2018版数学(人教B版)新导学同步选修2-3课时训练： 10离散型随机变量的分布列
2018版数学新导学同步人教A版选修2-3：课时作业 9离散型随机变量包含解析
课时作业9离散型随机变量|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列随机变量中，不是离散型随机变量的是()A．抛掷一枚质地均匀的硬币3次，反面向上的次数B．某射击运动员在10次射击中射中靶的次数C．区间[0,10]内任一实数与它四舍五入取整后的整数的差值D．某立交桥一天经过的汽车的数量解析：A、B、D中随机变量的值能一一列举出来，故都是离散型随机变量．答案：C2．抛掷两枚骰子一次，X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则X的所有可能的取值为()A．0≤X≤5，X∈NB．－5≤X≤0，X∈ZC．1≤X≤6，X∈ND．－5≤X≤5，X∈Z解析：两次掷出点数均可取1～6所有整数，∴X∈[－5,5]，X∈Z.答案：D3．袋中有2个黑球和6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是()A．取到的球的个数B．取到红球的个数C．至少取到一个红球D．至少取到一个红球的概率解析：袋中有2个黑球和6个红球，从中任取两个，取到球的个数是一个固定的数字，不是随机变量，故不选A，取到红球的个数是一个随机变量，它的可能取值是0,1,2，故B正确；至少取到一个红球表示取到一个红球，或取到两个红球，表示一个事件，故C不正确；至少取到一个红球的概率是一个古典概型的概率问题，不是随机变量，故D不正确，故选B.答案：B4．袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1,2,3,4,5，现从中任意抽取2个，设两个球上的数字之积为X，则X所有可能值的个数是()A．6 B．7C．10 D．25解析：X的所有可能值有1×2,1×3,1×4,1×5,2×3,2×4,2×5,3×4,3×5,4×5，共计10个．答案：C5．抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，则“X≥5”表示的试验结果为()A．第一枚6点，第二枚2点B．第一枚5点，第二枚1点C．第一枚1点，第二枚6点D．第一枚6点，第二枚1点解析：由“X≥5”知，最大点数与最小点数之差不小于5，只能选D.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．下列随机变量中不是离散型随机变量的是________(填序号)．①某宾馆每天入住的旅客数量X；②广州某水文站观测到一天中珠江的水位X；③深圳欢乐谷一日接待游客的数量X；④虎门大桥一天经过的车辆数X.解析：①③④中的随机变量X的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中随机变量X可以取某一区间内的一切值，但无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量．答案：②7．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________．解析：可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分．答案：300分，100分，－100分，－300分8．某射手射击一次所击中的环数为ξ(取整数)，则“ξ>7”表示的试验结果是________．解析：射击一次所中环数ξ的所有可能取值为0,1,2，…，10，故“ξ>7”表示的试验结果为“该射手射击一次所中环数为8环、9环或10环”．答案：射击一次所中环数为8环或9环或10环三、解答题(每小题10分，共20分)9．判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某地“行风热线”某天接到电话的个数．(2)新赛季，梅西在某场比赛中(90分钟)，上场比赛的时间．(3)对角线互相垂直且长度分别为6和8的四边形的面积．(4)在一次书法作品评比中，设一、二、三等奖，小刚的一件作品获奖的等次．解析：(1)接到电话的个数可能是0,1,2，…出现哪一个结果都是随机的，所以是随机变量．(2)梅西在某场比赛中上场比赛的时间在[0,90]内，是随机的，所以是随机变量．(3)对角线互相垂直且长度分别为6和8的四边形的面积是定值，所以不是随机变量．(4)获奖的等次可能是一、二、三，出现哪一个结果都是随机的，所以是随机变量．10．写出下列随机变量ξ可能取的值，并说明随机变量ξ＝4所表示的随机试验的结果．(1)从10张已编号的卡片(编号从1号到10号)中任取2张(一次性取出)，被取出的卡片较大编号为ξ；(2)某足球队在点球大战中5次点球射进的球数为ξ.解析：(1)ξ的所有可能取值为2,3,4，…，10.其中“ξ＝4”表示的试验结果为“取出的两张卡片中的较大编号为4”．基本事件有如下三种：取出的两张卡片编号分别为1和4，或2和4，或3和4.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.其中“ξ＝4”表示的试验结果为“5次点球射进4个球”．|能力提升|(20分钟，40分)11．袋中装有10个红球，5个黑球．每次随机摸取1个球，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若摸球的次数为ξ，则表示事件“放回5个红球”的是( )A ．ξ＝4B ．ξ＝5C ．ξ＝6D ．ξ≤5解析：“放回5个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6.故选C.答案：C12．抛掷两枚硬币，则对于样本空间Ω＝{ω11，ω12，ω22}(其中ω11表示两枚花均向上，ω12表示一枚花向上，一枚字向上，ω22表示两枚字均向上)，定义：ξ＝ξ(ω)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0，ω＝ω22，1，ω＝ω12，2，ω＝ω11.则随机变量ξ的取值表示结果的意义是________．解析：由定义可知，当两枚字均向上时，ξ＝0，当一枚字向上，一枚。
2018版数学(人教B版)新导学同步选修2-3课时训练： 09离散型随机变量 Word版含解析
课时训练09离散型随机变量(限时：10分钟)1．袋中有2个黑球，6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是()A．取到的球的个数B．取到红球的个数C．至少取到一个红球D．至少取到一个红球的概率解析：A的取值不具有随机性，C是一个事件而非随机变量，D 中概率值是一个定值而非随机变量，只有B满足要求．答案：B2．有以下三个随机变量，其中离散型随机变量的个数是()①某热线部门1分钟内接到咨询的次数ξ是一个随机变量；②一个沿数轴进行随机运动的质点，它在数轴上的位置是一个随机变量；③某人射击一次中靶的环数ξ是一个随机变量．A．1B．2C．3 D．0解析：①③是离散型随机变量，②不是离散型随机变量，因为其取值是无限的不能一一列举出来．答案：B3．(1)某机场候机室中一天的旅客数量X.(2)某篮球下降过程中离地面的距离X.(3)某立交桥一天经过的车辆数X.其中不是离散型随机变量的是__________．解析：(1)(3)中的随机变量X可能取的值，我们都可以一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；(2)中的X可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故(2)中的X不是离散型随机变量．答案：(2)4．同时抛掷5枚硬币，得到硬币反面向上的个数为ξ，则ξ的所有可能取值的集合为__________．解析：当硬币全部为正面向上时，ξ＝0.硬币反面向上的个数还可能有1个，2个，3个，4个，也可能都反面向上，即5个．答案：{0,1,2,3,4,5}5．盒中有9个正品零件和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为ξ.(1)写出ξ的所有可能取值．(2)写出ξ＝1所表示的事件．解析：(1)ξ可能取的值为0,1,2,3.(2)ξ＝1表示的事件为：第一次取得次品，第二次取得正品．(限时：30分钟)一、选择题1．下列随机变量不是离散型随机变量的是()A．某景点一天的游客数ξB．某寻呼台一天内收到寻呼次数ξC．水文站观测到江水的水位数ξD．某收费站一天内通过的汽车车辆数ξ解析：由离散型随机变量的概念可知，A，B，D中的随机变量ξ可以一一列出，是离散型随机变量．答案：C2．一串钥匙有5把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大值可能为()A．5B．2C．3 D．4解析：由题意可知X取最大值时只剩下一把钥匙，但锁此时未打开，故试验次数为4.答案：D3．抛掷两枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验的结果是()A．一枚是3点，一枚是1点B．两枚都是2点C．两枚都是4点D．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点解析：ξ＝4可能出现的结果是一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点．答案：D4．抛掷两枚骰子一次，ξ为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差，则ξ的所有可能的取值为()A．0≤ξ≤5，ξ∈N B．－5≤ξ≤0，ξ∈ZC．1≤ξ≤6，ξ∈N D．－5≤ξ≤5，ξ∈Z解析：ξ的所有可能取值为－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5，即－5≤ξ≤5，ξ∈Z.答案：D5．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是()A．5 B．9C．10 D．25解析：号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9种．答案：B二、填空题6．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，则(ξ＝6)表示的试验结果有__________种．解析：{ξ＝6}表示前5局中胜3局，第6局一定获胜，共有C12·C35＝20种．答案：207．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分X的所有可能取值是__________．解析：可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分．答案：300,100，－100，－3008．某人在打电话时忘记了号码的最后三个数字，只记得最后三个数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后三个数字(两两不同)，设他拨到所要号码的次数为X；则随机变量X的可能取值有________种．解析：因为后三个数字两两不同且都大于5的电话号码共有A34＝24种，因此X的可能取值有24种．答案：24三、解答题：每小题15分，共45分．9．下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示，若能，请写出随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．(1)从4张已编号(1～4号)的卡片中任意取出2张，被取出的卡片号码数之和ξ；(2)袋中有大小完全相同的红球5个，白球4个，从袋中任意取出1球，若取出的球是白球，则过程结束；若取出的球是红球，则此红球放回袋中，然后重新从袋中任意取出1球……直至取出的球是白球，此规定下的取球次数ξ.解析：(1)ξ可取3,4,5,6,7.其中ξ＝3表示取出分别标有1、2的2张卡片；ξ＝4表示取出分别标有1、3的2张卡片；ξ＝5表示取出分别标有1、4或2、3的2张卡片；ξ＝6表示取出分别标有2、4的2张卡片；ξ＝7表示取出分别标有3、4的2张卡片．(2)ξ可取所有的正整数．ξ＝i表示前i－1次取出红球，而第i次取出白球，这里i＝1,2,3，….10．写出下列各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果：(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X；(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；(3)投掷两枚骰子，所得点数之和是偶数为X.解析：(1)X的可能取值为1,2,3， (10)X＝k(k＝1,2，…，10)表示取出第k号球．(2)X的可能取值为0,1,2,3,4.X＝k表示取出k个红球，4－k个白球，其中k＝0,1,2,3,4.(3)X的可能取值为2,4,6,8,10,12.X＝2表示(1,1)；X＝4表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；…；X＝12表示(6,6)．11．一个袋中装有除颜色外完全相同的5个白球和5个黑球，从中任取3个，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果如何都加上6分，求最终得分Y的可能取值，并判定Y是否是离散型随机变量．解析：设X表示抽到的白球个数，则由题意可得Y＝5X＋6，而X可能的取值为0,1,2,3，所以Y对应的值为5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.即Y的可能取值为6,11,16,21.显然，Y为离散型随机变量．。
2018学年高中数学人教B版选修2-3学案：2.1.2 离散型随
2.1.2离散型随机变量的分布列1.理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念与性质.2.会求出某些简单的离散型随机变量的分布列.(重点)3.理解二点分布的定义，并能简单的运用.(难点)[基础·初探]教材整理1离散型随机变量的分布列阅读教材P41～P42例1以上部分，完成下列问题.1.定义要掌握一个离散型随机变量X的取值规律，必须知道：①X所有可能取的值x1，x2，…，x n；X取每一个值x i的概率p1，p2，…，p n，需要列出下表：此表称为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列.2.性质(1)p i≥0，i＝1,2,3，…，n；(2)p1＋p2＋…＋p n＝1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数.()(2)离散型随机变量的分布列的每个随机变量取值对应概率都相等.()(3)在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.()【解析】(1)×因为在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应随机事件的概率均在[0,1]范围内.(2)×因为分布列中的每个随机变量能代表的随机事件，并非都是等可能发生的事件.(3)√由分布列的性质可知，该说法正确.【答案】 (1)× (2)× (3)√ 教材整理2 二点分布阅读教材P 42例1以下部分，完成下列问题. 如果随机变量X 的分布列为则称离散型随机变量X ＝P (X ＝1)为成功概率.一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P ⎝⎛⎭⎫13≤ξ≤53＝ ________.【解析】 设二级品有k 个，∴一级品有2k 个，三级品有k 2个，总数为7k2个.∴分布列为P ⎝⎛⎭⎫13≤ξ≤53＝P (ξ＝1)＝47. 【答案】 47[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]分布列及其性质的应用设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝ia(i ＝1,2,3,4)，求：(1)P (X ＝1或X ＝2)； (2)P ⎝⎛⎭⎫12<X <72. 【精彩点拨】 先由分布列的性质求a ，再根据X ＝1或X ＝2，12<X <72的含义，利用分布列求概率.【自主解答】 (1)∵∑i ＝14p i ＝1a ＋2a ＋3a ＋4a ＝1，∴a ＝10， 则P (X ＝1或X ＝2) ＝P (X ＝1)＋P (X ＝2) ＝110＋210＝310. (2)由a ＝10， 可得P ⎝⎛⎭⎫12<X <72 ＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3) ＝110＋210＋310＝35.利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题： (1)X 的各个取值表示的事件是互斥的.(2)不仅要注意∑i ＝1np i ＝1，而且要注意p i ≥0，i ＝1，2，…，n .[再练一题]1.若离散型随机变量X 的分布列为：求常数a 及相应的分布列.【解】 由分布列的性质可知：3a 2＋a ＋4a －1＝1， 即3a 2＋5a －2＝0，解得a ＝13或a ＝－2，又因4a －1>0，即a >14，故a ≠－2.所以a ＝13，此时4a －1＝13，3a 2＋a ＝23.所以随机变量X 的分布列为：求离散型随机变量的分布列口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X 表示取出的最大号码，求X 的分布列.【精彩点拨】 X 的可能取值为3,4,5,6，是离散型随机变量.可以利用组合数公式与古典概型概率公式求各种取值的概率.【自主解答】 随机变量X 的可能取值为3,4,5,6.从袋中随机取3个球，包含的基本事件总数为C 36，事件“X ＝3”包含的基本事件总数为C 33，事件“X ＝4”包含的基本事件总数为C 11C 23，事件“X ＝5”包含的基本事件总数为C 11C 24，事件“X ＝6”包含的基本事件总数为C 11C 25.从而有P (X ＝3)＝C 33C 36＝120，P (X ＝4)＝C 11C 23C 36＝320，P (X ＝5)＝C 11C 24C 36＝310，P (X ＝6)＝C 11C 25C 36＝12，所以随机变量X 的分布列为1.求离散型随机变量的分布列的步骤(1)找出随机变量ξ的所有可能的取值x i (i ＝1,2，…，n ). (2)求出取每一个值的概率P (ξ＝x i )＝p i . (3)列出表格.2.求离散型随机变量分布列时应注意的问题(1)确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率.对于随机变量ξ取值较多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程.(2)在求离散型随机变量ξ的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可验证分布列是否正确.[再练一题]2.从装有6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X 表示赢得的钱数，随机变量X 可以取哪些值呢？求X 的分布列.【解】 从箱中取两个球的情形有以下6种：{2白}，{1白1黄}，{1白1黑}，{2黄}，{1黑1黄}，{2黑}. 当取到2白时，结果输2元，随机变量X ＝－2； 当取到1白1黄时，输1元，随机变量X ＝－1； 当取到1白1黑时，随机变量X ＝1；当取到2黄时，X ＝0；当取到1黑1黄时，X ＝2； 当取到2黑时，X ＝4.则X 的可能取值为－2，－1,0,1,2,4.P (X ＝－2)＝C 26C 212＝522，P (X ＝－1)＝C 16C 12C 212＝211，P (X ＝0)＝C 22C 212＝166，P (X ＝1)＝C 16C 14C 212＝411，P (X ＝2)＝C 14C 12C 212＝433，P (X ＝4)＝C 24C 212＝111.从而得到X 的分布列如下：二点分布探究1 利用随机变量研究一类问题，如抽取的奖券是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些有什么共同点？【提示】 这些问题的共同点是随机试验只有两个可能的结果.定义一个随机变量，使其中一个结果对应于1，另一个结果对应于0，即得到服从二点分布的随机变量.探究2 只取两个不同值的随机变量是否一定服从二点分布？ 【提示】 不一定.如随机变量X 的分布列由下表给出X 不服从二点分布，因为X袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，两球全红，1，两球非全红.求X的分布列.【精彩点拨】 X 只有两个可能取值，属于二点分布，应用概率知识求出X ＝0的概率，最后列出表格的形式即可.【自主解答】 由题设可知X 服从二点分布. P (X ＝0)＝C 25C 215＝221，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)＝1921.∴X 的分布列为两步法判断一个分布是否为二点分布1.看取值：随机变量只取两个值0和1.2.验概率：检验P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝1是否成立.如果一个分布满足以上两点，则该分布是二点分布，否则不是二点分布.[再练一题]3.若离散型随机变量X 的分布列为则a ＝( ) A.12 B.13 C.15D.110 【解析】 由离散型随机变量分布列的性质可知，2a ＋3a ＝1，解得a ＝15.【答案】 C[构建·体系]1.设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝i )＝a ⎝⎛⎭⎫13i，i ＝1,2,3，则a 的值为( )【导学号：62980035】A.1B.913 C.2713D.1113【解析】 由分布列的性质可知：a ⎝⎛⎭⎫13＋19＋127＝1，解得a ＝2713. 【答案】 C2.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P (ξ＝0)等于( )A.0B.13C.12D.23【解析】 设P (ξ＝1)＝p ，则P (ξ＝0)＝1－p . 依题意知，p ＝2(1－p )，解得p ＝23.故P (ξ＝0)＝1－p ＝13.【答案】 B3.随机变量η的分布列如下：则x ＝________【解析】 由分布列的性质得 0.2＋x ＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x ＝0.故P (η≤3)＝P (η＝1)＋P (η＝2)＋P (η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55. 【答案】 0 0.554.已知随机变量X 只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围为________.【解析】 设X 的分布列为⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝1，0≤a －d ≤1，0≤a ＋d ≤1，解得－13≤d ≤13.【答案】 ⎣⎡⎦⎤－13，13 5.在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这4场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率相等.已知当这4场比赛结束后，该班胜场多于负场.(1)求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和； (2)若胜场次数为X ，求X 的分布列.【解】 (1)若胜一场，则其余为平，共有C 14＝4种情况；若胜两场，则其余两场为一负一平或两平，共有C 24C 12＋C 24＝18种情况；若胜三场，则其余一场为负或平，共有C 34×2＝8种情况；若胜四场，则只有一种情况.综上，共有31种情况.(2)X 的可能取值为1,2,3,4，P (X ＝1)＝431，P (X ＝2)＝1831，P (X ＝3)＝831，P (X ＝4)＝131，所以X 的分布列为我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]1.某一随机变量ξ的概率分布列如下表，且m ＋2n ＝1.2，则m －n2的值为( )A.－0.2 C.0.1D.－0.1【解析】 由离散型随机变量分布列的性质可得m ＋n ＋0.2＝1，又m ＋2n ＝1.2，解得m ＝n ＝0.4，可得m －n2＝0.2.【答案】 B2.下列问题中的随机变量不服从二点分布的是( ) A.抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X B.某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量XC.从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，取出白球，0，取出红球D.某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X【解析】 A 中随机变量X 的取值有6个，不服从二点分布，故选A. 【答案】 A3.若P (X ≤n )＝1－a ，P (X ≥m )＝1－b ，其中m <n ，则P (m ≤X ≤n )＝( )【导学号：62980036】A.(1－a )(1－b )B.1－a (1－b )C.1－(a ＋b )D.1－b (1－a )【解析】 ∵P (m ≤X ≤n )＝P (X ≤n )－P (X ≤m )＝1－a －[1－(1－b )]＝1－(a ＋b ). 【答案】 C4.抛掷两颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)等于( ) A.16 B.13 C.12D.23【解析】 根据题意，有P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4).抛掷两颗骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X ＝2对应(1,1)，X ＝3对应(1,2)，(2,1)，X ＝4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)，故P (X ＝2)＝136，P (X ＝3)＝236＝118，P (X ＝4)＝336＝112，所以P (X ≤4)＝136＋118＋112＝16.5.随机变量ξ的概率分布列为P (ξ＝n )＝an (n ＋1)，n ＝1,2,3,4，其中a 是常数，则P ⎝⎛⎭⎫12<ξ<52的值为( )A.23 B.34 C.45 D.56【解析】a 1×2＋a 2×3＋a 3×4＋a 4×5＝ a ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋⎝⎛⎭⎫14－15 ＝45a ＝1. ∴a ＝54.∴P ⎝⎛⎭⎫12<ξ<52＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2) ＝54×⎝⎛⎭⎫11×2＋12×3＝56. 【答案】 D 二、填空题6.从装有除颜色外其余均相同的3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，随机变量X 的概率分布列如下：则x ，x 2，x 3的值分别为【导学号：62980037】【解析】 X 的可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝C 22C 25＝0.1，P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝0.6，P (X ＝2)＝C 23C 25＝0.3.【答案】 0.1,0.6,0.37.设离散型随机变量X 的概率分布列为：则P (X ≤2)＝【解析】 P (X ≤2)＝1－25＝35.【答案】 358.某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X 的分布列如下表，其中a ，b ，c 成等差数列，且c ＝ab ，则这名运动员得3【解析】 由题中条件，知2b ＝a ＋c ，c ＝ab ，再由分布列的性质，知a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ，c 都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a ＝12，b ＝13，c ＝16，所以得3分的概率是16.【答案】 16三、解答题9.一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球.(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，摸出白球，1，摸出红球，求X 的分布列；(2)从中任意摸出两个球，用“X ＝0”表示两个球全是白球，用“X ＝1”表示两个球不全是白球，求X 的分布列.【解】 (1)X 的分布列如下表：(2)X 的分布列如下表：10.从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量X ，求X 的分布列及P (X >1).【解】 依题意，有 P (X ＝1)＝2P (X ＝2)， P (X ＝3)＝12P (X ＝2).由分布列的性质得1＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝72P (X ＝2)，所以P (X ＝2)＝27，所以X 的分布列如下：故P (X >1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝37.[能力提升]1.随机变量X 的分布列如下表：其中a ，b ，c A.13 B.23 C.34D.45【解析】 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ， 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.【答案】 B2.(2016·周口中英文学校月考)设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：则q 为( ) A.1 B.1±22C.1＋22D.1－22【解析】 由分布列性质(2)知12＋1－2q ＋q 2＝1，解得q ＝1±22，又由性质(1)知1－2q ≥0，∴q ≤12，∴q ＝1－22，故选D.【答案】 D3.以下茎叶图2-1-1记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示.如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y 的分布列.【解】 当X ＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数分别是9,9,11,11；乙组同学的植树棵数分别是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16种可能的结果，这两名同学植树总棵树Y 的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y ＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P (Y ＝17)＝216＝18.同理可得P (Y ＝18)＝14；P (Y ＝19)＝14；P (Y ＝20)＝14；P (Y ＝21)＝18.所以随机变量Y 的分布列为4..游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图2-1-2)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队.图2-1-2(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列.【解】 (1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28＝28种，X ＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27.(2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1,0,1.X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形.所以X 的分布列为。
【高中数学】2018-2019学年人教B版高中数学-选修2-3教学案-离散型随机变量的分布列(可直接打印)
2．1.2 离散型随机变量的分布列
[对应学生用书P21]
1．投掷一颗骰子，所得点数为X . 问题1：X 可取哪些数字？ 提示：X ＝1,2,3,4,5,6
问题2：X 取不同的值时，其概率分别是多少？ 提示：都等于1
6
.
2．一瓶中装有5个球，编号为1,2,3,4,5.从瓶中同时取3个，以X 表示取出的3个球中的最大号码．
问题3：随机变量X 的可能取值是什么？ 提示：X ＝3,4,5.
问题4：试求X 取不同值的概率分别是什么？
提示：P (X ＝3)＝C 33C 35＝110，P (X ＝4)＝C 23C 35＝310，P (X ＝5)＝C 24
C 35＝610＝35
.
问题5：你能用表格表示X 与P 的对应关系吗？ 提示：可表示为：
1．分布列的定义
设离散型随机变量X 所有可能取的值为x 1，x 2，…x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率p 1，p 2…，p n 则称表
为离散型随机变量X 的概率分布列． 2．分布列的性质。
2018版数学新导学同步人教A版选修2-3：课时作业 15离散型随机变量的方差包含解析
3．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝C ( )k·( )n－k，k＝0,1,2，…，n，且E(ξ)＝24，则D(ξ)的值为()
A．8 B．12
C. D．16
解析：由题意可知ξ～B(n， )，∴ n＝E(ξ)＝24.∴n＝36.
∴D(ξ)＝n× ×(1－ )＝ ×36＝8.
答ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：A
4．若随机变量X1～B(n,0.2)，X2～B(6，p)，X3～B(n，p)，且E(X1)＝2，D(X2)＝ ，则 等于()
ξ1(甲得分)
0
1
2
P(ξ1＝xi)
0.2
0.5
0.3
ξ2(乙得分)
0
1
2
P(ξ2＝xi)
0.3
0.3
0.4
现有一场比赛，派哪位运动员参加较好？()
A．甲B．乙
C．甲、乙均可D．无法确定
解析：E(ξ1)＝E(ξ2)＝1.1，D(ξ1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，D(ξ2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，
0.2
0.1
于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3，
D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.
故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.
(2)由概率的加法公式，P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7，
A．0.5 B.
C. D．3.5
解析：因为X1～B(n,0.2)，所以E(X1)＝0.2n＝2，
所以n＝10.又X2～B(6，p)，所以D(X2)＝6p(1－p)＝ ，
2018年秋人教B版数学选修2-3练习：2.3.2 离散型随机变量的方差
2.3.2离散型随机变量的方差课时过关·能力提升1.D(X-D(X))的值为()A.不确定B.0C.D(X)D.2D(X)答案:C2.如果随机变量X服从二项分布X~B(100,0.2),那么D(4X+3)的值为()A.64B.256C.259D.320解析:由题意知,D(X)=100×0.2×(1-0.2)=16,所以D(4X+3)=42×D(X)=16×16=256.答案:B3.若X~B(n,p),且E(X)=6,D(X)=3,则P(X=1)的值为()A.3·2-2B.2-4C.3·2-10D.2-8解析:∵X~B(n,p),∴E(X)=np,D(X)=np(1-p).∴P(X=1)==3·2-10.答案:C4.设随机变量X的概率分布为P(X=k)=(1-p)k p1-k(k=0,1),则E(X),D(X)的值分别是()A.0和1B.p和p2C.p和1-pD.1-p和p(1-p)解析:随机变量X的概率分布为P(X=k)=(1-p)k p1-k(k=0,1),则P(X=0)=p,P(X=1)=1-p,所以E(X)=0×p+1×(1-p)=1-p,D(X)=[0-(1-p)]2×p+[1-(1-p)]2×(1-p)=p(1-p).答案:D5.已知随机变量ξ的分布列为:ξ-1 0 1P则在下列式子①E(ξ)=-,②D(ξ)=,③P(ξ=0) =中,正确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个解析:由分布列可知P(ξ=0)=,根据公式可求得E(ξ)=-,D(ξ)=,所以①③正确.答案:C6.已知随机变量X~B(n,p),若E(X)=4,Y=2X+3,D(Y)=3.2,则P(X=2)=.(结果用数字表示) 解析:由已知条件可求得n=5,p=0.8,故P(X=2)=p2(1-p)3=答案:7.随机变量ξ的分布列为:ξ-1 0 1P a b c其中a,b,c成等差数列,若E(ξ)=,则D(ξ)的值是.解析:由已知得解得所以D (ξ)=答案:★8.若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0<p<1),用随机变量X表示A在1次试验中发生的次数,则方差D(X)的最大值为;的最大值为.解析:随机变量X的所有可能取值为0,1,由题意,得X的分布列为X0 1P1-p p,从而E(X)=0×(1-p)+1×p=p,D(X)=(0-p)2×(1-p)+(1-p)2×p=p-p2.D(X)=p-p2=-=-因为0<p<1,所以当p=时,D(X)取得最大值,最大值为=2-因为0<p<1,所以2p+2当2p=,即p=时,取等号.因此,当p=时,取得最大值2-2答案:2-29.设一次试验的成功率为p,进行100次独立重复试验,求当p为何值时,成功次数的标准差最大?并求其最大值.分析根据题意,可知本题主要考查服从二项分布的随机变量的标准差公式,所以解决本题的关键就是找出几个变量之间的关系.解:设成功次数为随机变量X,由题意可知X~B(100,p).那么因为D(X)=100p(1-p)=100p-100p2,所以把上式看作一个以p为自变量的二次函数,易知当p=时,D(X)有最大值为25,所以的最大值为5,即当p=时,成功次数的标准差的最大值为5.10.从4名男生和2名女生中任选2人参加演讲比赛,设随机变量X表示所选2人中女生的人数.(1)求X的分布列;(2)求X的数学期望;(3)求X的方差.分析X的可能取值有0,1,2,求出相应概率再由公式求期望、方差.解:(1)X的可能取值为0,1,2.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,所以X的分布列为X0 1 2P(2)X的数学期望E(X)=0+1+2(3)D(X)=。
2018年秋人教B版数学选修2-3课件：2.3.2 离散型随机变量的方差
题型一
题型二
题型三
题型一 求离散型随机变量的方差
【例1】 编号1,2,3的三位学生随意入座编号1,2,3的三个座位,每 位学生坐一个座位.设与座位编号相同的学生人数是X. (1)求随机变量X的概率分布; (2)求随机变量X的期望与方差. 分析与座位编号相同的学生人数只能是0,1,3.求出X的分布列再 根据公式求期望与方差.
题型一
题型二
题型三
反思 像这类求离散型随机变量函数的方差的问题,利用公式 D(aX+b)=a2D(X)来求,既避免了求离散型随机变量Y的分布列又避 免了大量的计算,这是解答这类题的主要方法.
题型一
题型二
题型三
题型三 离散型随机变量的方差的实际应用
【例3】 有甲、乙两种钢筋,从中各抽取等量样品检查它们的抗拉 强度指标,如下表:
1.通过实例,理解取有限值的离散型随机变量的方差、标准差的 概念和意义. 2.会求离散型随机变量的方差、标准差. 3.会利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题.
方差 (1)设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1,x2,…,xn,这些值 对应的概率是p1,p2,…,pn,则D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xnE(X))2pn叫做这个离散型随机变量X的方差. (2)离散型随机变量的方差反映了离散型随机变量取值相对于期 望的平均波动大小. (3)D(X)的算术平方根 ������(������) 叫做离散型随机变量X的标准差. (4)若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布,则 D(X)=np(1-p).
+ ������2 = 1,
故 X 的分布列为
-1 1 2 0 2 -1
【B版】人教课标版高中数学选修2-3《离散型随机变量的方差》导学案
2.3.2离散型随机变量的方差【学习要求】1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念。
2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题。
3．掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差。
【学法指导】1．通过实例理解离散型随机变量的方差的意义，通过例题体会方差在解决实际问题中的应用。
2．要善于将实际问题转化为数学问题来解决，通过模仿建立起数学建模的思维常识。
【知识要点】1．离散型随机变量的方差、标准差设离散型随机变量X的分布列为则(x i－E(X))2描述了x i(i＝1，2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度。
我们称D(X)为随机变量X的，并称其算术平方根随机变量X的。
2．离散型随机变量方差的性质（1）设a，b为常数，则D(aX＋b)＝，（2）D(c)＝0(其中c为常数)。
3．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差（1）若X服从两点分布，则D(X)＝(其中p为成功概率)；（2）若X～B(n，p)，则D(X)＝。
【问题探究】探究点一方差、标准差的概念及性质问题1某省运会即将举行，在最后一次射击选拔比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下：甲运动员：7，8，6，8，6，5，8，10，7，5；乙运动员：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7。
观察上述数据，两个人射击的平均成绩是一样的。
那么，是否两个人就没有水平差距呢？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？问题2类比样本方差、标准差的概念，能否得出离散型随机变量的方差、标准差？问题3随机变量的方差与样本的方差有何不同？问题4方差、标准差的单位与随机变量的单位有什么关系？问题5我们知道若一组数据x i(i＝1，2，…，n)的方差为s2，那么另一组数据ax i＋b(a、b是常数且i＝1，2，…，n)的方差为a2s2。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
则X＝1,2,3.
∵P(X＝1)＝ ＝ ，P(X＝2)＝ ＝ ，
P(X＝3)＝ ＝ .
∴P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)
＝ ＝ .
答案：
7．某射手射击一次命中环数X的分布列如下：
X
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02Biblioteka 0.040.060.09
0.28
0.29
答案：
4．随机变量ξ的分布列如下，则ξ为奇数的概率为__________.
ξ
0
1
2
3
4
5
P
解析：P＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝ ＋ ＋ ＝ .
答案：
5．从某医院的3名医生，2名护士中随机选派2人参加雅安抗震救灾，设其中医生的人数为X，写出随机变量X的分布列．
解析：依题意可知，随机变量X服从超几何分布，所以P(X＝k)＝ (k＝0,1,2)．
0.22
则此射手“射击一次命中环数X≥7”的概率为__________．
解析：根据射手射击一次命中环数X的分布列，有
P(X＝7)＝0.09，P(X＝8)＝0.28，
P(X＝9)＝0.29，P(X＝10)＝0.22，
P(X≥7)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.88.
答案：0.88
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
A．P(0＜X≤2) B．P(X≤1)
C．P(X＝1) D．P(X＝2)
解析：本题相当于最多取出1个白球的概率，也就是取到1个白球或没有取到白球．
答案：B
5．在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用ξ表示10个村庄中交通不太方便的村庄数，下列概率中等于 的是()
A．P(ξ＝2) B．P(ξ≤2)
8．已知随机变量ξ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围为__________．
解析：设ξ的分布列为
ξ
x1
x2
x3
P
a－d
a
a＋d
由离散型随机变量分布列的基本性质知
解得－ ＜d＜ .
答案：－ ＜d＜
三、解答题：每小题15分，共45分．
9．某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X表示此人选对A饮料的杯数．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．求X的分布列．
X
0
1
2
3
P
0.1
m
n
0.1
A.－0.2 B．0.2
C．0.1 D．－0.1
答案：B
2．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝ ，k＝1,2，…，则P(2＜ξ≤4)等于()
A. B.
C. D.
解析：P(2＜ξ≤4)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝ ＋ ＝ .
答案：A
3．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为
解析：(1)设乙厂生产的产品数量为m件，依题意得 ＝ ，所以m＝35，
答：乙厂生产的产品数量为35件．
(2)∵上述样本数据中满足x≥175且y≥75的只有2件，
∴估计乙厂生产的优等品的数量为35× ＝14件．
(3)依题意，ξ可取值0,1,2，则
P(ξ＝0)＝ ＝ ，P(ξ＝1)＝ ＝ ，
P(ξ＝2)＝ ＝ ，
P(X＝0)＝ ＝ ＝0.1，
P(X＝1)＝ ＝ ＝0.6，
P(X＝2)＝ ＝ ＝0.3.
(或P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－0.1－0.6＝0.3)．
故随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
0.1
0.6
0.3
(限时：30分钟)
一、选择题
1．某一随机变量X的概率分布如表，且m＋2n＝1.2.则m－ 的值为()
编号
1
2
3
4
5
x
169
178
166
175
180
y
75
80
77
70
81
(1)已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；
(2)当产品中的微量元素x，y满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列．
解析：X的可能取值为：0,1,2,3,4.
P(X＝i)＝ (i＝0,1,2,3,4)．
即
X
0
1
2
3
4
P
10.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.
如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列．
解析：当X＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数分别是9,9,11,11；乙组同学的植树棵数分别是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P(Y＝17)＝ ＝ .
ξ
－1
0
1
P
1－2q
q2
则q的值为()
A．1 B．1±
C．1＋ D．1－
解析：由 ＋(1－2q)＋q2＝1，即q2－2q＋ ＝0，
解得q＝ .又因为P(ξ＝i)＞0，故有1－2q＞0，故q＝1－ .
答案：D
4．一个盒子里装有相同大小的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于 的是()
同理可得P(Y＝18)＝ ；P(Y＝19)＝ ；
P(Y＝20)＝ ；P(Y＝21)＝ .
所以随机变量Y的分布列为
Y
17
18
19
20
21
P
11.为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：毫克)．下表是乙厂的5件产品的测量数据：
C．P(ξ＝4) D．P(ξ≤4)
解析：A项，P(ξ＝2)＝ ；
B项，P(ξ≤2)＝P(ξ＝2)≠ ；
C项，P(ξ＝4)＝ ；
D项，P(ξ≤4)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＞ .
答案：C
二、填空题
6．某小组有男生6人，女生4人，现要选3个人当班干部，则当选的3人中至少有1个女生的概率为__________．
课时训练10离散型随机变量的分布列
(限时：10分钟)
1．已知随机变量X的分布列如下表，则m的值为()
X
1
2
3
4
5
P
m
A. B.
C. D.
答案：C
2．若离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
P
2a
3a
则a＝()
A. B.
C. D.
解析：由离散型随机变量分布列的性质可知，2a＋3a＝1，解得a＝ .
答案：C
3．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为__________．