2018-2019学年江西省南昌县莲塘第一中学高一上学期期末考试数学(理)试题 扫描版
南昌县莲塘第一中学2023届数学高一上期末调研模拟试题含解析
所以 ，所以 .
故答案为：
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（1） ；
（2）证明见解析
【解析】（1）根据已知写出二次项系数 后可得；；
（2）注意到 ，因此可以在不等式两边同乘以分母后化简不等式，然后比较可得（可作差或凑配证明）
C. D.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13． =______
14．若函数 在区间 上没有最值，则 的取值范围是______.
15．若函数 在 单调递增，则实数 的取值范围为________
16．已知幂函数 在其定义域上是增函数，则实数 ___________
故选：C
10、C
【解析】两圆公共弦的垂直平分线的方程即为两圆圆心所在直线的方程，求出两圆的圆心，从而可得答案.
【详解】解：AB的垂直平分线的方程即为两圆圆心所在直线的方程，
圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心为 ，
圆x2＋y2－6x＝0的圆心为 ，
则两圆圆心所在直线的方程为 ，即3x－y－9＝0.
故选：C.
21、（1）
（2）
【解析】（1）函数 的图象关于原点对称，所以 为奇函数，有 ，代入即可得出 的值；
（2） 时， 恒成立转化为即 ，令 ，求 在 的最大值即可.
【小问1详解】
函数 的图象关于原点对称，则函数 为奇函数，有 ，
即 ，解得 ，当 时，不满足题意，所以 ；
【小问2详解】
由 ，得 ，即 ，
令 ，易知 在 上单调递减，
8、A
【解析】 ，所以 ，选A.
9、C
2022-2023学年江西省南昌市南昌县莲塘第一中学高一上数学期末检测试题含解析
∴ ，
∴
又由图象可得点B为函数图象的对称中心，
∴点D,E关于点B对称，
∴ ，
∴
故选B
点睛：本题巧妙地将三角函数的图象、性质和向量数量积的运算综合在一起，考查学生分析问题和解决问题的能力．解题的关键是读懂题意，通过图象求得参数 ；另外，根据函数图象的对称中心将向量 进行化简，从而达到能求向量数量积的目的
2、A
【解析】根据所给数据，求出样本中心点 ，把样本中心点代入所给 四个选项中验证，即可得答案
【详解】解：由已知可得 ，
所以这组数据的样本中心点为 ，
因 样本中心必在回归直线上，
所以把样本中心点代入四个选项中验证，可得只有 成立，
故选：A.
3、D
【解析】由 ，可得 ，由向量加法可得 ，再结合向量模的运算即可得解.
19、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）因为 分别为 的中点，所以 ，由线面平行的判定定理，即可得到 平面 ；
（2）因为 为 的中点，得到 ，利用面面垂直的性质定理可证得 平面 ，由面面垂直的判定定理，即可得到平面 平面
【详解】（1）因为 、 分别为 、 的中点，所以 .
又因为 平面 ，所以 平面 ；
（1）若 ，求 的递增区间；
（2）若 时，若 的最大值与最小值之和为5，求 的值.
19．如图，在三棱锥 中，平面 平面 为等边三角形， 且 分别为 的中点
（1）求证： 平面 ；
（2）求证：平面 平面 ；
20．若函数 定义域为 ，且存在非零实数 ，使得对于任意 恒成立，称函数 满足性质
（1）分别判断下列函数是否满足性质 并说明理由
（2）因为 ， 为 的中点，所以
，又因为平面 平面 ，平面 平面 ，且 平面 ，
江西省南昌市2018-2019学年高一数学上学期期末学业水平测试试题
江西省南昌市2018-2019学年高一数学上学期期末学业水平测试试题一、选择题1．若某校研究性学习小组共6人，计划同时参观科普展，该科普展共有甲，乙，丙三个展厅，6人各自随机地确定参观顺序，在每个展厅参观一小时后去其他展厅，所有展厅参观结束后集合返回，设事件A 为：在参观的第一小时时间内，甲，乙，丙三个展厅恰好分别有该小组的2个人；事件B 为：在参观的第二个小时时间内，该小组在甲展厅人数恰好为2人，则(|)P B A =（ ）． A ．38B ．18 C ．316 D ．1162．sin600︒=( )A.12B.12-D. 3．某班有50名学生，男女人数不相等。
随机询问了该班5名男生和5名女生的某次数学测试成绩，用茎叶图记录如下图所示，则下列说法一定正确的是（ ）A ．这5名男生成绩的标准差大于这5名女生成绩的标准差。
B ．这5名男生成绩的中位数大于这5名女生成绩的中位数。
C ．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数。
D ．这种抽样方法是一种分层抽样。
4．直线，，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．已知圆的圆心在直线上，则与的关系是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知向量a ，b 满足1a =，a b ⊥，则向量2a b -在向量a -方向上的投影为（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．1-7．已知向量a 、b 的夹角为45°，且1a =，|2|10a b -=，则b =（ ）A ．B ．CD ．18．已知1232727272727S C C C C =++++，则S 除以9所得的余数是A.2B.3C.5D.79．在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4，若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为 A.0.28B.0.12C.0.42D.0.1610．设,,x y z 均大于1，且x y z ==，令12a x =，13b y =，14c z =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>11．“1m =-”是“直线1l ：(21)10mx m y +-+=与直线2l ：330x my ++=垂直”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件12．已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E X 为（ ） A.23B.1C.32D.2二、填空题13．某大学进行自主招生时,需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如下图所示:得出下面四个结论:①甲同学的逻辑排名比乙同学的逻辑排名更靠前②乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前 ③甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中,甲同学更靠前 ④甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前 则所有正确结论的序号是_________.14．已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差为______． 15．如图，E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱11C D 上的一点，且1//BD 平面1B CE ，则异面直线1BD 与CE 所成角的余弦值为______．16．如图所示，函数()y f x =的图象由两条射线和三条线段组成．若x R ∀∈,()()1f x f x >-，则正实数a 的取值范围是_________．三、解答题17．设椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且（为坐标原点）？若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由.18．为了增强消防安全意识，某中学对全体学生做了一次消防知识讲座，从男生中随机抽取50人，从女生中随机抽取70人参加消防知识测试，统计数据得到如下列联表：附：K2=组成宣传小组，现从这6人中随机抽取2名到校外宣传，求到校外宣传的同学中至少有1名是男生的概率．19．已知函数，.(1)解不等式；(2)若对任意，都有，使得成立，求实数的取值范围.20．已知集合P＝，函数的定义域为Q.（Ⅰ）若P Q，求实数的范围；（Ⅱ）若方程在内有解，求实数的范围.21．设函数在及处取极值.（1）求的值；（2）若对于任意的，都有成立，求的取值范围．22．将7名应届师范大学毕业生分配到3所中学任教.（最后结果用数字表示）（1）4个人分到甲学校，2个人分到乙学校，1个人分到丙学校，有多少种不同的分配方案？（2）一所学校去4个人，另一所学校去2个人，剩下的一个学校去1个人，有多少种不同的分配方案？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题13．①③14．4 515．516．1 0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题17．（1）；（2）存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且.【解析】试题分析：(1)由题目已知离心率为，且过点即可求出椭圆方程(2)先假设存在，设两个交点坐标和直线方程，，根据直线与圆相切及，得出方程组，从而求解出结果，再讨论斜率不存在时的情况解析：（1）由已知得，又，得，解得（2）假设满足题意的圆存在，其方程为，其中.设该圆的任意一条切线和椭圆交于两点当直线的斜率存在时，令直线的方程为因为直线为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为①联立方程得要使，需使，即，所以，②，，所求的圆为，而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足，综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且.点睛：本题考查了解析几何的综合运用，按照题目条件，采用设而不求的方法，给出交点坐标和直线方程，联立直线方程与曲线方程，利用根与系数之间的关系得出关于参数的方程组，从而计算出结果，还要注意当斜率不存在的情况。
江西省南昌市南昌县莲塘第一中学2023届高一上数学期末复习检测模拟试题含解析
18．（1）已知
x
0
，
y
0，
xy
4
，求
2 x
1 y
的最小值；
（2）把角 690 化成 2k 0 2, k Z 的形式.
19．某鲜奶店每天以每瓶 3 元的价格从牧场购进若干瓶鲜牛奶，然后以每瓶 7 元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的 鲜牛奶作垃圾处理.
（1）若鲜奶店一天购进 30 瓶鲜牛奶，求当天的利润 y （单位：元）关于当天需求量 n （单位：瓶， n N ）的函数
e 3e
3
3
故选：D
3、D
【解析】A，B 两选项定义域不同，C 选项对应法则不同，D 选项定义域和对应法则均相同，即可得选项.
【详解】A. y x2 1 x 1， x 1，两个函数的定义域不同，不是同一函数， x 1
B. y x0 1 ， x 0 ，两个函数的定义域不同，不是同一函数，
C. y x2 2 x 2 ，两个的对应法则不相同，不是同一函数
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数 f x 5x 2x a 在 1, 2 上存在零点，则 a 的取值范围为（）
A. 7,29
B. 7,
C. 1,29
D. 7,14
2．设函数 f (x)＝ 1 x－ln x，则函数 y＝f (x)（） 3
7．圆 (x 4)2 y2 9 与圆 x2 ( y 3)2 4 的位置关系是（ ）
A.内含
B.内切
C.相交
D.外切
8．下列关系中正确 个数是（）
的 ①1Q② 2
2 R③0N*④πZ
A.1
2022-2023学年江西省南昌市莲塘镇第一中学数学高一上期末复习检测模拟试题含解析
故选：C
5、C
【解析】令 求出定点的横坐标，即得解.
【详解】解：令 .
当 时， ，
所以函数 的图象过点 .
故选：C.
6、B
【解析】利用一元二次不等式的解法即得.
【详解】由 可得， ，
故不等式 的解集是 .
故选：B.
7、C
【解析】设乙得到 位市民的幸福感指数为 ，甲得到 位市民的幸福感指数为 ，求出 ， ，由甲的方差可得 的值，再求出 的值，由方差公式即可求解.
A. B.
C. D.
6．不等式 的解集是（）
A. B.
C. D.
7．“幸福感指数”是指某个人主观地评价自己对目前生活状态的满意程度的指标.常用区间 内的一个数来表示，该数越接近 表示满意度越高.甲、乙两位同学分别随机抽取 位本地市民，调查他们的幸福感指数，甲得到 位市民的幸福感指数分别为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，乙得到 位市民的幸福感指数的平均数为 ，方差为 ，则这 位市民幸福感指数的方差为（）
【解析】（1）由图，分别计算出报警时间 、人的反应时间 、系统反应时间 、制动时间 ，相应的距离 ， ， ， ，代入 中即可， ，利用基本不等式求最值；（2）将问题转化为对于任意 ， 恒成立，利用分离参数求范围即可.
【详解】（1）由题意得 ，
所以
当 时， ，
（秒）
即此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为2.4秒
12．已知 ， ，则ab＝_____________.
13．函数 的最小值是________.
14．设奇函数 在 上是增函数，且 ，若对所有的 及任意的 都满足 ，则 的取值范围是__________
2019-2020学年江西省南昌市南昌县莲塘第一中学高一上学期期末数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年江西省南昌市南昌县莲塘第一中学高一上学期期末数学（理）试题一、单选题1．下列各个角中与2020°终边相同的是( ) A ．150︒- B ．680°C ．220°D ．320°【答案】C【解析】将2020︒写为360k α+⋅︒()k Z ∈的形式,即可得到结果 【详解】由题,20202205360︒=︒+⨯︒, 故选:C 【点睛】本题考查终边相同的角,属于基础题2．下列各组向量中,可以作为基底的是( )A ．12(0,0),(1,2)e e ==u r u rB ．12(1,2),(5,7)e e =-=u r u u rC ．12(3,5),(6,10)e e ==u r u rD ．12(2,3),(6,9)e e =-=-u r u r【答案】B【解析】若一组向量作为基底,则该组向量不共线,由此为依据依次判断选项即可 【详解】由题,作为基底的向量不共线,当()11,a x y =r ,()22,b x y =r ,若//a b r r ,则12120y x x y -=,对于选项A,10e =u r r ,0r与任意向量共线,故A 错误；对于选项B,()2517170⨯--⨯=≠,故1e u r 与2e u u r不共线,故B 正确； 对于选项C,563100⨯-⨯=,故12//e e u r u u r,故C 错误； 对于选项D,()36290-⨯--⨯=,故12//e e u r u u r,故D 错误,故选:B 【点睛】本题考查向量基底的判定,考查共线向量的坐标表示 3．计算2sin 2105°-1的结果等于（ ）A ．B ．12-C ．12D 【答案】D【解析】22sin 1051cos 210cos30-=-==o o o D ． 4．在四边形ABCD 中，若AB DC =u u u r u u u r ，且0AB AD ⋅=uu u r uuu r，则四边形ABCD 是（ ）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形【答案】A【解析】根据向量相等可知四边形ABCD 为平行四边形；由数量积为零可知AB AD ⊥，从而得到四边形为矩形. 【详解】AB DC =uu u r uuu rQ ，可知//AB CD 且AB CD = ∴四边形ABCD 为平行四边形 由0AB AD ⋅=uu u r uuu r可知：AB AD ⊥ ∴四边形ABCD 为矩形本题正确选项：A 【点睛】本题考查相等向量、垂直关系的向量表示，属于基础题. 5．若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan 2α等于（ ）A ．34-B ．34C ．43-D ．43【答案】B【解析】试题分析：sin cos tan 11,tan 3sin cos tan 12ααααααα++===---，22tan 63tan 21tan 84ααα-===--. 【考点】三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系．6．已知向量(1,3)a m =--r ,(,2)b m =r ,若a b ⊥r r,则实数m =( )A ．2-B ．3C ．3-或2D ．2-或3【答案】D【解析】若a b ⊥r r ,则0a b ⋅=rr ,求解即可【详解】若a b ⊥r r ,则()()1320a b m m ⋅=-+-⨯=rr ,解得3m =或2m =-, 故选:D 【点睛】本题考查已知向量垂直求参数,考查数量积的坐标表示 7．若偶函数()sin()cos()0,||2f x x x πωθωθωθ⎛⎫=+++>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π,则( ) A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 B ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 【答案】B【解析】根据奇偶性和周期性可得()f x x =,先求得()f x 的单调区间,进而判断选项即可 【详解】由题,()4f x x πωθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,因为最小正周期为π,所以22πωπ==,又()f x 是偶函数,所以()42k k Z ππθπ+=+∈,即()4k k Z πθπ=+∈,因为2πθ<,所以当0k =时,4πθ=,所以()f x x =,则令222,πππ-+≤≤∈k x k k Z ,所以,2πππ-+≤≤∈k x k k Z ,即()f x 在,2k k πππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上单调递增； 令222,k x k k Z πππ≤≤+∈,所以,2πππ≤≤+∈k x k k Z ,即()f x 在,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上单调递减；当0k =时,()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,故选:B 【点睛】本题考查利用三角函数的性质求解析式,考查余弦函数的单调区间8．已知a r ，b r为单位向量，且a b b +=-r r r r ，则a r 在a b +rr 上的投影为（ ）A ．13BC． D【答案】B【解析】a r 由，b r为单位向量，又a b b +=-r r r r ，则22|2|a b a b +=-r r r r ，可得13a b ⋅=r r ，则a b +=r r 1cos ,3a b 〈〉=r r ．又()cos ,3a a b a a b a a b ⋅+〈+〉==+r r r r r r r r r ．则a r 在a b+r r上的投影为cos ,a a a b 〈+〉=r rr r B ．9．若sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为( ) A ．59 B ．59-C ．79D ．79-【答案】A 【解析】由题,22662πππαα⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭,进而求解即可 【详解】 由题,225sin 2sin 2cos 212sin 126626639πππππαααα⎛⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭, 故选:A 【点睛】本题考查诱导公式的应用,考查倍角公式的应用,考查已知三角函数值求三角函数值10．如图，在ABC ∆中，23AD AC =u u u r u u u r ，13BP BD =u u u r u u u r ，若AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则=λμ( )A ．3-B ．3C ．2D ．2-【答案】B【解析】∵21,33AD AC BP BD =∴=u u u v u u u v u u u v u u u v 121()393AD AB AC AB -=-u u u v u u u v u u u v u u u v∴2239AP AB BP AB AC =+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v又AP AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v，∴22,,339λλμμ=== 故选B.11．已知1tan161tan16a ︒︒+=-,cos330b ︒=,1cos582c ︒+=则,,a b c 的大小关系为( ) A ．c a b >> B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b a c >>【答案】C【解析】化简,,a b c 可得tan61a =︒,cos30b =︒,cos29c =︒,进而比较大小即可 【详解】由题,因为tan 451︒=,所以1tan16tan 45tan16tan 61tan 4511tan161tan 45tan16a +︒︒+︒===︒>︒=-︒-︒︒；()cos330cos 30360cos30b =︒=-︒+︒=︒；221cos5812cos 2912cos 29cos 29222c +︒+︒-︒====︒；由cos y x =的单调性可知1cos29cos30>︒>︒,所以tan 45cos29cos30︒>︒>︒, 即a c b >>, 故选:C 【点睛】本题考查正切的和角公式,考查余弦的二倍角公式,考查诱导公式的应用,考查三角函数值的比较大小问题12．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为A．B．C．D．【答案】B【解析】分别求出在的值域，以及在的值域，令在的最大值不小于在的最大值，得到的关系式，解出即可.【详解】对于函数，当时，，由，可得，当时，，由，可得，对任意，，对于函数，，，，对于，使得，对任意，总存在，使得成立，，解得，实数的取值范围为，故选B．【点睛】本题主要考查函数的最值、全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1）只需；（2），只需；（3），只需；（4），，.二、填空题13．计算:sin17sin223cos17cos43︒︒︒︒+=_________. 【答案】12【解析】利用诱导公式()sin 223sin 180sin 43︒=43︒+︒=-︒,进而利用和角公式求解即可 【详解】由题,因为()sin 223sin 180sin 43︒=43︒+︒=-︒,所以,原式()1sin17sin 43cos17cos 43cos 4317cos602=-︒︒+︒︒=︒+︒=︒=, 故答案为:12【点睛】本题考查诱导公式的应用,考查余弦的和角公式的逆用14．若ABCD Y 的三个顶点(1,2),(3,1),(0,2)A B C --,则顶点D 的坐标为________. 【答案】()4,1--【解析】由ABCD Y 可得AB DC =u u u r u u u r,进而求解即可【详解】由题,因为ABCD Y ,所以AB DC =u u u r u u u r,设(),D x y ,所以()4,3AB =uu u r,(),2DC x y =--u u u r , 所以423x y -=⎧⎨-=⎩,即41x y =-⎧⎨=-⎩, 故答案为:()4,1-- 【点睛】本题考查相等向量在平行四边形中的应用,考查向量的坐标表示15．若函数()cos ,[0,2]f x x x π=∈与()tan g x x =的图象交于,M N 两点,则||OM ON +=u u u u r u u u r_______.【答案】π【解析】画出()cos f x x =与()tan g x x =图像,可得M 与N 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称,进而求解即可 【详解】由题,画出()cos f x x =与()tan g x x =的图像,如图所示,则M 与N 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称, 所以(),0OM ON π+=u u u u r u u u r,所以||OM ON π+=u u u u r u u u r,故答案为:π 【点睛】本题考查余弦函数与正切函数的图像的应用,考查向量的模,考查数形结合思想16．设A 是平面向量的集合,a r是定向量,对x A ∈r ，定义()()2f x x a x a =-⋅⋅r r r r r ，现给出如下四个向量：()222213002a a a a ⎛====- ⎝⎭⎝⎭⎝⎭r r r r ①，；②，；③，；④，，那么对于任意x y A ∈r u r ，，使()()f x f y x y ⋅=⋅r u r r u r 恒成立的向量a r的序号是________(写出满足条件的所有向量a r的序号). 【答案】①③④【解析】根据所给定义，结合选项逐个进行验证可得. 【详解】对于①，当()00a =r，时，()f x x =r r 满足()()f x f y x y ⋅=⋅r u r r u r ；当0a ≠r r，因为()()2f x x a x a =-⋅⋅r r r r r ，()()2f y y a y a =-⋅⋅u r u r r u r r ， 所以()()24()()4()()f x f y x y a y a x a x a y a ⋅=⋅-⋅⋅+⋅⋅r u r r u r r u r r r r r r u r r若使得()()f x f y x y ⋅=⋅r u r r u r 恒成立，则只需21a=r，结合所给向量可知③④符合条件；综上可得答案为：①③④. 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，属于新定义问题，准确的理解给出的新定义是求解的关键，建立()()f x f y ⋅r u r的表达式是突破口，侧重考查数学运算的核心素养.三、解答题17．已知向量(4,3)a =r，(1,2)b =r， （1）设a r 与b r的夹角为θ，求cos θ的值；（2）若a b λ-r r 与2a b +r r平行，求实数λ的值.【答案】; (2) 12λ=- 【解析】(1)根据向量的夹角公式求解即可. (2)根据平行向量的坐标公式求解即可. 【详解】(1) cos 5a b a b θ⋅====⋅r r r r . (2)因为()()()4,31,24,32a b λλλλ-=-=--r r ,()()()4,312,82,29a b ++==r r.又a b λ-r r 与2a b +r r平行即()()4,32//9,8λλ--,所以()()84932032827180λλλλ---=⇒--+= ,解得12λ=-.【点睛】本题主要考查了利用向量坐标公式求解向量夹角与平行的问题,属于基础题型. 18．已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且1sin 3α=．（1）求sin 2α的值；（2）若()3sin 5αβ+=-，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin β的值．【答案】(1) 9-.(2)415+. 【解析】【详解】分析：（1）根据正弦的二倍角公式求解即可；（2）由()βαβα=+-，然后两边取正弦计算即可. 详解：（Ⅰ）Q 2（，）παπ∈，且1sin 3α=，cos α∴=-------2分于是 sin22sin cos ααα== （Ⅱ）,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭Q ,02πβ∈（，）,322（，）παβπ∴+∈,结合()3sin 5αβ+=-得：()4cos 5αβ+=-， 于是()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα⎡⎤=+-=+-+⎣⎦3414535315⎛⎫+⎛⎫=-⋅---⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 点睛：考查二倍角公式，同角三角函数关系，三角凑角计算，对于()βαβα=+-的配凑是解第二问的关键，属于中档题. 19．已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+. (1)求函数()f x 的最小值以及取最小值时x 的值; (2)求函数()f x 在[0,]π上的单调增区间.【答案】（1）当8x k ππ=-+,k Z ∈时,()min 1f x =（2）30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,8ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）化简()214f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,令2242x k πππ-=-+,k Z ∈,进而求解即可； （2）令222242k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈,结果与[0,]π求交集即可【详解】（1）由题,()22sin 2sin cos 1cos 2sin 22sin 214f x x x x x x x π⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭, 所以当2242x k πππ-=-+,k Z ∈,即8x k ππ=-+,k Z ∈时,()min 12f x =-（2）由（1）,令222242k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈,则388k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈,即()f x 在()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上单调递增, 当0k =时,单调增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 当1k =时,单调增区间为711,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 所以在[0,]π中()f x 的单调增区间为30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,8ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题考查正弦型函数的最值问题,考查正弦型函数的单调区间20．如图,在矩形ABCD 中,点E 是BC 边上的中点,点F 在边CD 上(1)若点F 是CD 上靠近C 的三等分点,设EF AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r ,求λμ+的值(2)若3,2AB BC ==,当1AE BF ⋅=u u u r u u u r 时,求DF 的长【答案】(1)16;(2) 23【解析】【详解】 （1）EF EC CF =+u u u ru u u r u u u r ,∵E 是BC 边的中点,点F 是CD 上靠近C 的三等分点,∴1123EF BC CD =+u u u r u u u r u u u r ，又∵BC AD =u u u r u u u r ,CD AB =-u u u r u u u r ,∴1132EF AB AD =-+u u u r u u u r u u u r ，111326λμ+=-+=；（2）设(0)DF mDC m =>u u u r u u u r ，则()1CF m DC =-u u u r u u u r ，以AB u u u r ，AD u u u r 为基底，1122AE AB BC AB AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，()()11BF CF BC m DC BC m AB AD =+=-+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又0AB AD ⋅=u u u u r u u u r， ∴()()()221111312122AE BF AB AD m AB AD m AB AD m ⎛⎫⎡⎤⋅=+⋅-+=-+=-+= ⎪⎣⎦⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，解得23m =,故DF． 21．已知(sin )a x x =r ,(cos ,cos )b x x =-r ,函数()f x a b =⋅+r r . (1)求函数()f x 图象的对称轴方程;(2)若方程1()3f x =在(0,)π上的解为12,x x ,求()12cos x x -的值. 【答案】（1）5122k x ππ=+,k Z ∈；（2）13 【解析】（1）化简()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,令232x k πππ-=+,k Z ∈,进而求解即可； （2）设12x x <,由2063f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得12526123x x πππ<<<<,且1256x x π+=,则()1211155cos cos cos 266x x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,进而求解即可 【详解】（1）由题,())211sin cos sin 21cos 2sin 2222f x x x x x x x x =-=-+=- sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 令232x k πππ-=+,k Z ∈,则对称轴为:5122k x ππ=+,k Z ∈ （2）由题,121sin 2sin 20333x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 设12x x <,因为2063f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以12526123x x πππ<<<<, 易知()()11,x f x 与()()22,x f x 关于512x π=对称, 所以1256x x π+=, 所以 ()1211111551cos cos cos 2cos 2sin 2663233x x x x x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦【点睛】 本题考查平面向量的数量积,考查正弦型函数的对称性的应用,考查诱导公式的应用 22．已知函数()f x ,若存在实数,(0)m k k ≠,使得等式()()()mf x f x k f x k =++-对于定义域内的任意实数x 均成立,则称函数()f x 为“可平衡”函数,有序数对(,)m k 称为函数()f x 的“平衡”数对.(1)若m =,判断()sin f x x =是否为“可平衡”函数,并说明理由;(2)若12,m m R ∈且1,2m π⎛⎫ ⎪⎝⎭,2,4m π⎛⎫ ⎪⎝⎭均为2()sin f x x =的“可平衡”数对,当03x π<<时,方程12m m a +=有两个不相等的实根,求实数a 的取值范围.【答案】（1）()sin f x x =是“可平衡”函数,理由见解析；（2）∅【解析】（1）由“可平衡”()()sin sin x x k x k =++-,整理可得2sin cos x x k =,即可求解；（2）分别将“可平衡”数对代入可得2122cos sin x m x=,221sin m x =,则122cos 241cos 2x m m a x ++==-,则可转化为4cos 22a x a -=+有两个解,进而求解即可 【详解】（1）假设()sin f x x =是“可平衡”函数,则由题意应有:()()sin sinx x k x k=++-,sin cos cos sin sin cos cos sinx x k x k x k x k=++-,2sin cosx x k=,则cos k=,所以2,6k n n Zππ=±∈,所以存在,(0)m k k≠,使得等式()()()mf x f x k f x k=++-对于定义域内的任意实数x均成立,所以()sinf x x=是“可平衡”函数（2）由题,22221sin sin sin2cos22m x x x xππ⎛⎫⎛⎫=++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以2122cossinxmx=；又222222sin sin sin sin cos14444m x x x x xππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以221sinmx=,所以()22122222cos12cos1cos222cos241sin sin sin1cos21cos22x x x x m m ax x x xx+++ +=+====--, 所以4cos22axa-=+有两个解,因为03xπ<<,cos2y x=单调递减,故4cos22axa-=+不存在两个解,故a的解集为∅【点睛】本题考查和角公式的应用,考查倍角公式的应用,考查新定义的理解,考查运算能力。
2018-2019学年江西省南昌市南昌县莲塘第一中学高一下学期4月月考数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年江西省南昌市南昌县莲塘第一中学高一下学期4月月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2log 3A x x =<，{}2450B x x x =-->，则()R A C B =I （ ）A ．[)1,8-B ．(]0,5C ．[)1,5-D ．()0,8【答案】B【解析】由2log 3x <得0＜x ＜8，所以A={x|0<x<8},由2450x x -->得x ＞5或x ＜-1,所以B={x| x ＞5或x ＜-1}，所以R C B ={x|-1≤x≤5}，所以()R A C B ⋂=(]0,5.故选B. 2．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001,002,……，699,700.从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ） 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 A ．623 B ．328 C ．253 D ．007 【答案】A【解析】分析：从第五行第六列开始向右读，依次读取，将其中不符合要求的也就是超范围的数据去掉，再将重复的去掉，最后找到满足条件的数据. 详解：从第5行第6列开始向又读取数据，第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复， 第四个是007，第五个是328，第六个是623，故选A.点睛：这是一道有关随机数表的题目，明确随机数的含义是关键，在读取数据的过程中，需要把超范围的数据和重复的数据都去掉，接着往下读就行了.3．己知数列{}n a 为正项等比数列，且13355724a a a a a a ++=，则26a a +=（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】∵数列{}n a 为等比数列，且13355724a a a a a a ++=∴22226624a a a a ++=， 即226()4a a +=，又0n a >，∴262a a +=．选B ．4．下列函数的最小值为2的是 （ ）A ．1y xx=+B ．1tan (0)tan 2y x x x π=+<< C ．2y =D ．1sin (0)sin 2y x x x π=+<< 【答案】B【解析】对于A. 1y x x=+,当0x <时，0y <，所以最小值为不是2； 对于B,1(0) 2y tanx x tan x π=+<<，因为tan 0x >，所以12 tanx tan x +≥=. 当且仅当1tanx =，即4x π=时，1y tanx tan x=+有最小值2，满足；对于C. 22y ==≥2=，此方程无解，则y 的最小值取不到2； 对于D. 1002y sinx x sinx sinx π⎛⎫=+<<> ⎪⎝⎭，，所以12sinx sinx +≥=时，即1sinx =，此时无解，所以原式取不到最小值2.故选B.点睛：利用基本不等式解题的注意点：（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立；（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等；（3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．5．已知ABC ∆满足a b >，则下列结论错误的是（ ） A ．A B > B ．sin sin A B > C ．cos cos A B<D ．sin 2sin 2A B >【答案】D【解析】由大边对大角，可知A B >，所以A 正确； 由正弦定理可知，sin sin A B >，所以B 正确；由A B >，且cos y x =在()0,π单调递减，可知cos cos A B <，所以C 正确；当90,30A B o o==时，a b >，但sin 2sin 2A B <，所以D 错误．故选D ．点睛：本题考查三角函数与解三角形的应用．本题中涉及到大边对大角的应用，正弦定理的应用，三角函数单调性的应用等，需要学生对三角模块的综合掌握，同时结合特殊值法去找反例，提高解题效率．6．ABC ∆中，角,,A B C 成等差数列，则222sin sin sin sin sin A C BA C+-=（ ）A ．12B ．1C D【答案】B【解析】由题意，3B π=，222222sin sin sin 2cos 1sin sin A C B a c b B A C ac+-+-===．故选B ．7．已知数列{}n a 的通项公式为2n a n bn =- ，若数列{}n a 是单调递增数列，则实数b的取值范围是 （ ） A ．(,3)-∞ B ．(,2)-∞ C ．(3,)+∞ D ．(2,)+∞【答案】A【解析】由题意，得1n n a a +>，即()()2211n b n n bn +-+>-，化简理得21b n <+，又*n N ∈，所当1n =时，式子21n +有最小值3，则3b <，故正确答案为A. 8．定义“等积数列”:在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列{}n a 是等积数列且13a =，前41项的和为103，则这个数列的公积为（ ）A ．2B ．3C ．6D ．8【答案】C【解析】由题可得12343940a a a a a a +=++==L ，141a a = ，先由题求出2a ，则公积为12a a . 【详解】由题可知等积数列的各项以2为一个周期循环出现，每相邻两项的和相等，前41项的和为103则()()()1234394041103a a a a a a a +++++++=L 即()12120+103a a a +=，解得22a = 所以公积是23=6⨯ 故选C. 【点睛】本题考查数列，解题的关键是理解等积数列的各项以2为一个周期循环出现，每相邻两项的和相等，考查学生的类比能力．9．ABC V 中有：①若A B >，则sin sin A B >；②若sin2sin2A B =，则—ABC V 定为等腰三角形；③若cos cos a B b A c -=，则—ABC V 定为直角三角形；④若3B π=，2a =，且该三角形有两解，则b 的范围是).+∞以上结论中正确的个数有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】根据正弦定理以及三角形内角范围判断选择. 【详解】若A B >，则b,sin sin a A B >∴>；若sin2sin2A B =，则22A B =或22πA B +=，即A B =或π2A B +=，ABC V 为等腰三角形或直角三角形；若cos cos a B b A c -=，则()cos cos sin ,sinA B sinB A sinC A B -==+所以πcos 0cos 02sinB A A A ===，，,即—ABC V 定为直角三角形；由正弦定理得0sin 2sin 60sin sin sin sin sin a b a B b A B A A A=∴===，因为三角形有两解，所以2πππ,sin (2)3322A B A A b >>=≠∴∈∈， 所以结论中正确的个数有①③两个，选B. 【点睛】本题考查正弦定理以及诱导公式，考查基本分析求解能力，属基础题.10．记集合{}11A a =，{}223,A a a =，{}3456,,A a a a =，{}478910,,,A a a a a =…，其中{}n a 为公差大于0的等差数列，若{}23,5A =，则199属于（ ） A ．12A B ．13AC ．14AD ．15A【答案】C【解析】因为{}n a 为公差大于0的等差数列，且{}23,5A =，故()11221n a n n =+-⨯=- ，则在数列{}n a 中19921,100n n =-= ，又前n 个集合中，共有数列{}n a 中()21n n + 项，即()11002n n +≤，解得14n = ，选C11．等比数列{}n a 的首项为32，公比为12-，前n 项和为n S ，则当*n N ∈时，1n n S S -的最大值与最小值的比值为 A ．125-B ．107-C ．109D ．125【答案】B【解析】∵等比数列{}n a 的首项为32，公比为12- ∴131()22n n a -=⨯- ∴31[1()]1221()121()2n n n S --==----. ①当n 为奇数时，11()2n n S =+随着n 的增大而减小，则1312n S S <≤=，故1506n n S S <-≤； ②当n 为偶数时，11()2nn S =-随着n 的增大而增大，则2314n S S =≤<，故71012n nS S -≤-<. ∴1n n S S -的最大值与最小值的比值为51067712=-- 故选B.点睛：本题考查了等比数列的求和公式，解答本题的关键要注意对n 分奇数与偶数讨论，确定数列的增减，从而表示出1n nS S -的取值范围，进而可以得解. 12．已知ABC V 中， sin A ， sin B ， sin C 成等比数列，则sin22sin cos B B B++的取值范围是( ) A．2,2⎛ ⎝⎦B．⎛ ⎝⎦C ．()2,+∞D ．[)2,+∞【答案】A【解析】由sin A ， sin B ， sin C 成等比数列，得2sin sin sin B A C =n ，由正弦定理可得2b a c =n .由余弦定理可得22222221211cosB 2222222a c b a c ac a c ac ac ac ac ac +-+-+===-≥-=.所以πB 0,3⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.令t 4sinB cosB B π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.π B 0,3⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,7 ,4412B πππ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦.所以(4B π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭. ()21222211sinB cosB sin B sinBcosB sinB cosB t sinB cosB sinB cosB sinB cosB sinB cosB t ⎛++++===++=+∈ ++++⎝⎦. 故选A.点睛：（1）对于sin αcos α,sin αcos α,sin αcos α+-这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求．转化的公式为2(sin αcos α)12sin αcos α±=±，通过这个等式可以精进行换元用；（2）ABC V 中，sin A ， sin B ， sin C 或a ， b ， c 三边成等比，意味着角π0,3B ⎛⎤ ⎥⎝⎦，熟记此结论可以提高解小题的时间.二、填空题13．某公司16个销售店某月销售产品数量（单位：台）的茎叶图如图，已知数据落在[18，22]中的频率为0.25，则这组数据的中位数为________【答案】27【解析】根据题意分析得到 2a ≤，再由中位数的定义求得结果． 【详解】解：根据茎叶图中的数据知，数据落在[18，22]中的频率为 0.25， 则频数为160.254⨯=，∴2a ≤； ∴这组数据的中位数为()12628272⨯+=． 故答案为27． 【点睛】本题主要考查茎叶图和中位数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理的能力.14．在ABC ∆中，角、、A B C 所对的边分别是a b c 、、，已知23,2a c ==，tan 21tan A cB b+=， 则角C =__________． 【答案】4π 【解析】∵1+tanA tanB =2cb，即tanA tanB tanB +=sinAcosB cosAsinB sinBcosA +=sinC sinBcosA =2sinCsinB，∴cosA=12，即A 为锐角， ∴sinA=21cos A -=32， ∵a=23，c=22，∴由正弦定理a sinA =c sinC 得：322223⨯=2， ∵a ＞c ，∴A ＞C ， ∴C=4π． 故答案为：4π． 15．已知变量x 、y 满足20,230,0,x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则2log (2)z x y =+的最大值为__________．【答案】2【解析】 作出不等式注所表示平面区域，如图阴影部分所示， 令2m x y =+， 由图象可知当直线2y x m =-+经过点A 时， 直线2y x m =-+的纵截距最大， 此时m 取得最大值，由20230x y x y -=⎧⎨-+=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，即(1,2)A ，则m 的最大值为4m =，代入2log (2)z x y =+，得z 的最大值为2log 42=．16．若,x y a b >>，则在①a x b y ->-， ②a x b y +>+，③ax by >， ④22x b y a ->-，⑤a by x>这五个不等式中， 恒成立的不等式的序号是____________. 【答案】②④【解析】对于①，由于同向不等式不能相减，（或举反例），故①不正确． 对于②，根据同向不等式可以相加，故②正确．对于③，由于不等式不一定都为正不等式，不能两边相乘，故③不正确．对于④，由a b >得22b a ->-，根据同向不等式的可加性知22x b y a ->-成立，即④正确．对于⑤，由于x y ，的符号不确定，故不等式不一定成立，即⑤不正确． 综上可得② ④正确． 答案：② ④三、解答题17．解关于x 的不等式2(21)20mx m x +-->． 【答案】见解析【解析】分析：先讨论二次项系数为零的情况，再讨论开口向上与向下的情况，注意比较两根大小关系.详解：当m=0时，不等式化为x+2＜0，解得解集为（﹣∞，﹣2）； 当m ＞0时，不等式等价于（x ﹣）（x+2）＞0， 解得不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）； 当m ＜0时，不等式等价于（x ﹣）（x+2）＜0，若﹣＜m ＜0，则＜﹣2，解得不等式的解集为（，﹣2）；若m=﹣，则=﹣2，不等式化为（x+2）2＜0，此时不等式的解集为∅； 若m ＜﹣，则＞﹣2，解得不等式的解集为（﹣2，）． 综上，m=0时，不等式的解集为（﹣∞，﹣2）； m ＞0时，不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）； ﹣＜m ＜0时，不等式的解集为（，﹣2）； m=﹣时，不等式的解集为∅；m ＜﹣时，不等式的解集为（﹣2，）．点睛：解含参数不等式，一要讨论二次型系数为零的情况，二要讨论根有无情况，三要讨论根大小情况.18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且ccosB+bcosC ＝2acosA ．（1）求A ；（2）若a ＝2，且△ABC 的面积为3，求△ABC 的周长． 【答案】（1）3A π=；（2）6.【解析】试题分析：（1）由cos cos 2cos c B b C a A +=根据正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos C B B C A A +=，利用两角和的正弦公式及诱导公式可得1cos 2A =，∴3A π=；（2）由ABC V 的面积为3，可得 4bc =，再利用余弦定理可得2b c ==，从而可得ABC V 的周长.试题解析：（1）∵cos cos 2cos c B b C a A +=，∴sin cos sin cos 2sin cos C B B C A A +=. ∴()sin 2sin cos B C A A +=， ∴sin 2sin cos A A A =.∵()0,A π∈，∴sin 0A ≠，∴1cos 2A =，∴3A π=. （2）∵ABC V 的面积为3，∴13sin 32bc A bc ==，∴4bc =. 由2a =，3A π=及2222cos a b c bc A =+-，得2244b c =+-，∴228b c +=.又4bc =，∴2b c ==. 故其周长为6.19．在等差数列{}n a 中49a =，前三项的和为15. (1)求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .【答案】（1）21n a n =+ （2） 223n n n S +=-【解析】试题分析：（1）根据等差数列通项公式求首项与公差，（2）根据错位相减法求和.试题解析：（Ⅰ）由题意得（Ⅱ）①②将①-②得, ∴点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.20．已知数列{}n a 中，11a =，23a =，其前n 项和为，且当2n ≥时，110n n n n a S a S +--=（1）求数列{}n a 的通项公式；（3）设19(3)(3)n n n n a b a a +=++，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T . 【答案】(1) 21,1{34,2n n n a n -==⋅≥ (2) 171841n n T -=-+ 【解析】（1）将111,n n n n n n a S S a S S -++=-=-代入已知等式，证得n S 是等比数列，由此求得n S 的表达式，利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求得数列n a 的通项公式.（2）利用裂项求和法求得数列的前n 项和n T .【详解】（1）由110n n n n a S a S +--=()()()11102n n n n n n S S S S S S n +-----=≥故211n n n S S S +-=又110S =≠且24S = 所以数列{}n S 是一个以1为首项，4为公比的等比数列所以14n n S -=……①,214n n S --=……②()2n ≥由①-②234n n a -=⋅ ()2n ≥且111a S ==不满足上式所以21,1{34,2n n n a n -==⋅≥ （2）193468b ==⋅，138T =，2n ≥时()()()()()()222121211927434113341413433434141n n n n n n n n n n n n a b a a --------+⋅⋅====-++++⨯+⨯+++22212113111171841414141841n n n n T -----⎛⎫⎛⎫=+-++-=- ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭L 而138T =也满足上式，所以171841n n T -=-+ 【点睛】本小题主要考查数列通项公式的求法，考查裂项求和法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.21．已知a ，b ，c 分别为ABC V 三个内角A ，B ，C 的对边，S 为ABC V 的面积，()222sin S B C a c+=-． （1）证明：2A C =；（2）若2b =，且ABC V 为锐角三角形，求S 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】（1）利用三角形面积公式表示S ，结合余弦定理和正弦定理，建立三角函数等式，证明结论，即可．（2）结合三角形ABC 为锐角三角形，判定tanC 的范围，利用tanC 表示面积，结合S 的单调性，计算范围，即可．【详解】(1)证明：由()222sin S B C a c +=-，即222sin S A a c=-， 22sin sin bc A A a c∴=-，sin 0A ≠，22a c bc ∴-=， 2222cos a b c bc A =+-Q ，2222cos a c b bc A ∴-=-，22cos b bc A bc ∴-=，2cos b c A c ∴-=，sin 2sin cos sin B C A C ∴-=，()sin 2sin cos sin A C C A C ∴+-=，sin cos cos sin sin A C A C C ∴-=，()sin sin A C C ∴-=，A Q ，B ，()0,C π∈，2A C ∴=．(2)解：2A C =Q ，3B C π∴=-，sin sin3B C ∴=．sin sin a b A B=Q 且2b =， 2sin2sin3C a C∴=， ()212sin2sin 2sin2sin 2tan2tan 4tan 4sin 32sin 2sin2cos cos2sin tan2tan 3tan tan tan C C C C C C C S ab C C C C C C C C C C C C ∴======+++--，ABC QV 为锐角三角形，20,230,20,2A C B C C ππππ⎧⎛⎫=∈ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∴=-∈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎩， ,64C ππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，tan ,13C ⎛⎫∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭， 43tan tan S C C=-Q 为增函数，2S ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭．【点睛】考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形面积公式，考查了函数单调性判定，难度偏难．22．已知1x =是函数2()21g x ax ax =-+的零点，()()g x f x x=. （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若不等式(ln )ln 0f x k x -≥在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上恒成立，求实数k 的取值范围； （Ⅲ）若方程()3213021x x f k k ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪-⎝⎭有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围.【答案】(Ⅰ)1；(Ⅱ)(] ,0-∞；(Ⅲ)103k -<<． 【解析】(Ⅰ)利用1x =是函数()221g x ax ax =-+的零点，代入解析式即可求实数a 的值；(Ⅱ)由不等式()ln ln 0f x k x -≥在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上恒成立，利用参数分类法，转化为二次函数求最值问题，即可求实数k 的取值范围；(Ⅲ)原方程等价于132123021x k k k +-+--=-，利用换元法，转化为一元二次方程根的个数进行求解即可． 【详解】(Ⅰ)1x =Q 是函数()221g x ax ax =-+的零点，()12110g a a a ∴=-+=-=，得1a =；(Ⅱ()2)21g x x x =-+，()()12g x f x x x x==-+， 则不等式()ln ln 0f x k x -≥在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上恒成立， 等价为1ln 2ln ln x k x x+-≥， 1ln 2x ≤≤Q ，∴同时除以ln x ，得2111()2ln ln k x x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭， 令1ln t x=，则221k t t ≤-+， 2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦Q ，1,22t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦， 故()h t 的最小值为0，则0t ≤，即实数k 的取值范围(],0-∞；(Ⅲ)原方程等价为132123021x k k k +-+--=-， 0x ≠Q ，∴两边同乘以21x -得()221|2321|130x x k k --+-++=，此方程有三个不同的实数解， 令21xu =-，则0>u ，则()223130u k u k -+++=， 得1u =或13u k =+，当1u =时，211x-=，得1x =，当2113x k -=+，要使方程()3213021x x f k k -+-=-有三个不同的实数解， 则必须有2113x k -=+有两个解，则0131k <+<，得103k -<<． 【点睛】本题主要考查函数与方程根的问题，利用换元法结合一元二次方程根的个数，以及不等式恒成立问题，属于难题. 不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.。
南昌县第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
南昌县第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 已知函数f （x+1）=3x+2，则f （x ）的解析式是（ ）A ．3x ﹣1B ．3x+1C ．3x+2D ．3x+42． 若定义在R 上的函数f （x ）满足：对任意x 1，x 2∈R 有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）+1，则下列说法一定正确的是（ ） A ．f （x ）为奇函数 B ．f （x ）为偶函数C ．f （x ）+1为奇函数D ．f （x ）+1为偶函数3． 把函数y=cos （2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位，得到函数y=f （x ）的图象关于直线x=对称，则φ的值为（ ） A．﹣B．﹣C．D． 4．不等式≤0的解集是（ ）A ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2）B ．[﹣1，2]C ．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）D ．（﹣1，2]5． 已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，若f （x ）=，则关于x 的方程f （x ）+a=0（0＜a ＜1）的所有根之和为（ ） A ．1﹣（）aB．（）a ﹣1C ．1﹣2aD ．2a ﹣16． 已知命题p ；对任意x ∈R ，2x 2﹣2x+1≤0；命题q ：存在x ∈R ，sinx+cosx=，则下列判断：①p 且q是真命题；②p 或q 是真命题；③q 是假命题；④¬p 是真命题，其中正确的是（ ） A ．①④B ．②③C ．③④D ．②④7． 下列哪组中的两个函数是相等函数（ ） A ．()()4f x x =g B ．()()24=,22x f x g x x x -=-+ C ．()()1,01,1,0x f x g x x >⎧==⎨<⎩ D ．()()=f x x x =，g 8． 如图，在长方形ABCD 中，AB=，BC=1，E 为线段DC 上一动点，现将△AED 沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为（）A． B． C． D．9． 已知数列｛n a ｝满足nn n a 2728-+=（*∈N n ）.若数列｛n a ｝的最大项和最小项分别为M 班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________和m ，则=+m M （ ） A ．211 B ．227 C ． 32259 D ．32435 10．线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是（ ）A ．AB ⊂αB ．AB ⊄αC ．由线段AB 的长短而定D ．以上都不对11．为了得到函数y=sin3x 的图象，可以将函数y=sin （3x+）的图象（ ）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 12．若复数z 满足i 1i z =--,则在复平面内,z 所对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限二、填空题13．若P （1，4）为抛物线C ：y 2=mx 上一点，则P 点到该抛物线的焦点F 的距离为|PF|= ． 14．若函数f （x ），g （x ）满足：∀x ∈（0，+∞），均有f （x ）＞x ，g （x ）＜x 成立，则称“f （x ）与g （x ）关于y=x 分离”．已知函数f （x ）=a x 与g （x ）=log a x （a ＞0，且a ≠1）关于y=x 分离，则a 的取值范围是 ．15．已知=1﹣bi ，其中a ，b 是实数，i 是虚数单位，则|a ﹣bi|= ．16．设某双曲线与椭圆1362722=+y x 有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为 )4,15(，则此双曲线的标准方程是 .17．已知函数322()7f x x ax bx a a =++--在1x =处取得极小值10，则ba的值为 ▲ ． 18．若函数y=ln（﹣2x ）为奇函数，则a= ．三、解答题19．（本题满分15分）若数列{}n x 满足：111n nd x x +-=（d 为常数， *n N ∈），则称{}n x 为调和数列，已知数列{}n a 为调和数列，且11a =，123451111115a a a a a ++++=. （1）求数列{}n a 的通项n a ；（2）数列2{}nna 的前n 项和为n S ，是否存在正整数n ，使得2015n S ≥？若存在，求出n 的取值集合；若不存在，请说明理由.【命题意图】本题考查数列的通项公式以及数列求和基础知识，意在考查运算求解能力.20．（本题满分12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=n（a n+1），求数列{b n}的前n项和T n．21．如图，已知AB为⊙O的直径，CE⊥AB于点H，与⊙O交于点C、D，且AB=10，CD=8，DE=4，EF与⊙O切于点F，BF与HD交于点G．（Ⅰ）证明：EF=EG；（Ⅱ）求GH的长．22．求下列各式的值（不使用计算器）：（1）；（2）lg2+lg5﹣log21+log39．23．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】设函数()1ln 1f x a x x=+-． （1）当2a =时，求函数()f x 在点()()11f ，处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性；（3）当102a <<时，求证：对任意1+2x ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭，，都有1e x aa x +⎛⎫+< ⎪⎝⎭．24．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =a n ﹣，数列{b n }中，b 1=1，点P （b n ，b n +1）在直线x ﹣y+2=0上．（1）求数列{a n }，{b n }的通项a n 和b n ； （2）设c n =a n •b n ，求数列{c n }的前n 项和T n ．南昌县第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】∵f（x+1）=3x+2=3（x+1）﹣1∴f（x）=3x﹣1故答案是：A【点评】考察复合函数的转化，属于基础题．2．【答案】C【解析】解：∵对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，∴令x1=x2=0，得f（0）=﹣1∴令x1=x，x2=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x）+1，∴f（x）+1=﹣f（﹣x）﹣1=﹣[f（﹣x）+1]，∴f（x）+1为奇函数．故选C【点评】本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．3．【答案】B【解析】解：把函数y=cos（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）=cos[2（x+）+φ]=cos（2x+φ+）的图象关于直线x=对称，则2×+φ+=kπ，求得φ=kπ﹣，k∈Z，故φ=﹣，故选：B．4．【答案】D【解析】解：依题意，不等式化为，解得﹣1＜x≤2，故选D【点评】本题主要考查不等式的解法，关键是将不等式转化为特定的不等式去解．5．【答案】C【解析】解：由题意，关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）共有5个根，从左向右分别为x1，x2，x3，x4，x5，则x≥1，f（x）=，对称轴为x=3，根据对称性，x≤﹣1时，函数的对称轴为x=﹣3，∴x1+x2=﹣6，x4+x5=6，∵0＜x＜1，f（x）=log2（x+1），∴﹣1＜x＜0时，0＜﹣x＜1，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣log2（﹣x+1），∴﹣log2（1﹣x3）=﹣a，∴x3=1﹣2a，∴x1+x2+x3+x4+x5=﹣6+1﹣2a+6=1﹣2a，故选：C．6．【答案】D【解析】解：∵命题p；对任意x∈R，2x2﹣2x+1≤0是假命题，命题q：存在x∈R，sinx+cosx=是真命题，∴①不正确，②正确，③不正确，④正确．故选D．7．【答案】D111]【解析】考点：相等函数的概念.8．【答案】D【解析】解：由题意，将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED内过点D作DK⊥AE，K 为垂足，由翻折的特征知，连接D'K，则D'KA=90°，故K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是，如图当E 与C 重合时，AK==，取O 为AD ′的中点，得到△OAK 是正三角形．故∠K0A=，∴∠K0D'=，其所对的弧长为=，故选：D ．9． 【答案】D 【解析】试题分析： 数列n n n a 2728-+=，112528++-+=∴n n n a ，11252722n nn nn n a a ++--∴-=- ()11252272922n n n n n ++----+==，当41≤≤n 时，n n a a >+1,即12345a a a a a >>>>；当5≥n 时,n n a a <+1,即...765>>>a a a .因此数列{}n a 先增后减,32259,55==∴a n 为最大项，8,→∞→n a n ，2111=a ,∴最小项为211，M m +∴的值为3243532259211=+．故选D.考点：数列的函数特性. 10．【答案】A【解析】解：∵线段AB 在平面α内， ∴直线AB 上所有的点都在平面α内， ∴直线AB 与平面α的位置关系： 直线在平面α内，用符号表示为：AB ⊂α故选A ．【点评】本题考查了空间中直线与直线的位置关系及公理一，主要根据定义进行判断，考查了空间想象能力．公理一：如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上．11．【答案】A【解析】解：由于函数y=sin （3x+）=sin[3（x+）]的图象向右平移个单位，即可得到y=sin[3（x+﹣）]=sin3x 的图象，故选：A ．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象平移变换，属于中档题．12．【答案】B【解析】二、填空题13．【答案】5．【解析】解：P（1，4）为抛物线C：y2=mx上一点，即有42=m，即m=16，抛物线的方程为y2=16x，焦点为（4，0），即有|PF|==5．故答案为：5．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查两点的距离公式，及运算能力，属于基础题．14．【答案】（，+∞）．【解析】解：由题意，a＞1．故问题等价于a x＞x（a＞1）在区间（0，+∞）上恒成立．构造函数f（x）=a x﹣x，则f′（x）=a x lna﹣1，由f′（x）=0，得x=log a（log a e），x＞log a（log a e）时，f′（x）＞0，f（x）递增；0＜x＜log a（log a e），f′（x）＜0，f（x）递减．则x=log a（log a e）时，函数f（x）取到最小值，故有﹣log a（log a e）＞0，解得a＞．故答案为：（，+∞）．【点评】本题考查恒成立问题关键是将问题等价转化，从而利用导数求函数的最值求出参数的范围．15．【答案】．【解析】解：∵=1﹣bi，∴a=（1+i）（1﹣bi）=1+b+（1﹣b）i，∴，解得b=1，a=2．∴|a﹣bi|=|2﹣i|=．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．16．【答案】15422=-x y 【解析】试题分析：由题意可知椭圆1362722=+y x 的焦点在y 轴上，且927362=-=c ，故焦点坐标为()3,0±由双曲线的定义可得()()()()4340153401522222=++---+-=a ,故2=a ，5492=-=b ，故所求双曲线的标准方程为15422=-x y ．故答案为：15422=-x y ． 考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质． 17．【答案】12-考点：函数极值【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号. （2）已知函数求极值.求f ′（x ）―→求方程f ′（x ）＝0的根―→列表检验f ′（x ）在f ′（x ）＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.（3）已知极值求参数.若函数f （x ）在点（x 0，y 0）处取得极值，则f ′（x 0）＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.18．【答案】 4 ．【解析】解：函数y=ln （﹣2x ）为奇函数，可得f （﹣x ）=﹣f （x ），ln （+2x ）=﹣ln （﹣2x ）．ln （+2x ）=ln （）=ln （）．可得1+ax 2﹣4x 2=1，解得a=4． 故答案为：4．三、解答题19．【答案】（1）1n a n=，（2）详见解析.当8n =时911872222015S =⨯+>>，…………13分∴存在正整数n ，使得2015n S ≥的取值集合为{}*|8,n n n N ≥∈，…………15分20．【答案】解：（1）∵a n+1=2a n +1， ∴a n+1+1=2（a n +1）， 又∵a 1=1，∴数列{a n +1}是首项、公比均为2的等比数列， ∴a n +1=2n ， ∴a n =﹣1+2n ； 6分（2）由（1）可知b n =n （a n +1）=n •2n =n •2n ﹣1，∴T n =1•20+2•2+…+n •2n ﹣1，2T n =1•2+2•22…+（n ﹣1）•2n ﹣1+n •2n ，错位相减得：﹣T n =1+2+22…+2n ﹣1﹣n •2n=﹣n •2n=﹣1﹣（n ﹣1）•2n ， 于是T n =1+（n ﹣1）•2n ．则所求和为12nn - 6分21．【答案】【解析】（Ⅰ）证明：连接 AF 、OE 、OF ，则A ，F ，G ，H 四点共圆 由EF 是切线知OF ⊥EF ，∠BAF=∠EFG ∵CE ⊥AB 于点H ，AF ⊥BF ， ∴∠FGE=∠BAF ∴∠FGE=∠EFG ， ∴EF=EG …（Ⅱ）解：∵OE 2=OH 2+HE 2=OF 2+EF 2，∴EF 2=OH 2+HE 2﹣OF 2=48，∴EF=EG=4，∴GH=EH ﹣EG=8﹣4…【点评】本题考查圆的内接四边形的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．22．【答案】【解析】解：（1）=4+1﹣﹣ =1； （2）lg2+lg5﹣log 21+log 39=1﹣0+2 =3．【点评】本题考查对数的运算法则的应用，有理指数幂的化简求值，考查计算能力．23．【答案】（1）10x y --=；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】试题分析：（1）当2a =时，求出导数易得()'11f =，即1k =，利用点斜式可得其切线方程；（2）求得可得()21'ax f x x -=，分为0a ≤和0a >两种情形判断其单调性；（3）当102a <<时，根据（2）可 得函数()f x 在()12，上单调递减，故()11a f f x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即ln 1a a a x x a⎛⎫+<⎪+⎝⎭，化简可得所证结论. 试题解析：（1）当2a =时，()12ln 1f x x x =+-，()112ln1101f =+-=，()221'f x x x =-，()221'1111f =-=，所以函数()f x 在点()10，处的切线方程为()011y x -=⨯-，即10x y --=．（2）()1ln 1f x a x x =+-，定义域为()0+∞，，()2211'a ax f x x x x-=-=． ①当0a ≤时，()'0f x <，故函数()f x 在()0+∞，上单调递减； ②当0a >时，令()'0f x =，得1x= 综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0+∞，上单调递减；当0a >时，函数()f x 在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增． （3）当102a <<时，由（2）可知，函数()f x 在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，显然，12a >，故()1120a ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭，，，所以函数()f x 在()12，上单调递减，对任意1+2x ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭，，都有01a x <<，所以112a x <+<．所以()11a f f x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即1ln 1101a a a x x ⎛⎫++-< ⎪⎝⎭+，所以ln 1a a a x x a ⎛⎫+<⎪+⎝⎭，即1ln 1a x x a ⎛⎫+< ⎪+⎝⎭，所以()ln 11a x a x ⎛⎫++< ⎪⎝⎭，即ln 11x aa x +⎛⎫+<⎪⎝⎭，所以1e x aa x +⎛⎫+< ⎪⎝⎭．24．【答案】【解析】解：（1）∵S n =a n ﹣， ∴当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=a n ﹣﹣，即a n =3a n ﹣1，． ∵a 1=S 1=﹣，∴a 1=3．∴数列{a n }是等比数列，∴a n =3n．∵点P （b n ，b n+1）在直线x ﹣y+2=0上， ∴b n+1﹣b n =2，即数列{b n }是等差数列，又b 1=1，∴b n =2n ﹣1．（2）∵c n =a n •b n =（2n ﹣1）•3n，∵T n =1×3+3×32+5×33+…+（2n ﹣3）3n ﹣1+（2n ﹣1）3n， ∴3T n =1×32+3×33+5×34+…+（2n ﹣3）3n +（2n ﹣1）3n+1， 两式相减得：﹣2T n =3+2×（32+33+34+…+3n ）﹣（2n ﹣1）3n+1，=﹣6﹣2（n﹣1）3n+1，∴T n=3+（n﹣1）3n+1．。