零指数幂与负整指数幂
零指数幂与负整数指数幂
数指数幂的运算规则实际上是零指数幂运算规则的一种扩展。
06
零指数幂与负整数指数 幂的实例
零指数幂的实例
定义
零指数幂定义为1的0次方等于1。
实例
例如，10^0 = 1，5^0 = 1，2^0 = 1等。
负整数指数幂的实例
定义
负整数指数幂定义为1除以正整数 指数幂。
实例
例如，2^(-3) = 1/8，5^(-2) = 1/25，10^(-1) = 1/10等。
应用
在解决实际问题时，我们 通常使用零指数幂的性质 来简化计算。
负整数指数幂的性质
定义
负整数指数幂定义为1除以正整数指数幂的倒数，即a^(-n) = 1 / (a^n)，其中a为底数， n为正整数。
性质
负整数指数幂的性质是底数不能为0，因为任何数的0次方都等于1，所以当底数为0时， 结果无意义。此外，当n为奇数时，负整数指数幂的结果为正数；当n为偶数时，负整数 指数幂的结果为负数。
应用
在解决实际问题时，我们通常使用负整数指数幂的性质来简化计算。例如，在物理学中， 我们经常使用负整数指数幂来表示单位不同的量，如速度和时间的关系v = t^-1等。
03
指数幂的运算规则
零指数幂的运算规则
定义
零指数幂定义为1的0次方 等于1，即任何非零数的0 次幂等于1，而0的0次幂 无定义。
计算方法
使用场景
在科学计算、工程领域中经常出现，用于计算逆运算情况。
04
指数幂的应用
零指数幂在生活中的应用
物理单位换算
在物理学科中，零指数幂被广泛应用于单位换算，例如在计算能 量转换时，需要用到零指数幂进行单位转换。
化学方程式配平
在化学学科中，零指数幂被用于配平化学方程式，确保反应前后的 原子数量相等。
初中数学中零指数幂与负整指数幂详解教案
初中数学中零指数幂与负整指数幂详解教案一、背景知识在数学中，指数是一种表示乘方的数学运算符号，它用于表示底数(基数)上幂次(指数)的运算。
一个数a的b次方，可以表示为ab，其中a是底数，b是指数。
但是，当底数为零或者负整数时，就会涉及到特殊的指数问题，这就是本次教案所要重点讲解的内容——零指数幂与负整指数幂。
对于初中学生来说，理解和掌握这些知识点是十分必要的。
二、知识点解析零指数幂：当底数为0时，幂为0，即0的任何次幂均为0。
例如：0³=0；0²=0；0¹=0；0⁰=1负整指数幂：当底数为非零实数a，指数为正整数n时，aⁿ表示a 的n次幂；当a≠0，n>0时，a−n称为a的负整数幂(倒数)，它表示乘以n个因数a的倒数。
即：a⁻ⁿ = 1/aⁿ。
例如：2³=8；2²=4；2¹=2；2⁰=1；2⁻¹=1/2；2⁻²=1/4；2⁻³=1/8。
三、教学设计Step1：引入新知通过提问或者演示，引入”零指数幂“和”负整指数幂“的概念，让学生打好基础。
Step2：讲解零指数幂通过课件或者白板展示，向学生解释零指数幂的概念和特性，可以采用如下的方式进行：将0的任意次幂和其他数字的幂的结果进行比较：0³=0；2³=8；0²=0；2²=4；0¹=0；2¹=2；0⁰=1；2⁰=1；让学生通过对比发现，无论是什么数的0次幂都等于1，而0的任何次幂都等于0，这就是零指数幂的特性。
Step3：讲解负整指数幂通过课件或者白板展示，向学生解释负整指数幂的概念和特性，可以采用如下的方式进行：将一个数的正整数幂和负整数幂的结果进行比较：2³=8；2⁻³=1/8；2²=4；2⁻²=1/4；2¹=2；2⁻¹=1/2；让学生发现，当n>0时，aⁿ表示a的n次幂；当a≠0，n>0时，a−n称为a的负整数幂(倒数)，它表示乘以n个因数a的倒数。
零指数幂与负整数指数幂
概括
由此启发，我们规定： a0=1（a≠0） 任何不等于零的数的零次幂都等于1. 零的零次幂没有意义.
探索
计算：52÷55，103÷107， 一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得 52÷55=52-5=5-3，103÷107=103-7=10-4.
1.从教材习题中选取. 2.完成练习册本课时的习题.
16.4 零指数幂与负整数 指数幂
1.零指数幂与负整数指数幂
华师大版 八年级数学下册
情境导入
在前面，我们学习过同底数幂的除法公式 am÷an=am-n时，有一个附加条件：m＞n，即 被除数的指数大于除数的指数.当被除数的指 数不大于除数的指数，即m=n或m＜n时，情 况怎样呢？
新课推进
计算： 52÷52，103÷103，a5÷a5(a≠0) 仿照同底数幂的除法公式来计算，得 52÷52=52-2=50， 103÷103=103-3=100， a5÷a5=a5-5=a0(a≠0).
另一方面，我们可利用约分，直接
算出这两个式子的结果为
52 ÷55 =
52 55
=
55 52
=
1 53
103 ÷107 =
103 107
=
103 103 104
=
1 104
概括
由此启发，我们规定：
53
=
1 53
，104
=
1 104
一般地，我们规定
a
n
=
1 an
(a≠0，n是正整数)
任何不等于零的数的-n(n为正整数)次幂，
am
an
a2 a3
a
七年级十四讲零指数幂与负整数指数幂(教师版)
师：对于期末和中考的零指数幂和负整数指数幂都考哪些题型呢？生：回答师：法则比较简单，但是运算的比较复杂，容易出错，都会用到哪些方法呢？师：综合近两年的考题，那些题目考查频率高一些呢？生：回答师：我们发现通过计算题、出题频率相当高，今天我们就这一节的类型题进行详细的讲解。
1.零指数幂的意义任何不等于0的数的0次幂都等于1。
用公式表示为：______________.2.负整数指数幂的意义任何不等于0的数的-n(n 是正整数)次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，用公式表示为1n na a -=≠（a 0,n 是正整数） 注意点：(1)底数a 不能为0，若a 为0，则除数为0，除法就没有意义了；(2)是法则的一部分，不要漏掉； ()0,a m n m n ≠>、是正整数，且（3）只要底数不为0，则任何数的零次方都等于1；（20-40分钟）考点1零指数幂【典题导入】【亮点题】【例1】（1）计算：|-3|+(-4)0=．【答案】4【解析】原式=3+1=4．故答案为：4．（2）计算(π-1)0+3=．【答案】4【解析】原式=1+3=4．故答案为：4．（3）计算：20150-|2|=．【答案】-1【解析】原式=1-2=-1．故答案为：-1．（4）|-2|+(-2)0=．【答案】3【解析】|-2|+(-2)0=2+1=3．故答案为：3．【方法提炼】【小试牛刀】（1）如果整数x 满足(|x|−1)x2−9=1，则x 可能的值为 ． 【答案】±2或±3 【解析】根据非零数的零指数幂等于1可得：|x|-1≠0，x 2-9=0；解得x=±3．由1的任何次幂等于1可得：|x|-1=1，解得x=±2．由-1的偶次幂等于1可得：|x|-1=-1，解得x=0，此时x 2-9=-9，不符合题意；因此x 可能的值为：x=±2或±3．故答案为：±2或±3． （2）若实数m ，n 满足|m -2|+(n -2014)2=0，则m -1+n 0= ．【答案】32 【解析】因为|m -2|+(n -2014)2=0，所以|m -2|=0，(n -2014)2=0，即得m=2，n=2014，则m -1+n 0=(2)-1+(2014)0=12+1=32． 故答案为：32．负整数指数幂【典题导入】【亮点题】【例1】把代数式3−2b −22−2a −3化成不含负指数的形式是（ ）A .9b 24a 3 B .9a 34b C .3a 22ab 2 D, 4a 39b 2【答案】D【解析】运用负整数指数幂的意义将负整数指数幂转化为正整数指数幂．3−2b −22−2a −3=22a 332b 2=4a 39b 2．考点2故选D 。
究竟什么是初中数学中的零指数幂与负整指数幂？
究竟什么是初中数学中的零指数幂与负整指数幂？。
什么是零指数幂？在数学中，零指数幂指的是任何非零数的0次幂。
也就是说，任何一个非零数的0次幂都等于1。
例如：6的0次幂等于1，3的0次幂等于1。
值得注意的是，零的0次幂是没有意义的。
那么为什么非零数的0次幂等于1呢？一般来说，幂指数的定义是将一个数字乘以自己指数次。
例如，2的3次幂是2x2x2=8。
但是当幂的指数为0时，根据这个规则，幂应该是1。
所以，我们得出结论，非零数的0次幂等于1。
虽然零指数幂看似笔直无奇，但是在数学运算中很有用。
例如，我们可以用它来消除分母中的x。
当我们想要消除分式中的x，但是分式中分子与分母没有相同的未知数时，我们就可以把x移动到分子或分母中，将分子或分母中的x变成0次幂，从而消除它。
什么是负整指数幂？负整指数幂是指给定的数的负值的指数。
比如，2的-3次幂是1/(2^3)，也就是1/8。
这里的指数是负整数，也就是基数的分母。
在数学中，一个数的负指数表示着将该数的倒数作为幂。
因此，一个负整数幂可以写成一个分数的形式。
在分数形式中，分母是基数，分子是1。
一个负整数幂是分母是这个基数的乘幂。
一个数的负整数幂可以通过计算这个数的正整数幂，然后求其倒数来获得。
例如，-2的-3次幂是-1/(2^3)。
它等于-1/8。
另一种方法是使用负数指数规则，该规则表示n的-m次幂等于1/n的m次幂。
例如，2的-3次幂是1/2的3次幂，即1/(2^3)。
负整数幂的运算规律在进行负整数幂的运算时，需要注意以下几点：1.乘幂的规则：a(m+n) = am x an其中，a、m和n为实数。
这个规律表明，将最后一个幂与另一个幂相加，然后把它们作为单个幂的指数，就相当于将这两个幂相乘。
例如，2的3次幂乘以2的-4次幂等于2的（3-4）次幂，也就是2的-1次幂，等于1/2。
2.除幂的规则：a(m-n) = am / an其中，a、m和n为实数。
这个规律表明，将最后一个幂与另一个幂相减，然后把它们作为单个幂的指数，就相当于将这两个幂相除。
数学零指数幂与负整数指数幂课件华东师大版
01
实例1
计算2^(-3)的值。
02
03
04
解
2^(-3) = 1/(2^3) = 1/8。
实例2
计算(1/2)^(-2) + (1/4)^(-1) 的值。
解
(1/2)^(-2) + (1/4)^(-1) = 4 + 4 = 8。
04
CATALOGUE
零指数幂与负整数指数幂的应用
整 数指数幂的定义。
能够运用零指数幂与 负整数指数幂解决实 际问题。
掌握零指数幂与负整 数指数幂的运算规则 。
02
CATALOGUE
零指数幂
定义与性质
总结词
零指数幂的定义是任何非零数的0次方等于1，即a^0=1（a≠0）。它具有几个重 要的性质，包括任何非零数的0次幂等于1、0的0次幂未定义、负数的0次幂未定 义等。
详细描述
在数学中，零指数幂的定义是指任何非零数的0次方等于1。这意味着无论一个数 a是多少（只要a≠0），a的0次幂都是1。这个定义是数学中指数运算的基础规则 之一。此外，需要注意的是，0的0次幂和负数的0次幂在数学中都是未定义的。
计算方法
总结词
计算零指数幂的方法是根据定义，任何非零数的0次方都是1 。因此，可以直接得出结果，无需进行复杂的运算。
人口增长模型
利用指数函数描述人口增长，其 中零指数幂表示人口基期数据， 负整数指数幂表示过去某一时刻 的人口数据。
放射性物质衰变
放射性物质的衰变过程可以用负 整数指数幂表示，描述放射性物 质随时间衰减的规律。
在数学证明中的应用
幂的性质证明
利用零指数幂和负整数指数幂的性质 ，可以证明幂的性质，如同底数幂的 乘法法则等。
数学八年级下册《零指数幂与负整数指数幂》课件
4.计算：－22＋(－
1 2
)－2＋(2016－π)0－|2－
1 2
π|.
解：－22＋(－
1 2
)－2＋(2016－π)0－|2－
1 π|
2
＝－4＋4＋1－2＋ 1 π
2
＝ 1π－1.
2
1.零指数幂：当a≠0时，a0=1.
整数 指数幂
2.负整数指数幂：当n是正整数时，
a－n=
1 an
(a≠0).
amn
a0n
中m=0，那么就会有 a0 1 .
an an
总结归纳
an a1n（a 0，n是正整数）.
由于
1 （1）n， an a
因此 an （1）（n a 0，n是正整数）.
a
特别地， a1 1（a 0）. a
典例精析 例3 计算：
（1）23 ;
（2）104 ;
（3）（ 2）2. 3
例2：若(x－1)x＋1＝1，求x的值． 解：①当x＋1＝0，即x＝－1时，原式＝(－2)0＝1； ②当x－1＝1，x＝2时，原式＝13＝1； ③x－1＝－1，x＝0时，0＋1＝1不是偶数．故舍去． 故x＝－1或2.
方法总结：乘方的结果为1，可分为三种情况：不为零 的数的零次幂等于1；1的任何次幂都等于1；－1的偶 次幂等于1，即在底数不等于0的情况下考虑指数等于0； 考虑底数等于1或－1.
105
1 100000
（ 1 ）6 2
64
（3）3 64 4 27
2.把下列各式写成分式的形式：
（1）x 3 ;
（2）-5x2 y3.
解:（1）原式=
1 x3
;
（2）原式=
-
5y3 x2
第2课时 零指数幂、负整数指数幂
可以很方便地表示一些绝对值较小的数.一般地,一个小于1的正数可以表示为
a×10n
的形式,其中1≤a<10,n是 负 整数.
探究点一:零指数幂、负整数指数幂
【例 1】 (1)计算:-14-(2 020-π)0×( 1 )-1+(-2)-2; 2
【导学探究】 1.(2 020-π)0= 1
,( 1 )-1= 2 ,(-2)-2= 2
探究点二:用科学记数法表示绝对值较小的数
【例2】 用科学记数法表示下列各数.
(1)0.003 009;(2)0.000 010 96;(3)0.000 329.
【导学探究】
把一个小于1的正数表示为a×10n的形式,先确定a的值,其中(1),(2),(3)题中
的a分别是 3.009,1.096,3.29
.
再确定n,n的绝对值等于原数中第一个非0数字左边所有0的个数,其中(1),(2),
(3)题中的n分别是 -3,-5,-4
.
解:(1)0.003 009=3.009×10-3. (2)0.000 010 96=1.096×10-5. (3)0.000 329=3.29×10-4.
用科学记数法表示绝对值较小的数,应把握以下几个方面:(1)a为整 数位数为1的小数;(2)n为负整数,n的绝对值等于原数中第一个非零数字左面 所有零的个数(包括小数点前面的那个零).
1.(2019福建)计算22+(-1)0的结果是( A )
(A)5 (B)4 (C)3 (D)2
2.下列各数中,负数是( B )
(A)-(-2)
(B)-|-1|
(C)(-1)0
(D)1-2
3.(2019宜宾)人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元,某种神经元的直径约
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一 、复习提问 幂的运算性质: 幂的运算性质:
(1)a
m
•a =
n m n
a
m+n
(2)(a ) = a n n n (3)(ab ) = a b m n (4)a ÷ a = a m−n (m > n, 且a ≠ 0)
mn
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想一想
讲解零指数幂的有关知识 讲解零指数幂的有关知识
1 1 -4＝ 3 ，10 10 4 5
这就是说，任何不等于零的数的－n （n为正整 任何不等于零的数的－ 任何不等于零的数的 数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数. 次幂，等于这个数的n 倒数.
1.若代数式(3 x + 1) 有意义， 求x的取值范围;
−3
练习
x
1 2.若2 = ， 则x = 4 x 若10 = 0.01， 则x =
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科学计数法中计数的方法： 科学计数法中计数的方法： 已知数N 已知数N，将N用科学计数法表示为 N = a ×10n （1）先确定a,a是只有一位整数数位的数，即 1 ≤ a < 10 先确定a,a是只有一位整数数位的数， a,a是只有一位整数数位的数 （2）再确定n，当数N满足 N ≥ 1 时，n等于原数的 再确定n 当数N n 整数位数减1 当数N满足0<N<1 等于N 整数位数减1，当数N满足0<N<1 时， 等于N的左 起第一个非零数字前零的个数（ 起第一个非零数字前零的个数（包括小数点前面的 零） 例：用科学计数法表示下列各数： 用科学计数法表示下列各数： （1）0.009 （2）-0.00026 （3）870000
n
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)
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课堂练习
判断下列式子是否成立？ 判断下列式子是否成立？
(1)a ⋅ a = a
2
−3
−3
2 + ( −3)
−3
(2)( a ⋅ b) = a ⋅ b
−3
(3)( a ) = a
−3 2
( −3)× 2
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课堂练习
计算 1 (1 ) ÷ − 1 2 1 (2 ) 2
− 3 . 14 ) = − 2 × 5) =
0
=
)
0
=
(5 )(π (7 )(10
=
0
(p − q ) (8 )(− 3 )2 − (− 1 )0
0
=
2.若(− 0.2006) = 1， 则x =
x
;
3.当x =
( 时， x − 5) = 1成立;
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探
索
讲解负指数幂的有关知识 讲解负指数幂的有关知识
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概 括
我们规定：50=1，100=1，a0=1（a≠0）. =1， =1（ 我们规定： =1， 这就是说：
任何不等于零的数的零次幂都等于1. 1 .计算 ：任何不等于零的数的零次幂都等于1.
(1 )10 0 (4 )(a (6 )
2
= −b 3
2
(2 ) − 10 0
=
0
(3 )(− 10 )0
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2 − 3
1 + 2
− 2
0
1 + − 2
− 2
1 (3 ) − 3
× 3
−1
(4 )(−
3
)
2
1 + − 3
− 3
1 − 1 7
0
× 3
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− 2
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作业
课本第18页习题17.4中的1、 2；第20页复习题A2。
在以前我们介绍同底数幂的除法公式 有一个附加条件： am÷an=am-n时，有一个附加条件：m＞n， 即被除数的指数大于除数的指数. 即被除数的指数大于除数的指数.当被除 数的指数不大于除数的指数， m=n或 数的指数不大于除数的指数，即m=n或m 情况怎样呢？ ＜n时，情况怎样呢？
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做一做
计算： 练 习：计算：
1 （1）（-0.1)0；（2） 2003 ； （
−2
0
-2；（4） 1 （3 ）2 （ 2
3
1 -1 0 (5) 16 ÷ (-2) - ( ) + ( 3 - 1) 3
1 −2 2 （ 6 ） ( − 2 ) + ( − ) − ( −2 ) 2
a
−n
1 = n a
其中a、n有没有限制，如何限制。
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课堂小结
1．零指数幂的运算法则 ．
0
a = 1 (a ≠ 0)
1 = n a
２．负整指数幂的运算法则
a
−n
(a ≠ 0, n是正整数)
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课堂练习
拓展练习： 1 1 如果3 = ， 求 2 n +1 、 27 −b b 2.如果x = 1 − a , y = 1 + a , 则y等于( x 2−x 1+ x 2+ x A、 B、 C、 D、 1− x 1− x 1− x 1− x
探
索
先考察被除数的指数等于除数的指数的情况. 先考察被除数的指数等于除数的指数的情况. 例如考察下列算式： 例如考察下列算式： 52÷52，103÷103，a5÷a5(a≠0). 一方面， 一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来 计算， 计算，得 52÷52＝52-2＝50， 103÷103＝103-3＝100， a5÷a5＝a5-5＝a0(a≠0). 另一方面， 另一方面，由于这几个式子的被除式等于除 由除法的意义可知，所得的商都等于1. 式，由除法的意义可知，所得的商都等于1.
我们再来考察被除数的指数小于除数的指数 的情况，例如考察下列算式： 的情况，例如考察下列算式： 52÷55， 103÷107， 一方面， 一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计 算，得 52÷55＝52-5＝5-3， 103÷107＝103-7＝10-4. 另一方面，我们可利用约分， 另一方面，我们可利用约分，直接算出这两 个式子的结果为
0
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1、你学到了哪些知识？ 、你学到了哪些知识？ 要注意什么问题？ 要注意什么问题？ 2、在学习的过程 中 、 你有什么体会？ 你有什么体会？
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课堂小结 1. 同底数幂的除法公式am÷an=am-n (a≠0,m>n);当m=n时，am÷an =_____; 当m < n 时，am÷an =_______ 2.任何数的零次幂都等于1吗？ 任何数的零次幂都等于1 3.规定
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科学计数法
把一个绝对值大于10的数表示成 把一个绝对值大于 的数表示成 a ×10n 的形 ），这种计数法叫做 式（其中1 ≤ a < 10, n是正整数 ），这种计数法叫做 科学计数法。 科学计数法。
正确理解科学计数法应把握以下两点： 正确理解科学计数法应把握以下两点： （1）用10的正整数次幂表示所有绝对值较大的数。 10的 整数次幂表示所有绝对值较大的数。 10的 整数次幂表示所有绝对值较小的数。 用10的负整数次幂表示所有绝对值较小的数。 负数， （2）如果要表示的数为负数，用科学计数法表示 如果要表示的数为负数 符号不表。 时，符号不表。
2 0
−24 × ( 4 − 2 × 20 ) ÷ ( −2 )−4 ÷ 26 × 4 ÷ 10−2 ⑵
4 4 2 1 1 6 = −2 × 2 ÷ − ÷ 2 × 2 ÷ 2 10 2
= − 2 4 +1+ 4 − 6 × 2 2 × 1 0 2 = − 2 5 × 1 0 2 = − 3 2 0 0
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例3、用小数表示下列各数： 用小数表示下列各数：
（1）10-4； （2）2.1×10-5. 1 -4＝ 解 （1）10 4 ＝0.0001. 10 1 2.1× 2.1× （2）2.1×10-5＝2.1× 5 10 ＝2.1×0.00001＝0.000021. 2.1×0.00001＝
52 52 1 5 ÷5 = 5 = 2 3 = 3 5 5 ×5 5
2 5
103 103 1 10 ÷ 10 = 7 = 3 = 4 10 10 ×104 10
3 7
＝
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概 括
由此启发，我们规定： 由此启发，我们规定： 一般地，我们规定： a 一般地，我们规定：
−n
5 -3＝
1 = (a≠0，n是正整数) n a
1 ； 若x = , 则x = 3 ;
−1
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;
下 −10 ) × ( −10 )
2
例1 计算： 计算：
0
+ 10 × 10
2
0
； ⑵
−24 × ( 4 − 2 × 20 ) ÷ ( −2 )−4 ÷ 26 × 4 ÷ 10−2
解： ⑴
−10 ) × ( −10 ) + 102 × 100 = 100 × 1 + 100 × 1 = 200 (