三角函数的诱导公式第2课时
7.2.3三角函数的诱导公式(第2课时诱导公式五六)课件高一上学期数学
题型分析·能力素养提升
【题型一】利用诱导公式求值
例1 B
C
规律方法 利用诱导公式化简三角函数式的步骤 利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即
口诀是“负化正，大化小，化到锐角再查表”.
【题型二】利用诱导公式证明恒等式
规律方法 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有： （1）从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简. （2）左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子. （3）针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异.
【题型三】诱导公式的综合应用
B
成果验收•课堂达标检测
A层 基础达标练
B
A
D
4.（多选题）下列选项中正确的是( BCD )
B层 能力提升练
D
B
C
AC一～四的基础上，掌握诱导公式五、六的推导过程. 2.能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题.
要点深化·核心知识提炼
知识点. 诱导公式五、六
名师点睛
3.作用:利用诱导公式五或六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化. 4.简记:“函数名改变，符号看象限”.
高中数学第5章三角函数5.3诱导公式第2课时诱导公式二课件新人教A版必修第一册
对点练习❶ (1)已知 sinπ3－α＝12，则 cosπ6＋α的值为__12___； (2)已知 sinπ3＋α＝12，则 cos56π＋α的值为__－__12___. [解析] (1)cosπ6＋α＝cosπ2－π3－α＝sinπ3－α＝12.
(2)cos56π＋α＝cosπ2＋π3＋α
＝－sinπ3＋α＝－12.
提醒：诱导公式五、六反映的是角π2±α 与 α 的三角函数值之间的关 系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．
想一想：如何由公式四及公式五推导公式六？ 提示：sinπ2＋α＝sinπ－π2－α ＝sinπ2－α＝cos α， cosπ2＋α＝cosπ－π2－α ＝－cosπ2－α＝－sin α.
练一练：
1．已知 sin α＝35，则 sinπ2＋α的值为( D )
A．35
B．－45
C．45 [解析]
D．±45 ∵sin α＝35，∴cos α＝±45，
∴sinπ2＋α＝cos α＝±45，故选 D．
2．下列与 sinθ－π2的值相等的式子为( D )
A．sinπ2＋θ
B．cosπ2＋θ
D．第四象限角
[解析] 因为cos θ<0，sin θ>0，∴θ是第二象限角．
3．(多选题)下列与sin θ的值相等的是( CD )
A．sin(π＋θ)
B．sinπ2－θ
C．cosπ2－θ
D．cos32π＋θ
[解析] sin(π＋θ)＝－sin θ；sinπ2－θ＝cos θ；
cosπ2－θ＝sin θ；cos32π＋θ＝sin θ.故选 CD.
3．化简：sinπsi－nα32πc－osαπ2c＋osα32cπo＋sαπ＋ α＝____－__s_i_n_α____.
高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式第2课时课件新人教A版必修
)
(2)cos
(3)tan
(4)当 α 是第二象限角时,cos
(5)sin
3
α+2π
π
1
2
π
-
2
=-sin α.
1
探究一
探究二
探究三
思想方法
利用诱导公式化简或求值
【例1】 计算:
(1)sin2120°+cos 180°+tan 45°-cos2(-330°)+sin(-210°);
(2)
1+cos100°sin170°
一
2.填空:
二
思维辨析
一
二
思维辨析
1
5π
3.做一做:(1)若 cos(π+α)= ,则 sin
-
6
2
9π
1
(2)若 sin 2 + = 3,则 cos(2π-θ)=
1
解析(1)因为 cos(π+α)= ,
6
1
1
所以-cos α= ,即 cos α=- .
6
6
5π
π
1
于是 sin 2 - =sin 2 - =cos α=-6.
9π
1
(2)因为 sin 2 + = 3,
π
1
1
所以 sin 2 + = 3,因此 cos θ=3,
1
于是 cos(2π-θ)=cos(-θ)=cos θ=3.
1
1
答案(1)- (2)
6
3
=
;
.
一
二
思维辨析
一
二
思维辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
5.3诱导公式：诱导公式公式五和公式六课件(人教版)
)
A．－23 2
B．－13
C．2 3 2
D．13
C 解析：∵3sin2α＝8cosα，∴sin2α＋3si8n2α 2 ＝1，
整理可得 9sin4α＋64sin2α－64＝0，解得 sin2α＝89 或 sin2α＝－8(舍去). 又∵α 是第四象限角，∴sinα＝－2 3 2 ， ∴cos α＋2 0221π ＝cos α＋1 010π＋2π ＝cos α＋π2 ＝－sin α＝2 3 2 .
＝tan tan
θ＋1 θ－1
，
右边＝tanta（n 8（ππ＋＋πθ＋）θ－）1＋1
＝tan tan
（π＋θ）＋1 （π＋θ）－1
＝tan tan
θ＋1 θ－1
，
左边＝右边，所以等式成立．
经典例题
题型三 给值求值
例 3 已知 cosπ6－α＝13，求 cos56π＋α·sin23π－α的值．
解：cos56π＋α·sin23π－α ＝cosπ－π6－α·sinπ－π3＋α ＝－cos6π－α·sin3π＋α ＝－cos6π－α·sin2π－π6－α ＝－cos6π－α·cosπ6－α ＝－13×13＝－19.
经典例题
题型三 给值求值
跟踪训练3
(2)已知 cosα＝－45，且
α
为第三象限角．求
f(α)＝tanπ－α·csoinsππ－＋αα·sinπ2－α的值．
解：(2)因为 cosα＝－45，且 α 为第三象限角，
所以 sinα＝－ 1－cos2α＝－ 1－－452＝－35.
所以 f(α)＝－tan－α·csionsαα·cosα＝tanαsinα＝csoinsαα·sinα
小试牛刀
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
高中数学5-3诱导公式第二课时诱导公式五六课件新人教A版必修第一册
2．对诱导公式一～六的两点说明 (1)诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的 关系． (2)公式一～六的记忆口诀和说明 ①口诀：奇变偶不变，符号看象限． ②说明：
[典例 1] (1)若 cos(π＋A)＝13，那么 sin32π－A的值为
1 A.3
B．－13
23 C. 3
2．诱导公式五、六的作用： 利用诱导公式五或六，可以实现 正弦函数 与 余弦函数 的相互转化． [微思考] 在△ABC 中，角A2与角B＋2 C的三角函数值满足哪些等量关系？ 提示：∵A＋B＋C＝π，∴A2＝π2－B＋2 C， ∴sinA2＝sinπ2－B＋2 C＝cosB＋2 C， cosA2＝cosπ2－B＋2 C＝sinB＋2 C.
第二课时 诱导公式五、六
明确目标
发展素养
1.了解公式五和公式六的推导方法． 1.借助诱导公式求值，培养数学
2.能够准确记忆公式五和公式六．
运算素养．
3.灵活运用诱导公式进行三角函数式 2.通过诱导公式进行化简和证明，
的化简、求值和证明.
提升逻辑推理素养.
(一)教材梳理填空 1．诱导公式五和公式六：
③f(cos x)＝fsinπ2－x＝sinkπ2－x
－sin kx，k＝4n，n∈Z，
＝sink2π－kx＝csions
kx，k＝4n＋1，n∈Z， kx，k＝4n＋2，n∈Z，
－cos kx，k＝4n＋3，n∈Z.
故 f(cos x)＝cos kx 成立的条件是 k＝4n＋1，n∈Z .
＝－ssininαα－＋c2ossinα
α＝sin
sin α α－cos
α＝tatnanα－α 1＝2－2 1＝2＝右边，
1.3-三角函数的诱导公式(第2课时)
1.3 三角函数的诱导公式第2课时学习目标：1.正确理解诱导公式的内容.2.能运用诱导公式进行化简、求值及证明.3通过诱导公式的具体运用，体会数学变形在数学中的作用；培养学生的逻辑推理能力，渗透转化及分类讨论的思想。
重点： 三角函数式的化简，求值和证明.难点：诱导公式的灵活运用.[预习案]1．若角α的终边与角β的终边关于直线y x =对称（如图）(1)角α与角β的正弦函数与余弦函数值之间有何关系?(2)角2πα-的终边与角α的终边是否关于直线y x =对称？(3)由(1),(2)你能发现什么结论？[探究案]1．诱导公式五：诱导公式六：2．六组诱导公式的记忆:奇变偶不变，符号看象限。
例1.求证: sin(23π+α)=－cos α ,变式训练: 求证cos(23π-α)=-sin α例2.已知cos(75°+α)=31, 且－180°<α<－90°, 求cos(15°－α)的值.变式训练:若sin (6π－α)=a , 则sin(π65+α)=_________________ . 已知1sin ,0,sin ______.4524x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-<<+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则例3.已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角, 求证:(1)cos(2A+B+C)=－cosA (2)tan 43tan 4C B A +-=+π变式训练: 已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角, 求证: sin2cos 2A C B =+例4化简11sin(2)cos()cos()cos()229cos()sin(3)sin()sin()2πππαπαααππαπαπαα-++-----+[训练案]1.课本27页练习1,2,3,2.已知sin53.13°=0.8 , 则cos143.13°=______. cos216.87°=_______..。
高中数学第一章三角函数第3节三角函数的诱导公式第2课时诱导公式五六教案含解析新人教A版必修4
第2课时 诱导公式五、六[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 26～P 27的内容，回答下列问题． 如图所示，设α是任意角，其终边与单位圆交于点P 1(x ，y )，与角α的终边关于直线y ＝x 对称的角的终边与单位圆交于点P 2.(1)P 2点的坐标是什么？ 提示：P 2(y ，x )．(2)π2－α的终边与角α的终边关于直线y ＝x 对称吗？它们的正弦、余弦值有何关系？提示：对称．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α. 2．归纳总结，核心必记 (1)诱导公式五和公式六(2)诱导公式的记忆诱导公式一～六可归纳为k ·π2±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的．②“奇”、“偶”是对诱导公式k ·π2±α中的整数k 来讲的．③“象限”指k ·π2±α中，将α看成锐角时，k ·π2±α所在的象限，根据“一全正，二正弦、三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．[问题思考](1)诱导公式五、六中的α是任意角吗？ 提示：是．(2)在△ABC 中，角A 2与角B ＋C2的三角函数值满足哪些等量关系？提示：∵A ＋B ＋C ＝π，∴A 2＝π2－B ＋C2，∴sin A 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＋C 2＝cos B ＋C 2，cos A 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＋C 2＝sin B ＋C 2.[课前反思](1)诱导公式五： ；(2)诱导公式六： .知识点1化简求值讲一讲1．已知f (α)＝sin π－αcos 2π－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ()－π－α.(1)化简f (α)；(2)若α为第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值；(3)若α＝－31π3，求f (α)的值．[尝试解答] (1)f (α)＝sin αcos α()－sin αsin αsin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，∴sin α＝－15， 又∵α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝265.(3)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.类题·通法三角函数式化简的方法和技巧(1)方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，据此灵活应用相关的公式及变形，解决问题．(2)技巧：①异名化同名；②异角化同角；③切化弦． 练一练1．已知f (x )＝sin 3π－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π2tan x －2πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫－x －π2tan x －5π.(1)化简f (x )；(2)当x ＝π3时，求f (x )的值；(3)若f (x )＝1，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －7π2的值．解：(1)f (x )＝sin x －sin x tan xcos x －sin x tan x ＝tan x .(2)当x ＝π3时，f (x )＝tan π3＝ 3.(3)若f (x )＝1，则tan x ＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫－x －7π2＝－cos x sin x ＝－1tan x ＝－1.知识点2条件求值问题讲一讲2．(1)已知cos 31°＝m ，则sin 239°tan 149°的值是( ) A.1－m2mB.1－m 2C ．－1－m 2mD ．－1－m 2(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α的值为________． [尝试解答] (1)sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°) ＝－sin 59°(－tan 31°)＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°) ＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝1－cos 231°＝1－m 2. (2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12. 答案：(1)B (2)12类题·通法解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角，函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．练一练2．已知cos(π＋α)＝－12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值． 解：∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12，∴α为第一或第四象限角．①若α为第一象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32； ②若α为第四象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32.知识点3三角恒等式的证明讲一讲3．求证：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin 2π＋θ＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1. [尝试解答] 左边＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ·－sin θ－11－2sin 2θ ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ＝sin θ＋cos θ2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，右边＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，∴左边＝右边，原式得证．类题·通法三角恒等式的证明策略对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法，拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．练一练3．求证：sin2π－θcos π＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－θcos π－θsin 3π－θsin －π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋θ＝－tan θ.证明：sin2π－θcos π＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－θcos π－θsin 3π－θsin －π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋θ＝－sin θ·－cos θ·－sin θ·co s ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ－cos θ·sin θ·sin θ·si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝sin θ·cos θ·sin θ·sin θ－cos θ·sin θ·sin θ·cos θ＝－tan θ.[课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是诱导公式五、六及其应用，难点是利用诱导公式解决条件求值问题． 2．要掌握诱导公式的三个应用(1)利用诱导公式解决化简求值问题，见讲1； (2)利用诱导公式解决条件求值问题，见讲2； (3)利用诱导公式解决三角恒等式的证明问题，见讲3. 3．本节课要掌握一些常见角的变换技巧π6＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝π2，π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝π2等．。
高中数学 第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式(第2课时)教学课件 新人教A版必修4
【多维探究】 (1)本例条件不变，如何求 cos56π－α的值？
(2)本例条件若变为“已知 sin23π＋α＝12”，其他不变，则 结果又如何？
(3)本例条件若不变，如何求 cos23π＋α的值？ (4)本例条件若不变，如何求 tanπ3－α的值？
解：(1)cos56π－α＝cosπ2＋π3－α＝－sinπ3－α＝－12. (2)cosπ6＋α＝cos23π＋α－π2＝cosπ2－23π＋α ＝sin23π＋α＝12.
提示：因为
tanπ2＋α
＝
csoinsπ2π2＋＋αα＝－cossinαα＝－cs1oins
α α
＝
－
1 tan
α，所以
tanπ2＋α＝－tan1
α，即它们互为负倒数．
1．对诱导公式五、六的理解 (1)公式五、六中的角 α 是任意角． (2)公式五、六可以概括如下：π2±α 的正弦(余弦)函数值， 分别等于 α 的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把 α 看成锐角 时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名改变，符号看象 限”．
高中数学 第一章 三角函数 三角 的诱导公式（第 课时）教学课件
教 版必修
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休
睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对
哦~
1．sin 95°＋cos 175°的值为( )
A．sin 5°
B．cos 5°
C．0
D．2sin 5°
解析：sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°
证明：∵左边＝－2sin321π－－2θsin－2 θsin θ－1
＝－2sinπ＋1－π2－2sθin2－θ sin θ－1＝2sinπ2－1－θ2s－ins2inθ θ－1
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2
) cos
cos( ) sin 2
思考2： 与 有什么内在联系？ 2 2 ( )
2 2
思考3：根据相关诱导公式推导， sin( ) ， cos( ) 分别等于什么？
2 2
思考4：若α为一个任意给定的角，那么 的终边与角α的终边有什么对称关 2 y 系？ 的终边
3 2
yx
O
2 x 1 的终边
的终边
思考5：设角α的终边与单位圆的交点 为P1（x，y），则 2 的终边与单 位圆的交点为P2，则P2为多少？根据三 角函数的定义，你能获得哪些结论？
理论迁移
例1 化简：
11 sin(2 - )cos( )cos( )cos( - ) 2 2 9 cos( - )sin(3 - )sin(- - )sin( ) 2
例2 的值
已知
2 cos( ) 6 3
，求
2 sin ( ) 3
分别等于什么？
思考6：正弦函数与余弦函数互称为余函 数，你能概括一下公式五、六的共同特 点和规律吗？ 公式五：
sin(
2
) cos ) sin
cos(
2
sin(
2
) cos
公式六：
cos( ) sin 2
sin( k 2 ) sin cos( k 2 ) cos tan( k 2 ) tan
1.3
三角函数的诱导公式 第二课时
问题提出
cos x
1.诱导公式一、二、三、四分别反映了 2kπ +α （k∈Z）、π ＋α 、－α 、 π －α 与α 的三角函数之间的关系，这 四组公式的共同特点是什么？ 函数名不变，符号看象限.
2.对形如π －α 、π ＋α 的角的三角函 数可以转化为α 角的三角函数，对形 p 如 、 + a 的角的三角函数与α 角
公式一：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
公式二：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
公式三：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
y
2 的终边
M2
O
P2 (y , x) α 的终边
公式五：
sin(
2
P1(x，y)
) cos ) sin
M1
x
cos(
2
知识探究（二）： 的诱导公式 2
思考1：sin（90°＋60°）与cos60°， cos（90°＋60°）与sin60°的值分别 有什么关系？据此，你有什么猜想？
sin(
2
) cos
Байду номын сангаас
公式六：
cos( ) sin 2
tan( ) 与 tan 有什么关系？ 思考4： 2 p t an( + a ) t an a = - 1 2
思考5：根据相关诱导公式推导，
3p 3p 3p 3 sin( - a ), cos( - a ), sin( + a ), cos( ) 2 2 2 2
2
2
的三角函数，是否也存在着某种关系， 需要我们作进一步的探究.
知识探究（一）：2 的诱导公式
思考1：sin（90°－60°）与sin60° 的值相等吗？相反吗？
2
思考2：sin（90°－60°)与cos60°， cos（90°－60°）与sin60°的值分别 有什么关系？据此，你有什么猜想？
公式四：
公式五：
sin(
公式六：
sin(
2
) cos ) sin
2
) cos
cos(
2
cos( ) sin 2
k 思考7：诱导公式可统一为 2 (k Z)
的三角函数与α的三角函数之间的关系， 你有什么办法记住这些公式？ 奇变偶不变，符号看象限.
1 cos(60 ) tan (30 ) 1 sin (60 ) 的值.
1 例3 已知 sin (30 ) ，求 3
小结作业
1.诱导公式反映了各种不同形式的角的三 角函数之间的相互关系，并具有一定的规 律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是 记住这些公式的有效方法.
2.诱导公式是三角变换的基本公式，其 中角α可以是一个单角，也可以是一个 复角，应用时要注意整体把握、灵活变 通.
作业: P29习题1.3 A组：3. B组：1，2.
sin ( ) cos 2
sin ( ) cos 2 p cos( - a ) = sin a 2
思考3：如果α 为锐角，你有什么办法证 p 明 sin ( ) cos ，cos( - a ) = sin a ？
2
2
p - a 2
a
c
α b
p b sin( - a ) = cosa = 2 c p a cos( - a ) = sin a = 2 c