【20套精选试卷合集】宁夏银川唐徕回民中学2019-2020学年高考数学模拟试卷含答案
宁夏银川唐徕回民中学2019-2020学年高一12月数学试题
银川唐徕回民中学2019-2020学年第一学期12月月考高一年级数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合{}{}21,P x x M a =≤=，若P M P ⋃=，则实数a 的取值范围是（ ）A. (],1-∞-B. []1,1-C. [)1,+∞ D.(][),11,-∞-+∞【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合P ，再由P M P ⋃=，即M P ⊆求解.【详解】因为{}{}2111P x x x x =≤=-≤≤，{}M a =又因为P M P ⋃=， 所以M P ⊆ 所以11a -≤≤ 故选:B【点睛】本题主要考查集合的基本关系，属于基础题.2.若二次函数f(x)＝4x 2－2(t －2)x －2t 2－t ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值m ，使得f(m)>0，则实数t 的取值范围（ ） A 3(,3)(,)2-∞-+∞ B. 3(3,)2-C. (,3)-∞-D. 3(,)2+∞【答案】B 【解析】 【分析】函数f （x ）的图象是开口向上的抛物线，故二次函数f （x ）在区间[﹣1，1]内至少存在一个实数m ，使得f(m)>0的否定为：对于区间[﹣1，1]内的任意一个x 都有f （x ）≤0，即f （﹣1），f （1）均小于等0，由此可以构造一个关于t 的不等式组，解不等式组，找出其对立面即可求出实数t 的取值范围．【详解】二次函数f （x ）在区间[﹣1，1]内至少存在一个实数m ，使f （m ）＞0，该结论的否定是：对于区间[﹣1，1]内的任意一个x 都有f （x ）≤0，由()()2214242101424210f t t t f t t t ⎧-=+---+≤⎪⎨=-+--+≤⎪⎩，求得t≤﹣3或t≥32． ∴二次函数在区间[﹣1，1]内至少存在一个实数m ，使f （m ）＞0的实数t 的取值范围是：（﹣3，32）， 故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的分布和二次函数的单调性和值域等知识，属于中档题．同学们要注意解题过程中运用反面的范围，来求参数取值范围的思路，属于中档题． 3.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且()20f =，若对于任意x ∈R ，都有()()()44f x f x f +=+成立，则()2020f =（ ）A. 2020B. 1010C. 2012D. 0【答案】D 【解析】 【分析】根据函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且()20f =，结合()()()44f x f x f +=+，推知()f x 的周期为4求解.【详解】因为函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且()20f =， 所以()2(2)0-=-=f f ， 又因为()()()44f x f x f +=+， 令2x =- 得()()()2424-+=-+f f f ， 所以()40f =， 所以()()4f x f x +=， 所以()f x 的周期为4，()()()20204505000=⨯+==f f f .故选：D【点睛】本题主要考查函数的周期性的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.4.设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ） A. a b c << B. c b a << C. c a b << D. b a c <<【答案】A 【解析】试题分析：在同一坐标系中分别画出2,xy =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log y x =，12log y x =的图象，2xy =与12log y x =的交点的横坐标为a ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12log y x =的图象的交点的横坐标为b ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2log y x =的图象的交点的横坐标为c ，从图象可以看出．考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．5.函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数.若(1)1f =-，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 取值范围是（ ） A. [2,2]- B. [1,1]-C. [0,4]D. [1,3]【答案】D【解析】 【分析】根据奇函数的性质由(1)1f =-，可以求出(1)f -的值，再利用函数的单调性结合已知1(2)1f x -≤-≤，可以求出x 取值范围.【详解】()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-.(1)1f =-，(1)(1)1f f ∴-=-=.故由1(2)1f x -≤-≤，得(1)(2)(1)f f x f ≤-≤-. 又()f x 在(,)-∞+∞单调递减，121x ∴-≤-≤，13x ∴≤≤.故选：D【点睛】本题考查了利用奇函数的单调性求解不等式问题，考查了数学运算能力.6.一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削，打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）A. 2B. 3C. 5D. 6【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图知，几何体是一个底面为直角三角形，高为12的直三棱柱，若使球最大，则球的半径为正视图内切圆的半径求解.【详解】由三视图知，几何体是一个底面为直角三角形，高为12的直三棱柱， 若使球最大，则球的半径为正视图内切圆的半径， 即8610r r -+-=，解得：2r.所以能得到的最大球的半径等于2. 故选：A【点睛】本题主要考查三视图的应用以及组合体问题，属于基础题.7.球面上有四个点,,,P A B C ，如果,,PA PB PC 两两互相垂直，且1PA PB PC ===，则球的表面积为（ ） A. π B. 3πC.2π D. 22π【答案】B 【解析】 【分析】根据,,PA PB PC 两两互相垂直，且1PA PB PC ===，,,,P A B C 构成一个以,,PA PB PC 为邻边的正方体，再根据,,,P A B C 在球面上，得到正方体的体对角线的长为球的直径. 【详解】因为,,PA PB PC 两两互相垂直，且1PA PB PC ===， 所以,,,P A B C 可以构成一个以,,PA PB PC 为邻边的正方体， 又因为,,,P A B C 在球面上， 所以球是正方体的外接球，所以正方体的体对角线的长为球的直径，即2R =所以R ，所以球的表面积为2432ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：B【点睛】本题主要考查与球有关的组合体问题，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题. 8.正四面体的棱长为,a P 为该正四面体内任一点，则点P 到该正四面体各个面的距离之和为（ ）A.2a B.3a C.3D.【答案】C 【解析】 【分析】先求得正四面体的体积，再根据正四面体的体积等于四个小三棱锥的体积之和求解. 【详解】如图所示：AE ⊥ 面BCD ，22333323BE BF a a ==⨯=， 所以226AE AB BE a =-=， 213sin 6024BCD S a a a ∆=⨯⨯⨯= ， 所以V正四面体 =2313623= . 因为正四面体的体积等于四个小三棱锥的体积之和， 设点P 到该正四面体各个面的距离分别为1234,,,,h h h h 四个面的面积都为：213sin 6024a a a ⨯⨯⨯=， 所以正四面体的体积为：()⨯⨯+++212341334a h h h h ， 所以()2312341323h h h h ⨯+++= ， 所以12346h h h h +++= . 故选：C【点睛】本题主要考查正四面体的体积及应用，还考查了转化思想和求解问题的能力，属于中档题.9.某三棱锥的三视图如图所示，其侧视图为直角三角形，则该三棱锥外接球的体积为（ ）A.2 B.52πC.22D.12523【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图，该几何体是底面为直角三角形，侧面垂直于底面，高为5的三棱锥，可以补成一个以3，4，5为邻边的长方体，外接球的直径为长方体的体对角线的长.【详解】由三视图可知：该几何体是底面为直角三角形，侧面垂直于底面，高为5的三棱锥，可以补成一个以3，4，5为邻边的长方体，外接球的直径为长方体的体对角线的长， 即222234552R =++=，所以22R =， 所以外接球的体积为34233R ππ⨯⨯=. 故选：D【点睛】本题主要考查三视图的应用以及与球有关的组合体问题，还考查了转化思想和求解问题的能力，属于中档题. 10.已知函数()132221x xx f x +++=+的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ） A. 0B. 1C. 3D. 4【答案】D 【解析】 【分析】 根据()1332222121+++==+++x xxx x f x ，易知3()21=+x x g x 是奇函数，则max min ()()0g x g x +=，再由max min max min ()()()2()2+=+++f x f x g x g x 求解.【详解】因为()1332222121+++==+++x xxx x f x ， 令3()21=+x x g x ，因为()33()()2121--==-=-++xx x x g x g x ， 所以()g x 是奇函数， 所以max min ()()0g x g x +=，所以max min max min ()()()2()24+=+=+++=f x f x M N g x g x . 故选：D【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于常考题. 11.用{}min ,a b 表示,a b 两数中的最小值，若函数(){}min ,f x x x t =+的图像关于直线12x =对称，则t 的值为（ ） A. 1- B. 1C. 2-D. 2【答案】A 【解析】 【分析】令(),()==+g x x h x x t，根据()min min ()(0)0,()00====g x g h x h ，得到()()min 00f x f ==，再根据函数(){}min ,f x x x t =+的图像关于直线12x =对称，有(){}1min 1,10=+=f t 求解.【详解】令(),()==+g x x h x x t ， 因为()min min ()(0)0,()00====g x g h x h ， 所有()()min 00f x f ==，因为函数(){}min ,f x x x t =+的图像关于直线12x =对称， 所以(){}1min 1,10=+=f t ， 所以10+=t ， 解得1t =-. 故选：A【点睛】本题主要考查函数对称性的应用，还考查了特殊与一般的思想方法，属于中档题.12.已知函数()lg 2,20,2x x g x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩，若关于x 的方程()()20g x ag x b -+=有7个不同实数解则（ ） A. 0a >且0b =B. 0a >且0b >C. 0a =且0b >D. 0a <且0b =【答案】A 【解析】作出函数()g x 的图象，令()g x t =，由图象可知()0g x t => 有4个不等实根，()0g x t ==时，有3个不相等的实数根，()0g x t =<时无实根.题中原方程2()()0g x ag x b -+=有且只有7个不等实根，即20t at b -+=有两个实根，一根为0，另一根大于零，则0,0a b >=，所以选A.【点睛】涉及较复杂复合型的方程的根的个数问题解决方法是换元法，令()y g x =，先画出函数()g x 的图象，根据根的个数判断原方程的根应该有几个，每个根应在哪个区间？问题转化为一元二次方程的根的分布问题，利用一元二次方程的根的分布列不等式，求出参数的取值范围.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图，ABC ∆的直观图为等腰直角'''A B C ∆，其中''2A B =，则ABC ∆的面积为_________.【答案】42【解析】 【分析】先计算出直观图的面积，再利用平面图形的面积与直观图的面积比为22. 【详解】因为ABC ∆的直观图为等腰直角'''A B C ∆，且''2A B = 所以12222A B C S '''∆=⨯⨯= ， 因为平面图形的面积与直观图的面积比为22 所以22242ABC S ∆=⨯= 故答案为：42【点睛】本题主要考查斜二测画法以及原图形与直观图的面积比，属于基础题. 14.已知()()()22log 4log 1log 5log 21a a a a x y xy +++=+-（0a >且1a ≠），则8log =yx_______. 【答案】13-【解析】 【分析】根据对数的运算法则，将()()()22log 4log 1log 5log 21a a a a x y xy +++=+-，转化为()()()2241521++=-xy xy ，再构造转化为()()222269440-+++-=x y xy x y xy 求解.【详解】因为()()()22log 4log 1log 5log 21a a a a x y xy +++=+-，所以()()()22log 41log 521++=-a a x yxy ，所以()()()2241521++=-x yxy ，所以()()222269440-+++-=x y xy x y xy ， 即()()22320-+-=xy x y ，所以3020xy x y -=⎧⎨-=⎩，解得12y x = . 8811log log 23==-y x .故答案为：13-【点睛】本题主要考查对数运算法则的简单应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.15.已知函数()()()22ln 111f x a x a x ⎡⎤=-+-+⎣⎦的值域为R ，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】315a -<≤-【解析】 【分析】 令()()22111=-+-+t ax a x ，根据()()()22ln 111f x a x a x ⎡⎤=-+-+⎣⎦的值域为R ，则()()22111=-+-+t a x a x 取遍()0,∞+ 所有的实数，即()()222101410a a a ⎧->⎪⎨∆=---≥⎪⎩求解. 【详解】令()()22111=-+-+t ax a x因为()()()22ln 111f x a x a x ⎡⎤=-+-+⎣⎦的值域为R ，所以()()22111=-+-+t ax a x 取遍()0,∞+ 所有的实数所以()()222101410a a a ⎧->⎪⎨∆=---≥⎪⎩ 解得315a -<≤-故答案为： 315a -<≤-【点睛】本题主要考查复合函数的值域问题，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题. 16.设2 (1)(){(1)x x f x x x ≥=<,()g x 是二次函数，若(())f g x 的值域是[)0+∞，，则()g x 的值域 是___________. 【答案】.【解析】【详解】试题分析：的图像如下图所示，又因为()g x 是二次函数，且(())f g x 的值域是[)0+∞，， 则()g x 的值域是.考点：函数的图像与值域.三、解答题（共70分）17.已知集合{}A x x a =<，{}12B x x =≤≤，{}20C x mx =+=． （1）若()A B =RR ，求实数a 的取值范围；（2）若CB C =，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()2,+∞（2）[]{}2,10--【解析】 【分析】（1）由补集的运算求出RB ，由条件和并集的运算求出实数a 的取值范围．（2）由CB C =得C B ⊆，分类讨论C =∅与C ≠∅，求出实数m 的取值范围【详解】解：（1）{}12B x x =≤≤，{|1R C B x x ∴=<或2}x >.又{}A x x a =<，()AB =RR ，2a ∴>，即实数a 的取值范围是()2,+∞.（2）C B C =，C B ∴⊆.当C =∅时，0m =符合题意. 当C ≠∅时，由20mx +=得2x m =-，故212m≤-≤， 当0m >时，不等式的解集为空集； 当0m <时，解得21m -≤≤-. 综上可知，实数m 的取值范围为[]{}2,10--.【点睛】本题考查并、补集的混合运算，以及求参数的范围，属于基础题． 18.设函数()f x 的定义域为R ，对任意12,x x 有()()121212222x x x x f x f x f f +-⎛⎫⎛⎫+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，且()0,12f f ππ⎛⎫==-⎪⎝⎭. （1）求()0f 的值；（2）求证()f x 是偶函数，且()()f x f x π-=-. 【答案】（1）1（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据()()121212222x x x x f x f x f f +-⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，采用赋值法令12x x π== 求解.（2）采用赋值法令12,x x x x ==- 得()()()()20+-=f x f x f x f ，再利用奇偶性的定义证明.，令12,x x x x π==- 得()()2222πππ-⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x f x f x f f ，再根据02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π证明. 【详解】（1）因()()121212222x x x x f x f x f f +-⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 令12x x π== 得()()()()20πππ+=f f f f ，所以()01f =；（2）令12,x x x x ==- 得()()()()20+-=f x f x f x f ， 所以()()f x f x =-， 所以()f x 是偶函数.令12,x x x x π==- 得()()2222πππ-⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x f x f x f f ， 因为02f ⎛⎫=⎪⎝⎭π 所以()()f x f x π-=-.【点睛】本题主要考查抽象函数的应用和赋值法研究函数奇偶性、对称性，还考查了探究解决问题的能力，属于中档题.19.已知函数()22222xxf x =+. （1）求1344f f ⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； （2）求1299100100100f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.【答案】（1）1（2）992【解析】 【分析】（1）根据函数()22222xx f x =+，直接代入求解.（2）根据()()()()()()()21212222221212222221222222222⨯-⨯-⨯-⨯-+-=+=+++++x x x x xx x x x xf x f x 22224122224x x x=+=+⋅+ 令1299100100100⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭t f f f ，再利用倒序相加法求解.【详解】（1）因为函数()22222xx f x =+，所以13132222444413224413132222444422222213224422222222⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭+=+=⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭f f ， 3522235222222412224+++==+++ .（2）()()()()()()()21212222221212222221222222222⨯-⨯-⨯-⨯-+-=+=+++++x x x x xx x x x xf x f x ，22224122224x x x=+=+⋅+ . 令1299100100100⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭t f f f ，所以99981100100100⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭t f f f ，两式相加得：299t = ， 所以1299991001001002⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f . 【点睛】本题主要考查求函数值以及倒序相加法求和，还考查了运算求解问题的能力，属于中档题.20.已知正三棱锥S ABC -，一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在正三棱锥的三条侧棱上，另一底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为15，底面边长为12，内接正三棱柱的侧面积为120.（1）求三棱柱的高；（2）求棱柱的上底面截棱锥所得的小棱锥与原棱锥的侧面积之比. 【答案】（1）10或5（2）19 或49【解析】 【分析】（1）设正三棱柱的高为h ，底面边长为x ，根据相似比有151512h x-=，再根据正三棱柱的侧面积为120，有3120xh =，两式联立求解.（2）根据面积之比等于相似比的平方，结合（1）的结论求解. 【详解】（1）设正三棱柱的高为h ，底面边长为x ，如图所示:则151512h x-=解得()4155x h =- 又因为正三棱柱的侧面积为120. 所以3120xh = 所以40xh =解得4,10x h == 或8,5x h == 所以三棱柱的高是10或5.（2）因为面积之比等于相似比的平方，所以棱柱的上底面截棱锥所得的小棱锥与原棱锥的侧面积之比：1112151159S A B CS ABCS hS--⎛⎫-==⎪⎝⎭或1112154159S A B CS ABCS hS--⎛⎫-==⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查空间几何体中的截面以及相似比、侧面积等问题，还考查了平面与空间的转化求解问题的能力，属于中档题.21.三棱锥P ABC-的三视图如图所示，90ABC∠=︒.（1）求该三棱锥的表面积；（2）求该三棱锥内切球的体积.【答案】（1）48122+（2）()33642343π-【解析】【分析】（1）根据三视图可知，此三棱锥的底面是腰长为6的等腰直角三角形ABC，顶点P在底面上的摄影是底面直角三角形ABC斜边的中点，且三棱锥的高为4，要求表面积，再利用三视图，明确AB，BC，AC上的高即可.（2）根据三棱锥的体积等于以球心为顶点，三棱锥的四个面为底的小三棱锥的体积之和求解. 【详解】（1）如图所示：由三视图可知，此三棱锥的底面是腰长为6的等腰直角三角形ABC，且62AC=，顶点P 在底面上的摄影是底面直角三角形ABC 斜边的中点，且三棱锥的高为4，在PAB ∆中，AB 边上的高为5， 在PBC ∆中，边BC 上的高为5， 在PAC ∆中，边AC 上的高为4，所以该三棱锥的表面积11166265448222⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=+ （2）设内切球的球心为O ，半径为r则由P ABC O ABC O PBC O PAB O PAC V V V V V -----=+++得(11166448323r ⨯⨯⨯⨯=⨯+⨯解得127r -=，所以该三棱锥内切球的体积(3336443343V r ππ-==【点睛】本题主要考查三视图的应用，空间几何体的表面积，体积，组合体等，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.22.已知函数()()221+0,1g x ax ax b a b =-+≠<在区间[]2,3上有最大值4，最小值1，设()()g x f x x=. （1）求 ,a b 的值； （2）不等式()220xxf k -≥在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）1,0a b ==；（2）0k ≤. 【解析】 试题分析：(1)由题意得到关于实数a,b 的方程组，求解方程组可得1,0a b ==； (2)不等式恒成立转化为122?22xx x k +-≥，结合二次型复合函数的性质和恒成立的条件可得实数k 的取值范围是0k ≤.试题解析：解：（1）()()2g 11x a x b a =-++-， 当0a >时, ()g x 在[]2,3上增函数，故()()34414121110g a b a a g a b a b ⎧=++-==⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨=++-==⎪⎩⎩⎩，当0a <时, ()g x 在[]2,3上为减函数，故()()24411131143g a b a a g a b a b ⎧=++-==-⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨=++-==⎪⎩⎩⎩，1,1,0b a b <∴==.（2）()()2121,2g x x x f x x x =-+=+-,不等式()2?20x x f k -≥化为122?22x x x k +-≥，21112?22x x k ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，令12x t =，则221k t t ≤-+，[]11,1,,22x t ⎡⎤∈-∴∈⎢⎥⎣⎦，记()221t t t ϕ=-+，()min 0,0t k ϕ∴=∴≤.点睛：在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．。
宁夏银川唐徕回民中学2019-2020学年度高三年级8月月考理科数学
银川唐徕回民中学2019-2020学年度高三年级8月月考理科数学一．选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（ ）}1|2||{≤-=x x A }6|{2<+=x x x B =⋂B A A. (-3,3] B.(-2,3] C. [1,2) D.[1,3)2.若复数z 满足z(1+i)=-2i,则在复平面内对应的点在（）z A.第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D.第四象限3.如图，一个水平放置的平面图形，其斜二测直观图是，其中OA=AB=4，则该直观ABC ∆图所表示的平面图形的面积为（ ）。
16 B. 8C.16D.8224.若x>y,则（ ）A. Lg(x-y)>0B. |x|-|y|>0C.D.y x ππ<033<-x y 5.已知向量，则下列向量中与成夹角的是（ ）)1,0,1(=︒60A.（0，1，-1） B.（-1,0,1） C. （1，-1，0） D.（-1,1,0）6.设m,n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（）βα,A. 若，且，则βα⊂⊥n m ,n m ⊥βα⊥B. 若，且，则βα⊂⊂n m ,αβ||,||n m βα||C.若，且，则βα⊂⊥n m ,βα⊥n m ⊥D.若，且，则βα||,||n m βα||nm ||7.若正数a,b 满足，则当ab 取最小值时，b 的值为（）ab b a =+21A. B. C. D.424222228.命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）02],3,41[2≤---∈∀a x x A. B. C. D.6≥a 7≤a 8≤a 8≥a 9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. B. 2 C. D. 4323410.下列四个命题中，真命题的个数为（ ）①命题“”的否定为“”01,2>++∈∀x x R x 01,0200≤++∈∃x x R x ②命题“P 且q 为真，则p,q 有且只有一个为真命题”③命题“”的逆否命题为“”1,0232==+-x x x 则若023,12≠+-≠x x x 则若④命题“已知”的充分不必要条件是2||||4,,22≥+≥+∈b a b a R b a A. 1 B. 2 C. 3 D.411.在中，，分别以直角三角形的三边AB ，BC ，AC 为旋ABC ∆22,==⊥AB AC BC AB转轴旋转而成的空间几何体的表面积分别记为，则（ ）321,,S S S A. B. C. D.321S S S <<312S S S <<123S S S <<132S S S <<12.体积为的三棱锥的顶点都在球O 的表面上，，PA=2，3ABC P -ABC 平面⊥PA ，则球O 的体积的最小值为（ ）π32ABC =∠ A. B. C. D.π377π31919π3728π31976二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，一共20分）13.长方体，底面ABCD 为正方形，AB=1，，则异面直线1111D C B A ABCD -31=AA 与所成角的余弦值为________1DB 1AD 14.曲线C 的参数方程为直线l 的方程为，PM 分别)(sin cos 2为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 052=--y x 为曲线C 和直线l 上的点，则|PM|的最小值为_________15.若是实数，且x+2y+3z=6,则最小值为_________,最小+∈R z y x ,,222z y x ++z y x 321++值为____________16. 正八面体由八个全等的正三角形围成的空间几何体，如图所示，关于正八面体ABCDEF 有以下结论：（1）AC 平面BEDF ，且BD 平面AECF⊥⊥（2）平面EAD 平面ADF⊥（3）CE 与AD ，AB ，BF ，DF ，所成角都是3π（4）平面BEC||平面ADF（5）内切球，外接球和棱切球的表面积之比为6:3:2（6）四边形AECF 为正方形其中所有正确的结论是_____________三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.每个试题考生都必须作答，答案写在答题卡上17.(本小题满分10分)如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PDC 平面⊥ABCD ，PC PD ，BC=1，PC=PD=，E 为PB 的中点⊥2（1）求证：PD||平面ACE（2）求直线PA 与平面ACE 所成夹角的正弦值θ18.(本小题满分12分)设函数f(x)=|x-1|+|x+1|,f(x)<4的解集为S（1）求S（2）当a,b 时，求证：|ab+4|>2|a+b|S ∈19.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，曲线的参数方程为，,为直线的1C )(sin cos 1为参数t t y t x ⎩⎨⎧=+=ααα1C 倾斜角，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为2C ，曲线与曲线相交于点A,B 两点θθρ2cos 1cos 4-=1C 2C （1）当时，求曲线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程πα43=1C 2C （2）当α变化时，求|AB|的最小值20.(本小题满分12分)如图在直三棱柱，是等腰直角三角形，AC=BC=1,=2,点D 是侧棱111C B A ABC -ABC ∆1AA 上的一点1AA （1）证明：当点D 是的中点时，1AA BCD1平面⊥DC （2）若二面角的余弦值为，求二面角的余弦值C BCD --129293C D C B --121.(本小题满分12分)在平面内，动点M 到定点与到定点的距离之比为2:1)0,2(1F )0,1-(1F （1）求动点M 的轨迹C 的方程（2）已知O 为坐标原点，过点O 的动直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为N ，求N 的轨迹方程22.(本小题满分12分)已知函数a ax ax x x x f -+--=2ln )(2（1）当时，判断f(x)的定义域上的单调性21=a （2）对任意的，都有恒成立，求实数a 的取值范围),1[+∞∈x 1)(≤x f （3）证明：)(12ln 11217151311*N n n n ∈++<-+++++。
宁夏银川市2019-2020学年高考数学三模考试卷含解析
宁夏银川市2019-2020学年高考数学三模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．数列{}n a 满足：3111,25n n n n a a a a a ++=-=，则数列1{}n n a a +前10项的和为 A ．1021B ．2021C ．919D ．1819【答案】A 【解析】分析：通过对a n ﹣a n+1=2a n a n+1变形可知1112n n a a +-=，进而可知121n a n =-，利用裂项相消法求和即可． 详解：∵112n n n n a a a a ++-=，∴1112n na a +-=， 又∵31a =5，∴()3112n 32n 1n a a =+-=-，即121n a n =-， ∴()111111222121n n n n a a a a n n ++⎛⎫=-=- ⎪-+⎝⎭，∴数列{}1n n a a +前10项的和为1111111110112335192122121L ⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选A ．点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++ ()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.2．若直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为m =（ ） A ．1 B ．2CD ．3【答案】A 【解析】【分析】将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可. 【详解】圆222230x x y y ++--=的标准方程22(1)(1)5x y ++-=,圆心坐标为(1,1)-,半径为5,因为直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为25,所以直线20x y m ++=过圆心,得2(1)10m ⨯-++=,即1m =.故选：A 【点睛】本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题.3．记()[]f x x x =-其中[]x 表示不大于x 的最大整数,0()1,0kx x g x x x≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若方程在()()f x g x =在[5,5]-有7个不同的实数根，则实数k 的取值范围( ) A ．11,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,65⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,54⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】做出函数(),()f x g x 的图象，问题转化为函数(),()f x g x 的图象在[5,5]-有7个交点，而函数(),()f x g x 在[5,0]-上有3个交点，则在[0,5]上有4个不同的交点，数形结合即可求解. 【详解】作出函数(),f x ()g x 的图象如图所示，由图可知方程()()f x g x =在[5,0]-上有3个不同的实数根， 则在[0,5]上有4个不同的实数根， 当直线y kx =经过(4,1)时，14k =；当直线y kx =经过(5,1)时，15k =， 可知当1154k ≤<时，直线y kx =与()f x 的图象在[0,5]上有4个交点， 即方程()()f x g x =，在[0,5]上有4个不同的实数根. 故选:D. 【点睛】本题考查方程根的个数求参数，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解题的关键，运用数形结合是解决函数零点问题的基本思想，属于中档题.4．若函数()x f x e =的图象上两点M ，N 关于直线y x =的对称点在()2g x ax =-的图象上，则a 的取值范围是（ ） A ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,)e -∞C ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,)e【答案】D 【解析】 【分析】由题可知，可转化为曲线()2g x ax =-与ln y x =有两个公共点，可转化为方程2ln ax x -=有两解，构造函数2ln ()xh x x+=，利用导数研究函数单调性，分析即得解 【详解】函数()xf x e =的图象上两点M ，N 关于直线y x =的对称点在ln y x =上，即曲线()2g x ax =-与ln y x =有两个公共点， 即方程2ln ax x -=有两解，即2ln xa x+=有两解， 令2ln ()xh x x +=，则21ln ()xh x x --'=，则当10x e<<时，()0h x '>；当1x e >时，()0h x '<，故1x e =时()h x 取得极大值1h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，也即为最大值， 当0x →时，()h x →-∞；当x →+∞时，()0h x →， 所以0a e <<满足条件． 故选：D本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.5．如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为176，320，则输出的a 为（ ）A ．16B ．18C ．20D ．15【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知最后计算的结果为a b ，的最大公约数. 【详解】输入的a ，b 分别为176,320,根据流程图可知最后计算的结果为a b ，的最大公约数，按流程图计算320-176=144,176-144=32,144-32=112,112-32=80,80-32=48,48-32=16,32-16=16,易得176和320的最大公约数为16， 故选:A. 【点睛】本题考查的是利用更相减损术求两个数的最大公约数,难度较易.6．已知椭圆E ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线240x y +-=与y 轴交于点A ，线段2AF 与E 交于点B .若1||AB BF =，则E 的方程为（ ）A ．2214036x y +=B ．2212016x y +=C ．221106x y +=D ．2215x y +=【答案】D 【解析】由题可得()()20,42,0，A F ，所以2c =，又1||AB BF =，所以1222a BF BF AF =+==a =，故可得椭圆的方程.【详解】由题可得()()20,42,0，A F ，所以2c =，又1||AB BF =，所以1222a BF BF AF =+==，得a =，1b ∴=，所以椭圆的方程为2215x y +=.故选：D 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆标准方程的求解.7．设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若//m α，//n β，//αβ，则//m n ； ②若αβ⊥，m β⊥，m α⊄，则//m α； ③若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则//n β；④若αβ⊥，l αβ=I ，//m α，m l ⊥，则m β⊥.其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③C ．②④D ．③④【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行或垂直的有关定理逐一判断即可. 【详解】解：①：m 、n 也可能相交或异面，故①错 ②：因为αβ⊥，m β⊥，所以m α⊂或//m α， 因为m α⊄，所以//m α，故②对 ③：//n β或n β⊂，故③错 ④：如图因为αβ⊥，l αβ=I ，在内α过点E 作直线l 的垂线a ， 则直线a β⊥，a l ⊥又因为//m α，设经过m 和α相交的平面与α交于直线b ，则//m b 又m l ⊥，所以b l ⊥因为a l ⊥，b l ⊥，,b a αα⊂⊂ 所以////b a m ，所以m β⊥，故④对. 故选：C 【点睛】考查线面平行或垂直的判断，基础题. 8．复数12ii--的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意可得：131255i i i -=--. 共轭复数为3155i +，故选A. 考点：1.复数的除法运算;2.以及复平面上的点与复数的关系9．若2nx x ⎛+ ⎝的二项式展开式中二项式系数的和为32，则正整数n 的值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】C 【解析】 【分析】由二项式系数性质，()n a b +的展开式中所有二项式系数和为2n 计算．【详解】2nx ⎛ ⎝的二项展开式中二项式系数和为2n，232,5n n ∴=∴=． 故选：C ． 【点睛】本题考查二项式系数的性质，掌握二项式系数性质是解题关键．10．一袋中装有5个红球和3个黑球（除颜色外无区别），任取3球，记其中黑球数为X ，则()E X 为（ ） A ．98B ．78C ．12D ．6256【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，进而可求得随机变量X 的数学期望值. 【详解】由题意可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，则()353810056C P X C ===，()21533830156C C P X C ===，()12533815256C C P X C ===，()33381356C P X C ===. 因此，随机变量X 的数学期望为()103015190123565656568E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查随机变量数学期望的计算，考查计算能力，属于基础题. 11．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π且在()0,π上是单调函数，则下列说法正确的是（ ） A ．12ω=B．82f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．函数()f x 的图像关于点5,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数()f x ，在()0,π上是单调函数，确定 01ω<≤，然后一一验证， A.若12ω=，则()12sin 2ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ，由02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，得34πϕ=，但13sin 84822πππ⎛⎫⨯+≠ ⎛⎫= ⎪⎭⎪⎝⎭⎝f .B.由8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，确定()222sin 33π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ，再求解8f π⎛⎫-⎪⎝⎭验证.C.利用整体法根据正弦函数的单调性判断.D.计算54f π⎛⎫⎪⎝⎭是否为0. 【详解】因为函数()f x ，在()0,π上是单调函数， 所以2T ≥π ，即22ππω≥，所以 01ω<≤ ，若12ω=，则()12sin 2ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ，又因为02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即1sin 0222ππϕ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪⎝=⎪⎝⎭⎭f ，解得34πϕ=，而13sin 84822πππ⎛⎫⨯+≠ ⎛⎫=⎪⎭⎪⎝⎭⎝f ，故A 错误. 由2sin 022πωπϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f ，不妨令2ωπϕπ+= ，得2πωϕπ=-由sin 882ππωϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f ，得 2+84ππωϕπ⨯+=k 或32+84ππωϕπ⨯+=k 当2+84ππωϕπ⨯+=k 时，2=23k πω+，不合题意. 当32+84ππωϕπ⨯+=k 时，22=33k πω+，此时()222sin 33π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x所以222272sin 2sin 2sin 838338312ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=⨯-+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭f B 正确. 因为22,,0,2333ππππ⎡⎤⎡⎤∈--+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦x x ，函数()f x ，在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增，故C 错误. 525232sin 2sin 043432f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误. 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用，还考查了运算求解的能力，属于较难的题.12．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．72B ．64C ．48D ．32【答案】B 【解析】 【分析】由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。
宁夏银川市2019-2020学年高考数学模拟试题含解析
宁夏银川市2019-2020学年高考数学模拟试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题p ：“a b >”是“22a b >”的充要条件；:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（ ） A ．()p q ⌝∨为真命题 B ．p q ∨为真命题 C ．p q ∧为真命题 D ．()p q ∧⌝为假命题【答案】B 【解析】 【分析】由2xy =的单调性，可判断p 是真命题；分类讨论打开绝对值，可得q 是假命题，依次分析即得解 【详解】由函数2xy =是R 上的增函数，知命题p 是真命题． 对于命题q ，当10x +≥，即1x ≥-时，11x x x +=+>； 当10x +<，即1x <-时，11x x +=--， 由1x x --≤，得12x =-，无解，因此命题q 是假命题．所以()p q ⌝∨为假命题，A 错误；p q ∨为真命题，B 正确；p q ∧为假命题，C 错误；()p q ∧⌝为真命题，D 错误．故选：B 【点睛】本题考查了命题的逻辑连接词，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题. 2．函数()1ln1xf x x-=+的大致图像为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】通过取特殊值逐项排除即可得到正确结果. 【详解】 函数()1ln1x f x x -=+的定义域为{|1}x x ≠±，当12x =时，1()ln 302f =-<，排除B 和C ； 当2x =-时，(2)ln 30f -=>，排除A. 故选：D. 【点睛】本题考查图象的判断，取特殊值排除选项是基本手段，属中档题.3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过右顶点A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M 点，MF 的中点恰好在双曲线C 上，则C 的离心率为（ ） A 51 B ．2C 3D 5【答案】A 【解析】 【分析】设(,)M a b ，则MF 的中点坐标为(,)22a c b+，代入双曲线的方程可得,,a b c 的关系，再转化成关于,a c 的齐次方程，求出ca的值，即可得答案. 【详解】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为(,0)A a ，右焦点为(c,0)F ，M 所在直线为x a =，不妨设(,)M a b ，∴MF 的中点坐标为(,)22a cb +.代入方程可得2222221a c b a b +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，∴22()544a c a +=，∴2240e e +-=，∴1e =（负值舍去）. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意构造,a c 的齐次方程.4．已知双曲线22214x y b-=（0b >0y ±=，则b =（ ）A ．BC ．2D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线方程22214x y b-=（0b >）0y ±=得到b a =. 【详解】因为双曲线22214x y b -=（0b >），所以2a =0y ±=，所以2b ba ==，所以b =故选：A. 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 5．已知命题p ：,x R ∃∈使1sin 2x x <成立． 则p ⌝为（ ） A ．,x R ∀∈1sin 2x x ≥均成立 B ．,x R ∀∈1sin 2x x <均成立 C ．,x R ∃∈使1sin 2x x ≥成立D ．,x R ∃∈使1sin 2x x =成立【答案】A 【解析】试题分析：原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即:p ⌝,sin 2x x x ∀∈≥R ． 考点：全称命题.6．在三棱锥P ABC -中，AB BP ⊥，AC PC ⊥，AB AC ⊥，22PB PC ==，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（ ） A ．3π B ．32π C ．12πD ．24π【答案】C 【解析】 【分析】首先根据垂直关系可确定OP OA OB OC ===，由此可知O 为三棱锥外接球的球心，在PAB ∆中，可以算出AP 的一个表达式，在OAG ∆中，可以计算出AO 的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积． 【详解】取AP 中点O ，由AB BP ⊥，AC PC ⊥可知：OP OA OB OC ===，O ∴为三棱锥P ABC -外接球球心，过P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于H ，连接AH 交BC 于G ，连接OG ，HB ，HC ，PB PC =Q ，HB HC ∴=，AB AC ∴=，G ∴为BC 的中点由球的性质可知：OG ⊥平面ABC ，OG//PH ∴，且112OG PH ==． 设AB x =，22PB =Q 211822AO PA x ∴==+ 1222AG BC x ==Q ，∴在OAG ∆中，222AG OG OA +=， 即222211822x x ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，解得：2x =， ∴三棱锥P ABC -的外接球的半径为：()()2221122422322x AO +=+==，∴三棱锥P ABC -外接球的表面积为2412S R ππ==．故选：C . 【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.7．已知函数()sin3cos3f x x x =-，给出下列四个结论：①函数()f x 的值域是⎡⎣；②函数4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数；③函数()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减；④若对任意x ∈R ，都有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为3π；其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】化()f x )4x π-可判断①，求出4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的解析式可判断②，由,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得353[,]444x πππ-∈，结合正弦函数得图象即可判断③，由()()()12f x f x f x ≤≤得12min 2Tx x -=可判断④.【详解】由题意，())4f x x π=-，所以()f x ∈⎡⎣，故①正确；4f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭)]44x ππ+-=)2x π+=x 为偶函数，故②错误；当,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，353[,]444x πππ-∈，()f x 单调递减，故③正确；若对任意x ∈R ，都有 ()()()12f x f x f x ≤≤成立，则1x 为最小值点，2x 为最大值点，则12x x -的最小值为23T π=，故④正确. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的综合运用，涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容，是一道较为综合的问题. 8．1x <是12x x+<-的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件与集合包含关系之间的等价关系，即可得出。
宁夏银川唐徕回民中学2020届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题(含答案)
，
f x ex ex x2 ex ex x2 f x
则
，
即函数 f x为偶函数，
又
f
' x
ex
ex
2x
，当
x
0
时，有
f
x
0
，
即函数 f x在[0, ) 上为增函数，
f 2x f x 1 f | 2x | f | x 1| 2x x 1
，
解得
x
1 3
或
x
1
，
即
x
的取值范围为
,
6.某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是
A. 2 至 3 月份的收入的变化率与11至12 月份的收入的变化率相同 B. 支出最高值与支出最低值的比是 6 :1 C. 第三季度平均收入为 50 万元 D. 利润最高的月份是 2 月份
【答案】D 【解析】
由图可知 2 至 3 月份的收入的变化率与11至12 月份的收入的变化率相同，故 A 正确；由图
形过正方体的中心，可知 C 错误；
三棱锥
A
B1CD1 体积：VAB1CD1
1 4 1 3
1 1 2
1 3
正方体体积：V 1
三棱锥 A B1CD1 与正方体的体积之比为：VAB1CD1 :V 1: 3 ，可知 D 正确.
本题正确选项： C
【点睛】本题考查正方体中的线线关系、线面关系、截面问题、体积问题的相关命题的判定， 对于学生空间想象能力要求较高.
k x k
令
2
6
2 ， k Z 解得：
3
6 ，kZ，
可得：则函数
f
x的单调递增区间为： k
【20套试卷合集】宁夏银川唐徕回民中学2019-2020学年数学高二上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案一、选择题1．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是A ．A sinB ．A cosC ．A tanD ．Atan 1 2．在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于A ．1:2:3B ．3:2:1C ．2D ．23．在数列55,34,21,,8,5,3,2,1,1x 中，x 等于A ．11B ．12C ．13D ．144．12+与12-，两数的等比中项是A ．1B ．1-C ．1±D ．21 5．等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 为 A ．50 B ．49C ．48D ．47 6．已知等比数列{a n }的公比为2,前4项的和是1,则前8项的和为A ．15．B ．17．C ．19．D ．217．已知数列{}n a 的前n 项和()21n S n n =+则5a 的值为A ．80B ．40C ．20D ．10 8．f x ax ax ()=+-21在R 上满足f x ()<0，则a 的取值范围是A ．a ≤0B ．a <-4C ．-<<40aD ．-<≤40a9．在等差数列{}n a 中，设n a a a S +++=...211，n n n a a a S 2212...+++=++，n n n a a a S 322123...+++=++，则,,,321S S S 关系为( )A ．等差数列B ．等比数列C ．等差数列或等比数列D ．都不对 10．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log ...log a a a +++=A ．12B ．10C ．31log 5+D ．32log 5+11．设11a b >>>-,则下列不等式中恒成立的是( )A ．ba 11< B ．b a 11> C ．2a b > D ．22a b > 12．不等式201x x -+≤的解集是A ．(1)(12]-∞--，， B ．[12]-， C ．(1)[2)-∞-+∞，， D ．(12]-，二、填空题 13．在△ABC 中，sinA ＝2cosBsinC ，则三角形为_____14．等差数列{}n a 中,,33,952==a a 则{}n a 的公差为______________．15．两个等差数列{}{},,n n b a ,327......2121++=++++++n n b b b a a a n n 则55b a ＝___________． 16．等差数列中,若),(n m S S n m ≠=则n m S +＝_______．三、解答题：17．(本小题满分10分)已知ABC ∆的周长为2＋1，且sinA ＋sinB ＝2sinC ．求边AB 的长18．(本小题满分12分)三个数成等比数列,其积为512,如果第一个数与第三个数各减2,则成等差数列，求这三个数．19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0．20．(本小题满分12分)设,4,221==a a 数列}{n b 满足：,1n n n a a b -=+122n n b b +=+，(1)求证：数列}2{+n b 是等比数列(要指出首项与公比)，(2)求数列}{n a 的通项公式．21．(本小题满分12分)求和：12...321-++++n nxx x22．(本小题满分12分)设f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案注意事项：1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2. 请将答案正确填写在答题卡上一、单项选择（注释）1、设}{n a 是公差为正数的等差数列，若321321,15a a a a a a =++=80，则131211a a a ++=（）A ．120B ．105C ．90D ．752、命题“对任意x R ∈,都有20ax bx c ++<” 的否定为A 、存在0x R ∈,使得2000ax bx c ++≥; B 、不存在x R ∈,使得20ax bx c ++≥;C 、存在0x R ∈,使得2000ax bx c ++<; D 、对任意x R ∈,都有 20ax bx c ++≥；3、如果命题“()p q ⌝∨”是假命题，则下列说法正确的是( )A. p q 、均为真命题B. p q 、中至少有一个为真命题C. p q 、均为假命题D. p q 、中至少有一个为假命题4、已知,a b ∈R ．下列四个条件中，使a b >成立的必要而不充分的条件是（ ）（A ）1a b >-（B ）1a b >+（C ）||||a b >（D ）22a b >5、设{1,2}M =，2{}N a=，则“1a =”是“N M ⊆”则（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6、下列命题正确的是（ ）<．对任意的实数x ,都有321x x x ≥-+恒成立.C. 224()2y x x R x =+∈+的最小值为2 D. 2(2),(2)y x x x =-≥的最大值为27、不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+<-13123|12|x x x 的解集为 .8、若,10,1<<>>a y x 那么下列各式中正确的是（ ）A ．a a y x --> B. y x a a log log > C. y x a a < D. y x a a >9、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若371112a a a ++=，则13S 等于（ ）()A 52 ()B 54 ()C 56 ()D 5810、在等差数列{}n a 中，已知1684=+a a ，则102a a +为 （ ）A. 12B. 16C. 20D. 2411、已知数列{}n a 满足点(,)()n n a n N *∈都在曲线2log y x =的图象上,则24816a a a a +++=( )A.9 B10 C20 D3012、等差数列{}n a 中，10a >，81335a a =，则n S 中的最大的是（ ）A ．10SB ．11SC ．20SD ．21S二、填空题（注释）13、已知数列{}n a 中1a =1，其前n 项的和为n S ，且点1(,)n n P a a +在直线l ：20x y --=上．则10S =________________．14、设{}n a 为等差数列，公差2-=d ，n S 为其前n 项和，若1110S S =15、设等差数列{}n a 的公差d 不为0，d a 91=，若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k=16、若数列{}n a 中，13a =，14(2)n n a a n -+=≥，则2013a =________．三、解答题（注释）17、已知数列{}n a ，2n a ≠，15823n n n a a a +-=-，13a =（1）证明：数列1{}2n a -是等差数列． （2）设2n n b a =-，数列1{}n n b b +的前n 项和为n S ，求使21(21)2(23)2192n n n n S n +++⋅⋅>-⋅+成立的最小正整数n ． 18、为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部门将某校12名学生分为两组进行问卷调查.第一组的得分情况为5,6,7,8,9,10;第二组的得分情况为4,6,7,9,9,10.(1)根据以上数据,判断两组中哪组更优秀?(2)把第一组的6名学生的得分看成一个总体.用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名,他们的得分组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.19、为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为21200800002y x x =-+,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？20、某厂产值第二年比第一年增长%p ，第三年比第二年增长%q ，又这两年的平均增长率为S%，则S 与2p q +的大小关系是A ． 2p q S +>B ．2p q S +=C 2p q S +≤D 2p q S +≥21、比较(a ＋3)（a －５）与（a ＋2）（a －4）的大小。
宁夏银川唐徕回民中学2019-2020学年高二12月数学(理)试题
宁夏银川唐徕回民中学2019－2020学年高二12月数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知关于x 的不等式101ax x -<+的解集是11,2，则a 的值为（ ） A ．2B ．2-C ．12D ．12-2．抛物线24x y =的焦点是 A ．(1,0)-B ．(1,0)C ．(0,1)-D ．(0,1)3．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=（ ） A ．2B ．4C ．16D ．84．下列说法中，正确的是（ ）A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题C ．命题“x R ∃∈，”的否定是：“x R ∀∈，”D ．已知，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件5．若向量(0,2)m =-，(3,1)n =，则与2m n +共线的向量可以是（ ）A ．1)-B ．(-C ．(1)-D ．(1,-6．设0,0a b >>3a 与23b 的等比中项，则21a b+的最小值为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．87．.某汽车公司的A,B 两个装配厂可装配甲、乙两种不同型号的汽车,若A 厂每小时可装配1辆甲型车和2辆乙型车,B 厂每小时可装配3辆甲型车和1辆乙型车.现要装配40辆甲型车和40辆乙型车,若要使所费的总工作时数最少,则这两个装配厂的工作时数分别为( ) A ．16,8B ．15,9C ．17,7D ．14,108．已知双曲线2212y x -=的焦点为F 1、F 2， 点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到x 轴的距离为( )A ．43B ．53C D9．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 与抛物线在第一象限内交于点A ，若4AF =，则p =（ ）A ．2B ．1C D ．410．已知双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，过左焦点1F 交双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段1F P ，则双曲线的离心率是（ ）A B ．2+C ．1+D ．11．三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ︒∠=∠=，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A ．3B ．6C ．4D 12．已知抛物线28x y =的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点(0,2)K -，则PF PK的最小值为（ ）A ．2 BC ．2D ．12二、填空题13．已知函数2()(1)f x ax ab x b =+--，如果不等式()0f x >的解集为()1,3-，那么不等式()20f x -<的解集为________________.14．命题“x R ∃∈，22390x ax -+<”为假命题，则实数a 的取值范围是________．15．一条渐近线方程是0x +=的双曲线，它的一个焦点与方程是216y x =的抛物线的焦点相同，此双曲线的标准方程是_______________ ；16．已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ．三、解答题17．已知a R ∈，命题p ：“[]0,2,240xxx a ∀∈-+≤均成立”，命题q ：“函数()()2ln 2f x x ax =++定义域为R ”.（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围. 18．ABC ∆的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且b =ABC ∆面积的取值范围．19．如图，已知直线与抛物线()220y px p =>交于,A B 两点，且,OA OB OD AB⊥⊥交AB 于点D ，点D 的坐标为()2,1，求p 的值.20．已知数列{}n a 的前n 项和为1,2n S a =-，且满足()*1112n n S a n n N +=++∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()3log 1n n b a =-+，求数列21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，并求证34nT <. 21．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，90ACB ∠=，EA ⊥平面ABCD ，//EF AB ，//FG BC ，//EG AC ，2AB EF =.（1）若M 是线段AD 的中点，求证：//GM 平面ABFE ； （2）若22AC BC AE ===，求二面角A BF C --的余弦值.22．已知椭圆2222:1x y C a b +=(0a b >>)的短轴长为2，离心率为2．过点M （2,0）的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点,O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的方程； （2）求OA OB ⋅的取值范围；（3）若B 点关于x 轴的对称点是N ，证明：直线AN 恒过一定点.参考答案1．A 【分析】由方程与不等式关系可求得a 值. 【详解】由方程与不等式关系得：1-和12为方程()()110-+=ax x 的两根， 1102a ∴-=，解得2a =， 故选：A 【点睛】本题主要考查了分式不等式的解集，不等式与方程的关系，属于基础题. 2．D 【解析】 【分析】先判断焦点的位置，再从标准型中找出p 即得焦点坐标. 【详解】焦点在y 轴上，又2p =，故焦点坐标为()0,1，故选D . 【点睛】求圆锥曲线的焦点坐标，首先要把圆锥曲线的方程整理为标准方程，从而得到焦点的位置和焦点的坐标. 3．D 【分析】利用等比数列性质求出a 7，然后利用等差数列的性质求解即可． 【详解】等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，可得a 72＝4a 7，解得a 7＝4，且b 7＝a 7， ∴b 7＝4，数列{b n }是等差数列，则b 5+b 9＝2b 7＝8． 故选D ． 【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力． 4．C 【详解】试题分析：因为命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题“若a b <，则22am bm <”是假命题,所以选项A 不正确;命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”至少有一个为真命题,所以选项B 不正确； 命题“x R ∃∈，”的否定是：“x R ∀∈，”，选项C 正确；已知，则“1x >”是“2x >”的必要不充分条件，所以选项D 不正确；故选C.考点：命题与充要条件. 5．B 【分析】先利用向量坐标运算求出向量2m n +,然后利用向量平行的条件判断即可. 【详解】()()0,2,3,1m n =-=()23,3m n ∴+=-()()333-=--故选B 【点睛】本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定,属于基础题,在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应,切不可错位. 6．D 【解析】3a 与23b 的等比中项，∴2223333a b a b +⨯===， ∴21a b +=，∴21214(2)()448b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b a a b =且21a b +=，即11,24a b ==时等号成立．选D ．7．A 【解析】 【分析】根据条件列可行域与目标函数，结合图象确定最小值取法，即得结果. 【详解】设A 厂工作x 小时， B 厂工作y 小时，总工作时数为z ，则目标函数为z x y =+，约束条件为340,240,0,0.x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩作出可行域如图所示，由图知当直线y x z =-+经过Q 点时，z 取得最小值，由340,240,x y x y +=⎧⎨+=⎩可得()16,8Q ，故A 厂工作16小时，B 厂工作8小时，可使所费的总工作时数最少.选A.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 8．C 【解析】不妨1212,2,MF MF MF MF>-=12F F =又12;MF MF ⊥所以2221212||||MF MF F F +=，即22121212()2||MF MF MF MF F F -+⨯=；所以12124212,4,MF MF MF MF +⨯=∴⨯=则M 到x 轴的距离1212MF MF F F ⨯==故选C 9．A 【解析】 【分析】过A 作AB ⊥x 轴于B 点，Rt △ABF 中，的直线，由∠AFB 3π=且|AF |＝4，得|BF |＝2，从而求得A 的横坐标．再由抛物线的焦半径公式可得p 的值即可． 【详解】解：过A 作AB ⊥x 轴于B 点，过抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点F的直线， 则在Rt △ABF 中，∠AFB 3π=，|AF |＝4，∴|BF |12=|AF |＝2， 则x A ＝22p+，∴|AF |＝x A 2p+=2+p ＝4，得p ＝2．故选：A ．【点睛】本题考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题． 10．B 【分析】由题意知：212PF F F ⊥，1260PF F ∠=，算出21,4PF PF c ==，由双曲线定义得出关于,a c 的等式，求解出离心率. 【详解】设直线1F P 与y 轴交点Q ，则点Q 为线段1F P 的中点，则2//OQ PF ，212PF F F ∴⊥， 直线1F P，1260PF F ∴∠=，12212,,4F F c PF PF c ∴===，由双曲线的定义知：42c a -=，解得离心率2ce a==故选：B 【点睛】本题主要考查双曲线的定义，双曲线离心率的计算，属于基础题. 11．B 【分析】设1AA c =，AB a =，AC b =，根据向量线性运算法则可表示出1AB 和1BC ；分别求解出11AB BC ⋅和1AB ，1BC ，根据向量夹角的求解方法求得11cos ,AB BC <>，即可得所求角的余弦值. 【详解】设棱长为1，1AA c =，AB a =，AC b = 由题意得：12a b ⋅=，12b c ⋅=，12a c ⋅= 1AB a c =+，11BC BC BBb ac =+=-+()()22111111122AB BC a c b a c a b a a c b c a c c ∴⋅=+⋅-+=⋅-+⋅+⋅-⋅+=-++= 又()222123AB a c a a c c =+=+⋅+=()222212222BC b a cb ac a b b c a c =-+=++-⋅+⋅-⋅=11111116cos ,66AB BC AB BC AB BC ⋅∴<>===⋅即异面直线1AB 与1BC 本题正确选项：B 【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题. 12．C 【解析】 【分析】先记点P 到抛物线准线的距离为d ，根据抛物线的定义，将PFPK化为d PK ，再设直线PK的方程为2y kx =-，因此求dPK的最小值，即是求k 的最小值，由此可得，直线PK 与抛物相切时，k 最小，联立直线与抛物线方程，结合判别式，即可求出结果. 【详解】记点P 到抛物线准线的距离为d ， 由抛物线定义可得d PF =，因此求PFPK的最小值，即是求dPK 的最小值，设直线PK 的方程为2y kx =-，倾斜角为θ易知sin dPKθ=，tan θk ，因此当k 取最小值时，dPK最小；当直线PK 与抛物线相切时，k 最小；由282x y y kx ⎧=⎨=-⎩可得28160x kx -+=，由264640k -=得1k =，即tan 1θ=±，所以sin 2θ=，即1d PK =.因此，PF PK故选C【点睛】本题主要考查抛物线定义、以及直线与抛物线位置关系，熟记定义以及抛物线的简单性质即可，属于常考题型. 13．31{|}22x x x <->或 【分析】先得到不等式()0f x <的解集为(,1)(3,)-∞-+∞，再确定()20f x -<的解为21x -<-或23x ->，解得答案. 【详解】不等式()0f x >的解集为()1,3-，则不等式()0f x <的解集为(,1)(3,)-∞-+∞()20f x -<的解为：21x -<- 或23x ->解得答案：31{|}22x x x <->或 故答案为：31{|}22x x x <->或【点睛】本题考查了解不等式，将2x -看成整体可以简化运算，是解题的关键.14．-⎡⎣【分析】由原命题为假可知其否定为真，结合二次函数性质知0∆≥，解不等式求得结果. 【详解】若原命题为假命题，则其否定“x R ∀∈，22390x ax -+≥”为真命题29720a ∴∆=-≤，解得：a -≤≤a ∴的取值范围为-⎡⎣故答案为：-⎡⎣【点睛】本题考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题的求解，关键是能够利用原命题与其否定之间的真假关系将问题转化为恒成立的问题.15．221124x y -=【分析】根据抛物线216y x =得到双曲线的焦点，即c 的值，然后根据渐近线，得到双曲线方程. 【详解】因为抛物线216y x =， 所以其焦点为()4,0，因为双曲线的一条渐近线是0x +=，所以，设双曲线方程为2213x y λλ-=，所以316λλ+=，4λ=故所求的双曲线方程为221124x y -=.【点睛】本题考查通过双曲线的渐近线和焦点求标准方程，属于简单题. 16．1x =- 【解析】试题分析：由222122{202422y pxy py p y y p p p y x =∴--=∴+==∴==-，准线1x =-考点：抛物线方程及性质17．（1）0a ≤；（2）a ≤-或0a <<【分析】（1）由条件转化得：42x x a ≤-在[]0,2x ∈上恒成立，只需求42x x -的最小值，即可得a 的范围；（2）由题目条件分析可得，命题,p q 一真一假，列出相应的不等式组求解即可.【详解】（1）设[]2,1,4xt t =∈，则2a t t ≤-在[]1,4t ∈上恒成立，令()221124g t t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，则()g t 在[]1,4单调递增， ()()min 10g t g ∴==，故0a ≤.（2）当命题q 为真命题时，220x ax ++>在R 上恒成立，280a ∴∆=-<，解得：a -<<命题“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，∴命题,p q 一真一假，0a a a ≤⎧⎪∴⎨≥≤-⎪⎩0a a >⎧⎪⎨-<<⎪⎩，解得：a ≤-或0a <<【点睛】本题主要考查了含有逻辑联结词的命题真假的判断，函数的定义域，不等式的恒成立问题，属于基础题.18．(1) 60B =︒；(2) ,24⎛ ⎝⎦【分析】（1）根据正弦定理边角互化，将等式化简为sin sin 2A CB +=，再利用A BC π++=,以及二倍角公式化解求角B 的值； （2）根据正弦定理，sin sin sin a b cA B C ==，表示,a c ，再利用面积公式1sin 2S ac B =，利用两角和的正弦公式和降幂公式化简，最后根据角的范围求取值范围. 【详解】（1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=． 因为sin 0A ≠，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ++=︒，可得sincos 22A C B+=，故cos2sin cos 222B B B =． 因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此60B =︒． （2）根据正弦定理2sin sin sin a c bA C B====，可得2sin ,2sin a A c C == 因为A B C π++=，所以()sin sin sin 3C A B A π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭,这样11sin 2sin 2sin sin 22323S ac B A A A A ππ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,而1sin sin 322S A A A A A π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23sin cos sin 222426A A A A π⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭ ABC ∆是锐角三角形，所以62A ππ<<,52,666A πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭1sin 2,162A π⎛⎫⎛⎤∴-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦,sin 24262A π⎛⎛⎫+-∈ ⎪ ⎝⎭⎝.【点睛】本题重点考查了正弦定理边角互化解三角形，以及利用边角互化把边转化为角，转化为三角函数给定区间求取值范围的问题，本题的易错点是忽略锐角三角形的条件，或是只写出02A π<<，这样即便函数化简正确，取值范围也错了.19．54【分析】由题知，直线AB 的斜率为2-，从而求得直线AB 方程为25y x =-+；又OA OB ⊥，所以12120OA OB x x y y ⋅=+=，联立2225y pxy x ⎧=⎨=-+⎩得250y py p +-=，利用根与系数关系代入计算求出p 值. 【详解】()2,1D ，12OD k ∴=， OD AB ⊥，2AB k ∴=-，则直线AB 的方程为：()122y x -=--，即25y x =-+，设A B 、两点的坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ，联立2225y px y x ⎧=⎨=-+⎩，消x 得：250y py p +-=，125y y p ∴=-，OA OB ⊥，22121212122550224y y OA OB x x y y y y p p p ∴⋅=+=⋅+=-=， 54p ∴=. 【点睛】本题主要考查了直线的方程，直线与抛物线的位置关系，属于中档题.解决直线与抛物线的位置关系，一般利用根与系数的关系，采用“设而不求”、“整体代入”等解法.20．（1）13nn a =-；（2）见解析【分析】（1）由n a 与n S 关系得：132n n a a +=-，构造新数列{}1n a -为等比数列，利用等比数列通项公式求出n a ； （2）由n a 求出n b n =，则()211111222n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，再利用“裂项相消法”求出n T 即可证明. 【详解】（1）()*1112n n S a n n N +=++∈， ∴当1n =时，21222a -=+，解得28a =-，当2n ≥时，1111122n n n n n a S S a n a n -+⎛⎫=-=++-+ ⎪⎝⎭， 化简得：132n n a a +=-，()()11312n n a a n +∴-=-≥， 又()211931a a -=-=-，()()1131n n a a n N*+∴-=-∈，∴数列{}1n a -为等比数列，首项为3-，公比为3，13n n a ∴-=-，即13n n a =-；（2）()3log 1n n b a n =-+=，()211111222n n b b n n n n +⎛⎫∴==- ⎪++⎝⎭， 1111111111123243511211113122124n T n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭…【点睛】本题主要考查了n a 与n S 的关系，等比数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，考查学生的运算求解能力，属于中档题. 21．（1）详见解析；（2）12. 【详解】 （1）//EF AB ，//FG BC ，//EG AC ，90ACB ∠=，90EGF ∴∠=，ABC EFG ∆~∆，由于2AB EF =，因此2.BC FG =连接AF ，由于//FG BC ，12FG BC =，在平行四边形ABCD 中，M 是线段AD 的中点，则//AM BC ，且12AM BC =， 因此，//FG AM 且FG AM =，所以四边形AFGM 为平行四边形，//GM FA ∴，又FA ⊂平面ABFE ，GM ⊄平面ABFE ，//GM ∴平面ABFE ； （2），90CAD ∴∠=，又EA ⊥平面ABCD ，AC ∴、AD 、AE 两两垂直．分别以AC 、AD 、AE 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A 、()2,2,0B -、()2,0,0C 、()0,0,1D ， 故()2,2,0AB =-，()0,2,0BC =，又12EF AB =，()1,1,1F ∴-，()1,1,1BF =-. 设平面BFC 的法向量()111,,m x y z =， 则0{m BC m BF ⋅=⋅=，1110{y x z =∴=，取11z =，得11x =，所以()1,0,1m =，设平面ABF 的法向量222(,,)n x y z =，则0{0n AB n BF ⋅=⋅=，∴222{0x y z ==，取21y =，得21x =，所以()1,1,0n =，所以1cos ,2m n m n m n ⋅〈〉==⋅ 故二面角A BF C --的余弦值为12. 考点：1.直线与平面平行；2.利用空间向量法求二面角22．（1）2212x y +=.（2）3[2,)2-.（3）直线l 过定点(1,0).【详解】（1）易知1b =，c e a ==得2222222a c a b ==-,故22a =.故方程为2212x y +=.（2）设l ：(2)y k x =-，与椭圆C 的方程联立,消去y 得 2222(12)8820k x k x k +-+-=.由△＞0得2102k ≤<. 设1122(,),(,)A x y B x y ,则22121222882,1212k k x x x x k k-+==++. ∴1212OA OB x x y y ⋅=+222212121212(2)(2)(1)2()4x x k x x k x x k x x k =+--=+-++=222102751212k k k-=-++ 2102k ≤<，∴2777212k <≤+， 故所求范围是3[2,)2-.（3）由对称性可知N 22(,)x y -，定点在x 轴上. 直线AN ：121112()y y y y x x x x +-=--，令0y =得:22221121221121212121212216416()22()1212184412k k y x x x y x y x x x x k k x x k y y y y x x k---+-+++=-====+++--+,∴直线l 过定点(1,0).。
银川唐徕回民中学2019-2020学年度第一学期12月高三理科数学试卷答案解析与点睛(22页)
银川唐徕回民中学2019-2020学年度第一学期12月高三理科数学试卷理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合2{|20}A x R x x =∈+-<，2{|0}1x B x R x -=∈≤+，则A B ⋂=（ ） A. [1,1]- B. (1,1)- C. [1,1)-D. (1,1]-【答案】B 【解析】试题分析：因为2{|20}A x R x x =∈+-<{}|21x x =-<<，2{|0}1x B x R x -=∈≤+{}|12x x =-<≤，所以A B ⋂={}|11x x -<<=(1,1)-，故选B ． 考点：1、集合的表示；2、集合的交集． 2.若复数3434iz i-=+，则复数z 在复平面内对应的点所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】先求出复数z ，再确定复数z 在复平面内对应的点所在象限即可. 【详解】解:因为复数3434iz i-=+， 所以55(34)34345i z i i -===-+, 则复数z 在复平面内对应的点的坐标为()3,4-, 即复数z 在复平面内对应的点所在象限为第四象限, 故选:D.【点睛】本题考查了复数的模及除法运算，重点考查了复数在复平面内对应的点所在象限，属基础题. 3.等比数列{}n a 中，244,2a a ==，则6a =（ ） A. 1-B. 0C. 1D. 2-【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的性质，若2p q m n k +=+=，则2p q m n k a a a a a ==，将已知条件代入运算即可.【详解】解：因为等比数列{}n a 中，244,2a a ==，由等比数列的性质可得2426a a a =，所以2462414a a a ===， 故选：C.【点睛】本题考查了等比数列的性质，重点考查了运算能力，属基础题. 4.已知在ABC ∆中，若9,12,45a b A ==∠=︒，则此三角形（ ） A. 无解 B. 有一个解C. 有二个解D. 解的个数不确定【答案】C 【解析】 【分析】 由正弦定理sin sin a b A B =∠∠可得sin B ∠=，则B Ð有两个解，即此三角形有两个解，得解.【详解】解：已知在ABC ∆中，若9,12,45a b A ==∠=︒，由正弦定理sin sin a b A B =∠∠可得sin sin b A B a ∠∠==，又123<<，即sin 3B ∠=，则B Ð有两个解， 即此三角形有两个解， 故选：C.【点睛】本题考查了利用正弦定理判断三角形解的个数问题，属基础题.5.下列命题错误的个数是（ ）①在ABC ∆中，sin sin A B >是A B >的充要条件；②若向量,a b r r 满足0a b <r rg ，则a r 与b r 的夹角为钝角；③若数列{}n a 的前n 项和234n S n n =-，则数列{}n a 为等差数列；④若a R ∈，则“11a<”是“1a >”的必要不充分条件. A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】 【分析】对于①，在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a b A B=可得，sin sin A B >是A B >的充要条件； 对于②，若向量,a b r r 满足0a b <r rg ，则a r 与b r 的夹角为钝角或a r 与b r 反向共线；对于③，由已知可得67n a n =-，则数列{}n a 为等差数列； 对于④，由“11a<”的充要条件为 “1a >或0a <”，再判断即可得解. 【详解】解：对于①，在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a b A B=，则sin sin A B >的充要条件为a b >，由三角形的性质可得a b >的充要条件为A B >，即在ABC ∆中，sin sin A B >是A B >的充要条件，即①正确； 对于②，若向量,a b r r 满足0a b <r r g ，则a r 与b r 的夹角为钝角或a r 与b r 反向共线，即②错误；对于③，若数列{}n a 的前n 项和234n S n n =-，则当2n ≥时，221343(1)4(1)67n n n a S S n n n n n -=-==---+-=-，当1n =时，111a S ==-满足上式，即67n a n =-，则1676(1)76n n a a n n --=---+=，则数列{}n a 为等差数列，即③正确；对于④，由“11a <”的充要条件为“10a a->”，即“1a >或0a <”，又“1a >或0a <”是“1a >”的必要不充分条件，即“11a<”是“1a >”的必要不充分条件，即④正确. 命题错误的个数是1个， 故选：A.【点睛】本题考查了正弦定理及向量的夹角，重点考查了等差数列及充要条件，属中档题. 6.函数y =2x sin2x 的图象可能是A. B.C. D.【答案】D 【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令||()2sin 2x f x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()xx x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B; 因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路，，1）由函数的定义域，判断图象的左，右位置，由函数的值域，判断图象的上，下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．7.已知实数x ，y 满足约束条件31010330x y x y x y --⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩…，则2z x y =-的最大值为（ ）A. 1B.12C.43D.53【答案】C 【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数2z x y =-对应的直线进行平移并观察z 的变化，即可得到2z x y =-的最大值．【详解】作出题中不等式组表示的平面区域，如图阴影所示，当直线2z x y =-过A 时，z 最大，此时A 点坐标满足310330x y x y --=⎧⎨+-=⎩ 解A(12,3) 此时z 的最大值为43故选C【点睛】本题着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划，考查数形结合思想，考查运算能力，属于基础题．8.已知两点(0,3)A -，(4,0)B ，若点P 是圆2220x y y +-=上的动点，则△ABP 面积的最小值是A.112B. 6C. 8D.212【答案】A 【解析】 【分析】求得圆的方程和直线AB 方程以及AB ，利用三角换元假设()cos ,1sin P q q +，利用点到直线距离公式和三角函数知识可求得min d ，代入三角形面积公式可求得结果.【详解】由题意知，圆的方程为：()2211x y +-=，5AB ==直线AB 方程为：143x y +=-，即34120x y --= 设()cos ,1sin P q q +∴点P 到直线AB 的距离：()5sin 163cos 4sin 1655d θϕθθ-+--==，其中3tan 4ϕ= ∴当()sin 1θϕ-=-时，min 115d =()min min 11122ABP S AB d ∆∴=⋅= 本题正确选项：A【点睛】本题考查点到直线距离的最值的求解问题，关键是能够利用三角换元的方式将问题转化为三角函数的最值的求解问题.9.设A ，B ，C 是半径为1的圆上三点，若AB =AB AC ⋅u u u v u u u v的最大值为（ ）A. B.32C. 3D.【答案】B 【解析】【详解】此题考查正弦定理、余弦定理、向量的数量积、两角和与差正余弦公式的灵活应用、三角函数求最值问题的综合知识；设圆的圆心是O ，在等腰AOB ∆中，1,OA OB AB ===12060AOB ACB ∠=⇒∠=o o ，根据正弦定理得：222sin sin ACR AC B B==⇒=所以12cos(120)cos )2AB AC B B B B B ⋅=⨯-=-o u u u v u u u v23sin cos B B B =33(1cos 2)260)22B B B =-=+o ，当105B =o 时，AB AC ⋅uu u r uuu r 的最大值为32，选B10.将函数2()cos cos f x x x x =+的图象向左平移6π个单位得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递增区间是（ ） A. ,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. ,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. -,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】A 【解析】 【分析】由题题意，化简三角函数的解析式为()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据三函数的图象变换，求得()g x 的解析式，利用三角函数的图象与性质，即可求解，得到答案. 【详解】由题意可得()21cos cos sin 262f x x x x x π⎛⎫=+==++ ⎪⎝⎭，把()f x 的图象向左平移6π个单位， 可得()111sin[2()]sin(2)cos 2662222g x x x x πππ=+++=++=+， 由222,k x k k Z πππ-≤≤∈，解得,2k x k k Z πππ-≤≤∈，即函数的单调递增区间为[,],2k k k Z πππ-∈，令0k =时，函数的单调递增区间为[,0]2π-，故选A【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，得出函数的解析式，结合图象求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及数形结合思想的应用，属于基础题. 11.设函数9()sin(2)([0,])48f x x x ππ=+∈，若方程()f x a =恰好有三个根，分别为123,,x x x （123x x x <<），则123x x x ++的取值范围是（ ） A. 95[,)84ππB. 511[,)48ππ C. 313[,)28ππ D. 715[,)48ππ 【答案】B 【解析】因为908x π≤≤，所以52442x πππ≤+≤，则由题意可知 12224422x x πππ+++=，即124x x π+=，同时3952442x πππ≤+<，即398x ππ≤<，故1239484x x x ππππ+≤++<+，即12351148x x x ππ≤++<，应选答案B ．点睛：解答本题的关键是要充分借助题设条件信息及方程的三个实数根的几何特征，巧妙借助图形的对称性与直观性，建立不等式使得问题巧妙获解．12.若曲线1y =()24y k x =-+有两个交点，则k 的取值范围是（ ）A. 50,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 5,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. 13,34⎛⎤⎥⎝⎦D. 53,124纟çúçú棼【答案】D 【解析】 【分析】曲线1y =与直线()24y k x =-+有两个交点等价于曲线22(1)4,1x y y +-=≥与直线()24y k x =-+有两个交点，再作图像观察交点个数即可得解.【详解】解：由1y =22(1)4,1x y y +-=≥， 又直线()24y k x =-+过定点()2,4，又曲线1y =()24y k x =-+有两个交点等价于曲线22(1)4,1x y y +-=≥与直线()24y k x =-+有两个交点，曲线22(1)4,1x y y +-=≥与直线()24y k x =-+的位置关系如图所示，当直线过点()2,1A-时，此时直线斜率4132(2)4k -==--，当直线与曲线相切时，圆心()0,1到直线的距离为2，2=，解得512k =， 综上可得k 的取值范围是53,124纟çúçú棼， 故选：D.的【点睛】本题考查了直线斜率公式及直线与圆的位置关系，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知直线2450x y -+=的倾斜角为α，则sin α=_______.【解析】 【分析】由直线斜率与倾斜角的关系可得1tan 2k α==，再求解即可. 【详解】解：由直线2450x y -+=， 则1tan 2k α==， 则sin 1cos 2αα=， 又22sin cos 1αα+=， 得21sin 5α=， 又sin 0α>，所以sin α，【点睛】本题考查了直线倾斜角的求法，重点考查了直线斜率与倾斜角的关系，属基础题. 14.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，点()(),*n n a n N ∈在直线2y x =上，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为______． 【答案】1n n + 【解析】 【分析】 点()()*,n n a n N∈在直线2y x =上，可得2na n =；利用等差数列的求和公式求得n S ，再利用裂项相消的方法求和即可得到结果. 【详解】点()()*,n n a n N∈在直线2y x =上 2nan ⇒=()()2212n n n S n n +==+ ()111111n S n n n n ∴==-++ 则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为：11111111223111nn n n n -+-++-=-=+++L L 本题正确结果：1nn + 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项相消法求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.已知圆221:20C x y kx y +-+=与圆222:40C x y ky ++-=的公共弦所在的直线恒过定点(),P a b ，且点P 在直线20mx ny --=上，则mn 的取值范围是_____. 【答案】1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】先将两圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为(2)40kx k y +--=，再求出公共弦所在的直线恒过定点()2,2-，然后结合二次函数值域的求法求解即可.【详解】解：由圆221:20C x y kx y +-+=与圆222:40C x y ky ++-=，将两圆的方程相减可得(2)40kx k y +--=， 即公共弦所在的直线方程为(2)40kx k y +--=，又(2)40kx k y +--=可变形为()2(2)0k x y y +-+=，令020x y y +=⎧⎨+=⎩，即22x y =⎧⎨=-⎩，则公共弦所在的直线恒过定点()2,2-，即()2,2P -， 又点P 在直线20mx ny --=上， 则1m n +=，则2111(1)()244mn m m m =-=--+≤， 即mn取值范围是1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故答案为：1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了两圆的公共弦所在直线方程的求法，重点考查了直线过定点及二次函数值域的求法，属中档题.16.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，设S 为ABC ∆的面积，且满足)222S a c b =+-，若b =B =______；)12a c +的取值范围是______.【答案】 (1). 3π(2). (3⎤⎦ 【解析】 【分析】由三角形的面积公式及余弦定理可得tan B =，再求B ，再由正弦定理sin sin sin a c bA C B==，得)12a c +=)4A π+，再求值域即可.【详解】解：由)2224S a c b =+-，则)2221sin 2ac B a c b =+-，则sin B B ==，的即tan B = 即3B π=；由正弦定理sin sin sin a c bA C B==， 则2sin ,2sin a A c C ==，则)12a c -+=)21sin 4sin A C -+=)221sin 4sin()3A A π-+-=cos ))4A A A π+=+，又20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则11,4412A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则()34A π+∈-，即)12a c +的取值范围是(3⎤⎦，故答案为：3π，(3⎤⎦. 【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理的综合应用，重点考查了三角函数值域的求法，属中档题.三、解答题（共70分）17.已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，且533S a =，468a a +=． （1）求n a ． （2）设2n nn b a =⋅，求数列{}n b 前n 项和n T ．【答案】(1) ()23n a n =- (2) 2(4)216n n T n +=-⋅+【解析】 【分析】(1)由数列{}n a 是等差数列，所以535S a =，解得30a =，又由46582a a a +==，解得2d =， 即可求得数列的通项公式；(2)由（1）得()1232nn n n b a n +=⋅=-⋅，利用乘公比错位相减，即可求解数列的前n 项和．【详解】(1)由题意，数列{}n a 是等差数列，所以535S a =，又533S a =，30a ∴=， 由46582a a a +==，得54a =，所以5324a a d -==，解得2d =，的所以数列的通项公式为()()3323n a a n d n =+-=-． (2)由（1）得()1232nn n n b a n +=⋅=-⋅，()()()234122120232n n T n +=-⋅+-⋅+⋅++-⋅L ， ()()()()3412221242322n n n T n n ++=-⋅+-⋅++-⋅+-⋅L ，两式相减得()()2341222222232n n n n T T n ++-=⋅-++++-⋅L ，()1228128(3)2(4)21612n n n n n -++--+-⋅=-⋅+=-，即2(4)216n n T n +=-⋅+．【点睛】本题主要考查等差的通项公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等. 18.如图，在ABC ∆中，3B π=，2BC =.（1）若AC =求AB 的长；（2）若AC 的垂直平分线DE 与,AB AC 分别交于,D E两点，且DE =，求角A 的大小. 【答案】（1）3；（2）4π. 【解析】 【分析】（1）由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅，从而解得AB 的长； （2）连接CD ，由题设，有2BDC A ∠=∠，在BCD ∆中，由正弦定理化简可得sin 2ACD =，在直角DEC ∆中，DE CDsin A =，化简得到cos A ，从而求角A 的大小【详解】(1)在ABC ∆中，由余弦定理有2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅，即2230AB AB --=，解得3AB =.（2）如图，连接CD ，由题设，有2BDC A ∠=∠，在BCD ∆中，由正弦定理有CD BC 2sin 60sin 2A sin 2A︒==，故CD =在直角DEC ∆中，DE CDsin 2cos 2A A ===，所以cos A = 而(0,)A π∈ ，故4A π=.【点睛】本题主要考查正弦定理以及余弦定理在求三角形边长和内角中的应用，熟练掌握公式是解题的关键，属于中档题．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60,BAD Q ∠=︒为AD 的中点，2PA PD AD ===.（1）求证：AD ⊥平面PQB ；（2）点M 在线段PC 上，PM tPC =，试确定t 的值，使//PA 平面MQB ； （3）若//PA 平面MQB ，平面PAD ⊥平面ABCD ，求二面角M BQ C --的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）13（3）3π【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理，分别证明AD BQ ⊥，AD BP ⊥即可； （2）利用//PA 平面MQB ，可得//MN PA ,再利用比例关系即可得解；（3）先建立空间直角坐标系，再分别求出平面MQB 和平面ABCD 的一个法向量，再结合向量的夹角公式求解即可.【详解】解：（1）由底面ABCD 为菱形，60,BAD Q ∠=︒为AD 的中点，则AD BQ ⊥, 又PA PD AD ==，则AD PQ ⊥， 又BQ QP Q ⋂=,由线面垂直的判定定理可得AD ⊥平面PQB ； （2）当13t =时，//PA 平面MQB ， 证明如下：连接AC 交BQ 于N ,连接MN ， 因为//AQ BC ,所以，12AN AQ NC BC == 因为//PA 平面MQB ，PA ⊂平面PAC ， 平面MQB ⋂平面PAC MN =， 所以//MN PA ,所以12PM AN MC NC ==, 所以13PM PC =,故13t =；（3）因为AD PQ ⊥,平面PAD ⊥平面ABCD ，交线为AD ，则PQ ⊥平面ABCD ， 建立如图所示的看见直角坐标系，由2PA PD AD ===，则有(1,0,0),A B P , 设平面MQB 的一个法向量为(,,)n x y z =r，由(1,0,PA QB ==u u u r u u u r ,且n PA ⊥r u u u r , n QB ⊥r u u u r ,可得00x ⎧=⎪=，取1z =，则n =r ，取平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)m =u r，则11cos ,212m n m n m n ⋅〈〉===⨯u r ru r r u r r ，故二面角M BQ C --的大小为3π.【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理及线面平行的性质定理，重点考查了利用空间向量求面面角，属中档题. 20.已知过原点O 的动直线l 与圆C ：22(1)4x y ++=交于,A B 两点.（1）若||AB =，求直线l方程；（2）x 轴上是否存在定点00(),M x ，使得当l 变动时，总有直线,MA MB 的斜率之和为0？若存在，求出0x 的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）y x =；（2）03x =. 【解析】试题分析：，1，先求出圆心C，-1，0）到直线l 的距离为12，利用点到直线距离公式能求出直线l 的方程． ，2）设()()1122,,,A x y B x y ，直线MA，MB 的斜率分别为k 1，k 2．设l 的方程为y=kx ，代入圆C 的方程得（k 2+1，x 2+2x -3=0，由此利用韦达定理，结果已知条件能求出存在定点M，3，0），使得当l 变动时，总有直线MA，MB 的斜率之和为0. 试题解析：，Ⅰ）设圆心C 到直线l 的距离为d ，则的12d === 当l 的斜率不存在时，1d =，不合题意 当l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx =，由点到直线距离公式得12=解得3k =±，故直线的方程为3y x =± ，Ⅱ）存在定点M ，且03x =，证明如下： 设()()1122,,,A x y B x y ，直线MA ，MB 的斜率分别为12,k k .当l 的斜率不存在时，由对称性可得AMC BMC ∠=∠，120k k +=，符合题意 当l 的斜率存在时，设的方程为y kx =，代入圆的方程整理得()221230k x x ++-= ∴12221x x k +=-+，12231x x k =-+， ∴()()()120121212102010202kx x kx x x y y k k x x x x x x x x -++=+=----()()()()021020261x k x x x x k -=--+当0260x -=，即03x =时，有120k k +=， 所以存在定点()3,0M 符合题意，03x =. 21.设函数()2ln f x ax x =--(R)a ∈.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a =时，试判断()f x 零点的个数；（Ⅲ）当1a =时，若对(1,)x ∀∈+∞，都有(41ln )()10k x x f x --+-<（Z k ∈）成立，求k 的最大值.【答案】（1）当0a ≤时，()f x 的单减区间为()0,∞+；当0a >时，()f x 的单减区间为10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，单增区间为1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭；（2）两个；（3）0. 【解析】 【分析】（1）求出()'f x ，分两种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2）当1a =时，由（1）可知，()f x 在()0,1是单减函数，在()1,+∞是单增函数，由()2110f f e ⎛⎫⋅<⎪⎝⎭，()()210f f e ⋅<，利用零点存在定理可得结果；（3）当1a =，k 为整数，且当1x >时，()()41ln 10k x x f x --+-<恒成立，()13ln 41ln 2ln 10ln 4x k x x x x k x x x ⎛⎫--+---<⇔<++ ⎪⎝⎭，利用导数求出13ln ln 4x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的取值范围，从而可得结果.【详解】（1）()()2ln 0f x ax x x =-->Q ，∴()11'ax f x a x x-=-= 当0a ≤时，()'0f x <在()0,∞+恒成立，()f x ∴在()0,∞+是单减函数.当0a >时，令()'0f x =，解之得1x a=. 从而，当x 变化时，()'f x ，()f x 随x 的变化情况如下表：由上表中可知，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭是单减函数，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是单增函数.综上，当0a ≤时，()f x 的单减区间为()0,∞+； 当0a >时，()f x 的单减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）当1a =时，由（1）可知，()f x 在()0,1是单减函数，在()1,+∞是单增函数； 又22110f e e⎛⎫=>⎪⎝⎭，()110f =-<，()2240f e e =->. ∴()2110f f e ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，()()210f f e ⋅<； 故()f x 在()0,∞+有两个零点.（3）当1a =，k 为整数，且当1x >时，()()41ln 10k x x f x --+-<恒成立()13ln 41ln 2ln 10ln 4x k x x x x k x x x ⎛⎫⇔--+---<⇔<++ ⎪⎝⎭.令()()3ln ln 1x F x x x x x =++>，只需()()min 14k F x k Z <∈； 又()()2222131ln 2ln '0f x x x x F x x x x x x---=-+===， 由（2）知，()'0F x =在()1,+∞有且仅有一个实数根0x ，()F x 在()01,x 上单减，在()0,x +∞上单增；∴()()()000min 00ln 3ln *x F x F x x x x ==++ 又()1ln3'309F -=<，()()21ln22ln4'401616F --==>，∴()()'3'40F F ⋅<，∴()03,4x ∈且002ln 0x x --=，即00ln 2x x =-代入()*式，得()()()00000min 00023121,3,4x F x F x x x x x x x -==-++=+-∈.而0011t x x =+-在()3,4为增函数，∴713,34t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 即()min 1713,41216F x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 而()713,0,11216⎛⎫⊂⎪⎝⎭，∴()()min 10,14F x ∈，0,k ∴≤即所求k 的最大值为0.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的零点以及不等式恒成立，属于难题.近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的普通方程并求曲线C 上一动点P 到定点()0,1Q 的最远距离； （2）设,A B 是曲线C 上两动点，且OA OB ⊥，求2211OAOB+的值.【答案】（1）2214x y +=，（2）54【解析】 【分析】（1）由曲线C 的参数方程消去参数α，即可的普通方程，再设(2cos ,sin )P αα，然后结合两点距离公式求解即可.（2）将曲线C 的普通方程化为极坐标方程，再结合OA OB ⊥求解即可.【详解】解：（1）由曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）， 则曲线C 的普通方程为2214x y +=， 设曲线C 上一动点(2cos ,sin )P αα，又()0,1Q ，则PQ ， 又[]sin 1,1α∈-，即当1sin 3α=-时，PQ . （2）将cos ,sin x y ρθρθ==代入到曲线C 的普通方程2214x y +=， 得22413sin ρθ=+， 设22413sin OA θ=+， 因为OA OB ⊥， 则22413cos OB θ=+， 所以22221113sin 13cos 5444OA OB θθ+++=+=， 即221154OA OB +=.【点睛】本题考查了曲线普通方程、参数方程与极坐标方程的互化，重点考查了运算能力，属基础题. 23.已知,,a b c 为正实数.（1）求证：()()()8a b b c c a abc +++≥；（2）求222222log ()log ()log ()log log log z a b b c c a a b c =+++++---的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）直接利用基本不等式即可证明；（2）原等式化简可得2()()()log a b b c c a z abc +++=，由（1）的结论，即可得到答案．【详解】（1）因为,,a b c R +∈，由基本不等式可得a b +≥，b c +≥，c a +≥，三式相乘可得：()()()8a b b c c a abc +++≥，当且仅当a b c ==时，等号成立.（2）222222log ()log ()log ()log log log z a b b c c a a b c =+++++---2()()()log a b b c c a abc+++=， 由（1）可得2log 83z ≥=，当且仅当a b c ==时，z 取最小值为3.【点睛】本题考查基本不等式在证明不等式成立以及求最小值中的应用，在利用基本不等式时，注意使用的前提条件，属于中档题.。
宁夏银川唐徕回民中学2019-2020学年第一学期12月月考高二数学试卷(理)
银川唐徕回民中学2019－2020学年第一学期12月月考高二数学试卷（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、已知关于x 的不等式101ax x -<+的解集是11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，则a 的值为（）A 、2B 、2-C 、12D 、12-2、抛物线24x y =的焦点坐标是（） A 、()0,1-B 、()0,1C 、()1,0D 、()1,0-3、已知等比数列{}n a 中有31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77a b =，则59b b +=（） A 、2 B 、4C 、8D 、16 4、下列说法中，正确的是（）A 、命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B 、命题“p q ∨”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题C 、命题“2,0x R x x ∃∈->”的否定是：“2,0x R x x ∀∈-≤” D 、已知x R ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件 5、若向量()()0,2,3,1a b =-=，则与2a b +共线的向量可以是（）A 、)1-B 、(-C 、()1-D 、(1,-6、设0,0a b >>3a与23b的等比中项，则21a b+的最小值为（）A 、5B 、6C 、7D 、87、某汽车公司的,A B 两个装配厂可装配甲、乙两种不同型号的汽车，若A 厂每小时可装配1辆甲型汽车和2辆乙型汽车，B 厂每小时可装配3辆甲型汽车和1辆乙型汽车。
现要装配40辆甲型汽车和40辆乙型汽车，若要使所费的总工作时数最少，则这两个装配厂的工作时数分别为 （ ） A 、16，8 B 、15，9 C 、17，7 D 、14，108、双曲线2212y x -=的焦点为12,F F ，点M 在双曲线上，且120MF MF =，则点M 到x 轴的距离为（ ）A 、43B 、53C 、3D 、239、过抛物线()220y px p =>的焦点F 作斜率为3的直线，与抛物线在第一象限内交于点A ，若4AF =，则p =（）A 、2B 、1C 、3D 、410、已知双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，过左焦点1F 作斜率为3的直线交双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段1F P ，则双曲线的离心率是（） A 、3B 、23+C 、13+D 、2311、三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ∠=∠=︒，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（） A 、3B 、6 C 、3 D 、3 12、已知抛物线28x y =的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点()0,2K -，则PF PK的最小值为（ ）A 、2B 、2C 、22D 、12二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、已知函数()()21f x ax ab x b =+--，如果不等式()0f x >的解集为()1,3-，那么不等式()20f x -<的解集为 。
宁夏银川唐徕回民中学2019_2020学年高二数学12月试题理含解析
【解析】
【详解】试题分析：因为命题“若 ，则 ”的逆命题“若 ，则 ”是假命题，所以选项A不正确;
命题“ 或 ”为真命题，则命题“ "和命题“ ”至少有一个为真命题，所以选项B不正确;
命题“ ， ”的否定是:“ ， ”,选项C正确；
已知 ,则“ ”是“ "的必要不充分条件，所以选项D不正确；
A. 16，8B。 15,9C。 17，7D。 14，10
【答案】A
【解析】
【分析】
根据条件列可行域与目标函数,结合图象确定最小值取法，即得结果
【详解】设 厂工作 小时， 厂工作 小时，总工作时数为 ，则目标函数为 ，约束条件为 作出可行域如图所示，由图知当直线 经过 点时， 取得最小值,由 可得 ，故 厂工作16小时， 厂工作8小时,可使所费的总工作时数最少.选A.
【详解】记点 到抛物线准线的距离为 ，
【详解】解：过A作AB⊥x轴于B点，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作斜率为 的直线，
则在Rt△ABF中，∠AFB ，｜AF｜＝4，
∴｜BF| |AF|＝2，
则xA＝2 ，
∴｜AF|＝xA 2+p＝4，得p＝2．
故选A．
【点睛】本题考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．
10.已知双曲线的方程为 ，过左焦点 作斜率为 的直线交双曲线的右支于点 ，且 轴平分线段 ，则双曲线的离心率是（ ）
A。 B. C. D.
【答案】C
【解析】
不妨 又 所以 ，即 ；所以 则M到x轴的距离
故选C
9.过抛物线 的焦点 作斜率为 的直线,与抛物线在第一象限内交于点 ，若 ，则 （ ）
A。 2B.1C。 D。 4
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高考模拟数学试卷本试卷共4页，分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
共150分，考试时间l20分钟．第I 卷(选择题共50分)注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号．一、选择题：本大题共l0小题。
每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数2满足z(1+i)=2i ，则在复平面内z 对应的点的坐标是(A)(1，1) (B)(1，-l) (C)(-l ，1) (D)(-l ，-l)2．设全集U=R ，集合A={|21x x >}，B={|15x x -≤≤}，则U ()A B I ð等于(A)[-1，0) (B)(0，5] (C)[-1，0] (D)[0，5]3．已知命题p 、q ，“p ⌝为真”是“p q ∧为假”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件4．若圆C 经过(1，0)，(3，0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为(A) 22(2)(2)3x y -+±= (B) 22(2)(3)3x y -+±=(C) 22(2)(2)4x y -+±= (D) 22(2)(3)4x y -+±=5．运行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为(A) 1007(B) 1008(C) 2013(D) 2014(A) 13 (B) 17 (C) 19 (D) 217．函数||x y a =与sin y ax =(0a >且1a ≠)在同一直角坐标系下的图象可能是8．三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，又SA=AB= BC=1，则球O 的表面积为(A) 3π (B) 32π (C) 3π (D) 12π9．对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：,1,, 1.b a b a b a a b -≥⎧⊗=⎨-<⎩设2()(1)(4)f x x x =-⊗+，若函数()y f x k =+的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是(A)(-2，1) (B)[0，1](C)[-2，0) (D)[-2，1)10．如图，已知直线l ：y=k(x+1)(k>0)与抛物线C ：y 2=4x 相交于A 、B 两点，且A 、B 两点在抛物线C 准线上的射影分别是M 、N ，若|AM|=2|BN|，则k 的值是(A)13 (B) 23 (C) 223(D) 22第Ⅱ卷 (非选择题共100分)注意事项：将第Ⅱ卷答案用0．5mm 的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上。
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
1 1．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点的坐标为(3，4)，则cos2α= ．12．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为13．若x 、y 满足条件2102101x y x y y x --≤⎧⎪++≥⎨⎪≤+⎩，则z=x+3y 的最大值是 .14．已知a>b>0,ab=1，则22a b a b+-的最小值为 ． 15．已知函数()y f x =为奇函数，且对定义域内的任意x 都有(1)(1)f x f x +=--．当(2,3)x ∈时，2()log (1)f x x =-给出以下4个结论：①函数()y f x =的图象关于点(k ，0)(k ∈)成中心对称；②函数|()|y f x =是以2为周期的周期函数；③当(1,0)x ∈-时，2()log (1)f x x =--；④函数(||)y f x =在(k ，k+1)( k ∈)上单调递增．其一中所有正确结论的序号为三、解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应寓出文字说明．证明过程或演算步骤．16．(本小题满分l2分)已知函数()sin cos f x x x =+．(I)求函数()y f x =在[0,2]x π∈上的单调递增区间；(Ⅱ)在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知m=(a ，b)，n=(f(C),1)且m//n ，求B ．17．(本小题满分12分)如图，底面是等腰梯形的四棱锥E —ABCD 中，EA ⊥平面ABCD ，AB//CD ，AB=2CD ，∠ABC=3π． (I)设F 为EA 的中点，证明：DF//平面EBC ；(II)若AE=AB=2，求三棱锥—CDE 的体积．18，(本小题满分l2分)甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为l50，边界忽略不计)即为中奖．乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?19．19．(本小题满分12分)已知数列{n a }的前n 项和21n n S a n =+-，数列{n b }满足113(1)n n n n b n a na ++=+-g ，且13b =． (I)求n a ，n b ；(Ⅱ)设n T 为数列{n b }的前n 项和，求n T ．20．(本小题满分13分)已知函数3()f x x x x =--．(I)判断()f x x的单调性； (Ⅱ)求函数()y f x =的零点的个数；(III)令2()lng x x =+，若函数()y g x =在(0，1e )内有极值，求实数a 的取值范围；21．(本小题满分14分)已知双曲线C ：22221x y a b-=的焦距为0x -=．以双曲线C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E ，过原点O 的动直线与椭圆E 交于A 、B 两点．(I)求椭圆E 的方程；(II)若点P 为椭圆的左顶点，2PG GO =u u u r u u u r ，求22||||GA GB +u u u r u u u r 的取值范围；(Ⅲ)若点P 满足|PA|=|PB|，求证222112||||||OA OB OP ++为定值.高考模拟数学试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题只有一项是符合题目要求的1.若复数11i z i +=-，z 为z 的共轭复数，则()2017z = （ B ） A. i B. i - C. 20172i - D. 20172i2.已知全集U R =，集合{}260A x x x =--≤，401x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭,那么集合()U A C B =I （ D ） A. [)2,4- B. (]1,3- C. []2,1-- D. []1,3-3.已知定义在R 上的函数f （x ）=2|x|，记a=f （log 0.53），b=f （log 25），c=f （0），则a ，b ，c 的大小关系为（ B ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．a ＜c ＜bD ．c ＜b ＜a4．某程序框图如右图所示，其中21()g x x x =+，若输出的20162017S =，则判断框内应填入的条件为（ A ）A.2017n <B.2017n ≤C.2017n >D.2017n ≥5.“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为9元，被随机分配为1.49元，1.31元，2.19元，3.40元，0.61元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是（ A ）A. 25B. 12C. 43D. 65 6．如图，格纸的小正形的边长是1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何的体积为( B )A ．25B ．27 C ．432+ D ．333+ 7. 命题px ∈R 且满足sin2x=1.命题qx ∈R 且满足tanx=1.则p 是q 的（ C ）A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件8.为得到函数22cos 3sin 2y x x =-的图象，只需将函数2sin 21y x =+的图像（ C ）A ．向左平移π12个长度单位B ．向右平移π12个长度单位 C ．向左平移5π12个长度单位 D ．向右平移5π12个长度单位 9．已知直线l ：320x y -+=与圆224x y +=交于A ，B 两点，则AB u u u r 在x 轴正方向上投影的绝对值为（ C ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 410.在直角ABC ∆中,090,1BCA CA CB ∠===,P 为AB 边上的点AP AB λ=u u u r u u u r ,若PB PA AB CP ⋅≥⋅,则λ的最小值是( B ) A. 1 B. 222- C. 22D. 2 11．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点和上顶点分别为A B 、，左、右焦点分别是12,F F ，在线段AB 上有且只有一个点P 满足12PF PF ⊥，则椭圆的离心率的平方为（ D ）A ．32B ．312-C ．352+D ．352- 12.已知函数kx x f =)( )1(2e x e≤≤，与函数2)1()(x e x g =，若)(x f 与)(x g 的图象上分别存在点N M ,， 使得MN 关于直线x y =对称，则实数k 的取值范围是（ B ）．A. ],1[e e - B. ]2,2[e e - C. )2,2(e e - D. ]3,3[e e-第Ⅱ卷二． 填空题：本大题共4小题 ，每小题5分，满分20分，其中第16题第一问2分，第二问3分。
13．已知双曲线的右焦点F 为圆03422=+-+x y x 的圆心，且其渐近线与该圆相切， 则双曲线的标准方程是 2213x y -= ． 14．若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =__8______时，{}n a 的前n 项和最大.15．已知球O 的球心到过球面上三点A 、B 、C 的截面的距离等于球半径的一半，且3AB =，tan 3ACB ∠=-，则球O 的体积为 323π ． 16．函数()y f x =图像上不同两点()()1122,,,M x y N x y 处的切线的斜率分别是,M N k k ，规定(),M N k k M N MNϕ-= (MN 为线段MN 的长度)叫做曲线()y f x =在点M 与点N 之间的“弯曲度”.①函数()31f x x =+图象上两点M 与点N 的横坐标分别为1和2, (),M N ϕ=9210 ； ②设曲线()32f x x =+上不同两点()()1122,,,M x y N x y ，且121x x ⋅=，则(),M N ϕ的取值范围是3100⎛ ⎝⎦， . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题12分）已知向量)1,(cos -=x a ρ，)21,sin 3(-=x b ρ，函数()()2f x a b a =+-r r rg ．（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）在ABC ∆中，三内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，已知函数()f x 的图象经过点)21,(A ，c a b 、、 成等差数列，且9AB AC ⋅=u u u r u u u r，求a 的值.17.试题解析：()()2f x a b a =+-r r r g 2||2-⋅+=b a a ρρρ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=62sin 2sin 232cos 21πx x x ……3分） （1）最小正周期：22T ππ==， ………………………………（4分） 由222()262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得：()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈所以()f x 的单调递增区间为：[,]()36k k k Z ππππ-+∈; …………………………（6分）（2）由1()sin(2)62f A A π=+=可得：5222()666A k k k Z πππππ+=++∈或所以3A π=, ……（8分）又因为,,b a c 成等差数列，所以2a b c =+， 而1cos 9,182AB AC bc A bc bc ⋅===∴=u u u v u u u v……………………（10分） 222221()4cos 111223612b c a a a a A bc +--∴==-=-=-， 32a ∴=. …………（12分）（18）（本小题满分12分）某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费, 并注册成为会员, 对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：消费次第 第1次第2次第3次第4次5≥次收费比例10.95 0.90 0.85 0.80消费次第 第1次第2次第3次第4次第5次频数60 20 10 5 5（1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；（2）某会员仅消费两次, 求这两次消费中, 公司获得的平均利润；（3）设该公司从至少消费两次会员中，用分层抽样方法抽出8人, 再从这8人中抽出2人发放纪念品,求抽出2人中恰有1人消费两次的概率．18：解（1）P=25….3分 （2）公司获得的平均利润为45元……6分（3）P=1628=47…….12分19．（本小题满分12分）如图所示，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为直角梯形，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，CD=2AB ．点E 是PC 的中点． （Ⅰ）求证：BE ∥平面PAD ；（Ⅱ）已知平面PCD ⊥底面ABCD ，且PC=DC ．在棱PD 上是否存在点F ，使CF ⊥PA ？请说明理由．解：（1）证明：取PD 中点Q ，连结AQ 、EQ ．∵E 为PC 的中点，∴EQ ∥CD 且EQ=CD ．…又∵AB ∥CD 且AB=CD ，∴EQ ∥AB 且EQ=AB ．…∴四边形ABED 是平行四边形， ∴BE ∥AQ ．…又∵BE ⊄平面PAD ，AQ ⊂平面PAD ， ∴BE ∥平面PAD ．…6分（2）解：棱PD 上存在点F 为PD 的中点，使CF ⊥PA ， ∵平面PCD ⊥底面ABCD ，平面PCD ∩底面ABCD=CD ，AD ⊥CD ， ∴AD ⊥平面PCD ，∴DP 是PA 在平面PCD 中的射影， ∴PC=DC ，PF=DF ，∴CF ⊥DP ，∴CF ⊥PA ． 12分20.（本题满分12分） 已知抛物线C 22(0)xpy p =>的准线为L ，焦点为F ，M e 的圆心在y 轴的正半轴上，且与x轴相切，过原点作倾斜角为6π的直线n ，交L 于点，交M e 于另一点B ，且（ 1 ） 求M e 和抛物线C 的方程;（ 2 ） 过L 上的动点Q 作M e 的切线，切点为S .T ，求当坐标原点O 到直线ST 的距离取得最大值时，四边形QSMT 的面积.解：20、（1）准线L 交轴于，在中所以,所以，抛物线方程是(3分)在中有,所以所以⊙M 方程是： (6分)（2）解法一设所以切线；切线 (8分)因为SQ和TQ交于Q点所以和成立所以ST方程： (10分)所以原点到ST距离，当即Q在y轴上时d有最大值此时直线ST方程是 (11分)所以所以此时四边形QSMT的面积 (12分)说明：此题第二问解法不唯一，可酌情赋分．【注】只猜出“直线ST方程是”未说明理由的，该问给2分利用ＳＭＴＱ四点共圆的性质，写出以ＱＭ为直径的圆方程的得2分两圆方程相减得到直线ＳＴ方程得４分；以后步骤赋分参照解法一．21.（本题满分12分）已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+x2﹣bx．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（3）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．解：21.（1）∵f（x）=x+alnx，∴f′（x）=1+，∵f（x）在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，∴k=f′（x）|x=1=1+a=2，解得a=1． 3分（2）∵g（x）=lnx+﹣（b﹣1）x，∴g′（x）=，x＞0，由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即x++1﹣b＜0有解，∵定义域x＞0，∴x+≥2，x+＜b﹣1有解，只需要x+的最小值小于b﹣1，∴2＜b﹣1，解得实数b的取值范围是{b|b＞3}．7分（3）∵g（x）=lnx+﹣（b﹣1）x，∴g′（x）==0，∴x1+x2=b﹣1，x1x2=1，∴g （x 1）﹣g （x 2）=ln ﹣（﹣）∵0＜x 1＜x 2，∴设t=，0＜t ＜1，令h （t ）=lnt ﹣（t ﹣），0＜t ＜1， 10分则h′（t ）=﹣＜0，∴h （t ）在（0，1）上单调递减，又∵b ≥，∴（b ﹣1）2≥，∵0＜t ＜1，∴4t 2﹣17t+4≥0，∴0＜t ≤，h （t ）≥h （）=﹣2ln2，故所求的最小值为﹣2ln2． 12分选做题 请考生从22、23题中任选一题作答，共10分。