宁夏 银川市银川二中、银川九中、唐徕回民中学三校高三联考试题三校联考数学理数答案

机密★启用前银川市第二中学 2014年高三年级三校联合模拟考试理科数学试卷答案及评分标准银川市第九中学 银川唐徕回民中学评分说明：1.本解答给出了一种或者几种解法供参考，如果考生的解法与本题解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则；2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分；3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数；4.只给整数分数，选择题不给中间分数．一、选择题：二、填空题： （13）π（14）5（15）⎥⎦⎤⎢⎣⎡45,21 （16）①③④三、解答题：（17） （本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）由已知得abc c b a A bc ---=222cos 2，由余弦定理A abc c b a cos 222-+=得bc A bc 2cos 4-=∴21cos -=A ∵π<<A 0，∴32π=A ． …………………………6分（Ⅱ）∵32π=A ，∴CB -=3π．30π<<C ………………………… 分 ∴ )34sin(2cos322B C --π=)3sin(2cos 132B C -++⋅π=)3sin(23π++C ． ∵30π<<C ，∴3233πππ<+<C ． 故当23ππ=+C 时，)34sin(2cos 322B C --π取最大值23+．此时6π==C B ．…………………………12分（18）（本小题满分12分） 【解析】：（Ⅰ）众数：8.6； 中位数：8.75 ；…………………………2分（Ⅱ）设i A 表示所取3人中有i 个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A ，则140121)()()(3162121431631210=+=+=C C C C C A P A P A P ；…………………………6分（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3.6427)43()0(3===ξP ；6427)43(41)1(213===C P ξ； 64943)41()2(223===C P ξ；641)41()3(3===ξP…………………… 分所以ξξE 27279101230.7564646464=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………………12分另解：ξ的可能取值为0，1，2，3.则1~(3,)4B ξ，3313()()()44k k kP k C ξ-==.所以ξE =75.0413=⨯． （19）（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）∵四边形ABCD 是正方形∴AB AD ⊥又∵平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE =AB ，AD ⊂平面ABCD ∴AD ⊥平面ABE ，而BE ⊂平面ABE ∴AD ⊥BE又∵AE=BE=2 AB=2∴222BE AE AB+=∴AE ⊥BE而AD ∩AE=A ， AD 、AE ⊂平面ADE ∴BE ⊥平面ADE 而BE ⊂平面BCE ∴平面⊥ADE 平面BCE（Ⅱ）取AB 的中点O ，由于△ABC 是等腰三角形，且平面ABCD ⊥平面ABE ，如图建立直角坐标系,则)0,1,0(-A ，)2,1,0(-D ， )2,1,0(C ，)0,0,1(E ，)0,2,0(=，)2,1,1(--=， )0,1,1(=平面EDC 的法向量为)1,0,2(= 平面EAC 的法向量为)1,1,1(-= …………………… 分 ∴515,cos >=<→→n m……………………12分（20）（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）由点3(1,)2P 在椭圆上得，221914a b += ①11,22c e a ==又所以 ② 由①②得2221,4,3c a b ===，故椭圆C 的方程为22143x y+= ……………5分 （Ⅱ）假设存在常数λ，使得123k k k λ+=.由题意可设,AB k AB 的斜率为则直线的方程为(1)y k x =- ③代入椭圆方程22143x y +=并整理得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++ ④ ……… 分在方程③中，令4x =得，(4,3)M k ，从而2121213322,,11y y k k x x --==-- 33312412k k k -==--.又因为B F A 、、共线，则有BF AF k k k ==， 即有k x yx y =-=-112211 所以=+21k k 1231232211--+--x y x y=)1111(2311212211-+---+-x x x y x y =.232-k 1)(2212121++--+x x x x x x ⑤ 将④代入⑤得=+21k k .232-k 12134834)3(42348222222-=++-+--+k k kk k k k ，又213-=k k ， 所以=+21k k 32k故存在常数2=λ符合题意． ……………………………………12分（21）（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）当1x <时，'2()32f x x x b =-++则'2222()3()20333f b =-⨯+⨯+=，所以0b = ……………………………… 分 因为322224()()()33327f c =-++=，所以0c = ………………………………5分（Ⅱ）因为存在0[1,2]x ∈-，使得0()37f x a ≥-所以问题可转化为当[1,2]x ∈-时，max ()37f x a ≥-由（1）知，32,1()ln ,1x x x f x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩①当11x -≤<时，'22()323()3f x x x x x =-+=--令'()0f x =得0x =或23x =当x 变化时，'，变化情况如下表又2)1(=-f ，27432=⎪⎭⎫⎝⎛f ，0)0(=f 所以)(x f 在[)1,1-上的最大值为2 …………………………………… 分 ②当12x ≤≤时，)(x f =x a ln当0a ≤时，()0f x ≤，所以)(x f 的最大值为0当0>a 时，)(x f 在[1,2]上单调递增，所以)(x f 在[1,2]上的最大值为2ln a … 分 由此可知，当0a ≤时，)(x f 在[-1,2]上的最大值为2；由max 0()237a f x a ≤⎧⎨=≥-⎩得0a ≤ 当0>a 时，若ln 22a ≤即2ln 2a ≤时，)(x f 在区间[-1,2]上的最大值为2；由max 20ln 2()237a f x a ⎧<≤⎪⎨⎪=≥-⎩得20ln 2a <≤ …………………………………… 分 若ln 22a >即2ln 2a >时，)(x f 在区间[-1,2]上的最大值为ln 2a由max 2ln 2()ln 237a f x a a ⎧>⎪⎨⎪=≥-⎩得27ln 23ln 2a <≤- 综上可知，a 的取值范围为7(,]3ln 2-∞- ……………………………………12分 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲【解析】：（Ⅰ）连接DE ，∵四边形ACED 是圆的内接四边形，∴BDE BCA ∠=∠，又DBE CBA ∠=∠，∴DBE ∆∽CBA ∆，即有BE BDAB BC =， 又2AB BE =， ∴2BC BD = ………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）DBE ∆∽CBA ∆，知BE ED AB AC=， 又2AB BE =，∴2AC DE =， ∵2AC =，∴1DE =，而CD 是ACB ∠的平分线∴1DA =，设BD x =，根据割线定理得BD BA BE BC ⋅=⋅即()()()11111122x x x x ⎡⎤+=+++⎢⎥⎣⎦，解得1x =，即1BD = …………10分 23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程【解析】：（Ⅰ）直线l 的方程为0x y -= 圆C 的方程是221x y +=圆心到直线的距离为1d ==，等于圆半径，∴直线l 与圆C 的公共点个数为1； …………………………………5分（Ⅱ）圆C 的参数方程方程是()cos 02sin x y θθπθ=⎧≤<⎨=⎩∴曲线C '的参数方程是cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩∴22224+4cos cos 2sin 4sin 4sin 2xxy y θθθθθ+=+⋅+=+当4πθ=或54πθ=时，224+x xy y +取得最大值5 此时M 的坐标为或⎛ ⎝ ………………………………10分 24. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 【解析】：（Ⅰ）∵(1)(1)f x f x -+-2x x =-+.因此只须解不等式2x x -+2≤.当0x ≤时，原不式等价于22x x --≤，即0x =.当02x <<时，原不式等价于22≤，即02x <<. 当2x ≥时，原不式等价于2+2x x -≤，即=2x .综上，原不等式的解集为{}|02x x ≤≤. ……………………………5分 （Ⅱ）∵()()f ax af x -11ax a x =---又0<a 时，111ax a x ax ax a ---=-+-+1ax ax a ≥--+1a =-()f a = ∴0<a 时，()()f ax af x -≥()f a . …………………………10分。