微积分基本定理1
微积分基本定理的推导
微积分基本定理的推导微积分在数学领域中占有重要的地位，它是研究变化的数学分支。
微积分分为微分和积分两个部分，微分用于研究函数的变化，而积分则是对函数的累积。
微积分基本定理是微积分的基础，下面将对微积分基本定理进行推导。
一、微积分基本概念在进行微积分基本定理的推导之前，我们需要了解微积分的一些基本概念。
1.导数导数是描述函数变化率的数学工具，它表示函数在某一点上的变化速率。
求导数的过程叫做微分。
设y=f(x)，则函数f在点x处的导数表示为：f'(x) = lim((f(x+h)-f(x))/h)，h→02.不定积分不定积分表示对函数进行积分，但不规定积分上下限。
设f(x)为连续函数，则对f(x)进行不定积分的结果表示为：∫f(x)dx3.定积分定积分表示对函数在一定区间上进行积分。
设f(x)为连续函数，a和b为区间上限和下限，则对f(x)在[a,b]区间上进行定积分的结果表示为：∫a^b f(x)dx二、了解了微积分的基本概念后，我们来推导微积分基本定理。
1.微积分基本定理第一部分微积分基本定理第一部分表明不定积分和导数之间存在一一对应的关系，即如果f(x)是一个连续函数，F(x)是f(x)的不定积分，则F(x)的导数为f(x)，即：(F(x))' = f(x)证明：我们假设F(x)是f(x)的不定积分，则有：∫f(x)dx = F(x) + C其中C为常数。
对F(x)求导数，有：(F(x))' = (F(x) + C)' = (F(x))' + C'由于C为常数，所以C'为0，得到：(F(x))' = f(x)因此，推导出微积分基本定理第一部分。
2.微积分基本定理第二部分微积分基本定理第二部分表明对函数在[a,b]区间上的定积分可以转化为对原函数F(x)在区间上的值的差值，即：∫a^b f(x)dx = F(b) - F(a)证明：假设F(x)是函数f(x)的一个原函数。
微积分学基本定理
一、问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v(t )是时
间间隔[T1 ,T2 ]上t 的一个连续函数，且v(t ) 0 ，
求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
T2 v(t )dt
T1
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
F (b)
F (a)
F ( x)ba
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意
当a
b时， b a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a ) 仍成立.
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2 x
解 当 x 0时，1 的一个原函数是ln | x |,
x
1
2
1dx x
ln |
x
|
1 2
ln1 ln 2 ln 2.
例 4 计算曲线 y sin x在[0, ]上与 x轴所围
计算: (1)
21 dx;
1x
3
1
(2) 1 (2x x2 )dx
(3)0 sin xdx;
2
(4) sin xdx;
2
(5)0 sin xdx;
例1
求
2 0
(
2
cos
x
sin
x
1)dx
.
解
原式
高三数学微积分基本定理1(新编201912)
a
a
(4) b a xdx 1 a x b
a
ln a a
(5) b sin xdx cos x b (6) b cos xdx sin x b
a
a
a
a
(2)
(x2)' 2x,
(
1 )' x
1 x2
练习
P55练习 (1)(3)(5)(7)
50,
4 25 ,
3 ln 2, 0
常用积分公式
(1) b xndx 1 xn1 b (n 1)
a
n1 a
2) b 1 dx ln x b (a, b 0) 2 ) b 1 dx ln( x) b (a, b 0)
ax
a
ax
a
b1
b
(2) dx ln x
ax
a
(3) b e xdx e x b
1.6.1 微积分基本定理
一 问题的提出
变速直线运动中位移函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v(t)是时
间间隔 [T1 ,T2 ]上 t 的一个连续函数，求物体在这
段时间内所经过的位移.
一方面, 变速直线运动中位移为
T2 v(t )dt
T1
另一方面, 这段位移可表示为 s(T2 ) s(T1 )
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a)仍成立.
2. 若 F( x) f ( x),则F ( x)称为f ( x)的一个原函数
3. 牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与积分之间的关系．
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微积分基本定理
d
x2
costdt
d
Pu Pu du
d
u
cos tdt
d x2
dx 0
dx
dx du 0
dx
cosu 2x 2x cos x2.
一般地，如果g x可导，则
gx
a
f
t
dt
f
g x
g x .
在计算有关导数时，可把上述结果作为公式使用 .
微积分基本定理
1.2 微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)
定理2
设f x在闭区间[a ，b]上连续 . 如果F x是f x在[a ，b]上的一个原函
数，则
b
a
f
x dx
F
b
F
a.
4-2
微积分基本定理
证
已知函数F x是连续函数f x的一个原函数，又根据定理1可知，积分上限的
函数
(x)
x
a
f
t
dt
4-3
也是f x的一个原函数 . 于是这两个原函数之差F x x在区间[a ，b]上必定是某一个
微积分基本定理
例4
解 因为 1 x3是x2的一个原函数，得
3
1 x2dx 0
1 3
x3
1 0
1 .
3
例5
解
பைடு நூலகம்1 dx
11 x2
(arctan
x)
1 1
π 4
( π) π . 42
微积分基本定理
例6
解
因为
所以
x
1
1 x， 1
x
1，1
x
x
1， 3
3
x 1 dx
微积分基本定理
§3微积分基本定理()baf x dx ⎰＝()ba f t dt ⎰． [,]x ab ∀∈．()()x aF x f t dt =⎰．在[,]a b 有定义．定理1 若[,]f R a b ∈，()()xaF x f t dt =⎰，则（１） ()F x 是[,]a b 上的连续函数．（２） 若()f x 在[,]a b 上连续，则()F x 是[,]a b 上可微，且()()F x f x '=． 证明：（１）0[,]x a b ∀∈，00()()()()()xx xaax F x F x f t dt f t dt f t dt -=-=⎰⎰⎰．[,]m M η∃∈．00()()()0F x F x x x η-=-→．（２）00()()()()F x F x f x x ξ-=-．00000()()limlim ()()x x x F x F x f f x x x ξξ→→-==-． 推论 ()()()()()(())()(())()x x F x f t dt f x x f x x ϕψϕϕψψ''''==-⎰．证明：设()()uaG u f t dt =⎰．()(())()x aG x f t dt ϕϕ=⎰．()(())()x aG x f t dt ψψ=⎰． ()()G u f u '=．((()))(())()G x G x x ϕϕϕ'''=． ()()()()()x x aaF x f t dt f t dt ϕψ=-⎰⎰．例１：232002sin 2limlim 33x x x x x x x ++→→==⎰． ()f x 的积分上限给出()f x 的一个原函数，即()()xaf x dx f t dt C =+⎰⎰()()xad f t dt f x dx =⎰ 若()()uaF u f t dt =⎰()u x ϕ=，则()(())()()[()]()x af t dt F u x f x x ϕϕϕϕ''''==⎰．同理，()()()[()]()[()]()x x d f t dt f x x f x x dxϕψϕϕψψ''=-⎰． 例：求极限2032000sin 22sin 2limlim lim 333x x x x x x x x x x +++→→→⋅===⎰． 二．微积分基本定理定理２ 设()f x 在[,]a b 上连续，()F x 是()f x 在[,]a b 上的一个原函数，则成立()()()()bba af x dx F b F a F x =-⎰．证明：()()xaf t dt F x c =+⎰，()0F a c +=．()()()xaf t dt F x F a ∴=-⎰． ()()()baf t dt F b F a ∴=-⎰．例２：111lim 122n n n n →∞⎛⎫+++⎪++⎝⎭1111111lim lim 121111nn x i n i n n n n n n→∞→∞=⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥=+++=⋅ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥++++ ⎪⎣⎦⎝⎭∑ 110011lim ()ln 1ln 21ni i x i f x dx x n ξ→∞==∆==+=+∑⎰． 例３：121limsin sin sinn n n n n n πππ→∞-⎛⎫+++ ⎪⎝⎭1lim ()ni i x i f x ξ→∞==∆∑1sin xdx =⎰11cos x ππ-=＝112πππ+=．三．定积分的计算１．第一类换元法：()()()(())()()u x bb aa f x x dx f u du ϕϕϕϕϕ='=⎰⎰(())()ba f x d x ϕϕ⎡⎤=⎣⎦⎰．例：cos cos cos 10sin cos ()xx x exdx e d x e e e πππ-=-=-=-⎰⎰．或cos 11111t xt te dt e e e =---=-=-=-⎰．２．第二类换元法：()()()()(())()x t baa bf x dx f t t dt ϕβαϕαϕβϕϕ==='=⎰⎰．例：2()11cos x xe x f x x-⎧≥⎪=⎨≤≤⎪+⎩ -1x 0 求：21()f x dx -⎰． 21()f x dx -⎰＝2021011cos x dx xe dx x -++⎰⎰＝20222101cos 1()1cos 2x x dx e d x x --+---⎰⎰ ＝2020111sin 2x ctgx e x --⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＝202101cos 1sin 2x x e x ----＝041sin 111cos 22x e x ---++＝41sin1(1)21cos1e --++． ３．分部积分法：()()()()()()bbba aau x v x dx u x v x v x u x dx ''=-⎰⎰．例：000sin (cos )cos sin x xdx x x xdx x ππππππ=-+=+=⎰⎰．４．利用函数的特殊性质计算积分： 定理３ ()[,]f x R a a ∈-， （１）若()f x 为偶函数，则有0()2()aaaf x dx f x dx -=⎰⎰；（２）若()f x 为奇函数，则有()0aaf x dx -=⎰．证明：()()()aa aaf x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰00()()[()()]a aaf t dt f x dx f x f x dx =--+=-+⎰⎰⎰．例：222202(sin )(cos )(sin )()(sin )x t f x dx f x dx f x dt f x dx πππππ=-==-=⎰⎰⎰⎰．例：222000sin cos sin cos 2sin cos sin cos sin cos 2x x x x dx dx A A dx x x x x x x ππππ+==⇒==+++⎰⎰⎰．例：2sin n n xdx I π=⎰，121sin [(1)sin cos ]n n n n xdx I n I x x n--==--⎰ 2201n n n n I II nπ--== 2n ≥． 210sin 1I xdx π==⎰， 02I π=．01131(1)!!22!!2132(1)!!23!!n n n I n n n n n n I n n n π---⎧=⋅⋅⋅=⋅⎪⎪-⎨---⎪=⋅⋅⋅=⎪-⎩ n=偶数 n=奇数例：设21()xt f x e dt -=⎰不能用初等函数表示，221111110000011()()()(1)(1)0(1)22x x f x dx xf x xf x dx f xe dx f e e --'=-=-=+=+-⎰⎰⎰．定理４ ()f x 是以T 为周期的可积函数，则a ∀有0()()a TTaf x dx f x dx +=⎰⎰．注：计算定积分应该注意的问题（1）换元时，上下限应改变．（2）第二类换元不必一一对应．（3）若积分函数积分区域不连续，应变形去掉不连续点．。
微积分基本定理(1)
练习题
一、填空题：
1、
d dx
b a
e
x2 2
dx
=_______
.
2、
xd (
f ( x))dx __________ .
a dx
3、 d 2 3 t ln(t 2 1)dt _______ .
dx x
4、
2 0
f
( x)dx
____，其中
f
(x)
x2 , 0 x 2 x , 1
14
么么么么方面
• Sds绝对是假的
思考题解答
x
a
f
(t
)dt
与 b x
f
(u)du都是x
的函数
dx
dx a
f (t)dt
f (x)
d dx
b
x
f
(u)du
f
(
x)
16
备用题
1.设
求
解：定积分为常数 ,
可设
1
0 f (x)d x a ,
2
0
f
(
x)
d
x
b
,
则
17
2. 设
时, = o( ) .
F( )(b a) f ( )(b a), 在a与b与之间
积分中值定理中的 可在开区间(a,b) 取得.
9
例5 求
2 0
(
2
cos
x
sin
x
1)dx
.
解
原式
2sin x cos x
x2 0
3
. 2
例6
设
f
(x)
2x 5
0 1
微积分基本定理1
31
(2x )dx 2xdx ( )dx
1
x2
1
1 x2
x2
|13
1 x
|13
(9 1) (1 3
1)
22 3
F ( x)
|ba
F (b)
F (a)
例1 计算下列定积分：
21
(1)
1
dx x
3
1
(2) (2x )dx
1
x2
求出f(x)的原 函数是关键
f (x)dx F(
a
计算定积分
1
1
x)
x
|ba
dx
F (b)
F
(a)
解：1 x dx
0
( x)dx
1
xdx
1
1
0
1 2
x2
|01
1 2
x2
|10
11 1 22
练习：计算定积分 3 x2 4 dx 0
析：原式=
（2 4-x2）dx
0
（3 x2 -4）dx
2
(4x
1 3
lim lim S
Sn
n
[ 1 (1 6 n
1 )(2 n
1 ) 2] n
5 3
1.已知汽车作变速直线运动，在时刻t(单位：h)的速 度为v(t)＝－t2＋2 (单位：km/h)，那么它在0≤t≤1时 段内行驶的位移S(单位：km)是多少？
S 1(t 2 2)dt 5
0
3
直接用定义计算比较麻烦！
解：（1）分割：在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个分点，将区间等分成个n小
区间：[0, 1 ],[ 1 , 2 ], [ i 1 , i ], ,[ n 1 ,1], 每个小区间的长度为 t 1
微积分基本定理
3 / 15
同步课程˙微积分基本定理
y
1
O
2 x
【答案】 | cos x | dx 2 cos xdx π2 ( cos x)dx 3π cos xdx
0 0 2 2
2π
π
3π
2π
【例5 】 图中阴影部分的面积总和可用定积分表示为（ A． f ( x)dx
a b
【例1 】 根据定义计算积分 x dx ．
1
1
1 1 【解析】所求定积分为两个全等的等腰直角三角形的面积，故 x dx 2 1 1 1 ． 1 2
【答案】1
2
【例2 】 根据定义计算积分
0
4 x 2 dx ．
2
【解析】所求定积分为圆 x2 y 2 4 在 x 轴上半部的半圆的面积，故 【答案】 2π
2 / 15
同步课程˙微积分基本定理 四、微积分基本定理 如果 F ( x) f ( x) ， 且 f ( x) 在 [a , b] 上可积， 则 f ( x)dx F (b) F (a) ， 其中 F ( x) 叫做 f ( x) 的
a b
一个原函数． 由于 [ F ( x) c] f ( x) ， F ( x) c 也是 f ( x) 的原函数，其中 c 为常数． 一般地，原函数在 [a , b] 上的改变量 F (b) F (a) 简记作 F ( x) b ， a 因此，微积分基本定理可以写成形式： f ( x)dx F ( x) b a F (b) F ( a) ．
【答案】
4 3
【例11】 (2 x 1)dx ______ ．
0
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2
例2 计算下列定积分，利用曲边梯形的面积，你能从计 算结果中发现什么结论吗？
(1)ò sin xdx (2)ò sin xdx
0
p
p
2p
(3)ò sin xdx
0
2p
解：因为（-cosx） sin x
'
0
sin xdx （-cosx） | （-cos）-（-cos0）=2 sin xdx （-cosx） | （-cos2）-（-cos）=-2 sin xdx （-cosx） | （-cos2）-（-cos0）=0
cos x sin x a ln x
e
新知：基本初等函数的原函数公式
被积函数f(x)
c
cx
x
n
sin x cos x
cos x sin x
a
x
x
e
x
1 x
一个原函数F(x)
1 n 1 x n 1
a ln x
e
x ln x
理论迁移
例1 计算下列定积分
1
2
1
解（１）
1 dx x
1
'
b
a
n'
n 1
b
n
+1
a
'
b
a
'
b
a
'
x '
x
b
x
a
x '
x
b
x
a
作业： P55习题1.6A组：1 B组：1.
《活页卷》检测（十一）
【巩固练习答案】
3 (1)1;(2) ln 2;(3)9; 2 1、 2 (4) e e 1; 40 7 (5) ;(6) 3ln 2 3 2
2、D;
a
b
找出f(x)的原 函数是关键
③寻找函数f(x)的原函数F(x)的方法是什么？
答：运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则逆 向求取F（x）
回顾：基本初等函数的导数公式
函数f(x) 导函数f′(x)
c
0
x
nx
n
sin x cos x a
x
x
loga x
1 x ln x
e
x
x
lnx
1 x
n 1
2 1
'
3
1 ln x x 2 1
x
2 ,
1 (2 x 2 ) dx x
2 dx ln x 1 ln 2 ln1 ln 2
1, 1 , ) 2 2因为（x ) 2 x（ x x 3 3 3 1 1 1 (2 x x2 )dx 1 2 xdx 1 x2 dx 13 1 22 2 3 =x 1 1 （9-1）+（ 1） x 3 3
A3
A4
b
b
曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值
A1
A2
a f ( x )dx A1 A2 A3 A4
b
定积分的简单性质
(1) kf ( x)dx k f ( x)dx (k为常数)
a a b b
(2) [f1 ( x) f 2 ( x)]dx f1 ( x)dx f 2 ( x)dx
(2)
2 0
(2cosx sinx 1)dx 2 cosxdx sinxdx 1dx
2 2 2 2sin x |0 ( cos x) |0 x |0
2 0
2 0
2 0
2(1 0) (0 1) ( 3
2
0)
A
h1
S2 S1
O
at ) t1 a( 0
t t2 t i 1 t i t n 1 b( btn )
ba ' Si v ti 1 t s ti 1 t s s s tti 1 n
'
S S1 S2 Si Sn
b a
或记作
f ( x)dx F ( x) F (b) F (a).
b a
F ( x ) f ( x ), 则F ( x )称为f ( x )的一个原函数
说明：
微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的联系，
同时也提供了计算定积分的一种有效方法，即只
要求出被积函数 f(x)的一个原函数F(x)，然后计
n i 1
n
积分上限
积分和
b n
即A f ( x)dx lim f (i（ ) b-a) / n
a n i 1
积分下限
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
[a , b] 积分区间
复习：定积分的几何意义是什么？
1、如果函数f（x）在[a，b]上连续且f（x）≥0时，那么： 定积分
ba ' s ti 1 Si v t t s ti 1s 1 时间段 a, b内的位移为 Si，你能分别用 t ,tv t 表示 S吗？ n
'
探究新知：
s
B
s s t
hn
Sn
s b
S
hi
Si
h2
s a
b
2、 •(1)用微积分基本定理求定积分的步骤：
•①求f(x)的一个原函数F(x)； •②计算F(b)－F(a)． •(2)注意事项： •①有时需先化简，再求积分； •② f(x) 的原函数有无穷多个，如 F(x) ＋ c ，计算 时一般只写一个最简单的，不再加任意常数c.
定积分公式 b cx | 1) (cx ) c cdx a 1 n b 2) x nx x dx x | a n+1 b 3) (sin x ) cos x cos xdx sin x | a b 4) (cos x ) sin x sin xdx - cos x | a b 1 1 b 5) (ln x ) dx ln| x || a a x x x b e | 6) (e ) e e dx a x a b | 7) (a ) a ln a a dx a ln a
2 0
.
0
2
2
2
0
0
sin xdx
y
2
sin xdx
2
0
sin xdx
ò
π
p
0
sin xdx = 2
ò
O
2p
0
sin xdx = 0
2π
x
ò
2p
p
sin xdx = - 2
【发现】
定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0：
（1）当定积分对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正数， 且等于曲边梯形的面积；
算原函数在区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.该
公式把计算定积分归结为求原函数的问题。
思考：
①函数f(x)原函数F(x)唯一吗？原函数的选择影 响最后计算结果吗？
答：不唯一，因为[F(x) c] F (x)(c 为常数)，没有影响！
' '
②计算定积分 f ( x)dx的关键是什么？
（2）当定积分对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负数， 且等于曲边梯形的面积的相反数；
（3）当定积分对应的曲边梯形位于x轴上方部分的面积与位于x轴 下方部分的面积相等时，定积分的值为零.且等于位于x轴上方的曲 边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积。
【小结】
1、 微积分基本定理
a f ( x )dx F (b) F (a )
主讲人： 2016年3月17日
复习：定积分是怎样定义？
设函数f（x）在[a，b]上连续，在[a，b]中任意插入n-1个分点：
a x0 x1 x2 xn1 xn b 把区间[a,b]等分成n个小区间，
在每个小区间 [ xi 1 , xi ] 任取i [ xi 1 , xi ] Si f (i )x
3、C;
4、B
S s b s a
Si hi tan DPC t s ti 1 t n S lim v ti 1 t n s b i 1 lim s t t
'
n ' n i 1 i 1
b
a
b
v t dt s ' t dt
s a
a
b a
bห้องสมุดไป่ตู้
S v t dt s ' t dt s b s a
a
微积分基本定理：
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F’(x)＝f（x)，则，
b
a
f ( x)dx F (b) F (a)
这个结论叫微积分基本定理（fundamental theorem of calculus)，又叫牛顿－莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula).
探究：导数与定积分的联系
一个作变速直线运动的物体的运动规律S＝S(t)。 由导数的概念可以知道，它在任意时刻t的速度 v(t)＝S’（t)。设这个物体在时间段〔a，b〕内 的位移为S，你能分别用S(t)，v(t)来表示S吗？ 从中你能发现导数和定积分的内在联系吗？
从定积分角度来看：如果物体运动的速度函数为