2015高考数学考前20天冲刺 解三角形
2015年高考数学复习学案：解三角形
【考点概述】1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2、能运用正弦、余弦定理等知识和方法解决一些与几何计算和测量有关的实际问题． 【重点难点】三角形中的边角互化、一解两解问题以及动态最值问题．【命题趋势】1、 近几年高考命题加强了对知识综合性和应用性的考察，故三角形中三角问题常常与其他数学知识相联系，既考查解三角形的知识与方法，又考查运用三角公式进行恒等变形的技能及三角函数的应用意识．2、解三角形问题在高考中经常以填空题出现（2010年江苏卷第13题，2010年上海理科卷第18题，2010年全国理科卷第16题、2010年天津理科卷第15题、2010年北京理科卷第10题、2010年广东理科卷第11题、2010年山东理科卷第15题等），但近几年来以解答题形式出现的频率较高（2010年江苏卷第17题、2010年陕西理科卷第17题、2010年福建理科卷第19题、2009年海南理理科卷第17题、2009年天津理科卷第17题、2009年辽宁理科卷第17题、2009年安徽理科卷第16题、2009年浙江理科卷第18题等），因为与实际问题的联系密切，今后这部分仍然是高考命题的一个热点．【知识要点】：1、 正弦定理：CcB b A a sin sin sin ==＝2R 正弦定理的变形：sin :sin :sin ::A BC a b c =利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： (1)已知两角和任意一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角． 2、余弦定理：=2a A bc cb cos 222-+； cos A ＝bca cb 2222-+=2b B ac c a cos 222-+； cos B ＝acb c a 2222-+=2c C ab b a cos 222-+； cos C ＝abc b a 2222-+利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形的问题： (1)已知三边，求三个角．(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． (3)已知两边和其中一边对角，求第三边和其他两个角． 3、三角形的面积公式：C ab S ABC sin 21=∆＝A bc B ac sin 21sin 21=．4、射影定理： a ＝c cos B ＋b cos C ，b ＝a cos C ＋c cos A ，c ＝a cos B ＋b cos A ，【基础训练】1、在ABC △中，已知2AC =，3BC =，4cos 5A =-，求sin B ＝ ． 2、在ABC ∆中，若sin A ︰sin B ︰sin C ＝5︰7︰8，则B ＝ ．3、在ABC ∆中，B A sin sin >是A ＞B 的 条件（填“充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要、充要”）．4、在ABC ∆中，已知a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，若,cos cos ABb a =则ABC ∆的形状是 ．【典例分析】：例1、（1）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝3，b ＝32，A ＝30°，则B ＝ ．变式1：在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝32，A ＝30°，则边c ＝ ．变式2：在A B C ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知a ＝33，b ＝32，A ＝30°，则B 有几解？例2：在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且2sin2)2cos(12CB A +=++π． (Ⅰ)求角A 的大小；（Ⅱ）当a ＝6时，求其面积的最大值，并判断此时ABC ∆的形状．例3：如图：在ABC ∆中，若4,7b c ==，BC 的中点为D ，且72AD =，求cos A ．【巩固练习】1、（2010年北京理10）在△ABC 中，若b ＝ 1，c23C π∠=，则a ＝ ． 2、( 2010年上海理18) 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为111,,13115，则此人根据上述条件，下列说法正确的是 ．（1）不能作出这样的三角形 （2）可作出一个锐角三角形 （3）可作出一个直角三角形 （4）可作出一个钝角三角形3、(2009年广东理6) 一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知1F ，2F 成060角，且1F ，2F 的大小分别为2和4，则3F 的大小为 ． 4、(2010年广东理11)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，bA ＋C ＝2B ，则sinC ＝ .5、 (2010年全国理16)在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝12DC ，∠ADB ＝120°，AD ＝2，若△ADC的面积为3∠BAC ＝______ _ ．【课外作业】1、（2010年山东理15）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2b =，sin cos B B +=，则角A 的大小为 ．2、(2007年山东理11)在直角ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的序号是 ．（1）2AC AC AB =⋅ （2） 2BC BA BC =⋅ （3）2AB AC CD =⋅ （4） 22()()AC AB BA BC CD AB⋅⨯⋅=3、(2008年海南理3)如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 ．4、（08江苏高考13）满足条件BC AC AB 2,2==的三角形ABC 的面积的最大值是 ．5、（2010年天津理7）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若22a b -=， sin C ＝B ，则A ＝ ．6、（2010年天津理15）如图，在ABC ∆中，AD AB ⊥，1==BC ，则AC AD ⋅＝7、（2010年江苏高考17）（14分）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H (单位m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 高度h ＝4m ，仰角∠ABE ＝α，∠ADE ＝β (1)该小组已经测得一组α、β的值，tan α＝1.24，tan β＝1.20，，请据此算出H 的值 (2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d （单位m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m ，问d 为多少时，α－β最大E【反思感悟】1、 解三角形常用方法：“化边为角”， “化角为边”．2、 已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的个数问题．3、 正、余弦两个定理的的灵活运用及内涵（余弦定理的向量本质）．4、 应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝兀，2222π=++C B A 中互补和互余的关系，结合诱导公式可以减少角的种数． 5、三角形中的动态最值问题的解法．课外探究：已知a ，b 及一边对角A ，则三角形解的情况．。
[科学备考]2015届高考数学[文,通用版]大一轮复习配套精品试题-解三角形[含2014模拟考试题答案及解析]]
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精品题库试题文数1.(河北省衡水中学2014届高三下学期二调) 设是双曲线的两个焦点, 是上一点, 若且的最小内角为, 则的离心率为( )A.B.C.D.[解析] 1.不妨设点在左支上，则又所以，在中由余弦定理得，整理得，即，得.2.(天津市蓟县邦均中学2014届高三第一次模拟考试) 在△中，内角A、B、C的对边分别为、、，且，则△是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形 D．等边三角形[解析] 2. 因为，所以，得，为钝角.3.（北京市海淀区2014届高三年级第一学期期末练习）在中，若，面积记作，则下列结论中一定成立的是A．B．C．D．[解析] 3.4.（福建省政和一中、周宁一中2014届高三第四次联考）在△中，角所对的边分别为，若，则△的面积等于( )A．10 B．C．20 D．[解析] 4.由余弦定理得，，所以5.(广东省中山市2013-2014学年第一学期高三期末考试) 如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，后，就可以计算出A、B两点的距离为（）A. B．C．D．[解析] 5.因为，所以由余弦定理得6.（河北衡水中学2014届高三上学期第五次调研）在中，已知内角，边，则的面积的最大值为．[解析] 6.，由余弦定理得，即，7.(重庆一中2014年高三下期第一次月考) 三角形，则[解析] 7.由余弦定理得，所以.8.(广西省桂林中学2014届高三月考测试题) 在中，，若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e=。
[解析] 8.设，则由余弦定理得，，由椭圆的定义知，.9.（辽宁省大连市高三第一次模拟考试）已知△三个内角、、，且，则的值为．[解析] 9.因为，所以由正弦定理得，设，则.10.(吉林省长春市2014届高中毕业班第二次调研测试) 在△中，三个内角，，所对的边分别为，，，若，则.[解析] 10.由正弦定理，，所以，即，所以.11.(河南省郑州市2014届高中毕业班第一次质量预测) 已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若．，则此球的表面积等于_________．[解析] 11.如图所示，由余弦定理得，所以的外接圆半径为，所以，解得，所以球的表面积为12.(南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试) 在中，，，则的最小值为.[解析] 12.由余弦定理得，，所以的最小值为13.（天津七校联考高三数学（文）学科试卷）在中，角所对的边分别是，已知点是边的中点，且，则角[解析] 13. 因为，所以，所以14.(河北省衡水中学2014届高三下学期二调) 已知函数,的最大值为2．（Ⅰ）求函数在上的值域；(Ⅱ) 已知外接圆半径，，角所对的边分别是，求的值．[解析] 14.（Ⅰ）由题意，的最大值为，所以，而，于是，在上递增．在递减，所以函数在上的值域为；(Ⅱ) 化简得．由正弦定理，得，因为△ABC的外接圆半径为．．所以15.（河北省石家庄市2014届高三第二次教学质量检测）在∆ABC中，角A、B、C 的对边长分别为, 且满足（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若, 求∆ABC的面积.[解析] 15.(1) 由正弦定理得(2)，16.(江苏省南京市、盐城市2014届高三第二次模拟) 如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N (异于村庄A) ，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米) ．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远) ．[解析] 16.解法一：设∠AMN＝θ，在△AMN中，,因为MN＝2，所以AM＝sin(120°－θ) ．在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ) ．AP2＝AM2＋MP2－2 AM·MP·cos∠AMP＝sin2(120°－θ) ＋4－2×2×sin(120°－θ) cos(60°＋θ)＝sin2(θ＋60°) －sin(θ＋60°) cos(θ＋60°) ＋4＝[1－cos (2θ＋120°) ]－sin(2θ＋120°) ＋4＝－[sin(2θ＋120°) ＋cos (2θ＋120°) ]＋＝－sin(2θ＋150°) ，θ∈(0，120°) ．当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．答：设计∠AMN为时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．解法二(构造直角三角形) ：设∠PMD＝θ，在△PMD中，∵PM＝2，∴PD＝2sinθ，MD＝2cosθ．在△AMN中，∠ANM＝∠PMD＝θ，，AM＝sinθ，∴AD＝sinθ＋2cosθ，(θ≥时，结论也正确) ．AP2＝AD2＋PD2＝(sinθ＋2cosθ) 2＋(2sinθ) 2＝sin2θ＋sinθcosθ＋4cos2θ＋4sin2θ＝·＋sin2θ＋4＝sin2θ－cos2θ＋＝＋sin(2θ－) ，θ∈(0，) ．当且仅当2θ－＝，即θ＝时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．此时AM＝AN＝2，∠PAB＝30°17.(河南省豫东豫北十所名校2014届高中毕业班阶段性检测(四)) 在△ABC中，a, b, c分别为角A，B，C所对的边，且(I) 求角A的大小；(Ⅱ) 若△ABC的面积为3，求a的值．[解析] 17.（1）因为，所以，即，又在中，，则，得，故，当时，，则均为钝角，与矛盾，故舍去，故，则（2）由，可得，则，在中，有，则，则，所以18.（广东省汕头市2014届高三三月高考模拟）已知函数（1）求函数的最小正周期(2) 在中，角的对边分别为, 且满足,求的值.[解析] 18.（1），所以函数的最小正周期为，（2）解法一，整理得，所以，又因为，所以，.解法二，，又因为，所以，所以，又因为，所以，.19.（山西省太原市2014届高三模拟考试）已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为, 若△ABC的外接圆的半径为，且（I）求∠C；（Ⅱ）求△ABC的面积S的最大值．[解析] 19.（I）由及正弦定理，得，即，由余弦定理，得，所以，又，所以。
2015高考数学一轮方法测评练：步骤规范练——解三角形
步骤规范练——解三角形(建议用时：90分钟)一、填空题1．(2013·山东师大附中月考)化简sin 2 35°－12cos 10°cos 80°＝________.解析 sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°·sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.答案 －12．(2014·潮州二模)在△ABC 中，A ＝π3，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则边AC 的长为________．解析 由题意知S △ABC ＝12×AB ×AC ×sin A ＝12×2×AC ×32＝32，∴AC ＝1. 答案 13．(2013·成都五校联考)已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α等于______．解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)，π4－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4. 又cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，2α＝π4－α或2α＋π4－α＝0，∴α＝π12或α＝－π4(舍)． ∴sin 2α＝sin π6＝12. 答案 124．(2014·中山模拟)已知角A 为△ABC 的内角，且sin 2A ＝－34，则sin A －cos A ＝________.解析 ∵A 为△ABC 的内角，且sin 2A ＝2sin A cos A ＝－34＜0，∴sin A ＞0，cos A ＜0，∴sin A －cos A ＞0. 又(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝74. ∴sin A －cos A ＝72. 答案 725．(2013·临沂一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2 A ＋sin 2 C －sin 2 B ＝3sin A sin C ，则角B 的大小为________．解析 由正弦定理可得a 2＋c 2－b 2＝3ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac2ac ＝32，所以B ＝π6. 答案 π66．(2014·南通、无锡调研)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝14，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－x ＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝________. 解析 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝14，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－x ＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝14＋1－116＝1916. 答案 19167．(2013·安徽卷改编)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________. 解析 由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b ，∴a ＝53b ， 代入b ＋c ＝2a 中，得c ＝73b .由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴C ＝2π3. 答案 2π38．(2013·东北三校联考)设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝________.解析 α，β都是锐角， 当cos α＝55时，sin α＝255. 因为cos α＝55＜12，所以α＞60°. 又sin(α＋β)＝35＜32， 所以α＋β＜60°或α＋β＞120°.显然α＋β＜60°不可能，所以α＋β为钝角． 又sin(α＋β)＝35，因此cos(α＋β)＝－45， 所以cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝－45＋6525＝2525.答案 25259．(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝________.解析 化简23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，解得cos A ＝15.由余弦定理，知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入数据，得b ＝5. 答案 510．(2013·天津卷改编)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝________.解析 由余弦定理，得AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA · BC cos B ＝(2)2＋32－2×2×3cos π4＝5. ∴AC ＝5，由正弦定理BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC，得sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABC AC ＝3×sin π45＝3×225＝31010.答案3101011．(2013·浙江五校联盟联考)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝34，且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－π4，则cos 2x的值为________．解析 sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝－18，∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－π4，∴2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2.∴cos 2x ＝－1－sin 22x ＝－378.答案 －37812．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．解析 由△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，可得B ＝60°.又在△ABD 中，AB ＝1，BD ＝2，由余弦定理可得AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ＝ 3. 答案313．(2013·济宁期末考试)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23π，则S △ABC ＝________.解析 因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3＝2，即sin B ＝12，所以B ＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34. 答案 3414．(2014·天水模拟)f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，则f (x )的最小值为________ .解析 f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，因为π4≤x ≤π2，所以π6≤2x －π3≤2π3，所以12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，所以1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤2，即1≤f (x )≤2，所以f (x )的最小值为1. 答案 1 二、解答题15．(2014·金华十校模拟)已知函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x －12，△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且f (B )＝1. (1)求角B 的大小；(2)若a ＝3，b ＝1，求c 的值． 解 (1)因为f (x )＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 所以f (B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝1，又2B ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，所以2B ＋π6＝π2，所以B ＝π6.(2)法一 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得c 2－3c ＋2＝0，所以c ＝1或c ＝2. 法二 由正弦定理a sin A ＝bsin B ， 得sin A ＝32，所以A ＝π3或A ＝2π3， 当A ＝π3时，C ＝π2，所以c ＝2； 当A ＝2π3时，C ＝π6，所以c ＝1.所以c ＝1或c ＝2.16．(2013·韶关调研)△ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的三条边长分别是a ，b ，c ，且满足c sin A －3a cos C ＝0. (1)求角C 的大小；(2)若cos A ＝277，c ＝14，求sin B 和b 的值． 解 (1)由c sin A －3a cos C ＝0， 得sin C sin A －3sin A cos C ＝0. ∵A 为△ABC 的内角，∴sin A ≠0， ∴sin C －3cos C ＝0， 即tan C ＝3，所以C ＝π3.(2)由cos A ＝277，得sin A ＝217， ∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝217×12＋277×32＝32114.在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C ， 得b ＝c sin B sin C ＝14×3211432＝3 2.17．(2013·无锡一模)已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＋3b sin A ＝c . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，AB →·AC →＝3，求b ＋c 的值． 解 (1)由a cos B ＋3b sin A ＝c ，得 sin A cos B ＋3sin B sin A ＝sin (A ＋B )， 即 3sin B sin A ＝cos A sin B ， 所以tan A ＝33，故A ＝π6.(2)由AB →·AC →＝3，得bc cos π6＝3，即bc ＝23，① 又a ＝1，∴1＝b 2＋c 2－2bc cos π6，②由①②可得(b ＋c )2＝7＋43，所以b ＋c ＝2＋ 3.18．(2013·福建卷)如图，在等腰直角△OPQ 中，∠POQ ＝90°，OP ＝22，点M 在线段PQ 上．(1)若OM ＝5，求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝30°，问：当∠POM 取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．解 (1)在△OMP 中，∠OPM ＝45°，OM ＝5，OP ＝22， 由余弦定理得OM 2＝OP 2＋MP 2－2×OP ×MP × cos 45°，即MP 2－4MP ＋3＝0，解得MP ＝1或MP ＝3. (2)设∠POM ＝α，0°≤α≤60°， 在△OMP 中，由正弦定理得OM sin ∠OPM ＝OPsin ∠OMP，所以OM ＝OP sin 45°sin (45°＋α)，同理，ON ＝OP sin 45°sin (75°＋α).故S △OMN ＝12×OM ×ON ×sin ∠MON ＝14×OP 2sin 2 45°sin (45°＋α)sin (75°＋α)＝1sin (45°＋α)sin (45°＋α＋30°)＝1sin (45°＋α)⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin (45°＋α)＋12cos (45°＋α)＝132sin2(45°＋α)＋12sin(45°＋α)cos(45°＋α)＝134[]1－cos()90°＋2α＋14sin(90°＋2α)＝134＋34sin 2α＋14cos 2α＝134＋12sin(2α＋30°).因为0°≤α≤60°，30°≤2α＋30°≤150°，所以当α＝30°时，sin(2α＋30°)的最大值为1，此时△OMN的面积取到最小值．即∠POM＝30°时，△OMN的面积的最小值为8－4 3.。
【走向高考】2015高考数学(通用版)二轮复习课件 专题2 第2讲 三角变换与解三角形
而 b2＋c2≥2b c ，∴b c ＋4≥2b c ，∴b c ≤4 (当 且 仅 当 等 号 成 立 )， 1 3 3 所 以 S△ABC＝2b cs n i A＝ 4 b c ≤ 4 ×4＝ 3， 当△ABC 的 面 积 取 最 大 值 时 ， b＝c.
b＝c 时
π 又 A＝3， 故 此 时 △ABC 为 等 边 三 角 形 ．
3．三角变换的基本策略： (1)1的变换；(2)切化弦；(3)升 降次；(4)引入辅助角；(5)角的变换与项的分拆．
专题二 第二讲
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
三角形形状的判定
(文)已知向量
1 m＝sinA，2与
n＝(3，sinA＋ 3
cosA)共线，其中 A 是△ABC 的内角． (1)求角 A 的大小； (2)若 BC＝2，求△ABC 的面积 S 的最大值，并判断 S 取得 最大值时△ABC 的形状．
专题二 第二讲
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2． 倍 角 公 式 ( 1 ) s n i2 ( 2 ) c o s 2 ( 3 a ) tn 2 α＝2 s n i αc o s α； α＝c o s 2α－s n i 2α＝2 c o s 2 a tn α α＝ . 1－a tn 2α
1－c o s α s n i α α ＝ s 2＝1＋c n i α . o s α
专题二 第二讲ห้องสมุดไป่ตู้
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4．正 弦 定 理 接 圆 的 直 径 s n i A＝s n i B＝s n i C＝2R(2R 为△ABC 外 5．余 弦 定 理 a2＝b2＋c2－2b cc o s A， b2＝a2＋c2－2a cc o s B， c2＝a2＋b2－2a bc o s C. a b c )．
2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：第3章 三角函数、解三角形 第7节
[课堂练通考点]1．(2014·安庆模拟)在△ABC中，A∶B＝1∶2，sin C＝1，则a∶b∶c等于() A．1∶2∶3B．3∶2∶1C．1∶3∶2 D．2∶3∶1解析：选C由sin C＝1，∴C＝π2，由A∶B＝1∶2，故A＋B＝3A＝π2，得A＝π6，B＝π3，由正弦定理得，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝12∶32∶1＝1∶3∶2.2．在△ABC中，若sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC的形状是() A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定解析：选C由正弦定理得a2＋b2<c2，所以cos C＝a2＋b2－c22ab<0，所以C是钝角，故△ABC是钝角三角形．3．某人向正东方向走x千米后，他向右转150°，然后朝新方向走3千米，结果他离出发点恰好为3千米，则x的值是()A. 3 B．2 3C.3或2 3 D．3解析：选C先根据已知条件画出草图，再用余弦定理或正弦定理列方程，解方程即可，故选C.4．(2013·山东高考)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B ＝2A，a＝1，b＝3，则c＝()A．2 3 B．2C. 2 D．1解析：选B由已知及正弦定理得1sin A＝3sin B＝3sin 2A＝32sin A cos A，所以cos A＝32，A＝30°.结合余弦定理得12＝(3)2＋c2－2c×3×32，整理得c2－3c＋2＝0，解得c＝1或c＝2.当c＝1时，△ABC为等腰三角形，A＝C＝30°，B＝2A＝60°，不满足内角和定理，故c＝2.5．(2013·江西高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A sin B＋sin B sin C＋cos 2B＝1.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若C＝2π3，求ab的值．解：(1)证明：由已知得sin A sin B＋sin B sin C＝2sin2B. 因为sin B≠0，所以sin A＋sin C＝2sin B.由正弦定理得a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．(2)由C＝2π3，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，所以ab＝35.[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2014·石家庄质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，sin A，sin B，sin C成等比数列，且c＝2a，则cos B的值为()A.14 B.34C.24 D.23解析：选B因为sin A，sin B，sin C成等比数列，所以sin2B＝sin A sin C，由正弦定理得b2＝ac，又c＝2a，故cos B＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－2a24a2＝34.2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是() A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝csin C ， ∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．在△ABC 中，若lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝lg 2，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形解析：选D 由条件得sin Acos B ·sin C ＝2， 即2cos B sin C ＝sin A .由正、余弦定理得，2·a 2＋c 2－b 22ac ·c ＝a ， 整理得c ＝b ，故△ABC 为等腰三角形．4．(2013·全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5解析：选D 化简23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得23cos 2A ＋2cos 2 A －1＝0，解得cos A ＝15.由余弦定理，知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入数据解方程，得b ＝5.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若b ＝2a sin B ，则角A 的大小为________．解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A sin B ，∵sin B ≠0， ∴sin A ＝12，∴A ＝30°或A ＝150°. 答案：30°或150°6．(2014·广东重点中学联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －3cos C cos B ＝3c －a b ，则sin Csin A 的值为________．解析：由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C得cos A－3cos Ccos B＝3c－ab＝3sin C－sin Asin B，即(cos A－3cos C)sin B＝(3sin C－sin A)·cos B，化简可得，sin(A＋B)＝3sin(B＋C)，又知A＋B＋C＝π，所以sin C＝3sin A，因此sin Csin A＝3.答案：37．(2013·湖北高考)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积S＝53，b＝5，求sin B sin C的值．解：(1)由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cos A－2＝0，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，解得cos A＝12或cos A＝－2(舍去)．因为0<A<π，所以A＝π3.(2)由S＝12bc sin A＝12bc·32＝34bc＝5 3，得bc＝20，又b＝5，知c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝25＋16－20＝21，故a＝21.从而由正弦定理得sin B sin C＝ba sin A·ca sin A＝bca2sin2A＝2021×34＝57.8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin B(tan A ＋tan C)＝tan A tan C.(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S . 解：(1)证明：在△ABC 中，由于sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C ， 所以sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin C cos C ＝sin A cos A ·sin Ccos C ， 因此sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C ， 所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C . 又A ＋B ＋C ＝π， 所以sin(A ＋C )＝sin B ， 因此sin 2B ＝sin A sin C . 由正弦定理得b 2＝ac ， 即a ，b ，c 成等比数列．(2)因为a ＝1，c ＝2，所以b ＝2，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋22－22×1×2＝34，因为0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝74， 故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×1×2×74＝74. 第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2014·江西省七校联考)已知在△ABC 中，C ＝2A ，cos A ＝34，且2BA ·CB ＝－27.(1)求cos B 的值； (2)求AC 的长度．解：(1)∵C ＝2A ，∴cos C ＝cos 2A ＝2cos 2A －1＝18， ∴sin C ＝378，sin A ＝74.∴cos B ＝－cos(A ＋C )＝sin A ·sin C －cos A ·cos C ＝916. (2)∵AB sin C ＝BC sin A ，∴AB ＝32BC .∵2BA ·CB ＝－27，cos B ＝916， ∴|BA ||CB|＝24，∴BC 2＝16，AB ＝6，∴AC ＝BC 2＋AB 2－2BC ·AB ·cos B ＝16＋36－2×4×6×916＝5.2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C2，BC 边上的中线AM 的长为7.(1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的面积．解：(1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，得a 2－b 2－c 2＝－3bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又0<A <π，∴A ＝π6. 由sin A sin B ＝cos 2C 2，得12sin B ＝1＋cos C 2，即sin B ＝1＋cos C ，则cos C <0，即C 为钝角，∴B 为锐角，且B ＋C ＝5π6， 则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝1＋cos C ，化简得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝－1，解得C ＝2π3，∴B ＝π6.(2)由(1)知，a ＝b ，由余弦定理得AM 2＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2b ·a 2·cos C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2，解得b ＝2，故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2b －c )cos A －a cos C ＝0.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，S △ABC ＝334，试判断△ABC 的形状，并说明理由． 解：(1)法一：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0及正弦定理，得 (2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0， ∴2sin B cos A －sin(A ＋C )＝0， sin B (2cos A －1)＝0.∵0<B <π，∴sin B ≠0，∴cos A ＝12. ∵0<A <π，∴A ＝π3.法二：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0，及余弦定理，得(2b －c )·b 2＋c 2－a 22bc －a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝0， 整理，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3. (2)△ABC 为等边三角形． ∵S △ABC ＝12bc sin A ＝334， 即12bc sin π3＝334， ∴bc ＝3，①∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，a ＝3，A ＝π3， ∴b 2＋c 2＝6，② 由①②得b ＝c ＝3， ∴△ABC 为等边三角形．。
2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：第3章 三角函数、解三角形 第1节
[课堂练通考点]1．如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ)解析：选A 由三角函数的定义知P (cos θ，sin θ)，选A.2．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1或4 B ．1 C ．4D ．8解析：选A 设扇形的半径和弧长分别为r ，l ， 则易得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝6，12lr ＝2，解得⎩⎨⎧ l ＝4r ＝1或⎩⎨⎧l ＝2，r ＝2.故扇形的圆心角的弧度数是4或1.3．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上． ∴⎩⎨⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.故选A. 4．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．解析：2 010°＝676π＝12π－5π6，∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为5π6. 答案：5π65．(2014·辽源模拟)若三角形的两个内角α，β满足sin αcos β＜0，则此三角形为________．解析：∵sin αcos β＜0，且α，β是三角形的两个内角． ∴sin α＞0，cos β＜0，∴β为钝角． 故此三角形为钝角三角形． 答案：钝角三角形6．已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求α的三角函数值．解：∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴－1<cos θ<0，∴r ＝9cos 2θ＋16cos 2θ＝－5cos θ， 故sin α＝－45，cos α＝35，tan α＝－43.[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A.π3B.π6 C ．－π3D ．－π6解析：选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角． 故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16. 即为－16×2π＝－π3.2．已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是( ) A ．第一或第二象限角B ．第二或第三象限角C ．第三或第四象限角D ．第一或第四象限角解析：选C 易知sin θ<0，且cos θ≠0，∴θ是第三或第四象限角． 3．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝( ) A ．－32 B.32 C ．－12D.12解析：选D 因为角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )，又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.4．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 解析：选A 由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.5．给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④sin 7π10cos πtan 17π9，其中符号为负的是( ) A ．① B ．② C ．③D ．④解析：选C sin(－1 000°)＝sin 80°>0；cos(－2 200°) ＝cos(－40°)＝cos 40°>0；tan(－10)＝tan(3π－10)<0； sin 7π10cos πtan 17π9＝－sin 7π10tan 17π9，sin 7π10>0，tan 17π9<0，∴原式>0. 6．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)．答案：(－1，3)7.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝________.解析：因为A 点纵坐标y A ＝45，且A 点在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.答案：－358．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第________象限角．解析：由α是第三象限角，知2k π＋π<α<2k π＋3π2(k ∈Z )，k π＋π2<α2<k π＋3π4(k ∈Z )，知α2是第二或第四象限角，再由⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2知sin α2<0，所以α2只能是第四象限角．答案：四9．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .解：设圆的半径为r cm ， 弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎨⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝lr ＝2.如图，过O 作OH ⊥AB 于H .则∠AOH ＝1弧度． ∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)， ∴AB ＝2sin 1(cm)． 10．已知sin α<0，tan α>0. (1)求α角的集合； (2)求α2终边所在的象限； (3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号． 解：(1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α>0，知α在第一、三象限， 故α角在第三象限，其集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪(2k ＋1)π<α<2k π＋3π2，k ∈Z. (2)由(2k ＋1)π<α<2k π＋3π2， 得k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ， 故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时， tan α2<0，sin α2>0，cos α2<0， 所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2<0，sin α2<0，cos α2>0， 所以tan α2sin α2cos α2也取正号． 因此，tan α2sin α2cos α2取正号． 第Ⅱ组：重点选做题1．满足cos α≤－12的角α的集合为________．解析作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP 的坐标为________．解析：如图，连接AP ，分别过P ，A 作PC ，AB 垂直x 轴于C ，B 点，过A作AD ⊥PC 于D 点．由题意知 BP的长为2. ∵圆的半径为1， ∴∠BAP ＝2， 故∠DAP ＝2－π2.∴DP ＝AP ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝－cos 2，∴PC ＝1－cos 2，DA ＝AP cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝sin 2.∴OC ＝2－sin 2.故OP＝(2－sin 2,1－cos 2)． 答案：(2－sin 2,1－cos 2)。
2015届高考数学总复习第三章 第八节解三角形的应用精讲课件 文
变式探究
3．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(
里的 C 处的缉私船奉命以每小时 10
－1)海
里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西 75°方向，距离A处 2 海 海里的速度追截走私
船．此时，走私船正以每小时 10 海里的速度从 B 处向北偏东
30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
变式探究
1. 某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如示 意图，垂直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α， ∠ADE＝β，该小组已经测得一组 α、β的值，算出了tan α＝ 1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值．
距离问题 【例2】 某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建
第三章
第八节 解三角形的应用
高度问题 【例 1】 如下图，用同样高度的两个测角仪 AB 和CD同
时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角
是α和β，已知B、D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球
的高度．
思路点拨： 在Rt△EGA中求解EG，只有角 α一个条件，需 要再有一边长被确定，而△ EAC 中有较多已知条件，故可在 △ EAC 中考虑 EA 边长的求解，而在△ EAC 中有角 β ， ∠ EAC ＝
∵∠CBD＝90°＋30°＝120°， 在△BCD中，由正弦定理，
∴∠BCD ＝ 30°，即缉私船沿东偏北 30°方向能最快追 上走私船．
180°－α两角与BD＝a一边，故可以利用正弦定理求解EA. 自主解答：
，
，
点评：高度的测量借助于两个或者多个三角形进行，基 本思想是把测量的高所在线段纳入到一个(或两个)可解三角 形中．测量底部不可到达的物体的高度，通常在基线上选 取两个观测点，在同一平面内至少测量三个数据(角边角)，
2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：第3章 三角函数、解三角形 第5节
[课堂练通考点]1．(2014·青岛高三期末)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，则sin 2x 的值为( )A ．－2425 B.2425 C ．－725D.725解析：选C sin 2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π2 ＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－725.2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的值是( )A ．－233 B ．±233 C ．－1D ．±1解析：选C cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－1.3．若f (α)＝2tan α－2sin 2α2－1sin α2cos α2，则f⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝________. 解析：∵f (α)＝2tan α－－cos α12sin α＝2sin αcos α＋2cos αsin α＝4sin 2α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝4sin π6＝8.答案：84．已知cos(α＋β)＝16，cos(α－β)＝13，则tan αtan β的值为________． 解析：因为cos(α＋β)＝16， 所以cos αcos β－sin αsin β＝16.① 因为cos(α－β)＝13，所以cos αcos β＋sin αsin β＝13.② ①＋②得cos αcos β＝14. ②－①得sin αsin β＝112. 所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝13. 答案：135．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求 cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值．解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62， 两边同时平方，得sin α＝12. 又π2<α<π，所以cos α＝－32. (2)因为π2<α<π，π2<β<π， 所以－π<－β<－π2， 故－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45. cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－43＋310.[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．化简cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°的值为( ) A.12B.32 C ．－12D ．－32解析：选A cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°＝cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°＝cos(15°＋45°)＝cos 60°＝12.2．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan (α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3解析：选A 由题意可知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2， 则tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3.3．(2013·洛阳统考)函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤x ≤π2的最大值为( )A ．2B ．3C ．2＋ 3D ．2－ 3解析：选B 依题意，f (x )＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，当π4≤x ≤π2时，π6≤2x －π3≤2π3，12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，此时f (x )的最大值是3，选B.4．(2014·兰州检测)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4 B.π3 C.π2D.3π4解析：选A 由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C1－tan B tan C＝－1＝－tan A ，即tan A ＝1，所以A ＝π4.5．对于集合{a 1，a 2，…，a n }和常数a 0，定义：ω＝sin 2(a 1－a 0)＋sin 2(a 2－a 0)＋…＋sin 2(a n －a 0)n为集合{a 1，a 2，…，a n }相对a 0的“正弦方差”，则集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2，5π6，7π6相对a 0的“正弦方差”为( ) A.12 B.13C.14D ．与a 0有关的一个值解析：选A集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2，5π6，7π6相对a 0的“正弦方差”ω＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－a 0＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－a 0＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－a 03＝cos 2a 0＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋a 0＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－a 03＝cos 2a 0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos a 0＋32sin a 02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos a 0－32sin a 023＝cos 2a 0＋12cos 2a 0＋32sin 2a 03＝32(sin 2a 0＋cos 2a 0)3＝12.6．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tan α＝________. 解析：因为tan(π＋2α)＝tan 2α＝－43， 所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43， 整理得2tan 2α－3tan α－2＝0， 解得tan α＝2或tan α＝－12，又α是第二象限的角，所以tan α＝－12. 答案：－127．化简sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin 2α的结果是________．解析：原式＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π32＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π32－sin 2α＝1－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－sin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12.答案：12 8．化简2tan (45°－α)1－tan 2(45°－α)·sin αcos αcos 2α－sin 2α＝________.解析：原式＝tan(90°－2α)·12sin 2αcos 2α＝sin (90°－2α)cos (90°－2α)·12·sin 2αcos 2α＝cos 2αsin 2α·12·sin 2αcos 2α＝12.答案：129．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝12，求tan 2α和sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值．解：∵tan α＝12，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－14＝43，且sin αcos α＝12，即cos α＝2sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴5sin 2α＝1，而α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝55，cos α＝255.∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×255＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝45－15＝35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310.10．已知函数f (x )＝sin x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x 2.(1)求函数f (x )在[－π，0]上的单调区间．(2)已知角α满足α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，2f (2α)＋4f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝1，求f (α)的值． 解：f (x )＝sin x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x 2＝sin x 2cos x 2＝12sin x .(1)函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0.(2)2f (2α)＋4f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝1⇒sin 2α＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝1⇒2sin αcos α＋2(cos 2α－sin 2α)＝1 ⇒cos 2α＋2sin αcos α－3sin 2α＝0 ⇒(cos α＋3sin α)(cos α－sin α)＝0. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α－sin α＝0⇒tan α＝1得α＝π4， 故sin α＝22，∴f (α)＝12sin α＝24. 第Ⅱ组：重点选做题1．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为( )A ．1B.110 C ．1或110D ．1或10解析：选C tan(α＋β)＝1⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝lg (10a )＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－lg (10a )·lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1 ⇒lg 2a ＋lg a ＝0，所以lg a ＝0或lg a ＝－1，即a ＝1或110.2．(2014·烟台模拟)已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－13，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α＝________.解析：依题设及三角函数的定义得： cos β＝－13，sin(α＋β)＝45. 又∵0<β<π，∴π2<β<π，π2<α＋β<π，sin β＝223，cos(α＋β)＝－35. ∴cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋45×223＝3＋8215.答案：3＋8215。