2020版高考数学北师大版(理)一轮复习课件：选修4-4 坐标系与参数方程 .pdf
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高考数学一轮复习 坐标系与参数方程 第一节 坐标系课件 理 选修4-4
求双曲线 C：x2－6y42 ＝1 经过 φ：x2′y′＝＝3yx，， 变换后所得曲 线 C′的焦点坐标．
解：设曲线 C′上任意一点 P′(x′，y′)，由上述可知，
将x＝13x′， y＝2y′
代入 x2－6y42 ＝1 得x′9 2－4y6′4 2＝1，化简得x′9 2
－y1′62＝1，即x92－1y62 ＝1 为曲线 C′的方程，可见仍是双曲线，
解析：曲线 C1 的直角坐标方程为 2x＋y＝1，曲线 C2 的直
角坐标方程为 x2＋y2＝a2，曲线 C1 与 x 轴的交点坐标为 22，0，
此a＝
2 2.
答案：
2 2
[典题 1] (1)在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换 φ：
x′＝3x， 2y′＝y.
求点 A13，－2经过 φ 变换所得的点 A′的坐
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为x′＝12x， 则在这 y′＝3y，
一坐标变换下正弦曲线 y＝sin x 的方程变为________．
解析：由x′＝12x， y′＝3y，
x＝2x′， 知y＝13y′.
代入 y＝sin x 中得 y′＝3sin 2x′.
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：
x′＝λ·xλ＞0， y′＝μ·yμ＞0
的作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，
称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
2．极坐标系 (1)极坐标系的概念 ①极坐标系
如图所示，在平面内取一个 定点 O，点 O 叫做极点，自极点 O 引一条 射线 Ox，Ox 叫做极轴；再选定一个 长度单位 、一 个角度单位 (通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建 立了一个极坐标系．
高考数学一轮复习选修44坐标系与参数方程第2讲参数方程课件理北师大版
复习课件
高考数学一轮复习选修44坐标系与参数方程第2讲参数方程课件理北师大版
2021/4/17
高考数学一轮复习选修44坐标系与参数方程第2讲参数方程
0
课件理北师大版
选修4－4 坐标系与参数方程
第2讲 参数方程
数学
01
基础知识 自主回顾
02
核心考点 深度剖析
03
高效演练 分层突破
一、知识梳理 1．参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过_消__去__参__数______， 从参数方程得到普通方程． (2)如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如_x_＝__f_(_t)___，把它代入普通方程， 求出另一个变数与参数的关系 y＝_g_(_t)______，那么yx＝＝gf（（tt）），就是曲线的参数方程， 在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x，y 的__取__值__范__围_______保持一致．
(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互 化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等． (2)根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义，有如下常用结论： 过定点 M0 的直线与圆锥曲线相交，交点为 M1，M2，所对应的参数分别为 t1，t2. ①弦长 l＝|t1－t2|； ②弦 M1M2 的中点⇒t1＋t2＝0； ③|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.
圆
O
的参数方程为xy＝＝22scions
θ， θ (θ
为参数)，根据
sin2θ＋cos2θ＝1
消去参数
θ，可得
x2＋y2＝4，所以圆心
O
到直线
高考数学一轮复习选修44坐标系与参数方程第2讲参数方程课件理北师大版
2021/4/17
高考数学一轮复习选修44坐标系与参数方程第2讲参数方程
0
课件理北师大版
选修4－4 坐标系与参数方程
第2讲 参数方程
数学
01
基础知识 自主回顾
02
核心考点 深度剖析
03
高效演练 分层突破
一、知识梳理 1．参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过_消__去__参__数______， 从参数方程得到普通方程． (2)如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如_x_＝__f_(_t)___，把它代入普通方程， 求出另一个变数与参数的关系 y＝_g_(_t)______，那么yx＝＝gf（（tt）），就是曲线的参数方程， 在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x，y 的__取__值__范__围_______保持一致．
(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互 化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等． (2)根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义，有如下常用结论： 过定点 M0 的直线与圆锥曲线相交，交点为 M1，M2，所对应的参数分别为 t1，t2. ①弦长 l＝|t1－t2|； ②弦 M1M2 的中点⇒t1＋t2＝0； ③|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.
圆
O
的参数方程为xy＝＝22scions
θ， θ (θ
为参数)，根据
sin2θ＋cos2θ＝1
消去参数
θ，可得
x2＋y2＝4，所以圆心
O
到直线
坐标系与参数方程复习 课件(北师大版选修4-4)
6
A(4，
) 3
4 【规律方法】点的极坐标是距离和角组成的实数对，求三 O 5 角形的面积常常利用两边和夹角的正弦积的一半计算. 5 B(5，)
6
x
【例3】在以O为极点的极坐标系中，直线l的极坐标方程是
ρ cosθ -2=0,直线l与极轴相交于点M，以OM为直径的圆的极
坐标方程是_____. 【审题指导】先求圆的直角坐标方程，再化为极坐标方程. 【自主解答】直线l：ρcosθ-2=0的普通方程为x=2, M(2,0),以OM为直径的圆的普通方程是(x-1)2+y2=1,即 x2+y2=2x，化为极坐标方程为ρ=2cosθ.
练习：
7 3 ),则｜AB｜=___. 12 12 2.在极坐标系中，定点A(2, ),点B在直线 2 5 (1, ) ρ cosθ +ρ sinθ =0上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标 3 6
1.极坐标系中，点A(1，5 )，B(2，-
为_______. 3.若M、N分别是曲线ρ =2cosθ 和 sin( ) 2 上的动点，
复习
M ρ
θ
o x
θ ＝a(ρ ∈R)
ρ cosθ =a
ρ sinθ =a
下列极坐标方程如何转化为直角坐标方程
3 θ
.
y
3x
= 2 sin( ) . 4 2 ρ =4sinθ
3
. sin cos cos sin 2 4 4 2 ρ 2=4ρ sinθ ρ 2=5 3 ρ cosθ -5ρ sinθ
则M、N两点间的距离的最小值是________. 2 1
4 2
(0≤a＜π ，a≠π /2)
高考理科数学(北师大版)一轮复习课件选修4-4第1讲坐标系
极坐标方程与直角坐标方程的互化 (1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式 x＝ρcos θ 及 y＝ρsin θ 直接代入直角坐标方程 并化简即可． (2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如 ρcos θ，ρsin θ，ρ2 的形式， 再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ 及方程两边平方是常用的变 形技巧．
选修4－4 坐标系与参数方程
第1讲 坐标系
数学
01
基础知识 自主回顾
02
核心考点 深度剖析
03
高效演练 分层突破
一、知识梳理 1．坐标系 (1)伸缩变换 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：xy′′＝＝λ·μx·（y（λ>μ0>）0），的作用下，
点 P(x，y)对应到点(λx，μy)，称 φ 为平面直角坐标系中的伸缩变换．
2．求双曲线 C：x2－6y42 ＝1 经过 φ：x2′y＝′3＝x，y 变换后所得曲线 C′的焦点坐标． 解：设曲线 C′上任意一点 P′(x′，y′)，
由x2′y＝′3＝x，y，得xy＝＝2x3y′，′， 代入曲线 C：x2－6y42 ＝1，得x9′2－y1′62＝1， 即曲线 C′的方程为x92－1y62 ＝1， 因此曲线 C′的焦点 F1(－5，0)，F2(5，0)．
【解】 (1)由 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 得 C2 的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4. (2)由(1)知 C2 是圆心为 A(－1，0)，半径为 2 的圆．由题设知，C1 是过点 B(0，2)且关于 y 轴对称的两条射线．记 y 轴右边的射线为 l1，y 轴左边的射线为 l2.由于 B 在圆 C2 的外 面，故 C1 与 C2 有且仅有三个公共点等价于 l1 与 C2 只有一个公共点且 l2 与 C2 有两个公 共点，或 l2 与 C2 只有一个公共点且 l1 与 C2 有两个公共点．
高考数学(北师大版)一轮复习讲义：选修4-4坐标系与参数方程(共46张)讲课文档
第十五页，共46页。
(5)抛物线 y2＝2px(p＞0)的参数方程为xy＝＝22pptt2 (t 为参数)． (6)圆的渐开线的参数方程为xy＝＝rrscionsθθ－＋θθcsoinsθθ (θ 为参数)． (7)平摆线的参数方程为xy＝＝rr1θ－－csoinsθθ (θ 为参数).
第十六页，共46页。
第十二页，共46页。
(2)圆的参数方程 圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2 的参数方程为
xy＝＝yx00＋＋rrscionsθθ (θ 为参数 0≤θ≤2π)．
(3)椭圆的参数方程
①椭圆ax22＋yb22＝1(a＞b＞0)的参数方程为xy＝＝bascionsθθ (θ 为参数
0≤θ≤2π)；
②
第二十五页，共46页。
题型四 参数方程与普通方程的互化 例 4.将参数方程xy＝＝s2i＋n2θsin2θ (θ 为参数)化为普通方程．
解析 将 sin2θ＝y 代入 x＝2＋sin2θ 得 x＝2＋y，即 x－y－2＝0. ∵sin2θ∈[0,1]， ∴x∈[2,3]，y∈[0,1]， ∴普通方程为 x－y－2＝0，x∈[2,3].
第二十八页，共46页。
解析
(1)直线 l 的参数方程为x＝1＋2t
y＝2＋
3 2t
(t 为参数)．
(2)将xy＝＝21＋＋2t23t
代入 x2＋y2＝9，
得：t2＋(1＋2 3)t－4＝0，
∴t1t2＝－4. 由参数 t 的几何意义得直线 l 和圆 x2＋y2＝9 的两个交点到点 A
第九页，共46页。
5．圆锥曲线的极坐标方程 设定点 F 到定直线 l 的距离为 p，e 为离心率，则 圆锥曲线的极坐标方程是 ρ＝1－eepcosθ. 当 0＜e＜1 时，方程 ρ＝1－eepcosθ表示椭圆； 当 e＝1 时，方程 ρ＝1－pcosθ表示抛物线； 当 e＞1 时，方程 ρ＝1－eepcosθ表示双曲线，其中 ρ∈R.
(5)抛物线 y2＝2px(p＞0)的参数方程为xy＝＝22pptt2 (t 为参数)． (6)圆的渐开线的参数方程为xy＝＝rrscionsθθ－＋θθcsoinsθθ (θ 为参数)． (7)平摆线的参数方程为xy＝＝rr1θ－－csoinsθθ (θ 为参数).
第十六页，共46页。
第十二页，共46页。
(2)圆的参数方程 圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2 的参数方程为
xy＝＝yx00＋＋rrscionsθθ (θ 为参数 0≤θ≤2π)．
(3)椭圆的参数方程
①椭圆ax22＋yb22＝1(a＞b＞0)的参数方程为xy＝＝bascionsθθ (θ 为参数
0≤θ≤2π)；
②
第二十五页，共46页。
题型四 参数方程与普通方程的互化 例 4.将参数方程xy＝＝s2i＋n2θsin2θ (θ 为参数)化为普通方程．
解析 将 sin2θ＝y 代入 x＝2＋sin2θ 得 x＝2＋y，即 x－y－2＝0. ∵sin2θ∈[0,1]， ∴x∈[2,3]，y∈[0,1]， ∴普通方程为 x－y－2＝0，x∈[2,3].
第二十八页，共46页。
解析
(1)直线 l 的参数方程为x＝1＋2t
y＝2＋
3 2t
(t 为参数)．
(2)将xy＝＝21＋＋2t23t
代入 x2＋y2＝9，
得：t2＋(1＋2 3)t－4＝0，
∴t1t2＝－4. 由参数 t 的几何意义得直线 l 和圆 x2＋y2＝9 的两个交点到点 A
第九页，共46页。
5．圆锥曲线的极坐标方程 设定点 F 到定直线 l 的距离为 p，e 为离心率，则 圆锥曲线的极坐标方程是 ρ＝1－eepcosθ. 当 0＜e＜1 时，方程 ρ＝1－eepcosθ表示椭圆； 当 e＝1 时，方程 ρ＝1－pcosθ表示抛物线； 当 e＞1 时，方程 ρ＝1－eepcosθ表示双曲线，其中 ρ∈R.
高考数学一轮复习选修4_4坐标系与参数方程第2讲参数方程课件理北师大版
解析：由 ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，得 x＋y＝－2 ①. 又xy＝＝2t2，2t，消去 t，得 y2＝8x ②. 联立①②得xy＝＝－2，4，即交点坐标为(2，－4)． 答案：(2，－4)
参数方程与普通方程的互化(自主练透)
1．将下列参数方程化为普通方程．
x＝1t ，
(1)y＝1t
(t t2－1
M0M 的数量．
(√ )
(3)方程xy＝＝12＋cos2sθi，n θ(θ 为参数)表示以点(0，1)为圆心，以 2 为半径的圆．
(√ )
(4)已知椭圆的参数方程xy＝＝42scions
t， t (t
为参数)，点
M
在椭圆上，对应参数
t＝π3，点
O
为
原点，则直线 OM 的斜率为 3.
(× )
Байду номын сангаас
二、易错纠偏 常见误区 (1)不注意互化的等价性致误； (2)直线参数方程中参数 t 的几何意义不清致误； (3)交点坐标计算出错致错．
圆
O
的参数方程为xy＝＝22scions
θ， θ (θ
为参数)，根据
sin2θ＋cos2θ＝1
消去参数
θ，可得
x2＋y2＝4，所以圆心
O
到直线
l
的距离
d＝
2＝ 2
2，故弦长|AB|＝2
r2－d2＝2
2.
把直线
l
x＝2＋ 的参数方程标准化可得
22t，将其代入圆
O
的方程
x2＋y2＝4
得
t2＋6
2
y＝4＋ 22t，
1．(2020·日照模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极 轴建立极坐标系．已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝4cosθ－π3，直线 l 过点 P(0，－ 3) 且倾斜角为π3. (1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程； (2)设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求|PA|＋|PB|的值．
高考数学总复习第一轮复习课件：选修4-4(2)参数方程ppt课件(含答案)
为参数)过椭圆 C：y＝2sin φ (φ 为参数)的右顶点，则 a＝________. 3 [直线 l 的普通方程为 x－y－a＝0，椭圆 C 的普通方程为x92＋
y42＝1，∴椭圆 C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线 l 过(3,0)，则 3－a＝0， ∴a＝3.]
解析答案
栏目导航
14
课堂 题型全突破
答案 栏目导航
6
2．常见曲线的参数方程和普通方程
点的轨迹
普通方程
参数方程
直线
y－y0＝tan α(x－x0)
xy＝ ＝xy00＋ ＋ttcsions
α， α
(t 为参数)
圆
x2＋y2＝r2
x＝_r_c_o_s_θ___， y＝__rs_i_n_θ___
(θ 为参数)
椭圆
ax22＋by22＝1(a＞b＞0)
栏目导航
11
3．直线 l 的参数方程为xy＝ ＝12＋ －t3，t (t 为参数)，则直线 l 的斜率 为________．
－3 [将直线 l 的参数方程化为普通方程为 y－2＝－3(x－1)，因 此直线 l 的斜率为－3.]
解析答案
栏目导航
12
4．曲线
C
的参数方程为xy＝ ＝scions
栏目导航
参数方程与普通方程的互化
1．将下列参数方程化为普通方程．
x＝1t ， (1)y＝1t t2－1
(t 为参数)；
x＝2＋sin2θ， (2)y＝－1＋cos 2θ (θ 为参数)．
15
栏目导航
[解]
(1)∵1t 2＋1t
t2－12＝1，∴x2＋y2＝1.
∵t2－1≥0，∴t≥1 或 t≤－1.
又 x＝1t ，∴x≠0.
y42＝1，∴椭圆 C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线 l 过(3,0)，则 3－a＝0， ∴a＝3.]
解析答案
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14
课堂 题型全突破
答案 栏目导航
6
2．常见曲线的参数方程和普通方程
点的轨迹
普通方程
参数方程
直线
y－y0＝tan α(x－x0)
xy＝ ＝xy00＋ ＋ttcsions
α， α
(t 为参数)
圆
x2＋y2＝r2
x＝_r_c_o_s_θ___， y＝__rs_i_n_θ___
(θ 为参数)
椭圆
ax22＋by22＝1(a＞b＞0)
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11
3．直线 l 的参数方程为xy＝ ＝12＋ －t3，t (t 为参数)，则直线 l 的斜率 为________．
－3 [将直线 l 的参数方程化为普通方程为 y－2＝－3(x－1)，因 此直线 l 的斜率为－3.]
解析答案
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12
4．曲线
C
的参数方程为xy＝ ＝scions
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参数方程与普通方程的互化
1．将下列参数方程化为普通方程．
x＝1t ， (1)y＝1t t2－1
(t 为参数)；
x＝2＋sin2θ， (2)y＝－1＋cos 2θ (θ 为参数)．
15
栏目导航
[解]
(1)∵1t 2＋1t
t2－12＝1，∴x2＋y2＝1.
∵t2－1≥0，∴t≥1 或 t≤－1.
又 x＝1t ，∴x≠0.
高三数学,一轮复习北师大版,(文)选修4-4 ,坐标系与参数方程 , 课件
则 tan θ=
-5√3 -5
π
B. 10, 3 2π D. 10, 3
4π
关闭
设点 (-5,-5√3)的极坐标为 (ρ,θ), = √3.
4π 3
因为 x<0,所以最小正角 θ= , ρ= (-5) + (-5√3 ) =10. 所以极坐标为 10, B
4π 3 2 2
.
解析
关闭
答案
-11知识梳理 双基自测 自测点评
-4知识梳理 双基自测 自测点评
1 2 3 4 5 6
(2)极坐标与直角坐标的关系:把直角坐标系的原点作为极点,x轴 的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设M是平 面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标为(ρ,θ),则它们之间的 ������ 关系为x=ρcos θ,y=ρsin θ .另一种关系为ρ2=x2+y2 ,tan θ= ������ (x≠0).
1 2 3 4 5
3.已知直线 l 的参数方程为
������ = 2������, (t 为参数),圆 C 的极坐标 ������ = 1 + 4������ )
方程为 ρ=2√2sin θ,则直线 l 与圆 C 的位置关系为( A.相离 B.相切 C.相交 D.由参数确定
关闭
������ = 2������, (t 为参数)化为普通方程,得 2x-y+1=0. ������ = 1 + 4������ 将圆 C 的极坐标方程 ρ=2√2sin θ 化为直角坐标方程,得 x2+y2-2√2y=0,即 x2+(y-√2)2=2, 将直线的参数方程 圆心到直线的距离为 d= C
-8知识梳理 双基自测 自测点评
-5√3 -5
π
B. 10, 3 2π D. 10, 3
4π
关闭
设点 (-5,-5√3)的极坐标为 (ρ,θ), = √3.
4π 3
因为 x<0,所以最小正角 θ= , ρ= (-5) + (-5√3 ) =10. 所以极坐标为 10, B
4π 3 2 2
.
解析
关闭
答案
-11知识梳理 双基自测 自测点评
-4知识梳理 双基自测 自测点评
1 2 3 4 5 6
(2)极坐标与直角坐标的关系:把直角坐标系的原点作为极点,x轴 的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设M是平 面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标为(ρ,θ),则它们之间的 ������ 关系为x=ρcos θ,y=ρsin θ .另一种关系为ρ2=x2+y2 ,tan θ= ������ (x≠0).
1 2 3 4 5
3.已知直线 l 的参数方程为
������ = 2������, (t 为参数),圆 C 的极坐标 ������ = 1 + 4������ )
方程为 ρ=2√2sin θ,则直线 l 与圆 C 的位置关系为( A.相离 B.相切 C.相交 D.由参数确定
关闭
������ = 2������, (t 为参数)化为普通方程,得 2x-y+1=0. ������ = 1 + 4������ 将圆 C 的极坐标方程 ρ=2√2sin θ 化为直角坐标方程,得 x2+y2-2√2y=0,即 x2+(y-√2)2=2, 将直线的参数方程 圆心到直线的距离为 d= C
-8知识梳理 双基自测 自测点评
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-6-
参数
知梳理 考点自诊
-7-
知识梳理 考点自诊
-8-
× ×
√ √
×
知识梳理 考点自诊
-9-
C
-10-
知识梳理 考点自诊
3.在极坐标系Ox中,方程ρ=2sin θ表示的圆为( D )
解析:由题意得,方程ρ=2sin θ表示以 为圆心,半径为1的圆,故 选D.
4.在极坐标系中,直线l的方程为ρsin θ=3,则点 到直线l的距离
2.将参数方程化为直角坐标方程的过程就是消去参数的过程,常 用的消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等,往往需 要对参数方程进行变形,为消去参数创造条件.
考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
-16-
对点训练1(2019届广东六校第一次联考,22)在平面直角坐标系中, 将曲线C1向左平移2个单位,再将得到的曲线上的每一个点的横坐 标保持不变,纵坐标缩短为原来的 ,得到曲线C2,以坐标原点O为极 点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,C1的极坐标方程为ρ=4cos α.
选修4—4 坐标系与参数方程
知识梳理 考点自诊
-2-
知识梳理 考点自诊
-3-
2.极坐标系与极坐标
(1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个 定 点 O,叫做极点,自 极点O引一条 射 线 Ox,叫做极轴;再选定一个 长 度 单位,一 个 角 度 单位(通常取 弧 度 )及其正方向(通常取 逆 时 针 方
考点4
考点5
-20-
考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
-21-
解题心得1.求点到直线距离的最大值,一般利用曲线的参数方程 及点到直线的距离公式把距离最值转化为三角函数求最大值.
2.求三角形面积最值时,若其中一边的长为定值,三角形面积最值 可转化为距离最值.
考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
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考点1
由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0, 从而1-a2=0,解得a=-1(舍去),a=1. 当a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上, 所以a=1.
考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
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解题心得1.无论是参数方程化为极坐标方程,还是极坐标方程化 为参数方程,都要先化为直角坐标方程,再由直角坐标方程化为需 要的方程.
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考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
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参数方程与极坐标方程间的互化
例1 在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为
极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ. (1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程; (2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与
向),这样就建立了一个极坐标系.
(2)极坐标:设M是平面内一点,极点O与点M的 距 离 |O M | 叫做点 M的极径,记为 ρ ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角 xO M 叫 做点M的极角,记为 θ .有序数对 (ρ ,θ) 叫做点M的极坐标, 记为 M (ρ, θ) .
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考点2
考点3
考点4
考点5
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考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
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求平面图形面积的最值
例3(2017全国2,文22)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x
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3.极坐标与直角坐标的互化 (1)设点P的直角坐标为(x,y),它的极坐标为(ρ,θ).
(2)把直角坐标转化为极坐标时,通常有不同的表示法(极角相差 2π的整数倍).一般取ρ≥0,θ∈[0,2π).
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4.直线的极坐标方程
(1)若直线过点M(ρ0,θ0),且从极轴到此直线的角为α,则它的方程
解 (1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4. (2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆. 由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边 的射线为l1,y轴左边的射线为l2,由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且 仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共 点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.
为 2 .
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5.(2018全国1,文22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为 y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0.
(1)求C2的直角坐标方程; (2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.
为:ρsin(θ-α)= ρ0 sin (θ 0-α ) .
(2)几个特殊位置的直线的极坐标方程:
①直线过极点:θ=θ0和 θ= π + θ0 ; ②直线过点M(a,0),且垂直于极轴: ρ co s θ = a ;
③直线过
,且平行于极轴: ρ sin θ =b .
5.圆的极坐标方程
(1)求曲线C2的参数方程; (2)已知点M在第一象限,四边形MNPQ是曲线C2的内接矩形,求内 接矩形MNPQ周长的最大值,并求周长最大时点M的坐标.
考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
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考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
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考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
求距离的最值
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考点1
考点2
考点3
C2的公共点都在C3上,求a.
考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
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解 (1)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)为圆 心,a为半径的圆.
将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程 为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.
(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,
(1)若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r,则圆的方程为 .
(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程:
①圆心位于极点,半径为r:ρ= r ;
②圆心位于M(a,0),半径为a:ρ= 2a co s θ ;
③圆心位于
,半径为a:ρ= 2 asi n θ .
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参数方程