北京市石景山区2013届高三一模 数学理试题
【解析分类汇编系列二：北京2013(一模)数学理】11：概率与统计 Word版含答
【解析分类汇编系列二：北京2013（一模）数学理】11概率与统计1．（2013届北京丰台区一模理科）某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在[70,80)内的人数是________。
【答案】30由题意，分数在[70，80）内的频率为：1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1﹣0.7=0.3．则分数在[70，80）内的人数是0.3×100=30人。
2．（2013届东城区一模理科）如图是甲、乙两名同学进入高中以来5次体育测试成绩的茎叶图，则甲5次测试成绩的平均数是 ，乙5次测试成绩的平均数与中位数之差是 ．【答案】84 2甲的测试成绩的平均数是180(434710)845+-++++=，乙的测试成绩的平均数是180(12811)845+-+++=，乙的测试成绩的中位数为82，所以乙5次测试成绩的平均数与中位数之差是84822-=。
专题：概率 一、选择题1.（2013届北京石景山区一模理科）3．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p =（m ，n ），q =（3，6），则向量p 与q共线的概率为（ ）A ．13B ．14C ．16D ．112【答案】D由题意可得,基本事件（m ，n ）（m ，n=1，2，…，6）的个数=6×6=36． 若,p q 共线，则630m n -=，得到2n m =．满足此条件的共有（1，2），（2，4），（3，6）三个基本事件．因此向量,p q 共线的概率313612P ==,选D. 2．（2013届北京大兴区一模理科）若实数,a b 满足221a b +≤，则关于x 的方程220x x a b -++=有实数根的概率是（ ） A ．14 B ．34 C ．3π24π+ D ．π24π-【答案】C要使方程有实根，则判别式44()a b ∆=-+>，即10a b +-<，,如图，阴影部分。
北京市2013届高三数学理试题分类汇编(含9区一模及上学期期末试题)专题：选修部分(含答案)
北京2013届高三最新模拟试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题：选修部分一、选择题1 ．（2013届北京海滨一模理科）在极坐标系中, 曲线4cos ρθ=围成的图形面积为Ａ.π B ．4 Ｃ.4π Ｄ.162 ．（2013届北京市延庆县一模数学理）在极坐标系下，圆03sin 4:2=++θρρC 的圆心坐标为 （ ）A ．)0,2(B ．)2,2(πC ．),2(πD ．)2,2(π-3 ．（2013届房山区一模理科数学）在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心到直线co s 2sin 10ρθρθ-+=的距离为（ ）A5B5C5D54 ．（2013届门头沟区一模理科）下列直线中，平行于极轴且与圆2co s ρθ=相切的是A ．c o s 1ρθ=B ．sin 1ρθ=C ．c o s 2ρθ=D ．sin 2ρθ=5 ．（2013届门头沟区一模理科）如图：圆O 的割线P AB 经过圆心O ，C 是圆上一点，P A ＝AC ＝12AB ，则以下结论不正确．．．的是 A ．CB ＝CP B ．PC ⋅AC ＝P A ⋅BC C ．PC 是圆O 的切线 D ．BC 2＝BA ⋅BP6 ．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）在极坐标系中，过点(3,)3π且垂直于极轴的直线方程 （ ）A ．3s in 2=ρθB ．3c o s 2=ρθC ．3s in 2=ρθ D ．3c o s 2=ρθ7 ．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）极坐标方程4cos ρθ=化为直角坐标方程是（ ）A ．22(2)4x y -+=B ．224x y +=PC ．22(2)4x y +-=D ．22(1)(1)4x y -+-=8 ．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）AB COP 如图，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点， PC OP ⊥，PC 交⊙O 于C ，若4AP =，2PB =，则PC 的长是 （ ） A．3B ．C．2D9 ．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）在极坐标系中，已知点(2,)6P π，则过点P 且平行于极轴的直线的方程是 （ ）A ．sin 1=ρθB ．s in =ρθC ．c o s 1=ρθD ．c o s =ρθ10．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））参数方程⎩⎨⎧--=-=ty t x 21,2(为参数)与极坐标方程θρsin =所表示的图形分别是 （ ）A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线11．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））如图,AC AB ,分别与圆O 相切于点ADEC B ,,是⊙O 的割线,连接CE BEBD CD ,,,.则（ ）A ．DE AD AB ⋅=2B ．CE AC DE CD ⋅=⋅C ．CE BD CD BE ⋅=⋅ D ．CD BD AE AD ⋅=⋅12．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）已知圆的直角坐标方程为2220x y x +-=．在以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为 （ ）A ．2c o s ρθ=B ．2sin ρθ=C ．2c o s ρθ=-D ．2sin ρθ=-13．（【解析】北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知直线2,:2x t l y t=+⎧⎨=--⎩（t 为参数）与圆2c o s 1,:2s in x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别是（ ）A ．π,(1,0)4B ．π,(1,0)4- C ．3π,(1,0)4 D ．3π,(1,0)4-14．（【解析】北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）如图，P C 与圆O 相切于点C ，直线P O 交圆O 于,A B 两点，弦C D 垂直A B 于E . 则下面结论中，错误．．的结论是 Ａ.B E C ∆∽D EA∆ B ．A C E A C P ∠=∠C ．2D EO E E P=⋅D ．2P CP A A B=⋅二、填空题15．（2013届北京大兴区一模理科）已知直线y k x =与曲线42c o s ()2sin x y qq q ì=+ïïíï=ïî为参数有且仅有一个公共点，则k=16．（2013届北京大兴区一模理科）如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E（E 在A ,O 之间），E FB C^,垂足为F ．若6A B=，5C FC B ?，则A E=。
北京市2013各区数学一模试题--数列及解析几何
2013年北京市各区高三一模试题编--数列一填空选择(2013年东城一模文科)（7）对于函数)(x f y =，部分x 与y 的对应关系如下表：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y7 4 5 8 1 3 5 2 6数列}{n x 满足21=x ，且对任意*n ∈N ，点),(1+n n x x 都在函数)(x f y =的图象上，则201320124321x x x x x x ++++++ 的值为（A ）9394 （B ）9380 （C ）9396 （D ）9400 （2013年东城一模文科理科）（14）数列{a n }的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一行增加两项，若n n a a =(0)a ≠， 则位于第10行的第8列的项等于 ，2013a 在图中位于 ．（填第几行的第几列）（2013年东城一模理科）（5）已知数列{}n a 中，12a =，120n n a a +-=，2log n n b a =，那么数列{}n b 的前10项和等于（A ）130 （B ）120 （C ）55 （D ）50(2013西城一模文科理科)4．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且10a >．若232S a >，则q 的取值范围是（A ）1(1,0)(0,)2- （B ）1(,0)(0,1)2-（C ）1(,1)(,)2-∞-+∞（D ）1(,)(1,)2-∞-+∞(2013西城一模文科)14．已知数列{}n a 的各项均为正整数，其前n 项和为n S ．若1, ,231,,nn n nn a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数且329S =，则1a =______；3n S =______. (2013西城一模理科)10．设等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和是n S ．若23S S =，0k S =，则k =______．(2013海淀一模文科)2.等差数列{}n a 中, 2343,9,a a a =+= 则16a a 的值为 A. 14 B. 18 C. 21 D.2(2013海淀一模理科)10.等差数列{}n a 中,34259,18a a a a +==, 则16_____.a a = (2013丰台一模文科理科)3. 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，3420a a +=，则31S a （ ）(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5（2013年石景山一模文科理科）11．在等差数列{a n }中，a l =-2013，其前n 项和为S n ，若10121210S S -=2，则2013S 的值等于 。
北京市石景山区2013届高三一模数学理试题
2013年石家庄市高中毕业班教学质量检测（一）高三数学（理科）一、选择题（60分）1、若集合A＝{x|x＞－2}，B＝{x|－3＜x＜3}，则A B＝A、{x|x＞－3}B、{x|－3＜x＜3}C、{x|x＞－2}D、{x|－2＜x＜3}2、若,a b R∈，i为虚数单位，且a＋2i＝i（b＋i），则a＋b＝A、－1B、1C、2D、33、双曲线3x2－y2＝12的实轴长是A 、4B、6C、D、4、采用系系统抽样方法从480人中抽取16人做问卷调查，为此将他们随机编号为1 、2、…、480，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8抽到的16人中，编号落人区间［1，160］的人做问卷A，编号落入区问［161，320］的人做问卷B，其余的人做问卷C，则被抽到的人中，做问卷B的人数为A、4B、5C、6D、75、如右图所示，程序框图输出的结果为A、15B、16C、136D、1536、在平面直角坐标系中，不等式组1040xx yx y-≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，表示的平面区域的面积是A、3B、92C、6D、97、如图所示，若向正方形ABCD内随机投入一质点，则所投的质点恰好落在CE与y轴及抛物线y＝x2所围成的阴影区域内的概率是A、15B、16C、17D、238、函数2cos23xy x=-的图象大致是9、若7cos(2)38xπ-=-，则sin()3xπ+学科网的值为A、14B、78C、±14D、±7810、已知圆x2＋y2－2x－4y＋a－5＝0上有且仅有两个点到直线3x－4y－15＝0的距离为1，则实数a的取值范围为A、（5,7）B、（－15,1）C、（5,10）D、（－∞,1）11、如图，棱长为1的正方体ABC－A1B1C1D1中，E，F为A1C1上两动点，且EF＝12，则下列结论中错误的是A、BD⊥CEB、△CEF的面积为定值C、直线BC与平面CEF所成的角为定值D、直线BE与CF所成的角为定值12、已知单位向量e 与向量a ，b 满足：｜a －e ｜＝｜a ｜，（a －b ）²（b －e ）＝0，对每一个确定的向量a ，都有与其对应的向量b 满足以上条件，设M ，m 分别为｜b ｜的最大值和最小值，令t ＝｜M －m ｜，则对任意的向量a ，实数t 的取值范围是A 、［0,1］B 、［0，12］C 、［1,2+∞］ D ［1，+∞］ 二、填空题（20分） 13、在621()x x +的展开式中，常数项为＿＿＿＿＿（用数字作答）。
北京市石景山区2013届高三上学期期末考试理科数学试题
北京市石景山区2013届高三上学期期末考试理科数学试题石景山区2012—2013学年第一学期期末考试试卷高三数学（理）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则=⋃B A C U）（（ ）A ． {}2,1B ． {}4,32，C ． {}4,3D ．{}4,3,2,12. 若复数iZ=1,iZ -=32,则=12ZZ（ ） A ． 13i -- B ．i +2C ．13i +D ．i +33．AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC AD 则===u u u r u u u r u u u r （ ）A ．(2,4)B ．(3,7)C ．(1,1)D ．(1,1)--4. 设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβC ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥βD ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ5．执行右面的框图，若输出结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．46．若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个 不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（ ） A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ）A ．38B ．4C ．2D ．34正（主）视图 侧（左）视图俯视图2 23 2 3 1 开输出输否 是 结>2x 2=-1y x 2=log y x8. 在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5k n k n =+∈Z ，0,1,2,3,4k =．给出如下四个结论： ① []20133∈；② []22-∈；③[][][][][]01234Z =∪∪∪∪；④ 整数,a b 属于同一“类”的充要条件是“[]0a b -∈”．其中，正确结论的个数为（ ）． A ．1 B ．2C ．3D ．4第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，，表示的平面区域S 的面积为4，则=a ； 若点Sy x P ∈),(，则yx z +=2 的最大值为 .10．如右图，从圆O 外一点P 引圆O 的割线PAB 和P A BC O •DPCD ，PCD过圆心O ，已知1,2,3PA AB PO ===，则圆O 的半径等于 ． 11．在等比数列{}na 中，141=,=42a a -，则公比=q ；123++++=n a a a a L ．12． 在ABC ∆中，若2,60,7a Bb =∠=︒=BC 边上的高等于 ．13．已知定点A 的坐标为(1,4)，点F 是双曲线221412x y -=的左焦点，点P 是双曲线右支上的动点，则PF PA+的最小值为 ．14. 给出定义：若11< +22m x m -≤ (其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}=x m. 在此基础上给出下列关于函数()={}f x x x -的四个命题：①=()y f x 的定义域是R ，值域是11(,]22-； ②点(,0)k 是=()y f x 的图像的对称中心，其中k Z∈；③函数=()y f x 的最小正周期为1；④ 函数=()y f x 在13(,]22-上是增函数． 则上述命题中真命题的序号是 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x +=． （Ⅰ）求)(x f 的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46ππ，上的最大值和最小值．16．（本小题共14分）如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，36BC AC ==，．D 、E 分别是AC AB 、上的点，且//DE BC ，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D CD ⊥，如图2．（Ⅰ）求证：BC ⊥平面1A DC ；（Ⅱ）若2CD =，求BE 与平面1A BC 所成角的正弦值； （Ⅲ） 当D 点在何处时，1A B 的长度最小，并求出最小值．17．（本小题共13分）甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为1123p 、、，且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为14. （Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；（Ⅱ）求p 的值；（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X，求X 的分布列和数学期望EX .18．（本小题共13分）ABC D E图图ABC D E已知函数()=ln+1,f x x ax a R-∈是常数．（Ⅰ）求函数=()y f x的图象在点(1,(1))P f处的切线l的方程；（Ⅱ）证明函数=()(1)y f x x≠的图象在直线l的下方；（Ⅲ）讨论函数=()y f x零点的个数．19．（本小题共14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为32，且经过点(4,1)M，直线:=+l y x m交椭圆于不同的两点A B、．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m的取值范围；（Ⅲ）若直线l不过点M，求证：直线MA MB、的斜率互为相反数．20．（本小题共13分）定义：如果数列{}na的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{}na为“三角形”数列．对于“三角形”数列{}na ，如果函数()y f x =使得()nn bf a =仍为一个“三角形”数列，则称()y f x =是数列{}na 的“保三角形函数”(*)n N ∈．（Ⅰ）已知{}na 是首项为2，公差为1的等差数列，若()(1)xf x kk =>是数列{}na 的“保三角形函数”，求k 的取值范围；（Ⅱ）已知数列{}nc 的首项为2013，nS 是数列{}nc 的前n 项和，且满足+1438052n n S S -=，证明{}nc 是“三角形”数列；（Ⅲ）若()lg g x x =是（Ⅱ）中数列{}nc 的“保三角形函数”，问数列{}nc 最多有多少项?(解题中可用以下数据 :lg20.301,lg30.477,lg2013 3.304≈≈≈)石景山区2012—2013学年第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D C C A B C二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．(9题、11题第一空2分,第二空3分) 三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）（Ⅰ）因为cos 0x ≠，所以+,2x k k Z ππ≠∈. 所以函数)(x f 的定义域为{+,}2x x k k Z ππ≠∈｜ ……………2分 题号 9 101112 13 14 答案2；6611222n ；---3329①③sin 2sin cos ()cos x x x f x x +=（）()2sin sin +cos =2sin +sin2x x x x x =２2-)14x π=+……………5分π=T……………7分（Ⅱ）因为46ππ≤≤-x ，所以7-2-1244x πππ≤≤ ……………9分当2-44x ππ=时，即4x π=时，)(x f 的最大值为2； ……………11分当2--42x ππ=时，即8x π=-时，)(x f 的最小值为-2+1. ………13分 16．（本小题共14分）（Ⅰ）证明： 在△ABC 中，90,//,C DE BC AD DE ∠=︒∴⊥1A D DE∴⊥.又11,,A D CD CD DE D A D BCDE ⊥⋂=∴⊥面.由1,.BC BCDE A D BC ⊂∴⊥面1,,BC CD CD BC C BC A DC⊥⋂=∴⊥面. …………………………4分（Ⅱ）如图,以C 为原点，建立空间直角坐标系． ……………………5分1(2,0,0),(2,2,0),(0,3,0),(2,0,4)D E B A ．AC D Ex z设(,,)x y z =n 为平面1A BC 的一个法向量，因为(0,3,0),CB =u u u r1(2,0,4)CA =u u u r所以30240y x z =⎧⎨+=⎩，令2x =，得=0,=1y z -. 所以(2,0,1)=-n 为平面1A BC的一个法向量． ……………………7分设BE 与平面1A BC 所成角为θ．则4sin =cos 555BE θ<⋅>==⋅u u u rn ．所以BE与平面1A BC所成角的正弦值为45． …………………9分（Ⅲ）设(,0,0)D x ,则1(,0,6)A x x -，2221(-0)(0-3)(6--0)A B x x =++22-1245x x =+…………………12分当=3x 时,1A B 的最小值是33即D 为AC 中点时, 1A B 的长度最小,最小值为33…………………14分 17．（本小题共13分）记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件321,,A A A ，依题意有12311(),(),(),23P A P A P A p ===且321,,A A A 相互独立.（Ⅰ）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为121()P A A -⋅1221233=-⨯=.…………………3分（Ⅱ）设“三人中只有甲破译出密码”为事件B ，则有()P B =123()P A A A ⋅⋅＝121(1)233p p -⨯⨯-=， …………………5分所以1134p -=，14p =. ……………………7分 （Ⅲ）X的所有可能取值为3,2,1,0. ……………………8分所以1(0)4P X ==， (1)P X ==P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅111312111423423424=+⨯⨯+⨯⨯=，(2)P X ==P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅11312111112342342344=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，(3)P X ==P123()A A A ⋅⋅＝111123424⨯⨯= . ……………………11分X分布列为：X 0 1 2 3 P14112414124…………………12分所以，1111113()012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. (13)分1． （本小题共13分） （Ⅰ）1()=f x ax'-…………………1分(1)=+1f a -，=(1)=1lk f a '-，所以切线 l 的方程为(1)=(1)l y f k x --，即=(1)y a x-． …………………3分（Ⅱ）令()=()(1-)=ln +1>0F x f x a x x x x --，，则11()=1=(1)()=0=1.F x x F x x x x''--， 解得 x)1 , 0(1) , 1(∞+()F x ' +-)(x F↗最大值↘………………6分(1)<0F ，所以>0x ∀且1x ≠，()<0F x ，()<(1)f x a x -，即函数=()(1)y f x x ≠的图像在直线 l 的下方． …………………8分（Ⅲ）令()=ln +1=0f x x ax -，ln +1=x a x. 令ln +1()=x g x x ，22ln +11(ln +1)ln ()=()==x x xg x x x x-''-， 则()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,+)∞上单调递减，当=1x 时，()g x 的最大值为(1)=1g .所以若>1a ，则()f x 无零点；若()f x 有零点，则1a ≤．………………10分若=1a ，()=ln +1=0f x x ax -，由（Ⅰ）知()f x 有且仅有一个零点=1x .若0a ≤，()=ln +1f x x ax -单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知()f x 有且仅有一个零点（或：直线=1y ax -与曲线=ln y x 有一个交点）.若0<<1a ，解1()==0f x a x '-得1=x a，由函数的单调性得知()f x 在1=x a 处取最大值，11()=ln >0f a a，由幂函数与对数函数单调性比较知，当x 充分大时()<0f x ，即()f x 在单调递减区间1(,+)a ∞有且仅有一个零点；又因为1()=<0a f e e -，所以()f x 在单调递增区间1(0)a，有且仅有一个零点.综上所述，当>1a 时，()f x 无零点； 当=1a 或0a ≤时，()f x 有且仅有一个零点； 当0<<1a 时，()f x 有两个零点. …………………13分 19．（本小题共14分） （Ⅰ）设椭圆的方程为22221x y a b+=，因为32e =，所以224a b =，又因为(4,1)M ，所以221611a b+=，解得225,20ba ==，故椭圆方程为221205x y +=． …………………4分 （Ⅱ）将y x m =+代入221205x y +=并整理得22584200x mx m ++-=，22=(8)-20(4-20)>0m m ∆，解得55m -<<． …………………7分（Ⅲ）设直线,MA MB 的斜率分别为1k 和2k ，只要证明12k k+=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则212128420,55m m x x x x -+=-=． …………………9分12122112121211(1)(4)(1)(4)44(4)(4)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=----122112122(1)(4)(1)(4)2(5)()8(1)2(420)8(5)8(1)055x m x x m x x x m x x m m m m m =+--++--=+-+----=---=分子所以直线MA MB 、的斜率互为相反数． …………………14分20．（本小题共13分） （Ⅰ）显然121,nn n n an a a a ++=++>对任意正整数都成立，即{}na 是三角形数列。
2013年北京高三(一模)数学(理)分类汇编系列二解析版12.程序与框图
【解析分类汇编系列二：北京2013（一模）数学理】12程序与框图1.（2013届北京石景山区一模理科）4．执行右面的框图，输出的结果s的值为（）A．-3 B．2 C．12-D．13【答案】A第1次循环，S=﹣3，i=2；第2次循环，S=﹣，i=3；第3次循环，S=，i=4；第4次循环，S=2，i=5；第5次循环，S=﹣3，i=6；…框图的作用是求周期为4的数列，输出S的值，不满足2014≤2013，退出循环，循环次数是2013次，即输出的结果为﹣3，故选A．2．（2013届北京大兴区一模理科）执行如图所示的程序框图．若5n=，则输出s的值是（）A．-21 B．11C．43 D．86【答案】A第一次循环，11(2)1,2s i =+-=-=；第二次循环，21(2)3,3s i =-+-==；第三次循环，33(2)5,4s i =+-=-=；第四次循环，41(2)11,5s i =-+-==，第五次循环，511(2)21,6s i =+-=-=，此时不满足条件，输出21s =-，所以选A.3.（2013届北京丰台区一模理科）执行右边的程序框图，输出k 的值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A第一次循环，2,03ba a ==，不满足条件，循环，此时22,3k b ==。
第二次循环，22832(),394b a a =⨯==，不满足条件，循环，此时83,9k b ==。
第三次循环，3283(),139ba a =⨯==，满足条件，此时输出3k =。
选A.4．（2013届北京海淀一模理科）某程序的框图如图所示，执行该程序， 若输入的x 值为5，则输出的y 值为Ａ.2- B ．1- C ．12 D ．2【答案】C若5x =，则第一次循环，523x =-=，第二次循环，321x =-=，第三次循环121x =-=-，此时满足条件，输出1122y -==，选C.5．（2013届北京西城区一模理科）执行如图所示的程序框图．若输出y =，则输入角=θ（ ）A ．π6 B ．π6- C ．π3 D ．π3-【答案】D由题意知sin ,4tan ,42y πθθππθθ⎧<⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪⎩。
【解析分类汇编系列二：北京2013(一模)数学理】1：集合 Word版含答案
【解析分类汇编系列二：北京2013（一模）数学理】1：集合1.（2013届北京石景山区一模理科）1．设集合M= {x|x 2≤4），N={x|log 2 x≥1}，则M N 等于（ ）A ． [-2，2]B ．{2}C ．[2，+∞）D ． [-2,+∞）【答案】B{22}M x x =-≤≤,{2}N x x =≥,所以{2}{2}M N x x === ,选B.2.（2013届北京朝阳区一模理科）（2）已知集合{}23M x x =-<<，{}lg(2)0N x x =+≥，则M N =A. (2,)-+∞B. (2,3)-C. (2,1]--D. [1,3)- 【答案】D{}lg(2)0{21}{1}N x x x x x x =+≥=+≥=≥-，所以{13}M N x x =-≤< ，选D.3．（2013届北京海淀一模理科）集合2{6},{30}A x x B x x x =∈≤=∈->N|R|，则A B =（ ）A ．{3,4,5}B ．{4,5,6}C ．{|36}x x <≤D ．{|36}x x ≤<【答案】B{0,1,2,3,4,5,6}A =，{30}B x x x =><或，所以{4,5,6}A B = ，选B.4．（2013届北京市延庆县一模数学理）已知集合},3,1{m A =，},1{m B =，A B A = ，则=m （ ）A ．0或3B ．0或3C ．1或3D ．1或3【答案】B因为A B A = ，所以B A ⊆，即3m =或m =解得3m =，0m =或1m =，当1m =时，集合,A B 不成立。
所以3m =或0m =，选B.5．（2013届北京西城区一模理科）已知全集U=R ，集合{|02}A x x =<<，2{|10}B x x =->，那么U A B = ð（ ）A ．{|01}x x <<B ．{|01}x x <≤C ．{|12}x x <<D ．{|12}x x ≤< 【答案】B2{|10}={11}B x x x x x =->><-或，所以{|11}U B x x =-≤≤ð，所以{01}U A B x x =<≤ ð，选B.6.（2013届东城区一模理科）已知全集{1,2,3,4}U =，集合{1,2}A =，那么集合U A ð为（ ）A ．{3}B ．{3,4}C ．{1,2}D ．{2,3}【答案】B因为{1,2}A =，所以={3,4}U A ð，选B.7．（2013届房山区一模理科数学）已知全集U =R ，集合2{|1},{|4}M x x N x x =≤=>，则()M C N =R（ ）A ．(2,1]-B ．[2,1]-C ．(,1]-∞-D ．(,2)-∞-【答案】B{22}N x x x =><-或,所以(){22}C N =x x -≤≤R ，所以(){21}M C N =x x -≤≤R ，选B.8．（2013届房山区一模理科数学）设集合M 是R 的子集，如果点0x ∈R 满足：00,,0a x M x x a ∀>∃∈<-<，称0x 为集合M 的聚点.则下列集合中以1为聚点的有：{|}1n n n ∈+N ； ②*2{|}n n∈N ； ③Z ； ④{|2}x y y = （ ）A ．①④B ．②③C ．①②D ．①②④【答案】A ①中，集合{|}1nn n ∈+N 中的元素是极限为1的数列， 除了第一项0之外，其余的都至少比0大， ∴在12a <的时候，不存在满足得0＜|x|＜a 的x ， ∴0不是集合{|}1nn n ∈+N 的聚点 ②集合*2{|}n n∈N 中的元素是极限为0的数列， 对于任意的a ＞0，存在2n a >，使0＜|x|=2a n<，∴0是集合*2{|}n n ∈N 的聚点③对于某个a ＜1，比如a=0.5，此时对任意的x ∈Z ，都有|x ﹣0|=0或者|x ﹣0|≥1，也就是说不可能0＜|x ﹣0|＜0.5，从而0不是整数集Z 的聚点 ④故选A9．（2013届门头沟区一模理科）已知全集U = R ，集合A {}24x x =≤，B {}1x x =<，则集合AB 等于（ ）A ．{}2x x ≥-B ．{}12x x ≤≤ C ．{}1x x ≥D ．R【答案】A{}24{22}A x x x x =≤=-≤≤,{1}U B x x =≥ð，所以={2}U A B x x ≥- ð，选A.10．（2013届北京丰台区一模理科）已知M 是集合{}1,2,3,,21(*,2)k k N k -∈≥ 的非空子集，且当x M ∈时，有2k x M -∈.记满足条件的集合M 的个数为()f k ，则(2)f = ；()f k = 。
【解析分类汇编系列二：北京2013(一模)数学理】12.程序与框图 Word版含答案
【解析分类汇编系列二：北京2013（一模）数学理】12程序与框图
1.（2013届北京石景山区一模理科）4．执行右面的框图，输出的结果s的值为（）
A．-3 B．2 C．
1
2
-D．
1
3
【答案】A
第1次循环，S=﹣3，i=2；第2次循环，S=﹣，i=3；第3次循环，S=，i=4；
第4次循环，S=2，i=5；第5次循环，S=﹣3，i=6；
…
框图的作用是求周期为4的数列，输出S的值，不满足2014≤2013，退出循环，循环次
数是2013次，即输出的结果为﹣3，故选A．
2．（2013届北京大兴区一模理科）执行如图所示的程序框图．若5
n=，则输出s的值是（）A．-21 B．11
C．43 D．86
【答案】A
第一次循环，11(2)1,2s i =+-=-=；第二次循环，21(2)3,3s i =-+-==；
第三次循环，33(2)5,4s i =+-=-=；第四次循环，41(2)11,5s i =-+-==，第五次循环，511(2)21,6s i =+-=-=，此时不满足条件，输出21s =-，所以选A.
3.（2013届北京丰台区一模理科）执行右边的程序框图，输出k 的值是
（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
【答案】A。
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2013年石家庄市高中毕业班教学质量检测（一）高三数学（理科）一、选择题（60分）1、若集合A＝{x|x＞－2}，B＝{x|－3＜x＜3}，则A B＝A、{x|x＞－3}B、{x|－3＜x＜3}C、{x|x＞－2}D、{x|－2＜x＜3}2、若,a b R∈，i为虚数单位，且a＋2i＝i（b＋i），则a＋b＝A、－1B、1C、2D、33、双曲线3x2－y2＝12的实轴长是A 、4B、6C、D、4、采用系系统抽样方法从480人中抽取16人做问卷调查，为此将他们随机编号为1 、2、…、480，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8抽到的16人中，编号落人区间［1，160］的人做问卷A，编号落入区问［161，320］的人做问卷B，其余的人做问卷C，则被抽到的人中，做问卷B的人数为A、4B、5C、6D、75、如右图所示，程序框图输出的结果为A、15B、16C、136D、1536、在平面直角坐标系中，不等式组1040xx yx y-≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，表示的平面区域的面积是A、3B、92C、6D、97、如图所示，若向正方形ABCD内随机投入一质点，则所投的质点恰好落在CE 与y轴及抛物线y＝x2所围成的阴影区域内的概率是A、15B、16C、17D、238、函数2cos23xy x=-的图象大致是9、若7cos(2)38x π-=-，则sin()3x π+学科网的值为 A 、14 B 、78 C 、±14 D 、±7810、已知圆x 2＋y 2－2x －4y ＋a －5＝0上有且仅有两个点到直线3x －4y －15＝0的距离为1，则实数a 的取值范围为 A 、（5,7） B 、（－15,1） C 、（5,10） D 、（－∞,1） 11、如图，棱长为1的正方体ABC －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 为A 1C 1上两动点，且EF ＝12，则下列结论中错误的是A 、BD ⊥CEB 、△CEF 的面积为定值C 、直线BC 与平面CEF 所成的角为定值D 、直线BE 与CF 所成的角为定值 12、已知单位向量e 与向量a ，b 满足：｜a －e ｜＝｜a ｜，（a －b ）²（b －e ）＝0，对每一个确定的向量a ，都有与其对应的向量b 满足以上条件，设M ，m 分别为｜b ｜的最大值和最小值，令t ＝｜M －m ｜，则对任意的向量a ，实数t的取值范围是A 、［0,1］B 、［0，12］C 、［1,2+∞］ D ［1，+∞］ 二、填空题（20分） 13、在621()x x +的展开式中，常数项为＿＿＿＿＿（用数字作答）。
14、某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为＿＿＿15、若函数21(),1()2log ,1xx f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则f （x ）≥2的解集为＿＿＿16、当*n N ∈时，定义函数N （n ）表示n 的最大奇因数，如则S （n ）＝＿＿＿＿（用关于n 的代数式表示）。
三、解答题（70分）17、（本小题满分10分）已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，且372a a =，417S = （1）求数列{n a }的通项公式。
（2）求数列{n a }的前n 项和n S 的最大值。
18、（本小题满分12分）在一次抗雪救灾中，需要在A ，B 两地之间架设高压电线，为测量A ，B 两地的距离，救援人员在相距l 米的C ，D 两地（A ，B ，C ，D 在同一平面上），没得∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°（如右图）。
考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约应该是A ，B 距离的1.2倍，问救援人员至少应该准备多长的电线？19、（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面为矩形，PA ⊥底面ABCD ，且AB BC ＝1，点E ，F 分别为AB ，PC 中点。
（I ）当PA 的长度为多少时，EF ⊥PD ；（II ）在（I ）的前提下，求二面角B －PC －D 的余弦值。
20、（本小题满分12分）为参加部队射击比赛，甲、乙两人进行了4天的集中训练，每天的射击数据如下表 甲射击数据表： 乙射击数据表：将射击环数的频率视为概率，估计他们的比赛成绩。
（I ）求甲、乙两人射击环数X 1，X 2的分布列，根据射击环数的期望与方差比较两人的射击水平； （II ）若射击成绩在9环以上（含9环）为成绩优秀，求甲在3次射击中至少有2次成绩优秀的概率。
21、（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点、上顶点分别为M ，N ，过其左焦点F （－c ，0）作垂直于x 轴的直线l ，且与椭圆在第二象限交于P 点，MN OP λ=。
（1）求椭圆C 的离心率；（2）若椭圆的弦AB 过点E （5，0）且不与坐标轴垂直，设点A 关于x 轴的对称点A 1，直线A 1B 与x 轴交于点R （5,0），求椭圆C 的方程。
22、（本小题满分12分）已知函数()ln af x x x=-。
（I ）若f （x ）在x ＝1处取得极值，求实数a 的值； （II ）若f （x ）≥5－3x 恒成立，求实数a 的取值范围。
数学（理科答案）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分. 1-5ABABC 6-10DBCCB 11-12DC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 15 14. 3 15. (,1][8,)-∞-+∞ 16.4233n + 三、解答题：17.解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ． 由已知732a a =，174=S ，得11122(6)434172a d a d a d +=+⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，………………2分 解得1512a d =⎧⎪⎨=-⎪⎩，1122n n a -∴=+．……………5分 (Ⅱ)法一：2(1)11214415.224216n n n S n n -⎛⎫⎛⎫=+-=--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ……………8分 ∴当n 取１０或１１时，n S 取最大值1272．……………10分法二： 数列{}n a 的10,a >公差0d <，∴此等差数列{}n a 是首项为正数的递减数列．当11n =时，1102n na -==； 所以当111n n N *≤≤∈且时，有0;n a ≥当n 12n N *≥∈且时，有0n a <．………………8分 综上：当n 取10或11时，1110S S ==1272． 所以n S 取最大值1272．………10分 18.解：依题意，CD l =，045=∠ACD ，在ACD ∆中，0060180CAD =∠-∠-=∠ADC ACD ，根据正弦定理60sin 45sin CDAD =，∴sin 45sin 60CD AD == ， ……….4分 在BCD ∆中，00135180=∠-∠-=∠BDC BCD CBD ，030=∠BCD根据正弦定理BD =sin 30sin135CD ︒=︒ , sin 30sin135CD BD ==…………………….8分 又在ABD ∆中，090=∠+∠=∠BDC ADC ADB 根据勾股定理有AB ===l 642…………………………10分实际所需电线长度约为l AB 5422.1=………………………….12分 19.解:（Ⅰ）以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 设PA x =， 则1(0,0,),(1,0,0),(()22x P x D E C F --- ……………2分又1(,0,),(1,0,)22x EF PD x =-=--210022x EF PD ⋅=+-= ，所以1x =，当PA 的长度为1时，EF ⊥PD .………………5分（Ⅱ）法一：在Rt PBC ∆中作BN ⊥PC ，∴21,23==CN BN . CF=1∴N 为CF 中点。
取ＣＤ中点Ｍ，连结ＭＮ∴ＭＮ//ＤＦ。
又 ＤＦ⊥P Ｃ，∴ＭＮ⊥P Ｃ∴MNB ∠为二面角B －PC －Ｄ的平面角．…………9分 在MNB ∆中23,21,26===BN MN BM ， ∴cos MNB ∠=33-∴二面角B －PC －Ｄ的余弦值为33-.…………12分 法二：如图建立空间直角坐标系A-xyz ，则B （0,2,0）P （1,0,0）C （0,2,1-）D(0,0,1-) 则)1,2,0(-=PB ,)1,2,1(--=PC ,)1,0,1(--=PD 设平面PBC 的法向量1(,,)x y z =n∴10PB ⋅= n ，10PC ⋅= n∴02,02=-+-=-z y x z y ，令1=y ，则 1=n ，……………8分同理可得平面PCD 的一个法向量2(1,0,1)=-n ，………………10分则二面角B －PC －Ｄ的余弦值cos 12,n n =33-，……………12分 20.解：（Ⅰ） 由甲射击数据表可知，总共射击400次，其中射击7环的频数为40次，8环频数为80次，9环频数为120次，10环的频数为160次.故 ()14070.1400P X === ()18080.2400P X === ()112090.3400P X === ()1160100.4400P X ===所以，甲射击环数1X 的分布列为同理可计算乙射击环数2X 的分布列 (4)分()()119,1E X D X ==;()()229, 1.4E X D X ==…………………………………………………………6分甲乙两人射击环数均值相等，甲射击环数方差比乙射击环数方差小,因此甲乙射击的平均水平没有差别，但甲发挥比乙稳定. ………………8分（Ⅱ）甲在一次射击成绩优秀的概率0.30.40.7P =+= 甲在3次目标射击中至少有2次成绩优秀的概率为：2233330.70.30.7C C ⨯⨯+⨯=0.784 …………………………12分21.解：（Ⅰ）由椭圆方程22221(0)x y a b a b+=>>得M 、N 的坐标为M (,0)a ，N (0,)b ，则(,)MN a b =- ，又由22221x c x y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2(,)b P c a-1X7 8 9 10P 0.1 0.2 0.3 0.42X7 8 9 10P 0.2 0.1 0.2 0.5由(0)MN OP λλ=>得b c =……………….2分.…………….4分 （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，由1A R BR k k =得121255y y x x -=--，又AE BE k k ==，则221155x y x y --==-121220(2)c x c x x +=++．…………8分设直线:(AB y k x =，则由22222(x y c y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩得2222(810)(12)05k c k x x -+-+=．12x x +=，22122(810)5(12)k c x x k -=+．…………10分代入得220(2c c +=+．解得c = 所以椭圆方程为221105x y +=．…………12分 22．解：（Ⅰ）函数()f x 定义域为(0,)+∞，2'()x af x x +=-． '(1)0f =，即1a =-．…………2分经检验，1a =-符合题意.………………….4分 （Ⅱ）设()()35ln 35a g x f x x x x x=+-=-+-，则当0x >时，()0g x ≥恒成立． (1)20g a =-≥，所以2a ≥．…………6分223'()x x a g x x --=．方程'()0g x =有一负根1x 和一正根2x .120x x <<．其中1x 不在函数定义域内． ()g x 在2(0,)x 上是减函数，在2(,)x +∞上是增函数．即()g x 在定义域上的最小值为2()g x ．………8分 依题意2()0g x ≥．即2222()ln 350a g x x x x =-+-≥．又22230x x a --=，所以2231a x x =-，因为02>x a ，312>x 。