2018年高考数学一轮复习课件第28讲-平面向量的应用

20180101
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解析：如图，为使小船所走路程最短，v水＋v船应与岸 垂直．
又|v水|＝|A→B|＝1，|v船|＝|A→C|＝ 2，∠ADC＝90°，所以 ∠CAD＝45°，
故小船应朝与水速成135°角的方向行驶．
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二 平面向量与三角函数的交汇
【例 2】(2013·山东济宁模拟)设 a＝(cos α，(λ－1)·sin α)， b＝(cos β，sin β)(λ>0,0<α<β<π2)是平面上的两个向量，若向量 a＋b 与 a－b 互相垂直．
|O→A＋O→B|＝ sin α＋cos α2＋1
＝
2＋sin 2α＝
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(2)由(1)知，
a·b＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝54.
因为0<α<β<π2，所以－π2<α－β<0，
sin(α－β)＝－35，tan(α－β)＝－34，
tan α＝tan[(α－β)＋β]＝1t－antaαn－αβ－＋βt·atannββ＝
(1)求实数 λ 的值； (2)若 a·b＝45，且 tan β＝43，求 tan α 的值．
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解析：(1)由题设可得(a＋b)·(a－b)＝0， 即|a|2－|b|2＝0， 代入 a，b 坐标可得 cos2α＋(λ－1)2sin2α－cos2β－sin2β＝0， 所以(λ－1)2sin2α－sin2α＝0. 因为 0<α<π2，λ>0，所以 λ＝2.
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解析：设A→B＝a，B→C＝b 为一组基底， 则A→E＝a＋23b，D→C＝13a＋b. 因为点 A、P、E 和 D、P、C 分别共线， 所以存在 λ、μ 使A→P＝λA→E＝λa＋23λb， D→P＝μD→C＝13μa＋μb， 又A→P＝A→D＋D→P＝(23＋13μ)a＋μb，
2018所01以01λa＋23λb＝中(23华＋书13μ文)a＋馆μ编b. 辑 11
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解析：因为a＝ x2＋y＋32，
b ＝

x2＋y－32，由a＋b＝6，可得：
x2＋y＋32＋ x2＋y－32＝6，
所以动点 M(x，y)到两定点 A1(0，－3)，A2(0,3)的距离之 和等于 6，
而A1A2＝6，所以点 M(x，y)的轨迹是线段．故选 C.
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2．如图，若 D 是△ABC 内的一点，
且 AB2－AC2＝DB2－DC2，则 AD 与 BC 所成的角为
.
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解析：由A→B2－A→C2＝D→B2－D→C2， 得(A→B＋A→C)·(A→B－A→C)＝(D→B＋D→C)·(D→B－D→C)． 设 BC 的中点为 M，则 2A→M·C→B＝2D→M·C→B， 所以(A→M－D→M)·C→B＝0，所以A→D·C→B＝0， 所以A→D⊥C→B，所以 AD 与 BC 所成的角为 90°.
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解析：(1)A→B＝(cos α－sin α，－1)，
故O→P＝O→B＋B→P＝(2cos α－sin α，－1)，
P→B＝(sin α－cos α，1)，C→A＝(2sin α，－1)，
所以 f(α)＝(sin α－cos α，1)·(2sin α，－1)
＝2sin2α－2sin αcos α－1
＝－(sin 2α＋cos 2α)
＝－ 2sin(2α＋π4)，
所以 f(α)的最小正周期 T＝π.
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(2)由O，P，C三点共线可得
(－1)×(－sin α)＝2×(2cos α－sin α)，得tan α＝34，
sin 2α＝s2ins2inα＋αccoossα2α＝1＋2tatnanα2α＝2245.
1－－－43＋3443×43＝274，
201ta8n0α1＝01274.
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【拓展演练 2】 (2012·山东聊城莘县上期期中)已知 O 为坐标原点，向量 O→A＝(sin α，1)，O→B＝(cos α，0)，O→C＝(－sin α，2)，点 P 满 足A→B＝B→P. (1)记函数 f(α)＝P→B·C→A，求函数 f(α)的最小正周期； (2)若 O，P，C 三点共线，求|O→A＋O→B|的值．
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一 平面向量在平面几何和物理上的应用
【例 1】如图，△ABC 的面积为 14 cm2，D、E 分别为 边 AB、BC 上的点，且 AD∶DB＝BE∶EC＝2∶1，P 为 AE 和 CD 的交点，求△APC 的面积．
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3．设 x，y∈R，i，j 是直角坐标平面内 x，y 轴正方向
上的单位向量，若＝

6，则点 M(x，y)的轨迹是( C )
A．椭圆
B．双曲线
C．线段
D．射线
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第28讲 平面向量的应用
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1．(2013·黄冈市上期期末考试)若A→B·B→C＋A→B2＝0，
则△ABC 必定是( B )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
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解析：A→B·B→C＋A→B2＝0⇒A→B·(B→C＋A→B)＝0⇒A→B·A→C＝0 ⇒A→B⊥A→C，则△ABC 必定是直角三角形，故选 B.
由平面向量基本定理，λ＝23＋13μ 23λ＝μ
，所以λ＝67 μ＝47
.
S△PAB＝14×47＝8，SPBC＝14×(1－67)＝2，
所以 S△APC＝14－8－2＝4.
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【拓展演练1】有一两岸平行的河流，水速为1， 小船的速度为 2 .为使所走路程最短，小船应朝与水 速成 角的方向行驶．