微积分(上)A层期末考试卷A
微积分第1章测试题A附答案
上 海 商 学 院经管类《高等数学》第一章测试题（Ａ）班级 姓名 学号 成绩一. 选择题：（每小题2分，共2'×10=20分）1. 函数()44ln -+=x x y 的定义域是（ ）。
A. {}4>x xB. {}4->x xC. {}4-≥x xD. {}4≥x x 2. 数列n x ： ,101,0,81,0,61,0,41,0,21 ,0---（ ）。
A. 发散 B. 收敛于0 C. 收敛于1- D. 收敛于13. 下面说法中正确的是（ ）。
A. 函数在0x 处无定义，则在这一点必无极限B. 函数在0x 处有定义，则在这一点必有极限C. 若函数在0x 处有定义且有极限，则其极限值必为该点函数值D. 在确定函数在点0x 处的极限时，对函数在点0x 是否有定义不作要求4. 下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是（ ）。
A.()012→-x xB.()01→-x x xC.()()1112→-x xD.()112→--x x5. 下列命题中正确的是（ ）。
A. 无界变量必是无穷大B. 无穷大是一个很大的数C. 无穷大的倒数是无穷小D. 无穷小是一个很小的数 6. 下列等式中成立的是（ ）。
A. 133sin lim=∞→x x x B. 11sin lim 0=→x x x C. 1sin lim =-→ππx x x D. 11sin lim =∞→xx x 7. 下列函数中当0→x 时，与无穷小量x 相比是高阶无穷小的是（ ）。
A. x sin B. 2x x +C. xD. x cos 1-8. 下列函数在0=x 处不连续的是（ ）。
A. 0,sin 0,)(⎪⎩⎪⎨⎧>≤=x x x x e x f x B. 0,10,sin )(⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x x x x x f C. 0,00,1cos )(2⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x x x x x f D. 0,00,)(41⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-x x e x f x 9. 要使函数()2cos 1xx x f -=在0=x 处连续，则要求补充定义()=0f （ ）。
2014-15(2)四川大学微积分期末试卷 解答
因为 d = 9 5 3 ，从而最短距离为 9 − 5 3 ，最长距离为 9 + 5 3 .
x x
2. 设函数 ϕ ( x ) 连续， 且满足 ϕ ( x ) = e + tϕ ( t )dt − x
x 0
∫
∫
0
ϕ ( t )dt ， 求 ϕ ( x ) .
解： 等式两边对 x 求导得 再求导得微分方程 微分方程的特征方程为
2 2 2 2 2
Lx = 2 x − 2 xλ + µ = 0 (1) L = 2 y − 2 yλ + µ = 0 (2) y Lz = 2 z + λ + µ = 0 (3) z x2 + y 2 (4) = 1 (5) x + y + z =
（1）-（2）得： ( x − y )(1 − λ ) = 0 即 = λ 1或 = x y 若 λ = 1 ，带回（1）得 µ = 0 ，由（3）可得 z = − 故 y = x ，由（4） ，可得 z = 2 x ，代入（5）式
′ f= lim y (0, 0)
∆y → 0
f (0, 0 + ∆y ) − f (0, 0) 0 = lim = 0 ∆ → y 0 ∆y ∆y
假设 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处的可微，则 = dz
f x′(0, 0)∆x + f y′(0, 0) = ∆y 0
考虑 lim
ρ →0
0 0
2
2
2
= ∫ (− y 2 + xy 3 ) dx = ∫ (−4 + 8 x)dx = (−4 x + 4 x 2 ) = 8 .
《微积分》课程期末考试试卷(A)及参考答案
3、若函数
f (x, y)
x y ，则
x y
f
(
1 x
,
y)
（
）
A、 x y
x y
B、 1 xy
1 xy
C、 1 xy
1 xy
4、设 D 由 y x, y 2x, y 1围成，则 dxdy （ ）
D
A、 1
2
B、 1
4
C、1
5、（ ）是一阶微分方程
3x 2
3y2
（6
分）。
2、
z y
xy
ln
x （3
分）；
2z y 2
xy
ln 2
x
（6
分）。
3、
f
1 x
(
x,
y)
1
x x2
y2
（5
分）；
f
1 x
(3,4)
2 （6
5
分）。
4、
z x
y
1 y
,
z y
x
x y2
（4
分）；
dz
(y
1 )dx y
(x
x y2
六、求方程 yy' x 的通解。（6 分）
七、判别级数 n1
2n n3n
的敛散性。（6
分）
《微积分》课程期末考试试卷（A）参考答案
一、 填空题（每题 3 分，共 36 分）。
1、
x3 y3
2x
xy y
3xy
2、 1
四川大学高数微积分I(上)考前复习用2018年期末真题试卷(含答案)
x
1
x4
2
x2
d 1
x
而
1 0
x4
2x 2x2
dx 1
1 2d x 2，
0
1
x4
2x 2x2
dx 1
1
2 x3
d
x
1，
故原无穷限广义积分也收敛.
三、解答题（每小题 10 分，共 20 分）
1.设两曲线为 l1 : y x2 ，l2 : x y 2 .
n1
n n1 n
(1)n1 1 xn
n1
n
f
(2017) (0)
a2017
2017!
2 2017
2017!
2 2016!
注 前一问 6 分，后一问 2 分.
6.判断无穷限广义积分
0
x4
2x 2x2
d 1
x
的敛散性.
解 1
2x
f ( x2 y) (2xy x2 dy ) e x y (1 dy ) 1
dx
dx
解之得 dy dx
f
( x2 f (
y x
)
2
2xy e x y) x2 e
x
y
y
1
.
y) 2xy e x y f ( x2 y) x2 e x y
(2) 由(1)知， x0 为极值点，所以 f ( x0 ) 0. 将函数 f ( x) 在点 x x0 处展开，得
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
上海大学2013-2014学年冬季学期《微积分A2》试卷(A卷)答案
上海大学2013 ~ 2014学年冬季学期《微积分A2》(A 卷)答案一、单项选择题 (5小题, 每小题3分, 共15分)1. 设sin x x 为()f x 的一个原函数, 且常数0a ≠, 则()d f ax x a =⎰( A ). A ．3sin ax C a x + B ．2sin ax C a x + C ．sin ax C ax + D ．sin axC x+2. 设直线3210,:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩及平面π:4220x y z -+-=, 则直线L ( C ).A ．平行于πB ．在π上C ．垂直于πD ．与π斜交 3. 设()f x 是区间[0,1]上连续函数, 且10()d 2f x x =⎰, 则π220(cos )sin 2d f x x x =⎰( B ). A ．1B ．2C ．3D ．44. 曲线211ln 42y x x =-自1x =至e x =之间的一段弧的弧长s =( C ). A ．21(e 2)4+ B ．21(1e )4- C ．21(e 1)4+ D ．21(e 1)4- 5. 设向量,a b 满足a b a b -=+, 则必有( D ). A ．0a b -=B ．0a b +=C ．0a b ⨯=D ．0a b ⋅=二、填空题 (5小题, 每小题3分, 共15分)6.20d sin()d d x x t t x -=⎰2sin x .7. 由不等式23x y x ≤≤及2x ≤所确定的平面图形的面积为1712.8. 设()1a b c ⋅⨯=, 则()[()()]b c c a a b +⋅+⨯+=2.9.=1arcsin Cx-+.10. 曲线2224,x y z y z ⎧++=⎨=⎩在yOz 平面上的投影曲线是,(0,y z y x =⎧≤⎨=⎩.三、计算题 (4小题, 每小题6分, 共24分)11. (6分)计算.x解:2d 2tx t t t = ---------------------(3分) .C C =-=- ---------------------(2+1分)12. (6分) 计算22ln(4)d .x x x+⎰ 解: 222ln(4)d ln(4)1d x x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝++⎭⎰⎰ ---------------------(2分) 22ln(4)12d 4x x x x x x ⎡⎤+=--⋅⎢⎥+⎣⎦⎰ ---------------------(2分)22ln(4)1d 212x x x x +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰ ---------------------(1分) 2ln(4)arctan .2x x C x +=-++ ---------------------(1分)13. (6分)计算20x ⎰.解:220x x =⎰⎰---------------------(2分)111(1x tt t -=-====-⎰---------------------(2分)111t t --=-⎰⎰π02=- ---------------------(1+1分)π2=.。
14-15第一学期微积分I高等数学期末试卷及答案(A卷)
一、计算下列各题：（每小题4分，共36分）1．求极限)0(21lim 1>++++∞→p nn p pp p n 。
2．求2cos ()x t x f x e dt =⎰的导数。
3．求由曲线3y x =-，1x =，2x =，0y =所围成的图形面积。
4．计算广义积分20x x e dx +∞-⎰。
厦门大学《微积分I 》课程期末试卷试卷类型：（理工类A 卷） 考试日期 2015.1.215．计算定积分120sin 2x x dx π⎡⎤⎛⎫⎢ ⎪⎢⎝⎭⎢⎣⎰。
6．求方程2x ydy dx +=的通解。
7．求不定积分2(1)(1)xdx x x ++⎰。
8．求方程1y y x x'-=的通解。
9．已知11y =，21y x =+，231y x =+都是微分方程2222x y xy y '''-+=的解，求此方程的通解。
二、计算下列各题：（每小题5分，共30分）1． 求极限20)(02sin limx dt e x x t x x ⎰-→⋅。
2.计算22sin 2cos x x dx x ππ-⎤⎥+⎦⎰。
3．设函数)(x y y =由方程1cos 020322=+⎰⎰dt t dt e x y t 决定，求dxdy 。
4. 求微分方程32y y ''=满足初始条件00|1,|1x x y y =='==的特解。
5．求曲线⎰=x t t x f 0d sin )(相应于π≤≤x 0的一段弧的长度。
6. 设物体作直线运动，已知其瞬时速度2()(/)v t t =米秒，其受到与运动方向相反的阻力()5()F t v t =（牛顿），求物体在时间间隔[]0,1（单位秒）内克服阻力所作的功。
三、计算下列各题：（每小题6分，共24分）1．求微分方程32()()1dy x x y x x y dx++-+=-的通解。
2．设0>a ，求直线231aa x y +-=与x 轴，y 轴所围三角形绕直线a x =旋转一周所得旋转体的体积。
微积分试卷及标准答案6套
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1.已知则对于，总存在δ>0，使得当,)(lim 1A x f x =+→0>∀ε时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。
2.已知，则a = ，b =2235lim 2=-++∞→n bn an n 。
3.若当时，α与β 是等价无穷小量，则 。
0x x →=-→ββα0limx x 4.若f (x )在点x = a 处连续，则 。
=→)(lim x f ax 5.的连续区间是 。
)ln(arcsin )(x x f =6.设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则______________。
=-+→hx f h x f h )()3(lim0007.曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. 。
='⎰))((dx x f x d 9.设总收益函数和总成本函数分别为，，则当利润最大时产2224Q Q R -=52+=Q C 量是。
Q 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1.若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在2.设则为函数的（ ）。
11)(-=x arctg x f 1=x )(x f(A) 可去间断点(B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点3.（ ）。
=+-∞→13)11(lim x x x(A) 1 (B) ∞(C)(D) 2e 3e4.对需求函数，需求价格弹性。
当价格（ ）时，5p eQ -=5pE d -==p 需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6(D) 105.假设在点的某邻域内(可以除外)存)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→得0x 0x 在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。
东华一元微积分A(上)_试卷08～09
一元微积分A （上）08~09一、填空题（每题4分，共32分）1、若)()(00x f x x f -∆+与x ∆2sin 为0→∆x 时的等价无穷小，则=')(0x f ；2、曲线⎪⎩⎪⎨⎧-=-=3232tt y t t x 在2=t 处的切线方程为 ； 3、)1ln(2)cos(sin 1lim 20x x x +-→的值等于 ； 4、)tan ln(2x x y +=，=dy dx ；5、曲线x e y 2-=的拐点的横坐标是 ；6、函数x e x f =)(的带佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林展式为 ；7、函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<-=0cos 01)(22x x x a x x e x f x 在),(+∞-∞上连续，则a = ；8、0→x 时，若取x 为基本无穷小，2cos 1x -是 阶无穷小。
二、试解下列各题（每题6分，共30分） 1、求极限12x x 13x 53x lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+。
2、设函数)(x y y =由方程1=-x xe y 确定，求022=x dx y d 。
3、求函数11+-=x x y 的n 阶导数的一般表达式。
4、求极限2sin 1)1cos(ln lim 1x x x π--→。
5、设x x y )sin 1(+=，求π=x dx dy三、（8分）求函数2)4ln(2x x y -=的单调区间。
四、（10分）在半径为R 的球内，求体积最大的内接圆柱体的高。
五、（6分）设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001arctan )(2x x x x x f ，讨论)(x f '在x =0处的连续性。
六、（6分）设函数nn x x x f 211lim)(++=+∞→，求函数)(x f 的间断点，并说明类型。
七、（4分）设函数)(x f 在],[+∞a 可导，)(lim x x f +∞→存在，b x f ='+∞→)(lim x ，求证：0=b 。
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浙江工商大学2014/2015学年第一学期期末考试卷A
课程名称:微积分(上)A 层 考试方式: 闭 卷 完成时限: 120分钟 班级名称: 学 号: 姓 名:___________
一、填空题（每小题3分,共15分）
1.函数()1,1f x x
=+则()()f f x 的定义域是 . 2.点0=x 为函数e ,0,()ln(1),10
x x f x x x -⎧>=⎨+-<≤⎩的第 类间断点.
3.若函数x y sin =,则=)2015(y .
4.()sin 2d 3x = .
二、选择题（每小题3分,共15分）
1.当0→x 时,与x 等价的无穷小是( ).
A.x x +3 1-
C.)1e sin(-x
D.x cos 1-
2.下列函数中,在点0=x 处可导的是( ).
A.||)(x x x f =
B.|sin |)(x x f =
C.⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,0,1sin )(x x x x x f
D.⎩⎨⎧>≤+=0,
,0,1)(2x x x x x f 3. 设()x f x x =，则其导数为( ).
A. x x x f =')(
B. x x x f x ln )(='
C. )1(ln )(+='x x x f x
D. 1)(-='x x x f 4.设)(x f 的导数在a x =处连续,又1)(lim
-=-'→a x x f a x ,则( ). A.a x =是)(x f 的极小值点
B.a x =是)(x f 的极大值点
C.))(,(a f a 是曲线)(x f 的拐点
D.a x =不是)(x f 的极值点,))(,(a f a 也不是曲线)(x f 的拐点
5.下列等式中,正确的是( ).
A.)(d )(x f x x f ⎰='
B.)()(d x f x f ⎰=
C.)(d )(d d x f x x f x ⎰=
D.)(d )(d x f x x f ⎰=
三、计算题（写出必要的解题步骤,每小题6分,共48分）
1.求极限()()1sin 0lim 12x x f x →-，其中()()00,02f f '==，当0x ≠时()0f x ≠.
2
1
e
lim
2 0x x
x
x++
-→.
2.求极限
)
1
ln(
3.设y =,求()0y '.
4.设)1(x f x y =,且f 具有二阶导数,求22d d x
y .
5.已知)(x y y =是由方程2
2e 0y x y x +-=所确定的隐函数,求曲线)(x y y =在点(2,0)处的切线方程.
四、应用题(每小题9分,共18分)
1.设某产品的需求函数为4
122
P Q -= (Q 为产量,P 为价格).问: (1) 价格为多少时,总收益最大?
(2) 当6=P 时,若价格上涨%2,总收益将如何变化?
2.假设函数)(x f 有如下结论:
(a) 0)(lim =∞+→x f x , 1)(lim =∞-→x x f x , 2])([lim =-∞-→x x f x , ∞=→)(lim 2x f x ; (b) 定义域为()(,2)2,-∞⋃+∞;
(c) 当)1,0(∈x 时,0)(<'x f ,否则0)(>'x f (2≠x );
(d) 当)2,2
1(∈x 时,0)(>''x f ,否则0)(<''x f (2≠x ); (e) 45)0(=f ,43)21(=f ,21)1(=f ,0)4
7(=-f . 则: (1) 函数曲线的拐点是: ;
(2) 当=x 时,函数取得极大值;
(3) 函数图形的渐近线是 ; (4) 绘出)(x f y =的描述性图形.
五、证明题(4分)
设函数)(x f 在]2,1[上连续,在)2,1(内可导,且0)2()1(==f f ,试证:在区间)2,1(内至少
存在一点ξ,使得ξ
ξξ)()(f f ='.。