高三一模考试数学试题(理科)2019.03
黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟考试(3月)数学(理)试题 含解析
齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟考试数学试卷（理科）一、选择题。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】．故选B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】可解出集合B，然后进行交集的运算即可．【详解】B＝{x|x＞1}；∴A∩B＝∅．故选：A．【点睛】考查描述法、列举法的定义，交集的运算，空集的定义，属于基础题．3.若满足不等式组则的最小值为（）A. -2B. -3C. -4D. -5 【答案】D【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出z的最小值．【详解】画出x，y满足不等式组表示的平面区域，如图所示：平移目标函数z＝2x﹣3y知，A（2，3），B（1，0），C（0，1）当目标函数过点A时，z取得最小值，∴z的最小值为2×2﹣3×3＝﹣5．故选：D．【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，是基本知识的考查．4.已知双曲线的离心率为，抛物线的焦点坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a，b关系，即可得到双曲线的渐近线方程．【详解】抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），则p＝2，又e＝p，所以e2，可得c2＝4a2＝a2+b2，可得：b a，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±．故选：A．【点睛】本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用．5.随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，又有了新的用武之地.在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形.如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为3部分.第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为3、宽为1；第二部分为圆环部分，大圆半径为3，小圆半径为2；第三部分为圆环内部的白色区域.在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，则此点取自图标第三部分的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以面积为测度，根据几何概型的概率公式即可得到结论．【详解】图标第一部分的面积为8×3×1＝24，图标第二部分的面积和第三部分的面积为π×32＝9π，图标第三部分的面积为π×22＝4π，故此点取自图标第三部分的概率为，故选：B．【点睛】本题考查几何概型的计算，关键是正确计算出阴影部分的面积，属于基础题．6.设等差数列的前项和为，且，，则的公差为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据题意，设等差数列{a n}的公差为d，分析可得4a1+6d＝3（2a1+d），a1+6d＝15，解可得d的值，即可得答案．【详解】根据题意，设等差数列{a n}的公差为d，若S4＝3S2，a7＝15，则4a1+6d＝3（2a1+d），a1+6d＝15，解可得a1＝3，d＝2；故选：B．【点睛】本题考查等差数列的前n项和，关键是掌握等差数列的前n项和公式的形式，属于基础题．7.运行如图程序，则输出的的值为（）A. 0B. 1C. 2018D. 2017【答案】D【解析】依次运行程序框图给出的程序可得第一次：，不满足条件；第二次：，不满足条件；第三次：，不满足条件；第四次：，不满足条件；第五次：，不满足条件；第六次：，满足条件，退出循环。
2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(三)(解析版)
5 6
A．1 个
（2）190 是数列 an 中的项
（4）当 n 7 时， an 21 取最小值 n
B．2 个
C．3 个
D．4 个
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
2x y 0
13．[2019·深圳期末]已知不等式组
x
2
y
0
所表示的平面区域为
该多面体的表面积为（ ）
A． 28 4 5
B． 28 8 2
C．16 4 2 8 5
D．16 8 2 4 5
10．[2019·汕尾质检]已知 A ，B ，C ，D 是球 O 的球面上四个不同的点，若 AB AC DB DC BC 2 ，
且平面 DBC 平面 ABC ，则球 O 的表面积为（ ）
图1
图2
（1）证明： AF 平面 MEF ；
（2）求二面角 M AE F 的大小．
20．（12 分）[2019·临沂质检]已知抛物线 C : y2 2 px p 0 的焦点为 F ， P 为抛物线上一点，
O 为坐标原点， △OFP 的外接圆与抛物线的准线相切，且外接圆的周长为 3π ． （1）求抛物线 C 的方程； （2）设直线 l 交 C 于 A ， B 两点， M 是 AB 的中点，若 AB 12 ，求点 M 到 y 轴的距离的最小值，并求 此时 l 的方程．
B． 2 3
C． 9 4
D． 4 9
12．[2019·江西九校联考]设 x 为不超过 x 的最大整数， an 为 xx x 0,n 可能取到所有值的
个数，
Sn
是数列
2019届高三第一次模拟考试数学(理)试卷
第Ⅰ卷（选择题满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合21log 11,13xAx x B x，则AB( )A ．1,0B ．,0C ．0,1D ．1,2.下列函数中，既是偶函数，又在区间0,单调递减的函数是()A.3y x B.ln yx C.cos yx D.2xy 3.函数sin ()ln(2)xf x x 的图象可能是( )4.设0a 且1a，则“函数xa x f )(在R 上是减函数”是“函数32)(x a x g 在R 上递增”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知4213532,4,25abc，则()A. cab B.abc C.ba c D.bc a6.若实数b a,满足23,32ba ，则函数b x a x f x)(的零点所在的区间是()A ．1,2 B ．0,1 C ．10，D ．21，7.已知命题p ：“R x 0，使得012020ax x 成立”为真命题，则实数a 满足()A ．11-， B ．,11, C ．，1 D ．1,8.定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()4(x f x f ，且在区间20，上递增，则()A ．)80()11()25(f f fB ．)25()11()80(f f fC ．)11()80()25(f f f D ．)25()80()11(f f f 9.已知函数)1(x f y 是定义域为R 的偶函数，且)(x f 在，1上单调递减，则不等式)2()12(xf x f 的解集为()。
黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟考试(3月)数学(理)试卷(解析版)
2019年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.A.B.C.D.【答案】B 【解析】解：．故选：B ．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2. 设集合0，，，则A. B. C.D.【答案】A 【解析】解：；．故选：A ．可解出集合B ，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，交集的运算，空集的定义．3. 若x ，y 满足不等式组，则的最小值为A.B.C.D.【答案】D【解析】解：画出x ，y 满足不等式组表示的平面区域，如图所示；平移目标函数知，，，当目标函数过点A 时，z 取得最小值， 的最小值为．故选：D．画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出z的最小值．本题考查了简单的线性规划问题，是基本知识的考查．4.已知双曲线的离心率为e，抛物线的焦点坐标为，若，则双曲线C的渐近线方程为B. C. D.A.【答案】A【解析】解：抛物线的焦点坐标为，则，又，所以，可得，可得：，所以双曲线的渐近线方程为：．故选：A．求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a，b关系，即可得到双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，抛物线的简单性质的应用．5.随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，又有了新的用武之地在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为3部分第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为3、宽为1；第二部分为圆环部分，大圆半径为3，小圆半径为2；第三部分为圆环内部的白色区域在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，此点取自图标第三部分的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：图标第一部分的面积为，图标第二部分的面积和第三部分的面积为，图标第三部分的面积为，故此点取自图标第三部分的概率为，故选：B．以面积为测度，根据几何概型的概率公式即可得到结论．本题考查几何概型的计算，关键是正确计算出阴影部分的面积，属于基础题．6.设等差数列的前n项和为，且，，则的公差为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】解：根据题意，设等差数列的公差为d，若，，则，，解可得，；故选：B．根据题意，设等差数列的公差为d，分析可得，，解可得d的值，即可得答案．本题考查等差数列的前n项和，关键是掌握等差数列的前n项和公式的形式，属于基础题．7.运行如图程序，则输出的S的值为A. 0B. 1C. 2018D. 2017【答案】D【解析】解：模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，可得：．故选：D．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则实数a的值为A. B. C. 1 D. 2【答案】B【解析】解：f的定义域为，因为，曲线在点处的切线方程为，可得，解得，故选：B．求出函数的导数，利用切线方程通过，求解即可；本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．在长方体中，，，则直线与所成角的余弦值为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设，则0，，0，，a，，，，，，解得，，，，，0，，设直线与所成角为，则．直线与所成角的余弦值为．故选：D．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.已知函数在上是单调函数，且，则的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：函数在上是单调函数，，．又，即，则，，故选：C．利用两角和的余弦公式化简函数的解析式，利用余弦函数的单调性以及余弦函数的图象，可得，则，由此可得的取值范围．本题主要考查两角和的余弦公式，余弦函数的单调性以及余弦函数的图象，属于基础题．9.已知半圆C：，A、B分别为半圆C与x轴的左、右交点，直线m过点B且与x轴垂直，点P在直线m上，纵坐标为t，若在半圆C上存在点Q使，则t的取值范围是A. B.C. D.【答案】A【解析】解：根据题意，设PQ与x轴交于点T，则，由于BP与x轴垂直，且，则在中，，当P在x轴上方时，PT与半圆有公共点Q，PT与半圆相切时，有最大值3，此时t有最大值，当P在x轴下方时，当Q与A重合时，有最大值2，有最大值，则t取得最小值，时，P与B重合，不符合题意，则t的取值范围为；故选：A．根据题意，设PQ与x轴交于点T，分析可得在中，，分p在x轴上方、下方和x轴上三种情况讨论，分析的最值，即可得t的范围，综合可得答案．本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题．10.在边长为2的菱形ABCD中，，将菱形ABCD沿对角线AC对折，使二面角的余弦值为，则所得三棱锥的内切球的表面积为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：如下图所示，易知和都是等边三角形，取AC的中点N，则，．所以，是二面角的平面角，过点B作交DN于点O，可得平面ACD．因为在中，，所以，，则．故三棱锥为正四面体，则其内切球半径．因此，三棱锥的内切球的表面积为．故选：C．作出图形，利用菱形对角线相互垂直的性质得出，，可得出二面角的平面角为，再利用余弦定理求出BD，可知三棱锥为正四面体，根据内切球的半径为其棱长的倍得出内切球的半径R，再利用球体的表面积公式可得出答案．本题考查几何体的内切球问题，解决本题的关键在于计算几何体的棱长确定几何体的形状，考查了二面角的定义与余弦定理，考查计算能力，属于中等题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.已知，则______．【答案】【解析】解：，．故答案为：．由已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．12.在的展开式中，的系数为______用数字作答．【答案】120【解析】解：的展开式的通项是，所以在的展开式中，含的项为，所以的系数为120．故答案为：120．根据的展开式的通项公式，计算在的展开式中含的项是什么，从而求出的系数．本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，也考查了逻辑推理与计算能力，是基础题目．13.已知函数是奇函数，且时，有，，则不等式的解集为______．【答案】【解析】解：由等价为设，又由函数是定义在R上的奇函数，则有，则有，即函数为R上的奇函数，则有；又由对任意时，有，则，，，即在上为减函数，是奇函数，在上为减函数，，；，，则等价为，是减函数，，即不等式的解集为；故答案为：．根据条件构造函数，判断函数的奇偶性和单调性，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是构造函数，利用特殊值转化分析不等式，利用函数奇偶性和单调性进行转化是解决本题的关键．14.已知数列的前n项和满足，，数列的前n项和为，则满足的最小的n值为______．【答案】7【解析】解：根据题意，数列满足，当时，有，，可得：，变形可得，当时，有，解可得，则数列是以为首项，公比为的等比数列，则，数列的前n项和为，则，则有，可得：，变形可得：，若，即，分析可得：，故满足的最小的n值为7；故答案为：7．根据题意，将变形可得，两式相减变形可得，令求出的值，即可得数列是以为首项，公比为的等比数列，即可得数列的通项公式，进而可得，由错位相减法分析求出的值，若，即，验证分析可得n的最小值，即可得答案．本题考查数列的递推公式，关键是分析数列的通项公式，属于基础题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）15.已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，的面积为S，且，．Ⅰ求的值；Ⅱ若，求S的值．【答案】解：Ⅰ，，可得：，中，A为锐角，又，可得：，，又，，Ⅱ在中，，由正弦定理，可得：，．【解析】Ⅰ由已知利用三角形面积公式可得，利用同角三角函数基本关系式可求，，由三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求的值．Ⅱ利用同角三角函数基本关系式可求，利用正弦定理可得b的值，即可得解S的值．本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.如图，四棱锥中，，，，，．Ⅰ求证：平面平面ABCD；Ⅱ求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．【答案】证明：Ⅰ，，，，，，，，，，，，，平面PAD，平面ABCD，平面平面ABCD．解：Ⅱ取AD中点O，连结PO，则，且，由平面平面ABCD，知平面ABCD，以O为坐标原点，以过点O且平行于BC的直线为x轴，过点O且平行于AB的直线为y轴，直线PO为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，0，，0，，，设平面PBC的法向量y，，则，取，得，，，直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．【解析】Ⅰ推导出，，从而平面PAD，由此能证明平面平面ABCD．Ⅱ取AD中点O，连结PO，则，以O为坐标原点，以过点O且平行于BC的直线为x轴，过点O且平行于AB的直线为y轴，直线PO为z轴，建立空间直角坐标系，利用职权向量法能求出直线PA与平面PBC所成角的正弦值．本题考查面面垂直的证明，考查满足线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．17.某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：平均每天锻炼的时间单位：分钟时间将学生日均体育锻炼时间在的学生评价为“锻炼达标”．Ⅰ请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表；并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？Ⅱ在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流，求这10人中，男生、女生各有多少人？从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，记这2人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望．参考公式：，其中临界值表．所以在犯错误的概率不超过的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关分Ⅱ在“锻炼达标”的学生50中，男女生人数比为3：2，用分层抽样方法抽出10人，男生有6人，女生有4人．从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，2人中女生的人数为X，则X的可能值为0，1，2．则X可得数学期望．【解析】列出列联表，利用独立性检验计算公式及其判定定理即可得出结论．Ⅱ在“锻炼达标”的学生50中，男女生人数比为3：2，用分层抽样方法抽出10人，男生有6人，女生有4人．本题考查了独立性检验计算公式及其原理、超几何分布列的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.已知O为坐标原点，椭圆C：的左、右焦点分别为，，过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3，直线与椭圆C相切．Ⅰ求椭圆C的标准方程；Ⅱ是否存在直线l：与椭圆C相交于E，D两点，使得？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由【答案】解：Ⅰ在中，令，可得，过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3，，直线与椭圆C相切，，，．故椭圆C的方程为；Ⅱ由Ⅰ可知，则直线l的方程为，联立，可得，则，，，，，，，即，整理可得，解得，直线l存在，且k的取值范围为．【解析】Ⅰ由题意可得，以及直线与椭圆C相切，可得，解之即得a，b，从而写出椭圆C的方程；Ⅱ联立方程组，根据韦达定理和向量的运算，即可求出k的取值范围．本题考查了直线方程，椭圆的简单性质、向量的运算等基础知识与基本技能方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．19.已知函数．Ⅰ若函数在上有2个零点，求实数a的取值范围注Ⅱ设，若函数恰有两个不同的极值点，证明：．【答案】解：Ⅰ由，得，令，，，故在递减，在递增，又，，，故，故；Ⅱ，故，，是函数的两个不同的极值点不妨设，易知若，则函数没有或只有1个极值点，与已知矛盾，且，，故，，两式相减得，于是要证明，即证明，两边同除以，即证，即证，令，即证不等式，当时恒成立，设，则，设，则，当时，，递减，故，即，故，故在时递减，在处取最小值，故得证，故．【解析】Ⅰ问题转化为，令，，根据函数的单调性求出a的范围即可；Ⅱ求出，问题转化为证，令，即证不等式，当时恒成立，设，则，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，换元思想，是一道综合题．20.已知曲线的参数方程为为参数，P是曲线上的任一点，过P作y轴的垂线，垂足为Q，线段PQ的中点的轨迹为．Ⅰ求曲线的直角坐标方程；Ⅱ以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l：交曲线于M，N两点，求．【答案】解：Ⅰ利用消去可得，设PQ的中点坐标为，则P点坐标为，则PQ中点的轨迹方程为．Ⅱ直线的直角坐标方程为，联立与得，．【解析】Ⅰ利用消去可得圆的普通方程，设PQ的中点坐标为，则P点坐标为，将P的坐标代入的方程即可得；Ⅱ先把l的极坐标方程化为直角坐标方程，再代入的直角坐标方程可得M，N的横坐标，再根据弦长公式可得弦长．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．21.已知函数．Ⅰ解不等式；Ⅱ对及，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：Ⅰ当时，由，解得；当时，不成立；当时，由，解得．所以不等式的解集为．Ⅱ，，，对于，恒成立等价于：对，，即，．【解析】Ⅰ根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可．Ⅱ利用1的代换，结合基本不等式先求出的最小值是9，然后利用绝对值不等式的性质进行转化求解即可．本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，利用1的代换结合基本不等式，将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键．。
2019石家庄高三一模理科数学试题及答案
2019届石家庄高三一模数学试题（理科）石家庄2019届高中毕业班模拟考试（一）理科数学答案一、选择题1-5 CDBCA 6-10ACCAD 11-12DB 二、填空题13. 1 14. ()122y x =- 或()122y x =--15.16. 10三、解答题17. 解: （1） ∵△ABC 三内角A 、B 、C 依次成等差数列，∴B=60°设A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,由S =1sin 2ac B 可得12ac =.……2分△ABC 中，由余弦定理可得2222cos 28b a c ac B =+-=，∴b=.即AC 的长为 ……6分（2）∵BD 是AC 边上的中线，∴1()2BD BC BA =+u u u ru u ur u u u r ……8分 ∴2221(2)4BD BC BA BC BA =++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =221(2cos )4a c ac B ++=221()4a c ac ++1(2)94ac ac ≥+=，当且仅当a c =时取“=” ……10分 ∴3BD ≥u u u r,即BD 长的最小值为3. ……12分18. 解：（1）证明：在PBC ∆中，60oPBC ∠=，2BC =，4PB =，由余弦定理可得PC =222PC BC PB +=Q ，PC BC ∴⊥，…………2分,PC AB AB BC B ⊥⋂=Q 又，PC ABC ∴⊥平面，PC PAC ⊂Q 平面，PAC ABC ∴⊥平面平面.…………4分（2）法1：在平面ABC 中，过点C 作CM CA ⊥，以,,CA CM CP 所在的直线分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系C xyz -如图所示：(0,0,0),(0,0,(2,0,0),C P AB F ，…………6分设平面PBC 的一个法向量为111(,,)x y z =m则11100CB x CP ⎧•==⎪⎨•==⎪⎩u u u r u u u r m m解得1x =11y =-，10z =即1,0)=-m …………8分设平面BCF 的一个法向量为222(,,)x y z =n则222200CB x CF x ⎧•=+=⎪⎨•=+=⎪⎩u u u r u u u r n n解得2x =，21y =-，21z =-即1,1)=--n …………10分cos 5,<>===g m n m n m n由图可知二面角P BC F --为锐角，所以二面角PBC F --12分 法2：由（1）可知平面PBC ⊥平面ABC ，所以二面角P BC F --的余弦值就是二面角A BC F --的正弦值，…………6分 作FM AC ⊥于点M ，则FM ⊥平面ABC ， 作MN BC ⊥于点N ，连接FN ，则FN BC ⊥∴FNM ∠为二面角A BC F --的平面角；…………8分Q 点F 为PA 中点，∴点M 为AC 中点，在Rt FMN ∆中，12FM PC==QMN = 2FN ∴=…………10分 sin FM FNM FN ∴∠==,所以二面角PBC F --的余弦值为5。
2019届全国1卷高三理科数学高考模拟试题三(精校版,word版)
2019届全国1卷高考模拟试题三数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．实数集R ，设集合}4{},34{22<=-+-==x x Q x x y x P ，则=⋃)(Q C P RA ．[2，3]B ．(1，3)C ．(2，3]D ．),1[]2,(+∞⋃--∞2．设yi x i x R y x 24)(,,+=+∈，则=++iyix 14A ．10B ．5C ．2D ．23．己知命题p ：若ABC ∆为锐角三角形，则B A cos sin <；命题R y x q ∈∀,:，若5≠+y x ，则1-≠x 或6≠y ．则下列命题为真命题的是 A ．)(q p ⌝∨ B ．q p ∧⌝)(C ．q p ∧D ．)()(q p ⌝∧⌝4．若函数)1,0(3log )(≠>-=-a a x x f xa 的两个零点是n m ,，则 A ．1=mnB ．1>mnC ．1<mnD ．无法判断5．执行如下的程序框图，最后输出结果为k=10，那么判断框应该填入的判断可以是A ．?55>sB ．?55≥sC ．?45>sD ．?45≥s6.已知)0,3(π-∈a ，534sin )6cos(=-+a a π，则)12sin(π+a 的值是 A. 532-B. 102-C.532D.54-7．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≥+-0204202y x y x y x 目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为2，则b a 31+的最小值为 A ．22B ．25C ．27D ．308．已知6)(x xa-展开式的常数项为15，=-+⎰-dx x x a a )1(2A ．πB ．π+2C ．2πD 22π+9．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是 A ．338cm B ．334cm C ．332cm D ．331cm 10. 已知三棱锥ABC P -的四个顶点都在球O 的球面上，⊥PA 平面ABC ，ABC ∆是边长为2的等边三角形，若球O 的体积为π328，则直线PC 与平面PAB 所成角的正切值为 A.11113 B. 11112 C. 10103 D.101011．已知过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点)0,5(F 向两条渐近线引垂线交于P 、Q ，O 为原点，若四边形OPFQ 的面积为12，则双曲线的离心率是 A.35B ．45 C ．34或45 D ．35或45 12. 已知)('x f 是函数)(x f 的导函数，且对任意的实数x 都有)()32()('x f x e x f x ++=（e 是自然对数的底数），1)0(=f ，若不等式0)(<-k x f 的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是 A.)0,1[2e - B.]0,1[2e - C.]0,1(2e - D.)0,1(2e -二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．己知向量),2,1(),3,4(b λ-=-==⊥+=,，则实数=λ________． 14．在四边形ABCD 中，若,,2,1CD AC BC AB ====，则BD 的最大值为__________．15．己知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤++>=0,140,ln )(2x x x x x x f ，若关于x 的方程),(0)()(2R c b c x bf x f ∈=+-有8个不等的实数根，则c b +的取值范围是_________．16.已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为)0,1(F ，直线m x y l +=:与抛物线交于不同的两点B A ,.若10<≤m ，则FAB ∆的面积的最大值是_____________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)己知c b a ,,分别为ABC ∆三内角A ，B ，C 的对边，其面积2222,60,3b c a B S =+==︒．在等差数列}{n a 中，a a =1，公差b d =．数列}{n b 的前n 项和为n T ，且*∈=+-N n b T n n ,012．(1)求数列}{n a ,}{n b 的通项公式；(2)若n n n b a c =，求数列}{n c 的前n 项和为n S ． 18．(本小题满分12分)国际奥委会将于2017年9月15日在秘鲁利马召开130次会议决定2024年第33届奥运会举办地。
2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(一)(解析版)(2021年整理精品文档)
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2019届全国高考高三模拟考试卷数学（理)试题（一）（解析版）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·深圳期末］已知集合(){}22log 815A x y x x ==-+,{}1B x a x a =<<+，若A B =∅，则a 的取值范围是（ ） A ．(],3-∞B ．(],4-∞C ．()3,4D ．[]3,42．[2019·广安期末］已知i 为虚数单位，a ∈R ，若复数()1i z a a =+-的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第三象限,且5z z ⋅=，则z =（ ）A ．12i -+B ．12i --C ．2i -D ．23i -+3．［2019·潍坊期末]我国古代著名的周髀算经中提到:凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷()gu ǐ长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸意思是:一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为1996分;且“冬至”时日影长度最大，为1350分;“夏至”时日影长度最小，为160分则“立春”时日影长度为（ ）A ．19533分B ．110522分C ．211513分D ．512506分4．[2019·恩施质检］在区间[]2,7-上随机选取一个实数x ，则事件“2log 10x -≥”发生的概率是（ ） A ．13B ．59C ．79D ．895．[2019·华阴期末]若双曲线()2210mx y m -=>的一条渐近线与直线2y x =-垂直，则此双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．52C ．3D ．56．[2019·赣州期末]如图所示，某空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形,俯视图是四分之三圆，则该几何体的体积为（ ）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．3π27．[2019·合肥质检]函数()2sin f x x x x =+的图象大致为（ )A ．B ．C ．D ．8．[2019·江西联考]已知0.21.1a =，0.2log 1.1b =， 1.10.2c =，则( ) A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b >>9．[2019·汕尾质检］如图所示的程序框图设计的是求9998210099321a a a a ++⋯+++的一种算法，在空白的“"中应填的执行语句是（ )A ．100i n =+B ．99i n =-C ．100i n =-D ．99i n =+10．［2019·鹰潭质检]如图所示，过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l ，交抛物线于点A ，B ．交其准线l 于点C ,若2BC BF =，且21AF =+，则此抛物线的方程为( )A ．22y x =B ．22y x =C ．23y x =D ．23y x =11．［2019·陕西联考］将函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π3个单位,在向上平移一个单位，得到()g x 的图象若()()124g x g x =，且1x ，[]22π,2πx ∈-，则122x x -的最大值为（ ）A．9π2B ．7π2C ．5π2D ．3π212．［2019·中山期末］如图正方体1111ABCD A B C D -，棱长为1，P 为BC 中点，Q 为线段1CC 上的动点，过A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ,则下列命题正确的是（ ）①当102CQ <<时,S 为四边形； ②当12CQ =时，S 为等腰梯形； ③当34CQ =时,S 与11C D 交点R 满足1113C R =； ④当314CQ <<时，S 为六边形； ⑤当1CQ =时，S 的面积为6．A ．①③④B ．②④⑤C ．①②④D ．①②③⑤二、填空题：本大题共4小题,每小题5分，共20分．13．[2019·西安一模]已知向量a 与b 的夹角为60︒，3=a ，13+=a b ，则=b _____． 14．［2019·吴忠中学］()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为__________．15．[2019·广安一诊］某车间租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品8件和B 类产品15件，乙种设备每天能生产A 类产品10件和B 类产品25件,已知设备甲每天的租赁费300元，设备乙每天的租赁费400元，现车间至少要生产A 类产品100件，B 类产品200件，所需租赁费最少为_________元 16．[2019·湖师附中]已知数列{}n a 满足：11a =,()*12nn n a a n a +=∈+N ，()1121n n b n a λ+⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭()*n ∈N ,1b λ=-，且数列{}nb 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是___________．三、解答题：本大题共6大题,共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分)[2019·濮阳期末］已知ABC△的内角A，B,C所对的边分别为a，b，c，且()+=．c A a C1cos3sin（1)求角A的大小；（2)若7a=，1△的面积．b=，求ABC18．（12分)[2019·揭阳一模］如图，在四边形ABED中,AB DE∥，AB BE⊥，点C在AB上,且AC BC CD△沿CD折起，使点A到达点P的位置，且PE与平面PBC ===，现将ACD⊥，2AB CD所成的角为45︒．（1)求证:平面PBC⊥平面DEBC；(2)求二面角D PE B--的余弦值．19．（12分）［2019·合肥质检]某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次,超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元,在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元．某医院准备一次性购买2台这种机器．为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率．记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（1）求X的分布列；（2）以方案一与方案二所需费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？20．（12分）[2019·鹰潭期末］已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，1F ，2F 为椭圆C 的左右焦点，离心率为2，短轴长为2．(1）求椭圆C 的方程；（2）如图,椭圆C 的内接平行四边形ABCD 的一组对边分别过椭圆的焦点1F ，2F ，求该平行四边形ABCD 面积的最大值．21．(12分）［2019·菏泽期末]已知函数()ln 1a f x x x=+-，a ∈R ．（1）当0a >时,若函数()f x 在区间[]1,3上的最小值为13，求a 的值；（2）讨论函数()()3x g x f x '-＝零点的个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分． 22．（10分)【选修4—4:坐标系与参数方程】[2019·哈三中]已知曲线1:C x 2:x C y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（ϕ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系,且两种坐标系中取相同的长度单位． （1）把曲线1C 和2C 的方程化为极坐标方程;（2)设C与x，y轴交于M，N两点,且线段MN的中点为P．若射线OP与1C，2C交于P,Q两1点，求P，Q两点间的距离．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】［2019·江南十校]设函数()()=-++-．lg2121f x x x a（1）当4f x的定义域；a=时,求函数()（2）若函数()f x的定义域为R，求a的取值范围．2019届高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（一）答 案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】由题意,集合(){}{}{}222log 815815035A x y x x x x x x x x ==-+=-+>=<>或，{}1B x a x a =<<+；若A B =∅，则3a ≤且15a +≤，解得34a ≤≤,∴实数a 的取值范围为[]3,4．故选D ． 2．【答案】A 【解析】由5z z⋅=可得()2215a a +-=，解得1a =-或2a =，∴12i z =-+或2i z =-，∵z 在复平面内对应的点位于第三象限，∴12i z =-+．故选A ． 3．【答案】B【解析】一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为1996分, 且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至"时日影长度最小，为160分． ∴135012160d +=，解得119012d =-， ∴“立春”时日影长度为：11901135031052122⎛⎫+-⨯= ⎪⎝⎭（分)．故选B ．4．【答案】B【解析】区间[]2,7-的长度为()729--=;由2log 10x -≥，解得2x ≥，即[]2,7x ∈， 区间长度为725-=，事件“2log 10x -≥”发生的概率是59P =．故选B ． 5．【答案】B【解析】设双曲线()2210mx y m -=>为2221x y a-=，它的一条渐近线方程为1y x a =，直线2y x =-的斜率为2-，∵直线1y x a =与2y x =-垂直,∴()121a⨯-=-，即2a =，∴2c e a ==．故选B ．6．【答案】D【解析】由三视图可知,该几何体是底面半径为1、高为2的圆柱的34， ∴该几何体的体积为233ππ1242⨯⨯⨯=．故选D ． 7．【答案】A【解析】∵()()()22sin sin f x x x x x x x f x -=--=+=,∴()f x 为偶函数，选项B 错误,()()2sin sin f x x x x x x x =+=+，令()sin g x x x =+,则()1cos 0g x x ='+≥恒成立， ∴()g x 是单调递增函数，则当0x >时,()()00g x g >=， 故0x >时，()()f x xg x =，()()()0f x g x xg x =+'>'， 即()f x 在()0,+∞上单调递增，故选A ． 8．【答案】C【解析】0.201.1 1.11a =>=，0.20.2log 1.1log 10b =<=， 1.1000.20.21c <=<=，故a c b >>．故选C ． 9．【答案】C【解析】由题意,n 的值为多项式的系数，由100,99⋯直到1， 由程序框图可知，输出框中“”处应该填入100i n =-．故选C ．10．【答案】A【解析】如图,过A 作AD 垂直于抛物线的准线,垂足为D ，过B 作BE 垂直于抛物线的准线,垂足为E ，P 为准线与x 轴的交点，由抛物线的定义,BF BE =，21AF AD =,∵2BC BF =，∴2BC BE =，∴45DCA ∠=︒， ∴222AC AD ==+,22211CF =+--=， ∴222CF PF ==，即22p PF ==，∴抛物线的方程为22y x =,故选A ．11．【答案】D【解析】将函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π3个单位，再向上平移一个单位，得到()2ππsin 21cos 2136g x x x ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭的图象，故()g x 的最大值为2,最小值为0，若()()124g x g x =，则()()122g x g x ==,或()()122g x g x ==-（舍去)． 故有()()122g x g x ==,即12cos2cos21x x ==-，又1x ，[]22π,2πx ∈-,则12πx =，22πx =-，则122x x -取得最大值为π3ππ22+=．故选D ． 12．【答案】D【解析】当102CQ <<时,如图，是四边形,故①正确；当12CQ =时，如图，S 为等腰梯形,②正确;当34CQ =时,如图,由三角形CQP 与三角形1A AH 相似可得123A H =，113D H =,由三角形ABP 与三角形1RD H 相似可得，123D R =,113C R =,③正确；当314CQ <<时，如图是五边形，④不正确;当1CQ =时，如图S 是菱形,面积为362⋅=,⑤正确，正确的命题为①②③⑤，故选D ．二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】1【解析】根据题意，设t =b ，()0t >，向量a 与b 的夹角为60︒，3=a ，则32t⋅=a b ，又由13+=a b ，则()222229313t t +=+⋅+=++=a b a a b b ， 变形可得：2340t t +-=，解可得4t =-或1, 又由0t >，则1t =；故答案为1． 14．【答案】40【解析】()52x y -展开式的通项公式为()()()555155C 221C r r r r r r r r r T x y x y ---+=⋅=--．令52r -=,得3r =；令53r -=，得2r =;∴()()52x y x y +-的展开式中33x y 系数为()()3223325521C 2140C ⨯-⨯+⨯-=⨯． 故答案为40． 15．【答案】3800【解析】设甲种设备需要生产x 天,乙种设备需要生产y 天， 该公司所需租赁费为z 元，则300400z x y =+，甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品的情况为45503540,x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪∈∈⎩N N ，做出不等式表示的平面区域,由45503540x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得()10,2，当300400z x y =+经过的交点()10,2时，目标函数300400z x y =+取得最低为3800元． 故答案为3800．16．【答案】2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】由题意，数列{}n a 满足12n n n a a a +=+ ,取倒数可得1121n na a +=+， 即111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,∴数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭表示首项为2，公比为2的等比数列， ∴112n na +=，∴()()112122n n nb n n a λλ+⎛⎫=-+=-⋅ ⎪⎝⎭， ∵数列{}n b 是单调递增数列，∴当2n ≥时，1n n b b +>, 即()()122122n n n n λλ--⋅>--⋅，21n λ>-，221λ>-，32λ<； 当1n =时，21b b >,()122λλ-⋅>-，23λ<， 综上,23λ<．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）π3A =；（2）S =．【解析】（1)∵()1cos sin c A C +=,由正弦定理可得()sin 1cos sin C A A C +cos 1A A -=,∴π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，A 是ABC △的内角，∴ππ66A -=，∴π3A =．(2）∵a =1b =．由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 即217c c +-=，可得260c c --=，又0c >，∴3c =，∴ABC △的面积11sin 1322S bc A ==⨯⨯= 18．【答案】（1)见解析；（2)．【解析】（1)证明：∵AB CD ⊥,AB BE ⊥,∴CD EB ∥，∵AC CD ⊥，∴PC CD ⊥，∴EB PC ⊥，且PC BC C =，∴EB ⊥平面PBC , 又∵EB ⊂平面DEBC ，∴平面PBC ⊥平面DEBC ． （2）由（1）知EB ⊥平面PBC ,∴EB PB ⊥，由PE 与平面PBC 所成的角为45︒得45EPB ∠=︒，∴PBE △为等腰直角三角形，∴PB EB =，∵AB DE ∥，结合CD EB ∥得2BE CD ==，∴2PB =,故PBC △为等边三角形， 取BC 的中点O ，连结PO , ∵PO BC ⊥，∴PO ⊥平面EBCD ，以O 为坐标原点，过点O 与BE 平行的直线为x 轴，CB 所在的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系如图，则()0,1,0B ，()2,1,0E ，()2,1,0D -，(3P ， 从而()0,2,0DE =，()2,0,0BE =，(2,1,3PE =,设平面PDE 的一个法向量为(),,x y z =m ，平面PEB 的一个法向量为(),,a b c =n ，则由00DE PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 得20230y x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令2z =-得()3,0,2=-m ，由00BE PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得20230a abc =⎧⎪⎨+-=⎪⎩，令1c =得()3,1=n ，设二面角D PE B --的大小为θ，则7cos 72θ⋅===⋅⨯m n m n ， 即二面角D PE B --的余弦值为7．19．【答案】（1）见解析;（2）选择延保方案二较合算． 【解析】（1）X 所有可能的取值为0,1，2，3，4，5，6，()11101010100P X ==⨯=,()1111210525P X ==⨯⨯=，()11213225551025P X ==⨯+⨯⨯=， ()13121132210105550P X ==⨯⨯+⨯⨯=，()22317425510525P X ==⨯+⨯⨯=, ()2365251025P X ==⨯⨯=，()33961010100P X ==⨯=， ∴X 的分布列为（2）选择延保一，所需费用1Y 元的分布列为：117117697000900011000130001500010720100502525100EY =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）． 选择延保二，所需费用2Y 元的分布列为:267691000011000120001042010025100EY =⨯+⨯+⨯=（元）． ∵12EY EY >,∴该医院选择延保方案二较合算．20．【答案】（1)2212x y +=；（2)【解析】(1）依题意得22b =,c e a ==,解得a =1b c ==，∴椭圆C 的方程为2212x y +=．（2)当AD 所在直线与x 轴垂直时，则AD 所在直线方程为1x =,联立2212x y +=，解得y =，此时平行四边形ABCD 的面积S =当AD 所在的直线斜率存在时,设直线方程为()1y k x =-,联立2212x y +=,得()2222124220k x k x k +-+-=，设()11,A x y ，()22,D x y ,则2122412k x x k +=+,21222212k x x k -=+，则)22112k AD k +=+，两条平行线间的距离d =则平行四边形ABCD的面积)22112k S k +==+令212t k =+，1t >，则S =()10,1t ∈，开口向下，关于1t单调递减,则(S 0,=，综上所述,平行四边形ABCD 的面积的最大值为 21．【答案】（1）13e a =；（2)见解析． 【解析】（1）()()2210a x af x x xx x-=-=>'， 当01a <≤时,()0f x '>在()1,3上恒成立，这时()f x 在[]1,3上为增函数,∴()()min 11f x f a =-=，令113a -=得413a =>（舍去),当13a <<时,由()0f x '=得，()1,3x a =∈，若()1,x a ∈，有()0f x '<，()f x 在[]1,a 上为减函数， 若(),3x a ∈有()0f x '>,()f x 在[],3a 上为增函数，()()minln f x f a a '==,令1ln 3a =，得13e a =．当3a ≥时,()0f x '<在()1,3上恒成立，这时()f x 在[]1,3上为减函数, ∴()()min 3ln313a f x f ==+-'，令1ln3133a +-=得43ln 32a =-<（舍去)． 综上知,13e a =．（2）∵函数()()()21033x a xg x f x x xx -=--'=>， 令()0g x =，得()3103a x x x =-+>．设()()3103x x x x ϕ=-+>，()()()2111x x x x ϕ'=-+=--+， 当()0,1x ∈时，()0x ϕ'>,此时()x ϕ在()0,1上单调递增， 当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ'<，此时()x ϕ在()1,+∞上单调递减,∴1x =是()x ϕ的唯一极值点，且是极大值点，因此1x =也是()x ϕ的最大值点，()x ϕ的最大值为()121133ϕ=-+=．又()00ϕ=,结合()x ϕ的图象可知： ①当23a >时,函数()g x 无零点；②当23a =时，函数()g x 有且仅有一个零点； ③当203a <<时，函数()g x 有两个零点； ④当0a ≤时，函数()g x 有且只有一个零点；综上所述，当23a >时，函数()g x 无零点；当23a =或0a ≤时，函数()g x 有且仅有一个零点； 当203a <<时，函数()g x 有两个零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1)1π:sin 6C ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2226:12sin C ρθ=+;（2）1．【解析】(1）∵2C 的参数方程为x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（ϕ为参数),∴其普通方程为22162x y +=,又1:C x∴可得极坐标方程分别为1π:sin 6C ρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭,2226:12sin C ρθ=+．（2)∵)M ,()0,1N ，∴12P ⎫⎪⎪⎝⎭,∴OP 的极坐标方程为π6θ=，把π6θ=代入πsin 6ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得11ρ=，π1,6P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，把π6θ=代入22612sin ρθ=+得22ρ=,π2,6Q ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴211PQ ρρ=-=，即P ,Q 两点间的距离为1．23．【答案】（1）53,,44⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;（2）3a <．【解析】（1）当4a =时,()f x 定义域基本要求为21214x x -++>， 当1x ≤-时，5122244x x x --->⇒<-；2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(一)(解析版)(可编辑修改word 版)当112x -<<时，12224x x -++>，无解; 当12x ≥时，3212244x x x -++>⇒>，综上：()f x 的定义域为53,,44⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）由题意得2121x x a -++>恒成立()min 2121a x x ⇒<-++，()()()min 2121212221223x x x x x x -++=-++≥--+=，∴3a <．。
2019北京怀柔高三数学一模理科试卷
2019北京怀柔高三数学一模理科试卷怀柔区2019学年度第二学期高三期中练习数学（理科）2019.3本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目等涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合}2{>-1Q，则=QP，}0=xx{≤1x<-=xPA．}11x C．}2<x|{≤-x<x{≤|1{<<x B．}2-x1|D．}1x|x>{-2．若向量a=（1，—1），b=（—1，1），c=（5，1），则c+a+b=A ．aB ． bC ．cD ．a+b3．抛物线24y x =-的准线方程是A ．116x = B ．1x = C ．1y = D ．116y =4．已知1=a ，复数),()2()1(2R b a i a a z ∈-+-=，则“1=a ”是“z 为纯虚数”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件5．如图，是CCTV 青年歌手大奖赛上某位选手得分的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方 差为A ．647 B ．9 C ．738 D ．780 6．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，主视图是边长为2的正方形，该三棱柱的左视图面积为第Ⅱ卷（非选择题共110分）注意事项：用黑色签字笔将答案写在答题卡上规定的区域内．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．函数sin cos y x x =的最小正周期为 . 10．经过极点，圆心在极轴上，且半径为1的圆的极坐标方程为 _.11．如图，是计算111124620++++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 . 12．若函数2)(3++-=cx xx f )(R c ∈，则/3()2f -、/(1)f-、/(0)f的大小关系是_. 13．如图，圆O 和圆O '相交于A ，B 两点，AC 是圆O '的切线，AD 是圆O 的切线，若BC ＝2，AB ＝4，则=BD _. 14．已知函数⎩⎨⎧>-≤++-=0,20,)(2x x c bx x x f ，若1)1(=-f ，2)0(-=f ，则函数x x f x g +=)()(的零点个数为 ____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共12分）..C O BD A已知函数)2sin()42cos(21)(x x x f --+=ππ．（Ⅰ）求函数)(x f 的定义域；（Ⅱ）求)(x f 在区间[,)42ππ-上的最大值与最小值．16．（本小题满分14分）如图，已知四棱锥S —ABCD 的底面ABCD 是矩形，M 、N 分别是CD 、SC 的中点，SA ⊥底面ABCD ， SA =AD =1，AB =2．（I ）求证：MN ⊥平面ABN ；（II）求二面角A—BN—C的余弦值．17．（本小题满分13分）已知函数()32331f x axx a=-+-(R a ∈,且0)a ≠，求)(x f '及函数)(x f 的极大值与极小值．18．（本小题满分13分）甲、乙两人同时参加奥运志愿者选拔赛的考试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才能入选．（I）求甲答对试题数 的分布列及数学期望；（II）求甲、乙两人至少有一人入选的概率．19．（本小题满分14分）已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率e ，一2个焦点的坐标为()3,0．（I ）求椭圆C 方程； （II ）设直线1:2l y x m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点T ．当m 变化时，求TAB ∆面积的最大值．20．（本小题满分14分）当np p p ,,,21均为正数时，称np pp n+++ 21为np p p ,,,21的“均倒数”．已知数列{}na 的各项均为正数，且其前n 项的“均倒数”为121+n ．（Ⅰ）试求数列{}na 的通项公式；（Ⅱ）设12+=n a cn n，试判断并说明()*1n ncc n N +-∈的符号；（Ⅲ）已知(0)n a nb t t =>，记数列{}nb 的前n 项和为nS ，试求1n nS S +的值；（Ⅳ）设函数124)(2+-+-=n a x xx f n，是否存在最大的实数λ，使当λ≤x 时，对于一切正整数n ，都有0)(≤x f 恒成立？怀柔区2019学年度第二学期高三数学期中练习参考答案及评分标准(理科)2010.3 一、选择题：本大题共8 小题，每小题 5 分，共40 分.二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9. π 10.2cos ρθ=11.20n ≤12. /(0)f ＞/(1)f -＞/3()2f - 13. 814. 3三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.15. （本小题共12分） 解：（Ⅰ）由题意 0)2sin(≠-x π ⇒ Zk k x ∈≠-,2ππ⇒Zk k x ∈+≠,2ππ故所求定义域为{Z k k x x ∈+≠,2|ππ} …………4分 （Ⅱ）x x x x x x f cos 2sin 2cos 1)2sin()42cos(21)(++=--+=ππxxx x cos cos sin 2cos 22+=x x sin 2cos 2+=)4sin(22π+=x …………9分3,04244x x ππππ-≤<∴≤+<，…………10分∴当04x π+=即4x π=-时，min()0f x =；当42x ππ+=即4x π=时，max ()f x = ……12分16．（本小题满分14分）解：（I ）以A 点为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AD为z 轴的空间直角坐标系，如图所示. 则依题意可知相关各点的坐标分别是：A （0，0，0），B （2，0，0），C （2，1，0），D （0，1，0），S （0，0，1）(图略)).21,21,22(),0,1,22(N M ∴ ……………………2分).21,21,22(),0,0,2(),21,21,0(==-=∴…………………………4分.,.0,0⊥⊥∴==⋅==⋅∴ ∴MN⊥平面ABN .……………………………………………………………………7分（II ）设平面NBC 的法向量.,),,,(c b a ⊥⊥=则且又易知)1,1,2(),0,1,0(-==⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧=-+=⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴.2,0.02,0,0,0a c b c b a b 即令a =1，则).2,0,1(=……………………………………………………11分 显然，)21,21,0(-=就是平面ABN 的法向量..33||||,cos ==⋅>=<∴ MN n由图形知，二面角A —BN —C 是钝角二面角…………………………………12分.33---∴的余弦值是二面角C BN A ……………………………………14分17．（本小题满分13分） 解：由题设知)2(363)(,02ax ax x ax x f a -=-='∴≠ (2)分令2()00f x x x a'===得 或 ……………………………4分当0a >时，随x 的变化，()/fx 与()f x 的变化如下：∴()()301f x f a==-极大，()22431f x f a a a ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭极小……………8分当0a <时，随x 的变化，()'f x 与()f x 的变化如下：∴()()301f x f a==-极大，()22431f x f a a a ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭极小…………………12分综上，当0a >时，()31f x a=-极大，()2431f x a a=--+极小；当a <时，()31f x a=-极大，()2431f x a a=--+极小.……………13分18．（本小题满分13分）解：（I ）依题意，甲答对试题数ξ的可能取值为0,1,2,3，…………………1分 则,301)0(31034===C C P ξ12643103(1),10C C P C ξ⋅=== ,21)2(3101426=⋅==C C C P ξ.61)3(31036===C C P ξ ………………………………………………… 5分ξ∴的分布列为…………………… 6分甲答对试题数ξ的数学期望为.5961321210313010=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ………………………………7分（II ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则2()(2)(3),3P A P P ξξ==+==.15141205656)(310381228=+=+=C C C C B P (9)分因为事件A 、B 相互独立， ∴ 甲、乙两人考试均不合格的概率为 .451]15141][321[)()()(=--=⋅=⋅B P A P B A P ………………………11分∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.45444511)(1=-=⋅-=B A P P 答：甲、乙两人于少有一人考试合格的概率为.4544 …………………13分另解：甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为.454415143215143115123)()()(=⨯+⨯+⨯=⋅+⋅+⋅=B A P B A P B A P P答：甲、乙两人于少有一人考试合格的概率为.4544 19．（本小题满分14分）解法一：（I ）依题意，设椭圆C 的方程为22221x y a b +=)0(>>b a3,2c c e a ===,2=∴a …… …………3分,1222=-=c a b ………………4分∴椭圆C的方程是2214x y += ………………5分（II ）221412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩由2222214()4,222020,840,7x x m x mx m m m ++=++-=∆>-><<得即令得分设()()1122,,,A x y B x y ，AB 中点为()0,M x y……()21212012002,22 111,,2221,2x x m x x m AB x x x m y x m m M m m +=-=-====+=-=+=⎛⎫∴- ⎪⎝⎭则(),0,1012,1233,,044MT AB T t mMT AB k k t m t m T m -⊥∴⋅=⋅=-+⎛⎫=-∴- ⎪⎝⎭设解得 (11)分||45)2(521||||21.||4541161||222m m MT AB S m m m MT TAB ⋅-⋅=⋅=∴=+=∴∆.1)1(8522+--=m ………………13分22<<-m ， ∴当21m =，即1m =±时，TABS ∆取得最大值为.85 ………………14分 解法二：（I ）同解法一（II ）221412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩由2222214()4,222020,840,7x x m x mx m m m ++=++-=∆>-><<得即令得分设()()1122,,,A x y B x y ，AB 中点为()0,M x y212122,22x x m x x m ∴+=-=-… ……………8分()01200111,,2221,2x x x m y x m m M m m =+=-=+=⎛⎫∴- ⎪⎝⎭………………10分MT AB ⊥MT∴的方程为322y x m =-- 令0y =，得34x m =-，3,04T m ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭………………9分设AB 交x 轴与点R,则()2,0R m -.||45||m TR =∴ ………………11分2122121214)(||41||||41||||21x x x x TR x x TR y y TR S TAB -+⋅=-⋅=-⋅=∴∆)2(8522m m -=,852)2(8522=-+⋅≤m m (13)分∴当21m=，即1m =±时，TABS ∆取得最大值为.85 (14)分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）121(21)n n a a a a n n -++⋅⋅⋅++=+,121(1)(21)n a a a n n -++⋅⋅⋅+=--，两式相减，得41(2)na n n =-≥ . 又111211a =⨯+，解得 13411a ==⨯- , ∴41()na n n N +=-∈ . ………4分（Ⅱ）∵4132212121nna n c n n n -===-+++, 11322323n n a c n n ++==-++ , ∴1332123n n c c n n +-=-++＞0， 即1n nc+＞c . ………7分（Ⅲ）∵41()na n nb t t t -==＞0,∴374112n nnS b b b t t t -=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+，当1t =时,nS n = ,11n nS n S n++=; ………8分 当t ＞0且1t ≠时,344(1)1n n t t S t -=-，441411n n nn S t S t ++-=-. ………10分综上得，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠>--=+=++1,0,111,14441t t t t t n n S S nn nn………11分（Ⅳ）由（Ⅱ）知数列 {}nc 是单调递增数列,11c =是其的最小项，即11n c c ≥=．假设存在最大实数,使当x λ≤时,对于一切正整数n ,都有2()4021naf x x x n =-+-≤+ 恒成立，则2421nna x x c n -+≤=+ ()n N +∈．只需2141xx c -+≤=，即2410x x -+≥．解之得2x ≥+ 或2x ≤-．于是,可取2λ=-14分。
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U A )B =0 0 0 n参照秘密级管理★启用前淄博市 2018-2019 学年度高三模拟考试试题理 科 数 学本试卷，分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
共 4 页，满分 150 分。
考试用时 120 分钟。
考生注意：1. 答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．设全集U = R ，集合 A = {x | 2x > 1}， B = {x | -1 ≤ x ≤ 5} ，则( A ． [-1, 0)B ． (0, 5]C ． [-1, 0]D ． [0, 5]2. 若复数 z 满足 zi =1+ 2i ，则 z 的共轭复数的虚部为A ． iB ． - iC ． -1D ．13．命题“ ∀x ∈R ，x 3 - x 2 +1 ≤ 0 ”的否定是A ．不存在 x ∈ R ，x 3 - x 2 +1 ≤ 0B ． ∃x ∈R ，x 3- x 2 +1≥ 0C ． ∃x ∈R ，x 3 - x 2+1 > 0D ． ∀x ∈R ，x 3 - x 2 +1 > 04.设 S 为等差数列{a n }的前n 项和，且4 + a 5 = a 6 + a 4 ，则 S 9 = A ． 72B ． 36C ．18D ． 95.已知直线l 和两个不同的平面α，β ，则下列结论正确的是A ．若l //α ， l ⊥ β ，则α ⊥ β C ．若l //α ， l //β ，则α // β 6．在某项测量中，测得变量ξ则ξ 在（1，2）内取值的概率为B ．若α ⊥ β，l ⊥ α ，则l ⊥ β D ．若α ⊥ β，l // α ，则l ⊥ βN (1,σ 2 )(σ > 0) ．若ξ 在（0,2）内取值的概率为0.8 ，A ． 0.2B ． 0.1C ． 0.8D ． 0.43 2 y ⎨ ⎩π 7. 一个底面是正三角形，侧棱和底面垂直的三棱柱，其三视图如图所示．若该三棱柱的外接球的表面积为124π ，则侧视图中的 x 的值为 A ．9 3 2B ． 9C ． 3D ． 38. 已知直线 y = kx (k ≠ 0) 与双曲线2 2- = 1(a > 0, b > 0) 交于 A , B 两点，以 AB 为直径 a 2b2的圆恰好经过双曲线的右焦点 F ．若∆ABF 的面积为4a 2 ，则双曲线的离心率是A ．B ．C ． 2D ． ⎧x ≤ 09．已知 M (-4, 0)，N (0, 4) ，点 P (x , y ) 的坐标 x , y 满足⎪y ≥ 0 ，⎪3x - 4 y +12 ≥ 0则 MP ⋅ NP 的最小值为A ． 2B ．4C ． -196D ． - 5 25 2510 ． 已知 f (x ) = (sin θ )x, θ ∈（0 ），设 a = 17) ， b = f (log3) ，，2c = f (log 16 5) ，则a , b , c 的大小关系是f ( 2log 24A. c > a > bB. a > c > bC. b > a > cD. c > b > a11. 已知直线ly = -2x - m (m > 0) 与圆C : x 2 + y 2 - 2x - 2 y - 23 = 0, 直线l 与圆C 相交于不同两点 M , N ≤ 2 CM + ，则m 的取值范围是A ．[ 5,5）B ．[2,5 - 3）C ．（5,5 5）D ．（ 3,2）12. 函数 f (x ) = sin(2x +θ ) + cos 2x ，若 f (x ) 最大值为G (θ ) ，最小值为 g (θ ) ，则A ． ∃θ0 ∈ R ，使G (θ0 ) + g (θ0 ) = πB ． ∃θ0 ∈ R ，使G (θ0 ) - g (θ0 ) = πC ． ∃θ0 ∈ R ，使 G (θ0 )⋅ g (θ0 ) = π D ． ∃θ0 ∈ R ，使= π3 55MN CN 5 G (θ0 ) g (θ0 )xx = + = + = + 2 第Ⅱ卷(共 90 分)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13． (x 2- 2)⎛ 1 ⎝ ⎫5-1⎪ ⎭展开式的常数项是．14. 古代埃及数学中发现有一个独特现象：除 2用一个单独的符号表示以外，其它分3 2 1 1数都要写成若干个单分数和的形式．例如 = + ，可以这样理解：假定有两个面5 3 15 包，要平均分给5 个人，如果每人 1 21 ，不够，每人 3 1 1 ，余 ，再将这 3 3分成5 份，每1 1 12 人得 ，这样每人分得 + ．形如 (n = 2,3, 4,…) 的分数的分解：15 2 1 1 ， 5 3 15 3 152 1 1， 7 4 28 2n +1 2 1 1 ，按此规律，9 5 45= 2n +1(n = 2, 3, 4,…) ．15.如图所示，平面 BCC 1B 1 ⊥ 平面 ABC ，∠ABC = 120︒ ，四边形BCC 1B 1 为正方形， 且 AB = BC = 2 ，则异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为 ．16.已知抛物线C ：y 2= x 上一点 M (1, -1) ，点 A ，B 是抛物线C 上的两动点，且MA ⋅ M B = 0，则点M 到直线 AB 的距离的最大值是 ．三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60 分．17 ．（ 12 分） 在 ∆ABC 中， 角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ， 且满足 (2b - c ) cos A = a cos C ． （Ⅰ）求角 A ；（Ⅱ）若a = 13 ，∆ABC 的面积为3 3 ，求∆ABC 的周长． 18．（12 分）如图，在四棱锥 P - ABCD 中， AB //CD ， AB = 1，CD = 3 ， AP = 2 ， DP = 2 3 ，∠PAD = 60 ， AB ⊥ 平面 PAD ，点 M 在棱 PC 上． （Ⅰ）求证：平面 PAB ⊥ 平面 PCD ；（Ⅱ）若直线 PA // 平面 MBD ，求此时直线 BP 与平面MBD所成角的正弦值．⎩19．（12 分）已知点 A ，B 的坐标分别为(-2, 0) ，(2, 0) ．三角形 ABM 的两条边 AM ，BM 所在直线的斜率之积是- 3 ．4（I ） 求点 M 的轨迹方程； （I I ） 设直线 AM 方程为 x = my - 2(m ≠ 0) ，直线l 方程为 x = 2 ，直线 AM 交l 于 P ， 点 P ，Q 关于 x 轴对称，直线 MQ 与 x 轴相交于点 D ．若△APD 面积为2 的值．，求 m20．（12 分）春节期间某商店出售某种海鲜礼盒，假设每天该礼盒的需求量在{11，12，…，30} 范围内等可能取值，该礼盒的进货量也在{11，12，…，30} 范围内取值（每天进1次货）．商店每销售1盒礼盒可获利50 元；若供大于求，剩余的削价处理， 每处理1盒礼盒亏损10 元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售1盒礼盒可获利30 元．设该礼盒每天的需求量为 x 盒，进货量为a 盒，商店的日利润为 y 元． （Ⅰ）求商店的日利润 y 关于需求量 x 的函数表达式；（Ⅱ）试计算进货量a 为多少时，商店日利润的期望值最大？并求出日利润期望值的最大值．21．（12 分）已知函数 f ( x ) = e x- a (x 2+ x +1)．（Ⅰ）若 x = 0 是 f ( x ) 的极大值点，求a 的值；（Ⅱ）若 f ( x ) 在(0, +∞) 上只有一个零点，求a 的取值范围．（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（10 分）选修 4‒4：坐标系与参数方程⎧x = t cos α 在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎨ y = t sin α （ t 为参数，0 ≤ α < π ）．以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C 的极坐标方程为ρ 2 - 4 = 4ρ cos θ - 2ρ sin θ ．（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于 A , B 两点，且 AB 的长度为2 23．（10 分）选修 4‒5：不等式选讲 ，求直线l 的普通方程．已知 f (x ) = x +1 + 2x + m ．（Ⅰ）当m = -3 时，求不等式 f (x ) ≤ 6 的解集；（Ⅱ）设关于 x 的不等式 f (x ) ≤ 2x - 4 的解集为 M ，且⎡-1, 1 ⎤⊆ M ，求实数m 的取值范围．6 5⎢⎣ 2 ⎥⎦。