋y 2＝32，圆心到直线的距离d ＝＜3，[对应学生用书P21]故直线与圆的交点个数是2.3．已知A＝{(x，y)|x＝cos ±，y＝sin ±＋m，±为参数}，B＝{(x，y)|x＝t＋3，y＝3－t，t为参数}，且A∩B≠∅，求实数m的取值范围．解：由得x2＋(y－m)2＝2cos2±＋2sin2±＝2.所以A＝{(x，y)|x2＋(y－m)2＝2}．由得x＋y＝6，所以B＝{(x，y)|x＋y－6＝0}．因为A∩B≠∅，所以≤，解得4≤m≤8.4．已知直线(t为参数)与圆(Æ为参数)相切，求此直线的倾斜角±.解：直线化为：y＝x·tan ±，圆化为：(x－4)2＋y2＝4，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于2，如图，∴sin ±＝＝，±＝或À.5．若直线y＝x－b与曲线(¸为参数，¸∈[0,2 À))有两个不同的公共点，求实数b的取值范围．解：曲线即为圆(x－2)2＋y2＝1.∵直线y＝x－b与圆(x－2)2＋y2＝1有两个不同的公共点，∴圆心(2,0)到直线y＝x－b的距离小于圆的半径1，即<1.解得2－<b<2＋.即b的取值范围为(2－，2＋)．6．已知某条曲线C的参数方程为(t是参数，a∈R)，点M(5,4)在该曲线上．(1)求常数a；(2)求曲线C的普通方程．解：(1)由题意，可知故所以a＝1.(2)由已知及(1)可得，曲线C的方程为由x＝1＋2t，得t＝，代入y＝t2，得y＝2，即(x－1)2＝4y.故曲线C的普通方程为(x－1)2＝4y.7．圆的方程是x2＋y2－2a cos ¸·x－2a sin ¸·y＝0.(1)若a是参数，¸是常数，求圆心的轨迹；(2)若¸是参数，a是常数，求圆心的轨迹．解：将方程x2＋y2－2a cos ¸·x－2a sin ¸·y＝0配方，得(x－a cos ¸)2＋(y－a sin ¸)2＝a2.设圆心坐标为(x，y)，则(1)若a是参数，¸是常数，当cos ¸＝0，则表示直线x＝0.当cos ¸≠0，由①，得a＝ .③把③代入②，得y＝·sin ¸＝tan ¸·x.所以轨迹是过原点，斜率为tan ¸的直线．(2)若¸是参数，a是常数，①2＋②2，得x2＋y2＝a2.由于a≠0，所以轨迹是以原点为圆心，|a|为半径的圆．8．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(¸为参数)，试在椭圆C上求一点P，使得点P到直线l的距离最小．解：法一：由题设可知l的普通方程为x＋2y－4＝0，设P(2cos ¸，sin ¸)，则点P到直线l 的距离为d＝＝，所以当sin＝1时，d取最小值，此时¸＝2kÀ＋(k∈Z)，所以2cos ¸＝2cos ＝，sin ¸＝sin＝.所以点P坐标为.法二：设与直线l平行的直线l1方程为x＋2y＝m，当l1与C只有一个公共点且l1与l距离最小时，l1与C的公共点即为所求的点P.椭圆的普通方程为＋y2＝1.将x＋2y＝m代入此方程，消去x，得8y2－4my＋m2－4＝0.由题意，”＝16m2－32(m2－4)＝0，解得m＝±2.l1与l的距离为d＝，所以当m＝2时，d最小，此时点P的坐标为.。

苏教版数学选修4-2课件：2.5-章末分层突破

1 0 α1＝，α2＝ . 0 1
(1)求矩阵 A 和其逆矩阵 A 1；
－
(2)已知
1 α＝ 16 ，试求
A100α.
上一页Leabharlann 返回首页下一页【解】
(1)设矩阵
a A＝ c
λ－a －b b ，其特征多项式为 f ( λ ) ＝ . d －c λ－d 1 α1＝ 0，
∴s＝1，t＝16. ∴A α＝1×2
100 100
1 0 100 × ＋16×(－1) × 1 0
2100 0 2100 ＝＋＝ 0 16 16.
上一页
返回首页
下一页
三、函数方程思想的应用本章不论是由矩阵求特征值，还是已知矩阵的特征值与特征向量求该矩阵，都需要解方程(组)或构建方程(组)求解.
知识网络构建
章末分层突破
专题归纳提升
章末综合检测
上一页
返回首页
下一页
上一页
返回首页
下一页
一、矩阵的特征值与特征向量的求解与应用设
a A＝ c
b 是一个二阶矩阵，λ 是矩阵 A 的一个特征值，α 是属于 λ 的一 d
个特征向量.欲求 λ 及 α，可令 A 的特征多项式等于 0，即可求出 λ 的值，将 λ 的
2
的特征向量分别为 α1，α2，则平面上任一非零向量 β 可表示为 β＝s α1＋t α2(其
n * 中 s，t 为实数)，则 Mnβ＝Mn(s α1＋t α2)＝sλn α ＋ tλ α ( n ∈ N ). 1 1 2 2
上一页
返回首页
下一页

2017-2018学年高中数学苏教版必修四教学案：第3章章末小结小结与测评 Word版含答案

一、两角和与差的正弦、余弦、正切S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. C (α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. T (α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.[注意] 如两角和与差的正切公式可变形为： tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)， tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．二、二倍角公式S 2α：sin 2α＝2sin αcos α.C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α. [注意] 余弦二倍角公式有多种形式，即cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，变形公式sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2.它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂的作用．(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上) 1．化简：cos 4－sin 22＋2＝________. 解析：原式＝1＋cos 22＋2cos 22－1 ＝3cos 22＝－3cos 2. 答案：－3cos 22．若sin αsin β＝1，则cos(α－β)＝________.解析：∵sin αsin β＝1，∴sin α＝－1且sin β＝－1或sin α＝1，sin β＝1.由sin 2α＋cos 2α＝1得cos α＝0.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝0＋1＝1. 答案：13．已知tan α＝12，tan(α－β)＝－25，那么tan(β－2α)的值为________．解析：tan(β－2α)＝－tan(2α－β)＝－tan[α＋(α－β)]＝－tan α＋tan α－β1－tan αtan α－β＝－12－251－12² －25＝－112.答案：－1124．设a ＝sin 14°＋cos 14°，b ＝sin 16°＋cos 16°，c ＝62，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：a ＝ 2 sin 59°，b ＝2sin 61°，c ＝2sin 60°，所以a <c <b . 答案：a <c <b5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin 2x ＝________.解析：sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝725.答案：7256．f (sin x )＝cos 2x ，则f ⎝⎛⎭⎪⎫32＝________. 解析：f (sin x )＝cos 2x ＝1－2sin 2x ∴f (x )＝1－2x 2∴f ⎝⎛⎭⎪⎫32＝1－2³⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝－12. 答案：－127．函数y ＝sin x cos x ＋3cos 2x －32图象的对称轴方程为________．解析：∵y ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ∴由2x ＋π3＝k π＋π2得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )．答案：x ＝k π2＋π12，k ∈Z 8．化简sin α＋30° ＋sin 30°－αcos α＝________.解析：原式＝sin αcos 30°＋cos αsin 30°＋sin 30°cos α－cos 30°sin αcos α＝2cos αsin 30°cos α＝1.答案：19．tan 19°＋tan 41°＋3tan 19°tan 41°的值为________．解析：tan 19°＋tan 41°＝tan 60°(1－tan 19°tan 41°) ＝3－3tan 19°tan 41°.∴原式＝3－3tan 19°tan 41°＋3tan 19°tan 41°＝ 3. 答案： 310.sin 2x 2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan x ²tan x 2化简结果为________．解析：原式＝sin 2x2cos x ²tan x －tanx2tan x －x2＝2sin x cos x2cos x ²sinx2cos x cos x 2²tanx2＝sin xcos x＝tan x . 答案：tan x11.2cos 5°－sin 25°cos 25°＝________.解析：原式＝ sin 85°－sin 25° ＋cos 5°cos 25°＝2cos 55°sin 30°＋cos 5°cos 25°＝cos 55°＋cos 5°cos 25°＝2cos 30°cos 25°cos 25°＝2³32＝ 3. 答案： 312．函数y ＝tan x 2－1sin x的周期是________．解析：∵y ＝sin x2cos x 2－12sin x 2cos x 2＝2sin 2x2－12sin x 2cosx 2＝－cos x sin x ＝－1tan x ，∴T ＝π.答案：π13．已知sin(α－β)＝1010，α－β是第一象限角，tan β＝12，β是第三象限角，则cos α的值为________．解析：∵sin (α－β)＝1010，α－β是第一象限角， ∴cos(α－β)＝3 1010.∵tan β＝12，β是第三象限角，∴sin β＝－55，cos β＝－2 55. 则cos α＝cos[β＋(α－β)]＝cos βcos(α－β)－sin βsin(α－β) ＝－2 55³3 1010＋55³1010＝－5 5050＝－22.答案：－2214．已知(sin x －2cos x )(3＋2sin x ＋2cos x )＝0，则sin 2x ＋2cos 2x1＋tan x 的值为________．解析：∵3＋2sin x ＋2cos x ＝3＋2 2sin(x ＋π4)>0，∴sin x －2cos x ＝0.∴tan x ＝2.∴原式＝2cos x sin x ＋cos x 1＋sin x cos x ＝2cos 2x sin x ＋cos x cos x ＋sin x ＝2cos 2x ＝1＋cos 2x ＝1＋1－tan 2x 1＋tan 2x ＝1＋1－41＋4＝25. 答案：25二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知cos α－sin α＝3 25，且π<α<32π，求sin 2α＋2sin 2α1－tan α的值．解：因为cos α－sin α＝3 25，所以1－2sin αcos α＝1825，所以2sin αcos α＝725.又α∈(π，3π2)，故sin α＋cos α＝－1＋2sin αcos α＝－4 25，所以sin 2α＋2sin 2α1－tan α＝2sin αcos α＋2sin 2α cos αcos α－sin α＝2sin αcos α cos α＋sin α cos α－sin α＝725³⎝ ⎛⎭⎪⎫－4 253 25＝－2875.16．(本小题满分14分)求函数y ＝2＋2sin x cos x ＋sin x ＋cos x 的最大值和最小值．解：设sin x ＋cos x ＝t ，t ＝sin x ＋cos x＝2⎝⎛⎭⎪⎫22sin x ＋22cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以|t |≤ 2.函数化为y ＝t 2＋t ＋1，－2≤t ≤2，配方，得y ＝⎝⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34，－2≤t ≤ 2.当t ＝2时，y max ＝3＋2；当t ＝－12时，y min ＝34.17．(本小题满分14分)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝4，且－π<θ<－π2，求sin 2θ－2sin θcos θ－cos 2θ的值．解：由tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋θ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝4，得：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θcos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＋π4－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2 cos θ－sin θ cos θ＋sin θ ＝2cos 2θ－sin 2θ＝4. 则cos 2θ＝34.∵－π<θ<－π2，∴cos θ＝－32，sin θ＝－12，∴sin 2θ－2sin θ²cos θ－cos 2θ＝－1＋32.18．(本小题满分16分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－2 77，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝12且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.求：(1)cos α＋β2； (2)tan(α＋β)．解：(1)∵π2<α<π，0<β<π2，∴π4<α－β2<π，－π4<α2－β<π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝217，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝ 32.∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2 － α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2²cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2²sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝⎝⎛⎭⎪⎫－2 77³32＋217³12＝－2114.(2)∵π4<α＋β2<34π，∴sin α＋β2＝1－cos2α＋β2＝5 714， ∴tan α＋β2＝sinα＋β2cosα＋β2＝－5 33，∴tan(α＋β)＝2tanα＋β21－tan2α＋β2＝5 311.19．(本小题满分16分)求y ＝sin 3x sin 3x ＋cos 3x cos 3xcos 22x ＋sin 2x 的最小值．解：∵sin 3x ²sin 3x ＋cos 3x ²cos 3x＝(sin x ²sin 3x )sin 2x ＋(cos x ²cos 3x )cos 2x＝12[(cos 2x －cos 4x )sin 2x ＋(cos 2x ＋cos 4x )cos 2x ]＝12[(sin 2x ＋cos 2x )cos 2x ＋(cos 2x －sin 2x )cos 4x ]＝12(cos 2x ＋cos 2x ²cos 4x )＝cos 2x 1＋cos 4x 2＝cos 32x ， ∴y ＝cos 32xcos 22x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋sin 2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.∴当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－1，即2x ＋π4＝2k π－π2，x ＝k π－3π8(k ∈Z )时，y min ＝－ 2.20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3，x ∈R (其中ω>0)．(1)求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )的最小正周期为π2，求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的单调递减区间．解：(1)f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ωx ²32＋cos ωx ²12 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin ωx ²cos π6＋cos ωx ²sin π6 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6.∵x ∈R ，∴f (x )的值域为[－2,2]． (2)∵f (x )的最小正周期为π2，∴2πω＝π2，即ω＝4.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6， ∴2k π＋π2≤4x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z .即12k π＋π12≤x ≤12k π＋π3，k ∈Z . ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴π12≤x ≤π3.∴f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

m＝4，n＝－3， (3)M2008±＝M2008(4e1－3e2)
2008 ＝4(M2008e1)－3(M2008e2)＝4(»2008 e ) － 3( » e2) 1 1 2
2008 1 2008 ＝ 4× 3 － 3 × ( － 1) 1
1 4×32008－3 ＝ 2008 －1 . ＋3 4×3
[例 5]
求矩阵 A 的特征值．
解：∵A－1A＝E，∴A＝(A－1)－1. 1 －4 ∵A－1＝ 1 2 3 2 4 －1 －1 ，∴A＝(A ) ＝ 2 1 －2 3 . 1
∴矩阵 A 的特征多项式为
»－2 f(»)＝－2
－3 2 ＝ » －3»－4. »－1
则 MM
－1
1 ＝ 0
0 . 1
又
2 M＝ 0
2 0 x1 0 ，所以 0 3 x 3 2
y1 1 0 ＝， y2 0 1
所以 2x1＝1,2y1＝0,3x2＝0,3y2＝1， 1 1 即 x1＝2，y1＝0，x2＝0，y2＝3， 1 0 2 . 故所求的逆矩阵 M－1＝ 0 1 3
－1
－5 ＝ 2
3 . －1
[例 2] ＝B.
[解 ] 而
设矩阵
2 A＝ 3
x 1 1 ，试解方程 AX ，X＝，B＝ 2 2 y
由于
2 A＝ 3
1 ， 2
2 det(A)＝ 3
1 ＝2×2－1×3＝1≠0， 2. m＝ 1 ，解得 n＝1.
所以 B＝±1＋±2. 因此 A4B＝A4(±1＋±2)＝(－1)4±1＋34±2
1 81 82 ＝－3＋81＝78.
求矩阵、逆矩阵
解：(1)设曲线 2x2＋2xy＋y2＝1 上任一点 P(x，y)在矩阵 A 对应变换下的像是
x′ a P′(x′， y′)，则＝b y ′ 0 x 1 y
2 2
a A＝ b
0 (a＞0) 1
ax x′＝ax，＝得 bx＋y y′＝bx＋y，
[解 ]
(1)观察图形可知，M1 对应的变换为横坐标不变，纵
1 坐标缩短为原来的 2的伸缩变换， M2 对应的变换为逆时针方向 À 旋转 2的旋转变换， 1 故 M1 ＝ 0
0 (2)M＝ 1
0 0 1 ， M 2 ＝ 1 2 －1 0 1 0
2 a ＝4， 2 2 x ＋y ＝1，故 2 b ＝1.
a＝2， a＞0，b＞0，所以 b＝1.
特征值与特征向量
理解特征值、特征向量的概念，会求一个二阶矩阵的特征多项式，特征值及每个特征值对应的一个特征向量；能够计算多次变换的结果；应用二阶矩阵的特征值、特征向量求解实际问题． 1 －4 (江苏高考)已知矩阵 A 的逆矩阵 A－1＝ 1 2 3 4 ， 1 －2
－ 1 . 0 1 － 2 ， 0
0 0 1＝ 2 1
设直线 x－y－1＝0 上任意一点 P(x0，y0)在矩阵 M 对应的变换作用下的对应点 P′(x，y)， 0 则 1 1 1 －2 x0 －2y0 x ＝＝， y y 0 0 x0
命题热点关注章末小结高频考点例析
考点一考点二考点三
* 考情分析矩阵与变换是新增内容，限制了矩阵为二阶矩阵，因此运算求解难度都不大，大多为基础题，考查基本概念与方法．
* 真题体验 1．(福建高考)设曲线 2x ＋2xy＋y ＝1 在矩阵对应的变换作用下得到的曲线为 x2＋y2＝1. (1)求实数 a，b 的值； (2)求 A2 的逆矩阵．
令 f(»)＝0，解得矩阵 A 的特征值 »1＝－1，»2＝4.
[例 6]
给定矩阵
1 M＝ 2
1 2 ，向量 ± ＝ . 1 7
(1)求 M 的特征值及对应的特征向量 e1，e2； (2)确定实数 m，n 使向量 ± 可表示为 ±＝me1＋ne2； (3)利用(2)中表达式间接计算 M2008±. [解] (1)特征多项式－2 2 ＝ ( » － 1) － 4， »－1
又点 P′(x′，y′)在 x2＋y2＝1 上，所以 x′2＋y′2＝1，即 a2x2＋(bx＋y)2＝1，整理得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1.
2 2 a ＋ b ＝2 ，依题意得 2b＝2，
a＝1，解得 b＝ 1 ，
a＝－1，或 b＝1.
系数矩阵 A 可逆，此时方程组有唯一解，
b d － detA detA －1 2 ＝而 A ＝ a －3 － c detA detA 所以 X＝A 1B
－
－ 1 ， 2
2 ＝－ 3
－ 1 1 2×1－1×2 0 2 ＝＝ 1 . 2 －3×1＋2×2
因为
a＝1， a＞0，所以 b＝1. 1 0 2 ， A ＝ 1 1 1 ＝－ 2 0 1 1 1 0 1 ＝ 1 2
1 (2)由(1)知，A＝ 1
0 ， 1
所以|A |＝1，(A )
a＋3c 即 2a＋5c b＋3d 1 0 ＝0 1， 2b＋5d b＋3d＝0，以及 2b＋5d＝1.
a ＝ c
a＋3c＝1，根据矩阵相等得 2a＋5c＝0
解得 a＝－5，b＝3，c＝2，d＝－1，所以 A
1 e1 ＝ 1， »－1 f(»)＝－2
令 f(»)＝0，得 »1＝3，»2＝－1. M 的特征值 »1＝3 对应的特征向量特征值 »2＝－1 对应的特征向量
1 e2＝－1，
(2)因为 ±＝me1＋ne2，
1 1 1 m＋n＝1，所以＝m ＋n ，即 7 1 －1 m－n＝7.
2
2
－1
0 . 1
2．(江苏高考)已知矩阵 A2±＝² .
解：A 设
2
1 A＝ 2
1 1 ，向量 ² ＝ 2.求向量 ±，使得 1
1 ＝ 2
1 1 1 3 ＝ 1 2 1 4
2 . 3
x＝0，即 y＝1.
求曲线在平面变换下的方程
掌握平面变换与对应矩阵之间的相互转化关系，理解矩阵乘法与复合变换之间的关系． [例 3] 二阶矩阵 M1 和 M2 对应的变换对正方形区域的作用
结果如下图．
(1)分别写出一个满足条件的矩阵 M1 和 M2； (2)根据(1)的结果，令 M＝M2M1，求直线 x－y－1＝0 在矩阵 M 对应的变换作用下的曲线方程．
掌握矩阵、逆矩阵的概念，矩阵相等的定义，二阶矩阵与平面向量的乘法规则，两个二阶矩阵的乘法法则及简单性质，会求逆矩阵，会用系数矩阵的逆矩阵或二阶行列式求解二元一次方程组．
[例 1]
求矩阵
－1
1 A＝ 2
3 的逆矩阵． 5
b [解] 设 A ，根据可逆矩阵的定义， d 1 3 a b 1 0 则＝ 2 5 c d 0 1，
2 x 1 y ＝2， 3
x ±＝ y .由
A
2
3 ±＝² ，得 4
3x＋2y＝1，从而 4x＋3y＝2.
解得 x＝－1，y＝2，所以
－1 ±＝ . 2
(2)设
m n B＝m±1＋n±2＝－3m＋n，
x0＝y， ∴ y0＝－2x.
因 x0－y0－1＝0，∴y＋2x－1＝0. 故所求曲线方程为 2x＋y－1＝0.
[例 4]
设矩阵
a M＝ 0
0 (其中 a＞0，b＞0)． b
－
(1)若 a＝2，b＝3，求矩阵 M 的逆矩阵 M 1； (2)若曲线 C： x2＋y2＝1 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下 x2 2 得到曲线 C′： 4 ＋y ＝1，求 a，b 的值． x1 y1 －1 解：(1)设矩阵 M 的逆矩阵 M ＝， x 2 y2
(2)设曲线 C 上任意一点 P(x，y)，它在矩阵 M 所对应的线性变换作用下得到点 P′(x′，y′)，
a 则 0 0 ax＝x′， x x′ ＝，即 b y y′ by＝y′，
x′ 2 又点 P′(x′，y′)在曲线 C′上，所以 4 ＋y′2＝1， a2x2 则 4 ＋b2y2＝1 为曲线 C 的方程．又已知曲线 C 的方程为又