2019年高考数学总复习：双曲线
2019年高考数学全国3卷文理科试卷分析和点评解析
2019年高考数学全国3卷文/理科试卷分析和点评解析10.双曲线 C ：1 的右焦点为 F ，点 P 在 C 的一条渐近线上，O 为坐标原点.若4 2|PO |=|PF |，则△PFO 的面积为（ ）3 2 3 2 A. B.4 2C. 2 2D. 3 2【解析】看到焦点和渐近线，想到双曲线参数的几何意义，即焦点到渐近线的距离为b ，过F 作渐近线的垂线，垂足为 B ，设 POPFx ，a c 2x 2x 2法一：在 Rt OFB 中，有 cos FOB ，在 OFP 中，有 cos FOB，c 2cxc21 c23 2 联立得 x，得 S b 。
2a2 2a 4c 2 c 2法二：等腰直角三角形的高为 b xc x 2，易得 x ，同上。
4 2a【点评】双曲线参数的几何意义多次考查，《解析几何的系统性突破》（唯一正版销售书店）通过高考题反复强化学生认知，从而在一些几何图形中迅速找到隐含 的信息，快速突破。
11.（送分）12. 设函数 f (x )sin(xc 2x 2- 4[)(0) ，已知 f (x )在[0,2π]有且仅有 5 个零点，下述四个结5论：①f (x )在(0,2π)有且仅有 3 个极大值点；②f (x )在(0,2π)有且仅有 2个极小值点；③f (x )在(0, ) 单调递增；④的取值范围是 12 , 29).其中所有正确结论的编号是（）105 10A.①④B.②③C.①②③D.①③④【点评 1】肖博老师威信：xbmath19《高观点下全国卷高考压轴题研究三部曲》书中 最后给出了 16 套小练习（搜集最新的各地模拟题），其中第 3 套和第 4 套第 1 题如下： 1.函数 fxcos x 0在区间, 上有且只有两个极值点，则的取值范围是3 4A. 2,3B.2,3C.3, 4D.3, 41.若函数 y2sin x0的图象在区间 (,)上只有一个极值点，则的取值范围3 6为（ ）)A. 13B.23 32C. 34D.3 92 2法一：还原，则变成同上 2 个题。
高考数学专题复习：双曲线(含解析)
高考数学专题复习：双曲线(含解析)本文存在大量的格式错误和段落问题，需要进行修正和删减。
修正后的文章如下：研究目标：1.理解双曲线的定义、几何图形、标准方程以及简单几何性质。
2.理解数形结合的思想。
3.了解双曲线的实际背景及其简单应用。
一、单选题1.设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上，且 $F_1P=F_2P=c$，则 $\frac{c^2}{a^2-b^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】B解析】根据双曲线的性质求出 $c$ 的值，结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可。
点睛】本题主要考查双曲线性质的意义，根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键。
2.设 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，$A(0,b)$ 为左顶点，点$P$ 为双曲线右支上一点，且 $AP=\frac{a}{2}$，则$\frac{b^2}{a^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】D解析】先求出双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，再求出点 $P$ 的坐标，最后求$\frac{b^2}{a^2}$。
点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算，考查双曲线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力。
双曲线的通径为 $2a$。
3.已知直线$l$ 的倾斜角为$\theta$，且$l: y=x\tan\theta$，直线 $l$ 与双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右两支分别交于 $A,B$ 两点，$OA\perp$轴，$OB\perp$轴（其中 $O$、$F_1,F_2$ 分别为双曲线的坐标原点、左、右焦点），则该双曲线的离心率为：A。
高考数学总复习考点知识与题型专题讲解61 双曲线
高考数学总复习考点知识与题型专题讲解§8.6双曲线考试要求1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).3.了解双曲线的简单应用．知识梳理1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程和简单几何性质常用结论1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为2b 2a .4．若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则12PF F S △＝b 2tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2. 5．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × )(2)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × )(3)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)的渐近线方程是x m ±yn ＝0.( √ ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ ) 教材改编题1．已知曲线C 的方程为x 2k ＋1＋y 25－k ＝1(k ∈R )，若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则实数k 的取值范围是( ) A ．－1<k <5 B ．k >5 C ．k <－1 D ．k ≠－1或5 答案 C解析 若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线， 则⎩⎨⎧k ＋1<0，5－k >0，解得k <－1. 2．双曲线2y 2－x 2＝1的渐近线方程是( ) A ．y ＝±12x B ．y ＝±2xC ．y ＝±22x D ．y ＝±2x 答案 C解析 依题意知，双曲线y 212－x 2＝1的焦点在y 轴上，实半轴长a ＝22，虚半轴长b ＝1，所以双曲线2y 2－x 2＝1的渐近线方程是y ＝±22x .3．设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|＝________.答案17解析根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.题型一双曲线的定义及应用例1 (1)(2022·洛阳模拟)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为()A.x24－y25＝1(x>2)B.x29－y25＝1(x>3)C.x29＋y25＝1(0<x<2)D.x29＋y24＝1(0<x<3)答案 A解析如图，设△ABC与圆的切点分别为D，E，F，则有|AD|＝|AE|＝5，|BF|＝|BE|＝1，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝5－1＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支(右顶点除外)，即c ＝3，a ＝2，又c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5， 所以顶点C 的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x >2)．(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为______． 答案 2 3解析 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2 3.思维升华在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．跟踪训练1(1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1 B.x28－y 2＝1C ．x 2－y 28＝1(x ≤－1) D ．x 2－y 28＝1(x ≥1)答案 C解析 设动圆M 的半径为r ，由动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切， 得|MC 1|＝1＋r ，|MC 2|＝3＋r ，|MC2|－|MC1|＝2<6，所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(－3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，解得a＝1，又c＝3，则b2＝c2－a2＝8，所以动圆圆心M的轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1)．(2)(2022·荆州模拟)已知双曲线C：x216－y29＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P是C的右支上的一点(不是顶点)，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足是M，O是原点，则|MO|＝________.答案 4解析如图所示，延长F2M交PF1于Q，由于PM是∠F1PF2的角平分线，F2M⊥PM，所以△QPF2是等腰三角形，所以|PQ|＝|PF2|，且M是QF2的中点．根据双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a＝8，即|QF1|＝8，由于O是F1F2的中点，所以MO是△QF1F2的中位线，所以|MO|＝12|QF1|＝4.题型二双曲线的标准方程例2(1)(2021·北京)双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)过点(2，3)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为()A．x2－y23＝1 B.x23－y2＝1C．x2－3y23＝1 D.3x23－y2＝1答案 A解析由e＝ca＝2，得c＝2a，b＝c2－a2＝3a，则双曲线的方程为x2a2－y23a2＝1，将点(2，3)的坐标代入双曲线的方程可得2a2－33a2＝1a2＝1，解得a＝1，故b＝3，因此双曲线的标准方程为x2－y23＝1.(2)(2023·连云港模拟)在平面直角坐标系中，已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形，则双曲线的标准方程为()A.x24－y212＝1 B.x212－y24＝1C.x23－y2＝1 D．x2－y23＝1答案 D解析由方程x2a2－y2b2＝1，得双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ， 不妨设A 在直线y ＝ba x 上，由△OAF 是边长为2的等边三角形， 可得c ＝2，直线y ＝ba x 的倾斜角为60°， 即ba ＝3，联立⎩⎨⎧ b ＝3a ，a 2＋b 2＝c 2＝4，可得⎩⎨⎧b ＝3，a ＝1， 故双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.思维升华求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a ,2b 或2c ，从而求出a 2，b 2. (2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．跟踪训练2(1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，左焦点到渐近线的距离为23，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝1 答案 A解析 易知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为ay ＝±bx ，由C 的左焦点(－c ,0)到其渐近线的距离是23，可得bc a 2＋b2＝b ＝23，则b 2＝12， 由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，得e ＝ca ＝2，又c 2＝a 2＋b 2， 解得a ＝2，c ＝4，则双曲线的方程为x 24－y 212＝1.(2)(2023·廊坊模拟)江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永．现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x 轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是( )A.x 216－y 29＝1B.x 24－y 2＝1 C.x 28－y 29＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 D解析 由题意可知该双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，点(4,3)在该双曲线上． 设该双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，42a 2－32b2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，故该双曲线的标准方程是x24－y23＝1.题型三双曲线的几何性质命题点1渐近线例3(1)(2022·北京)已知双曲线y2＋x2m＝1的渐近线方程为y＝±33x，则m＝________.答案－3解析方法一依题意得m<0，双曲线的方程化为标准方程为y2－x2－m＝1，此时双曲线的渐近线的斜率为±1－m＝±33，解得m＝－3.方法二依题意得m<0，令y2－x2－m＝0，得y＝±1－mx，则±1－m＝±33，解得m＝－3.(2)(2022·连云港模拟)若双曲线经过点(1，3)，其渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的方程是________．答案4x2－y2＝1解析方法一由题意可知，①若双曲线的焦点在x轴上，则可设x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则1a2－3b2＝1且ba＝2，联立解得a＝12，b＝1，则双曲线的方程为4x2－y2＝1；②若双曲线的焦点在y轴上，则可设y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)，则3a2－1b2＝1，且ab＝2，此时无解，综上，双曲线的方程为4x2－y2＝1.方法二由题可设双曲线方程为4x2－y2＝λ(λ≠0)，∵双曲线经过点(1，3)，∴λ＝4×12－(3)2＝1，∴双曲线方程为4x 2－y 2＝1.思维升华(1)渐近线的求法：求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线的方法是令x 2a 2－y 2b 2＝0，即得两渐近线方程x a ±y b ＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＝±b a x . (2)在双曲线的几何性质中，重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±b a ，满足关系式e 2＝1＋k 2.命题点2 离心率例4(1)(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为( ) A.72 B.132 C.7 D.13 答案 A解析 设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝3m ， 在△F 1PF 2中，|F 1F 2|＝m 2＋9m 2－2×3m ×m ×cos 60° ＝7m ，所以C 的离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|＝7m 2m ＝72.(2)(2022·全国甲卷)记双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为e ，写出满足条件“直线y ＝2x 与C 无公共点”的e 的一个值________． 答案 2((1，5]内的任意值均可)解析 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±ba x ，若直线y ＝2x 与双曲线C 无公共点， 则2≥b a ，∴b 2a 2≤4，∴e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2≤5， 又e ＞1，∴e ∈(1，5]， ∴填写(1，5]内的任意值均可．思维升华求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用c 2＝a 2＋b 2和e ＝ca 转化为关于e 的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．跟踪训练3(1)(多选)(2023·聊城模拟)已知双曲线C ：x 29－k ＋y 2k －1＝1(0<k <1)，则下列结论正确的是( )A ．双曲线C 的焦点在x 轴上B ．双曲线C 的焦距等于4 2C ．双曲线C 的焦点到其渐近线的距离等于1－kD ．双曲线C 的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，103 答案 ACD解析 对于A ，因为0<k <1，所以9－k >0，k －1<0，所以双曲线C ：x 29－k －y 21－k ＝1(0<k <1)表示焦点在x 轴上的双曲线，故选项A 正确；对于B ，由A 知a 2＝9－k ，b 2＝1－k ，所以c 2＝a 2＋b 2＝10－2k ，所以c ＝10－2k ， 所以双曲线C 的焦距等于2c ＝210－2k (0<k <1)，故选项B 错误；对于C ，设焦点在x 轴上的双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点坐标为(±c ,0)，则渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0，所以焦点到渐近线的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b ， 所以双曲线C ：x 29－k －y 21－k ＝1(0<k <1)的焦点到其渐近线的距离等于1－k ，故选项C正确；对于D ，双曲线C 的离心率e ＝1＋b 2a2＝1＋1－k 9－k ＝2－89－k， 因为0<k <1，所以1<2－89－k <109，所以e ＝2－89－k ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，103，故选项D 正确． (2)(2022·怀化模拟)已知F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点F 的直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为A ，且直线l 与双曲线C 的左支交于点B ，若3|F A |＝|AB |，则双曲线C 的渐近线方程为________． 答案 y ＝±43x解析 设C 的左焦点为F 1，连接F 1B ，过F 1作F 1D ⊥FB 于点D ，如图所示，易知F 1D ∥OA ，在双曲线C 中，易知|F A |＝b ， 又3|F A |＝|AB |， 则|DB |＝2b ，则D 为线段FB 的中点， 所以△F 1BF 为等腰三角形，又|FB |＝4b ，|F 1B |＝4b －2a ＝|F 1F |＝2c ， 即c ＋a ＝2b ，又b 2＝c 2－a 2＝(c ＋a )(c －a )，将b ＝c ＋a 2代入得(c ＋a )24＝(c ＋a )(c －a )， 得c ＋a ＝4(c －a )， 则c ＝53a ， 又c 2＝a 2＋b 2，所以b ＝43a ，则渐近线方程为y ＝±43x .课时精练1．(2022·宜昌模拟)双曲线x 22－y 24＝λ(λ>0)的离心率为( ) A.62 B. 3 C.3或62 D. 2 答案 B解析 因为λ>0，所以x 22λ－y 24λ＝1，所以双曲线焦点在x 轴上，所以a 2＝2λ，b 2＝4λ，c 2＝a 2＋b 2＝6λ，所以离心率为ca ＝c 2a 2＝6λ2λ＝ 3.2. “mn <0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析因为方程mx2＋ny2＝1表示双曲线，所以mn<0，又当mn<0时，方程mx2＋ny2＝1表示双曲线，因此“mn<0”是“方程mx2＋ny2＝1表示双曲线”的充要条件．3．已知双曲线的渐近线方程为y＝±22x，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为()A.x24－y22＝1B.x24－y28＝1或y24－x28＝1C.x24－y28＝1D.x24－y22＝1或y24－x28＝1答案 D解析设双曲线方程为x22m－y2m＝1(m≠0)，∵2a＝4，∴a2＝4，当m>0时，2m＝4，m＝2；当m<0时，－m＝4，m＝－4.故所求双曲线的标准方程为x24－y22＝1或y24－x28＝1.4．(2022·南通模拟)方程x2＋(cos θ)y2＝1，θ∈(0，π)表示的曲线不可能为() A．两条直线B．圆C ．椭圆D ．双曲线 答案 B解析 因为θ∈(0，π)，所以cos θ∈(－1,1)，所以当cos θ∈(－1,0)时，方程x 2＋(cos θ)y 2＝1表示双曲线； 当cos θ＝0时，方程x 2＋(cos θ)y 2＝1表示两条直线x ＝±1； 当cos θ∈(0,1)时，方程x 2＋(cos θ)y 2＝1可化为x 2＋y 21cos θ＝1，因为1cos θ>1，所以方程表示焦点在y 轴上的椭圆．5．(多选)(2023·唐山模拟)已知F 1，F 2为双曲线C ：y 23－x 2＝1的两个焦点，P 为双曲线C 上任意一点，则( ) A ．|PF 1|－|PF 2|＝2 3B ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±33x C ．双曲线C 的离心率为233 D ．|PF 1—→＋PF 2—→|≥2 3 答案 CD解析 双曲线C ：y 23－x 2＝1焦点在y 轴上，a ＝3，b ＝1，c ＝a 2＋b 2＝2. 对于A 选项，||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝23，而P 点在哪支上并不确定，故A 错误； 对于B 选项，焦点在y 轴上的双曲线C 的渐近线方程为y ＝±ab x ＝±3x ，故B 错误； 对于C 选项，e ＝c a ＝23＝233，故C 正确；对于D 选项，设P (x ，y )(x ∈R )，则|PO |＝x 2＋y 2＝x 2＋(3x 2＋3)＝3＋4x 2≥3(当且仅当x ＝0时取等号)，因为O 为F 1F 2的中点，所以|PF 1—→＋PF 2—→|＝|2PO →|＝2|PO →|≥23，故D 正确．6．(多选)(2023·湖南长郡中学模拟)F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是C 右支上的一点，PF 1与C 的左支交于点Q .已知PQ →＝2QF 1—→，且|PQ |＝|PF 2|，则( )A ．△PQF 2为直角三角形B ．△PQF 2为等边三角形C ．C 的渐近线方程为y ＝±6xD ．C 的渐近线方程为y ＝±7x 答案 BC解析 因为|PQ |＝|PF 2|，所以由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝|QF 1|＝2a ，|QF 2|－|QF 1|＝2a ， 所以|QF 2|＝4a ， 又PQ →＝2QF 1—→， 所以|PQ |＝|PF 2|＝4a ，故△PQF 2是等边三角形．在△PF 1F 2中，由余弦定理得，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝36a 2＋16a 2－4c 248a 2＝12，则c 2a 2＝a 2＋b2a 2＝7，即ba ＝6，故C 的渐近线方程为y ＝±6x .7．(2021·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，则该双曲线C 的渐近线方程为________． 答案 y ＝±3x解析 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2， 所以e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝2，所以b 2a 2＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±3x .8．(2022·晋中模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 在双曲线的右支上，|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53解析 设∠F 1PF 2＝θ，由⎩⎨⎧|PF 1|＝4|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a ，∵|PF 2|≥c －a ， ∴23a ≥c －a ， 即53a ≥c ， 即c a ≤53，∴双曲线离心率的取值范围是1<e ≤53. 9．已知双曲线C ：x 2－y 2b 2＝1(b >0)．(1)若双曲线C 的一条渐近线方程为y ＝2x ，求双曲线C 的标准方程；(2)设双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线C 上，若PF 1⊥PF 2，且△PF 1F 2的面积为9，求b 的值．解 (1)因为双曲线C ：x 2－y 2b 2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±bx ，而它的一条渐近线方程为y ＝2x ， 所以b ＝2，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 24＝1.(2)因为PF 1⊥PF 2， 所以12PF F S △＝12|PF 1|·|PF 2|， 因为△PF 1F 2的面积为9， 所以|PF 1|·|PF 2|＝18， 又因为||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2， 所以|PF 1|2－2|PF 1|·|PF 2|＋|PF 2|2＝4， 所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝40，又因为|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， 所以c 2＝10，由a 2＋b 2＝c 2，得1＋b 2＝10， 所以b ＝3.10.如图，已知双曲线的中心在原点，F1，F2为左、右焦点，焦距是实轴长的2倍，双曲线过点(4，－10)．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；(3)在(2)的条件下，若点M在第一象限，且直线MF2交双曲线于另一点N，求△F1MN 的面积．(1)解设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，双曲线焦距为2c，实轴长为2a，则2c＝22a，即c＝2a，∴b2＝c2－a2＝a2，∴双曲线方程为x2－y2＝a2，将(4，－10)代入得，a2＝16－10＝6，∴双曲线的标准方程为x26－y26＝1.(2)证明由(1)知，F1(－23，0)，F2(23，0)，∵M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2＝3，以F1F2为直径的圆为x2＋y2＝12，将M(3，m)代入得9＋3＝12，∴M在以F1F2为直径的圆上．(3)解由(2)知，点M坐标为(3，3)或(3，－3)，∵点M在第一象限，∴M的坐标为(3，3)，直线MF2的方程为y－3＝－323－3(x－3)＝－(2＋3)(x－3)，即y＝(－2－3)x＋(6＋43)，代入双曲线方程整理可得(6－43)y2－43(2－3)y＋6＝0，∵M的纵坐标为3，∴N的纵坐标为6(6－43)×3＝13－2＝－(3＋2)，∴△F1MN的面积为S＝12|F1F2|·(3＋3＋2)＝23×(2＋23)＝12＋4 3.11．中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆x210＋y26＝1有相同的焦距，一条渐近线方程为x－3y＝0，则C的方程为()A.x23－y2＝1或y2－x23＝1B．x2－y23＝1或y2－x23＝1C.x23－y2＝1或y23－x2＝1D．x2－y23＝1或y23－x2＝1答案 A解析在椭圆x210＋y26＝1中，c＝10－6＝2，∴焦距2c＝4.∵C 的一条渐近线方程为x －3y ＝0，∴设C 的方程为x 23－y 2＝λ(λ≠0)，化为标准方程为x 23λ－y 2λ＝1. 当λ>0时，c ＝λ＋3λ＝2，解得λ＝1，则C 的方程为x 23－y 2＝1； 当λ<0时，c ＝－λ－3λ＝2，解得λ＝－1，则C 的方程为y 2－x 23＝1.综上，C 的方程为x 23－y 2＝1或y 2－x 23＝1.12．(2022·徐州模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫a >0，b >0，e >62的左、右焦点，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限分别交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之比是3∶2，则该双曲线的离心率为( ) A. 5 B.322 C. 2 D.52 答案 C解析 过点A 作AF ⊥x 轴，垂足为F ，过点B 作BE ⊥x 轴，垂足为E ，如图所示．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|OB |＝|OF 2|＝c ， 由渐近线的方程y ＝b a x 可知y 2＝ba x 2， 在Rt △OBE中，x 22＋b 2a2x 22＝c 2，解得x 2＝a (舍负)，由已知得x 1∶x 2＝3∶2，即x 1＝62a ，即|AF |2＝c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫62a 2＝c 2－32a 2，因为离心率e >62， 所以c 2－32a 2>0，则点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62a ，c 2－32a 2，代入双曲线方程可得32a 2a 2－c 2－32a2b 2＝1，化简得2a 2＝c 2，即e ＝ 2.13．(2022·枣庄模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为双曲线在第二象限上的一点，B 关于坐标原点O 的对称点为C ，直线CA 与直线BF 的交点M 恰好为线段BF 的中点，则双曲线的离心率为( ) A ．2 B ．3 C. 2D. 3 答案 B解析 如图，设B (m ，n )，则C (－m ，－n )， 易知A (a ,0)，F (c ,0)，由M 为线段BF 的中点得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋c 2，n 2，又M 在直线CA 上，故CA→，AM →共线， 又CA →＝(a ＋m ，n )，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋c 2－a ，n 2， 故(a ＋m )·n 2＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋c 2－a ， 整理得c ＝3a ， 故离心率e ＝ca ＝3.14．(多选)(2022·湖南联考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，过点F 2作直线与双曲线E 的右支相交于P ，Q 两点，在点P 处作双曲线E 的切线，与E 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，则下列命题中正确的是( ) A ．若|PF 1|·|PF 2|＝2，则PF 1—→·PF 2—→＝0 B ．若a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则双曲线的离心率e ∈(1，2＋1]C ．△F 1PQ 周长的最小值为8D ．△AOB (O 为坐标原点)的面积为定值 答案 ACD解析 由题意知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，a 2＋1＝c 2，则|PF 1|2－2|PF 1|·|PF 2|＋|PF 2|2＝4a 2，所以有|PF 1|2＋|PF 2|2＝4a 2＋4＝4c 2＝|F 1F 2|2，从而PF 1—→⊥PF 2—→，即PF 1—→·PF 2—→＝0，故A 正确； 在△PF 1F 2中，由正弦定理得|PF 1|sin ∠PF 2F 1＝|PF 2|sin ∠PF 1F 2，则sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝|PF 2||PF 1|＝a c，解得|PF 1|＝ca |PF 2|.又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a 2c －a>c －a ，整理得c 2－2ac －a 2<0，所以e 2－2e －1<0，解得1<e <2＋1，故B 错误；当直线PQ ⊥x 轴时，|PQ |的最小值为2a ，|PF 1|＋|QF 1|＋|PQ |＝2a ＋|PF 2|＋2a ＋|QF 2|＋|PQ |＝4a ＋2|PQ |＝4a ＋4a ≥8(当且仅当a ＝1时取等号)，故C 正确；设P (x 0，y 0)，过点P 的双曲线E 的切线方程为x 0a 2x －y 0y ＝1，E 的渐近线方程为y ＝±1a x ，不妨设切线x 0a 2x －y 0y ＝1与渐近线y ＝1a x 的交点为A ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1a x ，x 0a 2x －y 0y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2x 0－ay 0，y ＝a x 0－ay 0，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2x 0－ay 0，a x 0－ay 0，同理可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2x 0＋ay 0，－a x 0＋ay 0.又因为点P 在双曲线E 上，则有x 20a 2－y 20＝1，x A ＋x B ＝a 2x 0－ay 0＋a 2x 0＋ay 0＝2x 0，故点P 是AB 的中点．设切线x 0a 2x －y 0y ＝1与x 轴的交点为G ，易知G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x 0，0，所以S △AOP ＝12·a 2x 0|y A －y 0|＝a 2·a x 0⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x 0－ay 0－y 0＝a2，所以S △AOB ＝2S △AOP ＝a ，故D 正确．。
新高考数学复习考点知识讲解与专题训练31---双曲线的方程及几何性质(解析版)
新高考数学复习考点知识讲解与专题训练专题31、 双曲线的方程及几何性质一、 双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于||F 1F 2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M ⎪⎪⎪⎪| ||MF 1－||MF 2＝2a }，||F 1F 2＝2c ，其中a ，c 为常数，且a >0，c >0.(1)当a ＜c 时，点P 的轨迹是双曲线； (2)当a ＝c 时，点P 的轨迹是两条射线； (3)当a ＞c 时，点P 不存在． 二 、双曲线的标准方程和几何性质一、常用结论1、过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a，也叫通径．2、与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b2＝t (t ≠0)．3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .4、若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .题型一、双曲线的方程与渐近线的方程例1、【2020年高考天津】设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A ．22144x y -=B ．2214y x -= C ．2214x y -=D ．221x y -=【答案】D【解析】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -，又双曲线的渐近线的方程为b y x a=±，所以b b a-=-，1b b a-⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==．故选：D ．变式、【2018年高考天津卷理数】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．22139x y -=D ．22193x y -=【答案】C【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b -=可得：2b y a=±， 不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为：0bx ay -=，据此可得：21bc b d c -==，22bc b d c +==， 则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==，双曲线的离心率：2c e a ====，据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.本题选择C 选项.例2、【2018年高考全国Ⅱ理数】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率A．y =B．y =C．2y x =±D．2y x =±【答案】A【解析】因为c e a ==，所以2222221312b c a e a a-==-=-=，所以b a =因为渐近线方程为by x a=±，所以渐近线方程为y =，故选A ． 变式、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y =C ．y =D ．y x =±【答案】B【解析】如图所示：由对称性可得：M 为2AF 的中点，且2AF OM ⊥， 所以12F A AF ⊥，因为11F AO AOF ∠=∠，所以11AF FO c ==， 故而由几何性质可得160AFO ∠=，即260MOF ∠=，故渐近线方程为y =， 故选B.题型二、双曲线的离心率例3、【2018年高考全国III 理数】设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1|||PF OP =，则C 的离心率为AB ．2CD 【答案】C【解析】由题可知2PF b =，2OF c =，PO a ∴=，在2Rt POF △中，222cos PF b PF O OF c∠==， 在12Rt PF F △中，22221212212cos 2PF F F PF b PF O PF F F c∠+-==，b c=，即223c a =，e ∴=C ．变式1、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知点P 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>右支上一点，12,F F 分别为C 的左，右焦点，直线1PF 与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若114PF HF =，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．53D ．73【答案】C【解析】取1PF 的中点M ，连接2MF ,由条件可知1111142HF PF MF ==， O 是12F F 的中点，2//OH MF ∴又1OH PF ⊥，21MF PF ∴⊥1222F F PF c ∴==,根据双曲线的定义可知122PF a c =+，12a cHF +∴=， 直线1PF 的方程是：()a y x c b=+ ，即0ax by ac -+= ，原点到直线的距离OH a ==，1OHF ∴∆中，2222a c a c +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，整理为：223250c ac a --= ， 即23250e e --= ，解得：53e = ，或1e =-（舍）故选：C变式2、【2020年高考全国I 卷理数】已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为 .【答案】2【解析】联立22222221x cx y a b a b c=⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2bBF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223b c a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =,因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2．变式3、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120FB F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【答案】2 【解析】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22,2.BF OA BF OA =∥由120FB F B ⋅=，得121,,F B F B OA F A ⊥∴⊥∴1OB OF =，1AOB AOF ∠=∠， 又OA 与OB 都是渐近线，∴21,BOF AOF ∠=∠又21πBOF AOB AOF ∠+∠+∠=，∴2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=又渐近线OB 的斜率为tan 60ba=︒=，∴该双曲线的离心率为2c e a ====． 题型三、双曲线的综合问题例4、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为 A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】B 【解析】2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>， ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±， 直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于D ，E两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩，故(,)D a b ，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩，故(,)E a b -，∴||2ED b =，∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，∴其焦距为28c ===，当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8.故选：B ．变式1、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知P 为双曲线C ：2214y x -=右支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，且线段12A A ，12B B 分别为C 的实轴与虚轴.若12A A ，12B B ，1PF 成等比数列，则2PF =______.【答案】6【解析】2214y x -=1222A A a ∴==，1224B B b ==，12A A ，12B B ，1PF 成等比数列212112A A PFB B ∴⋅=，解得18PF =，2826PF a ∴=-=故答案为：6变式2、【2020年高考全国Ⅲ卷理数】.设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F1，F 2，P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =A ． 1B ． 2C ． 4D ． 8【答案】A【解析】5ca=，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A ．1、【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A ．2B ．1C D ．2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=，所以a b =，则c =，所以双曲线的离心率ce a==故选C. 2、【2018年高考浙江卷】双曲线2213x y -=的焦点坐标是A ．(0)，0) B ．(−2，0)，(2，0) C ．(0，，(0 D ．(0，−2)，(0，2) 【答案】B【解析】设2213x y -=的焦点坐标为(,0)c ±，因为222314c a b =+=+=，2c =， 所以焦点坐标为(2,0)±，故选B ．3、（2020届山东省烟台市高三上期末）若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的，则其渐近线方程为（ ）A ．230x y ±=B ．320x y ±=C ．20x y ±=D ．230x y ±=【答案】C【解析】由题,离心率c e a ===,解得12b a =,因为焦点在x 轴上,则渐近线方程为12y x =±,即20x y ±=故选：C4、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A ．4B ．2C ．D ．【答案】A【解析】由2,,a b c ====,2P PO PF x =∴=， 又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在by x a=上，则P P b y x a =⋅==1122PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ． 5、【2018年高考全国I 理数】已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则||MN =A ．32B ．3C ．D ．4【答案】B【解析】由题可知双曲线C 的渐近线的斜率为3±，且右焦点为(2,0)F ，从而可得30FON ∠=︒，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为2)y x =-，分别与两条渐近线y x =和y x =联立，求得M ，3(,2N ，所以||3MN ==，故选B ．6、（2020届山东省德州市高三上期末）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()1F ，点A 的坐标为()0,1，点P 为双曲线左支上的动点，且1APF ∆周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2 D ．【答案】D【解析】如下图所示：设该双曲线的左焦点为点F ，由双曲线的定义可得12PF PF a =+，所以，1APF ∆的周长为11123262AP AF PF AF AP PF a AF a a ++=+++≥++=+，当且仅当A 、P 、F 三点共线时，1APF ∆的周长取得最小值，即628a +=，解得1a =.因此，该双曲线的离心率为e == 故选：D.7、【2020年高考北京】已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．【答案】()3,0【解析】在双曲线C 中，a =b =3c ==，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，即0x =，所以，双曲线C=.故答案为：()3,08、【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .【答案】y =【解析】由已知得222431b-=，解得b =b =，因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.9、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线222105()x y a a -=>的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率是 ▲ ． 【答案】32【解析】双曲线22215x y a -=，故b =由于双曲线的一条渐近线方程为2y x =，即22b a a =⇒=，所以3c ==，所以双曲线的离心率为32c a =.故答案为：3221/ 21。
高考数学一轮总复习课件：双曲线
(2)在△ABC中，B(4，0)，C(－4，0)，动点A满足条件sinB －sinC＝12sinA，则点A的轨迹方程为__x4_2_－__1y_22 _＝_1_(_x_>_2_)__．
y2 3
＝λ(λ≠0)，将点(2，3)代
入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x2－y32＝1，故选C.
5．若过双曲线
x2 4
－
y2 3
＝1的左焦点F1的直线交双曲线的左支
于M，N两点，F2为其右焦点，则|MF2|＋|NF2|－|MN|的值为
____8____．
解析 由双曲线的定义知道|MF2|＋|NF2|－|MN|的值为4a＝8.
解析
双曲线C的标准方程为
x2 6
－
y2 3
＝1，a＝
6，b＝
3，则c
＝ a2＋b2 ＝3，则双曲线C的右焦点坐标为(3，0)，双曲线C的渐近
线方程为y＝±
2 2
x，即x±
2 y＝0，所以，双曲线C的焦点到其渐近
线的距离为 123＋2＝ 3.
3．若双曲线E：x92－1y62 ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P
第7课时 双曲线
[复习要求] 1.了解双曲线的定义、标准方程，能够根据 条件利用待定系数法求双曲线方程.2.知道双曲线的几何性质.3. 了解双曲线的一些实际应用．
课前自助餐
双曲线的定义 平 面 内 与 两 个 定 点 F1 ， F2 的 距 离 之 差 的 绝 对 值 ___等_于__常_数__2_a_(2_a_<_|F_1_F_2_|)____的点的轨迹叫做双曲线．
2019年高考数学总复习8.7 双曲线(2)
【复习目标】 1.掌握双曲线的几何性质. 2.能利用待定系数法和双曲线的几何性质求出双曲线的标 准方程. 3.能根据有关双曲线的知识解决较简单的应用问题.
【知识回顾】 双曲线的标准方程和性质:
1
定义 焦点位置
M 为双曲线上的点 | | MF 1| -| MF 2| | =2a(0<2a< |F1 F2|) x轴 y轴
Байду номын сангаас
由题意知 2a=4 ������, 即 a=2 ������ ������������ ������ 将点 P( -5, 2) 的坐标代入所设方程中得: - ������=1, 得 b2=16, 所以所求双曲线方程为 - =1.
������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������
【答案】D
12
x2 5.双曲线y 1的渐近线方程为 9 1 A.y 3 x B.y x 3
2
C.y 3 x
【答案】B
3 D.y x 3
13
5 6.焦距是10, 离心率是 , 焦点在x轴上的双曲线标准方程式为 4 x2 y 2 y 2 x2 A. 1 B. 1 9 16 9 16 x2 y 2 y 2 x2 C. 1 D. 1 16 9 16 9
������������ ������������ 曲线方程为 ������- ������=1, 由题知椭圆的焦点坐标为( ± ������ ������
0) , 长轴上顶 3,
点坐标为( ± 2 2, 0) , ∴双曲线中: a= ������, c=2 ������, b= ������������ − ������������ = ������
双曲线的定义及其标准方程(2) 2019年高考数学(文)一轮复习Word版含解析
11月6日 双曲线的定义及其标准方程（2）高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆典例在线如图，若F 1，F 2是双曲线221916x y -=的两个焦点． （1）若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；（2）若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1||PF 2|＝32，试求12F PF △的面积．【参考答案】（1）10或22；（2）16．（2）将12|||||6|PF PF -=两边平方，得212122||||2||||36F PF F PF P P +=-，所以1212223||||2|106|||0F F P P PF P F ++==， 在12F PF △中，由余弦定理得2221212121212||||||cos 21||||2|||0010|00F PF F F F PF F P P P PF F PF +--===∠， 所以1290F PF =︒∠，12F PF △的面积1211||||321622F PF S P ==⨯=． 【解题必备】（1）在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件12||||||2F PF P a -=的应用，同时应注意双曲线上的点到任一焦点的距离都大于等于c －a ，从而两解中要舍去不满足要求的那个；其次是利用正弦定理、余弦定理、勾股定理等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．（2）在求解与双曲线有关的轨迹问题时，准确理解双曲线的定义，才能正确解题．①当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＜|F 1F 2|(a ＞0)，即|MF 1|－|MF 2|＝±2a ，0＜2a ＜|F 1F 2|时，点M 的轨迹是双曲线， 其中取正号时为双曲线的右(上)支，取负号时为双曲线的左(下)支；②当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝|F 1F 2|(a ＞0)时，点M 的轨迹是以点F 1，F 2为端点的两条射线；③当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＞|F 1F 2|(a ＞0)时，点M 的轨迹不存在．（3）对于形如：Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)的双曲线的方程，其包含焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况， ①当B ＜0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；②当A ＜0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．利用此种形式的方程可避免讨论．学霸推荐1．方程22123x y m m +=-+表示双曲线,则实数m 的取值范围是 A ．3-＜m ＜2B ．1-＜m ＜3C ．3-＜m ＜4D ．3-＜m ＜02． 已知定点()12,0F -，()22,0F ，N 是圆O ：221x y +=上任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的中垂线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹是A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线1．【答案】A【名师点睛】解答本题的关键是正确理解双曲线的概念，然后转化成不等式的问题求解，考查对定义的理解和运用，属于基础题．根据双曲线的定义可得方程中两个分母异号，由此得到关于m 的不等式，解不等式可得到所求．2．【答案】D【名师点睛】根据三角形中位线性质以及中垂线性质得122||||||||22PF PF F M ON -===,再根据双曲线定义得结果.求轨迹方程，一般有以下方法：一是定义法，动点满足圆或圆锥曲线定义；二是直接法，化简条件即得；三是转移法，除所求动点外，一般还有已知轨迹的动点，寻求两者关系是关键；四是交轨法或参数法，如何消去参数是解题关键，且需注意消参过程中的等价性.。
高考数学复习第7章解析几何第6讲双曲线
3.通过圆锥曲线的学习,进一步 比椭圆要低.以选择题、填空题
体会数形结合的思想
为主
1.双曲线的概念 平面内与两个定点 F1,F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离之差的绝对 值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两 个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做焦距.
集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a},|F1F2|＝2c,其中 a,c 为 常数且 a>0,c>0.
作过 A,B 的椭圆,则另一焦点 F 的轨迹方程为________. 解析：(利用定义求方程)设 F(x,y)为轨迹上的任意一点, ∵A,B 两点在以 C,F 为焦点的椭圆上, ∴|FA |＋|CA|＝2a,|FB|＋|CB|＝2a(其中 a 表示椭圆的长半
轴长). ∴|FA |＋|CA|＝|FB|＋|CB|. ∴|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝ 122＋92－ 122＋－52＝2. ∴|FA|－|FB|＝2＜14. 由双曲线的定义知,F 点在以 A,B 为焦点,2 为实轴长的
等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )
A.x42－1y22 ＝1
B.1x22 －y42＝1
C.x32－y2＝1
D.x2－y32＝1
解析：|OF|＝c＝2，点 A 的坐标为(－1， 3)，则渐近线为
y＝－ 3x＝－bax.∴ba＝ 3.又由 a2＋b2＝c2，可得 a＝1，b＝ 3. 则双曲线的方程为 x2－y32＝1.故选 D.
双曲∴ 答线案 点的：下F y支的2－上轨4x,迹82 ＝方1程(y≤是－y21－) 4x82 ＝1(y≤－1).
考点 2 求双曲线的标准方程 例 2：(1)(2017 年天津)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的
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2019年高考数学总复习：双曲线1．双曲线x 236－m 2－y 2m 2＝1(0<m<3)的焦距为( )A ．6B ．12C ．36D ．236－2m 2答案 B解析 c 2＝36－m 2＋m 2＝36，∴c ＝6.双曲线的焦距为12. 2．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点是(0，3)，则k 的值是( ) A ．1 B ．－1 C.653D ．－63答案 B解析 kx 2－ky 28＝1，焦点在y 轴上，c ＝3，解得k ＝－1.3．已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a>0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62C.52D ．1答案 D解析 因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3a 2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选D.4．(2017·北京西城期末)mn<0是方程x 2m ＋y 2n ＝1表示实轴在x 轴上的双曲线的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 当mn<0时，分m<0，n>0和m>0，n<0两种情况．①当m<0，n>0时，方程x 2m ＋y 2n ＝1表示焦点在y 轴上的双曲线；②当m>0，n<0时，方程x 2m ＋y 2n ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线．因此，当mn<0时，方程x 2m ＋y 2n ＝1不一定表示实轴在x 轴上的双曲线．方程x 2m ＋y 2n＝1表示实轴在x 轴上的双曲线时，m>0，n<0，必定有mn<0.由此可得：mn<0是方程x 2m ＋y 2n ＝1表示实轴在x 轴上的双曲线的必要而不充分条件．故选B.5．(2017·河北邢台摸底)双曲线x 2－4y 2＝－1的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B ．y ±2x ＝0 C ．x ±4y ＝0 D ．y ±4x ＝0答案 A解析 依题意，题中的双曲线即y 214－x 2＝1，因此其渐近线方程是y 214－x 2＝0，即x±2y ＝0，选A.6．(2018·湖北孝感一中月考)设点P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF 1⊥PF 2，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的一条渐近线方程是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝3x C ．y ＝2x D ．y ＝4x 答案 C解析 由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝2|PF 2|，得|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a.在Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，∴4c 2＝16a 2＋4a 2，即c 2＝5a 2，则b 2＝4a 2，即b ＝2a ，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝2x.故选C.7．(2018·安徽屯溪一中模拟)已知双曲线的离心率为72，且其顶点到其渐近线的距离为2217，则双曲线的方程为( ) A.x 23－y 24＝1 B.x 24－y 23＝1 C.x 23－y 24＝1或y 23－x 24＝1 D.x 24－y 23＝1或y 24－x 23＝1 答案 D解析 当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)．双曲线的离心率为e ＝c a＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝72，∴b a ＝32，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±32x.由题意，顶点到渐近线的距离为|32a|34＋1＝2217，解得a ＝2，∴b ＝3，∴双曲线的方程为x 24－y 23＝1.当焦点在y 轴上时，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a>0，b>0)．双曲线的离心率为e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝72，∴b a ＝32，渐近线方程为y ＝±a b x ＝±233x ，由题意可知：顶点到渐近线的距离为|a|43＋1＝2217，解得a ＝2，∴b ＝3，∴双曲线的方程为y 24－x 23＝1.综上可知，双曲线的方程为x 24－y 23＝1或y 24－x 23＝1.故选D.8．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(3，22) C ．(1＋2，＋∞) D ．(1，1＋2)答案 D解析 依题意，0<∠AF 2F 1<π4，故0<tan ∠AF 2F 1<1，则b 2a 2c ＝c 2－a 22ac <1，即e －1e <2，e 2－2e －1<0，(e －1)2<2，所以1<e<1＋2，故选D.9．已知双曲线mx 2－ny 2＝1(m>0，n>0)的离心率为2，则椭圆mx 2＋ny 2＝1的离心率为( ) A.12 B.63C.33D.233答案 B解析 由已知双曲线的离心率为2，得1m ＋1n1m＝2. 解得m ＝3n.又m>0，n>0，∴m>n ，即1n >1m .故由椭圆mx 2＋ny 2＝1，得y 21n ＋x 21m＝1.∴所求椭圆的离心率为e ＝1n －1m1n ＝1n －13n 1n＝63. 10．已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为53c(c 为双曲线的半焦距长)，则双曲线的离心率为( ) A.52B.32C.355D.23答案 B解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为x a ±yb ＝0，焦点A(c ，0)到直线bx －ay ＝0的距离为bc a 2＋b 2＝53c ，则c 2－a 2＝59c 2，得e 2＝94，e ＝32，故选B. 11．(2018·成都市高三二诊)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以OF 1(O 为坐标原点)为直径的圆与PF 2相切，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2 B.－3＋624C. 3D.3＋627答案 D解析 如图，在圆O 中，F 1F 2为直径，P 是圆O 上一点，所以PF 1⊥PF 2，设以OF 1为直径的圆的圆心为M ，且圆M 与直线PF 2相切于点Q ，则M(－c 2，0)，MQ ⊥PF 2，所以PF 1∥MQ ，所以|MQ||PF 1|＝|MF 2||F 1F 2|，即c 2|PF 1|＝3c22c，可得|PF 1|＝2c 3，所以|PF 2|＝2c 3＋2a ，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，所以4c 29＋(2c 3＋2a)2＝4c 2，即7e 2－6e －9＝0，解得e ＝3＋627，e ＝3－627(舍去)．故选D.12．(2018·贵阳市高三检测)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2，1)在“右”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A ．(1，52) B ．(52，＋∞) C ．(1，54)D ．(54，＋∞)答案 B解析 依题意，注意到题中的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，且“右”区域是不等式组⎩⎨⎧y<ba x ，y>－bax所确定，又点(2，1)在“右”区域内，于是有1<2b a ，即b a >12，因此题中的双曲线的离心率e ＝1＋（b a ）2∈(52，＋∞)，选B.13．已知曲线方程x 2λ＋2－y 2λ＋1＝1，若方程表示双曲线，则λ的取值范围是________．答案 λ<－2或λ>－1解析 ∵方程x 2λ＋2－y 2λ＋1＝1表示双曲线，∴(λ＋2)(λ＋1)>0，解得λ<－2或λ>－1.14．(2016·北京)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________． 答案 1 2解析 由题意知，渐近线方程为y ＝－2x ，由双曲线的标准方程以及性质可知ba ＝2，由c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，可得b ＝2，a ＝1.15．(2015·课标全国Ⅱ，文)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________． 答案 x 24－y 2＝1解析 方法一：因为双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，故点(4，3)在直线y＝12x 的下方．设该双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧42a 2－（3）2b 2＝1，b a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线方程为x 24－y 2＝1.方法二：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，故可设双曲线为x 24－y 2＝λ(λ>0)，又双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，所以λ＝1，故双曲线方程为x 24－y 2＝1.16．(2018·湖南长沙模拟)P 是双曲线C ：x 22－y 2＝1右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，F 1是双曲线C 的左焦点，则|PF 1|＋|PQ|的最小值为________． 答案 22＋1解析 设右焦点为F 2，∵|PF 1|－|PF 2|＝22，∴|PF 1|＝|PF 2|＋22，∴|PF 1|＋|PQ|＝|PF 2|＋22＋|PQ|.当且仅当Q ，P ，F 2三点共线，且P 在F 2，Q 之间时，|PF 2|＋|PQ|最小，且最小值为F 2到l 的距离．由题意得l 的方程为y ＝±12x ，F 2(3，0)，F 2到l 的距离d ＝1，∴|PQ|＋|PF 1|的最小值为22＋1.17.如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F 1，F 2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P ，∠F 1PF 2＝π3，且△PF 1F 2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程． 答案 3x 22－y 22＝1解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，∴F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，P(x 0，y 0)．在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos π3＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|. 即4c 2＝4a 2＋|PF 1|·|PF 2|.又∵S △PF 1F 2＝23，∴12|PF 1|·|PF 2|·sin π3＝2 3.∴|PF 1|·|PF 2|＝8.∴4c 2＝4a 2＋8，即b 2＝2. 又∵e ＝c a ＝2，∴a 2＝23.∴所求双曲线方程为3x 22－y 22＝1.18．(2018·上海崇明一模)已知点F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2b2＝1的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，∠MF 1F 2＝30°. (1)求双曲线C 的方程；(2)过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P 1，P 2，求PP 1→·PP 2→的值．答案 (1)x 2－y 22＝1 (2)29解析 (1)设F 2，M 的坐标分别为(1＋b 2，0)，(1＋b 2，y 0)(y 0>0)，因为点M 在双曲线C 上，所以1＋b 2－y 02b 2＝1，则y 0＝b 2，所以|MF 2|＝b 2.在Rt △MF 2F 1中，∠MF 1F 2＝30°，|MF 2|＝b 2，所以|MF 1|＝2b 2.由双曲线的定义可知：|MF 1|－|MF 2|＝b 2＝2，故双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1.(2)由条件可知：两条渐近线分别为l 1：2x －y ＝0，l 2：2x ＋y ＝0.设双曲线C 上的点P(x 0，y 0)两条渐近线的夹角为θ，由题意知cos θ＝13.则点P 到两条渐近线的距离分别为|PP 1|＝|2x 0－y 0|3，|PP 2|＝|2x 0＋y 0|3.因为P(x 0，y 0)在双曲线C ：x 2－y 22＝1上，所以2x 02－y 02＝2.所以PP 1→·PP 2→＝|2x 0－y 0|3·|2x 0＋y 0|3cos θ＝|2x 02－y 02|3·13＝29.1．(2015·广东，理)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 23＝1 B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 24＝1 答案 C解析 因为双曲线C 的右焦点为F 2(5，0)，所以c ＝5. 因为离心率e ＝c a ＝54，所以a ＝4.又a 2＋b 2＝c 2，所以b 2＝9. 故双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1.2．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x答案 B解析 由离心率为3，可知c ＝3a ，∴b ＝2a.∴渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x ，故选B.3．(2015·天津，文)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( ) A.x 29－y 213＝1 B.x 213－y 29＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1答案 D解析 双曲线的一条渐近线方程为y ＝bax ，即bx －ay ＝0.由题意，得⎩⎨⎧c 2＝a 2＋b 2，c ＝2，2bb 2＋a2＝3，解得a 2＝1，b 2＝3，从而双曲线的方程为x 2－y 23＝1.4．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53 C.94 D ．3答案 B解析 由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝2a.又|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－(|PF 1|－|PF 2|)2＝9b 2－4a 2，即4|PF 1|·|PF 2|＝9b 2－4a 2.又4|PF 1|·|PF 2|＝9ab ，因此9b 2－4a 2＝9ab ，即9⎝⎛⎭⎫b a 2－9b a －4＝0，则⎝⎛⎭⎫3b a ＋1⎝⎛⎭⎫3b a －4＝0，解得b a ＝43⎝⎛⎭⎫b a＝－13舍去，则双曲线的离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝53.5．(2015·广东改编)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F(3，0)，离心率等于32，则C 的方程是( ) A.x 24－y 25＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1 D.x 22－y 25＝1 答案 B解析 由曲线C 的右焦点为F(3，0)，知c ＝3.由离心率e ＝32，知c a ＝32，则a ＝2.故b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5.所以双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.6．(2016·天津)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 答案 D解析 根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b2，y A ＝2b4＋b 2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1，选D.7．(2017·邯郸调研)已知F 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左焦点，c 为双曲线的半焦距，定点G(0，c)，若双曲线上存在一点P 满足|PF|＝|PG|，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(1，2) C ．[3，＋∞) D ．(1，3)答案 A解析 若双曲线上存在点P 满足|PF|＝|PG|，则必须满足FG 的中垂线与双曲线有交点，则P是线段FG 中垂线与双曲线的交点，因为直线FG 的方程为y ＝x ＋c ，所以线段FG 中垂线的方程为y ＝－x ，又双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，则－b a <－1，即b a >1，所以e ＝1＋b 2a2>2，所以双曲线的离心率的取值范围为(2，＋∞)．8．(2018·辽宁抚顺重点高中协作校一模)当双曲线M ：x 2m 2－y 22m ＋6＝1(－2≤m<0)的焦距取得最小值时，双曲线M 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±22xC ．y ＝±2xD ．y ＝±12x答案 C解析 c 2＝m 2＋2m ＋6＝(m ＋1)2＋5≥5，当且仅当m ＝－1时取等号，此时a 2＝m 2＝1，b 2＝2m ＋6＝4，所以ba ＝2，即双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选C.9．(2018·辽宁师大附中期中)如图，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点．若直线y ＝x 与双曲线C 交于P ，Q 两点，且四边形PF 1QF 2为矩形，则双曲线的离心率为( ) A ．2＋ 2 B ．2＋ 6 C.2＋ 2 D.2＋ 6 答案 C解析 将y ＝x 代入x 2a 2－y 2b2＝1，可得x ＝±a 2b 2b 2－a 2.由矩形的对角线长相等，得2·a 2b 2b 2－a 2＝c ，∴2a 2b 2＝(b 2－a 2)c 2，∴2a 2(c 2－a 2)＝(c 2－2a 2)c 2，∴2(e 2－1)＝e 4－2e 2，∴e 4－4e 2＋2＝0，又∵e>1，∴e 2＝2＋2，e ＝2＋ 2.故选C.10．(2018·河南八市重点高中模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线x 24－y 2b 2＝1(b>0)的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若∠F 1PF 2＝120°，且△F 1PF 2的三边长成等差数列，则双曲线的渐近线的斜率是( ) A ．±534B ．±354C ．±532D ．±352答案 D解析 不妨设P 点在第一象限，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝4m 2＋n 2＋mn ＝（2c ）2，n ＋2c ＝2m所以c 2－9c ＋14＝0，解得c ＝7或c ＝2(舍去)，由b 2＝c 2－a 2得b ＝35，则双曲线的渐近线的斜率是±352，故选D.11．(2018·天津一中模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l ：x ＋2y＋5＝0，且双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( ) A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y 225＝1 答案 A解析 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l ：x ＋2y ＋5＝0，且双曲线的一个焦点在直线l 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12，c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝5，所以双曲线的方程为x 220－y25＝1.12．(2018·兰州市高考诊断)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P 为双曲线C 右支上一点，直线PF 1与圆x 2＋y 2＝a 2相切，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则双曲线C 的离心率为( ) A.103B.43C.53 D ．2答案 C解析 设直线PF 1与圆相切于点M ，∵|PF 2|＝|F 1F 2|，∴△PF 1F 2为等腰三角形，∴|F 1M|＝14|PF 1|，∵在Rt △F 1MO(O 为坐标原点)中，|F 1M|2＝|F 1O|2－a 2＝c 2－a 2，∴|F 1M|＝b ＝14|PF 1|①，又|PF 1|＝|PF 2|＋2a ＝2c ＋2a ②，c 2＝a 2＋b 2③，故由①②③得，e ＝c a ＝53.故选C.13．(2018·福建漳州一中期中)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线右支上存在一点P ，使得F 2关于直线PF 1的对称点恰在y 轴上，则该双曲线的离心率e 的取值范围为( ) A ．1<e<233B ．e>233C ．e> 3D ．1<e< 3答案 B解析 设点F 2(c ，0)，由于F 2关于直线PF 1的对称点M 恰在y 轴上，不妨设M 在y 轴正半轴上，由对称性可得，|MF 1|＝|F 1F 2|＝2c ，则|MO|＝4c 2－c 2＝3c ，则∠MF 1F 2＝60°，∠PF 1F 2＝30°，设直线PF 1：y ＝33(x ＋c)，代入双曲线方程，可得(3b 2－a 2)x 2－2ca 2x －a 2c 2－3a 2b 2＝0，则方程有两个异号实数根，则有3b 2－a 2>0，即有3b 2＝3c 2－3a 2>a 2，即c>233a ，则有e ＝c a >233.故选B. 14．(2016·课标全国Ⅰ)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) A ．(－1，3) B ．(－1，3) C ．(0，3) D ．(0，3)答案 A解析 由题意得(m 2＋n)(3m 2－n)>0，解得－m 2<n<3m 2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，即m 2＝1，所以－1<n<3.15．(2017·济宁模拟)如图所示，正六边形ABCDEF 的两个顶点A ，D 为双曲线的两个焦点，其余4个顶点都在双曲线上，则该双曲线的离心率是( ) A.3＋1 B.3－1 C. 3 D. 2 答案 A解析 令正六边形的边长为m ，则有|AD|＝2m ，|AB|＝m ，|BD|＝3m ，该双曲线的离心率等于|AD|||AB|－|BD||＝2m 3m －m＝3＋1.16．(2013·全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x答案 C解析 ∵e ＝c a ＝52，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝54.∴a 2＝4b 2，b a ＝12.∴渐近线方程为y ＝±12x.17．(2018·山东滕州月考)已知双曲线x 225－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO|等于( ) A.23 B ．1 C ．2 D ．4答案 D解析 由双曲线x 225－y 29＝1，知a ＝5，由双曲线定义|MF 2|－|MF 1|＝2a ＝10，得|MF 1|＝8，∴|NO|＝12|MF 1|＝4. 18．(2018·湖南六校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的方程为( ) A.x 216－y 29＝1 B.x 23－y 24＝1 C.x 29－y 216＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 C解析 由已知可得交点(3，4)到原点O 的距离为圆的半径，则半径r ＝32＋42＝5，故c ＝5，a 2＋b 2＝25，又双曲线的一条渐近线y ＝ba x 过点(3，4)，故3b ＝4a ，可解得b ＝4，a ＝3，故选C.19．(2018·杭州学军中学模拟)过双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左焦点F 作圆C 2：x 2＋y 2＝a 2的切线，设切点为M ，延长FM 交双曲线C 1于点N.若点M 为线段FN 的中点，则双曲线C 1的离心率为( ) A. 5B.52C.5＋1D.5＋12答案 A解析 设双曲线C 1的右焦点为F 1.根据题意，得|FN|＝2b ，|F 1N|＝2a.根据双曲线的定义得|FN|－|F 1N|＝2a ⇒b ＝2a ，则e ＝ 5.20．(2018·辽宁五校协作体月考)已知F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若|PF 1|2|PF 2|的最小值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1，2]C ．(1，3]D ．(1，3]答案 D解析 设|PF 2|＝m(m ≥c －a)，则根据双曲线的定义，得|PF 1|＝2a ＋m.所以|PF 1|2|PF 2|＝（2a ＋m ）2m ＝4a 2m＋4a ＋m ≥8a ，当且仅当m ＝2a 时等号成立．所以c －a ≤2a ，解得e ≤3，所以1<e ≤3.故选D.21．(2018·湖南衡阳一模)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，且点P 的横坐标为2，则△PF 1Q 的周长为( ) A ．4 3 B.1433C ．5 3 D.1633答案 D解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2－|PF 2|2＝4c 2＝16，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝23，∴|PF 1|＋|PF 2|＝833.∴△PF 1Q 的周长为2(|PF 1|＋|PF 2|)＝1633，故选D. 22．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(0<a<b)的半焦距为c ，直线l 过(a ，0)，(0，b)两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，则双曲线的离心率为( ) A ．2 B. 3 C. 2 D.233答案 A解析 直角三角形斜边为c ， 斜边上的高为ab c ＝34c ，4ab ＝3c 2.结合0<a<b 得a b ＝13.∴e ＝2.23．(2018·河南郑州一中期中)已知直线x ＝a 2a 2＋b 2被双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线所截得线段的长度恰好等于其一个焦点到渐近线的距离，则此双曲线的离心率为________． 答案 2解析 由已知可得2ab a 2＋b 2＝bc a 2＋b2，∴c ＝2a ，∴e ＝ca ＝2.24．(2015·山东，文)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P.若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________． 答案 2＋ 3解析 设直线方程为y ＝ba(x －c)，由⎩⎨⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，y ＝b a （x －c ），得x ＝a 2＋c 22c ，由a 2＋c 22c ＝2a ，e ＝ca，解得e ＝2＋3(e ＝2－3舍去)．。