2015年杭州市数学中考难题解析

2015 猜题1：（-1，0），如图所示；抛物线22y ax ax =+-（1）求点B 的坐标； （2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外）的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 若不存在，请说明理由．答：(1)过点B 作BD x ⊥轴，垂足为D ，∵90,BCD ACO ∠+∠=︒ACO OAC ∠+∠=∴;BCD CAO ∠=∠又∵90;BDC COA ∠=∠=︒,CB AC = ∴△BCD ≌△CAO ,∴BD =OC =1，CD =OA =2； ∴点B 的坐标为（-3，1）；（2）抛物线22y ax ax =+-经过点B (-3,1)解得12a =，所以抛物线解析式为211222y x x =+-； （3）假设存在P 、Q 两点，使得△ACP 是直角三角形：①若以AC 为直角边，点C 为直角顶点；则延长BC 至点1P ，使得1PC BC =，得到等腰直角三角形△1ACP ，过点1P作1PM x ⊥轴, ∵CP 1=BC ，1MCP BCD ∠=∠，190PMC BDC ∠=∠=︒；∴△1MPC ≌△DBC ∴CM =CD =2, ∴1PM =BD =1, 可求得点P 1（1，-1）； 经检验点P 1（1，-1）在抛物线211222y x x =+-上，使得△1ACP 是等腰直角三角形；②若以AC 为直角边，点A 为直角顶点；则过点A 作2AP CA ⊥,且使得2AP AC =,得到等腰直角三角形△2ACP ,过点P 2作2P N y ⊥轴，同理可证△2APN ≌△CAO ； ∴2NP =OA =2, AN =OC = 1, 可求得点2P （2，1）；经检验点2P （2，1）也在抛物线211222y x x =+-上，使得△2ACP 也是等腰直角三角形.猜题2：已知：在Rt △ABO 中，∠OAB=90°,∠BOA=30°，AB=2，若以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，点B 在第一象限内，将Rt △ABO 沿OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处.⑴求点C 的坐标；（3分）⑵若抛物线()20y ax bx a =+≠经过C.A 两点，求此抛物线的解析式；（4分）⑶若上述抛物线的对称轴与OB 交于点D ，点P 为线段DB 上一动点，过P 作y 轴的平行线，交抛物线于点M ，问：是否存在这样的点P ，使得四边形CDPM 请说明理由. （5分）答：⑴过点C 作CH ⊥x 轴，垂足为H∵在Rt △OAB 中，∠OAB ＝900，∠BOA ＝300，AB ＝2 ∴OB ＝4，OA ＝32由折叠知，∠COB ＝300，OC ＝OA ＝32∴∠COH ＝600，OH ＝3，CH ＝3∴C 点坐标为（3，3）⑵由抛物线bx ax y +=2（a ≠0）经过C （3，3）、A （32，0）两点，得()()⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ba b a 3232033322解得 ⎩⎨⎧=-=321b a∴此抛物线的解析式为：x x y 322+-= ⑶ 存在.因为x x y 322+-=的顶点坐标为（3，3）即为点C ，MP ⊥x 轴，设垂足为N ，PN ＝t ，因为∠BOA ＝300，所以ON ＝3t ， ∴P （3t ，t ）作PQ ⊥CD ，垂足为Q ，ME ⊥CD ，垂足为E把t x ⋅=3代入x x y 322+-=得：t t y 632+-=∴ M （3t ，t t 632+-），E （3，t t 632+-） 同理：Q （3，t ），D （3，1） 要使四边形CDPM 为等腰梯形，只需CE ＝QD 即()16332-=+--t t t ，解得：341=t ，12=t （舍） ∴ P 点坐标为（334，34） ∴ 存在满足条件的点P ，使得四边形CDPM 为等腰梯形，此时P 点的坐为（334，34） 猜题3：已知点A(6，0)，B(0，3)，线段AB 上一点C ，过C 分别作CD ⊥x 轴于D ，作CE ⊥y 轴于E ，若四边形ODCE 为正方形。

（1）求点C 的坐标；（2）若过点C 、E 的抛物线c bx ax y ++=2的顶点落在正方形ODCE 内（包括四边形上），求a 的取值范围；（3）在（2）题的抛物线中与直线AB 相交于点C 和另一点P ，若△PEC ∽△PBE ，求此时抛物线的解析式。

答：（1）设直线AB 的函数解析式：b kx y += 则⎩⎨⎧==+306b b k ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=321b k∴321+-=x y 由题意可设C （m,m ）,则有m m =+-321，解得2=m ∴C （2，2）（2）由（1）可得E （0，2） ∵抛物线的顶点在正方形内，且过C ，E 两点∴0>a ,且抛物线的对称轴为1=x ∵⎩⎨⎧==++2024c c b a 即a b 2-=∴顶点纵坐标a aa a ab ac -=-⨯=-244244422 ∴由题意得220≤-≤a ，解得20≤≤a（3）∵PEC ∆∽PBE ∆∴21===EC BE PE PB PC PE ，∠PEB=∠ECB 过点P 作PH ⊥EB 于点H ，可知PEH ∆∽CBE ∆H∴21==EC BE HE PH ∴可设P （22,+-m m ） ∵P 在直线321+-=x y 上，∴22321+-=+-m m 解得32-=m ∴P （310,32-），设抛物线k x a y +-=2)1(，可知⎪⎩⎪⎨⎧=+=+3109252k a k a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==4543k a ∴45)1(432+-=x y 猜题4：（本小题满分12分）．已知点M ，N 的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P 是抛物线214y x =上的一个动点．（1）求证：以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线1y =-的相切； （2）设直线PM 与抛物线214y x =的另一个交点为点Q ，连接NP ，NQ ，求证：PNM QNM ∠=∠．答：（1）设点P 的坐标为2001(,)4x x ，则 PM20114x ==+; 又因为点P 到直线1y =-的距离为220011(1)144x x --=+，所以，以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线1y =-相切．（2）如图，分别过点P ，Q 作直线1y =-的垂线，垂足分别为H ，R ．由（1）知，PH ＝PM ，同理可得，QM ＝QR ．因为PH ，MN ，QR 都垂直于直线1y =-，所以，PH ∥MN ∥QR ，于是QM MP RN NH=，所以QR PHRN HN=， 因此，Rt △PHN ∽Rt △QRN ．于是HNP RNQ ∠=∠，从而PNM QNM ∠=∠参考例题：例1：如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为（2，4），直线x=2与x 轴相交于点B ，连结OA ，抛物线2x y =从点O 沿OA 方向平移，与直线x=2交于点P ，顶点M 到A 点时停止移动． （引用）（1）求线段OA 所在直线的函数解析式； （2）设抛物线顶点M 的横坐标为m, ①用m 的代数式表示点P 的坐标； ②当m 为何值时，线段PB 最短； （3）当线段PB 最短时，相应的抛物线上是否存在点Q ，使△QMA 的面积与△PMA 的面积相等，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【研析】：（1）设OA 所在直线的函数解析式为y=kx ，因为A （2，4），∴2k=4，k=2，所以OA 所在直线的函数解析式为y=2x ；（2）①∵顶点M 的横坐标为m ，且在线段OA 上移动， ∴y=2m （0≤m ≤2），∴顶点M 的坐标为(m,2m)，∴抛物线函数解析式为2()2y xm m=-+， ∴当x=2时，2(2)2y m m=-+224m m =-+（0≤m ≤2）， ∴点P 的坐标是（2，224m m -+）； ② ∵PB=224m m -+=2(1)3m -+， 又∵0≤m ≤2， ∴当m=1时，PB 最短；（3）由（2）中的②可知，当线段PB 最短时，m=1，从而可知平移后抛物线的解析式为()212+-=x y . 假设在抛物线上存在点Q ，使Q M A P M A S S =， 设点Q 的坐标为（x ，223x x -+）. ①当点Q 落在直线OA 的下方时，过P 作直线PC//AO ，交y 轴于点C ， ∵PB=3，AB=4，∴AP=1，∴OC=1，∴C 点的坐标是（0，-1）. ∵点P 的坐标是（2，3），∴直线PC 的函数解析式为y=2x-1. ∵Q M A P M AS S =，∴点Q 落在直线y=2x-1上， ∴223x x -+=2x-1，解得122,2x x ==，所以点Q （2，3），∴点Q 与点P 重合，此时抛物线上不存在点Q ，使△QMA 与△APM 的面积相等； ②当点Q 落在直线OA 的上方时，作点P 关于点A 的对称称点D ，过D 作直线DE//AO ，交y 轴于点E ， ∵AP=1，∴EO=DA=1，∴E 、D 的坐标分别是（0，1），（2，5）， ∴直线DE 函数解析式为y=2x+1.∵Q M A P M AS S =，∴点Q 落在直线y=2x+1上，∴223x x -+=21x +.解得：12x =22x =代入y=2x+1，得15y =+25y =-∴此时抛物线上存在点(12Q ，()225,222--Q ，使△QMA 与△PMA 的面积相等.综上所述，抛物线上存在点(12Q ，()225,222--Q ，使△QMA 与△PMA 的面积相等.【概括总结】：动态的函数图象问题常常涉及到方程知识、坐标方法和数形结合思想.在抛物线上的存在性问题中，又经常需要用到一元二次方程的根及其判别式进行探索，先假设存在，后得出结论似乎已是解决存在性问题的基本方法.猜题1：如图（22），点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，连结CP 并延长，交AD 于E ，交BA 的延长线点F ．问：(1) 图中△APD 与哪个三角形全等？并说明理由． (2) 求证：△APE ∽△FPA ．(3) 猜想：线段PC 、PE 、PF 之间存在什么关系？并说明理由．答：(1) △APD ≌△CPD理由： ∵四边形ABCD 菱形 ∴AD=CD, ∠ADP=∠CDP 又∵PD=PD∴△APD ≌△CPD(2) 证明：∵△APD ≌△CPD ∴∠DAP=∠DCP∵CD ∥BF ∴∠DCP=∠F ∴∠DAP= ∠F 又∵∠APE=∠FPA ∴△APE ∽△FPA(3) 猜想：PF PE PC ∙=2理由: ∵△APE ∽△FPA ∴PAPE FP AP = ∴ PF PE PA ∙=2∵△APD ≌△CPD∴PA=PC ∴PF PE PC ∙=2猜题2：如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上一点，且 AB=AE ． （1）求证：△ABC ≌△EAD ． （2）若AE 平分∠DAB ，，∠EAC=250，求∠AED 的度数．答：(1)证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ∥BC,AD=BC ∴∠DAE=∠AEB∵AB=AE ∴∠AEB=∠B , ∴∠DAE=∠B ∴△ABC ≌△EAD（2）∵∠DAE=∠BAE ，∠DAE=∠AEB ∴∠BAE=∠AEB=∠B∴△ABE 为等边三角形 ∴∠BAE=600，∵∠EAC=25 ∴∠BAC=850∵△ABC ≌△EAD ，∴∠AED=∠BAC=850猜题3：如图，在R t △ABC 中，∠ACB =90°，以AC 为直径的⊙O 与AB 边交于点D ，过点D 作⊙O 的切线，交BC 于点E .⑴求证：点E 是边BC 的中点； ⑵若EC=3，BD =62，求⊙O 的直径AC 的长度；⑶若以点O ，D ，E ，C 为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC 的 形状，并说明理由.答：⑴证明：连接DO ，∵∠ACB =90°，AC 为直径， ∴EC 为⊙O 的切线，B（第23题）AB第23题又∵ED 也为⊙O 的切线 ∴EC =ED . 又∵∠EDO =90° ∴∠BDE +∠ADO =90°， ∴∠BDE +∠A =90°， 又∵∠B +∠A =90° ∴∠BDE =∠B ， ∴EB =ED .∴EB =EC ，即点E 是边BC 的中点.⑵ ∵BC ，BA 分别是⊙O 的切线和割线， ∴BC 2=BD ·BA ∴（2EC ）2= BD ·BA 即BA ·62=36∴BA =63， （6分）在R t △ABC 中，由勾股定理得 AC =22BC AB -=226)63(-=23. ⑶ △ABC 是等腰直角三角形. 理由：∵四边形ODEC 为正方形∴∠DOC =∠ACB =90° 即DO ∥BC ，又∵点E 是边BC 的中点 ∴BC =2OD =AC ,∴△ABC 是等腰直角三角形.猜题4：如图，AB 是⊙O 的直径，以OA 为直径的⊙O 1与⊙O 2的弦相交于D ，DE ⊥OC ，垂足为E ． （1）求证：AD=DC ．（2）求证：DE 是⊙O 1的切线．答：证明：（1）连结OD ，AO 是直径90ADO AO CO ⇒∠=︒⎫⇒⎬=⎭AD=DC ．（2）连结O 1D ，111O D O A A ADO OA OC A C =⇒∠=∠⎫⎬=⇒∠=∠⎭190C ADO DE CE C CDE ⇒∠=∠⎫⎬⊥⇒∠+∠=︒⎭1119090ADO CDE O DE D O ⇒∠+∠=︒⇒∠=︒⎫⎬⎭在上⇒DE 是切线．参考例题：例1：全等证明如图，Rt △ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，直线AE•是经过点A•的任一直线，BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E ，若BD>CE ，试问：（引用）（1）AD 与CE 的大小关系如何？请说明理由． （2）你能说明DE=BD-CE 的理由吗？【研析】（1）909090BAC BAD CAE BD AE BAD ABD ∠=︒⇒∠+∠=︒⎫⇒⎬⊥⇒∠+∠=︒⎭∠CAE=∠ABD ．又∵AB=AC ，∠ADB=∠AEC=90°， ∴△ABD ≌△CAE ，∴AD=CE ．（2）∵△ABD ≌△CAE ，∴BD=AE ． ∴DE=AE-AD=BD-CE ．【归纳总结】三角形全等证明考生需要注意：1.全等判定定理（“SSS ”，“SAS ”等）必须牢固掌握，同时有几条特殊线：中位线、中垂线、中线、角平分线及垂线的概念与性质和三角形内外角关系也是考试时经常要用到的。