14 分形理论及其应用.ppt
分形理论的详细介绍PPT36页
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
分形理论及其应用
结语
• 分形理论是近些年发展起来的一门新学科。已被广泛的应 用到自然科学和社会科学几乎所有的领域，成为当今国际 上许多学科的前沿课题一种，然而我们还需要进行深入研 究： 如何判断一个对象是分形还是多重分形，还给分形一个严 谨的定义还需努力。 分形维数的物理意义。是描述分形特征的定量参数，但如 何理解分维确切的物理意义？ 分形的重构问题。既是任给一个几何上认为是分形的图形， 能否以某个制定的方式生成它？ 分形曲线的导数问题；分形的小波分析及小波变换产生分 形问题；图像的分形压缩问题等等。 • 总之，上面提到的这些问题对分形理论的发展至关重要， 需要人们深入进行探讨和研究。而分型理论作为非线性科 学的一个组成部分，它必将在发展中不断完善和走向成熟。
• 几种典型的分形：
Koch 曲线 Julia 集
三分康托集
1883年，德国数学家康托(G.Cantor)提出了如今广为人 知的三分康托集。三分康托集是很容易构造的，然而， 它却显示出许多最典型的分形特征。它是从单位区间出 发，再由这个区间不断地去掉部分子区间的过程构造出 来的(如右图)。其详细构造过程是： • 第一步，把闭区间[0,1]平均分为三段， [0,1] 去掉中间的 1/3 部分段，则只剩下两个 闭区间[0,1/3]和[2/3,1]。 三分康托集的构造过程 • 第二步，再将剩下的两个闭区间各自平均分为三段，同 样去掉中间的区间段，这时剩下四段闭区间：[0,1/9]， [2/9,1/3]，[2/3,7/9]和[8/9,1]。 • 第三步，重复删除每个小区间中间的 1/3 段。如此不断 的分割下去， 最后剩下的各个小区间段就构成了三分 康托集。 三分康托集的 Hausdorff维数是0.6309。
Julia 集
Julia 集是由法国数学家 Gaston Julia 和 Pierre Faton 在发展了复变函数迭代的基础 理论后获得的。Julia 集也是一个典型的分形， 只是在表达上相当复杂，难以用古典的数学 方法描述。 • Julia 集由一个复变函数 •
分形理论及其应用
分形理论及其应⽤分形⼏何及其在城市研究中的应⽤⼀、分形概述1975年，著名科学家曼德布罗特（B.B.Mandelbrot）发表了其专著《分形：形态、机遇和维数》，这标志着分形⼏何学的诞⽣。
分形⼏何学是相对于传统欧⽒⼏何学的不⾜⽽建⽴的，由此发展起来的分形理论是现代⾮线性科学研究中的⼀门新兴数学分⽀，在众多学科领域中有着⼴泛的应⽤。
普通的⼏何对象，具有整数维数。
零维的点、⼀维的线、⼆维的⾯、三维的体、四维的时空等。
⽽分形则是具有⾮整数的分维的⼏何对象。
其主要的价值是在极端有序和极端混沌之间提供了⼀种可能性。
其显著的特征是：看来⼗分复杂的事物，事实上⼤多数均可⽤公含很少参数的简单公式来表达。
1、科赫曲线分形⼏何学的研究对象是不光滑的、不规则的，甚⾄⽀离破碎的空间⼏何形态。
分形的典型例⼦，科赫曲线（Koch Curve）便是以初等数学⽅法构造的⼀类处处不可导。
构造过程如下图：取长度为1的直线段，称为初始元（initiator），将该线段的中间1/3⽤⼀个隆起等边三⾓形的另两边替代，得到⼀条由四个等长直线段构成的折线，称为⽣成元（generator）。
再将⽣成元中的四个直线段中的每⼀个，都⽤⼀个缩⼩为1/3的⽣成元代替，从⾯形成了⼀条有次级隆起的折线。
这样⼀直进⾏下去，得到科赫曲线。
显然，科赫曲线的“内部”结构与整体相似。
2．⾃相似性与标度不变性如果⼏何对象的⼀个局部放⼤后与其整体相似，这种性质称为⾃相似性，⽐如树。
地质现象的描述离不开标度，在地质上，对⼀些地质现象拍照时，⼀定要放上⼀个能表⽰尺度⼤⼩的物体，如⼀枚硬币，⼀把锤⼦等。
因为，如果没有这些东西，就很难在确定这些照⽚是反映什么尺度范围内的现象，可能是10⽶还是10公⾥等。
当观测标度变化时，⼏何体的许多性质保持不变，称为标度不变性。
具有⾃相似性或标度不变性的⼏何对象，我们说它们是分形的。
3.分形的定义1．部分以某种形式与整体相似的形状叫做分形。
（B.B.Mandelbrot）2．分形集合是这样⼀种集合，它⽐传统⼏何学研究的所有集合更加的不规则，⽆论是放⼤还是缩⼩，这种集合的不规则性仍然是明显的。
分形及其应用
分形及其应用随着计算机技术的飞速发展，分形逐渐成为了一个备受关注的领域，被广泛应用于自然与科学领域。
分形，是指一类自相似的几何图形或非几何对象，具有无限个自相似部分，其中每个部分都与另一部分具有相同的形状，但它们的大小不同，具有不同的比例尺度。
分形不仅仅是一种普通的图形，更是一种透视现实的方式，既可以揭示自然界的本质规律，也可以为科学家们提供解决问题的思路和方法。
分形的历史可以追溯到上个世纪60年代，当时由荷兰数学家曼德布洛特（Benoit Mandelbrot）首次将分形这一概念引入科学领域。
数学家们经过多年的研究发现，分形在几何学、生物医学、地质学、流体力学等领域都有广泛的应用。
在几何学中，分形理论被用来研究极为复杂的图形。
例如，科学家们发现云朵、树枝、脉络等自然图形均具有分形特性，这些图形无法用传统的几何学方法进行测量和研究。
但是通过分形维度的计算方法，可以精确地描述这些几何图形，揭示出其中的规律性和美感。
在生物医学领域，分形被用来研究人体组织的结构和形态。
科学家们将分形维度应用于图像处理，可以对计算机断层扫描（CT）和磁共振成像（MRI）等医学图像进行很好的处理和分析。
化疗方案优化、重要器官定位和肿瘤病灶检测等都有着广泛的应用。
在地质学领域中，分形理论被用来研究和预测地震等自然灾害。
科学家们通过分析地震的时间序列数据和震源机制，发现地震波形具有分形特性。
这一发现推动了地震预警技术的发展，可以在地震发生前几秒或几十秒提前通报地震信息，保护人民生命财产安全。
在流体力学领域中，分形被用来研究更复杂的流体现象。
科学家们发现海浪、瀑布、云层等自然图形均具有分形特性，通过对海浪、波纹等的分形维度的计算和分析，可以预测更复杂的水体流动规律。
除此之外，分形还广泛应用于经济、金融领域中，帮助人们更好的理解和预测市场模型的复杂性。
分形不仅具有理论价值，更具有实际应用。
只要我们用心去观察周围的事物，就会发现分形无处不在。
浙教版九年级数学上册分形理论及其应用课件
X1 ： (x1，x2，，xm )
X X
2 3
： (x2，x3，，xm1 ) ： (x3，x4，，xm2 )
X
4
： (x4，x5，，xm3 )
把相点X1，X2，…，Xi，…，依次连起来就是一 条轨线。因为点与点之间的距离越近，相互关联
的程度越高。设由时间序列在m维相空间共生成
分形维数的定义和测算
维数是几何对象的一个重要特征量，传统 的欧氏几何学研究、立方体等非常规整的 几何形体。按照传统几何学的描述，点是 零维，线是一维，面是二维，体是三维。 但仔细观看，对于大自然用分型维数来描
述可能会更接近实际。
几种测定分维数
(1)拓扑维数
一个几何对象的拓扑维数等于确定其中一个点 的位置所需要的独立坐标数目。
若r取得太大，所有点对的距离都不会超过它，
C(r)=1，lnC(r)=0。测量不出相点之间的关联。
适当缩小测量尺度r，可能在r的一段区间内有
C(r) r D
如果这个关系存在，D就是一种维数，把它称
为关联维数，用D2表示，即
D2
lim
r 0
ln C(r) ln r
标度律与多重分形
(1)标度律
个相点X1，X2，…，XN，给定一个数r，检查有 多少点对(Xi，Xj)之间的距离|Xi-Xj|小于r，把距离 小于r的点对数占总点对数N2的比例记作C(r)，
C(r) 1
N
(r
N2 i, j1
Xi X j
)
i j
(
x)
1，x 0，x
0 0
为Heaviside阶跃函数
分形几何理论与应用
分形几何理论与应用分形几何理论是一种独特的数学理论，它研究的不是传统意义上的整数、有理数或代数等，而是那些细致、复杂、无规则的自相似结构。
这个理论的发展和应用可以追溯到上世纪60年代，由波兰数学家曼德博特和法国数学家朱利亚·帕西亚斯开创并推动。
分形几何理论的应用范围广泛，涉及到自然科学、工程技术、艺术设计等领域。
本文将介绍分形几何理论的基本概念、应用案例以及未来的发展趋势。
一、基本概念分形几何理论的核心概念是“分形”。
分形是一种具有自相似性质的几何形状或图形，即整体的某一部分与整体本身具有相似的结构。
分形可以是自然界中的云朵、树叶、山脉等，也可以是数学模型中的图形、曲线等。
分形具有以下基本特征：1. 自相似性：分形的一部分与整体具有相似的结构，无论进行何种放大或缩小，都能保持这种相似性。
2. 细节复杂性：分形结构的细节非常复杂，无法用简单的几何形状或方程进行描述。
3. 尺度无关性：分形的特征在不同尺度上都存在，并且不会随着放大或缩小而改变。
二、应用案例1. 自然科学领域：分形几何理论在自然科学领域的应用广泛。
例如，地理学家可以利用分形理论来研究地貌形态的分布规律，了解山脉、河流等地貌形状的演化过程。
生物学家可以利用分形模型来研究植物、动物体内的血管网络结构。
天文学家可以用分形几何理论解释银河系的分布规律等。
2. 工程技术领域：分形几何理论在工程技术领域的应用也非常广泛。
例如，在传输网络设计中，可以采用分形模型来提高网络的稳定性和可靠性。
在材料科学中，可以利用分形几何理论来研究材料的表面粗糙度和纹理结构，从而优化材料的性能。
在城市规划中，分形理论可以帮助设计人员更好地解决交通流量、建筑物布局等问题。
3. 艺术设计领域：分形几何理论对艺术设计也有很大的启发。
艺术家可以运用分形的特性创作出具有美感和复杂性的艺术作品。
分形图形的迭代、放大和变换等操作可以产生各种独特的视觉效果，被广泛用于绘画、雕塑和数字艺术等领域。
分形及其应用(选修课)1市公开课一等奖省赛课微课金奖PPT课件
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科赫曲线准确自相同
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（2）近似自相同
——自然界存在分形现象多数都是近似 自相同，也就是说，用不一样尺度观察 一个物体，所看到结构是可识别相同形 状，而不是准确相同形状。以下列图所 表示树叶在三次放大时，每次观察结构 都有相同之处，不过它们却不是完全相 同图案，所以它属于近似自相同分形。
1986年，他又提出了另外一个比较实用定义， 即
定义2：组成部分以某种方式与整体相同形，称作 为分形。
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法尔科内给出定义
正如生物学家难以给“生命”下一个严格
明确定义，而通常只是列出生命体一系列特征
来加以说明一样，法尔科内参考生物学家做法，
经过列出分形详细特征来给分形下定义。
所以，他从特征角度将分形（分形集F）
4x
线、点、面分割与测量示意图
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对于一条单位长度线段，若将它等分 N=4段，则每段长度为r=1/N=1/4，显然 有N·r=1。从测量角度了解，相当于用r 去测量线段长度，那么测量尺度数N(r) 与尺度r之间含有以下关系
N (r) 1/ r ~ r 1
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一样，若测量一块单位面积二维正
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芒德勃罗特给出定义
1975年，芒德勃罗特教授在其著作《分形对 象：形、机遇与维数》一书中引入了分形这一 概念。他在1982年时候曾试图给分形下过一个 数学定义，即 定义1：假如一个集合在欧氏空间中豪斯多夫维数 DH（Hausdorff Dimension）严格大于拓扑维数 DT，则该集合为分形集，简称为分形。普通说 来，DH不是整数，而是分数。
分形理论ppt课件
分形理论在图象压缩中的应用
为什么分形理论能用于图象压缩
图象压缩：指在没有明显失真的前提下，将图象的
位图信息转变成另外一种能将数据量缩减的表达形 式。 首先，尽管图象中数据量很大，但数据之间不是完 全独立的，图象中存在着各种各样的相关性或冗余 信息。即一部分数据可以由另一部分数据完全推算 出来。 其次，大部分图象视频信号的最终接收者都是人眼， 人眼对图象中的不同部分的敏感程度是不同的。
(3)通常分形集的“分形维数”比它的拓扑维数要大；－－ －说明了分形的复杂性
(4)许多情况下，分形集是非常简单的，或者是递归的。－ －－说明了分形的生成机制 －－－自相似性是分形的灵魂 它使得分形的任何一个片段都包含了整个分形的信息
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分形理论简介
五、分形的应用范围
分形观念的引入并非仅是一个描述手法上的改变，
（2）部分与整体以某种形式相似的形，称为分形
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分形理论简介
四、分形的特点
(1)分形的最基本特征是所谓的“自相似性”。如图1
(2)该集有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含整体。 如图2
(3)通常分形集的“分形维数”比它的拓扑维数要大；－－ －说明了分形的复杂性
(4)许多情况下，分形集是非常简单的，或者是递归的。－ －－说明了分形的生成机制 －－－自相似性是分形的灵魂 它使得分形的任何一个片段都包含了整个分形的信息
分形理论
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分形理论简介
一、什么是分形？ 1、问题的引入 －－英国的海岸线有多长
2、欧氏几何的局限性 －－欧氏几何主要是基于中小尺度上的点、线、面 之间的关系
3、分形----自然几何
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分形理论简介
二、分形的发展
萌芽：1919年以前