[推荐学习]2019版高考数学(理)(全国通用版)一轮复习课时分层作业： 三十四 5.5数列的综合应
2019版高考数学(理)(全国通用版)一轮复习课时分层作业： 八 2.5对 数 函 数 Word版含解析 (8)
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课时分层作业二十七平面向量的基本定理及向量坐标运算一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知a=(3,-2),b=(-2,1),c=(7,-4),则( )A.c=a+2bB.c=a-2bC.c=2b-aD.c=2a-b【解析】选B.设c=x a+y b,所以(7,-4)=(3x-2y,-2x+y),所以得所以c=a-2b.2.在△ABC中,点D在AB上,CD平分∠ACB.若=a,=b,=1,=2,则=( ) A.a+b B.a+bC.a+bD.a+b【解析】选B.因为CD平分∠ACB,由角平分线定理得==,所以D 为AB 的三等分点,且==(-),所以=+=+=a +b .3.(2018·青岛模拟)已知向量a =(-1,2),b =(3,m),m ∈R,则“m=-6”是“a ∥(a +b )”的 ( ) A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由题意得a +b =(2,2+m),由a ∥(a +b ),得-1×(2+m)=2×2,所以m=-6.当m=-6时,a ∥(a +b ),则“m=-6”是“a ∥(a +b )”的充分必要条件.【变式备选】已知向量a =(1,2),b =(1, 0),c =(3,4).若λ为实数且(a +λb )∥c ,则λ= ( )A. B. C.1 D.2【解析】选B.因为a +λb =(1+λ,2),(a +λb )∥c ,所以=,所以λ=.4.已知平面向量a =(1,1),b =(1,-1),则向量a -b = ( ) A.(-2,-1) B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)【解析】选 D.因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a-b=- =-=.5.(2018·南昌模拟)已知D,E是△ABC边BC的三等分点,点P在线段DE上,若=x+y,则xy的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选D.因为=+,其中=+,设=λ,λ∈,所以=+,于是所以xy==-λ2+λ+=-+,由λ∈知,xy∈.6.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若m a+n b与a-2b共线,则等于( )A.-B.C.-2D.2【解析】选 A.因为向量a=(2,3),b=(-1,2),所以a-2b=(4,-1),m a+n b=(2m-n,3m+2n),因为m a+n b与a-2b共线,所以4(3m+2n)-(-1)(2m-n)=0,所以=-.7.已知向量a=(-1,2),b=(-x,1-y)且a∥b,若x,y均为正数,则+的最小值是( ) A.9 B.8 C. D.【解析】选B.因为a∥b,所以-2x=-1+y即2x+y=1(x>0,y>0),所以+=·(2x+y)=2+2++≥4+4=8,当且仅当且x>0,y>0即x=且y=时“=”成立.二、填空题(每小题5分,共15分)8.若a与b不共线,已知下列各向量:①a与-2b;②a+b与a-b;③a+b与a+2b;④a-b与a-b.其中可以作为基底的是________(填序号).【解析】对于①,因为a与b不共线,所以a与-2b不共线;对于②,假设a+b与a-b共线,则有a+b=λ(a-b),所以λ=1且λ=-1,矛盾.所以a+b与a-b不共线;对于③,同理a+b与a+2b也不共线;对于④,因为a-b=2,所以a-b与a-b共线.由基底的定义知,①②③都可以作为基底,④不可以.答案:①②③9.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则=______.【解析】以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1),则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),所以a==(-1,1),b==(6,2),c==(-1,-3).因为c=λa+μb,所以(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2),即-λ+6μ=-1,λ+2μ=-3,解得λ=-2,μ=-,所以=4.答案:410.如图,半径为1的扇形AOB的圆心角为120°,点C在上,且∠COB=30°,若=λ+μ,则λ+μ=______.【解析】根据题意,可得OA⊥OC,以O为坐标原点,OC,OA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图所示:则有C(1,0),A(0,1),B(cos 30°,-sin 30°),即B,于是=(1,0),=(0,1),=,由=λ+μ,得:(1,0)=λ(0,1)+μ,则解得:所以λ+μ=.答案:【变式备选】在平行四边形ABCD中,E和F分别是CD和BC的中点.若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ+μ=________.【解析】选择,作为平面向量的一组基底,则=+,=+,=+,又=λ+μ=+,于是得解得所以λ+μ=.答案:1.(5分)已知a=(3,t),b=(-1,2),若存在非零实数λ,使得a=λ(a+b),则t=( ) A.6 B.-6 C.- D.【解析】选B.因为a+b=(2,t+2),所以解得t=-6. 2.(5分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,b)与n=(c os A,sin B)平行,则A= ( )A. B. C. D.【解析】选B.因为m∥n,所以a sin B-bc os A=0,由正弦定理,得sin Asin B-sin B c os A=0,又sin B≠0,从而t a n A=,由于0<A<π,所以A=.【变式备选】已知向量a=(sin θ,-1),b=,且a∥b,则sin 2θ的值为( )A. B.-C. D.-【解析】选D.向量a=(sin θ,-1),b=,且a∥b,可得sin θc os θ=-,则sin 2θ=-.3.(5分)在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,DC∥AB,AD=DC=1,AB=2,E,F分别为AB,BC的中点,以A为圆心,AD为半径的圆弧DE的中点为P(如图所示),若=λ+μ,则λ+μ的值是________.【解析】建立如图所示直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1),E(1,0),F,所以=(-1,1), =,则=λ+μ=,又因为以A圆心,AD为半径的圆弧DE的中点为P,所以点P的坐标为P,=,所以-λ+μ=,λ+μ=,所以λ=,μ=,所以λ+μ=.答案:4.(12分)已知a=(1,0),b=(2,1).(1)当k为何值时,k a-b与a+2b共线.(2)若=2a+3b,=a+m b,且A,B,C三点共线,求m的值.【解析】(1)k a-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).因为k a-b与a+2b共线,所以2(k-2)-(-1)×5=0,即2k-4+5=0,解得k=-.(2)因为A,B,C三点共线,所以∥.所以存在实数λ,使得2a+3b=λ(a+m b)=λa+λm b,又a与b不共线,所以解得m=.5.(13分)已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5),且=+t (t∈R),问:(1)t为何值时,点P在x轴上?点P在第二、四象限角平分线上?(2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.【解析】(1)因为O(0,0),A(1,2),B(4,5),所以=(1,2),=(3,3),=+t=(1+3t,2+3t).若P在x轴上,只需2+3t=0, t=-;若P在第二、四象限角平分线上,则1+3t=-(2+3t),t=-.(2)=(1,2),=(3-3t,3-3t),若四边形OABP是平行四边形,则=,即此方程组无解.所以四边形OABP不可能为平行四边形.关闭Word文档返回原板块。
2019版高考数学(理)一轮复习课时分层作业2.1函数及其表示
课时分层作业四函数及其表示A组塔础达标练一、选择题(每小题5分,共35分)1. 下列所给图象是函数图象的个数为()A. 1B.2C.3D.4【解析】选B.①中当x>0时,每一个x的值对应两个不同的y值,因此不是函数图象，②中当x=x o时,y的值有两个，因此不是函数图象,③④中每一个x的值对应唯一的y值,因此是函数图象.12. (2018 •滨州模拟)函数yh 1 :的定义域为()A.(1,+ X)B.[1,+ x)C.(1,2) U (2,+ x)D.(1,2) U [3,+ x)【解析】选C.由In(x-1)工0,得x-1>0且x-1工1.由此解得x>1且x1工2,即函数yJ" ：的定义域是(1,2) U (2,+ x).3. 给出下列命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f(x)八、工；｝：是一 -个函数；③函数y=2x(x € N)的图象是一条直线；④f(x)=lg x 2与g(x)=2lg x 是同一函数.其中正确的有()A. 1个B.2个C.3个D.4个【解析】选A.由函数的定义知①正确.因为满足f(x)= 2 W _二的x不存在，所以②不正确.又因为y=2x(x € N)的图象是位于直线y=2x上的一群孤立的点，所以③不正确.又因为f(x)与g(x)的定义域不同，所以④也不正确.f 2\ X > 0,4. (2018 •大连模拟)已知函数f(x)= 若f(a)+f(1)=0, 则实数a的值等于()A.-3B.-1C.1D.3【解析】选A.当a>0时,由f(a)+f(1)=0 得2a+2=0,可见不存在实数a 满足条件,当a<0时,由f(a)+f(1)=0 得a+1+2=0,解得a=-3,满足条件. 【一题多解】本题还可以采用如下解法：方法一：选A.由指数函数的性质可知：2x>0,又因为f(1)=2,所以a<0, 所以f(a)=a+1,即a+1+2=0,解得:a=-3.方法二：选A.验证法，把a=-3代入f(a)=a+1=-2,又因为f(1)=2,所以f(a)+f(1)=0, 满足条件,从而选A.(log3x, x>0,I【变式备选】已知函数f(x)=' 且f(0)=2,f(-1)=3,则f(f(-3))=()A.-2B.2C.3D.-3【解析】选 B.f(0)=a 0+b=1+b=2,解得b=1;1f(-1)=a -1+b=a-1+1=3,解得a=».I”故f(-3)= +仁9,f(f(-3))=f(9)=log 39=2.【方法技巧】求函数值的四种常考类型及解法(1) f(g(x)) 型:遵循先内后外的原则.(2) 分段函数型：根据自变量值所在区间对应求值，不确定时要分类讨论.⑶已知函数性质型：对具有奇偶性、周期性、对称性的函数求值，要用好其函数性质，将待求值调节到已知区间上求解.⑷抽象函数型：对于抽象函数求函数值，要用好抽象的函数关系，适当赋值,从而求得待求函数值.5. 已知函数f(x)满足f(x)+2f(3-x)=x 2,贝S f(x)的解析式为( )A. f(x)二x 2-12X+181B. f(x)=、X2-4X+6C. f(x)=6x+9D.f(x)=2x+3【解析】选B.由f(x)+2f(3-x)=x 2可得f(3-x)+2f(x)=(3-x) 2,由以上两式解得f(x)= "2-4X+6.6. 现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h随时间t变化的函数关系的是( )【解析】选C.从球的形状可知，水的高度开始时增加的速度越来越慢当超过半球时，增加的速度又越来越快.7. 已知[X]表示不超过实数X的最大整数(X€ R),如:卜1.3]=-2,[0.8]=0,[3.4]=3. 定义1 )[2 1f22OISJ+I 2 01®+, 01® =(2 017A.2 017B. 2C.1 008D.2 016【解析1{X}=X-[X],则2 017) 2 0172 018)=2 0182 017 2 017如，[-3.5]=-4,[2.1]=2. 当x € （-2.5,3]时,写出函数f（x）的解析式, 并作出函数的图象”的变式.【变式备选】设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x,有（）A. [-x]=-[x]X + —B. L 2l=[x]C. [2x]=2[x]r 1'x + -D. [x]+ L 2J=[2x]【解析】选 D.选项A,取x=1.5,则[-x]=[-1.5]=-2,-[x]=-[1.5]=-1, 显然[-x]工-[x].r 11x + —选项B,取x=1.5,贝吐2J =[2]=2 工[1.5]=1.选项C,取x=1.5,则[2x]=[3]=3,2[x]=2[1.5]=2, 显然[2x]工2[x].二、填空题（每小题5分,共15分）8. （2018 •淄博模拟）函数y=ln +\】人的定义域为" 兀 2 [x<~ 1 或尤> °，【解析】由I1 _ x二0?1 - 1兰尤生1 ? 0<x< 1.所以该函数的定义域为（0,1].答案:（0,1]2x + - — 3, x > 1,x29. 已知函数 f(x)二 IS (尤 + 1)，尤 < 1,则 f(f(-3))= ________ ,f(x) 的最小值是 ________ .【解析】f(f(-3))=f(1)=0,当 x > 1 时,f(x) >2\ 2-3,当且仅当 x=\ 2时，等号成立；当x<1时,f(x) > 0,当且仅当x=0时，等号成立，所以f(x)的最小值为2\ '-3. 答案:0 2\厶310. 已知函数f(x)的定义域是[-1,1],则f(log 2X )的定义域为ri< x < 2.故f(log 2X )的定义域为B, f (x)=x-|x|= (Q t x>Q ?2x, x < 0,当 x > 0 时,f(2x)=0=2f(x),当 x<0 时,f(2x)=4x=2 • 2x=2f(x),恒有 f(2x)=2f(x);答案:rl■B 组能力提升练 ■(20炉护 4(1^ ) 1.(5分)下列函数中，不满足f(2x)=2f(x)的是() A.f(x)=|x| B.f(x)=x-|x| C.f(x)=x+1D.f(x)=-x【解析】选C.对于选项A,f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x); 对于选项【解析】因为函数f(x)的定义域是[-1,1],所以-1 < log 2x < 1,所以*对于选项D,f(2x)=-2x=2(-x)=2f(x); 对于选项C, f(2x)=2x+1=2f(x)-1.2. (5分)(2018 •广州模拟)若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y=x2+1, 值域为｛1,3｝的同族函数有()A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.由x2+1=1得x=0,由x2+1=3得x= ± ^,所以函数的定义域可以是｛0, \，｝,｛0,- \ '｛0, \ ',八2｝,故值域为｛1,3｝的同族函数共有3个.f —x + 6, x < 2,3. (5分)若函数f(x)^ (a>0且a z 1)的值域是［4,+ 乂),则实数a的取值范围是___________ . |世纪金榜导学号12560407【解析】当x< 2,故-x+6 > 4,要使得函数f(x)的值域为［4,+ 乂),只需 f 1(x)=3+log a x(x>2)的值域包含于［4,+ ),故a>1,所以「(x)>3+log a2,所以3+log a2>4,解得1<a< 2,所以实数a的取值范围是(1,2].答案：(1,2]4. (12 分)已知f(x)=x 2-1,g(x)= (1)求咆⑵)与g(f(2)).3>■oO > < X X } f. 1 X--(2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式.【解析】(1)g(2)=1,f(g(2))=f(1)=0;f(2)=3,g(f(2))=g (3)=2.(2)当x>0 时,f(g(x))=f(x-1)=(x-1) 2-仁X2-2X;当x<0 时,f(g(x))=f(2-x)=(2-x) 2-1=X2-4X+3.! x2- 2x t x > 0T所以f(g(x))=(x2- 2, x < - 1 或尤> 1,同理可得g(f(x))=5. (13分)某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时, 每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨为3.00元.某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x、3x(吨).(1)求y关于x的函数.⑵若甲、乙两用户该月共交水费26.40元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.【解析】(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x< 4,乙的用水量也不超过 4 吨,y=(5x+3x) x 1.8=14.4x;当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x<4且5x>4时, y=4 x 1.8+3(5x-4)+3x x 1.8=20.4x-4.8;当乙的用水量超过4吨时，即3x>4,y=24x-9.6,14M°-X420. 4x - 4.24% - 9* 6(x > j所以y=2019版高考数学(理)一轮复习课时分层作业(2)由于y=f(x)在各段区间上均为单调递增41时,y <当+ T当x €时，令24x-9.6=26.4,解得x=1.5.所以甲户用水量为5x=7.5 吨，付费S=4 X 1.80+3.53.00=17.70（元）；乙户用水量为3x=4.5 吨，付费S2=4X 1.80+0.5 X 3.00=8.70（元）.2 018|\2 018)=0,1 2所以原式J…J u^= ?【题目溯源】本考题源于教材人教A版必修1P25习题B组T3, “函数f(x)=[x] 的函数值表示不超过X的最大整数，例1 + —> 0,11。
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课时分层作业十八任意角和弧度制及任意角的三角函数一、选择题(每小题5分,共35分)1.给出下列命题:①第二象限角大于第一象限角;②三角形的内角是第一象限角或第二象限角;③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形半径的大小无关;④若sin α=sin β,则α与β的终边相同;⑤若cos θ<0,则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是 ( )A.1B.2C.3D.4【解析】选A.第二象限角不一定大于第一象限角,如361°是第一象限角,100°是第二象限角,而361°>100°,故①错误;三角形内角可以是直角,直角既不是第一象限角也不是第二象限角,故②错误;角的大小只与旋转量与旋转方向有关,而与扇形半径大小无关,故③正确;若sin α=sin β,则α与β的终边有可能相同,也有可能关于y轴对称,故④错误;若cos θ<0,则θ不一定是第二或第三象限角,θ的终边有可能落在x轴的非正半轴上,故⑤错误.2.某人从家步行到学校,一般需要10分钟,则10分钟时间钟表的分针走过的角度是( )A.30°B.-30°C.60°D.-60°【解析】选D.因为分针是按顺时针方向旋转的,故分针走过的角是负角,又分针旋转了10分钟,故分针走过的角是-60°.【误区警示】解答易出现选C的错误答案,导致出现这种错误的原因是忽略了分针的旋转方向.3.(2018·福州模拟)已知α的终边与单位圆的交点P,则tan α= ( )A. B.± C. D.±【解析】选B.由题意得|OP|=1,即x2+=1,故x=±,因此tanα==±.4.已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为( )A.2B.4C.6D.8【解析】选C.设扇形的半径为r,弧长为l,则由扇形面积公式可得2=l r=r2α=r2×4,求得r=1,l=αr=4,所以所求扇形的周长为2r+l=6.5.已知角α=2kπ-(k∈Z),若角θ与角α的终边相同,则y=++的值为( )A.1B.-1C.3D.-3【解析】选B.因为α=2kπ-(k∈Z)是第四象限角,所以θ也是第四象限角,故sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0,因此y=++=-1.6.点P从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点Q,则点Q的坐标为 ( )A. B.C. D.【解析】选A.由题意知点Q为角的终边与单位圆的交点,故Q点的坐标为,即.7.已知sin α>sin β,那么下列命题成立的是( )A.若α,β是第一象限的角,则cos α>cos βB.若α,β是第二象限的角,则tan α>tan βC.若α,β是第三象限的角,则cos α>cos βD.若α,β是第四象限的角,则tan α>tan β【解题指南】借助单位圆中的三角函数线去判断.【解析】选D.由三角函数线可知选D.二、填空题(每小题5分,共15分)8.-2 017°角是第________象限角,与-2 017°角终边相同的最小正角是________,最大负角是________.【解析】因为-2 017°=-6×360°+143°,所以-2 017°角的终边与143°角的终边相同.所以-2 017°角是第二象限角,与-2 017°角终边相同的最小正角是143°.又143°-360°=-217°,故与-2 017°角终边相同的最大负角是-217°.答案:二143°-217°9.一扇形的圆心角为60°,则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________.【解析】设扇形的半径为R,内切圆半径为r,则α=60°=π,R=3r,故===.答案:10.(2018·武汉模拟)已知角α的顶点在原点,始边在x轴正半轴,终边与圆心在原点的单位圆交于点A(m,m),则sin 2α=________.【解析】由题意得|OA|2=m2+3m2=1,故m2=.由任意角三角函数定义知cos α=m,sin α=m,由此sin2α=2sinαcos α=2m2=.答案:【变式备选】(2018·鄂州模拟)已知tan θ<0,且角θ终边上一点为(-1,y),且cos θ=-,则y=________.【解析】因为cos θ=-<0,tan θ<0,所以θ为第二象限角,则y>0.所以由=-,得y=.答案:1.(5分)若α=k·360°+θ,β=m·360°-θ(k,m∈Z),则角α与β的终边的位置关系是( )A.重合B.关于原点对称C.关于x轴对称D.关于y轴对称【解析】选C.因为α与θ的终边相同,β与-θ的终边相同,且θ与-θ的终边关于x轴对称,故α与β的终边关于x轴对称.2.(5分)已知扇形的圆心角为,面积为,则扇形的弧长等于________.【解析】因为S=α·r2,即=×r2,所以r=2.因此弧长为l=α·r=×2=.答案:3.(5分)(2018·郑州模拟)函数y=lg(2sin x-1)+的定义域为________.【解题指南】依据题意列出不等式组,通过画图作出三角函数线,找到边界角,从而求出各不等式的取值范围,最后求交集即可.【解析】要使原函数有意义,必须有:即如图,在单位圆中作出相应三角函数线,由图可知,原函数的定义域为(k∈Z).答案:(k∈Z)4.(12分)已知sin α<0,tan α>0.(1)求角α的集合.(2)求终边所在的象限.(3)试判断tan sin cos 的符号.【解析】(1)因为sin α<0且tan α>0,所以α是第三象限角,故角α的集合为{α|2kπ+π<α<2kπ+,k∈Z}.(2)由(1)知2kπ+π<α<2kπ+,k∈Z,故kπ+<<kπ+,k∈Z,当k=2n(n∈Z)时,2nπ+<<2nπ+,n∈Z,即是第二象限角.当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+<<2nπ+π,n∈Z,即是第四象限角,综上,的终边在第二或第四象限.(3)当是第二象限角时,tan <0,sin >0,cos <0,故tan sin cos >0, 当是第四象限角时,tan <0,sin <0,cos >0,故tan sin cos >0,综上,tan sin cos 取正号.5.(13分)已知=-,且lg cos α有意义.(1)试判断角α所在的象限.(2)若角α的终边上一点是M,且|OM|=1(O 为坐标原点),求m的值及sin α的值. 【解析】(1)由=-可知,sin α<0, 所以α是第三或第四象限角或终边在y 轴的非正半轴上的角. 由lg cos α有意义可知cos α>0,所以α是第一或第四象限角或终边在x 轴的非负半轴上的角. 综上可知角α是第四象限角.(2)因为|OM|=1,所以+m2=1,解得m=±.又α是第四象限角,故m<0,从而m=-.由正弦函数的定义可知sin α====-.【误区警示】解答本题容易忽视根据角α终边的位置,判定m的符号,导致产生增解.关闭Word文档返回原板块。
[推荐学习]2019版高考数学(理)(全国通用版)一轮复习课时分层作业： 十二 2.9函数模型及其应
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课时分层作业十二函数模型及其应用一、选择题(每小题5分,共25分)1.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据:现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( )A.y=2x-2B.y=(x2-1)C.y=log3xD.y=2x-2【解析】选B.把表格中的数据代入选择项的解析式中,易得最接近的一个函数是y=(x2-1).2.某电视新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( )A.y=100xB.y=50x2-50x+100C.y=50×2xD.y=100log2x+100【解析】选C.根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数型函数模型,代入数据验证即可得.3.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3 000+ 20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )A.100台B.120台C.150台D.180台【解析】选 C.设利润为f(x)(万元),则f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3 000≥0,解得x≥150.则生产者不亏本时的最低产量为150台.4.设甲、乙两地的距离为a(a>0),小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟,在乙地休息10分钟后,他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟,则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )【解析】选D.y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移,故排除A,C.又因为小王在乙地休息10分钟,故排除B.5.根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=(A,c为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品用时15分钟,那么c和A的值分别是 ( ) A.75,25 B.75,16 C.60,25 D.60,16【解析】选D.由函数解析式可以看出,组装第A件产品所需时间为=15,故组装第4件产品所需时间为=30,解得c=60,将c=60代入=15,得A=16.二、填空题(每小题5分,共15分)6.拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位:元)由f(m)=1.06(0.5[m]+1)给出,其中m>0,[m]是不超过m的最大整数(如[3]=3,[3.7]=3,[3.1]=3),则甲、乙两地通话 6.5分钟的电话费为________元.【解析】因为m=6.5,所以[m]=6,则f(m)=1.06×(0.5×6+1)=4.24.答案:4.247.(2018·唐山模拟)某人计划购买一辆A型轿车,售价为14.4万元,购买后轿车一年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元,同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%),试问,大约使用________年后,花费在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元?【解析】设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元,依题意可得,14.4(1-0.9x)+2.4x=14.4.化简得:x-6×0.9x=0,令f(x)=x-6×0.9x.因为f(3)=-1.374<0,f(4)=0.063 4>0,所以函数f(x)在(3,4)上应有一个零点.故大约使用4年后,花费在该车上的费用达到14.4万元.答案:48.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=e kx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时.【解析】由得e11k=.当x=33时,y=e33k+b=(e11k)3·e b=×192=24.答案:24三、解答题(每小题10分,共20分)9.某种出口产品的关税税率为t,市场价格x(单位:千元)与市场供应量p(单位:万件)之间近似满足关系式:p=,其中k,b 均为常数.当关税税率t=75%时,若市场价格为5千元,则市场供应量为1万件;若市场价格为7千元,则市场供应量约为2万件.(1)试确定k,b的值.(2)市场需求量q(单位:万件)与市场价格x近似满足关系式:q=2-x,当p=q时,市场价格称为市场平衡价格,当市场平衡价格不超过4千元时,试确定关税税率的最大值.【解析】(1)由已知⇒解得b=5,k=1.(2)当p=q时,=2-x,所以(1-t)(x-5)2=-x⇒t=1+=1+.而f(x)=x+在(0,4]上单调递减,所以当x=4时,f(x)有最小值,故当x=4时,关税税率有最大值为500%.10.(2018·衡水模拟)某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图1;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2(注:利润和投资单位:万元).(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数关系式.(2)已知该企业已筹集到18万元资金,并将全部投入A,B两种产品的生产.①若平均投入生产两种产品,可获得多少利润?②问:如果你是厂长,怎样分配这18万元投资,才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元?【解析】(1)设A,B两种产品分别投资x万元,x万元,x≥0,所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元.由题意可设f(x)=k1x,g(x)=k2.根据图象可解得f(x)=0.25x(x≥0).g(x)=2(x≥0).(2)①由(1)得f(9)=2.25,g(9)=2=6.所以总利润y=8.25万元.②设B产品投入x万元,A产品投入(18-x)万元,该企业可获总利润为y 万元.则y=(18-x)+2,0≤x≤18.令=t,t∈[0,3],则y=(-t2+8t+18)=-(t-4)2+.所以当t=4时,y max ==8.5,此时x=16,18-x=2.所以当A,B两种产品分别投入2万元、16万元时,可使该企业获得最大利润,约为8.5万元.1.(5分)2005年至2017年某市电影放映场次(单位:万次)的情况如图所示,下列函数模型中,最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是 ( )A.f(x)=ax2+bx+cB.f(x)=ae x+bC.f(x)=e ax+bD.f(x)=aln x+b 【解析】选D.由题可得,这13年间电影放映场次逐年变化的规律是随着x的增大,f(x)逐渐增大,图象逐渐上升.对于A,f(x)=ax2+bx+c,取a>0,-<0,可得满足条件的函数;对于B,取a>0,b>0,可得满足条件的函数;对于C,取a>0,b>0,可得满足条件的函数;对于D,a>0时,为“上凸函数”,不符合图象的特征,当a<0时,为单调递减函数,不符合图象的特征,当a=0时,显然不满足.2.(5分)(2018·秦皇岛模拟)某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边夹角为60°(如图),考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为9平方米,且高度不低于米.记防洪堤横断面的腰长为x米,外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米.要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米,则其腰长x 的范围为 ( )A.[2,4]B.[3,4]C.[2,5]D.[3,5]【解析】选 B.根据题意知,9=(AD+BC)h,其中AD=BC+2·=BC+x,h=x,所以9=(2BC+x)x,得BC=-,由得2≤x<6.所以y=BC+2x=+(2≤x<6),由y=+≤10.5,解得3≤x≤4.因为[3,4]⊆[2,6),所以腰长x的范围为[3,4].3.(5分)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是________.【解析】甲6元时该商人全部买入甲商品,可以买120÷6=20(万份),在t2时刻全部卖出,此时获利20×2=40(万元),乙4元时该商人买入乙商品,可以买(120+40)÷4=40(万份),在t4时刻全部卖出,此时获利40×2=80(万元),共获利40+80=120(万元).答案:120万元4.(12分)(2018·锦州模拟)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度v(单位:千克/年)是养殖密度x(单位:尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时,v的值为2千克/年;当4<x≤20时,v是x的一次函数,当x达到20尾/立方米时,因缺氧等原因,v的值为0千克/年.(1)当0<x≤20时,求函数v关于x的函数解析式.(2)当养殖密度x为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米)可以达到最大?并求出最大值.【解析】(1)由题意得当0<x≤4时,v=2;当4<x≤20时,设v=ax+b,显然v=ax+b在(4,20]内是减函数,由已知得解得所以v=-x+,故函数v=(2)设年生长量为f(x)千克/立方米,依题意并由(1)可得f(x)=当0<x≤4时,f(x)为增函数,故f(x)max =f(4)=4×2=8;当4<x≤20时,f(x)=-x2+x=-(x2-20x)=-(x-10)2+,f(x)max =f(10)=12.5.所以当0<x≤20时,f(x)的最大值为12.5.即当养殖密度为10尾/立方米时,鱼的年生长量可以达到最大,最大值为12.5千克/立方米.5.(13分)(2018·无锡模拟)某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月,预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.现有三种价格模拟函数:①f(x)=p·q x; ②f(x)=px2+qx+1;③f(x)=x(x-q)2+p(以上三式中p,q均为常数,且q>1).(1)为准确研究其价格走势,应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f(0)=4,f(2)=6.①求出所选函数f(x)的解析式(注:函数定义域是[0,5],其中x=0表示8月1日,x=1表示9月1日,以此类推);②为保证养殖户的经济效益,当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销,请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌.【解析】 (1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势,而中期又将出现价格连续下跌,所以在所给出的函数中应选模拟函数f(x)=x(x-q)2+p.(2)①对于f(x)=x(x-q)2+p,由f(0)=4,f(2)=6,可得p=4,(2-q)2=1,又q>1,所以q=3,所以f(x)=x3-6x2+9x+4(0≤x≤5).②因为f(x)=x3-6x2+9x+4(0≤x≤5),所以f′(x)=3x2-12x+9,令f′(x)<0,得1<x<3.所以函数f(x)在(1,3)内单调递减,所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌.关闭Word文档返回原板块。
2019版高考数学(理)(全国通用版)一轮复习课时分层作业： 十六 2.11.3导数的综合应用
课时分层作业十六导数的综合应用一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知函数f(x)=x3-x2-x,则f(-a2)与f(-1)的大小关系为( )A.f(-a2)≤f(-1)B.f(-a2)<f(-1)C.f(-a2)≥f(-1)D.f(-a2)与f(-1)的大小关系不确定【解析】选A.由题意可得f′(x)=x2-2x-,令f′(x)=(3x-7)(x+1)=0,得x=-1或x=.当x<-1时,f′(x)>0,f(x)为增函数;当-1<x<时,f′(x)<0,f(x)为减函数.所以f(-1)是函数f(x)在(-∞,0]上的最大值,又因为-a2≤0,所以f(-a2)≤f(-1).2.若不等式2xln x≥-x2+ax-3对x∈(0,+∞)恒成立,则实数a的取值范围是 ( )A.(-∞,0)B.(-∞,4]C.(0,+∞)D.[4,+∞)【解析】选 B.2xln x≥-x2+ax-3,则a≤2ln x+x+,设h(x)=2lnx+x+(x>0),则h′(x)=.当x∈(0,1)时,h′(x)<0,函数h(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,h′(x)>0,函数h(x)单调递增,所以h(x)min=h(1)=4.所以a≤h(x)min=4.3.(2018·兰州模拟)已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x),满足f′(x)<f(x),且f(x+2)为偶函数,f(4)=1,则不等式f(x)<e x的解集为( )A.(-2,+∞)B.(0,+∞)C.(1,+∞)D.(4,+∞)【解析】选B.因为f(x+2)为偶函数,所以f(x+2)的图象关于x=0对称,所以f(x)的图象关于x=2对称,所以f(0)=f(4)=1.设g(x)=(x∈R),则g′(x)==,又f′(x)<f(x),所以g′(x)<0(x∈R),所以函数g(x)在定义域上单调递减.因为f(x)<e x⇔g(x)=<1,而g(0)==1,所以f(x)<e x⇔g(x)<g(0),所以x>0.4.做一个圆柱形锅炉,容积为V,两个底面的材料每单位面积的价格为a元,侧面的材料每单位面积的价格为b元,当造价最低时,锅炉的底面直径与高的比为 ( )A. B. C. D.【解析】选C.如图,设圆柱的底面半径为R,高为h,则V=πR2h.设造价为y=2πR2a+2πRhb=2πaR2+2πRb·=2πaR2+,所以y′=4πaR-.令y′=0,得=.5.设1<x<2,则,,的大小关系是 ( )A.<<B.<<C.<<D.<<【解析】选A.令f(x)=x-ln x(1<x<2),则f′(x)=1-=>0,所以函数y=f(x)在(1,2)内为增函数.所以f(x)>f(1)=1>0,所以x>ln x>0⇒0<<1.所以<.又-==>0,所以<<.【方法技巧】破解解不等式或比较大小的关键(1)一是“构造函数”,通过观察所给的不等式的特点,适当构造函数.(2)二是利用导数法,判断所构造函数的单调性,利用其单调性,回归对原函数的符号的判断,即可得出正确的选项.二、填空题(每小题5分,共15分)6.直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有相异的三个公共点,则a的取值范围是________.【解析】令f′(x)=3x2-3=0,得x=±1,可得极大值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2,如图,观察得-2<a<2时恰有三个不同的公共点.答案:(-2,2)7.电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系y=x3-x2-40x(x>0),为使耗电量最小,则速度应定为________.【解析】令y′=x2-39x-40=0,得x=-1或x=40,由于0<x<40时,y′<0;当x>40时,y′>0.所以当x=40时,y有最小值.答案:408.若关于x的不等式x3-3x2-9x+2≥m对任意x∈[-2,2]恒成立,则m 的取值范围是________.【解析】令f(x)=x3-3x2-9x+2,则f′(x)=3x2-6x-9,令f′(x)=0,得x=-1或3(舍去).因为f(-1)=7,f(-2)=0,f(2)=-20.所以f(x)的最小值为f(2)=-20,故m≤-20.答案:(-∞,-20]三、解答题(每小题10分,共20分)9.定义在实数集上的函数f(x)=x2+x,g(x)=x3-2x+m.(1)求函数f(x)的图象在x=1处的切线方程.(2)若f(x)≥g(x)对任意的x∈[-4,4]恒成立,求实数m的取值范围. 【解析】(1)因为f(x)=x2+x,所以当x=1时,f(1)=2,因为f′(x)=2x+1,所以f′(1)=3,所以所求切线方程为y-2=3(x-1),即3x-y-1=0.(2)令h(x)=g(x)-f(x)=x3-x2-3x+m,则h′(x)=(x-3)(x+1).所以当-4<x<-1时,h′(x)>0;当-1<x<3时,h′(x)<0;当3<x<4时,h′(x)>0.要使f(x)≥g(x)恒成立,即h(x)max≤0,由上知h(x)的最大值在x=-1或x=4处取得,而h(-1)=m+,h(4)=m-,所以m+≤0,即m≤-,所以实数m的取值范围为.10.已知函数f(x)=xln x.(1)求f(x)的最小值.(2)若对于所有x≥1都有f(x)≥ax-1,求实数a的取值范围.【解析】函数f(x)=xln x的定义域是(0,+∞).(1)f′(x)=1+ln x,令f′(x)=0,解得x=.当x∈时,f′(x)<0;当x∈时,f′(x)>0.故f(x)在上单调递减,在上单调递增.所以当x=时,函数f(x)取得最小值f=-.(2)依题意,得f(x)≥ax-1在[1,+∞)上恒成立,即不等式a≤ln x+对于x∈[1,+∞)恒成立,即a≤,x∈[1,+∞).设g(x)=ln x+(x≥1),则g′(x)=-=,令g′(x)=0,得x=1.当x≥1时,因为g′(x)=≥0,故g(x)在[1,+∞)上是增函数. 所以g(x)在[1,+∞)上的最小值是g(1)=1,故a的取值范围是(-∞,1].1.(5分)(2018·武汉模拟)已知函数g(x)满足g(x)=g′(1)e x-1-g(0)x+x2,且存在实数x0,使得不等式2m-1≥g(x0)成立,则实数m的取值范围为( )A.(-∞,2]B.(-∞,3]C.[1,+∞)D.[0,+∞)【解析】选 C.g′(x)=g′(1)e x-1-g(0)+x,令x=1,得g′(1)=g′(1)-g(0)+1,所以g(0)=1,g(0)=g′(1)e0-1,所以g′(1)=e,所以g(x)=e x-x+x2,g′(x)=e x-1+x,当x<0时,g′(x)<0,当x>0时,g′(x)>0,所以当x=0时,函数g(x)取得最小值g(0)=1.根据题意得2m-1≥g(x)min=1,所以m≥1.2.(5分)(2018·长春模拟)已知函数f(x)=m-1-x2(e≤x≤2e)(e为自然对数的底数)与g(x)=2-5ln x的图象上存在关于x轴对称的点,则实数m的取值范围是 ( )A.[e2-2,+∞)B.C.[e,2e]D.[e2+4,4e2+5ln 2+4]【解析】选D.由题意可知,方程m-1-x2=5ln x-2在[e,2e]上有解,即m=x2+5ln x-1在[e,2e]上有解.令h(x)=x2+5ln x-1,h′(x)=2x+,易知h(x)在[e,2e]上单调递增,所以h(x)在[e,2e]上的最小值为e2+5-1=e2+4,最大值为(2e)2+5ln(2e)-1=4e2+5ln 2+4.所以实数m的取值范围是[e2+4,4e2+5ln 2+4].3.(5分)(2018·太原模拟)log0.5>log0.5对任意x∈[2,4]恒成立,则m的取值范围为________.世纪金榜导学号12560478【解析】以0.5为底的对数函数为减函数,所以得真数关系为<,所以m>-x3+7x2+x-7,令f(x)=-x3+7x2+x-7,则f′(x)=-3x2+14x+1,因为f′(2)>0且f′(4)>0,所以f′(x)>0在[2,4]上恒成立,即在[2,4]上函数f(x)为增函数,所以f(x)的最大值为f(4)=45,因此m>45.答案:(45,+∞)4.(12分)设a为实数,函数f(x)=e x-2x+2a,x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值.(2)求证:当a>ln 2-1且x>0时,e x>x2-2ax+1.【解析】(1)由f(x)=e x-2x+2a,x∈R,知f′(x)=e x-2,x∈R.令f′(x)=0,得x=ln 2.于是当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表:故f(x)的单调递减区间是(-∞,ln 2),单调递增区间是(ln 2,+∞),f(x)在x=ln 2处取得极小值,极小值为2-2ln 2+2a.(2)设g(x)=e x-x2+2ax-1,x∈R,于是g′(x)=e x-2x+2a,x∈R.由(1)知当a>ln 2-1时,g′(x)取最小值为g′(ln 2)=2(1-ln 2+a)>0.于是对任意x∈R,都有g′(x)>0,所以g(x)在R上单调递增.于是当a>ln 2-1时,对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0).而g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>0.即e x-x2+2ax-1>0,故当a>ln 2-1且x>0时,e x>x2-2ax+1.5.(13分)(2018·沈阳模拟)据统计某种汽车的最高车速为120千米/小时,在匀速行驶时每小时的耗油量y(升)与行驶速度x(千米/小时)之间有如下函数关系:y=x3-x+8.已知甲、乙两地相距100千米.(1)若汽车以40千米/小时的速度匀速行驶,则从甲地到乙地需耗油多少升?(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?【解析】 (1)当x=40时,汽车从甲地到乙地行驶了=2.5(小时),需耗油×2.5=17.5(升).所以汽车以40千米/小时的速度匀速行驶,从甲地到乙地需耗油17.5升.(2)当汽车的行驶速度为x千米/小时,从甲地到乙地需行驶小时.设耗油量为h(x)升,依题意,得h(x)=·=x2+-,0<x ≤120,h′(x)=-=(0<x≤120).令h′(x)=0,得x=80,因为当x∈(0,80)时,h′(x)<0,h(x)是减函数;当x∈(80,120)时,h′(x)>0,h(x)是增函数,所以当x=80时,h(x)取得最小值h(80)=11.25.所以当汽车以80千米/小时的速度行驶时,从甲地到乙地耗油量最少,最少为11.25升.关闭Word文档返回原板块。
2019版高考数学(理)(全国通用版)一轮复习课时分层作业： 八 2.5对 数 函 数 Word版含解析
课时分层作业八对数函数一、选择题(每小题5分,共35分)1.函数y=的定义域是( )A.[1,2]B.[1,2)C. D.【解析】选D.由lo(2x-1)≥0⇒0<2x-1≤1⇒<x≤1.2.(2018·北京模拟)已知函数f(x)=则f(2+log23)的值为 ( )A.24B.16C.12D.8【解析】选 A.因为3<2+log23<4,所以f(2+log23)=f(3+log23)==8×3=24.【变式备选】已知函数f(x)= 则f(f(1))+f的值是( )A.5B.3C.-1D.【解析】选A.因为f(1)=log21=0,所以f(f(1))=f(0)=2.因为log3<0,所以f=+1=+1=2+1=3.所以f(f(1))+f=2+3=5.3.设a=log36,b=log510,c=log714,则( )A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c【解析】选D.因为a=1+log32,b=1+log52,c=1+log72,所以只需要比较log32,log52,log72的大小即可,在同一坐标系中作出函数y=log3x,y=log5x,y=log7x的图象,由三个图象的相对位置关系得log32>log52>log72,可知a>b>c.【方法技巧】底数的变化对对数函数图象变化的影响在直线x=1的右侧,当a>1时,底数越大,图象越靠近x轴;当0<a<1时,底数越小,图象越靠近x轴,即“底大图低”.4.若函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为{y|y≥1},则函数y=log a|x|的图象大致是 ( )【解析】选B.函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为{y|y≥1},则a>1,故函数y=log a|x|的大致图象如图所示.【变式备选】(2018·石家庄模拟)已知a=log23+log2,b=log29-log2,c=log32,则a,b,c的大小关系是( )A.a=b<cB.a=b>cC.a<b<cD.a>b>c【解析】选 B.因为a=log23+log2=log23=log23>1,b=log29-log2= log23=a,c=log32<log33=1,所以a=b>c.5.设函数f(x)=则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )A.[-1,2]B.[0,2]C.[1,+∞)D.[0,+∞)【解析】选D.当x≤1时,21-x≤2,解得x≥0,所以0≤x≤1;当x>1时,1-log2x≤2,解得x≥,所以x>1.综上可知x≥0.6.若f(x)=lg (x2-2ax+1+a)在区间(-∞,1]上递减,则a的取值范围为( )A.[1,2)B.[1,2]C.[1,+∞)D.[2,+∞)【解析】选A.令函数g(x)=x2-2ax+1+a=(x-a)2+1+a-a2,对称轴为x=a,要使函数在(-∞,1]上递减,则有即解得1≤a<2,即a∈[1,2).7.若函数f(x)=log a(a>0,a≠1)在区间内恒有f(x)>0,则f(x)的单调递增区间为( )A.(0,+∞)B.(2,+∞)C.(1,+∞)D.【解析】选A.令M=x2+x,当x∈时,M∈(1,+∞),f(x)>0,所以a>1,所以函数y=log a M为增函数,又M=-,因此M的单调递增区间为.又x2+x>0,所以x>0或x<-.所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).二、填空题(每小题5分,共15分)8.计算:=_______ _.【解析】原式===-.答案:-【变式备选】计算: +log3+log3=________.【解析】 +log3+log3=+log3=.答案:9.若log147=a,14b=5,则用a,b表示log3528=________.【解析】因为14b=5,所以log145=b,又log147=a,所以log3528===.答案:10.(2018·兰州模拟)已知函数y=log a x(2≤x≤4)的最大值比最小值大1,则a的值为________.【解析】当a>1时,y=log a x(2≤x≤4)为增函数,y max=log a4,y min=log a2. 所以log a4-log a2=1,即log a2=1所以a=2.当0<a<1时,y=log a x(2≤x≤4)为减函数,y max=log a2,y min=log a4.所以log a2-log a4=1,即-log a2=1,所以a=.答案:2或【误区警示】对数函数的底数含有参数a,易忽视讨论a与1的大小关系而直接按a>1解题,只得一解2.【变式备选】 (2018·南京模拟)若log2a<0,则a的取值范围是________.【解析】当2a>1时,因为log2a<0=log2a1,所以<1.因为1+a>0,所以1+a2<1+a,所以a2-a<0,所以0<a<1,所以<a<1.当0<2a<1时,因为log2a<0=log2a1,所以>1.因为1+a>0,所以1+a2>1+a.所以a2-a>0,所以a<0或a>1,此时无解.综上所述,a∈.答案:1.(5分)设a,b,c均为正数,且2a=lo a,=lo b,=log2c,则( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c【解析】选A.首先确定a是函数y=2x与y=lo x图象的交点的横坐标,b是函数y=与y=lo x图象的交点的横坐标,c是函数y=与y=log2x图象的交点的横坐标.分别画出函数y=2x,y=,y=lo x,y=log2x的图象(图象略),易知a<b<c.【一题多解】本题还可以采用以下方法:【解析】选A.因为a,b,c均为正数,所以2a>1,即lo a>1,解得0<a<.0<<1,即lo b<1,解得<b<1.0<<1,即0<log2c<1,解得1<c<2.综上,a<b<c.2.(5分)(2018·北京模拟)如图,点A,B在函数y=log2x+2的图象上,点C在函数y=log2x的图象上,若△ABC为等边三角形,且直线BC∥y轴,设点A 的坐标为(m,n),则m= ( )A.2B.3C.D.【解析】选D.由题意知等边△ABC 的边长为2,则由点A 的坐标(m,n)可得点B 的坐标为(m+,n+1).又A,B 两点均在函数y=log 2x+2的图象上,故有解得m=.3.(5分)已知a=,b=,c=,则a,b,c 的大小关系是________.(从大到小排列)【解析】a-b=-==<0.同理b-c=-=>0,a-c=-=>0,所以b>a>c. 答案:b>a>c【一题多解】本题还可以采用以下方法:方法一:(数形结合法)变形a==,则a 表示函数y=ln x 图象上的点(2,ln 2)与点(0,0)连线的斜率.同理,b==,c==分别表示点(3,ln 3),点(5,ln 5)与点(0,0)的连线斜率.作出函数y=ln x的图象,标出相应点的位置,观察可知b>a>c.答案:b>a>c方法二:(构造函数法)令y=,y′=,令y′==0,得x=e,所以函数在x∈(0,e)上单调递增,在x∈(e,+∞)上单调递减,函数在x=e处取得极大值,再作差比较a与c的大小,易知b>a>c.答案:b>a>c4.(12分)已知函数f(x-3)=log a(a>0,a≠1).(1)判断f(x)的奇偶性,并说明理由.(2)当0<a<1时,求函数f(x)的单调区间.【解析】令x-3=u,则x=u+3,于是f(u)=log a(a>0,a≠1,-3<u<3),所以f(x)=log a(a>0,a≠1,-3<x<3).(1)因为f(-x)+f(x)=log a+log a=log a1=0,所以f(-x)=-f(x),又定义域(-3,3)关于原点对称.所以f(x)是奇函数.(2)令t==-1-,则t在(-3,3)上是增函数,当0<a<1时,函数y=log a t是减函数,所以f(x)=log a(0<a<1)在(-3,3)上是减函数,即函数f(x)的单调递减区间是(-3,3).5.(13分)已知函数f(x)=+ln.(1)求证:存在定点M,使得函数f(x)图象上任意一点P关于M点对称的点Q也在函数f(x)的图象上,并求出点M的坐标.(2)定义S n=f=f+f+…+f,其中n∈N*且n≥2,求S2 018.【解析】(1)显然函数f(x)的定义域为(0,1),设M的坐标为(a,b),则f(x)+f(2a-x)=+ln ++ln=1+ln=2b,对任意x∈(0,1)恒成立,于是解得a=b=,所以存在定点M,使得函数f(x)在图象上任意一点P关于M点对称的点Q也在函数f(x)的图象上.(2)由(1)得f(x)+f(1-x)=1,因为S n=f+f+…+f+f, ①所以S n=f+f+…+f+f. ②①+②得:2S n=n-1,所以S n=(n≥2,n∈N*),所以S2 018==.【方法技巧】解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤关闭Word文档返回原板块。
2019版高考数学(理)(全国通用版)1轮复习课时分层作业： 3十3 5.4数 列 求 和 Word版含解析-
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课时分层作业三十三数列求和一、选择题(每小题5分,共25分)1.数列{1+2n-1}的前n项和为( )A.1+2nB.2+2nC.n+2n-1D.n+2+2n【解析】选C.由题意得a n=1+2n-1,所以S n=n+=n+2n-1.2.1-4+9-16+…+(-1)n+1n2等于( )A. B.-C.(-1)n+1D.以上答案均不对【解析】选C.当n为偶数时,1-4+9-16+…+(-1)n+1n2=-3-7-…-(2n-1)=-=-;当n为奇数时,1-4+9-16+…+(-1)n+1n2=-3-7-…-[2(n-1)-1]+n2=-+n2=,综上可得,原式=(-1)n+1.3.设直线nx+y=与两坐标轴围成的三角形面积为a n,则a1+a2+…+a2 017= ( )A. B.C. D.【解析】选A.分别令x=0和y=0,得到直线nx+(n+1)y= (n∈N*)与两坐标轴的交点:,,则a n=··==-,然后分别代入1,2,…,2 017,则有a1+a2+…+a2 017=1-+-+…+-=1-=.【变式备选】已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a4=4,S4=10,则数列的前2 018项和为( )A. B.C. D.【解析】选C.设等差数列{a n}的公差为d,则a4=a1+3d=4,S4=4a1+6d=10,联立解得a1=d=1,所以a n=a1+(n-1)d=n,==-,所以数列的前2 018项和为++…+=1-=.4.已知数列{a n}的前n项和为S n,通项公式a n=n·(-1)n+1,则S17=( )A.10B.9C.8D.7【解析】选B.S17=1-2+3-4+5-6+…+15-16+17=1+(-2+3)+(-4+5)+…+(-14+15)+(-16+17)=1+1+1+…+1=9.【一题多解】解决本题还可以采用以下方法:选 B.S17=1-2+3-4+5-6+…+15-16+17=(1+3+…+17)-(2+4+…+16)=81-72=9.【变式备选】在数列{a n}中,a1=2,a2=2,a n+2-a n=1+(-1)n,n∈N*,则S60的值为( )A.990B.1 000C.1 100D.99【解析】选A.n为奇数时,a n+2-a n=0,a n=2;n为偶数时,a n+2-a n=2,a n=n.故S60=2×30+(2+4+…+60)=990.5.定义为n个正数p1,p2,…,p n的“均倒数”.若已知正项数列{a n}的前n项的“均倒数”为,又b n=,则++…+=( )A. B. C. D.【解析】选C.依题意有=,即数列{a n}的前n项和S n=n(2n+1)=2n2+n,当n=1时,a1=S1=3;当n≥2时,a n=S n-S n-1=4n-1,a1=3满足该式.则a n=4n-1,b n==n.因为==-,所以++…+=1-+-+…+-=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知数列2 017,2 018,1,-2 017,…若这个数列从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前 2 018项之和S2018=________.【解析】由题意可知a n+1=a n+a n+2,a1=2 017,a2=2 018,所以a3=1,a4=-2017,a5=-2 018,a6=-1,a7=2 017,…,所以a n+6=a n,即数列{a n}是以6为周期的数列,又a1+a2+a3+a4+a5+a6=0, 所以S2+a2+a3+a4+a5+a6)+(a1+a2)=4 035.018=336(a1答案:4 0357.对于数列{a n},定义数列{a n+1-a n}为数列{a n}的“差数列”,若a1=2,{a n}的“差数列”的通项公式为2n,则数列{a n}的前n项和S n=________.【解析】因为a n+1-a n=2n,所以a n=(a n-a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+22+2+2=+2=2n-2+2=2n.所以S n==2n+1-2.答案:2n+1-28.设等差数列{a n}的前n项和为S n,且S n=na n+a n-c(c是常数, n∈N*),a2=6,又b n=,数列的前n项和为T n,若2T n>m-2对n∈N*恒成立,则正整数m的最大值是________.【解析】因为S n=na n+a n-c,当n=1时, S1=a1+a1-c,解得a1=2c,当n=2时,S2=a2+a2-c,即a1+a2=a2+a2-c,解得a2=3c,所以3c=6,解得c=2.则a1=4,数列{a n}的公差d=a2-a1=2,所以a n=a1+(n-1)d=2n+2.因为b n===,由错位相减可得: T n=2-,则T n+1-T n=-=>0所以数列{T n}单调递增,T1最小,最小值为,所以2×>m-2,所以m<3,故正整数m的最大值为2.答案:2【题目溯源】本考题源于教材人教A版必修五P61习题A组T4“求和:1+2x+3x2+…+nx n-1”.三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2018·武邑模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n,且a1=2,a2=8,a3=24,{a n+1-2a n}为等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)求S n.【解析】(1)因为a2-2a1=4,a3-2a2=8,所以a n+1-2a n=4×2n-1=2n+1,所以-=1,所以是以1为首项,1为公差的等差数列.所以=1+(n-1)=n,所以a n=n×2n.(2)由(1)可得a n=n×2n,所以S n=1×2+2×22+3×23+…+n×2n,①2S n=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1,②由①-②及整理得S n=(n-1)×2n+1+2.10.已知函数g(x)=(a+1)x-2+1(a>0)的图象恒过定点A,且点A又在函数f(x)=lo(x+a)的图象上.(1)求实数a的值.(2)当方程|g(x+2)-2|=2b有两个不等实根时,求b的取值范围.(3)设a n=g(n+2),b n=,n∈N*,求证,b1+b2+b3+…+b n<,(n∈N*).【解析】(1)函数g(x)的图象恒过定点A,A点的坐标为(2,2),又因为A点在f(x)上,则f(2)=(2+a)=2,即2+a=3,所以a=1.(2)=2b,即=2b,所以=2b,由图象可知:0<2b<1,故b的取值范围为.(3)a n=2n+1,b n==-,所以b1+b2+b3+…+b n=-<,n∈N*.1.(5分)(2018·合肥模拟)已知数列{a n}满足a1=2,4a3=a6,是等差数列,则数列{(-1)n a n}的前10项的和S10= ( )A.220B.110C.99D.55【解析】选B.设等差数列的公差为d,则=a1+5d,=+3d, 将已知值和等量关系代入,计算得d=2,所以=a1+(n-1)d=2n,a n=2n2,所以S10=-a1+a2-a3+…+a10=2(-12+22-32+…+102)=110.2.(5分)已知在正项等比数列{a n}中,a1=1,a2a4=16,则|a1-12|+|a2-12|+…+|a8-12|= ( )A.224B.225C.226D.256【解析】选B.设正项等比数列{a n}的公比为q且q>0,因为a1=1,a2a4=16,所以q4=16,解得q=2.所以a n=1×2n-1=2n-1,由2n-1≤12,解得n≤4.所以|a1-12|+|a2-12|+…+|a8-12|=12-a1+12-a2+12-a3+12-a4+a5-12+…+a8-12=-2(a1+a2+a3+a4)+(a1+a2+…+a8)=-2×+=-2(24-1)+28-1=225.【变式备选】已知数列{a n}的通项公式为a n=(-1)n+1(3n-2),则前100项和S100等于________.【解析】因为a1+a2=a3+a4=a5+a6=…=a99+a100=-3,所以S100=-3×50=-150. 答案:-1503.(5分)设数列{a n}的前n项和为S n,且a n=sin ,n∈N*,则S2 018=________.【解析】a n=sin ,n∈N*,显然每连续四项的和为0.S2 018=S4×504+2=1+0=1.答案:14.(12分)已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=n2-n(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式.(2)设b n=,求数列的前n项和T n.【解析】(1) 当n=1时, a1=S1=-=-2,当n≥2时, a n=S n-S n-1=n2-n-[(n-1)2-(n-1)]=3n-5,将n=1代入上式验证显然适合,所以a n=3n-5(n∈N*).(2)b n==,所以T n=b1+b2+…+b n=++…+(-)==-.5.(13分)数列{a n}的前n项和为S n,已知S n+1=S n+a n+2,a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列的通项公式.(2)若数列{b n}满足=,求数列{b n}的前n项和T n.【解析】(1)因为S n+1=S n+a n+2, 所以a n+1-a n=2,所以数列{a n}是公差为2的等差数列,因为a1,a2,a5成等比数列, 所以=a1·a5,所以=a1 (a1+8),解得a1=1.所以a n=1+2(n-1)=2n-1.(2)因为数列{b n}满足=,所以b n=(2n-1) =(2n-1)·2n.所以数列{b n}的前n项和T n=2+3×22+5×23+…+(2n-1)·2n,所以2T n=2×2+3×23+…+(2n-3)×2n+(2n-1)×2n+1,所以T n=6+(2n-3)×2n+1.关闭Word文档返回原板块。
2019版高考数学(理)(全国通用版)一轮复习课时分层作业： 十 2.7函数的图象 Word版含解析
课时分层作业十函数的图象一、选择题(每小题5分,共35分)1.为了得到函数y=2x-2的图象,可以把函数y=2x的图象上所有的点( )A.向右平行移动2个单位长度B.向右平行移动1个单位长度C.向左平行移动2个单位长度D.向左平行移动1个单位长度【解析】选B.因为y=2x-2=2(x-1),所以只需将函数y=2x的图象上所有的点向右平移1个单位长度,即可得到y=2(x-1)=2x-2的图象.2.函数y=1-的图象是( )【解析】选B.将y=-的图象向右平移1个单位长度,再向上平移一个单位长度,即可得到函数y=1-的图象.3.(2018·桂林模拟)函数y=(x3-x)2|x|的图象大致是( )【解析】选B.由于函数y=(x3-x)2|x|为奇函数,故它的图象关于原点对称,当0<x<1时,y<0;当x>1时,y>0,故选B.【变式备选】函数y=xcos x+sin x的图象大致为( )【解析】选D.函数y=xcos x+sin x为奇函数,排除B.取x=,排除C;取x=π,排除A.4.如图可能是下列哪个函数的图象( )A.y=2x-x2-1B.y=C.y=(x2-2x)e xD.y=【解析】选C.函数图象过原点,所以D排除;当x>0开始时函数值是负数,而B项原点右侧开始时函数值为正数,所以B排除;当x<0时,2x<1,所以2x-x2-1<0,所以A排除;而C都满足.【变式备选】(2018·贵阳模拟)已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可以是 ( )A.f(x)=B.f(x)=C.f(x)=-1D.f(x)=x-【解析】选A.由函数图象可知,函数f(x)为奇函数,应排除B,C.若函数为f(x)=x-,则x→+∞时,f(x)→+∞,排除D.5.若log a2<0(a>0,且a≠1),则函数f(x)=log a(x+1)的图象大致是( )【解析】选B.因为log a2<0,所以0<a<1,由f(x)=log a(x+1)的单调性可知A,D选项错误,再由定义域知B选项正确.6.使log2(-x)<x+1成立的x的取值范围是( )A.(-1,0)B.[-1,0)C.(-2,0)D.[-2,0)【解析】选A.在同一坐标系内作出y=log2(-x),y=x+1的图象,知满足条件的x∈(-1,0).7.如图,在一个盛水的圆柱形容器的水面以下,有一个用细线吊着的下端开了一个很小的孔的充满水的薄壁小球,当慢慢地匀速将小球从水下向水面上拉动时,圆柱形容器内水面的高度与时间的函数图象大致是( )【解析】选 B.球拉出水面开始时球上半部较小,因而水递减较缓慢.球中部拉出水面时水递增的速度较快,最后球中的水全部放回,水面基本持平(因为球是薄壁的).二、填空题(每小题5分,共15分)8.如图,函数f(x)的图象是曲线OAB,其中点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则f的值等于________.【解析】由图象知f(3)=1,所以=1.所以f=f(1)=2.答案:29.直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点,则a的取值范围是________.【解析】y=x2-|x|+a是偶函数,图象如图所示,由图象可知y=1与y=x2-|x|+a有四个交点,需满足a-<1<a,即1<a<.答案:10.(2018·长沙模拟)如图,定义在[-1,+∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,则f(x)的解析式为________.【解析】当x∈[-1,0]时,设y=kx+b,由图象得解得所以y=x+1;当x∈(0,+∞)时,设y=a(x-2)2-1,由图象得0=a·(4-2)2-1,解得a=,所以y=(x-2)2-1.综上可知,f(x)=答案:f(x)=1.(5分)函数f(x)=则y=f(1-x)的图象是( )【解析】选C.画出y=f(x)的图象,再作其关于y轴对称的图象,得到y=f(-x)的图象,再将所得图象向右平移1个单位,得到y=f[-(x-1)]=f(-x+1)的图象.2.(5分)如图,正方形ABCD的边长为4 cm,E为BC的中点,现用一条垂直于AE的直线l以0.4 cm/s的速度从l1平行移动到l2,则在t秒时直线l扫过的正方形ABCD的面积记为F(t)(cm2),则F(t)的函数图象大致是( )、【解析】选D.当l与正方形AD边有交点时,此时直线l扫过的正方形ABCD的面积随t的增大而增大的速度加快,故此段为凹函数,可排除A,B,当l与正方形CD边有交点时,此时直线l扫过的正方形ABCD的面积随t的增大而增大的速度不变,故此段为一次函数,图象为直线,可排除C.【变式备选】如图,直线l和圆C,当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过90°)时,它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数,这个函数的大致图象是( )【解析】选C.随着时间的增长,直线被圆截得的弦长先慢慢增加到直径,再慢慢减小,所以圆内阴影部分的面积增加速度先越来越快,然后越来越慢,反映在图象上面,则先由平缓变陡,再由陡变平缓,结合图象知选C.3.(5分)(2018·荆州模拟)对a,b∈R,记max {a,b}=函数f(x)=max {|x+1|,|x-2|}(x∈R)的最小值是________.【解析】函数f(x)=max {|x+1|,|x-2|}(x∈R)的图象如图所示,由图象可得,其最小值为.答案:【变式备选】如图所示,函数y=f(x)的图象由两条射线和三条线段组成.若∀x∈R,f(x)>f(x-1),则正实数a的取值范围为________.【解析】∀x∈R,f(x)>f(x-1).则需满足2a-(-4a)<1,解得a<,由题图象易知a>0,所以0<a<.答案:4.(12分)已知函数f(x)=x|m-x|(x∈R),且f(4)=0.(1)作出函数f(x)的图象.(2)根据图象指出f(x)的单调递减区间.(3)若方程f(x)=a只有一个实数根,求a的取值范围.【解析】 (1)因为f(4)=0,所以4|m-4|=0,即m=4.所以f(x)=x|x-4|=f(x)的图象如图所示.(2)f(x)的单调递减区间是[2,4].(3)从f(x)的图象可知,当a>4或a<0时,f(x)的图象与直线y=a只有一个交点,即方程f(x)=a只有一个实数根,所以a的取值范围是(-∞,0)∪(4,+∞).5.(13分)已知函数f(x)的图象与函数h(x)=x++2的图象关于点A(0,1)对称.(1)求f(x)的解析式.(2)若g(x)=f(x)+,且g(x)在区间(0,2]上为减函数,求实数a的取值范围.【解析】 (1)设f(x)图象上任一点P(x,y),则点P关于(0,1)点的对称点P′(-x,2-y)在h(x)的图象上,即2-y=-x-+2,所以y=f(x)=x+(x≠0).(2)g(x)=f(x)+=x+,g′(x)=1-.因为g(x)在(0,2]上为减函数,所以1-≤0在(0,2]上恒成立,即a+1≥x2在(0,2]上恒成立,所以a+1≥4,即a≥3,故a的取值范围是[3,+∞).关闭Word文档返回原板块。
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课时分层作业三十四数列的综合应用一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知a,b,c是三个不同的实数,若a,b,c成等差数列,且b,a,c成等比数列,则a∶b∶c为( )A.2∶1∶4B.(-2)∶1∶4C.1∶2∶4D.1∶(-2)∶4【解析】选B.由a,b,c成等差数列,设a=m-d,b=m,c=m+d,d≠0,因为b,a,c成等比数列,所以a2=bc,即(m-d)2=m(m+d),化简,得d=3m,则a=-2m,b=m,c=4m,所以a∶b∶c=(-2)∶1∶4.2.设y=f(x)是一次函数,若f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比数列,则f(2)+f(4)+…+f(2n)等于( )A.n(2n+3)B.n(n+4)C.2n(2n+3)D.2n(n+4)【解析】选A.由题意可设f(x)=kx+1(k≠0),则(4k+1)2=(k+1)×(13k+1),解得k=2,f(2)+f(4)+…+f(2n)=(2×2+1)+(2×4+1)+…+(2×2n+1)=n(2n+3).3.若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于( )A.6B.7C.8D.9【解析】选D.由题可知a,b是x2-px+q=0的两根,所以a+b=p>0,ab=q>0,故a,b均为正数.因为a,b,-2适当排序后成等比数列,所以-2是a,b的等比中项,所以ab=4,所以q=4.又a,b,-2适当排序后成等差数列,所以-2是第一项或第三项,不妨设a<b,则-2,a,b成递增的等差数列,所以2a=b-2,联立消去b得a2+a-2=0,解得a=1或a=-2,又因为a>0,所以a=1,此时b=4,所以p=a+b=5,所以p+q=9.当b<a时,同样求得p+q=9.【变式备选】如图,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2,过点A 作BC的垂线,垂足为A1,过点A1作AC的垂线,垂足为A2;过点A2作A1C 的垂线,垂足为A3;…,以此类推.设BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,…,A5A6=a7,则a7=________.【解析】根据题意易得a1=2,a2=,a3=1,所以数列{a n}构成以a1=2,q=的等比数列,所以a7=a1q6=2×=.答案:4.已知a,b,c成等比数列,a,m,b和b,n,c分别成两个等差数列,则+等于( ) A.4 B.3 C.2 D.1【解析】选C.由题意得b2=ac,2m=a+b,2n=b+c,则+====2.【一题多解】解答本题,还有以下解法:特殊值法:选C.因为a,b,c成等比数列,所以令a=2,b=4,c=8,又a,m,b和b,n,c分别成两个等差数列,则m==3,n==6,因此+=+=2.【变式备选】各项都是正数的等比数列的公比q≠1,且a2,a3,a1成等差数列,则的值为________.【解析】{a n}的公比为q(q>0且q≠1),由a3=a2+a1,得q2-q-1=0,解得q=,而===.答案:5.(2018·宜宾模拟)数列{a n}的通项a n=n(cos2-sin2),其前n项和为S n,则S40为( )A.10B.15C.20D.25【解析】选C.由题意得,a n=n(cos2-sin2)=ncos,则a1=0,a2=-2,a3=0,a4=4,a5=0,a6=-6,a7=0,…,于是a2n-1=0,a2n=(-1)n·2n,则S40=(a1+a3+…+a39)+(a2+a4+a6+…+a40)=-2+4-…+40=20.二、填空题(每小题5分,共15分)6.对于每一个正整数n,设曲线y=x n+2在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n,令a n=log2x n,则a1+a2+a3+…+a62=________.【解析】因为y′=(n+2)x n+1,当x=1时,y′=n+2,所以曲线y=x n+2在点(1,1)处的切线方程为y=(n+2)x-(n+1),令y=0,得x n=.所以a n=log2x n=log2.所以a1+a2+a3+…+a62=log2=log2=-5.答案:-57.某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N*)等于________. 【解析】每天植树的棵数构成以2为首项,2为公比的等比数列,其前n项和S n===2n+1-2.由2n+1-2≥100,得2n+1≥102,由于26=64,27=128,则n+1≥7,即n≥6.答案:68.(2018·襄阳模拟)用g(n)表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数,例如:9的因数有1,3,9,则g(9)=9,10的因数有1,2,5,10,g(10)=5,那么g(1)+g(2)+…+g(2n-1)=________.【解析】由g(n)的定义易知g(n)=g(2n),且若n为奇数则g(n)=n,令f(n)=g(1)+g(2)+g(3)+…+g(2n-1)则f(n+1)=g(1)+g(2)+g(3)+…g(-1)=1+3+…+(-1)+g(2)+g(4)+…+g(-2)=+g(1)+g(2)+…+g(2n-1)=4n+f(n),即f(n+1)-f(n)=4n,据此可得:f(1)=1,f(2)-f(1)=4,f(3)-f(2)=8,…,f(n)-f(n-1)=4n-1,以上各式相加可得:f(n)==.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2018·南宁模拟)某体育场一角的看台共有20排,且此看台的座位是这样排列的:第一排有2个座位,从第二排起每一排比前一排多1个座位,记a n表示第n排的座位数.(1)确定此看台共有多少个座位.(2)求数列的前20项和S20.【解析】(1)由题可知数列{a n}是首项为2,公差为1的等差数列,所以a n=2+n-1=n+1(1≤n≤20).所以此看台的座位数为=230.(2)因为==-,所以S20=1-+-+…+-=1-=.10.已知{a n}是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的n∈N*,b n 是a n和a n+1的等比中项.(1)设c n=-,n∈N*,求证:数列{c n}是等差数列.(2)设a1=d,T n=(-1)k,n∈N*,求证:<.【解析】(1)c n=-=a n+1a n+2-a n a n+1=2d·a n+1.c n+1-c n=2d(a n+2-a n+1)=2d2为定值.所以数列是等差数列.(2)T n=(-1)k=c1+c3+…+c2n-1=nc1+·4d2=nc1+2d2n(n-1)(*).由已知c1=-=a2a3-a1a2=2d·a2=2d(a1+d)=4d2,将c1=4d2代入(*)式得T n=2d2n(n+1),所以===<,得证.【变式备选】已知二次函数y=f(x)的图象的顶点坐标为,且过坐标原点O.数列{a n}的前n项和为S n,点(n,S n)(n ∈N*)在二次函数y=f(x)的图象上.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)设b n=a n a n+1cos(n+1)π(n∈N*),数列{b n}的前n项和为T n,若T n≥tn2对n∈N*恒成立,求实数t的取值范围.【解题指南】(1)由已知可得数列{a n}的前n项和S n的公式,再利用a n=求得数列{a n}的通项公式.(2)分n为奇数与偶数先求出T n,T n≥tn2对n∈N*恒成立,通过分离参数t 转化为求函数的最值,即可求得实数t的取值范围.【解析】(1)由题意可知f(x)=(x+1)2-.所以S n=(n+1)2-=n2+n(n∈N*).当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2+n-=.当n=1时a1=S1=1适合上式,所以数列{a n}的通项公式为a n=(n∈N*).(2)因为b n=a n a n+1cos(n+1)π(n∈N*),所以T n=b1+b2+…+b n=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+(-1)n-1a n a n+1,由(1)可知,数列{a n}是以1为首项,公差为的等差数列.①当n=2m,m∈N*时,T n=T2m=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+(-1)2m-1a2m a2m+1=a2(a1-a3)+a4(a3-a5)+…+a2m(a2m-1-a2m+1)=-(a2+a4+…+a2m)=-××m=-(8m2+12m)=-(2n2+6n).②当n=2m-1,m∈N*时,T n=T2m-1=T2m+(-1)2m·a2m·a2m+1=-(8m2+12m)+(16m2+16m+3)=(8m2+4m+3)=(2n2+6n+7).所以T n=要使T n≥tn2对n∈N*恒成立,只要使-(2n2+6n)≥tn2(n为正偶数)恒成立.即使-≥t对n为正偶数恒成立,故实数t的取值范围是.1.(5分)某学校餐厅每天供应500名学生用餐,每星期一有A,B两种菜可供选择.调查资料表明,凡是在星期一选A种菜的学生,下星期一会有20%改选B种菜;而选B种菜的学生,下星期一会有30%改选A种菜.用a n,b n分别表示在第n个星期的星期一选A种菜和选B种菜的学生人数,若a1=300,则a n+1与a n的关系可以表示为世纪金榜导学号12560592 ( )A.a n+1=a n+150B.a n+1=a n+200C.a n+1=a n+300D.a n+1=a n+180【解析】选A.由题意得第n+1个星期的星期一选A种菜的学生人数a n+1应满足消去b n,得a n+1=a n+150.2.(5分)(2018·郑州模拟)已知f′(x)=2x+m,且f(0)=0,函数f(x)的图象在点A(1,f(1))处的切线的斜率为3,数列的前n项和为S n,则S2 018的值为( ) A. B.C. D.【解析】选B.由题意f′(1)=2+m=3,所以m=1,所以f′(x)=2x+1,又f(0)=0可得f(x)=x2+x,则===-,所以S2 018=1-+-+…+-=1-=.【变式备选】已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意的正数x,y都有f(x·y)=f(x)+f(y),若数列{a n}的前n项和为S n,且满足f(S n+2)-f(a n)=f(3)(n∈N*),则a n为( )A.2n-1B.nC.2n-1D.【解析】选 D.由f(S n+2)=f(a n)+f(3)(n∈N*),得S n+2=3a n,S n-1+2=3a n-1(n≥2),两式相减得,2a n=3a n-1(n≥2),即=.当n=1时,S1+2=3a1=a1+2,解得a1=1,所以数列{a n}是首项为1,公比为的等比数列,则a n=.3.(5分)已知等比数列{a n}中,各项都是正数,且a1,a3,2a2成等差数列,则=________.【解析】因为a1,a3,2a2成等差数列,所以2×a3=a1+2a2,即a3=a1+2a2,设等比数列{a n}的公比为q且q>0,则a3=a1q2,a2=a1q,所以a1q2=a1+2a1q,所以q2=1+2q,解得q1=1+,q2=1-(舍),==q2=(+1)2=3+2. 答案:3+24.(12分)已知数列{a n}的首项a1=,a n+1=,n∈N*.(1)求证:数列为等比数列.(2)记S n=++…+,若S n<100,求最大正整数n.【解析】(1)由a n+1=可得=+,所以-1=-=.又因为-1=≠0,所以-1≠0(n∈N*).所以数列是首项为,公比为的等比数列.(2)由(1)可得-1=·,所以=2·+1.S n=++…+=n+2=n+2·=n+1-,若S n<100,则n+1-<100,所以满足条件的最大正整数n为99.5.(13分)已知数列{a n}是等比数列,首项a1=1,公比q>0,其前n项和为S n,且S1+a1,S3+a3,S2+a2成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)若数列{b n}满足a n+1=,T n为数列{b n}的前n项和,若T n≥m 恒成立,求m的最大值.【解析】(1)由题意可知:2(S3+a3)=(S1+a1)+(S2+a2),即2(a1+a2+2a3)=(a1+a1)+(a1+2a2),即4a3=a1,所以q2=,因为q>0,所以q=,因为a1=1,所以a n=,n∈N*.(2)因为a n+1=,所以=,所以b n=n·2n-1,所以T n=1×1+2×2+3×22+…+n·2n-1,①所以2T n=1×2+2×22+3×23+…+n·2n,②所以①-②得-T n=1+2+22+…+2n-1-n·2n=-n·2n=(1-n)·2n-1,所以T n=1+(n-1)·2n.因为T n≥m恒成立,只需(T n)min≥m.因为T n+1-T n=n·2n+1-(n-1)·2n=(n+1)·2n>0,所以数列{T n}为递增数列,故当n=1时,(T n)min=1,所以m≤1,所以m的最大值为1.关闭Word文档返回原板块。