2019年高考数学总复习笔记讲义(完整版)

2019年高考数学总复习笔记讲义

(名师精讲必考知识点+实战真题演练+答案) (总计156页，涵盖高中数学所有知识点，价值很高，可以达到事半功倍的复习效果，值得下载打印练习)

高考数学总复习第一讲：函数与方程

函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律．函数思想的实质是剔除问题的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．

在解决某些数字问题时，先设定一些未知数，然后把它们当作已知数，根据题设本身各量间的制约，列出等式，所设未知数沟通了变量之间的关系，这就是方程的思想．函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可看成是一个方程．一个二元方程，两个变量存在着对应关系，如果这个对应关系是函数，那么这个方程可以看成是一个函数，一个一元方程，它的两端可以分别看成函数，方程的解即为两个函数图象交点的横坐标，因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决；反之，许多有关函数的问题则可以用方程的方法解决．总之，在复习中要注意领悟蕴含在知识和解题过程中函数和方程的思想，用它来指导解题．在解题中，同时要注意从不同的角度去观察探索，寻求多种方法，从而得到最佳解题方案．

一、例题分析

例1．已知F(x)=xα-xβ在x∈(0,1)时函数值为正数，试比较α,β的大小．

分析：一般情况下，F（x）可以看成两个幂函数的差．已知函数值为正数，即f1(x)=xα的图象在x∈(0,1)上位于f2(x)=xβ的图象的上方，这时为了判断幂指数α,β的大小，就需要讨论α,β的值在（1，+∞）上，或是在（0，1）上，或是在（0，1）内的常数，于是F（x）成为两个同底数指数函数之差，由于指数函数y=a t(0<α<1)是减函数，又因为xα-xβ>0，所以得α<β．

例2．已知0

分析：为比较aα与(aα) α的大小，将它们看成指数相同的两个幂，由于幂函数

在区间[0,+∞]上是增函数，因此只须比较底数a与aα的大小，由于指数函数y=a x(0a，所以a＜aα，从而aα<(aα) α．

比较aα与(aα) α的大小，也可以将它们看成底数相同（都是aα）的两个幂，于是可以利用

指数函数是减函数，由于1>a，得到aα<(aα) α．由于a＜aα，函数y=a x(0(aα) α．

综上，．

解以上两个例题的关键都在于适当地选取某一个函数，函数选得恰当，解决问题简单．

例3．关于x的方程有实根，且根大于3，求实数a的范围．

分析：先将原方程化简为a x=3，但要注意0

数，考虑底数a为何值时，函数值为3．如图（1），过（3，3）点的指数函数的底，

现要求0

指数函数的底a=3，所以．

若将a x=3变形为，令，现研究指数函数a=3t，由0

，如图（2），很容易得到：．

通过本例，说明有些问题可借助函数来解决，函数选择得当，解决就便利．

例4．函数f(x)是定义在实数集上的周期函数，且是偶函数，已知当x∈[2,3]时，f(x)=x,则当x∈[-2,0]时，f(x)的解析式是（）．

（A）f(x)=x+4 （B）f(x)=2-x

（C）f(x)=3-|x+1| （D）f(x)=3+|x+1|

解法一、∵f(-2)=f(2)=2 f(-1)=f(3)=3，∴只有（A）、（C）可能正确．

又∵f(0)=f(2)=2，∴（A）错，（C）对，选（C）．

解法二、依题意，在区间［2，3］上，函数的图象是线段AB，

∵函数周期是2，

∴线段AB左移两个单位得［0，1］上的图象线段CD；再左移两个单位得［–2，1］上的图象线段EF ．

∵函数是偶函数，

∴把线段CD沿y轴翻折到左边，得［–1，0］上的图象线段FC．

于是由直线的点斜式方程，得函数在［–2，0］上的解析式：

即

由于x∈[-2,-1]时，x+1≤0，x∈(-1,0)时，x+1>0，所以y=3-|x+1|, x∈[-2,0]．

解法三、当x∈[-2,-1]时，x+4∈[2,3]，

∵函数周期是2，

∴f(x+4)=f(x)．

而f(x+4)=x+4，

∴x∈[-2,-1]时，f(x)=x+4=3+(x+1)．

当x∈[-1,0]时，-x∈[0,1]，

且-x+2∈[2,3]．

∵函数是偶函数，周期又是2，

∴，

于是在［–2，0］上，．

由于x∈[-2,-1]时，x+1≤0，x∈(-1,0)时，x+1>0，

根据绝对值定义有x∈[-2,0]时，f(x)=3-|x+1|．

本题应抓住“偶函数”“周期性”这两个概念的实质去解决问题．

例5．已知y=log a(2-ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是（）．

（A）（0，1）（B）（1，2）（C）（0，2）（D）［2，+∞］

分析：设t=2-ax，则y=log a t，

因此，已知函数是上面这两个函数的复合函数，其增减性要考查这两个函数的单调性，另外，还要考虑零和负数无对数以及参数a对底数和真数的制约作用．

解法一、由于a≠1，所以（C）是错误的．

又a=2时，真数为2–2x，于是x≠1，这和已知矛盾，所以（D）是错的．

当0

故y=log a(2-ax)是x的增函数，所以（A）是错的．

于是应选（B）．

解法二、设t=2-ax，y=log a t

由于a>0，所以t=2-ax是x的减函数，

因此，只有当a>1，y=log a t是增函数时，y=log a(2-ax)在［0，1］上才是减函数；

又x=1时，y=log a(2-a)，

依题意，此时，函数有定义，故2–a>0

综上可知：1

故应选（B）．

例6．已知，函数y=g(x)的图象与函数y=f-1(x+1)的图象关于y’=x对称，则g(5)=_____________-

解法一、由去分母，得，解出x，得，

故，于是，

设，去分母得，，解出x，得，

∴的反函数．

∴．

解法二、由，则，

∴，∴．

即的反函数为，

根据已知：

∴．

解法三、如图，f(x)和f-1(x)互为反函数，当f-1(x)的图象

沿x轴负方向平移一个单位时，做为“镜面”的另一侧的“象”f(x)

的图象一定向下平移1个单位，因此f-1(x+1)的图象与f(x)-1的图象关于y=x对称．

故f-1(x+1)的反函数是g(x)=f(x)-1，

∴．

本解法从图象的运动变化中，探求出f-1(x+1)的反函数，体现了数形结合的优势出

二、巩固练习

（1）已知函数在区间上的最大值为1，求实数a的值．

（1）解：f(x)在区间上最大值可能在端点外取得，也可能在顶点外取得，

，，而顶点横坐标，最大值在顶点外取得，故此解舍去．

当最大值为f(2)时，f(2)=1，，顶点在应在区间右端点取得最大值，此解合理．

当最大值在顶点处取得时，由，解得，当

，此时，顶点不在区间内，应舍去．

综上，．

（2）函数的定义域是［a，b］，值域也是［a，b］，求a.b的值．2）解：y=f(x)的图象如图，分三种情况讨论．

当a

解得，，由于b>0，应舍去．

当0≤a

有，解得：a=1，b=2．

当a<0

当a

解得，，由于b>0，应舍去．

当0≤a

有，解得：a=1，b=2．

当a<0

，解得：，

综上，或

（3）求函数的最小值．解（3）分析：由于对数的底已明确是2，所以只须求的最小值．

（3）解法一：∵，∴x>2．

设，则，

由于该方程有实根，且实根大于2，

∴解之，μ≥8．

当μ=8时，x=4，故等号能成立．

于是log2≥0且x=4时，等号成立，因此的最小值是3．

解法二：∵，∴x>2

设，则=

∴μ≥8且，即x=4时，等号成立，

∴log2μ≥3且x=4时，等号成立．

故的最小值是3．

（4）已知a>0,a≠1，试求方程有解时k的取值范围．4）

解法一：原方程

由②可得：③，

当k=0时，③无解，原方程无解；

当k≠0时，③解为，代入①式，

．

解法二：原方程，

原方程有解，应方程组

，

即两曲线有交点，那么ak<-a或00)

∴k<-1或0

（5）设函数

（Ⅰ）解不等式f(x)≤1

（Ⅱ）求a的取值范围，使f(x)在[0,+∞]上是单调函数．

5）解（Ⅰ），不等式f(x≤1)，即

由此得：1≤1+ax即ax≥0，其中常数a>0，

∴原不等式即

∴当0

当a≥1时，所给不等式解集为{x|x≥0}．

（Ⅱ）在区间[0,+∞)上任取x1,x2，使得x1

（ⅰ）当a≥1时，

∵

∴

又

∴

所以，当a≥1时，函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调递减函数．

（ⅱ）当0

高考数学总复习第二讲：分类讨论分类又称逻辑划分．分类讨论即是一种数学思维方法，也是一种重要的解题策略，常常能起到简化问题、解决问题的作用．

数字的解题过程，实质是一个变形过程，往往需要一些条件的限制，从而引起分类讨论．分类讨论的关键问题就是：对哪个变量分类，如何分类．

分类的原则：由分类的定义，分类应满足下列要求：

（1）保证各类对象即不重复又不遗漏．

（2）每次分类必须保持同一分类标准．

应用分类讨论解决数学问题的一步骤：

（1）确定讨论对象和需要分类的全集．（2）确定分类标准（3）确定分类方法（4）逐项进行讨论（5）归纳小结

应该注意的是，在运用时，不要盲目或机械地进行分类讨论，有的题目虽然含有分类因素，但不要急于分类讨论，要首先对问题作深入的研究，充分挖掘题目的已知量与未知量之间的关系，寻求正确的解题策略，则可以简化分类讨论的步骤或避免不必要的分类讨论，使解题更简单．

一、例题分析

例1：求函数求的值域．

分析：根据绝对值的定义

及题设中函数的表达式可知，要分别对绝对值号中的sinx,cosx,tgx,ctgx按照其大于零，小于零（不能为零）来讨论，以去掉绝对值号．而决定三角函数值正负的因素是角x所在的象限，故按角x的终边所在的象限为分类标准，进行分类讨论：

解（1）角x在第一象限时，

（2）角x在第二象限时，

（3）角x在第三象限时，

（4）角x在第四象限时，

综上所述：函数的值域{4，0，-2}

说明：数学中的概念有些是含有不同种类的，当题目涉及这样的概念时，必须按给出概

念的分类方式进行分类讨论，才能使解答完整无误．

例2，已知扇形的圆心角为60°，半径为5cm，求这个扇形的内接长方形的最大面积．图解：如图一，内接长方形CDEF的面积为：S=ED·EF ，ED=OE·sinθ=5sinθ

在△EFO中，运用正弦定理，得

∴

∴

∴

如图二．取的中点M，连接OM分扇形为两个小扇形，在这二个小扇形中，各有原内接长方形的一半，∴内接长方形的面积为一个小扇形中内接长方形面积

的2倍．

即

∴

再比较S大与S大′的大小

综上，所求扇形的最大内接长方形的面积为．

说明：本题是由图形的位置及形状不能确定引起的分类讨论，其原因在于扇形内接长方形相对于扇形的位置不确定，故而求出两种位置下的面积而后判断最大为多少．

例3 已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C，x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ＞0）求动点M的轨迹方程，说明它表示什么

曲线．

解如图，设直线MN切圆O于N，则动点M组成的集合是

P={M||MN|=λ|MQ|}(其中λ>0)

∵圆半径|ON|=1，∴|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1

设点M的坐标为（x，y），则

整理得：

检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P，故这个方程为所求的轨迹方程．

当λ=1时，方程化为，它表示一条直线，该直线与x轴垂直且交x轴于点

当λ≠1时，方程化为

它表示圆，该圆圆心的坐标为，半径为

说明：本题在求出轨迹方程之后，在判定为何曲线时，因

参数引起了分类讨论：一些问题中的数学表达式中因含有会

导致不同结论的参数，从而需对参数分情况讨论为，求得问

题的结果．

例4 已知a＞1，解关于x的不等式：

解：原不等式

（i）当1＜a＜2时，由①得：x＜a或x＞2

∵

∴又∵∴

∴解集为

（ii）当a=2时，由①得x≠2，由③得

∴解集为

（iii）当a＞2时，由①得，x＜2或x＞a

∵

∴解集为

说明：本题中参数a，在求解集过程中，不同的取值，影响解集，故而要分类讨论，这是变形所需．

例5 某城市用水收费方法是：水费=基本费+超额费+排污费，若每月水量不超过最低限量am3时，只付基本费8元和每户每定额排污费c元；若用水量超过am3时，除了付给同上的基本费和排污费外，超过部分每方米付b元的超额费．已知每户每月的排污费不超过4元，该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示：

解：设每月用水量为xm3，支付费用为y元．

则

由题意知0＜c≤4，8+c≤12．

故第2、3月份用水量15 am3,13 am3大于最低用水限量am3

将分别代入中，得

①

再分析1月份用水量是否超过最低限量am3

不妨设8＞a，

将中，得

9=8+2（8–a）+c,

得2a=c+15 ②

∴1月份用水量不超过最低限量．

又∵y=8+c

∴9=8+c,c=1

∴a=10,b=2,c=1

说明：本题为实际应用问题，在解题过程中，隐含着分类讨论：a>8,a=8,a<8，根据条件，逐一讨论，使问题得以解决．

例6 设a＞0，且a≠1，解关于x的不等式：

解：原不等式

当0＜a＜1时，

原不等式

或（Ⅱ）

或（Ⅲ）

解不等式组（Ⅰ），得；

解不等式组（Ⅱ），得

解不等式组（Ⅲ），无解．

∴原不等式的解集为

当a＞1时，

原不等式

（Ⅰ）

或（Ⅱ）

或（Ⅲ）

解不等式组（Ⅰ），得

解不等式组（Ⅱ），得a≤x

不等式（Ⅲ）无解

∴原不等式的解集是

说明：本题在对a进行分类的过程中，又对x进行分类，以丢掉绝对值符号，是多次分类：例7 设，比较的大小．

分析：本题可用比差法，但要对a进行分类讨论，而用商比较法，可以不再进行分类讨论，解起来简单了．

解∵0＜x＜1

∴

∴

说明：分类讨论的目的是为了解决问题，但要视情况而定，若能不分类即可把问题解决就不要分类讨论

二、习题练习

．1．已知不共面的三条直线a、b、c，a∥b∥c，过a作平面α，使b、c到α的距离相

等，则满足条件的平面α有（）

（A）1个（B）2个（C）4个（D）无数个

2．函数与它的反函数是同一函数的充要条件是（）

（A）a=1，b=0 (B) a=-1，b=0

(C)a=±1，b=0 （D）a=1，b=0 或a=-1，b∈R

3．已知k是常数，若双曲线的焦距与k值R无关，则k的取值范围是

（）

（A）-2＜k≤2（B）k＞5

（C）-2＜k≤0（D）0≤k＜2

4．已知数列{a n}前n次之和S n满足，则a n=_________．

5．直线m过点P（-2，1），点A（-1，-2）到直线m的距离等于1，则直线m的方程为

________．

6．根据实数k的不同取值，讨论直线y=k(x+1)与双曲线

的公共点个数．

7．已知数列{a n}和函数当n为正偶数时，；

当n为正奇数时，．求{a n}的通项公式．

8．设a>0,a≠1，解关于x的不等式．

三、习题解答

1．B）提示：两种情况：过a与b、c所确定平面平行，或过a与b、c所确定平面相交．

2．选（D），提示：的反函数为，依题意

∴由①得a=±1，当a=1时，b=0，当a= -1时，b∈R． 3．选（C）提示：表示双曲线，则，此时，

，不合题意，当k≤0时，-2＜k≤0，此时，，则，与k无关．

4．提示：由且当n≥2时，

，若，

∴

5．4x+3y+5=0，或x=-2 提示：直线m的斜率不存在时，方程为x=-1，满足条件，当斜率存在时，设其方程为y-1=k(x+2)，由点到直线的距离公式，可得

6．解：由消去y整理得

当时，，此时直线分别与双曲线的渐近线平行，它仍分别与双曲线的一支交于一点

当时，

∴当时，直线分别与双曲线只有一个公共点；当时，直线与双曲线有两个公共点；

当时，直线与双曲线无交点．

7．解当n为正偶数时，

此时n-1为为正奇数，则

∴∴

当n为正奇数时，（n＞1）

此时n-1为为正偶数，则

∴，解得

而当n=1时，由已知得∴

故数列的通项公式为

8．解：原不等式

当

原不等式

∴原不等式的解集是；

当

原不等式

∴原不等式的解集为

高考数学总复习第三讲：数形结合

一、专题概述---什么是数形结合的思想

数形结合的思想，就是把问题的数量关系和空间形式结合起来加以考察的思想．

恩格斯说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系．”“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，它们既是对立的，又是统一的，每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述，数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，在解决代数问题时，想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路；或者在研究图形时，利用代数的性质，解决几何的问题．实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观．

数形结合包括：函数与图象、方程与曲线、复数与几何的结合；几何语言叙述与几何图形的结合等．

二、例题分析

1．善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系．

观察是人们认识客观事物的开始，直观是图形的基本特征，观察图形的形状、大小和相互位置关系，并在此基础上揭示图形中蕴含的数量关系，是认识、掌握数形结合的重要进程．

例1．函数的图象的一条对称轴方程是：