人教版八年级数学上册-专题练习：因式分解
八年级上册数学同步练习题库：因式分解(填空题：一般)
因式分解（填空题：一般）1、在实数范围内因式分解：=______________________；2、分解因式：_______．3、分解因式：4、分解因式结果为_____________.5、把多项式2m2﹣8n2分解因式的结果是．6、分解因式：ab﹣b2=_____．7、分解因式：=_________________．8、分解因式：= ．9、分解因式：a3﹣a= ．10、因式分解：﹣2x2y+12xy﹣18y= ．11、分解因式：﹣x2+2x﹣1= ．12、分解因式x3－4x的结果是________.13、因式分解：y3﹣4x2y=______．14、在实数范围内分解因式_____________.15、若多项式x−mx−21可以分解为(x+3)(x−7)，则m=________。
16、多项式10m2－25mn的公因式是_________.17、若x＋y＝2，则代数式x2＋xy＋y2＝________．18、在实数范围内因式分解：_______________________．19、因式分解：=___________________．20、已知,则代数式的值是__________21、计算：2 015×2 017－2 0162＝__________．22、分解因式： ________________．23、在实数范围内分解因式 = _________24、分解因式：ax2+2ax+a=____________．25、分解因式：ax2－4axy+4ay2=__________________.26、分解因式：3ma﹣6mb=_______．27、四式分解：__________．28、分解因式：x2y﹣6xy+9y=_______．29、因式分解4m2﹣n2=_______．30、因式分解：a2﹣3ab=__．31、分解因式：3x2﹣6xy=__．32、因式分解：_____．33、分解因式：x2-16y2=_______.34、分解因式：＝_______．35、分解因式：＝_______．36、若多项式x2+ax﹣2分解因式的结果为（x+1）（x﹣2），则a的值为_____．37、分解因式：4x2﹣16=_____．38、分解因式：ma2﹣4ma+4m=_____．39、分解因式：ax2﹣2a2x+a3=_____________ .40、分解因式：a3﹣4a（a﹣1）= ．41、已知不等式组的解集是2<x<3,分解因式x2-3x-2mn=__________________．42、在实数范围内分解因式：__________．43、若a2﹣b2=，a﹣b=，则a+b的值为_____．44、在实数范围内分解因式：3x2﹣6y2=_____．45、右图中四边形均为长方形，根据图形，写出一个正确的等式：_____________．46、分解因式：____________________．47、分解因式： ______________．48、把多项式4x2y﹣4xy2﹣x3分解因式的结果是______________49、分解因式：x2y﹣y=______________．50、因式分解：m（x﹣y）+n（x﹣y）=____________．51、分解因式：9x3﹣18x2+9x= ．52、分解因式：a3b-2a2b2+ab3= ．53、分解因式：ab2﹣4ab+4a=_________．54、分解因式：a3﹣4ab2=55、分解因式：__________.56、已知x+y=6，xy=4，则x2y+xy2的值为．57、因式分解：（a+b）2﹣4b2=_______．58、分解因式：___________。
第14章 整式的乘法与因式分解 人教版数学八年级上册同步提优专题训练(含答案)
专题训练 整式的乘法与因式分解1.[2020·遵义]下列计算正确的是( )A.x2+x=x3B.(-3x)2=6x2C.8x4÷2x2=4x2D.(x-2y)(x+2y)=x2-2y22.[2019·绵阳]已知4m=a,8n=b,其中m,n为正整数,则22m+6n可以表示为( )A.ab2B.a+b2C.a2b3D.a2+b33.[2020·益阳]下列因式分解正确的是( )A.a(a-b)-b(a-b)=(a-b)(a+b)B.a2-9b2=(a-3b)2C.a2+4ab+4b2=(a+2b)2D.a2-ab+a=a(a-b)4.[2020·淮安]如果一个数等于两个连续奇数的平方差,那么我们称这个数为“幸福数”.下列数中为“幸福数”的是( )A.205B.250C.502D.5205.[2018·乐山]已知实数a,b满足a+b=2,ab=34,则a-b的值为( )A.1B.-52C.±1 D.±526.[2020·乐山改编]已知3m=4,32m-4n=2.若9n=x,则x的值为( )A.8B.4C.8D.27.[2020·武汉]计算:[a3·a5+(3a4)2]÷a2= .8.[2020·成都]已知a=7-3b,则式子a2+6ab+9b2的值为 .9.[2020·聊城]分解因式:x(x-2)-x+2= .10.[2020·绥化]分解因式:m3n2-m= .11.[2020·杭州]设M=x+y,N=x-y,P=xy.若M=1,N=2,则P= .12.[2020·南通]计算:(2m+3n)2-(2m+n)(2m-n).13.[2020·北京]已知5x2-x-1=0,求式子(3x+2)(3x-2)+x(x-2)的值.14.[2019·河池]分解因式:(x-1)2+2(x-5).15.[2018·衢州]有一张边长为a厘米的正方形桌面,因为实际需要,需将正方形边长增加b厘米,木工师傅设计了如图4-T-1所示的三种方案:图4-T-1小明发现这三种方案都能验证公式:a2+2ab+b2=(a+b)2.对于方案一,小明是这样验证的:a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2.请你根据方案二、方案三,写出公式的验证过程.方案二:方案三:16.[2018·安庆模拟]特殊两位数乘法的速算——如果两个两位数的十位数字相同,个位数字相加为10,那么能立即说出这两个两位数的乘积.如果这两个两位数分别写作AB和AC(即十位数字为A,个位数字分别为B,C,B+C=10,A>3),那么它们的乘积是一个四位数,前两位数字是A和(A+1)的乘积,后两位数字就是B和C的乘积.如:47×43=2021,61×69=4209.(1)请你直接写出83×87的计算结果;(2)设这两个两位数的十位数字为x(x>3),个位数字分别为y和z(y+z=10),通过计算验证这两个两位数的乘积为100x(x+1)+yz;(3)计算:99991×99999= .17.[2019·随州]若一个两位数十位、个位上的数字分别为m,n,我们可将这个两位数记为mn,易知mn=10m+n;同理,一个三位数、四位数等均可以用此记法,如abc=100a+10b+c.【基础训练】(1)解方程填空:①若2x+x3=45,则x= ;②若7y-y8=26,则y= ;③若t93+5t8=13t1,则t= .【能力提升】(2)交换任意一个两位数mn的个位数字与十位数字,可得到一个新数nm,则mn+nm一定能被 整除,mn-nm一定能被 整除,mn·nm-mn一定能被 整除(请从大于5的整数中选择合适的数填空).【探索发现】(3)北京时间2019年4月10日21时,人类拍摄的首张黑洞照片问世,黑洞是一种引力极大的天体,连光都逃脱不了它的束缚.数学中也存在有趣的黑洞现象:任选一个三位数,要求个、十、百位的数字各不相同,把这个三位数的三个数字按大小顺序重新排列,得出一个最大的数和一个最小的数,用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数(例如若选的数为325,则用532-235=297),再将这个新数按上述方式重新排列,再相减,像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数,这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”.①该“卡普雷卡尔黑洞数”为 ;②设任选的三位数为abc(不妨设a>b>c),试说明其均可产生该黑洞数.典题讲评与答案详析1.C2.A [解析] ∵4m =a ,8n =b ,∴22m+6n =22m ×26n =(22)m ×(23)2n =4m ×82n =4m ×(8n )2=ab 2.故选A .3.C4.D [解析] 设较小的奇数为x ,较大的奇数为x+2,根据题意得(x+2)2-x 2=(x+2-x )(x+2+x )=4x+4.若4x+4=205,即x=2014,不为整数,不符合题意;若4x+4=250,即x=2464,不为整数,不符合题意;若4x+4=502,即x=4984,不为整数,不符合题意;若4x+4=520,即x=129,符合题意.5.C [解析] ∵a+b=2,ab=34,∴(a+b )2=4=a 2+2ab+b 2.∴a 2+b 2=52.∴(a-b )2=a 2-2ab+b 2=1.∴a-b=±1.6.C [解析] ∵3m =4,32m-4n =(3m )2÷(3n )4=2,∴42÷(3n )4=2.∴(3n )4=42÷2=8.又∵9n =32n =x ,∴(3n )4=(32n )2=x 2.∴x 2=8.∵x>0,∴x=8.7.10a 68.49 [解析] ∵a=7-3b ,∴a+3b=7.∴a 2+6ab+9b 2=(a+3b )2=72=49.9.(x-2)(x-1)10.m (mn+1)(mn-1)11.-34 [解析] (x+y )2=x 2+2xy+y 2=1,(x-y )2=x 2-2xy+y 2=4.两式相减得4xy=-3,解得xy=-34.∴P=-34.12.解:原式=4m 2+12mn+9n 2-(4m 2-n 2)=4m 2+12mn+9n 2-4m 2+n 2=12mn+10n 2.13.解:(3x+2)(3x-2)+x(x-2)=9x2-4+x2-2x=10x2-2x-4.∵5x2-x-1=0,∴5x2-x=1.∴原式=2(5x2-x)-4=-2.14.解:原式=x2-2x+1+2x-10=x2-9=(x+3)(x-3).15.解:方案二:a2+ab+(a+b)b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2.方案三:a2+[a+(a+b)]b2+[a+(a+b)]b2=a2+ab+12b2+ab+12b2=a2+2ab+b2=(a+b)2.16.解:(1)7221.(2)验证:(10x+y)(10x+z)=100x2+10xz+10xy+yz=100x2+10x(y+z)+yz=100x2+100x+yz=100x(x+1)+yz.(3)999900000917.解:(1)①∵mn=10m+n,∴若2x+x3=45,则10×2+x+10x+3=45,解得x=2.故答案为2.②若7y-y8=26,则10×7+y-(10y+8)=26,解得y=4.故答案为4.③由abc=100a+10b+c及四位数的类似公式,得若t93+5t8=13t1,则100t+10×9+3+100×5+10t+8=1000×1+100×3+10t+1,解得t=7.故答案为7.(2)∵mn+nm=10m+n+10n+m=11m+11n=11(m+n),∴mn+nm一定能被11整除.∵mn-nm=10m+n-(10n+m) =9m-9n=9(m-n),∴mn-nm一定能被9整除.∵mn·nm-mn=(10m+n)(10n+m)-mn=100mn+10m2+10n2+mn-mn=10(10mn+m2+n2),∴mn·nm-mn一定能被10整除.故答案为11,9,10.(3)①若选的数为325,则用532-235=297.以下按照上述规则继续计算:972-279=693,963-369=594,954-459=495,954-459=495,….故答案为495.②当任选的三位数为abc时,第一次运算后得100a+10b+c-(100c+10b+a)=99(a-c),结果为99的倍数.∵a>b>c,∴a≥b+1≥c+2.∴a-c≥2.又∵9≥a>c≥0,∴a-c≤9.∴a-c=2,3,4,5,6,7,8,9.∴第一次运算后可能得到198,297,396,495,594,693,792,891,再让这些数字经过运算,分别可以得到:981-189=792,972-279=693,963-369=594,954-459=495,954-459=495,….故均可产生黑洞数495.。
人教版八年级数学上册14.3因式分解 (培优) 专练(含答案解析)
人教版八年级数学上册：14.3因式分解（培优）专练习题一．选择题（共12小题）1．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（ ）A．﹣1B．﹣1或﹣11C．1D．1或112．已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（ ）A．25B．20C．15D．103．将a3b﹣ab进行因式分解，正确的是（ ）A．a（a2b﹣b）B．ab（a﹣1）2C．ab（a+1）（a﹣1）D．ab（a2﹣1）4．已知：a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，请你巧妙的求出代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值（ ）A．3B．2C．1D．05．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（ ）A．﹣1B．0C．3D．66．已知496﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）A．61，63B．63，65C．65，67D．63，647．对于算式20183﹣2018，下列说法错误的是（ ）A．能被2016整除B．能被2017整除C．能被2018整除D．能被2019整除8．已知a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（ ）A．0B．1C．2D．39．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（ ）A．（x﹣3）（b2+b）B．b（x﹣3）（b+1）C．（x﹣3）（b2﹣b）D．b（x﹣3）（b﹣1）10．多项式x2+7x﹣18因式分解的结果是（ ）A．（x﹣1）（x+18）B．（x+2）（x+9）C．（x﹣3）（x+6）D．（x﹣2）（x+9）11．若k为任意整数，且993﹣99能被k整除，则k不可能是（ ）A．50B．100C．98D．9712．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n＝p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算．例如：12＝1×12＝2×6＝3×4，则．那么以下结论中：①；②；③若n是一个完全平方数，则F（n）＝1；④若n是一个完全立方数（即n＝a3，a是正整数），则．正确的个数为（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共6小题）13．已知a＝，b＝，c＝，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是 ．14．已知a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝ ．15．已知a，b，c满足a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，a3+b3+c3＝5．则a4+b4+c4的值是 ．16．已知ab＝3，a+b＝5，则a3b+2a2b2+ab3的值 ．17．已知x，y，z是△ABC的三边，且满足2xy+x2＝2yz+z2，则△ABC的形状是 ．18．已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2019＝ ．三．解答题（共5小题）19．因式分解：a2﹣2ab+b2﹣1．20．因式分解．（1）a2（x+y）﹣4b2（x+y）（2）p2（a﹣1）+p（1﹣a）（3）．21．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判定△ABC的形状．22．观察下列各式．①4×1×2+1＝（1+2）2；②4×2×3+1＝（2+3）2；③4×3×4+1＝（3+4）2…（1）根据你观察、归纳，发现的规律，写出4×2016×2017+1可以是哪个数的平方？（2）试猜想第n个等式，并通过计算验证它是否成立．（3）利用前面的规律，将4（x2+x）（x2+x+1）+1因式分解．23．定义：若数p可以表示成P＝x2+y2﹣xy（x，y为自然数）的形式，则称P为“希尔伯特”数．例如：3＝22+11﹣2×1，39＝72+52﹣7×5，147＝132+112﹣13×11…所以3，39，147是“希尔伯特”数．（1）请写出两个10以内的“希尔伯特”数．（2）像39，147这样的“希尔伯特”数都是可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，试说明所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．（3）已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是224，求这两个“希尔伯特”数．人教版八年级数学上册14.3因式分解培优专练习题参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（ ）A．﹣1B．﹣1或﹣11C．1D．1或11【解答】解：a2﹣ab﹣ac+bc＝11（a2﹣ab）﹣（ac﹣bc）＝11a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝11（a﹣b）（a﹣c）＝11∵a＞b，∴a﹣b＞0，a，b，c是正整数，∴a﹣b＝1或11，a﹣c＝11或1．故选：D．2．已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（ ）A．25B．20C．15D．10【解答】解法一：∵x2﹣2x﹣5＝0，∴x2＝2x+5，∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，＝（2x+5）2﹣2x（2x+5）+x2﹣12x﹣5＝4x2+20x+25﹣4x2﹣10x+x2﹣12x﹣5＝x2﹣2x﹣5+25＝25．解法二：∵x2﹣2x﹣5＝0，∴x2﹣2x＝5，∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5＝x2（x2﹣2x+1）﹣12x﹣5＝6x2﹣12x﹣5＝6（x2﹣2x）﹣5＝6×5﹣5＝25．故选：A．3．将a3b﹣ab进行因式分解，正确的是（ ）A．a（a2b﹣b）B．ab（a﹣1）2C．ab（a+1）（a﹣1）D．ab（a2﹣1）【解答】解：a3b﹣ab＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1），故选：C．4．已知：a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，请你巧妙的求出代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值（ ）A．3B．2C．1D．0【解答】解：∵a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，a﹣c＝﹣2，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝＝＝＝＝＝3，故选：A．5．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（ ）A．﹣1B．0C．3D．6【解答】解：a2b+ab2﹣a﹣b＝（a2b﹣a）+（ab2﹣b）＝a（ab﹣1）+b（ab﹣1）＝（ab﹣1）（a+b）将a+b＝3，ab＝1代入，得原式＝0．故选：B．6．已知496﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）A．61，63B．63，65C．65，67D．63，64【解答】解：利用平方式公式进行分解该数字：496﹣1＝（448+1）（448﹣1）＝（448+1）（424+1）（424﹣1）＝（448+1）（424+1）（412+1）（46+1）（43+1）（43﹣1）＝（448+1）（424+1）（412+1）（46+1）×65×63故选：B．7．对于算式20183﹣2018，下列说法错误的是（ ）A．能被2016整除B．能被2017整除C．能被2018整除D．能被2019整除【解答】解：20183﹣2018＝2018（20182﹣1）＝2018×（2018+1）（2018﹣1）＝2018×2019×20172018×2019×2017能被2017、2018、2019整除，不能被2016整除．故选：A．8．已知a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（ ）A．0B．1C．2D．3【解答】解：∵a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝＝＝＝＝3，故选：D．9．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（ ）A．（x﹣3）（b2+b）B．b（x﹣3）（b+1）C．（x﹣3）（b2﹣b）D．b（x﹣3）（b﹣1）【解答】解：b2（x﹣3）+b（x﹣3），＝b（x﹣3）（b+1）．故选：B．10．多项式x2+7x﹣18因式分解的结果是（ ）A．（x﹣1）（x+18）B．（x+2）（x+9）C．（x﹣3）（x+6）D．（x﹣2）（x+9）【解答】解：原式＝（x﹣2）（x+9）．故选：D．11．若k为任意整数，且993﹣99能被k整除，则k不可能是（ ）A．50B．100C．98D．97【解答】解：∵993﹣99＝99×（992﹣1）＝99×（99+1）×（99﹣1）＝99×100×98，∴k可能是99、100、98或50，故选：D．12．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n＝p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算．例如：12＝1×12＝2×6＝3×4，则．那么以下结论中：①；②；③若n是一个完全平方数，则F（n）＝1；④若n是一个完全立方数（即n＝a3，a是正整数），则．正确的个数为（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：依据新运算可得①2＝1×2，则，正确；②24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，则，正确；③若n是一个完全平方数，则F（n）＝1，正确；④若n是一个完全立方数（即n＝a3，a是正整数），如64＝43＝8×8，则F（n）不一定等于，故错误．故选：C．二．填空题（共6小题）13．已知a＝，b＝，c＝，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是 6 ．【解答】解：a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝（﹣1）2+（﹣4）2+（﹣1）2＝1+4+1＝6故答案为6．14．已知a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝ 3 ．【解答】解：∵a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，则原式＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]＝3．故答案为：3．15．已知a，b，c满足a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，a3+b3+c3＝5．则a4+b4+c4的值是 ．【解答】解：∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（ab+bc+ac），a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，∴1＝3+2（ab+bc+ac），∴ab+bc+ac＝﹣1，∵a3+b3+c3﹣3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac），a3+b3+c3＝5∴5﹣3abc＝3+1∴abc＝，∵（ab+bc+ac）2＝a2b2+b2c2+a2c2+2abc（a+b+c）∴1＝a2b2+b2c2+a2c2+∴a2b2+b2c2+a2c2＝∵（a2+b2+c2）2＝a4+b4+c4+2（a2b2+b2c2+a2c2）∴9＝a4+b4+c4+∴a4+b4+c4＝．故答案为：．16．已知ab＝3，a+b＝5，则a3b+2a2b2+ab3的值 75 ．【解答】解：∵a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2又已知ab＝3，a+b＝5，∴原式＝3×52＝75故答案为：75．17．已知x，y，z是△ABC的三边，且满足2xy+x2＝2yz+z2，则△ABC的形状是 等腰三角形 ．【解答】解：∵2xy+x2＝2yz+z2，∴2xy+x2﹣2yz﹣z2＝0，因式分解得：（x﹣z）（x+z+2y）＝0，∵x，y，z是△ABC的三边，∴x+z+2y≠0，∴x﹣z＝0，∴x＝z，∴△ABC是等腰三角形；故答案为：等腰三角形．18．已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2019＝ 2020 ．【解答】解：∵a2+a﹣1＝0∴a2+a＝1∴a3+a2＝a又∵a3+2a2+2019＝a3+a2+a2+2019＝a+a2+2019＝1+2019＝2020∴a3+2a2+2019＝2020三．解答题（共5小题）19．因式分解：a2﹣2ab+b2﹣1．【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣1，＝（a﹣b）2﹣1，＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．20．因式分解．（1）a2（x+y）﹣4b2（x+y）（2）p2（a﹣1）+p（1﹣a）（3）．【解答】解：（1）原式＝（x+y）（a2﹣4b2）＝（x+y）（a+2b）（a﹣2b）；（2）原式＝（a﹣1）（p2﹣p）＝p（a﹣1）（p﹣1）；（3）原式＝＝＝．21．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判定△ABC的形状．【解答】解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，∴a4﹣b4﹣a2c2+b2c2＝0，∴（a4﹣b4）﹣（a2c2﹣b2c2）＝0，∴（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）＝0，∴（a2+b2﹣c2）（a2﹣b2）＝0得：a2+b2＝c2或a＝b，或者a2+b2＝c2且a＝b，即△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．22．观察下列各式．①4×1×2+1＝（1+2）2；②4×2×3+1＝（2+3）2；③4×3×4+1＝（3+4）2…（1）根据你观察、归纳，发现的规律，写出4×2016×2017+1可以是哪个数的平方？（2）试猜想第n个等式，并通过计算验证它是否成立．（3）利用前面的规律，将4（x2+x）（x2+x+1）+1因式分解．【解答】解：（1）根据观察、归纳、发现的规律，得到4×2016×2017+1＝（2016+2017）2＝40332；（2）猜想第n个等式为4n（n+1）+1＝（2n+1）2，理由如下：∵左边＝4n（n+1）+1＝4n2+4n+1，右边＝（2n+1）2＝4n2+4n+1，∴左边＝右边，∴4n（n+1）+1＝（2n+1）2；（3）利用前面的规律，可知4（x2+x）（x2+x+1）+1＝（x2+x+x2+x+1）2＝（x2+2x+1）2＝（x+1）4．23．定义：若数p可以表示成P＝x2+y2﹣xy（x，y为自然数）的形式，则称P为“希尔伯特”数．例如：3＝22+11﹣2×1，39＝72+52﹣7×5，147＝132+112﹣13×11…所以3，39，147是“希尔伯特”数．（1）请写出两个10以内的“希尔伯特”数．（2）像39，147这样的“希尔伯特”数都是可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，试说明所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．（3）已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是224，求这两个“希尔伯特”数．【解答】解：（1）∵0＝02+02×0，1＝12+02﹣1×0，3＝22+11﹣2×1，4＝22+02﹣2×0，7＝22+32﹣2×3，9＝32+02﹣3×0，∴10以内的“希尔伯特”数有0，1，3，4，7，9；（2）设“希尔伯特”数为（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）．（n为自然数）∵（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）＝4n2+3，∵4n2能被4整除，∴所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．（3）设两个“希尔伯特”数分别为：（2m+1）2+（2m﹣1）2﹣（2m+1）（2m﹣1）和（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）．（m，n为自然数）．由题意：（2m+1）2+（2m﹣1）2﹣（2m+1）（2m﹣1）﹣[（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）]＝224，∴m2﹣n2＝56，∴（m+n）（m﹣n）＝56，可得整数解：或，∴这两个“希尔伯特”数分别为：327和103或903和679．。
人教版八年级数学上册因式分解专项练习(含知识点)
八年级数学因式分解专项练习一、填空题：1、=-222y y x ； 2、=+-3632a a3、2x ²－4xy －2x = (x －2y －1)4、4a ³b ²－10a ²b ³ = 2a ²b ² ( )5、(1－a)mn ＋a －1=( )(mn －1)6、m(m －n)²－(n －m)²=( )( )7、x ²－( )＋16y ² =( ) ²8、a ²－4(a －b)²=( )·( )9、16(x －y)²－9(x ＋y)² =( )·( ) 10、(a ＋b)³－(a ＋b)=(a ＋b)·( )·( ) 11、x ²＋3x ＋2=( )( )12、已知x ²＋px ＋12=(x －2)(x －6)，则p= 13、若。
＝，，则b a b b a ==+-+-0122214、若()22416-=+-x mx x ，那么m=15、如果。
，则=+=+-==+2222,7,0y x xy y x xy y x16、已知31=+a a ，则221a a +的值是 17、如果2a+3b=1,那么3-4a-6b=18、若n mx x ++2是一个完全平方式，则n m 、的关系是 19、分解因式：2212a b ab -+-=20、如果()()22122163a b a b +++-=，那么a b +的值为二、选择题：21、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为............（ ）A 、bx ax b a x -=-)(B 、222)1)(1(1y x x y x ++-=+- C 、)1)(1(12-+=-x x xD 、c b a x c bx ax ++=++)(22、一个多项式分解因式的结果是)2)(2(33b b -+，那么这个多项式是.................................................（ ）A 、46-bB 、64b -C 、46+bD 、46--b23、下列各式是完全平方式的是...........................（ ） A 、412+-x xB 、21x +C 、1++xy xD 、122-+x x24、把多项式)2()2(2a m a m -+-分解因式等于...............（ ） A 、))(2(2m m a +- B 、))(2(2m m a --C 、m(a-2)(m-1)D 、m(a-2)(m+1)25、2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-因式分解的结果是.........（ ） A 、2)5(b a - B 、2)5(b a + C 、)23)(23(b a b a +- D 、2)25(b a -26、下列多项式中，含有因式)1(+y 的多项式是.............（ ）A 、2232x xy y --B 、22)1()1(--+y yC 、)1()1(22--+y yD 、1)1(2)1(2++++y y 27、分解因式14-x 得....................................（ ） A 、)1)(1(22-+x x B 、22)1()1(-+x x C 、)1)(1)(1(2++-x x x D 、3)1)(1(+-x x28、已知多项式c bx x ++22分解因式为)1)(3(2+-x x ，则c b ,的值为.................................................（ ） A 、1,3-==c b B 、2,6=-=c b C 、4,6-=-=c b D 、6,4-=-=c b29、c b a 、、是△ABC 的三边，且bc ac ab c b a ++=++222，那么△ABC 的形状是.............................................（ ） A 、直角三角形 B 、等腰三角形 C 、等腰直角三角形 D 、等边三角形30、()()22x a x ax a -++的计算结果是....................( )(A)、3232x ax a +-(B)、33x a -(C)、3232x a x a +-(D)、222322x ax a a ++-31、用提提公因式法分解因式5a(x －y)－10b ·(x －y)，提出的公因式应当为...........................................（ ） A 、5a －10b B 、5a ＋10b C 、5(x －y) D 、y －x32、把－8m ³＋12m ²＋4m 分解因式，结果是..................（ ） A 、－4m(2m ²－3m) B 、－4m(2m ²＋3m －1) C 、－4m(2m ²－3m －1) D 、－2m(4m ²－6m ＋2) 33、把16－x4分解因式，其结果是..........................（ ） A 、(2－x)4 B 、(4＋x ²)( 4－x ²) C 、(4＋x ²)(2＋x)(2－x) D 、(2＋x)³(2－x)34、把a4－2a ²b ²＋b4分解因式，结果是......................（ ） A 、a ² (a ²－2b ²)＋b4 B 、(a ²－b ²)² C 、(a －b)4 D 、(a ＋b)²(a －b)²35、把多项式2x ²－2x ＋21分解因式，其结果是..............（ ）A 、(2x －21)²B 、2(x －21)²C 、(x －21)²D 、21(x －1) ²36、若9a ²＋6(k －3)a ＋1是完全平方式，则 k 的值是.........（ ） A 、±4 B 、±2 C 、3 D 、4或237、－（2x －y ）(2x ＋y)是下列哪个多项式分解因式的结果...（ ） A 、4x ²－y ² B 、4x ²＋y ² C 、－4x ²－y ² D 、－4x ²＋y ²38、多项式x2＋3x －54分解因式为........................（ ） A 、(x ＋6)(x －9) B 、(x －6)(x ＋9)C 、(x ＋6)(x ＋9)D 、 (x －6)(x －9)39、若a 、b 、c 为一个三角形的三边，则代数式（a －c ）²－b ²的值为.................................................（ ） A 、一定为正数 B 、一定为负数 C 、可能为正数，也可能为负数 D 、可能为零40、下列分解因式正确的是..............................( )(A)32(1)x x x x -=-． (B)26(3)(2)m m m m +-=+-. (C)2(4)(4)16a a a +-=-. (D)22()()x y x y x y +=+-. 41、如图：矩形花园ABCD 中，a AB =，b AD =， 花园中建有一条矩形道路LMPQ 及一条平行 四边形道路RSTK 。
八年级数学上册 整式的乘法与因式分解专题练习(解析版)
八年级数学上册整式的乘法与因式分解专题练习（解析版）一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）1．已知a=2012x+2011，b=2012x+2012，c=2012x+2013，那么a2+b2+c2—ab－bc－ca的值等于( )A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】【分析】首先把a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac两两结合为a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac，利用提取公因式法因式分解，再把a、b、c代入求值即可．【详解】a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac＝a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣a）当a＝2012x+2011，b＝2012x+2012，c＝2012x+2013时，a-b=－1，b－c=－1，c－a=2，原式＝（2012x+2011）×（﹣1）+（2012x+2012）×（﹣1）+（2012x+2013）×2＝﹣2012x﹣2011﹣2012x﹣2012+2012x×2+2013×2＝3．故选D．【点睛】本题利用因式分解求代数式求值，注意代数之中字母之间的联系，正确运用因式分解，巧妙解答题目．2．多项式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一个因式是x﹣2y，另一个因式是（）A．x+2y+1 B．x+2y﹣1 C．x﹣2y+1 D．x﹣2y﹣1【答案】C【解析】【分析】首先将原式重新分组，进而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案．【详解】解：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2＝（x2﹣4xy+4y2）+（x﹣2y）＝（x﹣2y）2+（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x﹣2y+1）．故选：C．【点睛】此题考察多项式的因式分解，项数多需用分组分解法，在分组后得到两项中含有公因式（x-2y），将其当成整体提出，进而得到答案.3．已知a ＝2018x ＋2018，b ＝2018x ＋2019，c ＝2018x ＋2020，则a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc 的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D【解析】【分析】 把已知的式子化成12[（a-b ）2+（a-c ）2+（b-c ）2]的形式，然后代入求解即可． 【详解】原式=12（2a 2+2b 2+2c 2-2ab-2ac-2bc ） =12[（a 2-2ab+b 2）+（a 2-2ac+c 2）+（b 2-2bc+c 2）] =12[（a-b ）2+（a-c ）2+（b-c ）2] =12×（1+4+1） =3，故选D.【点睛】本题考查了因式分解的应用，代数式的求值，正确利用因式分解的方法把所求的式子进行变形是关键．4．已知a 与b 互为相反数且都不为零，n 为正整数，则下列两数互为相反数的是( ) A ．a 2n －1与－b 2n －1 B ．a 2n －1与b 2n －1 C ．a 2n 与b 2n D ．a n 与b n【答案】B【解析】已知a 与b 互为相反数且都不为零，可得a 、b 的同奇次幂互为相反数，同偶次幂相等，由此可得选项A 、C 相等，选项B 互为相反数，选项D 可能相等，也可能互为相反数，故选B.5．若()(1)x m x +-的计算结果中不含x 的一次项，则m 的值是（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-2．【答案】A【解析】【分析】根据多项式相乘展开可计算出结果.【详解】 ()()1x m x +-=x 2+(m-1)x-m ，而计算结果不含x 项，则m-1=0，得m=1.【点睛】本题考查多项式相乘展开系数问题.6．若(x +y )2=9，(x -y )2=5，则xy 的值为（ ）A ．-1B ．1C ．-4D ．4【答案】B【解析】试题分析：根据完全平方公式，两数和（或差）的平方，等于两数的平方和，加减两数积的2倍，分别化简可知（x+y ）2=x 2+2xy+y 2=9①，（x ﹣y ）2= x 2-2xy+y 2=5②，①-②可得4xy=4，解得xy=1.故选B点睛：此题主要考查了完全平方公式的应用，解题关键是抓住公式的特点：两数和（或差）的平方，等于两数的平方和，加减两数积的2倍，然后比较各式的特点，直接进行计算，再两式相减即可求解..7．下列运算正确的是（ ）A ．236•a a a =B ．()325a a =C ．23•a ab a b -=-D ．532a a ÷=【答案】C【解析】【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方、单项式乘法、同底数幂除法法则即可求出答案．【详解】A ．原式＝a 5，故A 错误；B ．原式＝a 6，故B 错误；C ．23•a ab a b -=-，正确；D ．原式＝a 2，故D 错误．故选C ．【点睛】本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方、单项式乘法、同底数幂除法，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．8．已知4y 2+my +9是完全平方式，则m 为( )A ．6B ．±6C ．±12D ．12【答案】C【解析】【分析】原式利用完全平方公式的结构特征求出m 的值即可．【详解】∵4y 2+my +9是完全平方式，∴m =±2×2×3=±12．故选：C ．【点睛】此题考查完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．9．下列从左到右的变形，是因式分解的是( )A ．()()23x 3x 9x -+=-B ．()()()()y 1y 33y y 1+-=-+C ．()24yz 2y z z 2y 2z zy z -+=-+ D ．228x 8x 22(2x 1)-+-=-- 【答案】D【解析】【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．【详解】根据因式分解的定义得：从左边到右边的变形，是因式分解的是228x 8x 22(2x 1)-+-=--.其他不是因式分解:A,C 右边不是积的形式，B 左边不是多项式.故选D.【点睛】本题考查了因式分解的意义，注意因式分解后左边和右边是相等的，不能凭空想象右边的式子．10．观察下列两个多项式相乘的运算过程：根据你发现的规律，若（x +a ）（x +b ）=x 2-7x +12，则a ，b 的值可能分别是（ ） A ．3-，4-B ．3-，4C ．3，4-D ．3，4 【答案】A【解析】【分析】根据题意可得规律为712a b ab +=-⎧⎨=⎩，再逐一判断即可. 【详解】根据题意得，a ，b 的值只要满足712a b ab +=-⎧⎨=⎩即可， A.-3+（-4）=-7，-3×（-4）=12，符合题意；B.-3+4=1，-3×4=-12，不符合题意；C.3+（-4）=-1,3×（-4）=-12，不符合题意；D.3+4=7,3×4=12，不符合题意.故答案选A.【点睛】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是根据题意找出规律.二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）11．已知x ＝a 时，多项式x 2+6x+k 2的值为﹣9，则x ＝﹣a 时，该多项式的值为_____．【答案】27【解析】【分析】把x a =代入多项式，得到的式子进行移项整理，得22(3)a k +=-，根据平方的非负性把a 和k 求出，再代入求多项式的值．【详解】解：将x a =代入2269x x k ++=-，得：2269a a k ++=-移项得：2269a a k ++=-22(3)a k ∴+=-2(3)0a +，20k -30a ∴+=，即3a =-，0k =x a ∴=-时，222636327x x k ++=+⨯=故答案为：27【点睛】本题考查了代数式求值，平方的非负性．把a 代入多项式后进行移项整理是解题关键．12．将4个数a ，b ，c ，d 排列成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a b c d ，定义a bad bc c d =-，上述记号就叫做2阶行列式.若11611x x x x --=-+，则x=_________.【答案】4【解析】【分析】根据题目中所给的新定义运算方法可得方程 (x-1)（x+1）- (x-1）2=6，解方程求得x 即可.【详解】由题意可得，(x-1)（x+1）- (x-1）2=6，解得x=4.故答案为：4.【点睛】本题考查了新定义运算，根据新定义运算的运算方法列出方程是解本题的关键．13．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”(如图)，此图揭示了n(a b)(n +为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：0(a b)1+=，它只有一项，系数为1；系数和为1； 1(a b)a b +=+，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；222(a b)a 2ab b +=++，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；33223(a b)a 3a b 3ab b +=+++，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；⋯，则n (a b)+的展开式共有______项，系数和为______．【答案】n 1+ n 2【解析】【分析】本题通过阅读理解寻找规律，观察可得（a+b ）n （n 为非负整数）展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是1，中间各项系数等于（a+b ）n-1相邻两项的系数和．因此根据项数以及各项系数的和的变化规律，得出（a+b ）n 的项数以及各项系数的和即可．【详解】根据规律可得，（a+b ）n 共有（n+1）项，∵1=201+1=211+2+1=221+3+3+1=23∴（a+b ）n 各项系数的和等于2n故答案为n+1，2n【点睛】本题主要考查了完全平方式的应用，能根据杨辉三角得出规律是解此题的关键．在应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a ，b 可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式．14．5(m －n)4-(n-m)5可以写成________与________的乘积．【答案】 (m-n)4， （5+m-n ）【解析】把多项式5(m －n)4-(n-m)5运用提取公因式法因式分解即可得5(m －n)4-(n-m)5=(m －n)4（5+m-n ）.故答案为：(m-n)4，（5+m-n ）.15．(m+n+p+q) (m-n-p-q)＝（__________） 2-（__________） 2．【答案】m n+p+q【解析】(m+n+p+q)(m-n-p-q)=[m+(n+p+q)][m-(n+p+q)]=()22m n p q -++，故答案为(1)m ，(2)n+p+q. 点睛：本题主要考查了平方差公式，平方差公式是两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，多项式与多项相乘时，要注意观察能否将其中符号相同的项结合成为一项后，再运用平方差公式运算.16．若22(3)16x m x +-+是关于x 的完全平方式，则m =__________． 【答案】7或-1【解析】【分析】直接利用完全平方公式的定义得出2（m-3）=±8，进而求出答案．详解：∵x 2+2（m-3）x+16是关于x 的完全平方式，∴2（m-3）=±8，解得：m=-1或7，故答案为-1或7．点睛：此题主要考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键．17．若a ，b 互为相反数，则a 2﹣b 2=_____．【答案】0【解析】【分析】直接利用平方差公式分解因式进而结合相反数的定义分析得出答案．【详解】∵a ，b 互为相反数，∴a+b=0，∴a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）=0，故答案为0．【点睛】本题考查了公式法分解因式以及相反数的定义，正确分解因式是解题关键．18．已知a m =3，a n =2，则a 2m ﹣n 的值为_____．【答案】4.5【解析】分析：首先根据幂的乘方的运算方法，求出a 2m 的值；然后根据同底数幂的除法的运算方法，求出a 2m-n 的值为多少即可．详解：∵a m =3，∴a 2m =32=9，∴a 2m-n =292m n a a ==4.5． 故答案为：4.5．点睛：此题主要考查了同底数幂的除法法则，以及幂的乘方与积的乘方，同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a 可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．19．分解因式：x 3y ﹣2x 2y+xy=______．【答案】xy （x ﹣1）2【解析】【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【详解】解：原式=xy （x 2-2x+1）=xy （x-1）2．故答案为：xy （x-1）2【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．20．因式分解：mn （n ﹣m ）﹣n （m ﹣n ）=_____．【答案】()()1n n m m -+【解析】mn(n-m)-n(m-n)= mn(n-m)+n(n-m)=n(n-m)(m+1)，故答案为n(n-m)(m+1).。
人教版八年级数学上册习题：15.因式分解的四种方法(习题及答案)
因式分解的四种方法（习题）例题示范例1：2222(1)2(1)(1)x y x y y -+-+-【思路分析】考虑因式分解顺序的口诀“一提二套三分四查”，观察式子里面有公因式2(1)y -，先提取，然后再利用公式法因式分解，分解完后要查一下是否分解彻底．【过程书写】222(1)(21)(1)(1)(1)y x x y y x -++=+-+=解：原式巩固练习1. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A ．232393x y z x z y =⋅B ．25(2)(3)1x x x x +-=-++C ．22()a b ab ab a b +=+D ．211x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 2. 把代数式322363x x y xy -+因式分解，结果正确的是（ ）A ．(3)(3)x x y x y +-B ．223(2)x x xy y -+C ．(3)x x y -D ．23()x x y -3. 因式分解：（1）22363a b ab ab +-；（2）()()y x y y x ---； 解：原式= 解：原式=（3）2441a a -+；（4）256x x -+； 解：原式= 解：原式=（5）2168()()x y x y --+-； （6）41x -；解：原式= 解：原式=（7）222(1)4a a +-； （8）25210ab bc a ac --+；解：原式= 解：原式=（9）223(2)3m x y mn --；（10）2ab ac bc b -+-； 解：原式=解：原式=（11）2222a b a b -++；（12）2(2)(4)4x x x +++-； 解：原式=解：原式=（13）321a a a +--；（14）2244a a b -+-； 解：原式=解：原式=（15）222221a ab b a b ++--+；解：原式=（16）228x x --；（17）226a ab b --； 解：原式= 解：原式=（18）2231x x -+；（19）32412x x x --； 解：原式= 解：原式=（20）2()()2x y x y +++-；（21）(1)(2)6x x ---． 解：原式= 解：原式=思考小结在进行因式分解时，要观察式子特征，根据特征选择合适的方法：①若多项式各项都含有相同的因数或相同的字母，首先考虑__________________．②若多项式只含有符号相反的两项，且两项都能写成一个单项式的平方，则考虑利用____________________进行因式分解．③若多项式为二次三项式的结构，则通常要考虑____________或_______________．④若多项式项数较多，则考虑_______________．【参考答案】巩固练习1. C2. D3.（1）3ab(a+2b-1)（2）(x-y)(y+1)（3）2(21)a -（4）(x -2)(x -3)（5）2(4)x y -+（6）2(1)(1)(1)x x x -++（7）22(1)(1)a a -+（8）(b -2a )(a -5c )（9）3m (2x -y -n )(2x -y +n )（10）(b -c )(a -b )（11）(a +b )(a -b +2)（12）2(x +1)(x +2)（13）2(1)(1)a a +-（14）(a -2-b )(a -2+b )（15）2(1)a b +-（16）(x -4)(x +2)（17）(a -3b )(a +2b )（18）(2x -1)(x -1)（19）x (x +2)(x -6)（20）(x +y -1)(x +y +2)（21）(x +1)(x -4)思考小结①提公因式②平方差公式③完全平方公式，十字相乘法 ④分组分解法。
求初二上册因式分解练习题
求初二上册因式分解练习题初二上册数学课本中的因式分解是一个重要的学习内容，它在解决数学问题中扮演着重要的角色。
因式分解可以将一个多项式表达式分解成乘积的形式，从而更好地理解和解决数学问题。
为了巩固这一知识点，本文将提供一些初二上册因式分解的练习题供同学们练习。
1. 将下列多项式进行因式分解：a) x² + 5x + 6b) 3x² - 12c) 2x³ + 14x² + 20x2. 进行因式分解，并求出因式分解式的值：a) x² + 4x + 4b) x² - 4c) x² - 6x + 93. 将下列多项式进行因式分解，并确定分解式的因数：a) x² - 10x + 25b) x² + 7x + 10c) x² + 8x + 164. 根据给定的因式分解式，还原出原始的多项式表达式：a) (x + 1)(x + 2)b) (x - 3)(x + 3)c) (x + 4)(x + 4)5. 解决以下实际问题，使用因式分解的方法：a) 甲有一块矩形土地，长和宽的比例是3:5，其面积为180平方米，求土地的长和宽。
b) 乙想用木棍围成一个正方形的花坛，每根木棍的长度为x厘米，若花坛的周长为20厘米，求每根木棍的长度x。
c) 丙有一块长方形地毯，长和宽的比例是4:7，若地毯的面积为98平方米，求地毯的长和宽。
通过以上练习题，同学们可以巩固和提升在初二上册学习的因式分解内容。
希望同学们能认真思考并独立完成每一个练习题，相信经过一番努力，你们一定能够掌握因式分解的方法和应用，取得优异的成绩！加油！。
【微专题】2023学年八年级数学上册常考点提分精练(人教版)因式分解的应用(和拼图有关)(解析版)
因式分解的应用（和拼图有关）1．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释例如：可用图1来解释（a+b）2＝a2+2ab+b2．（1）请你写出图2所表示的代数恒等式；（2）试在图3的方框中画出一个几何图形使它的面积等于a2+4ab+3b2．【答案】（1）（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2；（2）见解析【分析】（1）根据大矩形面积等于各小图形的面积和求解即可；（2）将原式进行因式分解然后得到一边长（a+b）另一边长（a+3b）据此作出图形即可．【详解】（1）图2所表示的代数恒等式为（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2；（2）由题意得：a2+4ab+3b2＝（a+b）（a+3b）所以得到下图【点睛】本题考查了完全平方公式的几何证明因式分解的几何应用根据面积相等写出恒等式是本题的关键．2．我们已经知道乘法公式可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释其正确性实际上还有很多代数恒等式也可用这种形式说明其正确性．例如图1可以用来解释：2a(a+b)=2a2+2ab．（1）试写出图2所表示的代数恒等式：；（2）试在图3的方框内画出一个平面图形使它的面积能表示：(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2．【答案】（1）(a+b)(a+2b)= a2+3ab+2b2；（2）见解析【分析】（1）根据图2中长方形面积的两种求法即可得出结论；（2）先画一个长方形将长方形的一边分成一条长为a 两条长为b的线段然后从这三条线段的端点处在长方形的内部画竖线再将长方形的另一边分成两条长为a 一条长为b的线段然后从这三条线段的端点处在长方形的内部画横线即可．【详解】解：（1）由图2可知：图中长方形的面积等于长×宽也等于这些小长方形的面积之和(a+b)(a+2b)= a2+ab+ab +ab +b2+b2= a2+3ab+2b2故答案为：(a+b)(a+2b)= a2+3ab+2b2；（2）先画一个长方形将长方形的一边分成一条长为a 两条长为b的线段然后从这三条线段的端点处在长方形的内部画竖线再将长方形的另一边分成两条长为a 一条长为b的线段然后从这三条线段的端点处在长方形的内部画横线如下图所示该平面图形即为所求．【点睛】此题考查的是整式乘法的几何意义掌握利用面积法推导整式的乘法是解决此题的关键．3．阅读材料并回答问题：我们已经知道完全平方公式平方差公式可以用几何图形的面积来表示实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示比如图②可以解释为：(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2．（1）请写出图③可以解释的代数等式：____________________________；（2）在下面虚线框中用图①中的基本图形若干块拼成一个长方形（每种至少用一次卡片之间不能有缝隙或重叠）使拼出的长方形面积为3a2+7ab+2b2并写出这个长方形的长和宽是________________________．【答案】（1）(a+2b)(2a+b)=2a2+5ab+2b2；（2）见解析a+2b 3a+b【分析】（1）根据图形即可得出所求的式子；（2）现将原式写成（3a+b）（a+2b）的形式然后画出一个长3a+b 宽a+2b的长方形即可．【详解】解：（1）有图形可得：2a2+5ab+2b2=（a+2b）（2a+b）故答案为：（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2；（2）由3a2+7ab+2b2=（3a+b）（a+2b）所以其可以表示成一个长3a+b 宽a+2b的长方形故如图：【点睛】本题考查了利用图形面积研究因式分解、多项式乘多项式与图形面积弄清关键、弄清图形和代数式的关系是解答本题的关键．4．如图有足够多的边长为a的小正方形(A类)、长为a宽为b的长方形(B类)以及边长为b的大正方形(C类) 发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2(1)取图①中的若干个(三种图形都要取到)拼成一个长方形使其面积为(2a+b)(a+2b) 在虚框中画出图形并根据图形回答(2a+b)(a+2b)=_____________(2)若取其中的若干个(三种图形都要取到)拼成一个长方形使其面积为a2+5ab+6b2．根据你画的长方形可得到恒等式_____________(3)如图③ 大正方形的边长为m小正方形的边长为n若用x、y表示四个矩形的两边长（x>y）观察图案指出以下正确的关系式___________填写选项）．A．xy =224m n-B．x+y=m C．x2－y2=m·n D．x2+y2 =222m n+【答案】(1)图见解析；2a2+5ab+2b2; （2）a2+5ab+6b2=（a+2b)(a+3b);(3) ABCD【详解】试题分析：（1）根据题意画出图形如图所示即可得到结果．（2）根据图形和面积公式得出即可；（3）根据题意得出x+y=m m2-n2=4xy 根据平方差公式和完全平方公式判断即可．试题解析：（1）（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2画图如下：（2）（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2（3）根据图③得：x+y=m5．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释 例如：图（1）可以用来解释()2222a ab b a b ++=+ 实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．如图（2） 将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块 其中有两块是边长都为m 的大正方形 两块是边长都为n 的小正方形 五块是长为m 宽为n 的全等小长方形 且m n >．（以上长度单位：cm ） （1）观察图形 可以发现代数式22252m mn n ++可以分解因式为_________（2）若每块小长方形的面积为210cm 四个正方形的面积和为258,cm 试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．【答案】（1）()()22m n m n ++；（2）42cm ．【分析】（1）根据图形的面积直接可以得到；（2）根据222258m n += 10mn = 可得2229m n += 可求得7m n += 根据图形可知 图中所有裁剪线（虚线部分）长之和是66m n + 据此求解即可．【详解】（1）根据图形 依题意可得：2225222mmn n m n m n （2）依题意得222258m n += 10mn =2229m n ∴+=2222m n m mn n2292049m n 0m n +>7m n ∴+=根据图形可知 图中所有裁剪线（虚线部分）长之和是：6666742m n m n∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为42cm ．【点睛】本题考查完全平方公式和因式分解的应用 理解题意 从题目中获取信息 列出正确的代数式 再由图形的特点求解是解题的关键．6．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释 例如：图A 可以用来解释a 2 +2ab + b 2＝(a+b)2．现有足够多的正方形卡片1号 2号和长方形卡片3号 如图C ．（1）根据图B 完成因式分解：222a ab += ；（2）现有1号卡片1张、2号卡片4张 3号卡片4张．在不重叠的情况下可以紧密地拼成一个大正方形 则这个大正方形的边长为 ；（3）现要拼出一个面积为()(3)a b a b ++的长方形 则需要1号卡片 张 2号卡片 张 3号卡片 张．（4）比较图A 中的两个正方形面积之和1S 与两个长方形面积之和2S 的大小关系 并说明理由 ．【答案】（1）2()a a b +；（2）2+a b ；（3）1 3 4；（4）12S S ≥ 理由见详解．【分析】（1）观察图象可知大正方形面积等于两个小正方形的面积和加上两个长方形面积和 即可得到结论；（2）观察图象可知大长方形面积等于两个正方形面积加上两个长方形面积 即可得到结论；（3）根据所给图象画出图形 即可得到结论；（4）由完全平方公式的非负性可得结论．【详解】解：（1）根据图形可知图形面积为：222a ab +=2()a a b +故答案为：2()a a b + （2）如图()222442a ab b a b =+++ ∵正方形边长为2+a b故答案为： 2+a b ．（3）如图根据图形可知：()(3)a b a b ++=2243a ab b ++故答案为：1 3 4（4）根据题意得：221S a b =+ 22S ab = 则12S S ≥理由：22212()2()S S a b ab a b -=+-=-∵2()0a b -≥∵120S S -≥即12S S ≥．【点睛】本题考查完全平方公式和几何图形的应用 主要考查学生的画图能力和计算能力． 7． 我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释 例如：图A 可以用来解释2222()a ab b a b ++=+ 实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解.（1）图B 可以解释的代数恒等式是 ；（2）现有足够多的正方形和矩形卡片 如图C ：①若要拼出一个面积为（3a+b ）（a+2b ）的矩形 则需要1号卡片 张 2号卡片 张 3号卡片 张； ②试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形 使该矩形的面积为6a 2+7ab+2b 2 并利用你画的图形面积对6a 2+7ab+2b 2进行因式分解.【答案】（1）（2n ）2=4n 2或2n·2n=4n 2；（2）① 3 2 ,7；② 6a 2+7ab+2b 2=（2a+b ）（3a+2b ） 图见解析【分析】（1）根据正方形的面积求出结果即可解决； （2）①求出（3a +b ）（a +2b ）的值 即可得出答案；②根据题意先判断出需要分别需要几块1号、2号、3号的图形 然后拼摆画出图形 即可得出答案 根据图形和矩形面积公式求出即可.【详解】解：∵(2n)2=4n 2或2n·2n=4n 2∵①()()2232327a b a b a b ab ++=++ 故需要1号卡片3张 2号卡片2张 3号卡片7张；②根据题意 需要6块1号图形 需要2块2号图形 需要7块3号图形 进行拼摆 如下图是一个两边长分别为（2a+b ）和（3a+2b ）的长方形；6a 2+7ab+2b 2=（2a+b ）（3a+2b ）【点睛】本题考查了整式运算和因式分解 解决本题的关键是正确理解题意 熟练掌握整式的运算法则 掌握长方形的面积计算公式.8．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释 例如：图A 可以用来解释2222()a ab b a b ++=+ 实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．（1）图B 可以解释的代数恒等式是 ；（2）现有足够多的正方形和矩形卡片（如图C ） 试画出．．一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重叠 也无空隙 拼出的图中必须保留拼图的痕迹） 使该矩形的面积为2223a ab b ++ 并利用你所画的图形面积对2223a ab b ++进行因式分解． 【答案】（1）2222()a ab a a b +=+；（2）()()22232a ab b a b a b ++=++【详解】试题分析：（1）根据图所示 可以得到长方形长为2a 宽为a+b 面积为：2a （a+b ） 或四个小长方形和正方形面积之和；（2）①根据题意 可以画出相应的图形然后完成因式分解.试题解析：（1）()2222a ab a a b +=+（2）①根据题意 可以画出相应的图形 如图所示②因式分解为：()()22232a ab b a b a b ++=++9．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法 借助此方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性 从而帮助我们解决问题．初中数学中有一些代数恒等式可以用一些卡片拼成的图形面积来解释．某同学在学习的过程中动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．(1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式这个乘法公式是；(2)如果要拼成一个长为（a+2b）宽为（a+b）的大长方形则需要2号卡片张3号卡片张；(3)当他拼成如图③所示的长方形根据6张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积可以把多项式22a ab b++分解因式其结果是；32(4)请你依照该同学的方法在指定位置画出拼图并利用拼图分解因式22a ab b++＝．56【答案】(1)（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2(2)2；3(3)（a＋2b）（a＋b）(4)（a＋2b）（a＋3b）【分析】（1）把完全平方式和图形的面积相联系从而得出乘法公式；（2）利用乘法公式把（a＋2b）（a＋b）进行展开找出b2和ab项的系数也就是对应的卡片数量；（3）观察图形可以得出a2＋3ab＋2b2等于大长方形的面积（a＋2b）（a＋b）；（4）根据1号、2号、3号卡片的数量进行画图从而得出结果．（1）解：大正方形的面积＝（a＋b）2也等于各部分面积之和即a2＋2ab＋b2∵（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2．故答案为：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2．（2）解：把（a＋2b）（a＋b）展开得：a2＋3ab＋2b2∵需要2号卡片数量是2张3号卡片数量是3张．故答案为：2；3．（3）解：由图③根据6张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积∵a2＋3ab＋2b2＝（a＋2b）（a＋b）．故答案为：（a＋2b）（a＋b）．（4）解：如图所示：∵a 2＋5ab ＋6b 2＝（a ＋2b ）（a ＋3b ）． 故答案为：（a ＋2b ）（a ＋3b ）．【点睛】考查了完全平方式和因式分解以及多项式乘多项式 找出多项式与几何图形的面积关系 是解题关键．10．阅读下列材料 并解答问题． 面积与代数恒等式通过学习 我们知道可以用图1的面积来解释公式()2222a b a ab b +=++ 人们经常称作用面积解释代数恒等式实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示 如可用图2表示()()22a b a b a b +-=-．请根据阅读材料 解答下列问题:（1）请写出图3所表示的代数恒等式： ；（2）试画一个几何图形 使它的面积表示：()()2222252a b a b a ab b ++=++；（3）请仿照上述方法另写一个含有a b 的代数恒等式 并画出与它对应的几何图形．【答案】（1）()2222 222a b c a b c ab ac bc ++=+++++；（2）见解析；（3）()()22223a b a b a ab b ++=++ 图见解析．【分析】（1）仔细观察图3 大正方形的边长为a b c ++ 大正方形里面有九个小图形 分别是一个2a 、一个2b 、一个2c 、两个ab 、两个ac 和两个bc 即可写出代数恒等式．（2）根据题意可知 等号左边表示的是一个长方形面积 等号的右边表示的是长方形里面的小图形的面积和 从而顺利解答．（3）仿照前面的做法 即可解答本题．【详解】（1）()2222 222a b c a b c ab ac bc ++=+++++ （2）答案不唯一 如答图1．（3）答案不唯一 如等式()()22223a b a b a ab b ++=++．如答图2．【点睛】本题主要考查了代数公式可以用几何图形中的面积来表示 根据几何图形进行代数恒等式的推导 本题的解答 需注意观察图形和等式的关系．先用不同的形式表示图形面积 再由面积不变列出等式即可．本题十分新颖 充分考查了学生学以致用的能力 同时也加深了对整式乘法的理解．11．利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性 如图1可以验证一个代数恒等式（a +b ）2＝（a ﹣b ）2+4ab ．（1）如图2 用若干张A B C 的卡片拼成一个长方形面积为（2a +b ）（a +b ） 那么需要A B C 卡片各多少张？（2）如果用1张A 5张B 6张C 拼成一个长方形 那么这个长方形的边长分别是 和 ．【答案】（1）需要A 卡片2张 B 卡片3张 C 卡片1张；（2）（a +2b ）；（a +3b ）．【分析】（1）按照多项式乘法的运算法则将（2a+b ）（a+b ）展开 则可得需要的A B C 纸片的张数；（2）先算出用1张A 5张B 6张C 拼成一个长方形的面积 再将其因式分解 则可得这个长方形的边长．【详解】（1）∵（2a +b ）（a +b ）＝2a 2+3ab +b 2 而图片A B C 的面积分别为：a 2 ab b 2 ∵需要A 卡片2张 B 卡片3张 C 卡片1张． （2）如果用1张A 5张B 6张C 拼成一个长方形 则其面积为：a 2+5ab +6b 2； ∵a 2+5ab +6b 2＝（a +2b ）（a +3b ）∵这个长方形的边长分别是（a +2b ）和（a +3b ）． 故答案为：（a +2b ）；（a +3b ）．【点睛】本题考查了整式乘法的几何背景 数形结合 根据图形正确列式并计算 是解题的关键． 12．如图 有足够多的边长为a 的小正方形（A 类） 长为b 、宽为a 的长方形（B 类）及边长为b 的大正方形（C 类）．发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式 比如图②可以解释为()()22232a b a b a ab b ++=++．(1)取图①中的若干个（三种材料都要取到）拼成一个长方形 使其面积为()()22a b a b ++ 画出图形 并根据图形回答：()()22a b a b ++=______________．(2)若取其中的若干个（三种材料都要取到）拼成一个长方形 使其面积为2256a ab b ++ ①你画的图中需C 类卡片___________张；②可将多项式2256a ab b ++分解因式为_______________；(3)如图③ 大正方形的边长为m 小正方形的边长为n ．若用,x y 表示四个相同的长方形的两边长()x y > 观察图形并判断下列关系式：①224m n xy -=；②x y m +=；③22x y mn +=；④22222m n x y -+=其中正确的是____________． 【答案】(1)画图见解析 2a 2+5ab +2b 2； (2)①6；②a 2+5ab +6b 2=（a +3b ）（a +2b ）； (3)①②【分析】（1）先画出拼图 再根据拼图计算（2a +b ）（a +2b ）的结果即可；（2）①根据a 2+5ab +6b 2可得用A 型的1张 B 型的5张 C 型的6张 可以拼图需要C 型数量 ②根据拼图可得到分解因式后得到结果；（3）根据m 、n 与x 、y 之间的关系 利用恒等变形 可得结论． （1）解：拼图如图所示：所以（2a +b ）（a +2b ）=2a 2+5ab +2b 2 故答案为：2a 2+5ab +2b 2； （2）①a 2+5ab +6b 2即用A 型的1张 B 型的5张 C 型的6张 故答案为：6可以拼成如图所示的图形因此可得等式：a 2+5ab +6b 2=（a +3b ）（a +2b ）2222,444m n m nn x y xy 故①符合题意；=（x +y ）（x -y ）=x 2-y 2；故③不符合题意； 22222,222m n m nn x y xy 故④不符合题意；故答案为：①②．【点睛】考查完全平方公式、平方差公式的几何背景13．一天小明和小丽玩纸片拼图游戏 他们发现利用图1中的三种类型的纸片可以拼出一些图形来解释某些等式 例如 由图2 我们可以得到22(2)()32a b a b a ab b ++=++．(1)由图3可以解释的等式是_________；(2)用边长为a 的正方形卡片1张 边长分别为a b 的长方形卡片6张 边长为b 的正方形卡片9张 用这16张卡片拼成一个正方形 则这个正方形的边长为_________；(3)小丽用5个长为b 宽为a 的长方形按照图4方式不重叠地放在大长方形ABCD 内 大长方形中未被覆盖的两个部分 设左上角的面积为S 1 右下角的面积为S 2 当BC 的长变化时 S 2﹣S 1的值始终保持不变 求a 与b 的数量关系．【答案】(1)(a +2b )(2a +b ) =2a 2+5ab +2b 2 ； (2)a +3b(3)2a=b【分析】（1）根据图形面积可得等式；（2）先计算出这16张卡片的总面积其和为一完全平方式据此解答即可；（3）设AD=x由图可知S1=b(x－3a) S2=2a(x－b) 得到劲S2-S1=2a(x－b)－b(x－3a)=(2a－b)x+ab 根据取值与x可得2a=b．（1）根据图可知长方形面积有（2a+b）（2b+a）=2a2+5ab+2b2；故答案为(a+2b)(2a+b) =2a2+5ab+2b2（2）设拼成后大正方形的边长为x∵a2+6ab+9b2=x2∵（a+3b）2=x2∵该正方形的面积：（a+3b）2∵该正方形的边长：a+3b故答案为：a+3b；（3）设AD=xS1=b(x-3a)S2=2a(x-b)S2-S1=2a(x-b)-b(x-3a)=(2a-b)x+ab当2a-b=0时S2-S1不变即2a=b【点睛】本题考查了完全平方公式整式的混合运算的应用主要考查学生的计算能力和观察图形的能力．14．【数学实验】如图有足够多的边长为a的小正方形（A类）、长为a宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类）发现利用图①中的三种材料各若干个可以拼出一些长方形来解释某些等式．例如图②可以解释为：（a＋2b）（a＋b）＝a2＋3ab＋2b2．【初步运用】（1）仿照例子 图③可以解释为： ；（2）取图①中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形 使它的边长分别为（2a ＋3b ）、（a ＋5b ） 不画图形 试通过计算说明需要C 类卡片多少张； 【拓展运用】若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形 使它的面积为2a 2＋5ab ＋3b 2 通过操作你会发现拼成的长方形的长宽分别是 将2a 2＋5ab ＋3b 2改写成几个整式积的形式为 ．【答案】（1）a 2+2ab+b 2；（2）15张；（3）2a+3b a+b （2a+3b ）（a+b ）． 【分析】（1）根据图②结合图形的面积即可得到结论； （2）根据多项式乘多项式的法则即可得到结论； （3）根据已知条件可画出图形 于是得到矩形的两边． 【详解】（1）图③可以解释为：（a+b ）（a+b ）=a 2+2ab+b 2； 故答案为：a 2+2ab+b 2；（2）∵（2a+3b ）（a+5b ）=2a 2+13ab+15b 2 ∵需要C 类卡片15张； （3）如图：长方形的长是2a+3b 宽是a+b 2a 2+5ab+3b 2=（2a+3b ）（a+b ）． 故答案为：2a+3b a+b （2a+3b ）（a+b ）．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式 根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积 然后再根据同一个图形的面积相等即可解答．15．阅读材料并解答问题：我们已经知道 完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示 实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示 例如22(2)()23a b a b a ab b ++=++就可以用如下的图形面积来表示．（1）试画出一个几何图形 使它的面积能表示：22()(3)43a b a b a ab b ++=++；（2）请仿照上述方法另写出一个含有a b 的代数恒等式（要求不同于上述多项式） 并画出与之对应的几何图形．【答案】（1）见解析；（2）（2a +b ）（a +2b ）=2a 2+5ab +2b 2 画图见解析 【分析】（1）设计一个长方形的长为a +3b 宽为a +b 的大长方形即可； （2）设计一个长方形的长为2a +b 宽为a +2b 的大长方形即可． 【详解】解：（1）如图所示．（2）如图所示：（2a +b ）（a +2b ）=2a 2+5ab +2b 2．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景 应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．16．数学课上 我们知道可以用图形的面积来解释一些代数恒等式 如图1可以解释完全平方公式：()2222a b a ab b +=++．（1）如图2（图中各小长方形大小均相等） 请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积（不化简）：方法1：S =阴影_________________； 方法2∵S =阴影_________________．（2）由（1）中两种不同的方法 你能得到怎样的等式?（3）①已知()216+=m n 3mn = 请利用（2）中的等式 求m n -的值． ②已知()2213m n += ()225m n -= 请利用（2）中的等式 求mn 的值．【答案】（1）4ab ()()22a b a b +--；（2）()()224a b a b ab +--=；（3）①2±；②1【分析】（1）根据阴影部分的面积=4个小长方形的面积=大正方形的面积-小正方形的面积即可解答； （2）根据（1）求得的结果 利用两种方法求得的阴影面积相等即可解答；（3）①根据()22()4m n m n mn +--=即可得到22()()4m n m n mn +=-- 由此求解即可； ②根据()22()4m n m n mn +--=可得()()22(2)2428m n m n m n mn +--=⋅= 由此求解即可． 【详解】解：（1）方法1：阴影部分面积为4个相同的小长方形的面积之和 ∵阴影部分面积=4ab ；方法2：阴影部分面积=大正方形的面积-小正方形面积 ∵阴影部分面积=()()22a b a b +--． 故答案为：4ab ()()22a b a b +--；（2）∵（1）中两种方法求得的阴影部分面积相等 ∵()()224a b a b ab +--=；（3）①∵2()=16m n + 3mn = ()22()4m n m n mn +--= ∵224161()(24)m n m n mn =-=--=+∵2m n -=±；②2(2)=13m n + 2=25()m n - ()()22(2)2428m n m n m n mn +--=⋅= ∵228(2)(2)8mn m n m n =+-=- ∵1mn =．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景 根据阴影部分的面积与大正方形的面积-小正方形的面积相等列式计算是解题的关键．17．阅读理解：数形结合作为一种数学思想方法 应用可分为两种情形：第一种情形是“以数解形” 借助于数（式）的计算来说明图形的某些性质；第二种情形是“以形助数” 借助图形的直观性来说明数（式）之间数量关系．本学期学习的整式乘法法则 可借助图形的面积 分别从整体．．、局部．．来计算同一个图形的面积来构建等式 进而解释、验证整式乘法法则．解决问题：如图1 利用A 、B 、C 三种纸片各若干 可以拼出一些图形来解释某些等式 比如图2可以解释等式22()(2)23a b a b a ab b ++=++．(1)图3可以解释等式： ；(2)观察图4 请你写出2()a b +、2()a b -和ab 之间的数量关系是 ；(3)利用5张B 种纸片拼成如图5的大长方形 记长方形ABCD 的面积与长方形EFGH 的面积差为S ． ①若CD ＝7时 试用含a 、b 的代数式表示S ；②设CD ＝x 且当x 取不同数值时 S 永远为定值 求a 与b 之间的数量关系．【答案】(1)()()2222252a b a b a ab b ++=++(2)()()224a b ab b a +-=-(3)①21473a b b ab --+；②2b a =【分析】（1）根据题意可得大长方形的长为a +2b 宽为a +2b 大长方形还可以看成是由2个边长为a 的正方形 5个长为b 宽为a 的小长方形 2个边长为b 的正方形组成的 即可求解；（2）根据题意可得阴影部分为边长为a -b 的小正方形 阴影部分的面积还可以看成是边长为a +b 的大正方形的面积减去4个长b 宽为a 的小长方形的面积 即可求解；（3）①根据题意可得BC ＝2a DE ＝3a EH ＝CF ＝b 从而得到EF ＝73b a +- 再由S ＝S 长方形ABCD －S 长方形EFGH 可得S ＝CD ·BC －EH ·EF 再代入 即可求解；②由①可得EF ＝3x b a +-从而得到S ＝()223a b x b ab --+ 再根据当x 取不同数值时 S 永远为定值 可得20a b -= 即可求解．（1）解：根据题意得：大长方形的长为a +2b 宽为a +2b大长方形还可以看成是由2个边长为a 的正方形 5个长为b 宽为a 的小长方形 2个边长为b 的正方形组成的∵()()2222252a b a b a ab b ++=++故答案为：()()2222252a b a b a ab b ++=++（2）解：根据题意得：阴影部分为边长为a -b 的小正方形阴影部分的面积还可以看成是边长为a +b 的大正方形的面积减去4个长b 宽为a 的小长方形的面积∵()()224a b ab b a +-=-故答案为：()()224a b ab b a +-=-（3）解：①由题意知 BC ＝2a DE ＝3a EH ＝CF ＝bEF ＝CD ＋CF －DE ＝73b a +-因为S ＝S 长方形ABCD －S 长方形EFGH所以S ＝CD ·BC －EH ·EF ＝7·2a －b ·()73b a +-即S ＝21473a b b ab --+．②由①知EF ＝3x b a +-则S ＝CD ·BC －EH ·EF ＝x ·2a －b ·()3x b a +-即S ＝223ax bx b ab --+＝()223a b x b ab --+ 又因为当x 取不同数值时 S 为定值所以20a b -=即2b a =．【点睛】本题主要考查了多项式的乘法与面积恒等式 利用数形结合思想解答是解题的关键． 18．【知识生成】我们已经知道 多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释．例如利用图1的面积可以得到()2222a b a ab b +=++ 基于此 请解答下列问题：（1）请你写出图2所表示的一个等式：________．（2）小明同学用图3中x 张边长为a 的正方形 y 张边长为b 的正方形 z 张宽、长分别为a 、b 的长方形纸片拼出一个面积为()()22a b a b ++长方形 则x y z ++=________．【知识迁移】（3）事实上 通过计算几何图形的体积也可以表示一些等式 图4表示的是一个边长为x 的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体 请你根据图4中图形的变化关系 写出一个代数恒等式：________． 【答案】（1）（a+b+c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc ；（2）9；（3）x 3-x=x （x+1）（x -1）【分析】（1）依据正方形的面积=（a+b+c ）2；正方形的面积=a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc 可得等式；（2）依据所拼图形的面积为：xa 2+yb 2+zab 而（2a+b ）（a+2b ）=2a 2+4ab+ab+2b 2=2a 2+5b 2+2ab 即可得到x y z 的值．（3）根据原几何体的体积=新几何体的体积 列式可得结论．【详解】解：（1）由图2得：正方形的面积=（a+b+c ）2；正方形的面积=a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc ；∵（a+b+c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc故答案为：（a+b+c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc ；（2）由题意得：（2a+b ）（a+2b ）=xa 2+yb 2+zab∵2a 2+5ab+2b 2=xa 2+yb 2+zab∵2x = 2y = 5z =∵2259x y z ++=++=；故答案为：9.（3）∵原几何体的体积=x 3-1×1•x=x 3-x 新几何体的体积=x （x+1）（x -1）∵x 3-x=x （x+1）（x -1）．故答案为：x 3-x=x （x+1）（x -1）．【点睛】本题主要考查的是整式的混合运算 利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面积 然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键．。
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专题练习：因式分解
学好数学的秘密
1、学完多思考
2、多做练习题
3、善于总结规律
学好数学的秘密
1、学完多思考
要想学好数学一定要多思考。
主要是指养成思考的习惯，学会思考的方法。
独立思考是学习数学必须具备的能力。
同学们在学习时，要边听课边想，边看书边想，边做题边想，通过自己积极思考，深刻理解数学知识，归纳总结数学规律，灵活解决数学问题，这样才能把老师讲的、课本上写的变成自己的知识。
2、多做练习题
要想学好初中数学，必须多做练习，我们所说的“多做练习”，不是搞“题海战术”。
只做不思，不能起到巩固概念，拓宽思路的作用，而且有“副作用”：把已学过的知识搅得一塌糊涂，理不出头绪，浪费时间又收获不大，我们所说的“多做练习”，是要大家在做了一道新颖的题目之后，多想一想：它究竟用到了哪些知识，是否可以多解，其结论是否还可以加强、推广等等。
3、善于总结规律
我们会发现在日常的数学学习中，很多同学是不是同一种类型的题目总是反复错，经常错?这种问题的出现，就是学生缺乏总结规律的习惯，一种类型的题目反复错，经常错，说明你还没有掌握做这种题目的规律，你不仅要做错题笔记，而且还需要将你错的这种类型的题目都拿出来总结归纳，要善于总结规律，将同种类型的题目多比对，多总结，总结出一种属于自己的解题思路和方法，然后再遇到这类问题时利用总结的规律和方法去解决。
一、选择题(每小题6分，共30分)
1．(衡阳中考)下列因式分解中正确的个数为( C)
①x3＋2xy＋x＝x(x2＋2y)；
②x2＋4x＋4＝(x＋2)2；
③－x2＋y2＝(x＋y)(x－y)．
A．3个B．2个C．1个D．0个
2．(广东中考)把x3－9x分解因式，结果正确的是( D)
A．x(x2－9) B．x(x－3)2
C．x(x＋3)2D．x(x＋3)(x－3)
3．(台湾中考)下列四个选项中，哪一个为多项式8x2－10x＋2的因式( A)
A．2x－2 B．2x＋2
C．4x＋1 D．4x＋2
解析：8x2－10x＋2＝2(4x2－5x＋1)＝2(x－1)(4x－1)，有因式2(x－1)，即2x－2 4．若实数x，y，z满足(x－z)2－4(x－y)(y－z)＝0，则下列式子一定成立的是( D) A．x＋y＋z＝0 B．x＋y－2z＝0
C．y＋z－2x＝0 D．z＋x－2y＝0
解析：左边＝[(x－y)＋(y－z)]2－4(x－y)(y－z)＝(x－y)2－2(x－y)(y－z)＋(y－z)2＝[(x－y)－(y－z)]2，故(x－y)－(y－z)＝0，x－2y＋z＝0
5．(宜宾中考)将代数式x2＋6x＋2化成(x＋p)2＋q的形式为( B)
A．(x－3)2＋11 B．(x＋3)2－7
C．(x＋3)2－11 D．(x＋2)2＋4
二、填空题(每小题6分，共24分)
6．(泸州中考)分解因式：3a2＋6a＋3＝__3(a＋1)2__．
7．(潍坊中考)分解因式：2x(x－3)－8＝__2(x－4)(x＋1)__．
8．(呼和浩特中考)把多项式6xy2－9x2y－y3因式分解，最后结果为__－y(3x－y)2__．
9．(宜宾中考)已知P＝3xy－8x＋1，Q＝x－2xy－2，当x≠0时，3P－2Q＝7恒成立，则y的值为__2__．
三、解答题(共46分)
10．(15分)分解因式：
(1)3x2－3；
3(x＋1)(x－1)
(2)x2－4x－12；
x2－4x－12＝x2－4x＋4－16＝(x－2)2－16＝(x－2＋4)(x－2－4)＝(x＋2)(x－6)
(3)8(x2－2y2)－x(7x＋y)＋xy.
8(x2－2y2)－x(7x＋y)＋xy＝8x2－16y2－7x2－xy＋xy＝x2－16y2＝(x＋4y)(x－4y)
11．(10分)若△ABC的三边长分别为a，b，c，且a＋2ab＝c＋2bc，判断△ABC的形状．解：∵a＋2ab＝c＋2bc，∴a－c＋2ab－2bc＝0，(a－c)＋2b(a－c)＝0，∴(1＋2b)(a －c)＝0.∵1＋2b≠0，∴a－c＝0，a＝c，∴△ABC是等腰三角形
12．(10分)有足够多的长方形和正方形的卡片，如下图．
如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．
这个长方形的代数意义是__或a2＋3ab＋2b2＝(a＋b)(a＋2b)__．
13．(11分)设a ＝12m ＋1，b ＝12m ＋2，c ＝12
m ＋3.求代数式a 2＋2ab ＋b 2－2ac －2bc ＋c 2的值．
解：原式＝(a 2＋2ab ＋b 2)－(2ac ＋2bc )＋c 2＝(a ＋b )2－2(a ＋b )c ＋c 2＝(a ＋b －c )2＝
[(12m ＋1)＋(12m ＋2)－(12m ＋3)]2＝(12m )2＝14
m 2。