您的位置：360文档中心› 【三维设计】届高考数学大一轮复习配套讲义(备考基础查清 热点命题悟通)第六章 不等式、推理与证明 理 苏

【三维设计】届高考数学大一轮复习配套讲义(备考基础查清 热点命题悟通)第六章 不等式、推理与证明 理 苏

合集下载

三维设计高考数学人教版理科大一轮复习配套练习6.1不等关系与不等式(含答案详析)

三维设计高考数学人教版理科大一轮复习配套练习6.1不等关系与不等式(含答案详析)

[课堂练通考点]1．“1≤x ≤4”是“1≤x 2≤16”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由1≤x ≤4可得1≤x 2≤16，但由1≤x 2≤16可得1≤x ≤4或－4≤x ≤－1，所以“1≤x ≤4”是“1≤x 2≤16”的充分不必要条件．2．(2013·昆明质检)若a <b <0，则下列不等式一定成立的是( )A.1a －b >1bB ．a 2<ab C.|b ||a |<|b |＋1|a |＋1 D ．a n >b n解析：选C 取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验选项可知，仅C 选项成立．3．在所给的四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0中，能推出1a <1b成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C 1a <1b 成立，即b －a ab<0成立，逐个验证可得，①②④满足题意． 4．设a ，b 是非零实数，若a <b ，则下列不等式成立的是( )A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2b C.1ab 2<1a 2b D.b a <a b解析：选C 当a <0时，a 2<b 2不一定成立，故A 错．因为ab 2－a 2b ＝ab (b －a )，b －a >0，ab 符号不确定，所以ab 2与a 2b 的大小不能确定，故B 错．因为1ab 2－1a 2b ＝a －b a 2b 2<0，所以1ab 2<1a 2b，故C 正确． D 项中b a 与a b的大小不能确定． 5．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题：①若a >b ，则ac 2>bc 2；②若ac 2>bc 2，则a >b ；③若a >b ，则a ·2c >b ·2c .其中正确的是__________(请把正确命题的序号都填上)．解析：①若c ＝0则命题不成立．②正确．③中由2c >0知成立．答案：②③6．已知a ＋b ＞0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b的大小关系是________． 解析：a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )·⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2. ∵a ＋b ＞0，(a －b )2≥0，∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0. ∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b. 答案：a b 2＋b a 2≥1a ＋1b[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( )A ．－n ＜m ＜n ＜－mB ．－n ＜m ＜－m ＜nC ．m ＜－n ＜－m ＜nD ．m ＜－n ＜n ＜－m解析：选D 法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可． 法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立．2．(2014·黄冈质检)已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中成立的是( )A ．xy >yzB ．xz >yzC ．xy >xzD ．x |y |>z |y |解析：选C 因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0，3z <x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0.所以由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >z ，可得xy >xz . 3．(2013·西安模拟)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，5π6 B.⎝⎛⎭⎫－π6，5π6C ．(0，π) D.⎝⎛⎭⎫－π6，π 解析：选D 由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6， ∴－π6≤－β3≤0， ∴－π6<2α－β3<π. 4．若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( ) A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |解析：选D ∵1a <1b<0，∴0>a >b . ∴a 2<b 2，ab <b 2，a ＋b <0，|a |＋|b |＝|a ＋b |.5．(2014·上海十三校联考)已知1a <1b<0，给出下面四个不等式：①|a |>|b |；②a <b ；③a ＋b <ab ；④a 3>b 3.其中不正确的不等式的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：选C 由1a <1b<0可得b <a <0，从而|a |<|b |，①不正确；a >b ，②不正确；a ＋b <0，ab >0，则a ＋b <ab 成立，③正确；a 3>b 3，④正确．故不正确的不等式的个数为2.6．(2014·扬州期末)若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是________． 解析：作差可得(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)·(b 1－b 2)，∵a 1<a 2，b 1<b 2，∴(a 1－a 2)(b 1－b 2)>0，即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.答案：a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 17．若1＜α＜3，－4＜β ＜2，则α－|β|的取值范围是________．解析：∵－4＜β ＜2，∴0≤|β|＜4.∴－4＜－|β|≤0.∴－3＜α－|β|＜3.答案：(－3,3)8．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是________．解析：∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0，当a >0，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2>1，b <1，解得b <－1； 当a <0时，b 2<1<b ，即⎩⎨⎧ b 2<1，b >1无解． 综上可得b <－1.答案：(－∞，－1)9．若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e (a －c )2>e (b －d )2. 证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0.又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0.∴(a －c )2>(b －d )2>0.∴0<1(a －c )2<1(b －d )2. 又∵e <0，∴e (a －c )2>e (b －d )2. 10．某企业去年年底给全部的800名员工共发放2 000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增a 人．(1)若a ＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？(2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？ 解：(1)设从今年起的第x 年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y 万元．则y ＝2 000＋60x 800＋ax(a ∈N *,1≤x ≤10)． 假设会超过3万元，则2 000＋60x 800＋10x＞3， 解得x ＞403＞10. 所以，10年内该企业的人均年终奖不会超过3万元．(2)设1≤x1＜x2≤10，则f(x2)－f(x1)＝2 000＋60x2800＋ax2－2 000＋60x1800＋ax1＝(60×800－2 000a)(x2－x1)(800＋ax2)(800＋ax1)＞0，所以60×800－2 000a＞0，得a＜24.所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过23人．第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·济南调研)设a>1，且m＝log a(a2＋1)，n＝log a(a－1)，p＝log a(2a)，则m，n，p的大小关系为()A．n>m>p B．m>p>nC．m>n>p D．p>m>n解析：选B因为a>1，所以a2＋1－2a＝(a－1)2>0，即a2＋1>2a，又2a>a－1，所以由对数函数的单调性可知log a(a2＋1)>log a(2a)>log a(a－1)，即m>p>n.2．(2014·北京西城区期末)已知a>b>0，给出下列四个不等式：①a2>b2；②2a>2b－1；③a－b>a－b；④a3＋b3>2a2b.其中一定成立的不等式为()A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④解析：选A由a>b>0可得a2>b2，①正确；由a>b>0可得a>b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数，∴2a>2b－1，②正确；∵a>b>0，∴a>b，∴(a－b)2－(a－b)2＝2ab－2b ＝2b(a－b)>0，∴a－b>a－b，③正确；若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，a3＋b3<2a2b，④错误．。

【三维设计】高考数学大一轮复习配套讲义(备考基础查清+热点命题悟通)第三章 三角函数、解三角形

【三维设计】高考数学大一轮复习配套讲义(备考基础查清+热点命题悟通)第三章 三角函数、解三角形

第三章 三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念(1)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k·360°，k ∈Z}． 2．弧度的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：①弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度；②弧长公式：l ＝|α|r ；③扇形面积公式：S 扇形＝12lr 和12|α|r2.3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x ，y)，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．1．易混概念：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．利用180°＝π rad 进行互化时，易出现度量单位的混用．3．三角函数的定义中，当P(x ，y)是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx .[试一试]1．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α是第______象限角． 答案： 一或三2．已知角α的终边经过点(3，－1)，则sin α＝________.答案： －121．三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦；2．对于利用三角函数定义解题的题目，如果含有参数，一定要考虑运用分类讨论，而在求解简单的三角不等式时，可利用单位圆及三角函数线，体现了数形结合的思想． [练一练]若sin α<0且tan α>0，则α是第______象限角． 解析：由sin α<0，知α在第三、第四象限或α终边在y 轴的负半轴上，由tan α>0，知α在第一或第三象限，因此α在第三象限． 答案： 三 对应学生用书P39角的集合表示及象限角的判定1.①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有______个．解析：－3π4是第三象限角，故①错误；4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，从而③正确；－315°＝－360°＋45°，从而④正确．答案：32．终边在直线y ＝3x 上的角的集合为________． 解析：终边在直线y ＝3x 上的角的集合为{α|α＝k π＋π3，k ∈Z}． 答案：{α|α＝k π＋π3，k ∈Z}3．在－720°～0°范围内找出所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°<0°，得－765°≤k×360°<－45°，解得－765360≤k<－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.答案：－675°或－315°4.设集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z，那么集合M ，N 的关系是______． 解析： 法一：由于M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有法二：由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k·90°＋45°＝45°·(2k＋1)，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有答案：[备课札记] [类题通法] 1．利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角．2．已知角α的终边位置，确定形如k α，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出k α，π±α等形式的角范围，然后就k 的可能取值讨论所求角的终边位置．三角函数的定义[典例] (1)已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为______．(2)已知α是第二象限角，其终边上一点P(x ，5)，且cos α＝24x ，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝________.[解析] (1)由题意知点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ∈Z)，所以α的最小正值为11π6.(2)由题意得cos α＝x5＋x2＝24x ，解得x ＝0或x ＝3或x ＝－ 3. 又α是第二象限角，∴x ＝－ 3.即cos α＝－64，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－64. [答案] (1)11π6 (2)－64[备课札记] [类题通法]用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题． [针对训练]已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值． 解：设α终边上任一点为P(k ，－3k)， 则r ＝k2＋－＝10|k|. 当k>0时，r ＝10k ， ∴sin α＝－3k10k ＝－310，1cos α＝10 k k ＝10，∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0；当k<0时，r ＝－10k ，∴sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10k k＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0.综上，10sin α＋3cos α＝0.扇形的弧长及面积公式[典例] (1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？ [解] (1)设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋r θ＝1012θ·r2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍)，⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12，故扇形圆心角为12.(2)设圆心角是θ，半径是r ， 则2r ＋r θ＝40.S ＝12θ·r2＝12r(40－2r)＝r(20－r) ＝－(r －10)2＋100≤100，当且仅当r ＝10时，Smax ＝100，θ＝2. 所以当r ＝10，θ＝2时，扇形面积最大．[备课札记]∴正方形边长为2r ， ∴圆心角的弧度数是2rr＝ 2. 答案： 2 [类题通法]弧度制应用的关注点(1)弧度制下l ＝|α|·r，S ＝12lr ，此时α为弧度．在角度制下，弧长l ＝n πr180，扇形面积S ＝n πr2360，此时n 为角度，它们之间有着必然的联系．(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形． [针对训练]已知扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，求弧长l. 解：设扇形的半径为r cm ， 如图．由sin 60°＝6r ，得r ＝4 3 cm ，∴l ＝|α|·r＝2π3×43＝833π(cm)．对应学生用书P41[课堂练通考点]1．如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是________．解析：由三角函数的定义知P(cos θ，sin θ)． 答案：(cos θ，sin θ)2．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________． 解析：设扇形的半径和弧长分别为r ，l ， 则易得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝6，12lr ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝4r ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧l ＝2，r ＝2.故扇形的圆心角的弧度数是4或1.答案：1或43．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________．解析：∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a≤3.答案：(－2,3]4．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________． 解析：2 010°＝676π＝12π－5π6，∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为5π6.答案：5π65．(2014·南京期末)已知角α 的终边经过点P (x ，－6)，且tan α＝－35，则x 的值为________．解析：由三角函数的定义知 tan α＝－6x ，于是－6x ＝－35，解得x ＝10.答案：106．(2014·扬州质检)已知sin α＝13，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan α＝______.解析：因为 sin α＝13，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以 cos α＝－ 1－19＝－223从而tan α＝－24. 答案：－24[课下提升考能] 第Ⅰ组：全员必做题1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是______．解析：将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.答案：－π32．已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是第________象限角．解析：易知sin θ<0，且cos θ≠0，∴θ是第三或第四象限角． 答案：三或四3．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝______.解析：因为角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z)，又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z)，即得sin α＝12.答案：124．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为________．解析：由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y)满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，325．给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④sin 7π10cos πtan17π9，其中符号为负的是________(填写序号)． 解析：sin(－1 000°)＝sin 80°>0；cos(－2 200°)＝cos(－40°)＝cos 40°>0； tan(－10)＝tan(3π－10)<0；sin 7π10cos πtan 17π9＝－sin7π10tan17π9，sin 7π10>0，tan 17π9<0，∴原式>0.答案：③6．在直角坐标系中，O 是原点，A(3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y)，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B(－1，3)． 答案：(－1，3)7.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝________.解析：因为A 点纵坐标yA ＝45，且A 点在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标xA ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.答案：－358．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第________象限角．解析：由α是第三象限角，知2k π＋π<α<2k π＋3π2(k ∈Z)，k π＋π2<α2<k π＋3π4(k ∈Z)，知α2是第二或第四象限角，再由⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2知sin α2<0，所以α2只能是第四象限角．答案：四9．一个扇形OAB 的面积是1 cm2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB. 解：设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ， 则⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝lr＝2.如图，过O 作OH ⊥AB 于H. 则∠AOH ＝1弧度．∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)，∴AB ＝2sin 1(cm)． 10．已知sin α<0，tan α>0. (1)求α角的集合； (2)求α2终边所在的象限；(3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α>0，知α在第一、三象限， 故α角在第三象限，其集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z. (2)由(2k ＋1)π<α<2k π＋3π2， 得k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2<0，sin α2>0，cos α2<0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2<0，sin α2<0，cos α2>0， 所以tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．第Ⅱ组：重点选做题1．满足cos α≤－12的角α的集合为________．解析：作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z . 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z 2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP 的坐标为________．解析：如图，连接AP ，分别过P ，A 作PC ，AB 垂直x 轴于C ，B 点，过A 作AD ⊥PC 于D 点．由题意知BP 的长为2. ∵圆的半径为1， ∴∠BAP ＝2， 故∠DAP ＝2－π2.∴DP ＝AP·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝－cos 2，∴PC ＝1－cos 2，DA ＝APcos ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＝sin 2.∴OC ＝2－sin 2.故OP ＝(2－sin 2,1－cos 2)． 答案：(2－sin 2,1－cos 2)第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式对应学生用书P411．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 2．六组诱导公式对于角“k π2±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．1．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 2．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化． [试一试]1．(2013·全国大纲卷改编)已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝______.解析：因为α是第二象限角， 所以cos α＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝－1213. 答案：－12132．计算：cos ⎝⎛⎭⎪⎫－20π3＝______.答案：－121．诱导公式的应用原则负化正，大化小，化到锐角为终了． 2．三角函数求值与化简的常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． (3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan π4＝….[练一练]1．(2014·南京模拟)已知函数f(x)＝2sin(2x ＋φ)．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝ 3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π4＝______.解析：因为f(x ＋π)＝2sin(2x ＋2π＋φ)＝2sin(2x ＋φ)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为π， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫13π4＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3π＋π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝ 3.答案： 32．(2013·芜湖调研)若sin θ·cos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是________．解析：tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2.答案：2对应学生用书P42三角函数的诱导公式1.sin 600°＋tan 240°的值等于________．解析：sin 600°＋tan 240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 120°＋tan 60°＝－32＋3＝32. 答案：322．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝________.解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＋α ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.答案：－333．化简：π＋απ＋α⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2－α－3π－3π－α＝________.解析：原式＝tan αcos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π＋⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2π＋α－π＋α＝tan αcos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－cos αα＝tan αcos αcos α－cos αα＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.答案：－1 4．已知A ＝π＋αsin α＋π＋αcos α(k ∈Z)，则A 的值构成的集合是______．解析：当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.答案：{2，－2}[备课札记][类题通法]诱导公式应用的步骤任意负角的三角函数→任意正角的三角函数 ↓锐角三角函数←0～2π的角的三角函数同角三角函数的基本关系[典例] 已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值；(2)把1cos2α－sin2α用tan α表示出来，并求其值．[解] (1)联立方程 错误!由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得25sin2α－5sin α－12＝0.∵α是三角形内角，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.(2)1cos2α－sin2α＝sin2α＋cos2αcos2α－sin2α ＝sin2α＋cos2αcos2αcos2α－sin2αcos2α＝tan2α＋11－tan2α∵tan α＝－43，∴1cos2α－sin2α＝tan2α＋11－tan2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝－257. [备课札记]tan α＝－43.(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝tan α－45tan α＋2＝－43－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋2＝87. (2)sin2α＋2sin αcos α＝sin2α＋2sin αcos αsin2α＋cos2α＝tan2α＋2tan α1＋tan2α＝169－831＋169＝－825.[类题通法]1．利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． 3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. [针对训练]已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α. 解：∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β， ∴sin2α＝4sin2β， ① tan2α＝9tan2β. ②由①÷②得：9cos2α＝4cos2β. ③ 由①＋③得sin2α＋9cos2α＝4. 又sin2α＋cos2α＝1， ∴cos2α＝38，∴cos α＝±64.诱导公式在三角形中的应用[典例] －B)，3cos π－B)，求△ABC 的三个内角．[解] 由已知得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B 两式平方相加得2cos2A ＝1， 即cos A ＝22或cos A ＝－22.(1)当cos A ＝22时，cos B ＝32，又角A 、B 是三角形的内角， ∴A ＝π4，B ＝π6，∴C ＝π－(A ＋B)＝7π12.(2)当cos A ＝－22时，cos B ＝－32， 又角A 、B 是三角形的内角，∴A ＝3π4，B ＝5π6，不合题意．综上知，A ＝π4，B ＝π6，C ＝7π12.[备课札记][类题通法]1．诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有：A ＋B ＝π－C,2A ＋2B ＝2π－2C ，A2＋B 2＋C 2＝π2等，于是可得sin(A ＋B)＝sin C ，cos A ＋B 2＝sin C 2等； 2．求角时，通常是先求出该角的某一个三角函数值，再结合其范围，确定该角的大小． [针对训练]在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝2，3cos A ＝－2cos(π－B)，求△ABC 的三个内角． 解：∵sin A ＋cos A ＝2，∴1＋2sin Acos A ＝2，∴sin2A ＝1. ∵A 为△ABC 的内角， ∴2A ＝π2，∴A ＝π4.∵3cos A ＝－2cos(π－B)， ∴3cos π4＝2cos B ，∴cos B ＝32.∵0＜B ＜π，∴B ＝π6.∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝7π12.∴A ＝π4，B ＝π6，C ＝7π12.对应学生用书P43[课堂练通考点]1．(2013·苏州期中)已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－π－θ＝______.解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－π－θ＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ，又 tan θ＝2，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－π－θ＝－2.答案：－22．(2014·镇江统考)已知α为第四象限角，且 sin(π－α)＝－13，则tan α＝________.解析：由 sin(π－α)＝－13得 sin α＝－13.因为α在第四象限，所以 cos α＝1－sin2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝223，则 tan α＝sin αcos α＝－13223＝－24.答案：－243．若△ABC 的内角A 满足sin 2A ＝23，则sin A ＋cos A ＝________.解析：∵0<A<π，∴0<2A<2π.又∵sin 2A ＝23，即2sin Acos A ＝23，∴0<A<π2.∴(sin A ＋cos A)2＝53，∴sin A ＋cos A ＝153.答案：1534．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4的值是________． 解析：原式＝cos 17π4＋sin 17π4＝cos π4＋sin π4＝ 2.答案： 25．已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π2的值．解：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α) ＝cos(π－α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－7π2＝sin(π＋α)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α ＝sin α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·南通调研)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝________. 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋π2 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－35.答案：－352．(2014·淮安模拟)若 tan α＝3，则 sin2 α－2 sin αcos α＋3 cos2 α＝______. 解析：sin2 α－2 sin αcos α＋3 cos2 α ＝sin2 α－2 sin αcos α＋3 cos2 αsin2 α＋cos2 α＝tan2 α－2tan α＋3tan2 α＋1＝12－610＝35. 答案：353．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝______.解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝sin φ＝32， 又|φ|<π2，则cos φ＝12，所以tan φ＝ 3.答案： 34．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是______．解析：由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，故sin α＝31010.答案：310105．已知f(α)＝π－απ－α－π－αα，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π的值为________． 解析：∵f(α)＝sin αcos α－cos αtan α＝－cos α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π＋π3 ＝－cos π3＝－12.答案：－126．已知sin(π－α)＝log814，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为________． 解析：sin(π－α)＝sin α＝log814＝－23，又α ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，得cos α＝1－sin2α＝53， tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255.答案：2557．化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－απ＋α＋π－α⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋απ＋α＝________.解析：原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α－sin α－sin α＝－sin α＋sin α＝0.答案：08．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝________. 解析：由sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，两边平方得：1＋2sin θcos θ＝4(1－2sin θcos θ)， 故sin θcos θ＝310，∴sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝sin θcos θ＝310.答案：3109．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°. 解：原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945° ＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225° ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45°＝32×32＋12×12＋1＝2. 10．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin2α＋sin 2α. 解：由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin2α＋2sin αcos αsin2α＋cos2α＝sin2α＋sin2αsin2α＋14sin2α＝85.第Ⅱ组：重点选做题1．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝______.解析：由cos α＋2sin α＝－5，可知cos α≠0，两边同除以cos α得，1＋2tan α＝－51cos α，两边平方得(1＋2tan α)2＝5cos2α＝5(1＋tan2α)，∴tan2α－4tan α＋4＝0，解得tan α＝2. 答案：22.(2014·无锡模拟)如图，A ，B 是单位圆上的两个质点，点B 坐标为(1,0)，∠BOA ＝60°.质点A 以1 rad/s 的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以1 rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动． (1)求经过1 s 后，∠BOA 的弧度；(2)求质点A ，B 在单位圆上第一次相遇所用的时间． 解：(1)经过1 s 后，∠BOA 的弧度为π3＋2.(2)设经过t s 后质点A ，B 在单位圆上第一次相遇，则t(1＋1)＋π3＝2π，所以t ＝5π6，即经过5π6s 后质点A ，B 在单位圆上第一次相遇．3.(2014·镇江统考)如图，单位圆(半径为1的圆)的圆心O 为坐标原点，单位圆与y 轴的正半轴交于点A ，与钝角α的终边OB 交于点B(xB ，yB)，设∠BAO ＝β.(1)用β表示α；(2)如果 sin β＝45，求点B(xB ，yB)坐标；(3)求xB －yB 的最小值．解：(1)因为∠AOB ＝α－π2＝π－2β.所以α＝3π2－2β.(2)由 sin α＝yB r ，r ＝1，得yB ＝sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2β＝－cos 2β＝2 sin2β－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.由 α为钝角，知xB ＝cos α＝－1－sin2 α＝－2425.所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425，725. (3)法一：xB －yB ＝cos α－sin α＝ 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ α＋π4. 又α ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4，cos α＋π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－22.所以xB －yB 的最小值为－ 2.法二：因为α为钝角，所以xB<0，yB>0，x2B ＋y2B ＝1，xB －yB ＝－(－xB ＋yB)，(－xB ＋yB)2≤2(x 2B ＋y2B )＝2， 所以xB －yB≥－ 2.所以xB －yB的最小值为－ 2.第三节三角函数图像与性质对应学生用书P43正弦、余弦、正切函数的图像与性质 (下表中k ∈Z).1．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．2．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k∈Z”这一条件． [试一试] 1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x 的定义域是________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x≠k π＋3π4，k ∈Z ，x ∈R2．(2013·南京三模)函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4≤x≤3π4的值域是________．解析：因为－π4≤x≤3π4，由y ＝sin x 的图像知－22≤sin x≤1，故函数y 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，11．三角函数单调区间的求法先把函数式化成形如y ＝Asin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内考虑．注意区分下列两题的单调增区间的不同：(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4；(2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x . 2．求三角函数值域(最值)的两种方法(1)将所给函数化为y ＝Asin(ωx ＋φ)的形式，通过分析ωx ＋φ的范围，结合图像写出函数的值域；(2)换元法：把sin x(cos x)看作一个整体，化为二次函数来解决． [练一练]1．函数y ＝|sin x|的一个单调增区间是________．解析：作出函数y ＝|sin x|的图像观察可知，函数y ＝|sin x|在⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2上递增． 答案：⎝⎛⎭⎪⎫π，3π22．(2013·天津高考)函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为________． 解析：由已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最小值为－22. 答案：－22对应学生用书P44三角函数的定义域与值域1.函数f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为________． 解析：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， 故3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3， 即此时函数f(x)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 2．(2014·湛江调研)函数y ＝lg(sin x)＋ cos x －12的定义域为________．解析：要使函数有意义必须有 ⎩⎪⎨⎪⎧sin x>0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x>0，cos x≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x<π＋2k π，－π3＋2k π≤x≤π3＋2k π(k ∈Z)，∴2k π<x≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π<x≤π3＋2k π，k ∈Z .答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π<x≤π3＋2k π，k ∈Z3．(1)函数y ＝2cos2x ＋5sin x －4的值域为________．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sinx －2cos2x 的最小值是________，最大值是________．解析：(1)y ＝2cos2x ＋5sin x －4＝2(1－sin2x)＋5sin x －4 ＝－2sin2x ＋5sin x －2 ＝－2(sin x －54)2＋98.故当sin x ＝1时，ymax ＝1，当sin x ＝－1时，ymin ＝－9，故y ＝2cos2x ＋5sin x －4的值域为[－9,1]．(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.又y ＝3－sin x －2cos2x ＝3－sin x －2(1－sin2x)＝ 2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －142＋78. ∴当sin x ＝14时，ymin ＝78，当sin x ＝－12或sin x ＝1时，ymax ＝2.答案：(1)[－9,1] (2)782[备课札记] [类题通法]1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．2．三角函数值域的不同求法(1)利用sin x 和cos x 的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成y ＝Asin(ωx ＋φ)的形式求值域； (3)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域；(4)利用sin x±cos x 和sin xcos x 的关系转换成二次函数求值域．三角函数的单调性[典例] 求下列函数的单调递减区间：(1)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4；(2)y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x .[解] (1)由2k π＋π2≤x－π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得2k π＋3π4≤x≤2k π＋7π4，k ∈Z.故函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z)． (2)把函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 变为y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.由k π－π2<2x －π3<k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6<2x<k π＋5π6，k ∈Z ，即k π2－π12<x<k π2＋5π12，k ∈Z. 故函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)．[备课札记]解：画出函数y ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图像，易知其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π4，k π＋5π4(k ∈Z)．[类题通法]三角函数的单调区间的求法 (1)代换法： 所谓代换法，就是将比较复杂的三角函数整理后的整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间． (2)图像法：函数的单调性表现在图像上是：从左到右，图像上升趋势的区间为单调递增区间，图像下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图像，结合图像易求它的单调区间．提醒：求解三角函数的单调区间时若x 的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域． [针对训练]1．(2013·盐城二模)函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，x ∈[－π，0]的单调增区间为________．解析：当x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z 时，是f(x)的单调增区间．又因为x ∈[－π，0]，故取k ＝0得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，02．(2013·苏北四市联考)若函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，2π3上单调递增，则ω的最大值为______．解析：依题意可知12×T≥2×2π3，即12×2πω≥2×2π3，解得ω≤34，从而ω的最大值为34.答案：34三角函数的对称性与奇偶性正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形.正切函数的图像只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一.归纳起来常见的命题角度有：求三角函数的对称轴或对称中心；由三角函数的对称性求参数值； 三角函数对称性的应用.角度一 求三角函数的对称轴或对称中心1．(2013·扬州期末)已知函数f(x)＝－2sin2x ＋23sin x· cos x ＋1.(1)求f(x)的最小正周期及对称中心；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，求f(x)的最大值和最小值． 解：(1)f(x)＝ 3 sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 所以f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π.令 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝0，得x ＝k π2－π12(k ∈Z)， 所以f(x)的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，0(k ∈Z)．(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，所以－π6≤2x＋π6≤5π6， 所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，所以－1≤f(x)≤2.所以当x ＝－π6时，f(x)的最小值为－1；当x ＝π6时，f(x)的最大值为2.角度二 由三角函数的对称性求参数值2．(2014·连云港期末)若函数y ＝3sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0中心对称，则φ＝________.解析：由题意得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＋φ＝0，所以23π＋φ＝k π(k ∈Z)．又因为0<φ<π，所以φ＝π3. 答案：π33．已知ω>0，函数f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，则ω的最小值为______．解析：由题意知π3－π12≥T 4，T ＝2πω≤π，ω≥2.答案：2角度三 三角函数对称性的应用4.(2014·辽宁五校联考)设偶函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16的值为______． 解析：由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f(x)＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f(x)＝12cos πx ，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝12cos π6＝34.答案：34[备课札记] [类题通法]1．若f(x)＝Asin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f(x)取得最大或最小值． 若f(x)＝Asin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f(x)＝0.2．对于函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断． 对应学生用书P46[课堂练通考点]1．(2014·常州统考)函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x≤π2的单调增区间是________． 解析：由0≤x≤π2，可知π4≤2x ＋π4≤5π4.又y ＝sin x 的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z ，从而π4≤2x＋π4≤π2，即0≤x≤π8，所以函数f(x)的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π82．已知函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)的单调递增区间为________．解析： 根据已知得2πω＝π，得ω＝2.由不等式2k π－π2≤2x－π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，解得k π－π6≤x≤k π＋π3(k ∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)3．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调减区间为________．解析：由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4得2k π≤2x－π4≤2k π＋π(k ∈Z)，解得k π＋π8≤x≤k π＋5π8(k ∈Z)．所以函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)4．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像与x 轴交点的坐标是________．解析：由2x ＋π4＝k π(k ∈Z)得，x ＝k π2－π8(k ∈Z)．∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0.答案：⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0 5．(2013·南京二模)对函数f(x)＝xsin x ，现有下列命题：(1)函数f(x)是偶函数；(2)函数f(x)的最小正周期是2π；(3)点(π，0)是函数f(x)的图像的一个对称中心；(4)函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递减．其中是真命题的是________(填序号)．解析：由f(x)＝x sin x 知其定义域为R ，对于(1)，f(－x)＝(－x)sin(－x)＝xsin x ＝f(x)， 所以f(x)是偶函数；对于(2)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＝5π2， 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2，显然f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2≠f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2；对于(3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π2＝π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2＝－3π2，显然f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π2≠－f ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π2； 对于(4)，f′(x)＝sin x ＋xcos x ，易知f′(x)>0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立，所以f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为增函数，由(1)知f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上为减函数．答案：(1) (4)[课下提升考能] 第Ⅰ组：全员必做题 1．函数y ＝cos x －32的定义域为________． 解析：∵cos x －32≥0，得cos x≥32， ∴2k π－π6≤x≤2k π＋π6，k ∈Z.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6，k ∈Z2．(2013·洛阳统考)如果函数y ＝3sin(2x ＋φ)的图像关于直线x ＝π6对称，则|φ|的最小值为________．解析：依题意得，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝±1，则π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝k π＋π6(k ∈Z)，因此|φ|的最小值是π6.答案：π63．已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于________解析：∵ω>0，－π3≤x≤π4，∴－ωπ3≤ωx≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.答案：324．(2014·镇江期末)函数f(x)＝2 cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12－x x －1的对称中心坐标为________．解析：因为f(x)＝2 cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12－x x －1＝－＋1－xx －1＝－－－x －1(x≠1)，所以f(x ＋1)＋1＝cos xx，所得函数f(x)的对称中心为(1，－1)．答案：(1，－1)5．(2013·浙江高考改编)已知函数f(x)＝Acos(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f (x)是奇函数”是“φ＝π2”的________条件．解析：若f(x)是奇函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z)；当φ＝π2时，f(x)为奇函数．答案：必要不充分6．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的值域为________，并且取最大值时x 的值为________．解析：∵0≤x≤π3，∴π3≤2x＋π3≤π，∴0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， ∴－1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1≤1，即值域为[－1,1]； 且当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1，即x ＝π12时，y 取最大值． 答案：[－1,1]π127．设f(x)＝1－2sin x. (1)求f(x)的定义域；(2)求f(x)的值域及取最大值时x 的值．解：(1)由1－2sin x≥0，根据正弦函数图像知：定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋56π≤x≤2k π＋13π6，k ∈Z .(2)∵－1≤sin x≤1，∴－1≤1－2sin x≤3，∵1－2sin x≥0，∴0≤1－2sin x≤3， ∴f(x)的值域为[0，3]，当x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，f(x)取得最大值．8．已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<2π3的最小正周期为π.(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；(2)若f(x)的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，求f(x)的单调递增区间．解：∵由f(x)的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∴f(x)＝sin(2x ＋φ)．(1)当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)． ∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)， 展开整理得sin 2xcos φ＝0， 由已知上式对∀x ∈R 都成立， ∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2.(2)f(x)的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32.又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π.∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3.∴f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x≤k π＋π12，k ∈Z.∴f(x)的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z.第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·福州质检)已知函数f(x)＝sin x ＋cos x ，x ∈R.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值； (2)试写出一个函数g(x)，使得g(x)f(x)＝cos 2x ，并求g(x)的单调区间．解：(1)因为f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π4＝2sin π3＝62.(2)g(x)＝cos x －sin x.理由如下：因为g(x)f(x)＝(cos x －sin x)(sin x ＋cos x)＝cos2x －sin2x ＝cos 2x ， 所以g(x)＝cos x －sin x 符合要求．又g(x)＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由2k π＋π<x ＋π4<2k π＋2π，得2k π＋3π4<x<2k π＋7π4，k ∈Z.所以g(x)的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋3π4，2k π＋7π4，k ∈Z. 由2k π<x ＋π4<2k π＋π，得2k π－π4<x<2k π＋3π4，k ∈Z.所以g(x)的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π4，2k π＋3π4，k ∈Z.2．已知a>0，函数f(x)＝－2asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f(x)≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g(x)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g(x)>0，求g(x)的单调区间．解：(1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a]．∴f(x)∈[b,3a ＋b]， 又∵－5≤f(x)≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f(x)＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， g(x)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2 ＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 又由lg g(x)>0，得g(x)>1， ∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g(x)单调递增，即k π<x≤k π＋π6，k ∈Z ， ∴g(x)的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z. 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g(x)单调递减，即k π＋π6<x<k π＋π3，k ∈Z.∴g(x)的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z.第四节函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用对应学生用书P461．y ＝2.用五点法画y ＝Asin(ωx ＋φ)一个周期内的简图1．函数图像变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图像，得到哪个函数的图像；2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；3．由y ＝Asin ωx 的图像得到y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω，而不是|φ|. [试一试]1．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的振幅、频率和初相分别为__________． 答案：2，1π，－π42．把y ＝sin 12x 的图像上点的横坐标变为原来的2倍得到y ＝sin ωx 的图像，则ω 的值为________． 答案：141．由函数y ＝sin x 的图像变换得到y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的图像的两种方法2．学会列表技巧表中“五点”相邻两点的横向距离均为T4，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．[练一练]1．用五点法作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6在一个周期内的图像时，主要确定的五个点是________、________、________、________、________. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫π6，0⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，1⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，0⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，－1⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6，02．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图像，只要将函数y ＝cos 2x 的图像至少向左平移__________个单位．解析：∵y ＝cos(2x ＋1)＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12， ∴只要将函数y ＝cos 2x 的图像向左平移12个单位即可．答案：12对应学生用书P47的解析式1.(2013·四川高考改编)函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图像如图所示，则ω＋φ的值是________． 解析：由图知最小正周期T ＝211π12－5π12＝π，∴ω＝2，将图像最高点的坐标⎝⎛⎭⎪⎫5π12，2代入f(x)＝2sin(2x ＋φ)，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝1，φ＝－π3.答案：2－π32．(2013·苏北四市三调)若函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的。

《三维设计》2021届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)集合(含解析)

《三维设计》2021届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)集合(含解析)

第一节集 合一、元素与集合[知识能否忆起]1. 集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．2. 集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和∉. 3．常见集合的符号表示： 集合 自然数集正整数集 整数集 有理数集实数集 表示NN *或 N ＋ZQR4．集合的表示法：列举法、描述法、韦恩图． 二、集合间的基本关系描述关系 文字语言符号语言 集合间的基本 关系相等 集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同 A ＝B 子集 A 中任意一元素均为 B 中的元素 A ⊆B 或 B ⊇A真子集A 中任意一元素均为B 中的元素，且 B 中至 少有一个元素 A 中没有A B 或 B A空集空集是任何集合的子集∅⊆B 空集是任何非空集合的真子集∅ B (B ≠∅)三、集合的基本运算集合的并集集合的交集 集合的补集符号表示A ∪BA ∩B若全集为 U ，则集合 A 的补集为∁U A图形表示意义 {x |x ∈A ，或 x ∈B } {x |x ∈A ，且 x ∈B } {x |x ∈U ，且 x ∉A }＝⎨x ＝Z ⎬ [小题能否全取]1．(2012·大纲全国卷)已知集合 A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( )A ．A ⊆B B ．C ⊆B C ．D ⊆CD ．A ⊆D解析：选 B 选项 A 错，应当是 B ⊆A .选项B 对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形．选项 C 错，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形．选项 D 错，应当是 D ⊆A .2．(2012·浙江高考)设集合 A ＝{x |1＜x ＜4}，集合 B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则 A ∩(∁R B )＝ ( )A ．(1,4)B ．(3,4)C ．(1,3)D ．(1,2)∪(3,4)解析：选B 因为∁R B ＝{x |x ＞3，或 x ＜－1}，所以 A ∩(∁R B )＝{x |3＜x ＜4}． 3．(教材习题改编)A ＝{1,2,3}，B ＝{x ∈R |x 2－ax ＋1＝0，a ∈A }，则 A ∩B ＝B 时 a 的值是 ( )A ．2B ．2 或 3C ．1 或 3D ．1 或 2解析：选D 验证 a ＝1 时 B ＝∅满足条件；验证 a ＝2 时 B ＝{1}也满足条件． 4.(2012· 盐城模拟) 如图， 已知 U ＝ {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} ， 集合 A ＝ {2,3,4,5,6,8}，B ＝{1,3,4,5,7}，C ＝{2,4,5,7,8,9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为．解析：阴影部分表示的集合为 A ∩C ∩(∁U B )＝{2,8}． 答案：{2,8}⎧ ⎪ 2 ⎫ 5．(教材习题改编)已知全集 U ＝{－2，－1,0,1,2}，集合 A ＝⎨x x ＝，x ，n ∈Z ⎬ ，则∁U A ＝ .解析：因为 A⎧ ⎪x 2 ，x ，n ∈ ⎫， ⎩ ⎪ n －1 ⎭⎩ ⎪ n －1 ⎭ 当 n ＝0 时，x ＝－2；n ＝1 时不合题意； n ＝2 时 ，x ＝2；n ＝3 时 ，x ＝1； n ≥4 时，x ∉Z ；n ＝－1 时，x ＝－1； n ≤－2 时，x ∉Z . 故 A ＝{－2,2,1，－1}，又 U ＝{－2，－1,0,1,2}，所以∁U A ＝{0}． 答案：{0}1.正确理解集合的概念研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x|y＝f(x)}、{y|y＝f(x)}、{(x，y)|y＝f(x)}三者的不同．2．注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A⊆B，则需考虑A＝∅和A≠∅两种可能的情况．元素与集合典题导入[例1] (1)(2012·新课标全国卷)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y ∈A}，则B 中所含元素的个数为()A．3 B．6C．8 D．10(2)已知集合M＝{1，m}，N＝{n，log2n}，若M＝N，则(m－n)2013＝.[自主解答] (1)∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1,2,3,4,5}，∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，y＝1,2,3,4.∴B＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，∴B 中所含元素的个数为10.(2)由M＝N 知⎧⎪n＝1，⎨⎪⎩log2n＝m⎧⎪m＝0，∴⎨⎪⎩n＝1⎧⎪n＝m，或⎨⎪⎩log2n＝1，⎧⎪m＝2，或⎨⎪⎩n＝2，故(m－n)2013＝－1 或0.[答案] (1)D(2)－1 或0由题悟法2.1. 研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2. 对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．以题试法1．(1)(2012·北京东城区模拟)设 P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合 P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若 P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，则 P ＋Q 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．7D ．6(2)已知集合 A ＝{a －2,2a 2＋5a,12}，且－3∈A ，则 a ＝.解析：(1)∵P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，∴当 a ＝0 时，a ＋b 的值为 1,2,6；当 a ＝2 时，a ＋b 的值为 3,4,8；当 a ＝5 时，a ＋b 的值为 6,7,11，∴P ＋Q ＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，∴P ＋Q 中有 8 个元素． (2)∵－3∈A ，∴－3＝a －2 或－3＝2a 2＋5a . ∴a ＝－1 或 a ＝－3 当 a ＝－1 时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3， 与元素互异性矛盾，应舍去．当 a 3 7 2＝－2时，a －2＝－2，2a ＋5a ＝－3.∴a 3＝－2满足条件．答案：(1)B (2)3－2典题导入[例 2] (1)(2012·湖北高考)已知集合 A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }， 则满足条件 A ⊆C ⊆B 的集合 C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知集合 A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若 A ⊆B ，则实数 a 的取值范围是(c ，＋ ∞)，其中 c ＝.m [自主解答] (1)由 x 2－3x ＋2＝0 得 x ＝1 或 x ＝2， ∴A ＝{1,2}．由题意知 B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的 C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． (2)由 log 2x ≤2，得 0<x ≤4，即 A ＝{x |0<x ≤4}， 而 B ＝(－∞，a )， 由于 A ⊆B ，如图所示，则 a >4，即 c ＝4. [答案] (1)D (2)4由题悟法1.判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系 ；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．2.已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn 图帮助分析．以题试法2．(文)(2012·郑州模拟)已知集合 A ＝{2,3}，B ＝{x |mx －6＝0}，若 B ⊆A ，则实数 m 的值 为 ( )A ．3B ．2C ．2 或 3D ．0 或 2 或 3解析：选D 当 m ＝0 时，B ＝∅⊆A ；⎧ 6 ⎫当 m ≠0 时，由 B ＝⎨ ⎬⊆{2,3}可得⎩m ⎭ 6＝2 或6＝3， m 解得 m ＝3 或 m ＝2， 综上可得实数 m ＝0 或 2 或 3.(理)已知集合 A ＝{y |y ＝ －x 2＋2x }，B ＝{x ||x －m |<2 013}，若 A ∩B ＝A ，则 m 的取值范围 是 ( )A ．[－2 012,2 013]B ．(－2 012,2 013)C ．[－2 013,2 011]D ．(－2 013,2 011)解析：选 B 集合 A 表示函数 y ＝ －x 2＋2x 的值域，由 t ＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1， 可得 0≤y ≤1，故 A ＝[0,1]．集合B 是不等式|x －m |<2 013 的解集，解之得m －2 013<x <m ＋2 013，所以B ＝(m －2 013， m ＋2 013)．因为 A ∩B ＝A ，所以 A ⊆B .如图，由数轴可得⎧⎪m－2 013<0，⎨⎪⎩m＋2 013>1，解得－2 012<m<2 013.集合的基本运算典题导入[例3] (1)(2011·江西高考)若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6} 等于()A．M∪N B．M∩NC．(∁U M)∪(∁U N) D．(∁U M)∩(∁U N)(2)(2012·安徽合肥质检)设集合A＝{x|x2＋2x－8<0}，B＝{x|x<1}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{x|x≥1} B．{x|－4<x<2}C．{x|－8<x<1} D．{x|1≤x<2}[自主解答] (1)∵M∪N＝{1,2,3,4}，∴(∁U M)∩(∁U N)＝∁U(M∪N)＝{5,6}．(2)∵x2＋2x－8<0，∴－4<x<2，∴A＝{x|－4<x<2}，又∵B＝{x|x<1}，∴图中阴影部分表示的集合为A∩(∁U B)＝{x|1≤x<2}．[答案] (1)D(2)D将例3(1)中的条件“M＝{2,3}”改为“M∩N＝N”，试求满足条件的集合M 的个数．解：由M∩N＝N 得M⊇N.含有 2 个元素的集合M 有 1 个，含有3 个元素的集合M 有 4 个，含有4 个元素的集合M 有6 个，含有5 个元素的集合M 有4 个，含有6 个元素的集合M 有1 个．因此，满足条件的集合M 有1＋4＋6＋4＋1＝16 个．由题悟法1.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时注意端点值的取舍．2.在解决有关A∩B＝∅，A⊆B 等集合问题时，一定先考虑A 或B 是否为空集，以防漏解．另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用．以题试法3．(2012·锦州模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|y＝lg(x－1)}，则(∁A)∩B 等于()UA．{x|x>2，或x<0} B．{x|1<x<2}C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x≤2}解析：选C A＝{x|x(x－2)>0}＝{x|x>2，或x<0}，B＝{x|y＝lg(x－1)}＝{x|x－1>0}＝{x|x>1}，∁U A＝{x|0≤x≤2}．∴(∁U A)∩B＝{x|1<x≤2}．1．(2012·新课标全国卷)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1<x<1}，则()A．A B B．B AC．A＝B D．A∩B＝∅解析：选B A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－1<x<1}，所以B A.2．(2012·山西四校联考)已知集合M＝{0,1}，则满足M∪N＝{0,1,2}的集合N 的个数是()A．2 B．3C．4 D．8解析：选C 依题意得，满足M∪N＝{0,1,2}的集合N 有{2}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}共4 个．3．设集合P＝{3，log2a}，Q＝{a，b}，若P∩Q＝{0}，则P∪Q＝()A．{3,0} B．{3,0,1}＝ m .C ．{3,0,2}D ．{3,0,1,2}解析：选B 因为 P ∩Q ＝{0}，所以 0∈P ，log 2a ＝0，a ＝1，而 0∈Q ，所以 b ＝0.所以P ∪Q ＝{3,0,1}．4．(2012·辽宁高考)已知全集 U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合 A ＝{0,1,3,5,8}，集合 B ＝ {2,4,5,6,8}， 则 (∁U A )∩(∁U B )＝( )A ．{5,8}B ．{7,9}C ．{0,1,3}D ．{2,4,6}解析：选B 因为 A ∪B ＝{0,1,2,3,4,5,6,8}，所以(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )＝{7,9}． 5．(2013·合肥质检)已知集合 A ＝{－2，－1,0,1,2}，集合 B ＝{x ∈Z ||x |≤a }，则满足 A B 的实数 a 的一个值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 当 a ＝0 时，B ＝{0}； 当 a ＝1 时，B ＝{－1,0,1}； 当 a ＝2 时，B ＝{－2，－1,0,1,2}； 当 a ＝3 时，B ＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}， 显然只有 a ＝3 时满足条件．6．已知全集 U ＝R ，集合 A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |x 2－7x ＋10<0}，则∁U (A ∩B )＝( ) A ．(－∞，3)∪(5，＋∞) B ．(－∞，3]∪[5，＋∞) C ．(－∞，3)∪[5，＋∞)D ．(－∞，3]∪(5，＋∞)解析：选C x 2－7x ＋10<0⇔(x －2)·(x －5)<0⇒2<x <5，A ∩B ＝{x |3≤x <5}， 故∁U (A ∩B )＝(－∞，3)∪[5，＋∞)．7．(2012·大纲全国卷)已知集合 A ＝{1,3， m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则 m ＝( )A ．0 或B ．0 或 3C ．1 或D ．1 或 3解析：选B 法一：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .又 A ＝{1,3， m }，B ＝{1，m }，∴m ＝3 或 m由 m ＝ m 得 m ＝0 或 m ＝1.但 m ＝1 不符合集合中元素的互异性，故舍去，故 m ＝0 或 m ＝3.法二：∵B ＝{1，m }，∴m ≠1，∴可排除选项 C 、D.又当 m ＝3 时，A ＝{1,3， 3}，B ＝{1,3}，满足 A ∪B ＝{1,3， 3}＝A ，故选 B. 8．设 S ＝{x |x <－1，或 x >5}，T ＝{x |a <x <a ＋8}，S ∪T ＝R ，则 a 的取值范围是( ) A ．(－3，－1) B ．[－3，－1]C．(－∞，－3]∪(－1，＋∞) D．(－∞，－3)∪(－1，＋∞)解析：选A 在数轴上表示两个集合，因为S∪T＝R，由图⎧⎪a<－1，可得⎨⎪⎩a＋8>5，解得－3<a<－1.9．若集合U＝R，A＝{x|x＋2>0}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁U B)＝.解析：由题意得∁U B＝(－∞，1)，又因为A＝{x|x＋2>0}＝{x|x>－2}，于是A∩(∁U B)＝(－2,1)．答案：(－2,1)10．(2012·武汉适应性训练)已知A，B 均为集合U＝{1,2,3,4,5,6}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A＝{1}，(∁U A)∩(∁U B)＝{2,4}，则B∩(∁U A)＝.解析：依题意及韦恩图得，B∩(∁U A)＝{5,6}．答案：{5,6}⎧⎪2 ⎫11．已知R 是实数集，M＝⎨x⎪x<1⎬，N＝{y|y＝x－1}，则⎩⎭N∩(∁R M)＝.解析：M＝{x|x<0，或x>2}，所以∁R M＝[0,2]，又N＝[0，＋∞)，所以N∩(∁R M)＝[0,2]．答案：[0,2]12．(2012·吉林模拟)已知U＝R，集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B∩(∁U A) ＝∅，则m＝.解析：A＝{－1,2}，B＝∅时，m＝0；B＝{－1}时，m＝1；B＝{2}时，m1答案：0,1 1＝－2.，－213．(2012·苏北四市调研)已知集合A＝{x|x2＋a≤(a＋1)x，a∈R}，存在a∈R，使得集合A 中所有整数元素的和为28，则实数a 的取值范围是．解析：不等式x2＋a≤(a＋1)x 可化为(x－a)(x－1)≤0，由题意知不等式的解集为{x|1≤x≤a}．A 中所有整数元素构成以1 为首项，1 为公差的等差数列，其前7 项和为7×(1＋7)2 ＝28，所以7≤a<8，即实数a 的取值范围是[7,8)．答案：[7,8)14．(2012·安徽名校模拟)设集合S n＝{1,2,3，…，n}，若X⊆S n，把X 的所有元素的乘积称为X 的容量(若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X 的容量为奇(偶)数，则称X 为S n的奇(偶)子集．则S4的所有奇子集的容量之和为⎩ ．解析：∵S 4＝{1,2,3,4}，∴X ＝∅，{1}，{2}，{3}，{4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}．其中是奇子集的为 X ＝{1}， {3}，{1,3}，其容量分别为 1,3,3，所以 S 4 的所有奇子集的容量之和为 7.答案：7⎧ ⎪ 1⎫1．(2012·杭州十四中月考)若集合 A ＝⎨y ⎪y ＝lg x ，10≤x ≤10⎬，B ＝{－2，－1,1,2}， ⎭全集 U ＝R ，则下列结论正确的是( )A ．A ∩B ＝{－1,1} B ．(∁U A )∪B ＝[－1,1]C ．A ∪B ＝(－2,2)D ．(∁U A )∩B ＝[－2,2]解析：选A ∵x ∈⎡ 1，10⎤，∴y ∈[－1,1]，⎣10 ⎦∴A ∩B ＝{－1,1}．2．设 A 是自然数集的一个非空子集，对于 k ∈A ，如果 k 2∉A ，且 k ∉A ，那么 k 是 A 的一个“酷元”，给定 S ＝{x ∈N |y ＝lg(36－x 2)}，设 M ⊆S ，且集合 M 中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合 M 有( )A ．3 个B ．4 个C ．5 个D ．6 个解析：选C 由 36－x 2>0，解得－6<x <6.又因为 x ∈N ，所以 S ＝{0,1,2,3,4,5}． 依题意，可知若 k 是集合 M 的“酷元”是指 k 2 与 k 都不属于集合 M .显然 k ＝0,1 都不是“酷元”．若 k ＝2，则 k 2＝4；若 k ＝4，则 k ＝2.所以 2 与 4 不同时在集合 M 中，才能成为“酷元”．显然 3 与 5 都是集合 S 中的“酷元”．综上，若集合 M 中的两个元素都是“酷元”，则这两个元素的选择可分为两类： (1)只选 3 与 5，即 M ＝{3,5}；(2)从 3 与 5 中任选一个，从 2 与 4 中任选一个，即 M ＝{3,2}或{3,4}或{5,2}或{5,4}． 所以满足条件的集合 M 共有 5 个．3．(2013·河北质检)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x ＋a ≥0}，N ＝{x |log 2(x －1)<1}，若M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1，或 x ≥3}，那么()A ．a ＝－1B ．a ≤1C ．a ＝1D ．a ≥1解析：选A 由题意得M＝{x|x≥－a}，N＝{x|1<x<3}，所以∁U N＝{x|x≤1，或x≥3}，又M∩(∁U N)＝{x|x＝1，或x≥3}，因此－a＝1，a＝－1.4．给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合A＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．其中正确结论的序号是．解析：①中，－4＋(－2)＝－6∉A，所以不正确；②中设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确；③令A1＝{－4,0,4}，A2＝{－2,0,2}，则A1，A2为闭集合，但A1∪A2不是闭集合，所以③不正确．答案：②5．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．(1)若A∩B＝[1,3]，求实数m 的值；(2)若A⊆∁R B，求实数m 的取值范围．解：A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．⎧⎪m－2＝1，(1)∵A∩B＝[1,3]，∴⎨得m＝3.⎪⎩m＋2≥3，(2)∁R B＝{x|x＜m－2，或x＞m＋2}．∵A⊆∁R B，∴m－2＞3 或m＋2＜－1.∴m＞5 或m＜－3.即m 的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．6．(2012·衡水模拟)设全集I＝R，已知集合M＝{x|(x＋3)2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．(1)求(∁I M)∩N；(2)记集合A＝(∁I M)∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若B∪A＝A，求实数a 的取值范围．解：(1)∵M＝{x|(x＋3)2≤0}＝{－3}，N＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，∴∁I M＝{x|x∈R 且x≠－3}，∴(∁I M)∩N＝{2}．(2)A＝(∁I M)∩N＝{2}，⎭ ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴B ＝∅或 B ＝{2}，当 B ＝∅时，a －1>5－a ，∴a >3；⎧⎪a －1＝2， 当 B ＝{2}时，⎨ ⎪⎩5－a ＝2，解得 a ＝3， 综上所述，所求 a 的取值范围为{a |a ≥3}．⎧ b ⎫ 2 2 013 1. 现有含三个元素的集合，既可以表示为⎨a ，a ，1⎬，也可表示为{a ，a ＋b,0}，则 a⎩ ⎭＋b 2 013＝ .b 2解析：由已知得a ＝0 及 a ≠0，所以 b ＝0，于是 a ＝1，即 a ＝1 或 a ＝－1，又根据集 合中元素的互异性可知 a ＝1 应舍去，因此 a ＝－1，故 a 2 013＋b 2 013＝(－1)2 013＝－1.答案：－12. 集合 S ＝{a ，b ，c ，d ，e }，包含{a ，b }的 S 的子集共有( )A ．2 个B ．3 个C ．5 个D ．8 个 解析：选D 包含{a ，b }的 S 的子集有：{a ，b }；{a ，b ，c }，{a ，b ，d }，{a ，b ，e }； {a ，b ，c ，d }，{a ，b ，c ，e }，{a ，b ，d ，e }；{a ，b ，c ，d ，e }共 8 个．3. 某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已 知参加数学、物理、化学小组的人数分别为 26、15、13，同时参加数学和物理小组的有 6 人，同时参加物理和化学小组的有 4 人，则同时参加数学和化学小组的有人． 解析：由题意知，同时参加三个小组的人数为 0，设同时参加数学和化学小组的人数为 x ，Venn 图如图所示，∴(20－x )＋6＋5＋4＋(9－x )＋x ＝36，解得 x ＝8.答案：84. 已知集合 A ＝{x |x 2＋2x ＋a ≤0}，B ＝{x |a ≤x ≤4a －9}，若 A ，B 中至少有一个不是空集，则 a 的取值范围是． 解析：若 A ，B 全为空集，则实数 a 满足 4－4a <0 且 a >4a －9，即 1<a <3，则满足题意的 a 的取值范围为(－∞，1]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)⎛ 1⎫ ⎫2 5．(2012·重庆高考)设平面点集 A ＝(x ，y )(y －x )·1) 2≤1}，则 A ∩B 所表示的平面图形的面积为( )⎝y －x ⎭≥0⎬，B ＝{(x ，y )|(x －1) ＋(y －3 3A.4πB.5π4 πC.7πD.2解析：选D A∩B 表示的平面图形为图中阴影部分，由对称性可知，S C＝S F，S D＝S E.因此A∩B 所表示的平面图形的面积是圆面积的π一半，即为2.。

【三维设计】高考数学大一轮复习配套讲义(备考基础查清 热点命题悟通)第四章 平面向量、数系的扩充与复数

【三维设计】高考数学大一轮复习配套讲义(备考基础查清 热点命题悟通)第四章 平面向量、数系的扩充与复数

第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．平行四边形法则3．共线向量定理向量a(a≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa.1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；2．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个； 3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系． [试一试]1.(2013·苏锡常镇二调)如图，在△OAC 中，B 为AC 的中点，若OC ＝x OA＋y OB (x ，y ∈R)，则x －y ＝________. 解析：法一：(直接法)根据图形有⎩⎪⎨⎪⎧OC ＝OA ＋AC ， AC ＝2AB ， AB ＝OB －OA ，所以OC ＝OA ＋2(OB －OA )，所以OC ＝－OA ＋2OB ，而OC ＝x OA ＋y OB ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，故x －y ＝－3.法二：(间接法)由B 为AC 的中点得OC ＋OA ＝2OB ， 所以OC ＝－OA ＋2OB ，而OC ＝x OA ＋y OB ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，故x －y ＝－3.答案：－32．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB －CB ＋CD |＝________. 解析：|AB －CB ＋CD |＝|AB ＋BC ＋CD |＝|AD |＝2. 答案：21．向量的中线公式若P 为线段AB 的中点，O 为平面内一点，则OP ＝12(OA ＋OB )．2．三点共线等价关系A ，P ，B 三点共线⇔AP ＝λAB (λ≠0)⇔ OP ＝(1－t)·OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R)⇔OP ＝x OA ＋y OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)． [练一练]1．D 是△ABC 的边AB 上的中点，若CD ＝x BA ＋y BC ，则x ＋y ＝________.解析：∵CD ＝BD －BC ＝12BA －BC ，则x ＝12，y ＝－1∴x ＋y ＝－12.答案：－122．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a)共线，则λ＝________. 解析：由题意知a ＋λb ＝k[－(b －3a)]，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝13，λ＝－13.答案：－13对应学生用书P60向量的有关概念1.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝CD 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a|＝|b|且a ∥b ； ⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c.其中正确命题的序号是________．解析：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵AB ＝DC ，∴|AB |＝|DC |且AB ∥DC ， 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB ∥DC 且|AB |＝|DC |，因此，AB ＝DC .③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c.④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a ＝b ，故|a|＝|b|且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件． ⑤不正确．考虑b ＝0这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是②③.答案：②③.2．设a0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a|a0；②若a 与a0平行，则a ＝|a|a0；③若a 与a0平行且|a|＝1，则a ＝a0.上述命题中，假命题的个数是________． 解析：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a0平行，则a 与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 答案：3[备课札记] [类题通法]平面向量中常用的几个结论(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时不要把它与函数图像的平移混为一谈．(3)a |a|是与a 同向的单位向量，－a|a|是与a 反向的单位向量． 向量的线性运算[典例] (2013·江苏高考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC.若DE ＝λ1AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．[解析] 由题意DE ＝DB ＋BE ＝12AB ＋23BC ＝12AB ＋23(BA ＋AC )＝－16AB ＋23AC ，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.[答案] 12[备课札记]解析：∵CD ＝CA ＋AD ，CD ＝CB ＋BD ， ∴2CD ＝CA ＋CB ＋AD ＋BD .又∵AD ＝2BD ，∴2CD ＝CA ＋CB ＋13AB＝CA ＋CB ＋13(CB －CA )＝23CA ＋43CB . ∴CD ＝13CA ＋23CB ，即λ＝23.答案：23[类题通法]在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． [针对训练]若A ，B ，C ，D 是平面内任意四点，给出下列式子： ①AB ＋CD ＝BC ＋DA ；②AC ＋BD ＝BC ＋AD ； ③AC －BD ＝DC ＋AB .其中正确的有________个．解析：①式的等价式是AB －BC ＝DA －CD ，左边＝AB ＋CB ，右边＝DA ＋DC ，不一定相等；②式的等价式是AC －BC ＝AD －BD ，AC ＋CB ＝AD ＋DB ＝AB 成立；③式的等价式是AC －DC ＝AB ＋BD ，AD ＝AD 成立． 答案：2共线向量定理的应用[典例] 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b)， 求证：A ，B ，D 三点共线．(2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．[解] (1)证明：∵AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b)，∴BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b)＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b)＝5AB . ∴AB ，BD 共线， 又∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)∵ka ＋b 与a ＋kb 共线，∴存在实数λ，使ka ＋b ＝λ(a ＋kb)， 即ka ＋b ＝λa ＋λkb. ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b.∵a ，b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0， ∴k2－1＝0.∴k ＝±1.[备课札记] [类题通法]1．共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值．(2)若a ，b 不共线，则λa ＋μb ＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若AB ＝λAC ，则A 、B 、C 三点共线． [针对训练]已知a ，b 不共线，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，OE ＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t(a ＋b)，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD ＝d －c ＝2b －3a ，CE ＝e －c ＝(t －3)a ＋tb ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ＝k CD ，即(t －3)a ＋tb ＝－3ka ＋2kb ， 整理得(t －3＋3k)a ＝(2k －t)b.因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．对应学生用书P61[课堂练通考点] 1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． ③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误的命题的有________个．解析：①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.④错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，此时，a 与b 可以是任意向量． 答案：32.如图，已知AB ＝a ，AC ＝b ，BD ＝3DC ，用a ，b 表示AD ，则AD ＝________.解析：∵CB ＝AB －AC ＝a －b ， 又BD ＝3DC ，∴CD ＝14CB ＝14(a －b)，∴AD ＝AC ＋CD ＝b ＋14(a －b)＝14a ＋34b.答案：14a ＋34b3．(2013·苏锡常镇二调)已知点P 在△ABC 所在的平面内，若2PA ＋3PB ＋4PC ＝3AB ，则△PAB 与△PBC 的面积的比值为________． 解析：因为2PA ＋3PB ＋4PC ＝3AB ， 所以2PA ＋3PB ＋4PC ＝3PB －3PA ， 即5PA ＋4PC ＝0，所以△PAB 与△PBC 的面积的比为PA ∶PC ＝4∶5. 答案：454.(2014·“江南十校”联考)如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于D ，若AB ＝4，且AD ＝14AC ＋λAB (λ∈R)，则AD 的长为________．解析：因为B ，D ，C 三点共线，所以有14＋λ＝1，解得λ＝34，如图，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN ＝14AC ，AM ＝34AB ，经计算得AN ＝AM ＝3，AD ＝3 3.答案：3 35．在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ＝________(用a ，b 表示)．解析：由AN ＝3NC 得4AN ＝3AC ＝3(a ＋b)，AM ＝a ＋12b ，所以MN ＝34(a ＋b)－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b. 答案：－14a ＋14b6．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC 2＝16，|AB ＋AC |＝|AB －AC |，则|AM |＝________.解析：由|AB ＋AC |＝|AB －AC |可知，AB ⊥AC ， 则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线， 因此，|AM |＝12|BC |＝2.答案：2[课下提升考能] 第Ⅰ组：全员必做题1．设a 、b 是两个非零向量，下列结论正确的有________．(填写序号) ①若|a ＋b|＝|a|－|b|，则a ⊥b ②若a ⊥b ，则|a ＋b|＝|a|－|b|③若|a ＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b ＝λ a ④若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b|＝|a|－|b|解析：对于①，可得cos a ，b ＝－1，因此a ⊥b 不成立；对于②，满足a ⊥b 时|a ＋b|＝|a|－|b|不成立；对于③，可得cos a ，b ＝－1，因此成立，而④显然不一定成立． 答案：③2．(2013·徐州期中)设O 是△ABC 内部一点，且OA ＋OC ＝－2OB ，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．解析：设M 为边AC 的中点．因为OA ＋OC ＝－2OB ，所以点O 是△ABC 的中线BM 的中点，从而所求面积之比为1∶2. 答案：1∶23．在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN ＝12NC ，P 是BN 上的一点，若AP ＝m AB ＋29AC ，则实数m 的值为________．解析：如图，因为AN ＝12NC ，所以AN ＝13AC ，AP ＝m AB ＋29AC ＝m AB ＋23AN ，因为B 、P 、N 三点共线，所以m ＋23＝1，所以m ＝13.答案：134．(2013·南通期中)设D ，P 为△ABC 内的两点，且满足AD ＝14(AB ＋AC )，AP ＝AD＋15BC ，则S △APD S △ABC＝________. 解析：设E 为边BC 的中点．由AD ＝14(AB ＋AC )可知，点D 在△ABC 的中线AE 上，且AD ＝12AE ，由AP ＝AD ＋15BC ，得DP ＝15BC ，利用平面几何知识知S △APD S △ABC ＝12×15＝110.答案：1105．(2014·南通期末)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且3a BC ＋4b CA ＋5c AB ＝0，则a ∶b ∶c ＝________. 解析：在△ABC 中有BC ＋CA ＋AB ＝0， 又3a BC ＋4b CA ＋5c AB ＝0，消去AB 得 (3a －5c) BC ＋(4b －5c) CA ＝0， 从而3a －5c ＝0,4b －5c ＝0，故a ∶b ∶c ＝20∶15∶12. 答案：20∶15∶126．(2014·淮阴模拟)已知△ABC 和点M 满足MA ＋MB ＋MC ＝0.若存在实数m 使得AB ＋AC ＝m AM 成立，则m ＝________.解析：由题目条件可知，M 为△ABC 的重心， 连接AM 并延长交BC 于D ，则AM ＝23AD ，因为AD 为中线，则AB ＋AC ＝2AD ＝3AM ， 所以m ＝3. 答案：37．(2014·苏北四市质检)已知a ，b 是非零向量，且a ，b 的夹角为π3，若向量p ＝a |a|＋b|b|，则|p|＝________.解析：a |a|和b|b|分别表示与a ，b 同向的单位向量，所以长度均为1.又二者的夹角为π3，故|p|＝ 1＋1＋2×1×1×cos π3＝ 3.答案： 38．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC ＝a ，CA ＝b ，给出下列命题：①AD ＝12a －b ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋12b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0.其中正确命题的个数为________．解析：BC ＝a ，CA ＝b ，AD ＝12CB ＋AC＝－12a －b ，故①错；BE ＝BC ＋12CA ＝a ＋12b ，故②错；CF ＝12(CB ＋CA )＝12(－a ＋b)＝－12a ＋12b ，故③正确；∴AD ＋BE ＋CF ＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0.∴正确命题为②③④.答案：39.(2013·苏北四市三调)如图，在边长为1的正三角形ABC 中，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，若AE ＝m AB ，AF ＝n AC ，其中m ，n ∈(0,1)．设EF 的中点为M ，BC 的中点为N.(1)若A ，M ，N 三点共线，求证：m ＝n ；(2)若m ＋n ＝1，求|MN |的最小值．解：(1)证明：由A ，M ，N 三点共线，得AM ∥AN .设AM ＝λAN (λ∈R)，即12(AE ＋AF )＝12λ(AB ＋AC )， 所以m AB ＋n AC ＝λ(AB ＋AC )．因为AB 与AC 不共线，所以m ＝n.(2)因为MN ＝AN －AM ＝12(AB ＋AC )－12(AE ＋AF )＝12(1－m)AB ＋12(1－n) AC ，又m ＋n ＝1，所以MN ＝12(1－m) AB ＋12m AC ， 所以|MN |2＝14(1－m)22AB ＋14m22AC ＋12(1－m)m·AB ·AC ＝14(1－m)2＋14m2＋14(1－m)m＝14⎝⎛⎭⎪⎫m －122＋316， 故当m ＝12时，|MN |min ＝34.10.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ＝23AD ，AB ＝a ，AC ＝b.(1)用a ，b 表示向量AD ，AE ，AF ，BE ，BF ；(2)求证：B ，E ，F 三点共线．解：(1)延长AD 到G ，使AD ＝12AG ， 连接BG ，CG ，得到▱ABGC ，所以AG ＝a ＋b ，AD ＝12AG ＝12(a ＋b)， AE ＝23AD ＝13(a ＋b)，AF ＝12AC ＝12b ，BE ＝AE －AB ＝13(a ＋b)－a ＝13(b －2a)， BF ＝AF －AB ＝12b －a ＝12(b －2a)． (2)证明：由(1)可知BE ＝23BF ，又因为 BE ，BF 有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．第Ⅱ组：重点选做题1．A ，B ，O 是平面内不共线的三个定点，且OA ＝a ，OB ＝b ，点P 关于点A 的对称点为Q ，点Q 关于点B 的对称点为R ，用a 、b 表示PR ，则PR ＝________.解析：PR ＝OR －OP ＝(OR ＋OQ )－(OP ＋OQ )＝2OB －2OA ＝2(b －a)．答案：2(b －a)2．已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA ，OB ，OC ，OD 满足等式OA ＋OC ＝OB ＋OD ，则四边形ABCD 的形状为________．解析：由OA ＋OC ＝OB ＋OD 得 OA －OB ＝OD －OC ，∴BA ＝CD .所以四边形ABCD 为平行四边形．答案：平行四边形 第二节平面向量的基本定理及坐标表示对应学生用书P611．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a ＋b ＝(x1＋x2，y1＋y2)，a －b ＝(x1－x2，y1－y2)，λa ＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB ＝(x2－x1，y2－y1)，|AB |＝x2－x12＋y2－y1 2.3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b ⇔x1y2－x2y1＝0.1．若a 、b 为非零向量，当a ∥b 时，a ，b 的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；2．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．3．若a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x1x2＝y1y2，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.[试一试]1．(2014·南京、盐城一模)若向量a ＝(2,3)，b ＝(x ，－6)，且a ∥b ，则实数x ＝________. 解析：由a ∥b 得2×(－6)＝3x ，解得x ＝－4.答案：－42．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值是________． 解析：∵u ＝(1＋2x,4)，v ＝(2－x,3)，u ∥v ，∴8－4x ＝3＋6x ，∴x ＝12. 答案：12用基向量表示所求向量时，注意方程思想的运用．[练一练]设e1、e2是平面内一组基向量，且a ＝e1＋2e2，b ＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e1＋e2＝________a ＋________b.解析：由题意，设e1＋e2＝ma ＋nb.因为a ＝e1＋2e2，b ＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m －n)e1＋(2m ＋n)e2.由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧ m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝23，n ＝－13.答案：23 －13对应学生用书P61平面向量的坐标运算1.(2014·苏中三市、宿迁调研(一))在平面直角坐标系中，已知向量AB ＝(2,1)，AC ＝(3,5)，则向量BC 的坐标为________．解析：BC ＝AC －AB ＝(1,4)．答案：(1,4)2．(2013·北京高考)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝________.解析：设i ，j 分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则a ＝－i ＋j ，b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j ，所以－i －3j ＝λ(－i ＋j)＋μ(6i ＋2j)，根据平面向量基本定理得λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4. 答案：43．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c.(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n.解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb ＋nc ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－1，n ＝－1.[备课札记][类题通法]1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．2平面向量基本定理及其应用[典例] 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA ＝a ，BC ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ，DF ，CD .[解析] EF ＝EA ＋AB ＋BF ＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ， DF ＝DE ＋EF ＝－16b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13b －a ＝16b －a ， CD ＝CF ＋FD ＝－12b －⎝ ⎛⎭⎪⎫16b －a ＝a －23b. [备课札记][类题通法]用平面向量基本定理解决问题的一般思路 (1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．[针对训练](2014·济南调研)如图，在△ABC 中，AN ＝13NC ，P 是BN 上的一点，若AP ＝m AB ＋211AC ，则实数m 的值为________． 解析：因为AP ＝AB ＋BP ＝AB ＋k BN ＝AB ＋k(AN －AB )＝AB＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫14AC －AB ＝(1－k)AB ＋k 4AC ， 且AP ＝m AB ＋211AC ，所以1－k ＝m ，k 4＝211， 解得k ＝811，m ＝311. 答案：311平面向量共线的坐标表示[典例] 平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；(2)若(a ＋kc)∥(2b －a)，求实数k ；[解] (1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝59，n ＝89.(2)a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k)，2b －a ＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.∴k ＝－1613. [备课札记]解：设d ＝(x ，y)，d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －4－2y －1＝0，x －42＋y －12＝5， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝3.∴d ＝(3，－1)或(5,3)．[类题通法]1．向量共线的两种表示形式设a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，①a ∥b ⇒a ＝λb(b≠0)；②a ∥b ⇔x1y2－x2y1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.2．两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．[针对训练]已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a ，b)．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式；(2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．解：(1)由已知得AB ＝(2，－2)，AB ＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ∥AB .∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC ＝2AB ，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．对应学生用书P63[课堂练通考点]1．(2013·南京二模)若平面向量a ，b 满足|a ＋b|＝1，a ＋b 平行于y 轴，a ＝(2，－1)，则b ＝________.解析：设b ＝(x ，y)，则a ＋b ＝(2＋x ，y －1)，由条件知2＋x ＝0，|y －1|＝1，解得x ＝－2，y ＝0或x ＝－2，y ＝2，故b ＝(－2,0)或(－2,2)．答案：(－2,2)或(－2,0)2．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若(ma ＋nb)∥(a －2b)，则m n等于________． 解析：由题意得ma ＋nb ＝(2m －n,3m ＋2n)a －2b ＝(4，－1)，由于(ma ＋nb)∥(a －2b)，可得－(2m －n)－4(3m ＋2n)＝0，可得m n ＝－12. 答案：－123．(2014·苏北四市质检)已知向量a ＝(sin θ，cos θ)，b ＝(3，－4)，若a ∥b ，则tan 2θ＝________.解析：由题意，得－4sin θ－3cos θ＝0，所以tan θ＝－34，所以tan 2θ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝－247. 答案：－2474．已知点A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，给出下面的结论：①直线OC 与直线BA 平行；②AB ＋BC ＝CA ；③OA ＋OC ＝OB ；④AC ＝OB －2OA .其中正确结论的个数是________．解析：∵由题意得kOC ＝1－2＝－12，kBA ＝2－10－2＝－12， ∴OC ∥BA ，①正确；∵AB ＋BC ＝AC ，∴②错误；∵OA ＋OC ＝(0,2)＝OB ，∴③正确；∵OB －2OA ＝(－4,0)，AC ＝(－4,0)，∴④正确．答案：35．已知两点A(1,0)，B(1,1)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝135°，设OC ＝－OA ＋λOB (λ∈R)，则λ的值为________．解析：由∠AOC ＝135°知，点C 在射线y ＝－x(x<0)上，设点C 的坐标为(a ，－a)，a<0，则有(a ，－a)＝(－1＋λ，λ)，得a ＝－1＋λ，－a ＝λ，消掉a 得λ＝12. 答案：126．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN ＝λAB ＋μAC ，则λ＋μ的值为________．解析：∵M 为边BC 上任意一点，∴可设AM ＝x AB ＋y AC (x ＋y ＝1)．∵N 为AM 中点，∴AN ＝12AM ＝12x AB ＋12y AC ＝λAB ＋μAC . ∴λ＋μ＝12(x ＋y)＝12. 答案：12[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．(2013·辽宁高考改编)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为________．解析：AB ＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB |AB |＝15(3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45 2．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD ＝2DB ，CD ＝r AB ＋s AC ，则r ＋s 的值是________．解析：∵CD ＝2DB ，∴CD ＝23CB ＝23(AB －AC )， ∴CD ＝23AB －23AC ， 又CD ＝r AB ＋s AC ，∴r ＝23，s ＝－23， ∴r ＋s ＝0.答案：03．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12x ，b ＝(x,1)，其中x>0，若(a －2b)∥(2a ＋b)，则x 的值为________． 解析：a －2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，12x －2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)， 由已知(a －2b)∥(2a ＋b)，显然2a ＋b≠0，故有⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，12x －2＝λ(16＋x ，x ＋1)，λ∈R ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 8－2x ＝λ16＋x ，12x －2＝λx ＋1⇒x ＝4(x>0)． 答案：4 4.创新题若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R)，则称(x ，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为________．解析：∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)，即a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)，令a ＝xm ＋yn ＝(－x ＋y ，x ＋2y)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝2.∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)．答案：(0,2)5.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，则下列说法错误的是________．(填写序号) ①AC ＝AB ＋AD ②BD ＝AD －AB③AO ＝12AB ＋12AD ④AE ＝53AB ＋AD 解析：由向量减法的三角形法则知，BD ＝AD －AB ，排除②；由向量加法的平行四边形法则知，AC ＝AB ＋AD ，AO ＝12AC ＝12AB ＋12AD ，排除①、③. 答案：④6．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若PA ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC ＝________.解析：AQ ＝PQ －PA ＝(－3,2)，∴AC ＝2AQ ＝(－6,4)． PC ＝PA ＋AC ＝(－2,7)，∴BC ＝3PC ＝(－6,21)．答案：(－6,21)7．P ＝{a|a ＝(－1,1)＋m(1,2)，m ∈R}，Q ＝{b|b ＝(1，－2)＋n(2,3)，n ∈R}是两个向量集合，则P∩Q 等于________．解析：P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m)，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n)．则⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n. 得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)．答案：{}－13，－238．已知向量OA ＝(1，－3)，OB ＝(2，－1)，OC ＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．解析：若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB ，AC 不共线．∵AB ＝OB －OA ＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC ＝OC －OA ＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1. 答案：k≠19．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．求： (1)|a ＋3b|；(2)当k 为何实数时，ka －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？ 解：(1)因为a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，所以a ＋3b ＝(7,3)， 故|a ＋3b|＝72＋32＝58.(2)ka －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)， 因为ka －b 与a ＋3b 平行， 所以3(k －2)＋7＝0，即k ＝－13.此时ka －b ＝(k －2，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－1， a ＋3b ＝(7,3)，则a ＋3b ＝－3(ka －b)，即此时向量a ＋3b 与ka －b 方向相反．10．已知点O 为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，OM ＝t1OA ＋t2AB . (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A ，B ，M 三点都共线． 解：(1) OM ＝t1OA ＋t2AB ＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)． 当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t2<0，2t1＋4t2≠0，故所求的充要条件为t2<0且t1＋2t2≠0. (2)证明：当t1＝1时， 由(1)知OM ＝(4t2,4t2＋2)． ∵AB ＝OB －OA ＝(4,4)，AM ＝OM －OA ＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2AB ，∴A ，B ，M 三点共线． 第Ⅱ组：重点选做题1.(2013·南通二模)如图，正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内(包括边界)的动点．设AP ＝αAB ＋βAF (α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________．解析：法一：分别延长DC ，AB 交于点G ，则 CG ∥AF ，且CG ＝AF ，从而AC ＝AG ＋GC ＝2AB ＋AF ， 同理可得AE ＝AB ＋2AF ，AD ＝2AB ＋2AF ，因为点P 在△CDE 内部(包括边界)，所以α＋β∈[3,4]．法二：建立如图所示的直角坐标系， 不妨设正六边形ABCDEF 的边长为2，则点A(0,0)，B(2,0)，C(3，3)，D(2,23)，E(0,23)，F(－1，3)，从而点P 位于区域⎩⎨⎧x ＋3y≥6，3x ＋y≤43，y≤23，中．又AP ＝αAB ＋βAF ＝(2α－β，3β)， 代入可行域得⎩⎪⎨⎪⎧α＋β≥3，α≤2，β≤2，于是α＋β∈[3,4]．答案：[3,4]2.(2014·苏锡常镇一模)如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC ＝λDE ＋ μAP ，则λ＋μ的最小值为________．解析：以A 为原点，如图建立直角坐标系，不妨设正方形ABCD 的边长为1，则AC＝(1,1)，DE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1.设AP ＝(cos α，sin α)，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.由AC ＝λDE ＋μAP 得⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ2＋μcos α，1＝－λ＋μsin α，所以μ＝32cos α＋sin α，故λ＋μ＝μsin α－1＋μ＝3·1＋sin α2cos α＋sin α－1.设f(α)＝1＋sin α2cos α＋sin α，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f′(α)＝2＋2sin α－cos α2cos α＋sin α2.因为f′(α)＞0恒成立，故f(α)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调增．所以当α＝0时，f(α)min ＝f(0)＝12，所以(λ＋μ)min ＝12.答案：12第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例对应学生用书P631．平面向量的数量积 平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos θ，规定0·a＝0. 2．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)(a ＋b)·c＝a·c＋b·c. 3．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2) |x1x2＋y1y2|≤x21＋y21x22＋y221．若a ，b ，c 是实数，则ab ＝ac ⇒b ＝c(a≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a ，b ，c ，若满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b ＝c ，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．2．数量积运算不适合结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)，这是由于(a·b)·c 表示一个与c 共线的向量，a·(b·c)表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，因此(a·b)·c 与a·(b·c)不一定相等． [试一试]1．(2014·苏锡常镇一调)已知两个单位向量e1，e2的夹角为120°，若向量a ＝e1＋2e2，b ＝4e1，则a·b＝________.解析：a·b＝(e1＋2e2)·4e1＝4e21＋8e1·e2＝4＋8×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0.答案：02．(2013·镇江期末)在菱形ABCD 中，AB ＝23，B ＝2π3，BC ＝3BE ，DA ＝3DF ，则EF ·AC ＝________.解析：如图，依题意向量BC ，BA 所成角为2π3，|BC |＝|BA |＝23，AC＝BC －BA ，EF―→＝13BC ＋BA ，EF ·AC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13BC ＋BA ·(BC －BA )＝13|BC |2＋23BC ·BA －|BA |2＝－12.答案：－121．明确两个结论：(1)两个向量a 与b 的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)； (2)两个向量a 与b 的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)． 2．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧． [练一练]1．已知向量a ，b 均为非零向量，(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，则a ，b 的夹角为________． 解析：(a －2b)·a＝|a|2－2a·b＝0，(b －2a)·b＝|b|2－2a·b＝0，所以|a|2＝|b|2，即|a|＝|b|，故|a|2－2a·b＝|a|2－2|a|2cos a ，b＝0，可得cosa ，b＝12，又因为0≤a ，b≤π，所以a ，b＝π3. 答案：π32．(2013·南通三模)已知向量a 与b 的夹角为60°，且|a|＝1，|b|＝2，那么(a ＋b)2的值为________．解析：(a ＋b)2＝1＋4＋2×1×2cos 60°＝7. 答案：7 对应学生用书P64平面向量的数量积的运算1.(2014·南通、泰州、扬州一调)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ＝(1,2)，a －12b ＝(3,1)，则a·b＝________.解析：法一：由a·⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b ＝5，得a2－12a·b＝5， 即5－12a·b＝5，所以a·b＝0.法二：由a ＝(1,2)，a －12b ＝(3,1)，得b ＝(－4,2)，所以a·b＝0 答案：02．已知平面向量a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6.则x1＋y1x2＋y2的值为________．解析：由已知得，向量a ＝(x1，y1)与b ＝(x2，y2)反向，3a ＋2b ＝0，即3(x1，y1)＋2(x2，y2)＝(0,0)，得x1＝－23x2，y1＝－23y2，故x1＋y1x2＋y2＝－23.答案：－233.(2012·江苏高考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB ·AF ＝2，则AE ·BF 的值是________．解析：以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则AB ＝(2，0)，AE ＝(2，1)，AD ＝(0,2)．设AF ＝(x,2)，x ＞0，则AB ·AF ＝2x ＝2，解得x ＝1.所以F(1,2)，BF ＝(1－2，2)，于是AE ·BF ＝ 2. 答案： 24．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ·AC ＝－1，则|BC―→|的最小值是________． 解析：∵AB ·AC ＝－1，∴|AB |·|AC |cos 120°＝－1，即|AB |·|AC |＝2，∴|BC |2＝|AC －AB |2＝AC 2－2AB ·AC ＋AB 2≥2|AB |·|AC |－2AB ·AC ＝6，∴|BC |min ＝ 6.答案： 6[备课札记] [类题通法]向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b＝|a||b|cos a ，b ．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2..平面向量数量积的性质平面向量数量积的性质是高考的重点，归纳起来常见的命题角度有：(1)平面向量的模；(2)平面向量的夹角； (3)平面向量的垂直．角度一 平面向量的模1．(2014·南京一模)已知平面向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝2，a 与b 的夹角为π3.以a ，b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________． 解析：设AD ＝a ，AB ＝b ，如图所示，|BD |2＝1＋4－2×1×2cos π3＝3，所以BD ＝ 3. 答案： 3角度二 平面向量的夹角2．(1)(2013·盐城二模)已知向量a 的模为2，向量e 为单位向量，e ⊥(a －e)，则向量a 与e 的夹角大小为________．解析：由条件得e·(a－e)＝0，从而e·a＝1. 所以cos 〈a ，e 〉＝12，故〈a ，e 〉＝π3.答案：π3(2)(2014·苏北四市一调)设a ，b ，c 是单位向量，且a ＝b ＋c ，则向量a ，b 的夹角等于________．解析：a ，b ，c 是单位向量，模都为1，由a ＝b ＋c 得a －b ＝c ，所以(a －b)2＝c2，即a2＋b2－2a·b＝c2，得a·b＝12，所以|a||b|·cos θ＝12，即cos θ＝12，故θ＝π3.答案：π3角度三 平面向量的垂直3．(1)(2013·盐城二模)已知向量a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，且向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为________．解析：由条件知|a|＝13，|b|＝1，a·b＝3，又λa ＋b 与a －2b 垂直，所以(λa ＋b)·(a －2b)＝0， 即λa2－2b2＋(1－2λ)a·b＝0，于是13λ－2＋(1－2λ)×3＝0，解得λ＝－17.答案：－17(2)在直角三角形ABC 中，已知AB ＝(2,3)，AC ＝(1，k)，则k 的值为________． 解析：①当A ＝90°时，∵AB ⊥AC ，∴AB ·AC ＝0. ∴2×1＋3k ＝0，解得k ＝－23.②当B ＝90°时，∵AB ⊥BC ，又BC ＝AC －AB ＝(1，k)－(2,3)＝(－1，k －3)， ∴AB ·BC ＝2×(－1)＋3×(k－3)＝0， 解得k ＝113.③当C ＝90°时，∵AC ⊥BC ，∴1×(－1)＋k(k －3)＝0， 即k2－3k －1＝0.∴k ＝3±132.答案：－23或113或3±132.[备课札记][类题通法]1．求两非零向量的夹角时要注意： (1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角． 2．利用数量积求解长度问题的处理方法 (1)a2a±b 2＝(3)若a ＝y)，则|a|＝考点三平面向量与三角函数的综合[典例] (2013·江苏高考)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a －b|＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． [解] (1)证明：由题意得|a －b|2＝2， 即(a －b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a ⊥b.(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1.由此得，cos α＝cos (π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π. 又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1， 得sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6.[备课札记][类题通法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解． (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等． [针对训练]已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a|＝|b|,0<θ<π，求θ的值．解：(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ， 于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a|＝|b|，知sin2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5， 所以1－2sin 2θ＋4sin2θ＝5.从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1， 于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝－22. 又由0<θ<π，知π4<2θ＋π4<9π4，所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2或θ＝3π4.对应学生用书P65[课堂练通考点]1．(2011·江苏高考)已知e1，e2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e1－2e2，b ＝ke1＋e2.若a·b＝0，则实数k 的值为________．解析：由题得|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝|e1|·|e2|cos2π3＝－12，所以a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝k|e1|2＋(1－2k)·e1e2－2|e2|2＝k ＋2k －12－2＝0，解得k ＝54.答案：542．在△ABC 中，若AB ·AC ＝AB ·CB ＝2，则边AB 的长等于________．解析：由题意得AB ·AC ＋AB ·CB ＝AB ·(AC ＋CB )＝|AB |2＝4，所以AB ＝2. 答案：23．已知向量a ＝(－2,2)，b ＝(5，k)．若|a ＋b|不超过5，则实数k 的取值范围是________． 解析：因为a ＝(－2,2)，b ＝(5，k)，所以a ＋b ＝(3，k ＋2)，所以|a ＋b|＝32＋k ＋22＝13＋4k ＋k2≤5，解得－6≤k≤2 答案：[－6,2]4．(2013·淮安二模)在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，BD ⊥AC ，D 为垂足，则BD ·BC―→的值为________．解析：BD ·BC ＝BD ·(BA ＋AC )＝BD ·BA ＋BD ·AC ＝BD ·BA ＝|BD |·|BA |·cos∠ABD ＝|BD |2.在△ABC 中，由余弦定理得AC ＝7，又S △ABC ＝12AB·BC·sin∠ABC ＝12×2×3×sin 60°＝332，所以12AC·BD＝332，所以BD ＝3217， 所以BD ·BC ＝|BD |2＝277.答案：2775．若非零向量a ，b 满足|a|＝3|b|＝|a ＋2b|，则a 与b 夹角的余弦值为________． 解析：由|a|＝|a ＋2b|，两边平方，得|a|2＝(a ＋2b)2 ＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，所以a·b＝－|b|2. 又|a|＝3|b|，所以cos a ，b＝a·b |a||b|＝－|b|23|b|2＝－13. 答案：－136．在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝6，O 为BC 的垂直平分线上一点，则AO ·BC ＝________. 解析：取BC 边的中点D ，连接AD ，则AO ·BC ＝(AD ＋DO )·BC ＝AD ·BC ＋DO ·BC ＝AD ·BC ＝12(AB ＋AC )·(AC －AB )＝12(AC 2－AB 2)＝12(62－102)＝－32. 答案：－32 [课下提升考能] 第Ⅰ组：全员必做题1．(2013·盐城二模)若e1，e2是两个单位向量，a ＝e1－2e2，b ＝5e1＋4e2，且a ⊥b ，则e1，e2的夹角为________．解析：因为a ⊥b ，所以a·b＝0，从而5－6e1·e2－8＝0，所以e1·e2＝－12，故〈e1·e2〉＝2π3. 答案：2π32．(2014·南通一模)在△ABC 中，若AB ＝1，AC ＝3，|AB ＋AC |＝|BC |，则BA ·BC|BC |＝________.解析：由条件得|AB ＋AC |＝|AC －AB |，故AC ·AB ＝0，即AC ⊥AB ，故|BC |＝2，∠ABC ＝60°，从而原式＝1×2×cos 60°2＝12.答案：123．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上取一点P ，使AP ·BP 有最小值，则P 点的坐标是________． 解析：设P 点坐标为(x,0)，则AP ＝(x －2，－2)，BP ＝(x －4，－1)．AP ·BP ＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x ＋10＝(x －3)2＋1. 当x ＝3时，AP ·BP 有最小值1. ∴此时点P 坐标为(3,0)． 答案：(3,0)4．在直角三角形ABC 中，∠C ＝π2，AC ＝3，取点D 使BD ＝2DA ，那么CD ·CA ＝________.解析：如图，CD ＝CB ＋BD .又∵BD ＝2DA ，∴CD ＝CB ＋23BA ＝CB ＋23(CA －CB )，即CD ＝23CA ＋13CB ，∵∠C ＝π2，∴CA ·CB ＝0，∴CD ·CA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23 CA ＋13 CB ·CA ＝23CA 2＋13CB ·CA ＝6. 答案：6 5．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC―→·EM―→的取值范围是________．解析：将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x,0)，0≤x≤1.又M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，C(1,1)，所以EM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x ，12，EC ＝(1－x,1)，所以EM ·EC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x ，12·(1－x,1)＝(1－x)2＋12.因为0≤x≤1，所以12≤(1－x)2＋12≤32，即EM ·EC 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，326．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a|＝1，|2a －b|＝10，则|b|＝________. 解析：∵a ，b 的夹角为45°，|a|＝1， ∴a·b＝|a|·|b|·cos 45°＝22|b|， ∴|2a －b|2＝4－4×22|b|＋|b|2＝10.∴|b|＝3 2. 答案：3 27．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y)，若a ∥b ，(a ＋b)⊥(b －c)，M(x ，y)，N(y ，x)，则向量MN 的模为________．解析：∵a ∥b ，∴x ＝4.∴b ＝(4，－2)，∴a ＋b ＝(6，－3)， b －c ＝(1，－2－y)．∵(a ＋b)⊥(b －c)，∴(a ＋b)·(b－c)＝0， 即6－3(－2－y)＝0，解得y ＝－4. ∴向量MN ＝(－8,8)，∴|MN |＝8 2. 答案：8 28．(2013·山东高考)已知向量AB 与AC 的夹角为120°，且|AB |＝3，|AC |＝2.若AP ＝λAB ＋AC ，且AP ⊥BC ，则实数λ的值为________． 解析：BC ＝AC －AB ，由于AP ⊥BC ，所以AP ·BC ＝0，即(λAB ＋AC )·(AC －AB )＝－λ2AB ＋2AC ＋(λ－1) AB ·AC ＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，解得λ＝712. 答案：7129．(2014·泰州期末)已知向量a ＝(cos λθ，cos(10－λ)θ)，b ＝(sin(10－λ)θ，sin λθ)，λ，θ∈R.(1)求|a|2＋|b|2的值； (2)若a ⊥b ，求θ； (3)若θ＝π20，求证：a ∥b.解：(1)因为|a|＝cos2λθ＋cos2[10－λθ]， |b|＝sin2[10－λθ]＋sin2λθ， 所以|a|2＋|b|2＝2. (2)因为a ⊥b ，所以cos λθ·sin(10－λ)θ＋cos(10－λ)θ·sin λθ＝0. 所以sin[(10－λ)θ＋λθ]＝0，所以sin 10θ＝0， 所以10θ＝k π，k ∈Z ，所以θ＝k π10，k ∈Z.(3)证明：因为θ＝π20，所以cos λθ·sin λθ－cos(10－ λ)θ·sin(10－ λ)θ＝cos λπ20·sin λπ20－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－λπ20·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－λπ20 ＝cos λπ20·sin λπ20－sin λπ20·cos λπ20＝0，所以a ∥b.10．已知△ABC 为锐角三角形，向量m ＝(3cos2A ，sin A)，n ＝(1，－sin A)，且m ⊥n. (1)求A 的大小；(2)当AB ＝pm ，AC ＝qn(p>0，q>0)，且满足p ＋q ＝6时，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)∵m ⊥n ，∴3cos2A －sin2A ＝0. ∴3cos2A －1＋cos2A ＝0， ∴cos2A ＝14.又∵△ABC 为锐角三角形， ∴cos A ＝12，∴A ＝π3.(2)由(1)可得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，32，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32.∴|AB |＝214p ，|AC |＝72q. ∴S △ABC ＝12|AB |·|AC |·sin A＝2132pq.又∵p ＋q ＝6，且p>0，q>0， ∴p ·q ≤p ＋q2，∴p ·q ≤3.∴p·q≤9.∴△ABC 面积的最大值为2132×9＝18932.第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·扬州期末)在边长为6的等边三角形ABC 中，点M 满足BM ＝2MA ，则CM ·CB ＝________.解析：法一：由题知，CM ·CB ＝(CB ＋BM )·CB ＝2CB ＋ 23BA―→·CB ＝36＋23×6×6×cos 120°＝24. 法二：以BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则B(－3,0)，C(3,0)，A(0,33)，从而M(－1,23)，所以CM ＝(－4,23)，CB ＝(－6,0)．因此CM ·CB ＝(－4)×(－6)＋23×0＝24. 答案：242．(2013·盐城二模)若点G 为△ABC 的重心，且AG ⊥BG ，则sin C 的最大值为________． 解析：记CA ＝b ，CB ＝a ，则AB ＝a －b ，从而AG ＝13(a －2b)，BG ＝13(b －2a)．因为AG ⊥BG ，所以(a －2b)(b －2a)＝0，即2b2－5b·a＋2a2＝0，所以cos C ＝2b2＋2a25|b|·|a|≥45，故当|b|＝|a|时，cos C 有最小值45，此时sin C 有最大值35.答案：353.(2014·泰州模拟)如图，半径为1，圆心角为3π2的圆弧AB 上有一点C.(1)若C 为圆弧AB 的中点，点D 在线段OA 上运动，求|OC ＋OD |的最小值；(2)若D ，E 分别为线段OA ，OB 的中点，当C 在圆弧AB 上运动时，求CE ·DE 的取值范围．解：以O 为原点，OA 为x 轴正方向，建立如图所示的直角坐标系．。

三维设计高考数学人教版理科大一轮复习配套练习6.6合情推理与演绎推理(含答案详析)

三维设计高考数学人教版理科大一轮复习配套练习6.6合情推理与演绎推理(含答案详析)

[课堂练通考点]1．(2014·合肥模拟)正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：选C 因为f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确. 2．给出下列三个类比结论．①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中结论正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B 只有③正确．3．(2012·江西高考)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199 解析：选C 记a n ＋b n ＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123.4．(2013·青岛期末)如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．解析：由题意知，凸函数满足f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin A ＋B ＋C3＝3sin π3＝332.答案：3325．设等差数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论．设等比数列{a n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．解析：对于等比数列，通过类比等差数列，有等比数列{a n }的前n 项积为T n ，则T 4＝a 1a 2a 3a 4，T 8＝a 1a 2…a 8，T 12＝a 1a 2…a 12，T 16＝a 1a 2…a 16，所以T 8T 4＝a 5a 6a 7a 8，T 12T 8＝a 9a 10a 11a 12，T 16T 12＝a 13a 14a 15a 16，所以T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12的公比为q 16，因此T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列． 答案：T 8T 4 T 12T 86．(2014·山西四校联考)已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，…，类比得x ＋axn ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝________.解析：第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1；第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n .答案：n n[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是( )A ．①B ．②C ．③D ．①和②解析：选B 由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．故选B. 2．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a·b )·c ＝a·(b·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a·c b·c ＝ab”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ①②正确，③④⑤⑥错误．3．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( )A.18B.19C.164D.127解析：选D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝127.4．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2＞2n 解析：选A 选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．5．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( ) 13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31… … …A ．809B ．852C ．786D ．893解析：选A前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.6．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O－LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S21＋S22＋S23＝S24.答案：S21＋S22＋S23＝S247．若{a n}是等差数列，m，n，p是互不相等的正整数，则有：(m－n)a p＋(n－p)a m＋(p －m)a n＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{b n}，有__________________．解析：设{b n}的首项为b1，公比为q，则b m－np ·b n－pm·b p－mn＝(b1q p－1)m－n·(b1q m－1)n－p·(b1q n－1)p－m ＝b01·q0＝1.答案：b m－np ·b n－pm·b p－mn＝18．(2013·湖北高考)在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形，对应的S＝1，N＝0，L＝4.(1)图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是________；(2)已知格点多边形的面积可表示为S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N＝71，L＝18，则S＝________(用数值作答)．解析：(1)由定义知，四边形DEFG 由一个等腰直角三角形和一个平行四边形构成，其内部格点有1个，边界上格点有6个，S四边形DEFG ＝3.(2)由待定系数法可得，⎩⎪⎨⎪⎧ 12＝a ·0＋b ·3＋c ，1＝a ·0＋b ·4＋c ，3＝a ·1＋b ·6＋c ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12，c ＝－1，当N ＝71，L ＝18时，S ＝1×71＋12×18－1＝79.答案：(1)3,1,6 (2)799．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12；……请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论． 解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为： (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积； (2)四面体的体积V ＝13×底面积×高；(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的14.10．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： (1)sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； (2)sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； (3)sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； (4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； (5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34.证明如下：法一：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α) ＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 法二：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.第Ⅱ组：重点选做题 1．观察下列算式： 13＝1， 23＝3＋5， 33＝7＋9＋11， 43＝13＋15＋17＋19， ……若某数m 3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2 013”这个数，则m ＝________. 解析：某数m 3按上述规律展开后，等式右边为m 个连续奇数的和，观察可知每行的最后一个数为1＝12＋0,5＝22＋1,11＝32＋2,19＝42＋3，…，所以第m 行的最后一个数为m 2＋(m －1)．因为当m ＝44时，m 2＋(m －1)＝1 979，当m ＝45时，m 2＋(m －1)＝2 069，所以要使等式右边含有“2 013”这个数，则m ＝45.答案：452．(2014·东北三校联考)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＝(－1)n ·2a n －2(n ≥3，n ∈N *)，其前n 项和为S n .(1)a 2n ＋1关于n 的表达式为________；(2)观察S 1，S 2，S 3，S 4，…S n ，在数列{S n }的前100项中相等的项有________对． 解析：(1)a 3a 1＝a 5a 3＝…＝a 2n ＋1a 2n －1＝－2，又a 1＝1，从而a 2n ＋1＝(－2)n .(2)由(1)及条件知，数列{a n}为1,2，－2,22，(－2)2,23，(－2)3，24，…，从而可知S1＝S3，S5＝S7，S9＝S11，…，故在{S n}的前100项中相等的项有25对．答案：(1)a2n＋1＝(－2)n(2)25。

《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)导数的应用(一)(含解析)

《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)导数的应用(一)(含解析)

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校第十二节导数的应用(一)[知识能否忆起]1．函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为减函数．2．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．[小题能否全取]1．(教材习题改编)若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于() A．2B．3C．4 D．5解析：选D∵f′(x)＝3x2＋2ax＋3，f′(－3)＝0，∴a＝5.2．(2012·辽宁高考)函数y＝12x2－ln x的单调递减区间为()A．(－1,1] B．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选B 函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，y ′＝x －1x ＝(x －1)(x ＋1)x ，令y ′≤0，则可得0<x ≤1.3．(2012·陕西高考)设函数f (x )＝x e x ，则( ) A ．x ＝1为f (x )的极大值点 B ．x ＝1为f (x )的极小值点 C ．x ＝－1为f (x )的极大值点 D ．x ＝－1为f (x )的极小值点解析：选D 求导得f ′(x )＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)，令f ′(x )＝e x (x ＋1)＝0，解得x ＝－1，易知x ＝－1是函数f (x )的极小值点．4．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是________．解析：f ′(x )＝x 2＋2x －3，f ′(x )＝0，x ∈[0,2]， 得x ＝1.比较f (0)＝－4，f (1)＝－173，f (2)＝－103.可知最小值为－173.答案：－1735．已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是________． 解析：f ′(x )＝3x 2－a 在x ∈[1，＋∞)上f ′(x )≥0， 则f ′(1)≥0⇒a ≤3. 答案：31.f ′(x )>0与f (x )为增函数的关系：f ′(x )>0能推出f (x )为增函数，但反之不一定．如函数f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f ′(x )≥0，所以f ′(x )>0是f (x )为增函数的充分 不必要条件．2．可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f ′(x 0)＝0是可导函数f (x )在x ＝x 0处取得极值的必要不充分条件．例如函数y ＝x 3在x ＝0处有y ′|x ＝0＝0，但x ＝0不是极值点．此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点．3．可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．运用导数解决函数的单调性问题典题导入[例1] (2012·山东高考改编)已知函数f (x )＝ln x ＋ke x(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间．[自主解答] (1)由f (x )＝ln x ＋ke x，得f ′(x )＝1－kx －x ln xx e x，x ∈(0，＋∞)，由于曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与x 轴平行，所以f ′(1)＝0，因此k ＝1. (2)由(1)得f ′(x )＝1x e x (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)，令h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，h (x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0. 又e x >0，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )>0； x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.因此f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．由题悟法求可导函数单调区间的一般步骤和方法 (1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )，令f ′(x )＝0，求出它在定义域内的一切实数根；(3)把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f (x )的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f ′(x )在各个开区间内的符号，根据f ′(x )的符号判定函数f (x )在每个相应小开区间内的增减性．以题试法1．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e x(x∈R，e为自然对数的底数)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)是否存在a使函数f(x)为R上的单调递减函数，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)e x，∴f′(x)＝(－2x＋2)e x＋(－x2＋2x)e x＝(－x2＋2)e x.令f′(x)＞0，即(－x2＋2)e x＞0，∵e x＞0，∴－x2＋2＞0，解得－2＜x＜ 2.∴函数f(x)的单调递增区间是(－2，2)．(2)若函数f(x)在R上单调递减，则f′(x)≤0对x∈R都成立，即[－x2＋(a－2)x＋a]e x≤0对x∈R都成立．∵e x＞0，∴x2－(a－2)x－a≥0对x∈R都成立．∴Δ＝(a－2)2＋4a≤0，即a2＋4≤0，这是不可能的．故不存在a使函数f(x)在R上单调递减．运用导数解决函数的极值问题典题导入[例2](2012·江苏高考)若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．(1)求a和b的值；(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．[自主解答](1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3.(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.当x＜－2时，g′(x)＜0；当－2＜x＜1时，g′(x)＞0，故－2是g(x)的极值点．当－2＜x＜1或x＞1时，g′(x)＞0，故1不是g(x)的极值点．所以g (x )的极值点为－2.由题悟法求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)用方程f ′(x )＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格； (4)由f ′(x )＝0根的两侧导数的符号来判断f ′(x )在这个根处取极值的情况．以题试法2．设f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数为f ′(x )，若函数y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝－12对称，且f ′(1)＝0.(1)求实数a ，b 的值； (2)求函数f (x )的极值．解：(1)因为f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1， 故f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋b ， 从而f ′(x )＝6⎝⎛⎭⎫x ＋a 62＋b －a 26， 即y ＝f ′(x )关于直线x ＝－a6对称．从而由题设条件知－a 6＝－12，即a ＝3.又由于f ′(1)＝0，即6＋2a ＋b ＝0， 得b ＝－12.(2)由(1)知f (x )＝2x 3＋3x 2－12x ＋1， 所以f ′(x )＝6x 2＋6x －12＝6(x －1)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0， 即6(x －1)(x ＋2)＝0， 解得x ＝－2或x ＝1，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0， 即f (x )在(－∞，－2)上单调递增； 当x ∈(－2,1)时，f ′(x )<0，即f(x)在(－2,1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，即f(x)在(1，＋∞)上单调递增．从而函数f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝21，在x＝1处取得极小值f(1)＝－6.运用导数解决函数的最值问题典题导入[例3]已知函数f(x)＝(x－k)e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．[自主解答](1)f′(x)＝(x－k＋1)e x.令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)的情况如下：x (－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)－e k－1所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0<k－1<1，即1<k<2时，由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1；当k－1≥1时，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.本题条件不变，求f (x )在区间[0,1]上的最大值．解：当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增． 所以f (x )在[0,1]上的最大值为f (1)＝(1－k )e. 当0<k －1<1，即1<k <2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最大值为f (0)和f (1)较大者．若f (0)＝f (1)，所以－k ＝(1－k )e ，即k ＝ee －1.当1<k <e e －1时函数f (x )的最大值为f (1)＝(1－k )e ，当ee －1≤k <2时，函数f (x )的最大值为f (0)＝－k ，当k －1≥1时，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减． 所以f (x )在[0,1]上的最大值为f (0)＝－k .综上所述，当k <ee －1时，f (x )的最大值为f (1)＝(1－k )e.当k ≥ee －1时，f (x )的最大值为f (0)＝－k .由题悟法求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．以题试法3． (2012·重庆高考)已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16. (1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值． 解：(1)因f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b ， 由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16，故有⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝0，f (2)＝c －16，即⎩⎪⎨⎪⎧ 12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16，化简得⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得a ＝1，b ＝－12. (2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ； f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)． 令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，－2)上为增函数； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，故f (x )在(－2,2)上为减函数； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(2，＋∞)上为增函数．由此可知f (x )在x 1＝－2处取得极大值f (－2)＝16＋c ，f (x )在x 1＝2处取得极小值f (2)＝c －16.由题设条件知16＋c ＝28，得c ＝12. 此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3， f (2)＝－16＋c ＝－4，因此f (x )在[－3,3]上的最小值为f (2)＝－4.1．函数f (x )＝x ＋eln x 的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，0)和(0，＋∞)D ．R解析：选A 函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ex >0，故单调增区间是(0，＋∞)．2．(2012·“江南十校”联考)已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d )解析：选C 依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0；当x ∈(c ，e )时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0.因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，在(c ，e )上是减函数，在(e ，＋∞)上是增函数，又a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )．3．(2012·陕西高考)设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点解析：选D 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2，当x ＝2时，f ′(x )＝0；当x >2时，f ′(x )>0，函数f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，函数f (x )为减函数，所以x ＝2为函数f (x )的极小值点．4．(2012·大纲全国卷)已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝( ) A ．－2或2 B ．－9或3 C ．－1或1D ．－3或1解析：选A 设f (x )＝x 3－3x ＋c ，对f (x )求导可得，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，可得x ＝±1，易知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减．若f (1)＝1－3＋c ＝0，可得c ＝2；若f (－1)＝－1＋3＋c ＝0，可得c ＝－2.5．若f (x )＝ln xx ，e<a <b ，则( )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )<f (b )D ．f (a )f (b )>1解析：选A f ′(x )＝1－ln xx 2，当x >e 时，f ′(x )<0，则f (x )在(e ，＋∞)上为减函数，f (a )>f (b )．6．函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )A ．20B ．18C ．3D ．0解析：选A 因为f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，所以－1,1为函数的极值点．又f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，所以在区间[－3,2]上f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19.又由题设知在区间[－3,2]上f (x )max －f (x )min ≤t ，从而t ≥20，所以t 的最小值是20.7．已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋m ＋6＝0有两个不等实根，即Δ＝4m 2－12×(m ＋6)>0.所以m >6或m <－3.答案：(－∞，－3)∪(6，＋∞)8．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ∈[－1,1]，则f (m )的最小值为________．解析：求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，故a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x .由此可得f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，所以对m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.答案：－49．已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )极大值与极小值之差为________．解析：∵y ′＝3x 2＋6ax ＋3b ，⎩⎪⎨⎪⎧ 3×22＋6a ×2＋3b ＝03×12＋6a ＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0. ∴y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，则x ＝0或x ＝2.∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4.答案：410．已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12. (1)求a ，b 的值；(2)判断函数y ＝f (x )的单调性并求出单调区间．解：(1)∵f ′(x )＝2ax ＋b x. 又f (x )在x ＝1处有极值12.∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝12，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，2a ＋b ＝0.解得a ＝12，b ＝－1. (2)由(1)可知f (x )＝12x 2－ln x ，其定义域是(0，＋∞)， 且f ′(x )＝x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x. 由f ′(x )<0，得0<x <1；由f ′(x )>0，得x >1.所以函数y ＝f (x )的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1，＋∞)．11．(2012·重庆高考)设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的极值．解：(1)因f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1， 故f ′(x )＝a x －12x 2＋32. 由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0， 解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)， f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝(3x ＋1)(x －1)2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13⎝⎛ 因x 2＝－13不在定 义域内，舍去．当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数．故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3.12．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋3x .(1)若f (x )在x ∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )在x ∈[1，a ]上的最大值和最小值．解：(1)∵f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3≥0在[1，＋∞)上恒成立，∴a ≤⎣⎡⎦⎤32⎝⎛⎭⎫x ＋1x min ＝3(当x ＝1时取最小值)． ∴a 的取值范围为(－∞，3]．(2)∵f ′(3)＝0，即27－6a ＋3＝0，∴a ＝5，f (x )＝x 3－5x 2＋3x ，x ∈[1,5]，f ′(x )＝3x 2－10x ＋3.令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝13(舍去)． 当1<x <3时，f ′(x )<0，当3<x <5时，f ′(x )>0，即当x ＝3时，f (x )取极小值f (3)＝－9.又f (1)＝－1，f (5)＝15，∴f (x )在[1,5]上的最小值是f (3)＝－9，最大值是f (5)＝15.1．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)．若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )的图象是( )解析：选D 因为[f (x )e x ]′＝f ′(x )e x ＋f (x )(e x )′＝[f (x )＋f ′(x )]e x ，且x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，所以f (1)＋f ′(1)＝0；选项D 中，f (1)>0，f ′(1)>0，不满足f ′(1)＋f (1)＝0.2．(2012·沈阳实验中学检测)已知定义在R 上的奇函数f (x )，设其导函数为f ′(x )，当x ∈(－∞，0]时，恒有xf ′(x )<f (－x )，令F (x )＝xf (x )，则满足F (3)>F (2x －1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－1,2)B.⎝⎛⎭⎫－1，12C.⎝⎛⎭⎫12，2 D ．(－2,1)解析：选A 由F (x )＝xf (x )，得F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )＝xf ′(x )－f (－x )<0，所以F (x )在(－∞，0)上单调递减，又可证F (x )为偶函数，从而F (x )在[0，＋∞)上单调递增，故原不等式可化为－3<2x －1<3，解得－1<x <2.3． (2012·湖北高考)设函数f (x )＝ax n (1－x )＋b (x >0)，n 为正整数，a ，b 为常数．曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x ＋y ＝1.(1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的最大值．解：(1)因为f (1)＝b ，由点(1，b )在x ＋y ＝1上，可得1＋b ＝1，即b ＝0.因为f ′(x )＝anx n －1－a (n ＋1)x n ，所以f ′(1)＝－a .又因为切线x ＋y ＝1的斜率为－1，所以－a ＝－1，即a ＝1.故a ＝1，b ＝0.(2)由(1)知，f (x )＝x n (1－x )＝x n －x n ＋1，f ′(x )＝(n ＋1)x n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1－x . 令f ′(x )＝0，解得x ＝n n ＋1， 即f ′(x )在(0，＋∞)上有唯一零点x 0＝n n ＋1. 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，n n ＋1上，f ′(x )>0，故f (x )单调递增； 而在⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1，＋∞上，f ′(x )<0，f ′(x )单调递减． 故f (x )在(0，＋∞)上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n n ＋1＝n n(n ＋1)n ＋1.1．(2012·重庆高考)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)解析：选D 由图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．2．(2012·山西联考)已知函数f (x )＝(2－a )ln x ＋1x＋2ax (a ∈R)． (1)当a ＝0时，求f (x )的极值；(2)求f (x )的单调区间．解：(1)∵当a ＝0时，f (x )＝2ln x ＋1x， f ′(x )＝2x －1x 2＝2x －1x2(x >0)， ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上是减函数，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上是增函数． ∴f (x )的极小值为f ⎝⎛⎭⎫12＝2－2ln 2，无极大值．(2)f ′(x )＝2－a x －1x 2＋2a ＝(2x －1)(ax ＋1)x 2(x >0)． ①当a ≥0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上是减函数，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上是增函数； ②当－2<a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12和⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上是减函数，在⎝⎛⎭⎫12，－1a 上是增函数； ③当a ＝－2时，f (x )在(0，＋∞)上是减函数；④当a <－2时，f (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞和⎝⎛⎭⎫0，－1a 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫－1a ，12上是增函数．。

【三维设计】高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)数系的扩充与复数的引入教学案

【三维设计】高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)数系的扩充与复数的引入教学案

数系的扩充与复数的引入[知识能否忆起]一、复数的有关概念1．复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0，b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．2．复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c ，b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．3．共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＋d ＝0(a ，b ，c ，d ∈R )．4．复数的模：向量OZ ―→的长度叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.二、复数的几何意义复数z ＝a ＋b i ―→复平面内的点Z (a ，b )―→平面向量OZ . 三、复数的运算1．复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则：(1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； (4)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝a ＋bc －dc ＋d c －d＝ac ＋bd ＋bc －adc 2＋d 2(c ＋d i≠0)．2．复数加法、乘法的运算律对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)；z 1·z 2＝z 2·z 1，(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)，z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3.[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若(1－2i)(a ＋i)为纯虚数，则a 的值等于( )A ．－6B ．－2C ．2D ．6解析：选B 由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝0，1－2a ≠0，由此解得a ＝－2.2．(2011·湖南高考)若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－1解析：选D 由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得－1＋a i ＝b ＋i ，根据两复数相等的充要条件得a ＝1，b ＝－1.3．(2012·天津高考)i 是虚数单位，复数5＋3i4－i ＝( )A ．1－iB ．－1＋iC ．1＋iD ．－1－i 解析：选C 5＋3i4－i＝＋＋－＋＝20＋5i ＋12i ＋3i 216－i 2＝17＋17i 17＝1＋i. 4．若复数z 满足z1＋i＝2i ，则z 对应的点位于第________象限．解析：z ＝2i(1＋i)＝－2＋2i ，因此z 对应的点为(－2,2)，在第二象限内． 答案：二5．若复数z 满足z ＋i ＝3＋ii ，则|z |＝________.解析：因为z ＝3＋ii －i ＝1－3i －i ＝1－4i ，则|z |＝17.答案：17 1.复数的几何意义除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意 (1)|z |＝|z －0|＝a (a >0)表示复数z 对应的点到原点的距离为a ； (2)|z －z 0|表示复数z 对应的点与复数z 0对应的点之间的距离． 2．复数中的解题策略(1)证明复数是实数的策略：①z ＝a ＋b i ∈R ⇔b ＝0(a ，b ∈R )；②z ∈R ⇔z ＝z . (2)证明复数是纯虚数的策略：①z ＝a ＋b i 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0(a ，b ∈R )； ②b ≠0时，z －z ＝2b i 为纯虚数；③z 是纯虚数⇔z ＋z ＝0且z ≠0.典题导入[例1] (1)(2012·陕西高考)设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2012·郑州质检)如果复数2－b i1＋2i (其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于( )A ．－23B.23C. 2D ．2[自主解答] (1)若复数a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，则a ＝0，b ≠0，ab ＝0；而ab ＝0时a＝0或b ＝0，a ＋b i 不一定是纯虚数，故“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的必要不充分条件．(2)2－b i1＋2i＝－b －＋－＝－2b －＋b5，依题意有2－2b ＝4＋b ，解得b ＝－23.[答案] (1)B (2)A由题悟法处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．由于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )由它的实部与虚部唯一确定，故复数z 与点Z (a ，b )相对应．以题试法1．(2012·东北模拟)已知x1＋i ＝1－y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x ＋y i的共轭复数为( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i解析：选 D 依题意得x ＝(1＋i)(1－y i)＝(1＋y )＋(1－y )i ；又x ，y ∈R ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋y ，1－y ＝0，解得x ＝2，y ＝1.x ＋y i ＝2＋i ，因此x ＋y i 的共轭复数是2－i.典题导入[例2] (2012·山西四校联考)已知复数z 的实部为－1，虚部为2，则2－iz(i 为虚部单位)在复平面内对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[自主解答] 选C 依题意得2－i z ＝2－i －1＋2i ＝－－1－－1＋－1－＝－4－3i5，因此该复数在复平面内对应的点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，－35，位于第三象限．由题悟法复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题．以题试法2．(1)在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i(2)(2012·连云港模拟)已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，若OC ＝λOA ＋μOB ，(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是________．解析：(1)复数6＋5i 对应的点为A (6,5)，复数－2＋3i 对应的点为B (－2,3)．利用中点坐标公式得线段AB 的中点C (2,4)，故点C 对应的复数为2＋4i.(2)由条件得OC ＝(3，－4)，OA ＝(－1,2)，OB ＝(1，－1)， 根据OC ＝λOA ＋μOB 得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2.∴λ＋μ＝1. 答案：(1)C (2)1典题导入[例3] (1)(2012·山东高考)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( )A ．3＋5iB ．3－5iC ．－3＋5iD ．－3－5i(2)(2011·重庆高考)复数i 2＋i 3＋i41－i ＝( )A ．－12－12iB ．－12＋12iC.12－12iD.12＋12i [自主解答] (1)z ＝11＋7i2－i ＝＋＋－＋＝15＋25i5＝3＋5i. (2)i 2＋i 3＋i 41－i ＝－＋－＋11－i ＝－i 1－i＝－＋－＋＝1－i 2＝12－12i.[答案] (1)A (2)C由题悟法1．复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式．2．记住以下结论，可提高运算速度：①(1±i)2＝±2i；②1＋i 1－i ＝i ；③1－i 1＋i ＝－i ；④a ＋b i i ＝b －a i ；⑤i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i(n ∈N )．以题试法3．(1)(2012·山西四校联考)设复数z 的共轭复数为z ，若z ＝1－i(i 为虚数单位)，则zz＋z 2的值为( ) A ．－3i B ．－2i C ．iD ．－i(2)i 为虚数单位，⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝________.解析：(1)依题意得zz ＋z 2＝1＋i 1－i ＋(1－i)2＝－i 2＋i 1－i－2i ＝i －2i ＝－i.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋224＝i 4＝1. 答案：(1)D (2)11．(2012·江西高考)若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2＋z 2的虚部为( )A ．0B ．－1C ．1D ．－2解析：选A ∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，∴z 2＋z 2＝(z ＋z )2－2z z ＝4－4＝0，∴z 2＋z 2的虚部为0.2．(2012·北京高考)在复平面内，复数10i3＋i 对应的点的坐标为( )A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－1,3)D ．(3，－1)解析：选A 由10i3＋i ＝－＋－＝＋10＝1＋3i 得，该复数对应的点为(1,3)．3．(2012·长春调研)若复数(a ＋i)2在复平面内对应的点在y 轴负半轴上，则实数a 的值是( )A ．1B ．－1 C. 2D ．－ 2解析：选B 因为复数(a ＋i)2＝(a 2－1)＋2a i ，所以其在复平面内对应的点的坐标是(a2－1,2a )，又因为该点在y 轴负半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，2a <0，解得a ＝－1.4．(2013·萍乡模拟)复数＋＋－2等于( )A.52 B ．－52C.52iD ．－52i解析：选B＋＋－2＝2＋4i ＋i ＋2i 2－2i ＝5i －2i ＝－52.5．(2012·河南三市调研)已知i 为虚数单位，复数z ＝2＋i 1－2i ，则|z |＋1z ＝( )A ．iB ．1－iC ．1＋iD ．－i解析：选B 由已知得z ＝2＋i 1－2i ＝－2i 2＋i1－2i ＝－1－2i ＝i ，|z |＋1z ＝|i|＋1i＝1－i.6．(2012·安徽名校模拟)设复数z 的共轭复数为z ，若(2＋i)z ＝3－i ，则z ·z 的值为( )A ．1B ．2 C. 2D ．4解析：选B 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，代入(2＋i)z ＝3－i ，得(2a －b )＋(2b ＋a )i ＝3－i ，从而可得a ＝1，b ＝－1，那么z ·z ＝(1－i)(1＋i)＝2.7．(2013·长沙模拟)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫i ，i 2，1i ，＋2i，i 是虚数单位，Z 为整数集，则集合Z ∩M 中的元素个数是( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个解析：选B 由已知得M ＝{i ，－1，－i,2}，Z 为整数集，∴Z ∩M ＝{－1,2}，即集合Z ∩M 中有2个元素．8．定义：若z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根．根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是( )A ．1－2i 或－1＋2iB ．1＋2i 或－1－2iC ．－7－24iD ．7＋24i解析：选B 设(x ＋y i)2＝－3＋4i(x ，y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝－3，xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.9．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA 和OB ，其中O 为坐标原点，则|AB |＝________.解析：由题意知A (1,1)，B (－1,3)， 故|AB |＝－1－2＋－2＝2 2.答案：2 210．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝________.解析：z 2－2z z －1＝z －2－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i ＝－i －i －i·i＝－2i.答案：－2i11．设复数z 满足|z |＝5且(3＋4i)z 是纯虚数，则z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则有a 2＋b 2＝5. 于是(3＋4i)z ＝(3a －4b )＋(4a ＋3b )i.由题设得⎩⎪⎨⎪⎧3a －4b ＝04a ＋3b ≠0得b ＝34a 代入得a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2＝25，a ＝±4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－3.∴z ＝4－3i 或z ＝－4＋3i. 答案：±(4－3i) 12.－1＋＋i3＝________. 解析：－1＋＋i3＝－3＋i －i＝－1－3i.答案：－1－3i13．(2011·上海高考改编)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2＝________.解析：(z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i. 设z 2＝a ＋2i ，a ∈R . 则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i) ＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i.答案：4＋2i14．若复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则1z ＋a的虚部为________． 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，所以a ＝1，所以1z ＋a ＝11＋2i＝1－2i ＋－＝15－25i ，根据虚部的概念，可得1z ＋a 的虚部为－25. 答案：－251．(2012·山东日照一模)在复数集C 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ，x ∈R ，－x ，x ∉R ，则f (1＋i)等于( )A ．2＋iB ．－2C ．0D ．2解析：选D ∵1＋i ∉R ，∴f (1＋i)＝(1－i)(1＋i)＝2.2．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a >12”是“点M 在第四象限”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C z ＝(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i ，若其对应的点在第四象限，则a ＋2>0，且1－2a <0，解得a >12.即“a >12”是“点M 在第四象限”的充要条件．3．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，则y x的最大值为________． 解析：|z －2|＝x －2＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3. 答案： 34．复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i ，与复数12＋16i 互为共轭复数，则实数m ＝________.解析：根据共轭复数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16.解之得m ＝1.答案：15．已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. ∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i. 由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i.∴(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i. 由于(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，a －，解得2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)．6．设z 是虚数，ω＝z ＋1z，且－1<ω<2.(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围； (2)设u ＝1－z1＋z ，求证：u 为纯虚数．解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)， ω＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －b a 2＋b 2i ，∵ω是实数，∴b －ba 2＋b 2＝0.又b ≠0，∴a 2＋b 2＝1.∴|z |＝1，ω＝2a . ∵－1<ω<2，∴－12<a <1，即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. (2)u ＝1－z 1＋z ＝1－a －b i 1＋a ＋b i ＝1－a 2－b 2－2b i ＋a 2＋b 2＝－b a ＋1i.∵－12<a <1，b ≠0，∴u 为纯虚数．1．已知a ＋2ii＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3解析：选B a ＋2i i ＝a ＋i 2＝2－a i ＝b ＋i ，由复数相等的条件得b ＝2，a ＝－1，则a ＋b ＝1.2．对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( ) A ．|z －z |＝2y B ．z 2＝x 2＋y 2C ．|z －z |≥2xD ．|z |≤|x |＋|y |解析：选D ∵z －z ＝2y i ，∴|z －z |＝2|y |，选项A 、C 错误；而z 2＝(x ＋y i)2＝x2－y 2＋2xy i ，选项B 错误；而|z |＝x 2＋y 2，|z |2＝x 2＋y 2，(|x |＋|y |)2＝x 2＋y 2＋2|xy |≥x 2＋y 2，因此|z |≤|x |＋|y |.3．已知虚数z ，使得z 1＝z 1＋z 2和z 2＝z 21＋z 都为实数，求z . 解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，∴z 1＝x x 2＋y 2＋＋y －x 2－y 2x 2－y 2＋2＋4x 2y 2，∵z 1∈R ，又y ≠0，∴x 2＋y 2＝1，同理，由z 2∈R 得x 2＋2x ＋y 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.三角函数、解三角形 平面向量、数系的扩充与复数的引入一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2012·新课标全国卷)复数z ＝－3＋i2＋i 的共轭复数是( )A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋iD ．－1－i 解析：选D z ＝－3＋i2＋i ＝－3＋－＋－＝－1＋i ，所以z ＝－1－i.2．(2012·潍坊模拟)已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x ＝( ) A.724 B ．－724C.247D ．－247解析：选D 依题意得sin x ＝－1－cos 2x ＝－35，tan x ＝sin x cos x ＝－34，所以tan 2x＝2tan x 1－tan 2x ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝－247. 3．(2012·广州调研)设复数z 1＝1－3i ，z 2＝3－2i ，则z 1z 2在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 解析：选D 因为z 1z 2＝1－3i3－2i＝－＋－＋＝9－7i 13，所以z 1z 2在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫913，－713，在第四象限．4．(2012·邵阳模拟)已知a ＝(1，sin 2x )，b ＝(2，sin 2x )，其中x ∈(0，π)．若|a ·b |＝|a ||b |，则tan x 的值等于( )A ．1B ．－1 C. 3D.22解析：选A 由|a ·b |＝|a ||b |知，a ∥b ，所以sin 2x ＝2sin 2x ，即2sin x cos x ＝2sin 2x ，而x ∈(0，π)， 所以sin x ＝cos x ，tan x ＝1.5．(2012·福州质检查)“cos α＝35”是“cos 2α＝－725”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵cos α＝35，∴cos 2α＝2cos 2α－1＝2×925－1＝－725，∴由cos α＝35可推出cos 2α＝－725. 由cos 2α＝－725得cos α＝±35，∴由cos 2α＝－725不能推出cos α＝35.综上，“cos α＝35”是“cos 2α＝－725”的充分而不必要条件．6．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( ) A.π2 B.2π3 C.3π2D.5π3解析：选C ∵f (x )为偶函数，∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝3k π＋32π(k ∈Z )．又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝32π.7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若c cos A ＝b ，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是钝角三角形 C ．一定是直角三角形 D ．一定是斜三角形解析：选C 在△ABC 中，因为c cos A ＝b ，根据余弦定理，得c ·b 2＋c 2－a 22bc＝b ，故c2＝a 2＋b 2，因此△ABC 一定是直角三角形．8．设点A (2,0)，B (4,2)，若点P 在直线AB 上，且|AB |＝2|AP |，则点P 的坐标为( )A ．(3,1)B ．(1，－1)C ．(3,1)或(1，－1)D ．无数多个解析：选C 设P (x ，y )，则由|AB |＝2|AP |，得AB ＝2AP 或AB ＝－2AP .AB ＝(2,2)，AP ＝(x －2，y )，即(2,2)＝2(x －2，y )，x ＝3，y ＝1，P (3,1)，或(2,2)＝－2(x －2，y )，x ＝1，y ＝－1，P (1，－1)．9．(2012·福州质检)将函数f (x )＝sin 2x (x ∈R )的图象向右平移π4个单位后，所得到的图象对应的函数的一个单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0 B.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2C.⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4D.⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π解析：选B 将函数f (x )＝sin 2x (x ∈R )的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝－cos 2x 的图象，则函数g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，而满足条件的只有B.10．(2012·西安名校三检)已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，且α，β∈(0，π)，则sin α的值为( )A.6365 B.1365 C.3365D.6365或3365解析：选A 依题意得sin β＝45，cos β＝35；注意到sin(α＋β)＝513<sin β，因此有α＋β>π2(否则，若α＋β≤π2，则有0<β<α＋β≤π2，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，cos(α＋β)＝－1213，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝6365.11．(2012·河南三市调研)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＝a 2－ac ＋c 2，C －A ＝90°，则cos A cos C ＝( )A.14B.24 C ．－14D ．－24解析：选C 依题意得a 2＋c 2－b 2＝ac ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.又0°<B <180°，所以B ＝60°，C ＋A ＝120°.又C －A ＝90°，所以C ＝90°＋A ，A ＝15°，cos A cos C ＝cos A cos(90°＋A )＝－12sin 2A ＝－12sin 30°＝－14.12．(2012·广东高考)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，则a ∘b ＝( )A.52 B.32 C ．1D.12解析：选D a ∘b ＝a ·b b ·b ＝|a ||b|cos θ|b |2＝|a |cos θ|b |，① b ∘a ＝b ·a a ·a ＝|b ||a |cos θ|a |2＝|b |cos θ|a |.② ∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴0<cos θ<22.①×②得(a ∘b )(b ∘a )＝cos 2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.因为a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n2|n ∈Z 中，设a ∘b ＝n 12，b ∘a ＝n 22(n 1，n 2∈Z )，即(a ∘b )·(b ∘a )＝cos 2θ＝n 1n 24，所以0<n 1n 2<2，所以n 1，n 2的值均为1，故a ∘b ＝n 12＝12.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知a ＝2，b ＝3，则sin AA ＋C＝________.解析：sin A A ＋C ＝sin A sin B ＝a b ＝23. 答案：2314．(2012·安徽高考)设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________.解析：a ＋c ＝(1,2m )＋(2，m )＝(3,3m )． ∵(a ＋c )⊥b ，∴(a ＋c )·b ＝(3,3m )·(m ＋1,1)＝6m ＋3＝0. ∴m ＝－12.∴a ＝(1，－1)．∴|a |＝ 2. 答案： 215.如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB 与旗杆所在直线MN 共面，在该列的第一个座位A 和最后一个座位B 测得旗杆顶端N 的仰角分别为60°和30°，且座位A 、B 的距离为106米，则旗杆的高度为________米．解析：由题可知∠BAN ＝105°，∠BNA ＝30°，由正弦定理得ANsin 45°＝106sin 30°，解得AN ＝203(米)，在Rt △AMN 中，MN ＝203sin 60°＝30(米)．故旗杆的高度为30米．答案：3016．已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈R ，若函数h (x )＝f (x ＋α)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0对称，且α∈(0，π)，则α的值为________．解析：∵f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴h (x )＝f (x ＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2α－π3.∵函数h (x )的图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0∴－2π3＋2α－π3＝k π.∴α＝k ＋π2，k ∈z .又α∈(0，π)，∴α＝π2.答案：π2三、解答题(本题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)(2012·广州二测)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(A >0，ω>0)在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，－2.(1)求A 和ω的值；(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin α＝45，求f (α)的值．解：(1)∵函数f (x )在某一周期内的图象的最高坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2，∴A ＝2，得函数f (x )的周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，∴ω＝2πT＝2.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin α＝45，∴cos α＝1－sin 2α＝35，∴sin 2α＝2sin αcos α＝2425，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725.∴f (α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2αcos π3－cos 2αsin π3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2425×12＋725×32＝24＋7325.18．(本小题满分12分)(2012·天津高考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2cos 2x －1，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值． 解：(1)f (x )＝sin 2x ·cos π3＋cos 2x ·sin π3＋sin 2x ·cos π3－cos 2x ·sin π3＋cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π8上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是减函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1.19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C .(1)求角B 的大小；(2)设m ＝(sin A ，cos 2A )，n ＝(4k,1)(k >1)，且m ·n 的最大值是5，求k 的值． 解：(1)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，所以在△ABC 中，由正弦定理，得(2sin A －sin C )cosB ＝sin B cosC ，所以2sin A cos B ＝sin B cos C ＋cos B sin C ， 即2sin A cos B ＝sin A .又在△ABC 中，sin A >0，B ∈(0，π)，所以cos B ＝12.所以B ＝π3.(2)因为m ＝(sin A ，cos 2A )，n ＝(4k,1)(k >1)， 所以m ·n ＝4k sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋4k sin A ＋1， 即m ·n ＝－2(sin A －k )2＋2k 2＋1.又B ＝π3，所以A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3.所以sin A ∈(0,1]．所以当sin A ＝1⎝⎛⎭⎪⎫A ＝π2时，m ·n 的最大值为4k －1. 又m ·n 的最大值是5，所以4k －1＝5.所以k ＝32.20．(本小题满分12分)已知复数z 1＝sin 2x ＋t i ，z 2＝m ＋(m －3cos 2x )i(i 为虚数单位，t ，m ，x ∈R )，且z 1＝z 2.(1)若t ＝0且0<x <π，求x 的值；(2)设t ＝f (x )，已知当x ＝α时，t ＝12，试求cos ⎝⎛⎭⎪⎫4α＋π3的值． 解：(1)因为z 1＝z 2，所以⎩⎨⎧sin 2x ＝m ，t ＝m －3cos 2x ，即t ＝sin 2x －3cos 2x .若t ＝0，则sin 2x －3cos 2x ＝0，得tan 2x ＝ 3. 因为0<x <π，所以0<2x <2π，所以2x ＝π3或2x ＝4π3，所以x ＝π6或x ＝2π3.(2)因为t ＝f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，因为当x ＝α时，t ＝12，所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3＝12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－14， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋π3＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6－1＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－142－1＝－78.21．(本小题满分12分)(2012·长春调研)如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．(1)如果A ，B 两点的纵坐标分别为45，1213，求cos α和sin β；(2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值；(3)已知点C (－1，3)，求函数f (α)＝OA ·OC 的值域． 解：(1)根据三角函数的定义，得sin α＝45，sin β＝1213.又α是锐角，所以cos α＝35.(2)由(1)知sin β＝1213.因为β是钝角，所以cos β＝－513.所以cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×35＋1213×45＝3365. (3)由题意可知，OA ＝(cos α，sin α)，OC ＝(－1，3)． 所以f (α)＝OA ·OC ＝3sin α－cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6， 因为0<α<π2，所以－π6<α－π6<π3，所以－12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6<32，从而－1<f (α)< 3.所以函数f (α)的值域为(－1, 3)．22．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边长，已知 2sin A ＝3cos A .(1)若a 2－c 2＝b 2－mbc ，求实数m 的值； (2)若a ＝3，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由2sin A ＝3cos A 两边平方得2sin 2A ＝3cos A 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍)．而a 2－c 2＝b 2－mbc 可以变形为b 2＋c 2－a 22bc ＝m2，即cos A ＝m 2＝12，所以m ＝1.(2)由(1)知 cos A ＝12，则sin A ＝32.又b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以bc ＝b 2＋c 2－a 2≥2bc －a 2，即bc ≤a 2.当且仅当b ＝c 时等号成立．故S △ABC ＝bc2sinA ≤a 22·32＝334.。

【三维设计】(新课标)高考数学大一轮复习 一模考前专项训练精品讲义 理(含解析)

【三维设计】(新课标)高考数学大一轮复习 一模考前专项训练精品讲义 理(含解析)

数学思想专项训练(一) 函数与方程思想一、选择题1．已知函数f (x )＝ln x －x －a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．(－∞，－1) C ．[－1，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：选B 函数f (x )＝ln x －x －a 的零点即关于x 的方程ln x －x －a ＝0的实根，将方程化为ln x ＝x ＋a ，令y 1＝ln x ，y 2＝x ＋a ，由导数知识可知当两曲线相切时有a ＝－1.若函数f (x )＝ln x －x －a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为(－∞，－1)．2．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)＜0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，则a 等于( )A ．2B ．－2C ．－12D.12解析：选B 根据不等式与对应方程的关系知－1，－12是一元二次方程ax 2＋(a －1)x －1＝0的两个根，所以－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1a ，所以a ＝－2，故选B. 3．(2015·天津六校联考)若等差数列{a n }满足a 21＋a 2100≤10，则S ＝a 100＋a 101＋…＋a 199的最大值为( )A ．600B ．500C ．400D ．200解析：选 B S ＝a 100＋a 101＋…＋a 199＝100a 100＋100×992d ＝100(a 1＋99d )＋100×992d ，即99d ＝S 150－23a 1，因为a 21＋a 2100≤10，即a 21＋(a 1＋99d )2≤10，整理得a 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 1＋S 1502≤10，即109a 21＋S 225a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1502－10≤0有解，所以Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 2252－4×109⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1502－10≥0，解得－500≤S ≤500，所以S max ＝500，故选B.4．已知f (x )＝log 2x ，x ∈[2,16]，对于函数f (x )值域内的任意实数m ，则使x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立的实数x 的取值范围为( )A ．(－∞，－2]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：选D ∵x ∈[2,16]，∴f (x )＝log 2x ∈[1,4]，即m ∈[1,4]．不等式x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立，即为m (x －2)＋(x －2)2＞0恒成立，设g (m )＝(x －2)m ＋(x －2)2，则此函数在[1,4]上恒大于0，所以⎩⎪⎨⎪⎧g ＞0，g＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋x －2＞0，x －＋x －2＞0，解得x ＜－2或x ＞2.5．(2015·黄冈质检)已知点A 是椭圆x 225＋y 29＝1上的一个动点，点P 在线段OA 的延长线上，且OA ·OP ＝48，则点P 的横坐标的最大值为( )A ．18B ．15C ．10D.152解析：选C 当点P 的横坐标最大时，射线OA 的斜率k ＞0，设OA ：y ＝kx ，k ＞0，与椭圆x 225＋y 29＝1联立解得x A ＝159＋25k 2.又OA ·OP ＝x A x P ＋k 2x A x P ＝48，解得x P ＝48＋k 2x A＝169＋25k 2＋k 2＝1659＋25k 2＋k 22，令9＋25k 2＝t ＞9，即k 2＝t －925，则x P ＝165t⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋16252＝165×25tt 2＋162＋32t＝801t ＋162t＋32≤80× 164＝10，当且仅当t ＝16，即k 2＝725时取等号，所以点P 的横坐标的最大值为10，故选C.6．(2015·杭州二模)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *)．若a 8a 7＜－1，则( )A ．S n 的最大值是S 8B ．S n 的最小值是S 8C ．S n 的最大值是S 7D ．S n 的最小值是S 7 解析：选 D 由(n ＋1)S n ＜nS n ＋1得(n ＋1)n a 1＋a n2＜nn ＋a 1＋a n ＋12，整理得a n ＜a n ＋1，所以等差数列{a n }是递增数列，又a 8a 7＜－1，所以a 8＞0，a 7＜0，所以数列{a n }的前7项为负值，即S n 的最小值是S 7.故选D.二、填空题7．已知f (x )为定义在R 上的增函数，且对任意的x ∈R ，都有f [f (x )－2x]＝3，则f (3)＝________.解析：设f (x )－2x ＝t ，则f (t )＝3，f (x )＝2x＋t ， 所以2t ＋t ＝3，易得方程2t＋t ＝3有唯一解t ＝1， 所以f (x )＝2x＋1，所以f (3)＝9. 答案：98．已知奇函数f (x )的定义域为R ，当x ＞0时，f (x )＝2x －x 2.若x ∈[a ，b ]时，函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1b ，1a ，则ab ＝________.解析：由题意知a ＜b ，且1a ＞1b，则a ，b 同号，当x ＞0时，f (x )＝2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，若0＜a ＜b ，则1a≤1，即a ≥1.因为f (x )在[1，＋∞)上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f a ＝2a －a 2＝1a ，f b ＝2b －b 2＝1b，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1＋52，所以ab ＝1＋52.由f (x )是奇函数知，当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ，同理可知，当a ＜b ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝2a ＋a 2＝1a，fb ＝2b ＋b 2＝1b，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，a ＝－1－52，所以ab ＝1＋52.综上，ab ＝1＋52.答案：1＋529．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．解析：设5个班级的样本数据从小到大依次为0≤a ＜b ＜c ＜d ＜e .由平均数及方差的公式得a ＋b ＋c ＋d ＋e5＝7，a －2＋b －2＋c －2＋d －2＋e －25＝4.设a－7，b －7，c －7，d －7，e －7分别为p ，q ，r ，s ，t ，则p ，q ，r ，s ，t 均为整数，且⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＋r ＋s ＋t ＝0，p 2＋q 2＋r 2＋s 2＋t 2＝20.设f (x )＝(x －p )2＋(x －q )2＋(x －r )2＋(x －s )2＝4x 2－2(p ＋q ＋r ＋s )x ＋(p 2＋q 2＋r 2＋s 2)＝4x 2＋2tx ＋20－t 2，由(x －p )2，(x －q )2，(x －r )2，(x －s )2不能完全相同知f (x )＞0，则判别式Δ＜0，即4t 2－4×4×(20－t 2)＜0，解得－4＜t ＜4，所以－3≤t ≤3，故e 的最大值为10.答案：1010．(2015·东城期末)若函数f (x )＝m －x ＋3的定义域为[a ，b ]，值域为[a ，b ]，则实数m 的取值范围是________．解析：易知f (x )＝m －x ＋3在[a ，b ]上单调递减，因为函数f (x )的值域为[a ，b ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝b ，fb ＝a ，即⎩⎨⎧m －a ＋3＝b ，m －b ＋3＝a ，两式相减得，a ＋3－b ＋3＝a －b ＝(a ＋3)－(b＋3)＝(a ＋3)2－(b ＋3)2，所以a ＋3＋b ＋3＝1，因为a ＜b ，所以0≤a ＋3＜12，而m＝b ＋3＋a ＝a －a ＋3＋1，所以m ＝(a ＋3)－a ＋3－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋3－122－94，又0≤a ＋3＜12，所以－94＜m ≤－2. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2二、解答题11.如图，在平行四边形ABCD 中，BC ＝2，BD ⊥CD ，四边形ADEF为正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD .记CD ＝x ，V (x )表示四棱锥F ­ABCD 的体积．(1)求V (x )的表达式； (2)求V (x )的最大值．解：(1)∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD 且FA ⊥AD ，∴FA ⊥平面ABCD . ∵BD ⊥CD ，BC ＝2，CD ＝x . ∴FA ＝2，BD ＝4－x 2(0＜x ＜2)，S ▱ABCD ＝CD ·BD ＝x 4－x 2，∴V (x )＝13S ▱ABCD ·FA ＝23x 4－x 2(0＜x ＜2)．(2)V (x )＝23x 4－x 2＝23－x 4＋4x 2＝23－x 2－2＋4.∵0＜x ＜2，∴0＜x 2＜4，∴当x 2＝2，即x ＝2时，V (x )取得最大值，且V (x )max ＝43.12．设P 是椭圆x 2a2＋y 2＝1(a >1)短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求|PQ |的最大值．解：依题意可设P (0,1)，Q (x ，y )，则 |PQ |＝x 2＋y －2.又因为Q 在椭圆上，所以x 2＝a 2(1－y 2)．|PQ |2＝a 2(1－y 2)＋y 2－2y ＋1＝(1－a 2)y 2－2y ＋1＋a 2＝(1－a 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫y －11－a 22－11－a 2＋1＋a 2，因为|y |≤1，a >1，若a ≥2，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪11－a 2≤1，当y ＝11－a 2时，|PQ |取最大值a 2a 2－1a 2－1； 若1<a <2，则当y ＝－1时，|PQ |取最大值2，综上，当a ≥2时，|PQ |的最大值为a 2a 2－1a 2－1；当1<a <2时，|PQ |的最大值为2.数学思想专项训练(二) 转化与化归思想一、选择题1．已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)＜2，则实数x的取值范围是( )A．(－2,2) B．(2，5)C．(－5，－2) D．(－5，－2)∪(2，5)解析：选D 因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2，所以由f(x2－4)＜2得f(x2－4)<f(1)，所以0＜x2－4＜1，解得－5＜x＜－2或2＜x＜ 5.2．已知函数f(x)＝a x和函数g(x)＝b x都是指数函数，则“f(2)＞g(2)”是“a＞b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C 由于函数f(x)＝a x和函数g(x)＝b x都是指数函数，则a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，f(2)＞g(2)等价于a2＞b2，等价于a＞b，所以“f(2)＞g(2)”是“a＞b”的充要条件．故选C.3．如图所示，在棱长为5的正方体ABCD­A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝2，点Q是A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则四面体PQEF的体积( )A．是变量且有最大值B．是变量且有最小值C．是变量有最大值和最小值D．是常量解析：选D 点Q到棱AB的距离为常数，所以△EFQ的面积为定值．由C1D1∥EF，可得棱C1D1∥平面EFQ，所以点P到平面EFQ的距离是常数．于是四面体PQEF的体积为常数．4．已知点P在直线x＋y＋5＝0上，点Q在抛物线y2＝2x上，则|PQ|的最小值为( )A.924B．2 2C.322D. 2解析：选A 设与直线x＋y＋5＝0平行且与抛物线y2＝2x相切的直线方程是x＋y＋m＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋m ＝0，y 2＝2x 消去x 得y 2＋2y ＋2m ＝0，令Δ＝4－8m ＝0，得m ＝12，因此|PQ |的最小值为直线x ＋y ＋5＝0与直线x ＋y ＋12＝0之间的距离，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－122＝924.5．在平面直角坐标系中，若与点A (1,1)的距离为1，且与点B (2，m )的距离为2的直线l 恰有两条，则实数m 的取值范围是( )A ．[1－22，1＋22]B ．(1－22，1＋22)C ．[1－22，1)∪(1,1＋22]D ．(1－22，1)∪(1,1＋22)解析：选D 由题意可得，以点A (1,1)为圆心、1为半径的圆与以点B (2，m )为圆心、2为半径的圆相交，则1＜1＋(m －1)2＜9，得1－22＜m ＜1＋2 2 且m ≠1.6．若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，4] C ．(0，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：选B 2x ln x ≥－x 2＋ax －3恒成立，即a ≤2ln x ＋x ＋3x恒成立．设h (x )＝2ln x＋x ＋3x，则h ′(x )＝x ＋x －x2(x ＞0)．当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4.所以a ≤h (x )min ＝4.二、填空题7．已知f (x )是定义域为实数集R 的偶函数，对任意的x 1≥0，x 2≥0，若x 1≠x 2，则f x 2－f x 1x 2－x 1＜0.如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝34，4f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 18x ＞3，那么x 的取值范围为________．解析：依题意得，函数f (x )在[0，＋∞)上是减函数，又f (x )是定义域为实数集R 的偶函数，所以函数f (x )在(－∞，0)上是增函数，则4f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 18x ＞3等价于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 18x ＞34，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 18x ＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 18x ＜13，解得12＜x ＜2.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，28．已知tan(α＋β)＝1，tan(α－β)＝2，则sin 2αcos 2β＝________.解析：sin 2αcos 2β＝α＋β＋α－βα＋β－α－β＝α＋βα－β＋α＋βα－βα＋βα－β＋α＋βα－β＝α＋β＋α－β1＋α＋βα－β＝1.答案：19．(2015·西城期末)已知命题p ：∃x 0∈R ，ax 20＋x 0＋12≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：因为命题p 是假命题，所以綈p 为真命题，即∀x ∈R ，ax 2＋x ＋12＞0恒成立．当a ＝0时，x ＞－12，不满足题意；当a ≠0时，要使不等式恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1－4×12×a ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0a ＞12，所以a ＞12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞10．若椭圆C 的方程为x 25＋y 2m＝1，焦点在x 轴上，与直线y ＝kx ＋1总有公共点，那么m的取值范围为________．解析：由椭圆C 的方程及焦点在x 轴上，知0＜m ＜5. 又直线y ＝kx ＋1与椭圆总有公共点，直线恒过点(0,1)， 则定点(0,1)必在椭圆内部或边界上． 则025＋12m ≤1，即m ≥1. 故m 的取值范围为[1,5)． 答案：[1,5) 三、解答题11．(2015·潍坊二检)设奇函数f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (－1)＝－1，若函数f (x )≤t 2－2at ＋1(其中t ≠0)对所有的x ∈[－1,1]都成立，当a ∈[－1,1]时，求t 的取值范围．解：因为奇函数f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (－1)＝－1，所以最大值为f (1)＝1，要使f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，则1≤t 2－2at ＋1，即t 2－2at ≥0.令g (a )＝－2ta ＋t 2，可知⎩⎪⎨⎪⎧g －，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧2t ＋t 2≥0，－2t ＋t 2≥0，解得t ≥2或t ≤－2.故t 的取值范围为(－∞，－2]∪[2，＋∞)12．设P 是双曲线x 23－y 2＝1右支上的一个动点，F 是双曲线的右焦点，已知A 点的坐标是(3,1)，求|PA |＋|PF |的最小值．解：设F ′为双曲线的左焦点， 则|PF ′|－|PF |＝23， |PF |＝|PF ′|－23，∴|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PF ′|－23，原问题转化成了求|PA |＋|PF ′|的最小值问题，(如图)(|PA |＋|PF ′|)min ＝|AF ′|＝26.∴(|PA |＋|PF |)min ＝(|PA ＋|PF ′|)min －2 3 ＝26－2 3.数学思想专项训练(三) 分类讨论思想一、选择题1．已知集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |－a ＜x ≤a ＋3}．若B ∩A ＝B ，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，－1 B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32C.(]－∞，－1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞解析：选C 因为B ∩A ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，满足B ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，即a ≤－32；②当B ≠∅时，要使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＜a ＋3，－a ≥1，a ＋3＜5，解得－32＜a ≤－1.由①②可知，a 的取值范围为(－∞，－1]．2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c x，x ＞，若f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，则方程f (x )＝x 的解集为( )A.{}－2B.{}2C.{}－2，2D.{}－2，1，2解析：选 C 当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c ，因为f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，则⎩⎪⎨⎪⎧－2－2b ＋c ＝c ，－2－b ＋c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝－2，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －x ，x ＞当x ≤0时，由f (x )＝x ，得x 2＋2x －2＝x ，解得x＝－2或x ＝1(舍去)．当x ＞0时，由f (x )＝x ，得x ＝2.所以方程f (x )＝x 的解集为{－2,2}．3.(2015·成都一诊)如图，函数y ＝f (x )的图象为折线ABC ，设g (x )＝f [f (x )]，则函数y ＝g (x )的图象为( )解析：选A 由题意可知函数f (x )为偶函数，由A (－1，－1)，B (0,1)，C (1，－1)可知，直线BC 的方程为y ＝－2x ＋1，直线AB 的方程为y ＝2x ＋1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋x ，2x ＋－1≤x讨论x ≥0的情况，若0≤x ≤12，解得0≤f (x )≤1，则g (x )＝f [f (x )]＝－2(－2x ＋1)＋1＝4x －1；若12＜x ≤1，解得－1≤f (x )＜0，则g (x )＝f [f (x )]＝2(－2x ＋1)＋1＝－4x ＋3， 所以当x ∈[0,1]时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤12，－4x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜x ≤1，故选A.4．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋2，n 为奇数，－n ＋2，n 为偶数，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100的值为( )A ．100B ．－100C ．102D ．101解析：选A 当n 为奇数时，a n ＝(n ＋1)2－(n ＋2)2＝－(2n ＋3)；当n 为偶数时，a n ＝－(n ＋1)2＋(n ＋2)2＝2n ＋3，所以a n ＝(－1)n(2n ＋3)．所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝－5＋7－9＋11－…－201＋203＝50×2＝100.5．有标号分别为1,2,3的红色卡片3张，标号分别为1,2,3的蓝色卡片3张，现将全部的6张卡片放在两行三列的格内(如图)．若颜色相同的卡片在同一行，则不同的放法种数为( )A ．36 48 C ．72D ．64解析：选C 分两种情况，①第一行放红色卡片，有A 33·A 33＝36种放法；②第一行放蓝色卡片，有A 33·A 33＝36种放法，所以符合题意的放法共有72种．6．三棱柱底面内的一条直线与棱柱的另一底面的三边及三条侧棱所在的6条直线中，能构成异面直线的条数的集合是( )A ．{4,5}B ．{3,4,5}C ．{3,4,6}D ．{3,4,5,6}解析：选D 如图所示，当直线l 在图(1)、(2)、(3)、(4)中所示的位置时，与l 异面的直线分别有3条、4条、5条、6条，故能构成异面直线的条数的集合是{3,4,5,6}．二、填空题7．若函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为________． 解析：∵f ′(x )＝1＋a cos x ，∴要使函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上单调递增，则1＋a cosx ≥0对任意实数x 都成立．∵－1≤cos x ≤1，①当a ＞0时，－a ≤a cos x ≤a ，∴－a ≥－1，∴0＜a ≤1； ②当a ＝0时，显然成立；③当a ＜0时，a ≤a cos x ≤－a ，∴a ≥－1，∴－1≤a <0. 综上，－1≤a ≤1. 答案：[－1,1]8．已知在等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是_____________． 解析：因为a 2＝1，所以S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋q ＋1q ＝1＋q ＋1q，所以当公比q ＞0时，S 3＝1＋q ＋1q≥1＋2q ·1q ＝3；当公比q ＜0时，S 3＝1－⎝⎛⎭⎪⎫－q －1q ≤1－2－q⎝ ⎛⎭⎪⎫－1q ＝－1，所以S 3的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，－1]∪[3，＋∞)9．定义运算：a b ＝a2－b ，若关于x 的不等式xx ＋1－m )＞0的解集是[－3,3]的子集，则实数m 的取值范围是________．解析：由xx ＋1－m )＞0知，x 2－x ＋1－m＞0，即x (x －m －1)＜0.分类讨论得，当原不等式的解集为空集时，m ＋1＝0，即m ＝－1；当m ＋1＞0，即m ＞－1时，原不等式的解集(0，m ＋1)⊆[－3,3]，则m ＋1≤3，解得m ≤2，所以m ∈(－1,2]；当m ＋1＜0，即m ＜－1时，原不等式的解集(m ＋1,0)⊆[－3,3]，则m ＋1≥－3，解得m ≥－4，所以m ∈[－4，－1)．综上所述，实数m 的取值范围是[－4,2]．答案：[－4,2]10．已知函数f (x )＝4x 2－4ax ，x ∈[0,1]，关于x 的不等式|f (x )|＞1的解集为空集，则满足条件的实数a 的取值范围是________．解析：由题意知函数f (x )的对称轴为x ＝a2.①当a 2≤0，即a ≤0时，函数f (x )的取值范围为[0,4－4a ]，当4－4a ≤1，即a ≥34时，不等式|f (x )|＞1的解集为空集，a 不存在；②当a 2≥1，即a ≥2时，函数f (x )的取值范围为[4－4a,0]，当4－4a ≥－1，即a ≤54时，不等式|f (x )|＞1的解集为空集，a 不存在；③当0＜a 2≤12，即0＜a ≤1时，函数f (x )的取值范围为[－a 2,4－4a ]，当－a 2≥－1,4－4a ≤1，即34≤a ≤1时，不等式|f (x )|＞1的解集为空集，所以34≤a ≤1；④当12＜a 2＜1，即1＜a ＜2时，函数f (x )的取值范围为[－a 2,0]，当－a 2≥－1，即－1≤a ≤1时，不等式|f (x )|>1的解集为空集，a 不存在．综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 三、解答题11．在公差d ＜0的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |的值．解：由已知可得(2a 2＋2)2＝5a 1a 3，即4(a 1＋d ＋1)2＝5a 1(a 1＋2d )⇒(11＋d )2＝25(5＋d )⇒121＋22d ＋d 2＝125＋25d ⇒d 2－3d －4＝0⇒d ＝4(舍去)或d ＝－1，所以a n ＝11－n ，当1≤n ≤11时，a n ≥0，∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝n＋11－n2＝n－n2；当n ≥12时，a n ＜0，∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11－(a 12＋a 13＋…＋a n )＝2(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11)－(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )＝2×－2－n－n 2＝n 2－21n ＋2202.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧n －n 2，1≤n ≤11，n 2－21n ＋2202，n ≥12.12．(2015·唐山统一考试)已知函数f (x )＝exx e x ＋1.(1)证明：0＜f (x )≤1； (2)当x ＞0时，f (x )＞1ax ＋1，求a 的取值范围． 解：(1)证明：设g (x )＝x e x ＋1，则g ′(x )＝(x ＋1)e x. 当x ∈(－∞，－1)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减； 当x ∈(－1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增． 所以g (x )≥g (－1)＝1－e －1＞0. 又e x＞0，故f (x )＞0. f ′(x )＝ex－e xx e x ＋2.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． 所以f (x )≤f (0)＝1. 综上，有0＜f (x )≤1.(2)①若a ＝0，则x >0时，f (x )＜1＝1ax 2＋1，不等式不成立． ②若a ＜0，则当0＜x ＜1－a时，1ax 2＋1＞1，不等式不成立． ③若a ＞0， 则f (x )＞1ax 2＋1等价于(ax 2－x ＋1)e x－1＞0.(*) 设h (x )＝(ax 2－x ＋1)e x－1， 则h ′(x )＝x (ax ＋2a －1)e x.若a ≥12，则当x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，h (x )>h (0)＝0.若0<a <12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－2a a 时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，h (x )＜h (0)＝0.不等式不恒成立．于是，若a ＞0，不等式(*)成立当且仅当a ≥12.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.数学思想专项训练(四) 数形结合思想一、选择题1．已知函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，且f(x＋1)为奇函数，当x＞1时，f(x)＝2x2－12x＋16，则直线y＝2与函数f(x)的图象的所有交点的横坐标之和为( ) A．5 B．4C．2 D．1解析：选A 由于f(x＋1)为奇函数，其图象向右平移1个单位长度后得到f(x)的图象，因此函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，如图所示，由对称性可得x2＋x3＝6，易知x1＝－1，故x1＋x2＋x3＝5.故选A.2．(2015·揭阳一模)设点P是函数y＝－4－x－2的图象上的任意一点，点Q(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为( )A.855－2 B. 5C.5－2D.755－2解析：选C 如图所示，点P在半圆C(实线部分)上，且由题意知，C(1,0)，点Q在直线l：x－2y－6＝0上．过圆心C作直线l的垂线，垂足为A，则|CA|＝5，|PQ|min＝|CA|－2＝5－2.3．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )A．1 B．2C. 2D.22解析：选C 因为(a －c )·(b －c )＝0， 所以(a －c )⊥(b －c )．如图所示，设OC ＝c ，OA ＝a ，OB ＝b ，CA ＝a －c ，CB ＝b －c ， 即AC ⊥BC ，又OA ⊥OB ， 所以O ，A ，C ，B 四点共圆．当且仅当OC 为圆的直径时，|c |最大， 且最大值为 2.4．已知y ＝f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝－x 2＋2x ，则满足f (f (a ))＝12的实数a的个数为( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：选A 由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0，其图象如图所示，令t ＝f (a )，则t ≤1，令f (t )＝12，解得t ＝1－22或t ＝－1±22，即f (a )＝1－22或f (a )＝－1±22，由数形结合得，共有8个交点．故选A.5．若直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且仅有两个公共点，则实数b 的取值范围是( ) A ．(－2，2) B ．(－2，1] C ．(－2，－1]D ．(－2，－1)解析：选C 作出曲线x ＝1－y 2的图形，如图所示，由图形可得，当直线y ＝x ＋b 在直线a 和c 之间变化时，满足题意，同时，当直线在a 的位置时也满足题意，所以b 的取值范围是(－2，－1]．6．(2015·温州十校联考)已知点A ∈平面α，点B ，C 在α的同侧，AB ＝5，AC ＝22，AB 与α所成角的正弦值为0.8，AC 与α所成角的大小为45°，则BC 的取值范围是( )A ．[5，29 ]B ．[37，61 ]C ．[5，61 ]D ．[5，29 ]∪[37，61 ]解析：选A 作BB1⊥α于点B 1，CC 1⊥α于点C 1，当点A ，B 1，C 1不在一条直线上时，如图所示，在Rt△ABB 1中，∵AB ＝5，sin ∠BAB 1＝0.8，∴BB 1＝4，AB 1＝3，在Rt△ACC 1中，∵AC ＝22，∠CAC 1＝45°，∴AC 1＝CC 1＝2，过点C 作CD ⊥BB 1于点D ，则CD ＝B 1C 1.在△AB 1C 1中，∵AB 1＝3，AC 1＝2，∴B 1C 1∈(1,5)，∴CD ∈(1,5)，则BC ＝BD 2＋CD 2∈(5，29)．当B 1在AC 1的延长线上时，B 1C 1＝1，BC ＝5；当B 1在C 1A 的延长线上时，B 1C 1＝5，BC ＝29，∴BC ∈[5，29 ]．二、填空题7．已知函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x ＋1.设函数g (x )＝f (t －x )－f (x )的零点为x 0，且x 0∈[1,2]，则非零实数t 的取值范围是________．解析：由题意知只需函数y ＝f (x )与函数y ＝f (t －x )的图象的交点的横坐标x 0∈[1,2]即可，由于函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x ＋1，所以y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，而函数y ＝f (t －x )的图象可由函数y ＝f (x )的图象平移得到，数形结合得2≤t ≤4.答案：[2,4]8．(2015·合肥二模)设|AB |＝2，|AC |＝3，∠BAC ＝60°，CD ＝2BC ，AE ＝x AD ＋(1－x )AB ，x ∈[0,1]，则AE 在AC 上的投影的取值范围是________．解析：由AE ＝x AD ＋(1－x )AB ，x ∈[0,1]，可知B ，D ，E 三点共线，且E 点在线段BD 上，如图所示．因为E 点在线段BD 上，所以AE 在AC 上的投影d 的取值范围|AF |≤d ≤|AG |，而|AF |＝|AB |·cos60°＝2×12＝1，|CG |＝2|CF ―→|＝2·(3－1)＝4，|AG |＝|CG |＋|AC |＝4＋3＝7，所以d ∈[1,7]．答案：[1,7]9．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，以点O 为圆心，a为半径作圆M .若过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，0作圆M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为________． 解析：设切点为A ，如图所示，切线AP ，PB 互相垂直，又半径OA垂直于AP ，所以△OPA 为等腰直角三角形，可得2a ＝a 2c ，所以e ＝c a ＝22.答案：2210．已知函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[a ，b ]的值域为[－1,3]，则b －a 的取值范围是________．解析：作出函数f (x )＝x 2－2x 的图象如图所示，因为f (x )的值域为[－1,3]，所以①a ＝－1，b ∈[1,3]，此时b －a ∈[2,4]；②b ＝3，a ∈[－1,1]，此时b －a ∈[2,4]．综上所述，b －a 的取值范围是[2,4]．答案：[2,4] 三、解答题11．求y ＝1＋sin x 3＋cos x的值域．解：1＋sin x3＋cos x 可理解为点P (－cos x ，－sin x )与点C (3,1)连线的斜率，点P (－cos x ，－sin x )在单位圆上，如图所示．故t ＝1＋sin x 3＋cos x 满足k CA ≤t ≤k CB ，设过点C (3,1)的直线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由原点到直线的距离不大于半径1，得|1－3k |k 2＋1≤1，解得0≤k ≤34.从而值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34.12．某校高一(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下图．(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；(2)求分数在[80,90)之间的频率，并计算频率分布直方图中[80,90)间矩形的高；(3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90,100]之间的概率．解：(1)分数在[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，所以全班人数为20.08＝25.(2)分数在[80,90)之间的频数为25－22＝3；频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为325÷10＝0.012.(3)将[80,90)之间的3个分数编号为a1，a2，a3，[90,100]之间的2个分数编号为b1，b2，在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，共10个，其中，至少有一个在[90,100]之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是710＝0.7.多题一法专项训练(一) 配方法一、选择题1．在正项等比数列{a n}中，a1·a5＋2a3·a5＋a3·a7＝25，则a3＋a5为( ) A．5 B．25C．15 D．10解析：选A ∵a1a5＝a23，a3a7＝a25，∴a23＋2a3·a5＋a25＝25.即(a3＋a5)2＝25.又a n>0，∴a3＋a5＝5.2.已知菱形ABCD 的边长为233，∠ABC ＝60°，将菱形ABCD 沿对角线AC 折成如图所示的四面体，点M 为AC 的中点，∠BMD ＝60°，P 在线段DM 上，记DP ＝x ，PA ＋PB ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )解析：选D 由题意可知AM ＝12AB ＝33，BM ＝MD ＝1，∵DP ＝x ，∴MP ＝1－x ，在Rt △AMP中，PA ＝AM 2＋MP 2＝13＋－x2，在△BMP 中，由余弦定理得PB ＝BM 2＋MP 2－2BM ·MP cos 60°＝1＋－x 2－－x ＝x 2－x ＋1，∴y ＝PA ＋PB ＝13＋x －2＋x 2－x ＋1＝13＋x －2＋34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122(0≤x ≤1)，∵当0≤x ≤12时，函数y 单调递减，当x ≥1时，函数y 单调递增，∴对应的图象为D.3．定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0,1]时，f (x )＝x 2－x ，则当x ∈(－1,0]时，f (x )的值域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，0B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，－14D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 解析：选A 若x ∈(－1,0]，则x ＋1∈(0,1]，所以f (x ＋1)＝(x ＋1)2－(x ＋1)＝x 2＋x .又f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝12(x 2＋x )＝12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122－18，所以当x ＝－12时，f (x )min ＝－18；当x ＝0时，f (x )max ＝0.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，log 2x ，x ＞0，若对任意给定的y ∈(2，＋∞)，都存在唯一的x 0∈R ，满足f (f (x 0))＝2a 2y 2＋ay ，则正实数a 的最小值是( )A.14 B.12 C ．2D ．4解析：选A 当x ≤0时，f (x )＝2x，值域为(0,1]，所以f (f (x ))＝log 22x＝x ；当0＜x ≤1时，f (x )＝log 2x ，值域为(－∞，0]，所以f (f (x ))＝2log 2x ＝x ；当x ＞1时，f (x )＝log 2x ，值域为(0，＋∞)，所以f (f (x ))＝log 2 (log 2x )，故f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤1，log 22x ，x ＞1，当x ≤1时，f (f (x ))的值域为(－∞，1]；当x ＞1时，f (f (x ))的值域为R ，因为a ＞0，令g (y )＝2a 2y 2＋ay ＝2a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋14a 2－18，对称轴y ＝－14a ＜0＜2，所以g (y )在(2，＋∞)上是增函数，则g (y )在(2，＋∞)上的值域为(g (2)，＋∞)，即(8a 2＋2a ，＋∞)，则8a 2＋2a ≥1，解得a ≥14，所以正实数a 的最小值是14.故选A.5．数列{a n }中，如果存在a k ，使得a k ＞a k －1且a k ＞a k ＋1成立(其中k ≥2，k ∈N *)，则称a k为数列{a n }的峰值．若a n ＝－3n 2＋15n －18，则{a n }的峰值为( )A ．0B ．4 C.133D.163解析：选A 因为a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，且n ∈N *，所以当n ＝2或n ＝3时，a n 取最大值，最大值为a 2＝a 3＝0.故选A.6．已知sin 4α＋cos 4α＝1，则sin α＋cos α的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1D ．0解析：选C ∵sin 4α＋cos 4α＝1， ∴(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α＝1. ∴sin αcos α＝0.又(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1， ∴sin α＋cos α＝±1. 二、填空题7．(2015·合肥一模)若二次函数f (x )＝－x 2＋4x ＋t 图象的顶点在x 轴上，则t ＝________.解析：由于f (x )＝－x 2＋4x ＋t ＝－(x －2)2＋t ＋4图象的顶点在x 轴上，所以f (2)＝t ＋4＝0，故t ＝－4.答案：－48．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是________________．解析：由于对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，则f (x )的对称轴为x ＝1，所以a ＝2，f (x )＝－x 2＋2x ＋b 2－b ＋1＝－(x －1)2＋b 2－b ＋2，则f (x )在区间[－1,1]上单调递增，当x ∈[－1,1]时，要使f (x )＞0恒成立，只需f (－1)＞0，即b 2－b －2＞0，则b ＜－1或b ＞2.答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)9．在等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－12，用T n 表示它的前n 项之积，即T n ＝a 1·a 2·…·a n ，则T 1，T 2，…，T n 中最大的是________．解析：由题意知a n ＝a 1q n －1＝29·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·210－n，所以T n ＝a 1·a 2·…·a n ＝(－1)0＋1＋2＋…＋(n －1)·29＋8＋…＋(10－n )＝(－1)n n －2·2－n n2，因为－n n2＝－12(n 2－19n )＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1922＋1928，n ∈N *，所以当n ＝9或10时，－nn2取得最大值，要使T n 最大，则需(－1)n n －2＞0，所以n ＝9时，T n 最大．答案：T 910．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上取一点P ，使AP ·BP 有最小值，则P 点的坐标是________．解析：设P 点坐标为(x,0)，则AP ＝(x －2，－2)，BP ＝(x －4，－1)． AP ·BP ＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1. 当x ＝3时，AP ·BP 有最小值1. ∴此时点P 坐标为(3,0)． 答案：(3,0) 三、解答题11.过点P (－2,1)作两条斜率互为相反数的直线，分别与抛物线x2＝4y 交于A ，B 两点，若直线AB 与圆C ：x 2＋(y －1)2＝1交于不同两点M ，N ，求|MN |的最大值．解：设直线PA 的斜率为k ，A (x A ，y A )，则直线PA 的方程为y －1＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y －1＝k x ＋得x 2－4kx －8k －4＝0，所以x A －2＝4k ，则x A ＝4k ＋2，所以点A (4k ＋2，(2k ＋1)2)，同理可得B (－4k ＋2，(－2k ＋1)2)，所以直线AB 的斜率k AB ＝k ＋2－－2k ＋24k ＋2－－4k ＋＝1，设直线AB 的方程为y ＝x ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y －2＝1，y ＝x ＋b 得2x 2＋2(b －1)x ＋b 2－2b ＝0，由于AB 与圆C 交于不同的两点，所以Δ＞0，即1－2＜b ＜2＋1.则|MN |＝2·b －2－b 2－2b＝2·－b 2＋2b ＋1＝2·－b －2＋2≤2，故|MN |的最大值是2.12．(2015·湖北三校联考)已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(sin B,1－cos B )与向量n ＝(2,0)的夹角θ的余弦值为12.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的范围．解：(1)∵m ＝(sin B,1－cos B )，n ＝(2,0)， ∴m·n ＝2sin B ， 又|m |＝sin 2B ＋1－cos B2＝2－2cos B＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin B 2，∵0＜B ＜π，∴0＜B 2＜π2，∴sin B 2＞0，∴|m |＝2sin B2.而|n |＝2， ∴cos θ＝m ·n |m||n|＝2sin B 4sinB 2＝cos B 2＝12，∴B 2＝π3，∴B ＝2π3. (2)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac≥(a ＋c )2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝34(a ＋c )2，当且仅当a ＝c 时取等号，∴(a ＋c )2≤4，a ＋c ≤2，又a ＋c ＞b ＝3， ∴a ＋c ∈(3，2]．多题一法专项训练(二) 换元法一、选择题1．若f (ln x )＝3x ＋4，则f (x )的表达式为( ) A ．f (x )＝3ln x B ．f (x )＝3ln x ＋4 C ．f (x )＝3e xD ．f (x )＝3e x＋4解析：选D 令ln x ＝t ，则x ＝e t，故f (t )＝3e t＋4， 得f (x )＝3e x＋4，故选D.2．函数y ＝sin x cos x ＋sin x ＋cos x 的最大值为( ) A.12＋ 2 B.2－12C ．2 2D.22解析：选A 令t ＝sin x ＋cos x ，t ∈[－2，2]， 则y ＝12t 2＋t －12＝12(t ＋1)2－1，t ＝2时，y max ＝12＋ 2.3．已知函数f (x )＝4x－2xt ＋t ＋1在区间(0，＋∞)上的图象恒在x 轴上方，则实数t 的取值范围是( )A ．(2＋22，＋∞)B ．(－∞，2＋22)C ．(0,2＋22)D ．(2＋22，8)解析：选B 令m ＝2x (m >1)，则问题转化为函数f (m )＝m 2－mt ＋t ＋1在区间(1，＋∞)上的图象恒在x 轴的上方，即Δ＝t 2－4(t ＋1)<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，t2<1，1－t ＋t ＋1>0，解得t <2＋2 2.即实数t 的取值范围是(－∞，2＋22)．4．函数y ＝3x ＋2－42－x 的最小值为( )A ．－8B ．8C ．－10D ．10解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，2－x ≥0，解得－2≤x ≤2，所以函数的定义域为[－2,2]．因为(x ＋2)2＋(2－x )2＝4， 故可设⎩⎨⎧x ＋2＝2sin θ，2－x ＝2cos θ，⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2则y ＝3×2sin θ－4×2cos θ＝6sin θ－8cos θ＝10sin(θ－φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos φ＝35，sin φ＝45.因为θ∈0，π2，所以θ－φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－φ，π2－φ.所以当θ＝0时，函数取得最小值10sin(－φ)＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－8.5．(2015·天津六校联考)对于函数f (x )＝4x－m ·2x ＋1，若存在实数x 0，使得f (－x 0)＝－f (x 0)成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)解析：选B 若存在实数x 0，使得f (－x 0)＝－f (x 0)成立，即4－x 0－m ·2－x 0＋1＝－4x 0＋m ·2x 0＋1，所以14x 0＋4x 0＝2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＋2x 0，令t ＝2x 0(t ＞0)，则1t ＋t 2＝2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋t ，令λ＝1t ＋t (λ≥2)，所以2m ＝λ－2λ，令g (λ)＝λ－2λ(λ≥2)，易知g (λ)在区间[2，＋∞)上单调递增，所以2m ≥2－22＝1，故m ≥12.故选B.6．已知向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2α)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m2＋sin α，其中λ，m ，α为实数．若a ＝2b ，则λm的取值范围是( )A ．[－6,1]B ．[4,8]C ．(－6,1]D ．[－1,6]解析：选A 由题知，2b ＝(2m ，m ＋2sin α)，所以λ＋2＝2m ，且λ2－cos 2α＝m ＋2sin α，于是2λ2－2cos 2α＝λ＋2＋4sin α，即2λ2－λ＝－2sin 2α＋4sin α＋4＝－2(sin α－1)2＋6，故－2≤2λ2－λ≤6，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ2－λ≤6，2λ2－λ≥－2，解得－32≤λ≤2，则λm ＝λλ2＋1＝2－4λ＋2∈[－6,1]．选A. 二、填空题7．已知不等式x >ax ＋32的解集是(4，b )，则a ＝________，b ＝________.解析：令x ＝t ，则t >at 2＋32，即at 2－t ＋32<0.其解集为(2，b )，故⎩⎪⎨⎪⎧2＋b ＝1a ，2·b ＝32a.解得a ＝18，b ＝36.答案：18368．(2015·苏锡常镇二调)已知a 为正的常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x 2a对一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值为________．解析：原不等式即x 2a ≥1＋x 2－1＋x (*)，令1＋x ＝t ，t ≥1，则x ＝t 2－1，所以(*)即t 2－2a≥1＋t 2－12－t ＝t 2－2t ＋12＝t －22对t ≥1恒成立，所以t ＋2a≥12对t ≥1恒成立，又a 为正的常数，所以a ≤[2(t ＋1)2]min ＝8，故a 的最大值是8.答案：89．若实数a ，b ，c 满足2a＋2b＝2a ＋b,2a＋2b ＋2c ＝2a ＋b ＋c，则c 的最大值是________．解析：由基本不等式得，2a＋2b ≥22a·2b＝2×2a ＋b2，即2a ＋b≥2×2a ＋b2，所以2a ＋b≥4.令t ＝2a ＋b，由2a ＋2b ＝2a ＋b，2a ＋2b ＋2c ＝2a ＋b ＋c可得，2a ＋b＋2c＝2a ＋b 2c，所以2c＝tt －1＝1＋1t －1，由t ≥4得，1＜tt －1≤43，即1＜2c≤43，所以0＜c ≤log 243＝2－log 23，所以c 的最大值是2－log 23.答案：2－log 2310.如图，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD ，它的下底AB 为圆O的直径，上底CD 的端点在圆周上，若双曲线以A ，B 为焦点，且过C ，D两点，则当梯形ABCD 的周长最大时，双曲线的实轴长为________．解析：连接OD ，DB ，作DH ⊥AB ，设∠AOD ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则CD ＝4cos θ，在△AOD中，由余弦定理可得AD ＝8－8cos θ，所以梯形的周长为l ＝28－8cos θ＋4cos θ＋4＝42·1－cos θ＋4cos θ＋4，令1－cos θ＝t ∈(0,1)，则cos θ＝1－t 2，l ＝42t ＋4(1－t 2)＋4＝4(－t 2＋2t ＋2)，当t ＝22，即cos θ＝12时周长取得最大值，此时AD ＝2，DB ＝23，所以实轴长为DB －DA ＝23－2.答案：23－2 三、解答题11．已知函数y ＝－sin 2x ＋a sin x －a 4＋12的最大值为2，求a 的值．解：令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，所以y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋14(a 2－a ＋2)，对称轴为t ＝a 2.(1)当－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2时，y max ＝14(a 2－a ＋2)＝2，得a ＝－2或a ＝3(舍去)．(2)当a 2>1，即a >2时，函数y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋14(a 2－a ＋2)在[－1,1]上单调递增，所以由y max ＝－1＋a －14a ＋12＝2，得a ＝103.(3)当a 2<－1，即a <－2时，函数y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋14(a 2－a ＋2)在[－1,1]上单调递减，所以由y max ＝－1－a －14a ＋12＝2，得a ＝－2(舍去)．综上，可得a ＝－2或a ＝103.12．(2015·济南期末)已知函数f (x )＝4x＋m2是R 上的奇函数．(1)求m 的值； (2)设g (x )＝2x ＋1－a .若函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点．求实数a 的取值范围．解：(1)由函数f (x )是R 上的奇函数可知，f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1. (2)函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点． 即方程4x－12x ＝2x ＋1－a 至少有一个实根，方程4x－a ·2x＋1＝0至少有一个实根．令t ＝2x ＞0，则方程t 2－at ＋1＝0至少有一个正根． 令h (t )＝t 2－at ＋1，由于h (0)＝1＞0， 所以只需⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，a2＞0，解得a ≥2.所以实数a 的取值范围为[2，＋∞)．多题一法专项训练(三) 待定系数法一、选择题1．(2014·山东高考)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为 π6，则实数m ＝( )A ．2 3 B. 3 C ．0D ．－ 3解析：选B 根据平面向量的夹角公式可得1×3＋3m 2×9＋m 2＝32，即3＋3m ＝3×9＋m 2，两边平方并化简得63m ＝18，解得m ＝3，经检验符合题意.2．在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝8，a 4＝7，则a 5＝( ) A ．11 B ．10 C ．7D ．3解析：选B 设数列{a n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋4d ＝8，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3，所以a 5＝－2＋4×3＝10.故选B.3．如果函数f (x )＝log a x (a ＞1)在区间[a,2a ]上的最大值是最小值的3倍，那么实数a 的值为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3解析：选A ∵a ＞1，∴函数f (x )在[a,2a ]上单调递增． ∴log a 2a ＝3log a a . ∴a 3＝2a . ∴a ＝ 2.4．(2014·浙江高考)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8解析：选B 圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，圆心C (－1,1)，半径r 满足r 2＝2－a ，则圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离 d ＝21＋1＝2，所以r 2＝4＋2＝2－a ⇒a ＝－4.5.(2015·大同调研)函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ＞0，φ∈R )的部分图象如图所示，则f (0)＝( )A ．1B ．－1 C.12D ．－12解析：选B 由题图可知，A ＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2，所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝1，所以2π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，φ＝－π6＋2k π(k ∈Z )，所以f (0)＝2sin φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋2k π＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1.6．(2014·北京高考)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第六章不等式、推理与证明第一节不等关系与不等式对应学生用书P801．实数大小顺序与运算性质之间的关系a－b＞0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a<b.21．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a≤b，b<c⇒a<c.2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有a>b⇒ac2>bc2；若无c≠0这个条件，a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．[试一试]1．设a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式成立的有________．(填写序号)①ac>bc ②1 a < 1 b③a2>b2 ④a3>b3 解析：由性质知④对． 答案：④2.12－1________3＋1(填“>”或“<”)．解析：12－1＝2＋1＜3＋1.答案：<1．不等式的倒数性质 (1)a>b ，ab>0⇒1a <1b ；(2)a<0<b ⇒1a <1b ；(3)a>b>0,0<c<d ⇒a c >bd ；(4)0<a<x<b 或a<x<b<0⇒1b <1x <1a .2．不等式的分数性质 (1)真分数的性质： b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m>0)； (2)假分数的性质： a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m (b －m>0)． [练一练]若0<a<b ，c>0，则b ＋c a ＋c 与a ＋cb ＋c 的大小关系为________．答案：b ＋c a ＋c >a ＋c b ＋c对应学生用书P81的大小1.已知a1，a2∈(0,1)，记M ＝a1a2，N ＝a1＋a2－1，则M 与N 的大小关系是________． 解析：M －N ＝a1a2－(a1＋a2－1) ＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)， 又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)， ∴a1－1<0，a2－1<0.∴(a1－1)(a2－1)>0，即M －N>0.∴M>N. 答案：M>N2．若实数a≠1，比较a ＋2与31－a 的大小．解：a ＋2－31－a ＝－a2－a －11－a ＝a2＋a ＋1a －1∴当a>1时，a ＋2>31－a ；当a<1时，a ＋2<31－a.[备课札记] [类题通法]比较大小的常用方法 (1)作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法：一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论． (3)特值法：若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．注意：用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论．[典例] (1)“a＋c>d”的________条件．(2)若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋bc ＜0；③a －c ＞b －d ；④a·(d－c)＞b(d －c)中成立的个数是________．[解析] (1)由“a＋c>b ＋d”不能得知“a>b 且c>d”，反过来，由“a>b 且c>d”可得知“a ＋c>b ＋d”，因此“a＋c>b ＋d”是“a>b 且c>d”的必要不充分条件． (2)法一：∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0， ∴ad ＜bc ，故①错误．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0， ∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0， ∴a(－c)＞(－b)(－d)，∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd ＜0，故②正确．∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c)＞b ＋(－d)，a －c ＞b －d ，故③正确．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a(d －c)＞b(d －c)， 故④正确．法二：取特殊值．[答案] (1)必要不充分 (2)3[备课札记] [类题通法]判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：(1)不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；(2)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变； (3)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等． [针对训练]若a>b>0，则下列不等式不成立的是________．(填写序号) ①1a <1b ②|a|>|b| ③a ＋b<2ab④⎝ ⎛⎭⎪⎫12a<⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 解析：∵a>b>0，∴1a <1b ，且|a|>|b|，a ＋b>2ab ，又2a>2b ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12a<⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ，填③. 答案：③不等式性质的应用[典例] 已知函数f(x)＝ax2＋bx ，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围．[解] f(－1)＝a －b ，f(1)＝a ＋b. f(－2)＝4a －2b.设m(a ＋b)＋n(a －b)＝4a －2b.则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.∴f(－2)＝(a ＋b)＋3(a －b)＝f(1)＋3f(－1)．∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴5≤f(－2)≤10.即f(－2)的取值范围为[5,10]．[备课札记]解：由本例知f(－2)＝f(1)＋3f(－1)．又∵1<f(－1)≤2,2≤f(1)<4， ∴5<3f(－1)＋f(1)<10， 故5<f(－2)<10.故f(－2)的取值范围为(5,10)． [类题通法]利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．[针对训练]若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β ≤1，1≤α＋2β ≤3，试求α＋3β的取值范围．解：设α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x ＋y)α＋(x ＋2y)β.则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6，两式相加，得1≤α＋3β≤7. ∴α＋3β的取值范围为[1,7]． 对应学生用书P82[课堂练通考点]1．“1≤x≤4”是“1≤x2≤16”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．解析：由1≤x≤4可得1≤x2≤16，但由1≤x2≤16可得1≤x≤4或－4≤x≤－1，所以“1≤x≤4”是“1≤x2≤16”的充分不必要条件． 答案：充分不必要2．若a<b<0，则下列不等式一定成立的是________(填序号)． ①1a －b >1b②a2<ab ③|b||a|<|b|＋1|a|＋1④an>bn 解析：取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验选项可知，仅③成立． 答案：③3．在所给的四个条件：①b>0>a ；②0>a>b ；③a>0>b ；④a>b>0中，能推出1a <1b 成立的有________个．解析：1a <1b 成立，即b －a ab<0成立，逐个验证可得，①②④满足题意．答案：34．设a ，b 是非零实数，若a<b ，则下列不等式成立的是________(填写序号)．①a2<b2 ②ab2<a2b ③1ab2<1a2b ④b a <a b解析：当a<0时，a2<b2不一定成立，故①错．因为ab2－a2b ＝ab(b －a)，b －a>0，ab 符号不确定， 所以ab2与a2b 的大小不能确定，故②错． 因为1ab2－1a2b ＝a －b a2b2<0，所以1ab2<1a2b ，故③正确．④中b a 与ab的大小不能确定．答案：③5．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题：①若a>b ，则ac2>bc2；②若ac2>bc2，则a>b ； ③若a>b ，则a·2c>b·2c.其中正确的是__________(填写序号)．解析：①若c ＝0则命题不成立．②正确．③中由2c>0知成立． 答案：②③6．已知a ＋b ＞0，则a b2＋b a2与1a ＋1b 的大小关系是________．解析：a b2＋b a2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b2＋b －a a2＝(a －b)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b2－1a2＝＋－a2b2.∵a ＋b ＞0，(a －b)2≥0， ∴＋－a2b2≥0.∴a b2＋b a2≥1a ＋1b . 答案：a b2＋b a2≥1a ＋1b[课下提升考能] 第Ⅰ组：全员必做题1．若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是________(填写序号)． ①－n ＜m ＜n ＜－m ②－n ＜m ＜－m ＜n ③m ＜－n ＜－m ＜n ④m ＜－n ＜n ＜－m解析：法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可．法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立． 答案：④2．已知x>y>z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中成立的是________(填写序号)． ①xy>yz ②xz>yz ③xy>xz ④x|y|>z|y|解析：因为x>y>z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x>x ＋y ＋z ＝0， 3z<x ＋y ＋z ＝0，所以x>0，z<0.所以由⎩⎪⎨⎪⎧x>0，y>z ，可得xy>xz.答案：③3．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是________．解析：由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3<π.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π 4．若1a <1b <0，则下列结论不正确的是________(填写序号)．①a2<b2 ②ab<b2③a ＋b<0 ④|a|＋|b|>|a ＋b| 解析：∵1a <1b<0，∴0>a>b.∴a2<b2，ab<b2，a ＋b<0，|a|＋|b|＝|a ＋b|. 答案：④5．已知1a <1b <0，给出下面四个不等式：①|a|>|b|；②a<b ；③a ＋b<ab ；④a3>b3. 其中不正确的不等式有________个．解析：由1a <1b <0可得b<a<0，从而|a|<|b|，①不正确；a>b ，②不正确；a ＋b<0，ab>0，则a＋b<ab 成立，③正确；a3>b3，④正确．故不正确的不等式的个数为2. 答案：2 6．(2014·扬州期末)若a1<a2，b1<b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是________． 解析：作差可得(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)(b1－b2)， ∵a1<a2，b1<b2，∴(a1－a2)(b1－b2)>0， 即a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1. 答案：a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b17．若1＜α＜3，－4＜β ＜2，则α－|β|的取值范围是________． 解析：∵－4＜β ＜2，∴0≤|β|＜4.∴－4＜－|β|≤0. ∴－3＜α－|β|＜3. 答案：(－3,3)8．已知存在实数a 满足ab2>a>ab ，则实数b 的取值范围是________． 解析：∵ab2>a>ab ，∴a≠0， 当a>0，b2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b2>1，b<1，解得b<－1；当a<0时，b2<1<b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b2<1，b>1无解．综上可得b<－1. 答案：(－∞，－1)9．若a>b>0，c<d<0，e<0.求证：e －>e －.证明：∵c<d<0，∴－c>－d>0. 又∵a>b>0，∴a －c>b －d>0. ∴(a －c)2>(b －d)2>0. ∴0<1－<1－. 又∵e<0，∴e －>e －. 10．某企业去年年底给全部的800名员工共发放2 000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增a 人． (1)若a ＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？(2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？ 解：(1)设从今年起的第x 年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y 万元． 则y ＝2 000＋60x 800＋ax (a ∈N*,1≤x≤10)．假设会超过3万元，则2 000＋60x800＋10x ＞3，解得x ＞403＞10.所以，10年内该企业的人均年终奖不会超过3万元． (2)设1≤x1＜x2≤10，则f(x2)－f(x1)＝2 000＋60x2800＋ax2－2 000＋60x1800＋ax1＝－－＋＋＞0，所以60×800－2 000a ＞0，得a ＜24.所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过23人． 第Ⅱ组：重点选做题 1．设a>1，且m ＝loga(a2＋1)，n ＝loga(a －1)，p ＝loga(2a)，则m ，n ，p 的大小关系为________． 解析：因为a>1，所以a2＋1－2a ＝(a －1)2>0，即a2＋1>2a ，又2a>a －1，所以由对数函数的单调性可知loga(a2＋1)>loga(2a)>loga(a －1)，即m>p>n. 答案：m>p>n2．(2014·北京西城区期末)已知a>b>0，给出下列四个不等式：①a2>b2；②2a>2b －1；③a －b>a －b ；④a3＋b3>2a2b.其中一定成立的不等式是________．(填写序号)解析：由a>b>0可得a2>b2，①正确；由a>b>0可得a>b －1，而函数f(x)＝2x 在R 上是增函数，∴2a>2b －1，②正确；∵a>b>0，∴a>b ，∴(a －b)2－(a －b)2＝2ab －2b ＝2b (a －b)>0，∴a －b>a －b ，③正确；若a ＝3，b ＝2，则a3＋b3＝35,2a2b ＝36，a3＋b3<2a2b ，④错误． 答案：①②③第二节一元二次不等式及其解法对应学生用书P821．二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．2．当Δ<0时，易混ax2＋bx ＋c>0(a>0)的解集为R 还是∅. [试一试] 1．(2013·苏中三市、宿迁调研)设集合A ＝{x|x2－2x －3≤0}，B ＝{x|x2－5x≥0}，则A∩(∁RB)＝________.解析：集合A ＝[－1,3]，B ＝(－∞，0]∪[5，＋∞)．从而∁RB ＝(0,5)，则A∩(∁RB)＝(0,3]． 答案：(0,3]2．不等式ax2＋bx ＋2>0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a ＋b 的值是________． 解析：由题意知－12、13是ax2＋bx ＋2＝0的两根．则a ＝－12，b ＝－2.a ＋b ＝－14. 答案：－143．不等式x2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵不等式x2＋ax ＋4<0的解集不是空集， ∴Δ＝a2－4×4>0，即a2>16. ∴a>4或a<－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)1．由二次函数图像与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论(1)不等式ax2＋bx ＋c>0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c>0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a>0，Δ<0.(2)不等式ax2＋bx ＋c<0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c<0，或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，Δ<0.2．分类讨论思想解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏． [练一练]若不等式mx2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是________． 解析：①当m ＝0时，1>0显然成立． ②当m≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m>0，Δ＝4m2－4m<0.得0<m<1，由①②知0≤m<1. 答案：[0,1) 对应学生用书P83一元二次不等式的解法[典例] (1)0＜x2－x －2≤4；(2)x2－4ax －5a2＞0(a≠0)． [解] (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x2－x －2＞0，x2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x2－x －2＞0，x2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－＋＞0，－＋⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x|－2≤x＜－1或2＜x≤3.(2)由x2－4ax －5a2＞0知(x －5a)(x ＋a)＞0. 由于a≠0故分a ＞0与a ＜0讨论．当a ＜0时，x ＜5a 或x ＞－a ； 当a ＞0时，x ＜－a 或x ＞5a.综上，a ＜0时，解集为{}x|x ＜5a 或x ＞－a ；a ＞0时，解集为{}x|x ＞5a 或x ＜－a . [备课札记] [类题通法]1．解一元二次不等式的一般步骤：(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)，ax2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集．2．解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类． [针对训练] 解下列不等式：(1)－3x2－2x ＋8≥0；(2)ax2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)．解：(1)原不等式可化为3x2＋2x －8≤0， 即(3x －4)(x ＋2)≤0. 解得－2 ≤x≤43，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2≤x≤43. (2)原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0，因为a ＞0，所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0.所以当a ＞1时，解为1a ＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅； 当0＜a ＜1时，解为1＜x ＜1a.综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＜x ＜1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a＜x ＜1.一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图像与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围.归纳起来常见的命题角度有：形如∈确定参数的范围； 形如，∈[a ，b ，确定参数范围； 形如参数m ∈[a ，确定x 的范围.角度一 形如f(x)≥0(x∈R)确定参数的范围1．(2013·重庆高考)设0≤α≤π，不等式8x2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________．解析：根据题意可得(8sin α)2－4×8cos 2α≤0，即2sin2α－cos 2α≤0，2sin2α－(1－2sin2 α)≤0，即－12≤sin α≤12.因为0≤α≤π，故α∈06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，56ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. 答案：06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，56ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 角度二 形如f(x)≥0，(x ∈[a ，b])，确定参数范围2．对任意x ∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，求a 的取值范围； 解：函数f(x)＝x2＋(a －4)x ＋4－2a 的对称轴为x ＝－a －42＝4－a 2.①当4－a2<－1，即a>6时，f(x)的值恒大于零等价于f(－1)＝1＋(a －4)×(－1)＋4－2a>0， 解得a<3，故有a ∈∅；②当－1≤4－a2≤1，即2≤a≤6时，只要f ⎝⎛⎭⎪⎫4－a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 22＋(a －4)×4－a 2＋4－2a>0，即a2<0，故有a ∈∅； ③当4－a2>1，即a<2时，只要f(1)＝1＋(a －4)＋4－2a>0， 即a<1，故有a<1.综上可知，当a<1时，对任意x ∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零． 角度三 形如f(x)≥0(参数m ∈[a ，b])确定x 的范围3．对任意a ∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，求x 的取值范围． 解：由f(x)＝x2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋x2－4x ＋4， 令g(a)＝(x －2)a ＋x2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g(a)的值恒大于零，则⎩⎪⎨⎪⎧－＝－－＋x2－4x ＋4>0，＝－＋x2－4x ＋4>0，解得x<1或x>3.故当x<1或x>3时，对任意的a ∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．[备课札记] [类题通法]恒成立问题及二次不等式恒成立的条件(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数． (2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方．一元二次不等式的应用[典例] 某小商品2013年的价格为8元/件，年销量是a 件．现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件．经测算，该商品价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k.该商品的成本价为3元/件．(1)写出该商品价格下降后，经销商的年收益y 与实际价格x 的函数关系式；(2)设k ＝2a ，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%?[解] (1)设该商品价格下降后为x 元/件， 则由题意可知年销量增加到⎝ ⎛⎭⎪⎫k x －4＋a 件，故经销商的年收益y ＝⎝⎛⎭⎪⎫k x －4＋a (x －3)，5.5≤x≤7.5.(2)当k ＝2a 时，依题意有⎝ ⎛⎭⎪⎫2a x －4＋a (x －3)≥(8－3)a×(1＋20%)，化简得x2－11x ＋30x －4≥0，解得x≥6或4<x≤5.又5.5≤x≤7.5，故6≤x≤7.5，即当实际价格最低定为6元/件时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%.[备课札记] [类题通法]构建不等式模型解决实际问题不等式的应用问题常常以函数为背景，多是解决实际生活、生产中的最优化问题等，解题时，要仔细审题，认清题目的条件以及要解决的问题，理清题目中各量之间的关系，建立恰当的不等式模型进行求解． [针对训练]某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f(x)，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围． 解：(1)由题意得y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价， 所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0.所以y ＝f(x)＝20(10－x)(50＋8x)，定义域为[0,2]． (2)由题意得20(10－x)(50＋8x)≥10 260， 化简得8x2－30x ＋13≤0. 解得12≤x≤134.所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.对应学生用书P84[课堂练通考点]1．(2012·江苏高考)已知函数f(x)＝x2＋ax ＋b(a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f(x)＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________． 解析：由题意知，因为函数f(x)的值域为[0，＋∞)，所以f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝4b －a24＝0，所以4b ＝a2，所以f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22，所以关于x 的不等式f(x)＜c 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2－c ，－a 2＋c ，即(m ，m ＋6)， 故⎩⎪⎨⎪⎧－a2－c ＝m ，－a2＋c ＝m ＋6，两式相减得c ＝3，所以c ＝9.答案：92．不等式4x －2x ＋2＞0的解集为________．解析：令2x ＝t ，则不等式变为t2－4t ＞0.由于t ＞0，故t ＞4，即2x ＞4，解得x ＞2.所以不等式的解集为(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞)3．(2013·南通三模)不等式x ＜2x －1的解集是________．解析：不等式等价于＋2－x＜0，由数轴标根法得x ＜－2或0＜x ＜1，从而不等式的解集为{x|x ＜－2或0＜x ＜1}． 答案：{x|x ＜－2或0＜x ＜1}4．(2013·苏州常镇二调)若关于x 的不等式mx2＋2x ＋4＞0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则实数m 的值为________．解析：由关于x 的不等式mx2＋2x ＋4＞0的解集为{x|－1＜x ＜2}，得－1,2为方程mx2＋2x ＋4＝0的两个实数根．得⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m －2＋4＝0，4m ＋4＋4＝0，所以m ＝－2.答案：－25．若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋1，x>0，－x ，x≤0，则不等式f(x)<4的解集是________．解析：不等式f(x)<4等价于⎩⎪⎨⎪⎧x>0，x2＋1<4，或⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，－x<4，即0<x<3或－4<x≤0.因此，不等式f(x)<4的解集是(－4，3)．答案：(－4，3)6．已知集合A ＝{x ∈R||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R|(x －m)·(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m ＝__________，n ＝________.解析：因为|x ＋2|<3，即－5<x<1，所以A ＝(－5,1)，又A∩B≠∅，所以m<1，B ＝(m,2)，由A∩B＝(－1，n)得m ＝－1，n ＝1. 答案：－1 1 [课下提升考能] 第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·苏州模拟)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋1，x≥0，1， x ＜0，则满足不等式f(1－x2)＞f(2x)的x 的取值范围是________．解析：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧1－x2＞2x ，1－x2＞0，解得－1＜x ＜－1＋ 2.答案：()－1，－1＋22．已知函数f(x)＝x|x ＋1|，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的解集是________．解析：原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋34＜34，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋34≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋34＜34，①或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋34＜0，－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋34＜34. ②解不等式组①得－34≤x＜34，解不等式组②得x ＜－34.综上所述，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，34. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－∞，343．(2014·南通期末)若存在实数x ，使得x2－4bx ＋3b ＜0成立，则b 的取值范围是________． 解析：本题是存在性命题，只要满足Δ＝16b2－12b ＞0即可，解得b ＜0或b ＞34.答案：(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞ 4．(2013·盐城二模)定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a≤b，b ，a ＞b ，则关于非零实数x 的不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ⊕4≥8⎝ ⎛⎭⎪⎫x ⊕1x 的解集为________． 解析：当x≤－1时，因为x ＋4x ＜0，x≤1x ，故原不等式可化为x ＋4x ≥8x ，在(－∞，－1]上恒成立；当－1＜x ＜0时，因为x ＋4x ＜0，x ＞1x ，故原不等式可化为x ＋4x ≥8x ，在(－1,0)上恒成立；当0＜x≤1时，因为x ＋4x ＞4，x ＜1x ，故原不等式可化为4≥8x，解得0＜x≤12；当x ＞1时，因为x ＋4x ≥4，x ＞1x ，故原不等式可化为4≥8x，解得x≥2.综上所述，原不等式的解集为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)． 答案：(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 5．(2013·南京、淮安二模)若关于x 的不等式(2ax －1)·ln x≥0 对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的值为________．解析：若x ＝1，则原不等式恒成立，此时a ∈R ；若x ＞1，则ln x ＞0，于是2ax －1≥0，即a≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12x max ，所以a≥12；若0＜x ＜1，则ln x ＜0，于是2ax －1≤0，即a≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x min ，所以a≤12.综上所述，a ＝12.答案：126．不等式|x(x －2)|>x(x －2)的解集是________．解析：不等式|x(x －2)|>x(x －2)的解集即x(x －2)<0的解集，解得0<x<2. 答案：{x|0<x<2}7．在R 上定义运算：x*y ＝x(1－y)．若不等式(x －y)*(x ＋y)<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是________．解析：由题意，知(x －y)*(x ＋y)＝(x －y)·[1－(x ＋y)]<1对一切实数x 恒成立，所以－x2＋x ＋y2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．故Δ＝12－4×(－1)×(y2－y －1)<0，所以4y2－4y －3<0，解得－12<y<32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 8．若关于x 的不等式4x －2x ＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________． 解析：∵不等式4x －2x ＋1－a≥0在[1,2]上恒成立， ∴4x －2x ＋1≥a 在[1,2]上恒成立．令y ＝4x －2x ＋1＝(2x)2－2×2x＋1－1＝(2x －1)2－1. ∵1≤x≤2，∴2≤2x≤4.由二次函数的性质可知：当2x ＝2， 即x ＝1时，y 取得最小值0，∴实数a 的取值范围为(－∞，0]． 答案：(－∞，0]9．设函数f(x)＝mx2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f(x)<0恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f(x)<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)要使mx2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0；若m≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m<0，Δ＝m2＋4m<0⇒－4<m<0.所以－4<m≤0.(2)要使f(x)<－m ＋5在[1,3]上恒成立，即 m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法：法一：令g(x)＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数， 所以g(x)max ＝g(3)⇒7m －6<0， 所以m<67，则0<m<67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，所以g(x)max ＝g(1)⇒m －6<0，所以m<6，所以m<0.综上所述：m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m<67. 法二：因为x2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m(x2－x ＋1)－6<0，所以m<6x2－x ＋1.因为函数y ＝6x2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m<67即可． 所以，m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m<67. 10．设二次函数f(x)＝ax2＋bx ＋c ，函数F(x)＝f(x)－x 的两个零点为m ，n(m ＜n)．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F(x)＞0的解集； (2)若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a ，比较f(x)与m 的大小．解：(1)由题意知，F(x)＝f(x)－x ＝a(x －m)(x －n)， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F(x)＞0， 即a(x ＋1)(x －2)＞0.那么当a ＞0时，不等式F(x)＞0的解集为{x|x ＜－1，或x ＞2}； 当a ＜0时，不等式F(x)＞0 的解集为{x|－1＜x ＜2}． (2)f(x)－m ＝a(x －m)(x －n)＋x －m ＝(x －m)(ax －an ＋1)， ∵a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，∴x －m ＜0,1－an ＋ax ＞0.∴f(x)－m ＜0，即f(x)＜m. 第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·连云港模拟)已知关于x 的不等式x2－ax ＋2a ＜0的解集为A ，若集合A 中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意可得：Δ＝a2－8a>0，得a<0或a>8. 当a<0时，对称轴x0＝a2<0，且f(0)＝2a<0.故A 中两个整数只能为－1,0.故f(－1)＝1＋3a<0，f(－2)＝4＋4a≥0， 得－1≤a<－13.当a>8时，x0＝a2>4，设A ＝(m ，n)．由于集合A 中恰有两个整数n －m≤3.即a2－8a ≤3，即a2－8a≤9. 得8<a≤9.故对称轴4<a2<5，又f(2)＝4>0，f(3)＝9－a≥0故A 中的两个整数为4和5. 故f(4)<0，f(5)<0，f(6)≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧25－3a<016－2a<036－4a≥0，解得253<a≤9.综上a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤253，9. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤253，92．(2013·江苏高考)已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x ，则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为________．解析：由于f(x)为R 上的奇函数，所以当x ＝0时，f(0)＝0；当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝x2＋4x ＝－f(x)，即f(x)＝－x2－4x ，所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－4x ，x>0，0，x ＝0，－x2－4x ，x<0.由f(x)>x ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x2－4x>x ，x>0或⎩⎪⎨⎪⎧－x2－4x>x ，x<0，解得x>5或－5<x<0，所以原不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)． 答案：(－5,0)∪(5，＋∞)3．(2013·苏锡常镇调研)已知a 为正的常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x2a 对一切非负实数x恒成立，则a 的最大值为________．解析：法一：设t ＝1＋x ≥1，则x ＝t2－1，原不等式可转化为t≥1＋t2－12－－a，即t －1≥t2－12－－a .又因为t ＞1，则该不等式可转化为1≥t ＋12－＋－a，即＋－a≥t －12，即＋a≥12对t ∈[1，＋∞)恒成立，所以4a ≥12，即a≤8，故a 的最大值为8.法二：当x ＝0时，a ＞0；当x ＞0时，1a ≥1＋x2－1＋x x2，所以1a ≥⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋x 2－1＋x x2max.又因为1＋x 2－1＋x x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x22－()1＋x 2x2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 2＋1＋x＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 2＋1＋x ＜14×2.所以1a ≥18，故a 的最大值为8.答案：84．(2014·泰州质检)设实数a≥1，使得不等式x|x －a|＋32≥a 对任意的实数x ∈[1,2]恒成立，则满足条件的实数a 的取值范围是________． 解析：(1)当1≤a≤32时，显然符合题意．(2)当a≥2时，原不等式可化为x(a －x)≥a－32.取x ＝1，成立．当x ∈(1,2]时，a≥x2－32x －1＝x ＋1－1－.而函数f(x)＝x ＋1－1－在(1,2]上单调递增，故a≥f(2)＝52.(3)当32＜a ＜2时，原不等式可化为①⎩⎪⎨⎪⎧1≤x≤a，－－32或②⎩⎪⎨⎪⎧a≤x≤2，－－32.参照(2)的过程解不等式组①得a≥a＋1－1－，解得1＜a≤32，矛盾，舍去；由不等式组②得a≤x2＋32x ＋1＝x －1＋5＋.同上可得－1≤a≤32，矛盾，舍去．综上所述，1≤a≤32或a≥52.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ 第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题对应学生用书P841．二元一次不等式(组)表示的平面区域21．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax ＋by ＋c>0(a>0)． 2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有． [试一试]1．如图所示的平面区域(阴影部分)满足的不等式是______．答案：x ＋y －1>02．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是________．解析：作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x －3y 过点C 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，∴zmin ＝2×3－3×4＝－6. 答案：－61．确定二元一次不等式表示平面区域的方法二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x0，y0)作为测试点来进行判定，满足不等式的则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一侧． 2．求二元一次函数z ＝ax ＋by(ab≠0)的最值的方法将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z的最值．(1)当b>0时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距zb 取最小值时，z 也取最小值；(2)当b<0时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距zb 取最小值时，z 取最大值．[练一练](2014·南京一模)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y≥0，x≤1，则z ＝2x ＋y 的最小值是________．解析：作出可行域，如图可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点(－1,1)时，z 取得最小值－1. 答案：－1对应学生用书P85表示平面区域1.由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≤3，y≥0，y≤x－1所确定的平面区域的面积等于________.解析：作出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分，可知其面积为2. 答案：22．(2014·苏锡常镇调研)在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≤x，0＜x≤3，y ＞1x所表示的平面区域内的所有格点(横、纵坐标均为整数的点称为格点)中任取3个点，则该3点恰能作为一个三角形的三个顶点的概率为________．解析：当x ＝1时，1＜y≤1，此时无解；当x ＝2时，12＜y≤2，此时y ＝1,2；当x ＝3时，13＜y≤3，此时y ＝1,2,3.所以在可行域中共有5个格点，从中任取3个点共计10种方法．若在直线x ＝2上取一点，则在直线x ＝3上三个点中取两个，此时有2×3＝6(种)；若在直线x ＝2上取两点，则直线x ＝3上三个点中取一个，此时有3种，故所求概率为910.答案：9103．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．解析：两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0， 又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0[备课札记] [类题通法]二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点．求目标函数的最值线性规则问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致.归纳起来常见的命题角度有：求线性目标函数的最值； 求非线性目标的最值； 求线性规划中的参数. 角度一 求线性目标函数的最值1．(1)(2014·徐州摸底)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥2，x －y≤2，0≤y≤3，则z ＝2x －y 的最大值是________．解析：在平面直角坐标系中作出满足条件的可行域，如图，即等腰直角三角形ABC ，其中A(5,3)，B(2,0)，C(－1,3)，过原点O 作直线l0：y ＝2x ，将l0平移至点A 时，可取最大值，即zmax ＝2×5－3＝7.答案：7(2)(2013·南京、盐城一模)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x≥0，y≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最大值为________．解析：画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)．由图可知，y ＝－23x ＋z3，过点(4,6)时，z 取得最大值，为26.答案：26角度二 求非线性目标的最值2．(1)(2014·苏北四市二调)在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤1，0≤y≤22y －x≥1下，－＋y2的最小值为________．解析：画出线性约束条件下的可行域(如图阴影部分)，所求的－＋y2的几何意义就是点(1,0)与阴影部分内的点之间的距离，其最小值为点(1,0)到直线x －2y ＋1＝0的距离，可求得－＋y2的最小值为|1－2×0＋1|12＋－＝255. 答案：255(2)(2014·南通一模)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则z ＝y x －xy的取值范围是________．解析：作出可行域(如图阴影部分)，则区域内的点与原点连线的斜率取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2.令t ＝y x ，则z ＝t －1t ，根据函数z ＝t －1t 在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上单调递增，得z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－83，32.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－83，32角度三 求线性规划中的参数3．(1)(2013·苏北三市调研)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥2x＋1，x ＋y ＋k≤0(k 为常数)，若目标函数z ＝2x ＋y 的最大值是113，则实数k ＝________.解析：由题意得当k ＜－1时满足题意，此时该不等式组表示的平面区域如图所示，平移直线2x ＋y ＝0经过点P 时，目标函数z ＝2x ＋y 取得最大值，是113，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，x ＋y ＋k ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－k ＋13，y ＝1－2k3，即点P ⎝⎛⎭⎪⎫－k ＋13，1－2k 3， 所以2⎝⎛⎭⎪⎫－k ＋13＋1－2k 3＝113，解得k ＝－3. 答案：－3(2)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋2y －8≤0，x≤3.若点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，52是使ax －y 取得最小值的唯一的可行解，则实数a 的取值范围为________．解析：记z ＝ax －y ，注意到当x ＝0时，y ＝－z ，即直线z ＝ax －y 在y 轴上的截距是－z.在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，满足题意的实数a 的取值范围为a<－12.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12 [备课札记][类题通法]1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有：(1)截距型：形如z ＝ax ＋by.求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a)2＋(y －b)2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a .线性规划的实际应用[典例] 某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为________元． [解析] 设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，则约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y≥900，y －x≤7，y ＋x≤21，x ，y ∈N ，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,12)时，有最小值zmin ＝36 800(元)． [答案] 36 800[备课札记] [类题通法]求解线性规划应用题的注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件中是否能够取到等号．(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式． [针对训练]某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是________元．解析：设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y≤12，2x ＋y≤12，x≥0，y≥0，z ＝300x ＋400y ，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点A(4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝300x ＋400y 取得最大值，最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800，即该公司可获得的最大利润是2 800元． 答案：2 800 对应学生用书P86[课堂练通考点]1．(2014·扬州期末)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，x ＋2y≥4，2x ＋y≤5，则z ＝2x －y 的最大值是________．解析：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，x ＋2y≥4，2x ＋y≤5，可以画出可行域如下图阴影部分所示，故当直线经过点A(2,1)时，目标函数z ＝2x －y 的最大值为3.答案：3。

相关文档
最新文档