逆用幂的运算法则巧解题
初一学生的逆向思维训练——幂的运算法则的逆运用
初一学生的逆向思维训练——幂的运算法则的逆运用高中数学中的“幂的运算法则”能帮助学生迅速求解复杂的数学问题，但是对初一学生来说，它可能是一场灾难。
尽管他们熟悉了基本的加减乘除法，但是当涉及到如次方、立方以及更高阶方的时候就会觉得力不从心。
但是实际上，从另外一个角度来看，即利用“幂的运算法则”来帮助初一学生训练自己的思维能力，也是有可行性的。
首先，要做到这一点，需要对幂的运算法则有正确的认识。
简单地说，的运算法则是指“当一个数的幂次增加1后，其值会比原数的值增加原数本身的值”。
比如：x5=5x4，x6=6x5，在这里，x表示一个乘数，5、4、6分别表示幂次。
接下来，针对初一学生，我们可以用“幂的运算法则”来锻炼自己的逆向思维能力，即首先要找出原数，然后再算出最终结果。
例如，当求解 x5=75，我们可以通过“先求算术逆，再考虑数字逆”的步骤，先考虑5的算术逆是除法，再考虑数字的逆是75÷5=15，因此x=15。
这样，一个以幂的运算法则为关键的推理问题就得到了解答。
当涉及到更高阶的幂次时，求解的步骤就更加有趣复杂了，比如求解 x7=343，可以先考虑7的算术逆是除法，再考虑数字的逆是343÷7=49，因此x=49。
这样，一个以幂的运算法则为关键的推理问题也得到了解答。
此外，在考虑幂的运算法则的逆运用时，我们还可以把它用于不同的混合运算中，比如3x6+5=51，要求求出x的值，我们可以先从数字逆入手，51-5=46，然后考虑6的算术逆是除法，46÷6=7.67，因此x=7.67。
由此可见，通过利用“幂的运算法则”可以有助于初一学生训练自己的逆向思维能力，并能更好地掌握其中的技巧。
这样，他们能够在完成繁重的课外数学功课时，获得更好的数学技能，让学习变得更轻松，更有趣。
因此，我们可以强调，利用“幂的运算法则”来训练初一学生的逆向思维能力不仅能帮助他们完成课外数学功课，还能提高他们的数学技能，让学习变得更轻松、更有趣。
例谈中考中的同底数幂的乘除法则公式的逆向应用
例谈中考中的同底数幂的乘除法则公式的逆向应用历届的中考中，同底数幂的乘法和除法法则公式是中考的必考点；然而在计算求值中，如果能将同底数幂的乘除法则公式逆向应用，将起到事半功倍的佳效作用。
一．同底数幂的乘除法则公式归纳：①．同底数幂乘法法则公式：m n m n a a a +⋅=同底数幂乘法法则逆向公式：m n m n a a a +=⋅②．同底数幂除法法则公式：m n m n a a a -÷=同底数幂除法法则逆向公式：m n m n a a a -=÷以上法则公式在中学阶段,m n 都指整数．二．同底数幂乘除法法则逆向公式在计算中的应用：例１：计算：20092010(2)(0.5)-⨯-点析：本题的妙处首先要统一底数，其次是根据同底数幂的运算法则把2010(0.5)-转化成2009(0.5)(0.5)-⨯-，然后进行约分处理，问题得解。
解：∵ 20092010(2)(0.5)-⨯-200920101(2)()2=-⨯- 2009200911(2)()()22=-⨯-⨯- 2009200911(2)()(2)2=-⨯⨯-- 11()2=⨯-12=- 例２：计算：25750.1252⨯点析：本题的解法妙处应先把两个幂的指数都化成７５，再逆向运用积商的乘除法法则公式计算，问题得解。
解：∵ 25750.1252⨯ 25751()28=⨯325751[()]22=⨯ 75751()22=⨯7575122=⨯ ＝１ 例３：计算：49149998199710.12529()3⨯+⨯- 点析：仔细观察此题，巧妙的应用同底数幂乘法法则公式的逆向运用，先把3110.125()82==，所以493491471471110.125[()]()222===，又因为293=，从而得998299819969(3)3==，又因为19971996199611111()()()()33333-=-⨯-=⨯-，因而得199619961313⨯= 解：∵ 4947998199710.12529()3⨯+⨯- 491472998199711()2(3)()83=⨯+⨯- 34914729981996111[()]23()()233⨯=⨯+⨯-⨯- 14714719961996111()23()()233=⨯+⨯⨯- 1471996147199611123()233=⨯+⨯⨯- 111()3=+⨯- 113=- 23= 三．同底数幂乘除法法则逆向公式在求值中的应用：例4：若23a =，25b=，求2a b +的值。
逆用幂的运算法则巧解题
逆用幂的运算法则巧解题幂的四条运算法则是：（1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 n m n m a a a +=⋅（2）幂的乘方，底数不变，指数相乘，即()mn nm a a = （3）积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即()n n n b a ab =（4）同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 n m n m a a a -=÷（a m n ≠0，，为正整数，且m n >）同学们对法则的正向运用比较得心应手，但把它们反过来运用却很不习惯。
其实，逆用幂的运算法则，常能化繁为简，化难为易，收到事半功倍的效果。
幂的运算法则的逆用，常见的有下面四种情况，现举例如下：一、用于计算例1. 计算：（1）199960000.1252-⨯（） ；（2）319147⨯-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 解：（1）原式＝(-0.125)1999·82000＝(-0.125)1999·81999·8＝(-0.125×8)1999·8＝(-1)1999·8＝-8．（2）()77727113999⎛⎫⎛⎫=⨯-=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭原式 ()=⨯-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-=-9191177练习：(1)22449⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛；(2)13128)1250(⨯-.；(3)320002000)2()1250(⋅.（4）(0.5)10×(-8)3二、用于求值例2. 已知a a m n ==32，，求：（1）a m n 23+的值；（2）a m n 23-的值。
解：（1）()()a a a m n m n 23239872+=⨯=⨯=（2）()()a a a m n m n 23239898-=÷=÷=例3. 若2x+3y-4＝0，求9x ·27y 的值．解：依题意，得：2x+3y ＝4．∴9x ·27y ＝32x ·33y ＝32x+3y＝34＝81．练习：（5）若103x ＝125，求101-x ．（6）若5x =225，5y =125，求53x+2y 的值（7）已知2a =5，2b =4，2c =10，求22a+b-3c 的值．（8）若n 为正整数，且7x n 2=，则n 222n 3)x (4)x 3(-的值为( )A ．833B ．2891C ．3283D ．1225三、用于比较大小例4. 比较3555、4444、5333的大小解：∵3555＝35×111＝(35)111＝243111， 4444＝44×111＝(44)111＝256111，5333＝53×111＝(53)111＝125111， 又256＞243＞125，∴5333＜3555＜4444．练习：（9）已知a b c d ====235655443322，，，，则a 、b 、c 、d 从小到大的顺序是__________。
幂的运算法则的逆用
幂的运算法则的逆用作者：高友华来源：《初中生世界(初二年级)》2007年第02期学习了幂的运算法则后，同学们对法则的正向运用比较得心应手，但对法则的逆向应用往往感到生疏。
不少题目，正向运用这些法则解题倒有些难度，而逆向运用这些法则，会觉得简便、快捷．下面举例说明．一、用于计算二、用于求值例2已知4a=3，8b=5，2c=1，求22a+3b+4c的值．解：因为4a=3，8b=5，2c=1，所以22a+3b+4c=22a·23b·24c(22)a·(23)b·(2c)4=4a×8b×(2c)4=3×5×1=15．三、用于比较大小例3已知a=2233，b=3322，c=4411，试比较a、b、c的大小．解：因为a=2233=223×11=(223)=1064811，b=3322=332×11(332)=108911，C=4411，所以a＞b＞c．四、用于确定个位数字例4试确定22006×32007的个位数．解：因为21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，…所以2n，3n中的n每增加4，末位数字不变，由22006=24×501+2，可知22006的末位数字为4；由32007=34×501+3，可知32007的末位数字为7；又因为4×7=28，所以22006×32007的个位数为8．五、用于说理例5试说明5353-3333是10的倍数的理由．分析：要说明5353-3333是10的倍数，只需说明5353-3333能被10整除，即说明5353-3333的个位数是0即可．解：因为353=(34)13×3=8113×3，即个位上的数字是3，而333=(34)8×3，即个位上的数字是3，所以5353-3333的个位数字是0，故5353-3333是10的倍数．。
回归法则,解决逆用幂的运算性质的常见错误
回归法则,解决逆用幕的运算性质的常见错误◎张俊幕的运算,对同学们来说，总体难度不大,尤其是直接利用法则进行计算时更是得心应手。
但是，若是遇到运算性质的逆用，错误率就会明显提高。
有的同学会把错误的原因归结到粗心或是观察不仔细。
其实，逆用幕的运算性质中的错误大多是由于对定义和法则理解不清所导致的。
所以要想纠正这些错误，还需从回归法则做起。
例1若a”=6,a"=3,求严。
【错解】“"”"=6+3=9【错因剖析及解决策略】本题是对同底数幕乘法运算性质的逆用。
当同学们看到指数为m+n时,会错误地认为这是一个加法运算。
此时，应回归同底数幕乘法的法则：同底数幕相乘,底数不变,指数相加，即a”•a=<r"（m、n 为正整数）。
也就是说当指数相加时,幕一定是相乘的，而不是相加,即<z"+"=a"・a"（m、n为正整数）。
同学们应该要明确：同底数幕的运算中,只有当同底数幕的指数也相同即成为同类项时,才能进行加减运算,即合并同类项：【订正】,严'=6><3=18例2若a"=6,a"=3,求<严"。
【错解1】a"2"=6-6=0【错解2】严=6十6=1。
【错解3】“心"=6-9=-3。
｛错因剖析及解决策略】本题是对同底数幕除法、幕的乘方的运算逆用的综合。
当同学们看到m-2n时，可能会认为这是减法运算,或是认为/"=2x3=6。
此时,应回归定义和法则：①同底数幕相除.底数不变,指数相减,即a”P"=a"-"（aMO.m、"为正整数，且m An）：也就是说当指数相减时，幕一定是相除的,而不是相减，即a"-"=a"*a"（aMO,m、n为正整数，且m>n）o（W的乘方，底数不变,指数相乘，即（a”）" =a""（m、n为正整数）e也就是说当指数相乘时，一定是底数为幕的形式的乘方运算，即a""=（a"）"（m、n为正整数）。
幂的乘法法则的逆用
幂的乘法法则的逆用幂是一个基本的数学概念，用来表示数的多次乘积。
在幂的运算中，有一个重要的法则，就是幂的乘法法则。
这个法则可以帮助我们简化计算，特别是在涉及到大量幂的情况下。
但是我们也可以反过来使用这个法则，来解决一些更加复杂的问题。
下面是幂的乘法法则的逆用的一些实例。
1. 满足条件的幂我们知道，当两个幂的底数相同时，它们可以相乘，即$a^m \timesa^n=a^{m+n}$。
如果我们知道一个幂的结果，和它的底数，我们可以通过求取指数来确定另一个幂。
例如，如果我们知道$2^3=8$，我们可以求解$2^5$的值，因为$2^5=2^3 \times 2^2=8 \times 4=32$。
2. 简化幂表达式有时我们会遇到一些幂表达式，比如$2^{12} - 2^9$。
我们可以利用幂的乘法法则的逆用，将这个式子改写成$2^9 \times (2^3-1)$。
这样一来，我们可以更加简单地计算这个表达式的值，而不用一个一个地展开计算。
3. 消除幂指数当我们需要求一个较复杂的数学表达式的导数时，经常会遇到幂的指数。
有时候，我们需要将指数消除，以便更方便地计算导数。
幂的乘法法则可以帮助我们做到这一点。
例如，如果我们需要求$x^2 e^x$的导数，我们可以先将这个式子改写为$x \times x e^x$，然后再使用乘积法则计算导数。
这样一来，我们就能更加轻松地完成求导的过程。
4. 求解幂方程幂方程是一些比较基础的数学问题，我们经常需要解决它们。
幂的乘法法则逆用也可以帮助我们在解这些方程时更加容易地找到答案。
例如，我们可以利用幂的乘法法则将方程$x^2=128$改写成$x \timesx=2^7$，然后再求出$x=2^{\frac{7}{2}}$的值。
总之，幂的乘法法则的逆用可以让我们更加灵活地使用幂的概念，在各种数学问题中迅速找到答案。
不论是求幂方程的解，还是简化幂数学表达式，幂的乘法法则都会成为我们工具箱中不可或缺的一部分。
幂的乘方法则的逆用
幂的乘方法则的逆用嘿，咱今儿就来唠唠幂的乘方法则的逆用！你可别小瞧了这玩意儿，它就像一把神奇的钥匙，能打开好多数学难题的大门呢！咱先回想一下幂的乘方法则是啥呀，不就是底数不变，指数相乘嘛。
那这逆用是啥意思呢？简单来说，就是给定一个式子，咱得能从里面找出可以用幂的乘方法则逆用来解决的地方。
比如说，给你一个式子像这样：a 的六次方等于 b 的三次方乘 c 的二次方。
那咱就能想到，这 a 的六次方是不是可以看成某个数的三次方呀？嘿，这就是幂的乘方法则逆用的思路呢！就好像你有一堆拼图，你得从那一堆乱七八糟的碎片里找出能拼成一幅完整画面的那些。
幂的乘方法则的逆用也是这样，得从那些复杂的式子中找到关键的部分，然后像变魔术一样把它给变出来。
咱再打个比方，这就好比你要去一个陌生的地方，你得找到那条正确的路才能到达目的地呀。
幂的乘方法则的逆用就是帮你找到那条路的工具呢！你想想看，要是遇到个难题，你一下子就想到了可以用幂的乘方法则的逆用，那得多厉害呀！就好像你有了一双火眼金睛，能看穿那些难题的伪装。
而且呀，这幂的乘方法则的逆用可不光是在数学课本里有用哦，在生活中也有类似的情况呢！比如说你要解决一个复杂的问题，你得从各种细节里找出关键的线索，然后把它们组合起来，这不就跟幂的乘方法则的逆用很像嘛！那怎么才能熟练掌握这幂的乘方法则的逆用呢？这可得多练习呀！就像你学骑自行车，不摔几次跤怎么能学会呢？多做几道题，多琢磨琢磨，慢慢地你就会发现，哇，原来这么简单呀！所以呀，可别小瞧了这幂的乘方法则的逆用，它可是数学世界里的一个宝贝呢！好好学，好好用，让它帮你在数学的海洋里畅游无阻！你说是不是呀？难道你不想试试这神奇的幂的乘方法则的逆用吗？相信我，一旦你掌握了，你就会爱上它的！。
幂的运算法则也可以逆用哟教学文案
幂的运算法则也可以逆用哟学习同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方几同底数幂的除法的运算法则，同学们不仅要熟练掌握这些法则进行有关的幂的运算，还要会逆用这些法则进行有关来解决一些问题.一、同底数幂的乘法法则的逆用同底数幂的乘法法则为：a m·a n=a m+n（m，n为正整数），将其逆用为a m+n=a m·a n （m，n为正整数）.例1 已知3m=9，3n=27，求3m+n+1的值.分析：根据同底数幂的乘法法则的逆用，可得3m+n+1=3m·3n·3，然后将3m=9，3n=27代入计算即可.解：3m+n+1=3m·3n·3=9×27×3=729.评注：根据本题的已知条件，也可以直接求出m，n的值代入计算.二、幂的乘方法则的逆用幂的乘方的运算法则为(a m)n=a mn(m,n为正整数),将其逆用为a mn=(a m)n(m,n为正整数).例2 已知a b=9,求a3b-a2b的值.分析:根据已知条件a b=9,可以逆用幂的运算法则将a3b化为(a b)3,a2b化为(a b)2,然后将a b=9代入计算.解: a3b-a2b=(a b)3-(a b)2=93-92=9×92-92=92(9-1)=81×8=648.评注:根据已知条件不易直接求到a,b的值,此时可求到逆用幂的运算法则进行变形计算.三、积的乘方运算法则的逆用积的乘方的运算法则为(a b)n=a n·b n(n为正整数),将其逆用为(a b)n=a n·b n(n为正整数).例3 已知a m=16,b m=81,求(a2b)m的值.分析:根据已知条件不容易直接求到a,b,m的值,此时可逆用积的乘方运算法则,将(a2b)m变为a2m·b m,然后将已知条件代入求值.解: (a2b)m=(a2)m·b m=(a m)2·b m=162×81=20736.评注:当已知条件是幂的形式,所求式子是积的乘方的形式时,可思考逆用积的乘方运算法则进行代入求值.四、同底数幂的除法法则的逆用同底数幂的除法的运算法则为a m÷a n=a m-n（a≠0，m>n,m,n为正整数,且m>n）,将其逆用为a m-n=a m÷a n（a≠0，m>n,m,n为正整数,且m>n）.例4 已知a m=64,a n=16,求a3m-4n的值.分析:根据已知条件不易求到a,m,n的值,观察a3m-4n的指数是差的形式,此时可思考逆用同底数幂的除法的法则,得到a3m-4n=a3m÷a4n,然后再逆用幂的乘方法则,得到a3m÷a4n=(a m)3÷(a n)4,最后将已知条件代入即可.解: a3m-4n=a3m÷a4n=(a m)3÷(a n)4=643÷164=(26)3÷(24)4=218÷216=22=4.评注:当待求值的是幂的形式,且指数为差的形式,此时可想到逆用幂的运算法则进行变形求值.。
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逆用幂的运算法则巧解题
幂的四条运算法则是：
（1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 n m n m a a a +=⋅
（2）幂的乘方，底数不变，指数相乘，即()mn n
m a a =
（3）积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即()n n n b a ab =
（4）同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 n m n m a a a -=÷
（a m n ≠0，，为正整数，且m n >）
同学们对法则的正向运用比较得心应手，但把它们反过来运用却很不习惯。
其实，逆用幂的运算法则，常能化繁为简，化难为易，收到事半功倍的效果。
幂的运算法则的逆用，常见的有下面四种情况，现举例如下：
一、用于计算
例1. 计算： （1）199960000.1252-⨯（） ；（2）319147⨯-⎛⎝ ⎫⎭
⎪ 解：（1）原式＝(-0.125)1999·82000
＝(-0.125)1999·81999·8
＝(-0.125×8)1999·8
＝(-1)1999·8
＝-8．
（2）()77727113999⎛⎫⎛⎫=⨯-=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
原式 ()=⨯-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦
⎥=-=-9191177
练习：(1)2
2
449⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛；
(2)13128)1250(⨯-.；
(3)3
20002000)2()1250(⋅.
（4）(0.5)10×(-8)3
二、用于求值
例2. 已知a a m n ==32，，求：
（1）a m n 23+的值；（2）a m n 23-的值。
解：（1）()()a a a m n m n 23239872+=⨯=⨯=
（2）()()a a a m n m n 2323989
8-=÷=÷=
例3. 若2x+3y-4＝0，求9x ·27y 的值．
解：依题意，得：2x+3y ＝4．
∴9x ·27y ＝32x ·33y ＝32x+3y
＝34＝81．
练习：（5）若103x ＝125，求101-x ．
（6）若5x =2
25，5y =125，求53x+2y 的值
（7）已知2a =5，2b =4，2c =10，求22a+b-3c 的值．
（8）若n 为正整数，且7x n 2=，则n 222n 3)x (4)x 3(-的值为( )
A ．833
B ．2891
C ．3283
D ．1225
三、用于比较大小
例4. 比较3555、4444、5333的大小
解：∵3555＝35×111＝(35)111＝243111，
4444＝44×111＝(44)111＝256111，
5333＝53×111＝(53)111＝125111，
又256＞243＞125，
∴5333＜3555＜4444．
练习：（9）已知a b c d ====235655443322，，，，
则a 、b 、c 、d 从小到大的顺序是__________。
（10）比较大小：-460_____-6520.
四、用于确定个位数字
例5. 试确定327199200·的个位数字。
解：()32732727327278127199200199199199199·=⨯⨯=⨯⨯=⨯
又81199的个位数字是1，27的个位数字是7
∴·327199200的个位数字是7
例6： 220+321+720的个位数字是____．
解：原式＝(24)5+(34)5·3+(74)5
＝165+815·3+24015．
∵165，815·3，24015的个位数字分别是6，3，1，
∴220+321+720的个位数字是0．
练习：（11）19881989+19891988的个位数字是（ ）。
A 、9
B 、7
C 、5
D 、3
（12）试确定32003的个位数字
从上面我们可以看出，逆用幂的运算法则，往往可以使复杂的题目迎刃而解，达到柳暗花明又一村的效果。
因此，在平时教学中，教师应加强公式、法则的逆用指导，使学生明白，只有灵活地正用、逆用数学公式、法则，才能使解题方法巧妙、简捷，得心应手。
参考答案：练习（1）81，（2）8，（3）1，（4）-0.5，（5）2，（6）8，
（7）
1
10
，（8）B，（9）a<d<b<c，（10）>，（11）A，(12)7.。