多相电路坐标变换的一般理论

R 中的一个平面 , ed i , eq i 则构成平面上的一组旋转
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转子角速度 ; 当 n 为偶数时 , m = nΠ 2 - 1 ; 当 n 为奇 数时 , m = ( n - 1) Π 2 ,并去掉最后一行 。 若一个 n 相电路的状态量在自然坐标系下表 T 示为 x = [ x1 x2 … x n ] ,在转换后的旋转坐标系中 , 相应的信号表示为 y = [ y1 y2 … y n ] , 则有 y = C
i = 1 ,2 , …, n
( 12)
图1 子空间描述
Fig. 1 Description of the subspace
经变换后有
∞
信号 x + = [ x1 + x2 + … x n+ ] ,其各相信号相位差为 j ・ ( 2π Πn) , j = 1 ,2 , …m ,即 :
xi + =
n n
( 6)
通过变换矩阵 C , 我们可以将 R 中的信号投 影到由{ ed i , eq i }张成的平面上来进行研究 。下面的 讨论将沿用三相电路中关于正负零序分量的定义 。 311 正序分量 在自然坐标系下 ,假设只含有正序分量的 n 相

n
其中 , vi = span{ ed i , eq i } , i = 1 ,2 , …, m ,每个 V i 是
电工电能新技术
第 25 卷
将 x ( t) 分解为基波信号和谐波信号两部分 , 有 x ( t ) = x + ( t ) + x h ( t ) , 其 中 : x h = [ x1 k x2k …
x nk ] 。
∞
T
xi h =
2
k =2
∑I
jk
θ - j ・( i - 1) ・ cos[ k 2π Πn - φjk ]
e01 = [1 1 … 1 … 1]Π 2 e02 = [1 - 1 … ( - 1)
k +1
… - sin (θ - i ・k ・ 2π Πn)
i = 1 ,2 , …, m
… - sin[θ - i ・( n - 1) ・ 2π Πn ]
( 4)
图 1 所示) 。V 0 由 { e01 , e02 } 张成 ,为静止坐标系 , 它
还需要添加合理的制约条件 。在三相电路坐标变换 理论中 ,一般采用保持变换前后瞬时功率不变的制
收稿日期 :2005209208
基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 (50595411 , K5112515E1) 作者简介 : 陈菊明 (19762) , 男 , 江苏籍 , 博士研究生 , 研究方向为电力系统非线性控制和电能质量 ; 刘 锋 (19772) , 男 , 重庆籍 , 博士后 , 研究方向为电力系统非线性控制 ; 梅生伟 (19642) , 男 , 河南籍 , 教授 , 博导 , 研究方向为电力系统分析与控制 ; 卢 强 (19362) , 男 , 安徽籍 , 院士 , 教授 , 博导 , 研究方向为电力系统分析与控制 。 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
中图分类号 : TM714 文献标识码 : A 文章编号 : 100323076 (2006) 0120044205
1 引言
多相电路技术在电力传输和电机控制等方面有 着广泛的应用前景 。多相输电系统与三相系统相比 [1 ,2 ] 具有很多潜在优势 ,而多相交流电动机对变流器 [3 ] 的每个桥臂要求的额定功率小 , 且其力矩密度更 [4 ,5 ] 大、 力矩波动更小 , 适合应用于大容量的变频调 速系统 。但必须指出的是 , 多相电路系统还有很多 问题需要研究 ,例如与三相系统相比 ,多相系统的运 行故障组合类型迅速增加 ,给故障的分析计算 、 继电 [1 ] 保护的设计整定带来了巨大困难 。此外 , 多相电 机的变频调速控制 、 故障诊断以及多相电路的谐波 分析与补偿都是值得研究的问题 , 而上述问题的解 决需要研究和发展新的多相电路坐标变换理论 。 电路坐标变换从数学上看是一个非奇异坐标变 换 。单位正交变换 T 是一满足内积不变的满秩变 换 ,它可以把欧式空间或者酉空间中任一组标准正 交基 E1 , E2 , … En 变 换 为 另 一 组 标 准 正 交 基 T
2 多相电路坐标变换理论
除非特别指明 ,本文以下讨论均为 n 相 ( n ≥ 3) 电路 。为叙述方便 ,与三相系统中坐标名 abc 和 dp0 相对应 ,多相坐标系中坐标名分别为自然坐标系和 旋转坐标系 。首先我们建立从自然坐标系到旋转坐 标系的转换理论 , 它由一个转换矩阵实现然后再讨 论它的各种性质 。 定义 1 : n 相电路从自然坐标系到旋转坐标系的转换矩 ) ( 简记为 C) 定义为式 ( 1) 。 阵 C (θ 式 ( 1) 中 , n ≥ 3 ; k = 1 ,2 , …, n - 1 ;θ = ω t ,ω 是
3 多相电路坐标变换的时空对称律
电力系统中的信号一般都是周期信号 , 故其在 时间上满足对称性 。以下的研究表明 , 时间上的对 称性通过变换作用将导致空间上的对称性 。这一性
分量不为 0 。当 n = 3 时 ,这两个非零分量正好对应 质对分析电路问题具有重要意义 。 于三相电路 dq0 变换中的 dq 轴分量 。这表明该变 变换公式 ( 1) 是由 n 组正交基组成 ,分别为 : T ( 3) 换是三相电路 dq0 变换在 n 相电路中的一般性推 C = [ ed1 eq1 … ed i eq i … edm eqm eo1 eo2 ] 广 。与三相电路 dq0 变换相似 , 该变换不但适合于 其中 : θ ed i = [ cos cos (θ - i ・ 2π Πn) … cos (θ - i ・k ・ 2π Πn) … cos[θ - i ・( n - 1) ・ 2π Πn ] θ - sin (θ - i ・ eq i = [ - sin 2π Πn)
T
( 2)
其中 α是常数 。证毕 。
2
n
θ cos
- sinθ
cos (θ - 2π Πn) - sin (θ - 2π Πn)
… … … …
cos (θ - k ・ 2π Πn) - sin (θ - k ・ 2π Πn)
… … … …
cos[θ - ( n - 1) ・ 2π Πn ] - sin[θ - ( n - 1) ・ 2π Πn ] cos[θ - i ・( n - 1) ・ 2π Πn ] - sin[θ - i ・( n - 1) ・ 2π Πn ]
第1期
陈菊明 ,等 : 多相电路坐标变换的一般理论 性质 2 基频正序信号经过变换后是常数 。 证明 : 设原信号为 ) cos (θ + α - 2π x = [ cos (θ + α Πn) … cos (θ + α - 2π kΠn) …
T cos[θ + α - 2π( n - 1) Πn ] ]
第 25 卷 第 1 期 2006 年 1 月
电工电能新技术 Advanced Technology of Electrical Engineering and Energy
Vol . 25 , No. 1 Jan. 2006
多相电路坐标变换的一般理论
陈菊明 , 刘 锋 , 梅生伟 , 卢 强
… θ cos ×
- sinθ cos (θ - i ・ 2π Πn) - sin (θ - i ・ 2π Πn)
…
cos (θ - i ・k ・ 2π Πn) - sin (θ - i ・k ・ 2π Πn)
… θ ( θ cos cos - m ・ 2π Πn) - sinθ - sin (θ - m ・ 2π Πn)
1 2 1 1
( 11 清华大学电机系电力系统国家重点实验室 , 北京 100084 ; 21 中国科学院系统科学研究所 , 北京 100080)
摘要 : 与现有的三相电路相比 ,多相电路中还有很多问题需要研究 。电路坐标变换是研究和分析 这些问题的重要工具之一 。本文提出了多相电路坐标变换的一般理论 ,并从物理和几何的角度分 析了该变换的内在本质 ,归纳了它的时空对称律 。事实上 ,经过坐标变换 ,我们可以在维数更低的 子空间 ( 甚至是在平面上) 来研究信号 。可以看到 ,该变换可以很好地包含传统的三相电路的坐标 变换理论 ,而且它有助于建立多相电路谐波检测 、 多相电机独立控制 、 多相电路故障诊断等应用的 理论基础 。作为示范性例子 ,本文还给出了多相系统中谐波检测问题的解决方案 。 关键词 : 多相电路 ; 变换 ; 谐波检测
(θ ) x 。下面给出该变换的两个重要性质 。 ) 是单位正交阵 。 性质 1 变换矩阵 C (θ - 1 T 该性质可由直接计算 C = C 得证 。它说明 变换 ( 1) 满足瞬时功率不变的制约条件 。
C =
T
则变换后的信号为
y = nΠ 2 [ cosα sinα 0 0 … 0]
根据性质 2 , 可以得到旋转坐标系下信号 y + ( t ) 的
T φj … 相量表达式为 y + ( t ) = nIj ・ [0 … cosφ 0] 。 j sin 显然 , y + ( t ) 只在 V j 平面上有投影 ,且投影为常量 , 即 y + = Cx + = V j x + ,如图 2 ( a) 所示 。
1Π 2 1Π 2 1Π 2 - 1Π 2
… ( θ … cos - m ・k ・ 2π Πn) … - sin (θ - m ・k ・ 2π Πn) …