高中数学作业5(共5篇)

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高中数学作业

高中数学作业

高中数学作业学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________6⎝⎭A .()f x 最大值为1C .()f x 的最小正周期为43π2.在斜ABC 中,下列命题正确的是()A .若sin sin AB >,则A B >B .若cos cos A B >,则A B>C .若ABC 是锐角三角形,则sin cos A B >二、单选题A.平行四边形C.五边形10.在中,,则A.B...11.下列命题正确的是()A.如果一条直线不在平面内,则这条直线就与这个平面平行B.过直线外一点,可以作无数个平面与这条直线平行C.如果一条直线与平面平行,则它与平面内的任何直线平行D.如果一条直线平行于平面内的无数条直线,则该直线与平面平行三、填空题16.已知在中,,,,则___四、解答题17.已知函数()2cos cos 3f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(1)设,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,求()f x 的单调递减区间;(2)若11126f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,,123ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求18.如图所示,已知等腰直角三角形RBC(1)求()f x 的解析式;(2)1(,),()1233f ππαα∈=,求21.如图,在四棱锥P ABCD -中,平面ABCD ,ADC DAB ∠=∠=(1)求证:点H 在平面DEF 内;(2)若二面角E DF C --的余弦值为22.已知,a b 均为单位向量,它们的夹角为参考答案:1230,1,3DC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,1DB ∴110DC DB ⋅≠,∴1DB 与D :设三棱柱外接球的半径为∴22232333R ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选:AC .5.A【解析】根据复数运算法则化简,求出复数的共轭复数,由复数概念可得结论【详解】5112i z i i --==++ 1355z i ∴=+,所以z 的虚部为35.故选:A【点睛】本题主要考查了复数的除法运算,复数的共轭,复数的虚部,属于容易题6.A【分析】选定,CA CB为基底,将数量积问题转化为基底的运算,即可得答案故选:D10.D【分析】根据向量数量积的运算,化简为边与角的表达式,进而变形为余弦定理的表达形式,通过解方程求得a、b、c的关系,即可求得三个角的正弦值的比值.【详解】由题意,在中,,利用向量的数量积的定义可知,即,即,设,解得,所以,所以由正弦定理可得,故选D【点睛】本题考查了向量的数量积运算,余弦定理的表达形式及正弦定理的性质,属于中档题.【详解】HE =,且45ADB ∠=︒,故HE BD ⊥,1HE D D ⊥,且1BD DD D = ,所以HE //FG ,同理可得GF ⊥平面11BDD B ,,PG 与平面11BDD B 所成角分别为HPE ∠GPF =∠.tan HE HPE PE ∠=,tan GF GPF PF ∠=,且2PE =,()在平面11BDD B 中,以线段EF 所在直线为则()1,0E -,()1,0F ,(522,0B -设(),P x y ,由2PF PE =可得,()()2222121x y x y ⎡⎤-+=++⎣⎦,化简整理得()2238x y ++=,所以点P 在圆心为()3,0-,半径为此时线段BP 长的最小值是522--.【详解】试题分析:由正弦定理可得,,代入数值可求出,可求,又因为所以由大角对大边的原则,<B<A=,综合得则()()(1,0,0,2,1,0,0,0,1D C P --所以()(1,1,0,1,0,1DC DP =-= 设平面PCD 的法向量为(n =(2)∵平面PCD ⊥平面ABCD ,平面且AD ⊂平面ABCD ,AD ⊥CD ∴AD ⊥平面PCD ,故以D 为坐标原点,DA 为x 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设则(),0,0A t ,()0,1,3P ,(B t32222.313a b += 【解析】首先利用向量数量积的运算,求得【详解】2222|3|(3)96a b a b a b a +=+=++⋅ ,a b 是单位向量,且,60a b ︒〈〉= ,2|3|19611cos 6013a b ︒∴+=++⨯⨯⨯= ,|3|13a b ∴+= .【点睛】本小题主要考查向量数量积的运算,考查向量模的求法,属于基础题。

高中数学5一元函数的导数及其应用5.2.2导数的四则运算法则课时作业含解析第二册

高中数学5一元函数的导数及其应用5.2.2导数的四则运算法则课时作业含解析第二册

课时作业(十五)导数的四则运算法则[练基础]1.(多选题)下列运算中正确的是()A.(ax2+bx+c)′=2ax+bB.(sin x-2x2)′=cos x-4xC.(错误!)′=错误!=错误!D.(cos x·sin x)′=-sin 2x+cos2x2.已知函数f(x)=x-sin x,且f(x)的导数为f′(x),若a =f′错误!,b=f′错误!,c=f′错误!,则a,b,c的大小关系为()A.c<b〈a B.a〉b>cC.a〈b<c D.b〈a〈c3.曲线f(x)=-x3+2x在横坐标为-1的点处的切线为l,则点(3,2)到l的距离是()A.错误!B.错误!C.错误!D。

错误!4.已知曲线y=x4+ax2+1在点(-1,a+2)处切线的斜率为8,则a=________。

5.函数f(x)=错误!在x=1处的切线方程为________.6.(1)曲线C:y=ax3+bx2+cx+d在点(0,1)处的切线为l1:y =x+1,在点(3,4)处的切线为l2:y=-2x+10,求曲线C的方程.(2)求曲线S:y=2x-x3过点A(1,1)的切线方程.[提能力]7.已知f(x)=错误!x2+cos x,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(x)的图象是()8.已知函数f(x)=错误!x2-a ln x.若函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线不过第四象限且不过原点,则实数a的取值范围为________.9.已知函数f(x)=x-错误!,g(x)=a(2-ln x)(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在x=1处的切线的斜率相同,求a的值.(2)若存在一点,使得曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在该点处的切线的斜率相同,求实数a的取值范围.[战疑难]10.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),现给出定义:设f′(x)是函数f(x)的导数,f″(x)是f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数f(x)=ax3+bx2+cx +d(a≠0)的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点"就是对称中心.设函数g(x)=2x3-3x2+1,则g错误!+g错误!+…+g错误!=__________。

高中数学学习评语(5篇)

高中数学学习评语(5篇)

高中数学学习评语(5篇)高中数学学习评语高中数学学习评语(精选5篇)高中数学学习评语篇11、你有良好的学习愿望,总是缺乏信心,好好努力,学好每门功课,一分耕耘,一份收获。

克服学习上的困难,不断向前进。

2、你是一个非常文静、礼貌、懂事的女孩,对待班级工作总是默默无闻、一丝不苟,对待他人总是坦率与友好,你是同学们的好朋友,你学习基础较差,思维也不够敏捷,但你仍然踏踏实实,一步一个脚印,勇往直前。

愿你继续努力,我始终会做你的支持者、为你加油,为你鼓劲!3、从你的作文中可以看出你是个爱憎分明,正直、有爱心的孩子,在你的内心深处,上进心依旧未泯灭,你不是有个竞争对手吗?只要你努力,像啄木鸟一样啄掉自己身上的懒虫,是有希望赶上并超过他的。

4、你富有朝气,性格直率,爱好广泛,努力为班级争荣誉,运动场上的英姿是你最大的骄傲,但你又是一个总让我“提心吊胆”的男孩,何时能让我自豪?我仍在苦苦等待。

愿你我携手相伴,托起你明天的辉煌!18、你思想纯朴,待人随和、诚恳,能自觉遵守纪律,尤其能遵守宿舍纪律,但你平时工作不够踏实,做事有点马虎,学习上效率不高,进取心不强,与同学不能和睦相处,缺乏为班级争光的热情与能力。

愿你活泼、开朗、锻炼能力,做一个全面发展的好学生!5、你是一个积极要求上进的男孩,从一次次的发言中,流露出迫切要求的愿望,但你总是还缺乏明辨是非的能力,常常让老师有些失望。

愿你把美好的理想转化为实际的行动,只有脚踏实地的人,才能达到光辉的顶点!6、你知道吗?每当你上课时专心听讲,用一双充满求知欲的眼睛看着我时,每当你认认真真、工工整整地完成作业时,老师是多么高兴,可是你为什么不能每天、每一次都自觉地这样做呢?特别是老师不在你身边时?7、古人云:书山有路勤为径,学海无涯苦作舟,学习上岂有平坦的大道?不付出艰辛的代价怎能有辉煌的成就?你天资不错,又有求知欲,有上进心,父母也对你寄予厚望,为什么不努力进取,勤奋学习,为自己开创出美好的未来呢?8、学习如驾车登山,不进则退,聪明的你之所以在学习上不象我们希望的那样,是因为你还缺乏主动性,只有鼓足学习的热情,并且脚踏实地,不断积累,才能不至于埋没自己的良好天资。

高一数学必修5复习数学作业(解析)

高一数学必修5复习数学作业(解析)

1 4
1 n
1= n 1
1 4
1 n 1
1 n
所以
a12
a22
a32
an 2
1 4
1 1
1 2
1 2
1 3
1 n 1
1 n
故 a12
a22
a32
an 2
1 2
试卷第 7页,总 7页
2(1
1 2n
)
1
4(1
1 2n
)
4
1 2n2
,因为
2
S
/ n
1 2
1 2
3
1 22
n
1 2 n1
,所以
1 2
S
/ n
1 2
2
1 22
3
1 23Βιβλιοθήκη n1 2n,以上两式两边相
减可得
1 2
S
/ n
1
1 2
1 22
1 23
1 2 n1
n
1 2n
1
1 2n
1 1
n
1 2n
2
1 2 n1
n
1 2n
,所以
an
的通项公式;(2)放缩
an 2
1 2 2n
1 4
1 n2
11 4n
n
1 1

1 4
1 n 1
1 n ,累加后相加相消即可证出.
试卷第 6页,总 7页
试题解析:
①由1可知列
1 an
为等差数列,且首项为
1 2
,公差为
2,故
an
1 2n

依题可知
an 2
1 2n

高中数学学习心得体会(精选5篇)

高中数学学习心得体会(精选5篇)

高中数学学习心得体会(精选5篇)高中数学学习心得体会(精选5篇)从某件事情上得到收获以后,可用写心得体会的方式将其记录下来,这样我们可以养成良好的总结方法。

怎样写好心得体会呢?下面是小编整理的高中数学学习心得体会(精选5篇),仅供参考,欢迎大家阅读。

高中数学学习心得体会篇1数学并没有想像的那么难,也不像想像的那样需要投入更多的时间。

我觉得到高中为止,要学习的数学一点儿不比熟悉电脑游戏难。

不过,还有很多学生觉得数学吃力,这是由于他们对数学这门最具逻辑的学科采用了最无逻辑性、最不科学的方法去学习的缘故。

“只要你多做题就好了!”还有这么无知、这么难的方法吗?还不如干脆说:“不知有什么方法”呢,至少还算个坦率的人。

我觉得说出“数学学习无捷径可走”这种不负责任的话的人,应该好好反省一下,因为自己没有做到,就告诉别人无路可走,这是多么危险的思维方式啊!希望通过做大量的习题来提高成绩,但终又尝到失败滋味,我意识到数学学习中盲目地搞题海战术绝对不是什么好方法。

为什么这么多的学生在数学上面投入大量的时间和精力,结果终于告败呢?我还先谈一谈学生越学越糟糕的5个原因,只有清楚地知道这些原因,数学才能真正简单起来。

一、根基不实我遇到的大部分学生都感叹:“数学太难了!”在他们看来,就算自己尽力了,随着年级的升高,数学还是会越来越难。

“到底谁觉得数学简单!”不妨先思考一个问题。

如果问初中生“5+7等于多少?5×8等于多少?”的话,谁都可以轻易地回答,但对小学一二年级的学生简单吗?不是。

还有大家可能上了高中后曾给初中生解过一次方程,“喂!这个这样做不就可以了!你是木头脑袋啊?”成了青蛙,就忘了做蝌蚪的时候了,就知道一味地斥责别人。

作为高中生,连一次函数都不知道,就算学了二次函数、三次函数也不可能真正理解,要做这类的题目等于是在挑战绝对不可能的事。

只有地基夯实了,上面的建筑才会牢固,如果没有一个坚实的基础,那建筑不成了豆腐渣式工程。

高中数学人教版(新教材)必修1课时作业5:1.4.1 充分条件与必要条件

高中数学人教版(新教材)必修1课时作业5:1.4.1 充分条件与必要条件

§1.4 充分条件与必要条件1.4.1 充分条件与必要条件1.(多选)使ab>0成立的充分条件是()A.a>0,b>0 B.a+b>0C.a<0,b<0 D.a>1,b>1答案ACD解析因为a>0,b>0⇒ab>0;a<0,b<0⇒ab>0;a>1,b>1⇒ab>0,所以选项ACD都是使ab>0成立的充分条件.2.使x>1成立的一个必要条件是()A.x>0 B.x>3C.x>2 D.x<2答案 A解析只有x>1⇒x>0,其他选项均不可由x>1推出.3.下列命题中,p是q的充分条件的是()A.p:ab≠0,q:a≠0B.p:a2+b2≥0,q:a≥0且b≥0C.p:x2>1,q:x>1D.p:a>b,q:a>b答案 A解析根据充分条件的概念逐一判断.只有ab≠0⇒a≠0.4.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的()A.充分条件B.必要条件C.既不是充分条件也不是必要条件D.既是充分条件又是必要条件答案 A解析∵A={1,a},B={1,2,3},A⊆B,∴a∈B且a≠1,∴a=2或3,即a=3⇒A⊆B,∴“a=3”是“A⊆B”的充分条件.5.(多选)下列命题中,p是q的充分条件的是()A.p:a是无理数,q:a2是无理数B.p:四边形为等腰梯形,q:四边形对角线相等C.p:x>2,q:x≥1D.p:a>b,q:ac2>bc2答案BC解析A中,a=2是无理数,a2=2是有理数,所以p不是q的充分条件;B中,因为等腰梯形的对角线相等,所以p是q的充分条件;C中,x>2⇒x≥1,所以p是q的充分条件;D中,当c=0时ac2=bc2,所以p不是q的充分条件.6.“x2=2x”是“x=0”的________条件,“x=0”是“x2=2x”的________条件(用“充分”“必要”填空).答案必要充分解析由于x=0⇒x2=2x,所以“x2=2x”是“x=0”的必要条件,“x=0”是“x2=2x”的充分条件.7.下列说法不正确的是________.(只填序号)①“x>5”是“x>4”的充分条件;②“xy=0”是“x=0且y=0”的充分条件;③“-2<x<2”是“x<2”的充分条件.答案②解析②中由xy=0不能推出x=0且y=0,则②不正确;①③正确.8.条件p:2-x>0,条件q:x<a,若p是q的充分条件,则a的取值范围是________.答案{a|a≥2}解析p:x<2,若p是q的充分条件,则p⇒q,即p对应集合是q对应集合的子集,故a≥2. 9.指出下列命题中,p是q的什么条件?(1)p :x 2=2x +1,q :x =2x +1;(2)p :a 2+b 2=0,q :a +b =0;(3)p :(x -1)2+(y -2)2=0,q :(x -1)(y -2)=0.解 (1)∵x 2=2x +1⇏x =2x +1,x =2x +1⇒x 2=2x +1,∴p 是q 的必要条件.(2)∵a 2+b 2=0⇒a =b =0⇒a +b =0,a +b =0⇏a 2+b 2=0,∴p 是q 的充分条件.(3)∵(x -1)2+(y -2)2=0⇒x =1且y =2⇒(x -1)·(y -2)=0,而(x -1)(y -2)=0⇏(x -1)2+(y -2)2=0,∴p 是q 的充分条件.10.已知p :-1<x <3,若-a <x -1<a 是p 的一个必要条件,求使a >b 恒成立的实数b 的取值范围.解 由于p :-1<x <3,又由-a <x -1<a ,得1-a <x <1+a ,依题意,得{x |-1<x <3}⊆{x |1-a <x <1+a },所以⎩⎪⎨⎪⎧1-a ≤-1,1+a ≥3,解得a ≥2, 则使a >b 恒成立的实数b 的取值范围是{b |b <2}.11.设x ,y 是两个实数,命题:“x ,y 中至少有一个数大于1”的充分条件是( )A .x +y =2B .x +y >2C .x 2+y 2>2D .xy >1 答案 B解析 对于选项A ,当x =1,y =1时,满足x +y =2,但命题不成立;对于选项C ,D ,当x =-2,y =-3时,满足x 2+y 2>2,xy >1,但命题不成立,也不符合题意.12.集合A ={x |-1<x <1},B ={x |-a <x -b <a }.若“a =1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件,则实数b 的取值范围是( )A .{b |-2≤b <0}B .{b |0<b ≤2}C .{b |-2<b <2}D .{b |-2≤b ≤2}答案 C解析 A ={x |-1<x <1},B ={x |-a <x -b <a }={x |b -a <x <b +a }.因为“a =1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件,所以-1≤b -1<1或-1<b +1≤1,即-2<b <2.13.设命题p :k >5,b <5,命题q :一次函数y =(k -4)x +b -5的图象交y 轴于负半轴,交x 轴于正半轴,则p 是q 的________条件;q 是p 的________条件.(用“充分”“必要”填空) 答案 充分 必要解析 当k >5,b <5时,函数y =(k -4)x +b -5的图象如图所示,此时一次函数y =(k -4)x +b -5的图象交y 轴于负半轴,交x 轴于正半轴,∴p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件.14.已知p :x <-2或x >10,q :x <1+a 或x >1-a .若p 是q 的必要条件,则实数a 的取值范围为________.答案 {a |a ≤-9}解析 ∵q :x <1+a 或x >1-a ,∴a ≤0.∵p 是q 的必要条件,∴q ⇒p ,∴⎩⎪⎨⎪⎧1+a ≤-2,1-a ≥10,a ≤0,解得a ≤-9.15.设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,那么( )A .丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件B .丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件C .丙既是甲的充分条件,又是甲的必要条件D .丙既不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件答案 A解析 因为甲是乙的必要条件,所以乙⇒甲.又因为丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,所以丙⇒乙,但乙⇏丙,如图.综上,有丙⇒甲,但甲⇏丙,即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件.16.(1)是否存在实数m ,使2x +m <0是x <-1或x >3的充分条件?(2)是否存在实数m ,使2x +m <0是x <-1或x >3的必要条件? 解 (1)欲使2x +m <0是x <-1或x >3的充分条件,则只要⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <-m 2⊆{x |x <-1或x >3}, 即只需-m 2≤-1,所以m ≥2. 故存在实数m ≥2,使2x +m <0是x <-1或x >3的充分条件.(2)欲使2x +m <0是x <-1或x >3的必要条件,则只要{x |x <-1或x >3}⊆⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <-m 2, 这是不可能的.故不存在实数m ,使2x +m <0是x <-1或x >3的必要条件.。

高中数学人教A版必修第一册课时作业5-6 函数y=Asin(ωx+φ)

课时作业54 函数y =A sin(ωx +φ)——基础巩固类——一、选择题1.要得到函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x -π3的图象,只需将函数y =sin4x 的图象( B )A .向左平移π12个单位 B .向右平移π12个单位 C .向左平移π3个单位D .向右平移π3个单位解析:y =sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π12 =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x -π3.故选B.2.将函数y =sin2x 的图象向右平移π2个单位长度,所得图象对应的函数是( A )A .奇函数B .偶函数C .既是奇函数又是偶函数D .非奇非偶函数解析:y =sin2x 的图象向右平移π2个单位长度得到函数y =sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π2=sin(2x -π)=-sin(π-2x )=-sin2x 的图象.因为-sin(-2x )=sin2x ,所以是奇函数.3.函数y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,π上的简图是( A )解析:当x =0时,y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π3=-32<0,故可排除B ,D.当x =π6时,y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6-π3=sin0=0,排除C ,故选A.4.将函数y =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3的图象向右平移π2个单位长度,所得图象对应的函数( B )A .在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12,7π12上单调递减B .在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12,7π12上单调递增C .在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,π3上单调递减D .在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,π3上单调递增解析:函数图象右移π2个单位后得到函数解析式为y =3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π2+π3=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -2π3,把选项逐一代入验证可得,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12,7π12时,2x -2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,π2,函数单调递增,选B.5.已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中ω>0,A >0,|φ|<π2的部分图象如图所示,则f (x )的解析式为( A )A .f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3B .f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +π3C .f (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫12x -π3D .f (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π3解析:T =⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12-π3×4=π,由T =2πω得ω=2,由题图象知A =1,又由2×π3+φ=π+2k π(k ∈Z ),|φ|<π2得φ=π3.所以f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3.故选A.6.将函数f (x )=sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度,所得图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π40,则ω的最小值是(D )A.13 B .1 C.53D .2解析:把f (x )=sin ωx 的图象向右平移π4个单位长度得y =sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x -π4的图象.∵所得图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π40,∴sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4-π4=0.∴sin ωπ2=0,∴ωπ2=k π(k ∈Z ).∴ω=2k (k ∈Z ).∵ω>0,∴ω的最小值为2. 二、填空题7.y =-2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x -π3的振幅为2,周期为2π3,初期φ=2π3. 解析:y =-2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x -π3=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x -π3+π=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x +2π3. ∴振幅A =2,周期T =2π3,初相φ=2π3.8.若将函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y 轴对称,则φ的最小正值是3π8.解析:把函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4的图象向右平移φ个单位,得到f (x )=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x -φ)+π4=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -2φ+π4的图象.由于f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -2φ+π4的图象关于y 轴对称,所以-2φ+π4=k π+π2,k ∈Z .即φ=-k π2-π8,k ∈Z .当k =-1时,φ的最小正值是3π8.9.已知f (x )=2sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0,|φ|≤π2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,4π3上单调,且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3=0,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3=2,则f (0)=-1.解析:由题意知14·2πω=4π3-π3,所以ω=12.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3=0,得12×π3+φ=k π,k ∈Z . 所以φ=-π6+k π,k ∈Z .又因为|φ|≤π2,所以φ=-π6.f (0)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6=-1.三、解答题10.已知函数f (x )=3sin(2x +φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,其图象向左平移π6个单位长度后,关于y 轴对称.(1)求函数f (x )的解析式.(2)说明其图象是由y =sin x 的图象经过怎样的变换得到的. 解:(1)将函数f (x )=3sin(2x +φ)图象上的所有点向左平移π6个单位长度后,所得图象的函数解析式为y =3sin[2(x +π6)+φ]=3sin(2x +π3+φ). 因为图象平移后关于y 轴对称, 所以2×0+π3+φ=k π+π2(k ∈Z ), 所以φ=k π+π6(k ∈Z ). 因为φ∈(0,π2),所以φ=π6. 所以f (x )=3sin(2x +π6).(2)将函数y =sin x 的图象上的所有点向左平移π6个单位长度,所得图象的函数解析式为y =sin(x +π6),再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),得函数y =sin(2x +π6)的图象,再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),即得函数y =3sin(2x +π6)的图象.11.已知函数f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π4+1.(1)求函数y =f (x )的周期、最大值和对称中心;(2)在直角坐标系中画出y =f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,π2上的图象.解:(1)周期T =2πω=2π2=π,∵-1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π4≤1,∴f (x )的最大值是1+ 2.由2x -π4=k π(k ∈Z ),得x =k π2+π8(k ∈Z ),∴对称中心为(k π2+π8,1)(k ∈Z ).(2)列表如下:x -π2 -π8 π8 3π8 π2 f (x )21-211+22函数y =f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,π2上的图象如图所示.——能力提升类——12.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x +φ+k .据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( C )A .5B .6C .8D .10解析:由题图可知-3+k =2,k =5,y =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x +φ+5,∴y max=3+5=8.13.将函数f (x )=sin2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图象.若对满足|f (x 1)-g (x 2)|=2的x 1,x 2,有|x 1-x 2|min =π3,则φ=( D )A.5π12B.π3C.π4D .π6解析:由已知得g (x )=sin(2x -2φ),满足|f (x 1)-g (x 2)|=2,不妨设此时y =f (x )和y =g (x )分别取得最大值与最小值,又|x 1-x 2|min =π3,令2x 1=π2,2x 2-2φ=-π2,此时|x 1-x 2|=|π2-φ|=π3,又0<φ<π2,故φ=π6,选D.14.函数y =cos(2x +φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后,与函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3的图象重合,则φ=5π6. 解析:y =cos(2x +φ)的图象向右平移π2个单位后得到y =cos[2(x-π2)+φ]的图象,化简得y =-cos(2x +φ),又可变形为y =sin(2x +φ-π2).由题意可知φ-π2=π3+2k π(k ∈Z ),所以φ=5π6+2k π(k ∈Z ),结合-π≤φ<π知φ=5π6.15.某同学用“五点法”画函数f (x )=A sin(ωx +φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0,|φ|<π2在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:(2)将y =f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y =g (x )的图象.若y =g (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π120,求θ的最小值.解:(1)根据题表中已知数据,解得A =5,ω=2,φ=-π6.数据补全如下表:且函数表达式为f (x )=5sin(2x -π6). (2)由(1)知f (x )=5sin(2x -π6), 得g (x )=5sin(2x +2θ-π6).因为y =sin x 的对称中心为(k π,0),k ∈Z . 令2x +2θ-π6=k π(k ∈Z ), 解得x =k π2+π12-θ,k ∈Z .由于函数y =g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π120成中心对称,令k π2+π12-θ=5π12(k ∈Z ),解得θ=k π2-π3,k ∈Z .由θ>0可知,当k =1时,θ取得最小值π6.由Ruize收集整理。

高中数学人教版(新教材)必修1课时作业5:1.4.2 充要条件

1.4.2 充要条件基础达标一、选择题1.设a ,b ,c 分别是△ABC 的三条边,且a ≤b ≤c ,则“a 2+b 2=c 2”是“△ABC 为直角三角形”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析 a 2+b 2=c 2⇔△ABC 为直角三角形,故选C. 答案 C2.已知p :-2<x <2,q :-1<x <2,则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件解析 p :-2<x <2. q :-1<x <2. ∵{x |-1<x <2}{x |-2<x <2},∴p 是q 的必要不充分条件,选B. 答案 B3.如果A 是B 的必要不充分条件,B 是C 的充要条件,D 是C 的充分不必要条件,那么A 是D 的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析 由条件,知D ⇒C ⇔B ⇒A ,即D ⇒A ,但A D ,故选A. 答案 A4.使“x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥3或x ≤-12”成立的一个充分不必要条件是( )A.x ≥0B.x <0或x >2C.x ∈{-1,3,5}D.x ≤-12或x ≥3解析 选项中只有x ∈{-1,3,5}是使“x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥3或x ≤-12”成立的一个充分不必要条件. 答案 C5.“x =1”是“x ∈{x |x ≤a }”的充分条件,则实数a 的取值范围为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12 B.⎩⎨⎧a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫a <12 C.{}a |a <1 D.{}a |a ≥1解析 由题意,{1}是{x |x ≤a }的子集,∴a ≥1.故选D. 答案 D 二、填空题6.p :两个三角形的三条边对应相等,q :两个三角形全等,则p 是q 的________条件.解析 p ⇒q ,q ⇒p ,故p 是q 的充要条件. 答案 充要7.一次函数y =kx +b (k ≠0)的图象不过第三象限的充要条件是________. 解析 如图所示,要使一次函数y =kx +b (k ≠0)不过第三象限,则需k <0且b ≥0. 答案 k <0且b ≥08.若“x ≤-1或x ≥1”是“x <a ”的必要不充分条件,则实数a 的最大值为________. 解析 “x ≤-1或x ≥1”是“x <a ”的必要不充分条件,则由“x <a ”可以推出“x ≤-1或x ≥1”,但由“x ≤-1或x ≥1”推不出“x <a ”,所以a ≤-1,所以实数a 的最大值为-1.答案 -1 三、解答题9.指出下列各题中p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选一个作答). (1)p :x -3=0,q :(x -2)(x -3)=0; (2)p :两个三角形相似,q :两个三角形全等; (3)p :a >b ,q :a +c >b +c .解 (1)x -3=0⇒(x -2)(x -3)=0,但(x -2)(x -3)=0x -3=0,故p 是q 的充分不必要条件. (2)两个三角形相似两个三角形全等,但两个三角形全等⇒两个三角形相似,故p 是q 的必要不充分条件.(3)a >b ⇒a +c >b +c ,且a +c >b +c ⇒a >b ,故p 是q 的充要条件. 10.不等式3x +a ≥0成立的充要条件为x ≥2,求a 的值. 解 3x +a ≥0化为x ≥-a3.由题意⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥-a 3={x |x ≥2},所以-a3=2,a =-6.能力提升11.已知P ={x |-2≤x ≤10},非空集合S ={x |1-m ≤x ≤1+m }.若x ∈P 是x ∈S 的必要条件,则m 的取值范围为________. 解析 ∵x ∈P 是x ∈S 的必要条件,则S ⊆P . ∴⎩⎪⎨⎪⎧1-m ≥-2,1+m ≤10,解得m ≤3. 又∵S 为非空集合,∴1-m ≤1+m ,解得m ≥0. 综上,可知0≤m ≤3时,x ∈P 是x ∈S 的必要条件. 答案 {m |0≤m ≤3}12.已知a,b,c均为实数,证明“ac<0”是“关于x的方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根”的充要条件.证明充分性:∵ac<0,∴a≠0,∴方程ax2+bx+c=0为一元二次方程,且Δ=b2-4ac≥-4ac>0,∴ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,分别设为x1,x2.∵ac<0,∴x1·x2=ca<0,∴x1,x2为一正一负,即ax2+bx+c=0有一正根和一负根.必要性:∵ax2+bx+c=0有一正根和一负根,∴a≠0,∴方程ax2+bx+c=0为一元二次方程.设两个根分别为x1,x2,则x1·x2=ca<0,∴ac<0.综上知,“ac<0”是“关于x的方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根”的充要条件.创新猜想13.(多选题)设计如图所示的四个电路图,若p:开关S闭合,q:灯泡L亮,则p 是q的充要条件的电路图是()解析由题知,电路图A中,开关S闭合,灯泡L亮,而灯泡L亮开关S不一定闭合,故A中p是q的充分不必要条件;电路图B中,开关S闭合,灯泡L 亮,且灯泡L亮,则开关S一定闭合,故B中p是q的充要条件;电路图C中,开关S闭合,灯泡L不一定亮,灯泡L亮则开关S一定闭合,故C中p是q的必要不充分条件;电路图D中,开关S闭合则灯泡L亮,灯泡L亮则一定有开关S闭合,故D中p是q的充要条件.故选BD.答案BD14.(多空题)从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选一个合适的填空.(1)“x2-1=0”是“|x|-1=0”的____________________________;(2)“x<5”是“x<3”的____________________.解析(1)设A={x|x2-1=0}={-1,1},B={x||x|-1=0}={-1,1},所以A=B,即“x2-1=0”是“|x|-1=0”的充要条件.(2)设A={x|x<5},{B={x|x<3},因为A B,所以“x<5”是“x<3”的必要不充分条件.答案(1)充要条件(2)必要不充分条件。

新人教版高中数学必修5全册同步课时作业含解析答案

新人教版高中数学必修5全册同步课时作业(含解析答案)目录课时作业1 正弦定理第1课时课时作业2 正弦定理第2课时课时作业3 余弦定理课时作业4 正、余弦定理习题课课时作业5 应用举例第1课时课时作业6 应用举例第2课时)正、余弦定理的综合应用课时作业7 数列的概念与简单表示法课时作业8 数列的性质和递推公式课时作业9 等差数列第1课时课时作业10 等差数列第2课时课时作业11 等差数列第3课时课时作业12 等差数列的前n项和第1课时课时作业13 等差数列的前n项和第2课时课时作业14 等差数列的前n项和第3课时课时作业15 等比数列第1课时课时作业16 等比数列第2课时课时作业17 等比数列的前n项和第1课时课时作业18 等比数列的前n项和第2课时课时作业19 专题研究一数列通项的求法课时作业20 专题研究二特殊数列求和方法课时作业21 专题研究三数列的实际应用课时作业22 不等关系与不等式课时作业23 一元二次不等式及其解法第1课时课时作业24 一元二次不等式及其解法第2课时课时作业25 二元一次不等式组)表示的平面区域课时作业26 简单的线性规划问题第1课时课时作业27 简单的线性规划问题第2课时课时作业28 简单的线性规划问题课时作业29 基本不等式 ab≤a+b2 第1课时课时作业30 基本不等式 ab≤a+b2 第2课时课时作业31 基本不等式1课时作业32 基本不等式2课时作业1 正弦定理(第1课时)1.在△ABC 中,下列等式中总能成立的是( ) A .a sin A =b sin B B .b sin C =c sin A C .ab sin C =bc sin B D .ab sin C =bc sin A答案 D2.在△ABC 中,a =4,A =45°,B =60°,则边b 的值为( ) A.3+1 B .23+1 C .2 6 D .2+2 3答案 C3.在△ABC 中,sin 2A =sin 2B +sin 2C ,则△ABC 为( ) A .直角三角形 B .等腰直角三角形 C .等边三角形D .等腰三角形答案 A4.在△ABC 中,若sin A a =cos Bb,则∠B 的值为( )A .30°B .45°C .60°D .90°答案 B解析 ∵sin A a =sin B b ,∴cos B b =sin B b,∴cos B =sin B ,从而tan B =1,又0°<B <180°,∴B =45°.5.(2013·湖南)在△ABC 中,若3a =2b sin A ,则B 为( ) A.π3B.π6C.π3或23π D.π6或56π 答案 C解析 由3a =2b sin A ,得3sin A =2sin B ·sin A . ∴sin B =32.∴B =π3或2π3. 6.在△ABC 中,A ∶B ∶C =4∶1∶1,则a ∶b ∶c 为( ) A .3∶1∶1 B .2∶1∶1 C.2∶1∶1 D.3∶1∶1答案 D解析 由已知得A =120°,B =C =30°,根据正弦定理的变形形式,得a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C =3∶1∶1. 7.以下关于正弦定理的叙述或变形中错误..的是( ) A .在△ABC 中,a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C B .在△ABC 中,a =b ⇔sin2A =sin2BC .在△ABC 中,a sin A =b +c sin B +sin CD .在△ABC 中,正弦值较大的角所对的边也较大 答案 B解析 对于B 项,当a =b 时,sin A =sin B 且cos A =cos B ,∴sin2A =sin2B ,但是反过来若sin2A =sin2B .2A =2B 或2A =π-2B ,即A =B 或A +B =π2.不一定a =b ,∴B 选项错误.8.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,如果c =3a ,B =30°,那么角C 等于( )A .120°B .105°C .90°D .75°答案 A9.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若a =2,b =2,sin B +cos B =2,则角A 的大小为________.答案π6解析 由sin B +cos B =2sin(B +π4)=2,得sin(B +π4)=1,所以B =π4.由正弦定理a sin A =b sin B ,得sin A =a sin B b =2·si nπ42=12,所以A =π6或5π6(舍去). 10.已知a ,b ,c 分别是△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边,若a =1,b =3,A +C =2B ,则sin A =________.答案 12解析 由A +C =2B ,且A +B +C =180°,得B =60°,由正弦定理,得3sin60°=1sin A ,∴sin A =12.11.(2012·福建)在△ABC 中,已知∠BAC =60°,∠ABC =45°,BC =3,则AC =________.答案 2解析如图所示,由正弦定理,得AC sin B =BC sin A ,即AC sin45°=3sin60°,即AC22=332,故AC = 2. 12.(2012·北京)在△ABC 中,若a =3,b =3,∠A =π3,则∠C 的大小为________.答案π2解析 由正弦定理,得a sin ∠A =bsin ∠B .从而332=3sin ∠B,即sin ∠B =12.∴∠B =30°或∠B =150°.由a >b 可知∠B =150°不合题意,∴∠B =30°. ∴∠C =180°-60°-30°=90°.13.已知三角形的两角分别是45°、60°,它们夹边的长是1,则最小边长为________. 答案3-114.在△ABC 中,若tan A =13,C =150°,BC =1,则AB =________.答案10215.△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,则a (sin C -sin B )+b (sin A -sin C )+c (sin B -sin A )=________.答案 0解析 ∵a sin A =bsin B ,∴a sin B =b sin A .同理可得a sin C =c sin A 且b sin C =c sin B .∴原式=0.16.已知在△ABC 中,c =10,A =45°,C =30°,求a 、b 和B . 答案 a =10 2 b =5(6+2) B =105°17.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若c =2,b =6,B =120°,求a 的值.答案2解析 由正弦定理,得6sin120°=2sin C ,∴sin C =12.又∵C 为锐角,则C =30°,∴A =30°. ∴△ABC 为等腰三角形,a =c = 2.18.已知在△ABC 中,∠A =45°,a =2,c =6,解此三角形. 解析 由正弦定理a sin A =csin C ,得 sin C =62sin45°=62×22=32. 因为∠A =45°,c >a ,所以∠C =60°或120°. 所以∠B =180°-60°-45°=75° 或∠B =180°-120°-45°=15°. 又因为b =a sin Bsin A,所以b =3+1或3-1. 综上,∠C =60°,∠B =75°,b =3+1 或∠C =120°,∠B =15°,b =3-1. ►重点班·选作题19.下列判断中正确的是( )A .当a =4,b =5,A =30°时,三角形有一解B .当a =5,b =4,A =60°时,三角形有两解C .当a =3,b =2,B =120°时,三角形有一解D .当a =322,b =6,A =60°时,三角形有一解答案 D20.△ABC 的外接圆半径为R ,C =60°,则a +bR的取值范围是( ) A .[3,23] B .[3,23) C .(3,23] D .(3,23)答案 C课时作业2 正弦定理(第2课时)1.在△ABC 中,a =2b cos C ,则这个三角形一定是( ) A .等腰三角形 B .直角三角形 C .等腰直角三角形 D .等腰或直角三角形答案 A2.已知△ABC 中,AB =3,AC =1,且B =30°,则△ABC 的面积等于( ) A.32B.34C.32或 3 D.34或32 答案 D3.在△ABC 中,a =15,b =10,A =60°,则cos B =( ) A .-223B.223 C .-63D.63答案 D解析 依题意得0°<B <60°,a sin A =b sin B ,sin B =b sin A a =33,cos B =1-sin 2B =63,选D.4.(2013·山东)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若B =2A ,a =1,b =3,则c =( ) A .2 3 B .2 C. 2 D .1答案 B解析 由正弦定理a sin A =b sin B ,得1sin A =3sin B.又∵B =2A ,∴1sin A =3sin2A =32sin A cos A .∴cos A =32,∴∠A =30°,∴∠B =60°,∠C =90°. ∴c =12+32=2.5.(2013·陕西)设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若b cos C +c cos B =a sin A ,则△ABC 的形状为( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .不确定答案 B解析 ∵b cos C +c cos B =a sin A ,由正弦定理,得sin B cos C +sin C cos B =sin 2A ,∴sin(B +C )=sin 2A ,即sin A =sin 2A .又∵sin A >0,∴sin A =1,∴A =π2,故△ABC 为直角三角形.6.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知A =60°,a =3,b =1,则c 等于( )A .1B .2 C.3-1 D. 3答案 B7.已知△ABC 的面积为32,且b =2,c =3,则( )A .A =30°B .A =60°C .A =30°或150°D .A =60°或120° 答案 D8.已知三角形面积为14,外接圆面积为π,则这个三角形的三边之积为( )A .1B .2 C.12 D .4 答案 A9.在△ABC 中,A =60°,a =3,b =2,则B 等于( ) A .45°或135° B .60° C .45° D .135° 答案 C10.若△ABC 的面积为3,BC =2,C =60°,则边AB 的长度为________. 答案 211.△ABC 中,若a cos A 2=b cos B 2=ccos C 2,则△ABC 的形状是________.答案 等边三角形12.在△ABC 中,lg(sin A +sin C )=2lgsin B -lg(sin C -sin A ),则该三角形的形状是________.答案 直角三角形 解析 由已知条件lg(sin A +sin C )+lg(sin C -sin A )=lgsin 2B , ∴sin 2C -sin 2A =sin 2B ,由正弦定理,可得c 2=a 2+b 2. 故三角形为直角三角形.13.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,B =π3,cos A =45,b = 3.(1)求sin C 的值; (2)求△ABC 的面积.答案 (1)3+4310 (2)36+935014.在△ABC 中,若b 2sin 2C +c 2sin 2B =2bc cos B cosC ,试判断三角形的形状. 解析 由正弦定理asin A=bsin B=csin C=2R (R 为△ABC 外接圆半径).将原等式化为8R 2sin 2B sin 2C =8R 2sin B sin C cos B cos C .∵sin B ·sin C ≠0,∴sin B sin C =cos B cos C . 即cos(B +C )=0.∴B +C =90°,即A =90°. 故△ABC 为直角三角形.15.在△ABC 中,求证:cos2A a 2-cos2B b 2=1a 2-1b2.证明 ∵左边=1-2sin 2A a 2-1-2sin 2Bb2=1a 2-1b 2-2(sin 2A a 2-sin 2B b2), 由正弦定理,得a sin A =bsin B ,∴sin 2A a 2-sin 2Bb2=0.∴原式成立. ►重点班·选作题16.在△ABC 中,sin A =34,a =10,边长c 的取值范围是( )A .(152,+∞)B .(10,+∞)C .(0,10)D .(0,403]答案 D17.(2012·浙江)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知cos A =23,sin B=5cos C .(1)求tan C 的值;(2)若a =2,求△ABC 的面积. 解析 (1)因为0<A <π,cos A =23,得sin A =1-cos 2A =53. 又5cos C =sin B =sin(A +C )=sin A cos C +cos A sin C =53cos C +23sin C ,所以tan C = 5. (2)由tan C =5,得sin C =56,cos C =16.于是sin B =5cos C =56.由a =2及正弦定理a sin A =csin C ,得c = 3.设△ABC 的面积为S ,则S =12ac sin B =52.1.在△ABC 中,若b =1,c =3,∠C =2π3,则a =________.答案 1解析 在△ABC 中,由正弦定理,得1sin B=3sin2π3,解得sin B =12,因为b <c ,故角B 为锐角,所以B =π6,则A =π6.再由正弦定理或等腰三角形性质可得a =1.课时作业3 余弦定理1.在△ABC 中,sin 2A =sin 2B +sin B sinC +sin 2C ,则A 等于( ) A .30° B .60° C .120°D .150°答案 C解析 由正弦定理,得a 2=b 2+bc +c 2,由余弦定理,得cos A =b 2+c 2-a 22bc =-bc 2bc =-12.∴A =120°.2.若a ,b ,c 是△ABC 的三边,且c a 2+b2>1,则△ABC 一定是( ) A .直角三角形 B .等边三角形 C .锐角三角形 D .钝角三角形答案 D 解析 ∵c a 2+b2>1,即a 2+b 2<c 2,a 2+b 2-c 2<0,于是cos C =a 2+b 2-c 22ab<0.∴∠C 为钝角,即得△ABC 为钝角三角形.3.边长5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A .90° B .120° C .135° D .150°答案 B解析 设中间的角大小为B ,由余弦定理,求得cos B =a 2+c 2-b 22ac =52+82-722×5×8=12.而0<B <π,∴B =π3.∴最大角与最小角的和是π-π3=2π3=120°.4.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c =2,b =6,B =120°,则a 等于( )A. 6 B .2 C. 3 D. 2答案 D5.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c .若a 2-b 2=3bc ,sin C =23sin B ,则A =( )A .30°B .60°C .120°D .150°答案 A解析 由sin C =23sin B ,可得c =23b ,由余弦定理,得cos A =b 2+c 2-a 22bc=-3bc +c 22bc =32,于是A =30°,故选A.6.在△ABC 中,已知a ∶b ∶c =3∶5∶7,则这个三角形最大角的外角是( ) A .30° B .60° C .90° D .120°答案 B解析 ∵a ∶b ∶c =3∶5∶7,∴可令a =3x ,b =5x ,c =7x (x >0),显然c 边最大.∴cos C =a 2+b 2-c 22ab =9x 2+25x 2-49x 22·3x ·5x =-12.∴C =120°,∴其外角为60°.7.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则角B 的值为( )A.π6B.π3 C.π6或5π6D.π3或2π3答案 D解析 本题考查边角关系中余弦定理的应用.解斜三角形问题的关键是充分挖掘题中边角特征,选择合理的定理求解.因此(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,所以由余弦定理cos B =a 2+c 2-b 22ac ,得sin B =32,选D. 8.在△ABC 中,已知a cos A +b cos B =c cos C ,则△ABC 是( ) A .等腰三角形 B .直角三角形 C .等腰直角三角形 D .等边三角形答案 B解析 由a cos A +b cos B =c cos C ,得a ·b 2+c 2-a 22bc +b ·a 2+c 2-b 22ac =c ·b 2+a 2-c 22ab,化简得a 4+2a 2b 2+b 4=c 4,即(a 2+b 2)2=c 4.∴a 2+b 2=c 2或a 2+b 2=-c 2(舍去). 故△ABC 是直角三角形.9.若将直角三角形的三边增加同样的长度,则新三角形的形状是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .由增加的长度确定答案 A10.在△ABC 中,已知a =2,b =4,C =60°,则A =________. 答案 30°11.(2012·湖北)设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若(a +b -c )(a +b +c )=ab ,则角C =________.答案2π3解析 ∵由(a +b -c )(a +b +c )=ab ,整理可得,a 2+b 2-c 2=-ab ,∴cos C =a 2+b 2-c 22ab=-ab 2ab =-12,∴C =2π3. 12.已知△ABC 的三个内角A ,B ,C ,B =π3且AB =1,BC =4,则边BC 上的中线AD 的长为________.答案3解析 在△ABD 中,B =π3,BD =2,AB =1,则AD 2=AB 2+BD 2-2AB ·BD cos π3=3.所以AD = 3.13.在△ABC 中,三个角A ,B ,C 的对边边长分别为a =3,b =4,c =6,则bc cos A +ca cos B +ab cos C 的值为________.答案612解析 由余弦定理可得bc cos A +ca cos B +ab cos C =b 2+c 2-a 22+c 2+a 2-b 22+a 2+b 2-c 22=a 2+b 2+c 22=32+42+622=612.14.在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,已知b 2=ac ,且a 2-c 2=ac -bc ,求∠A 的大小及b sin Bc的值. 解析 ∵b 2=ac ,又a 2-c 2=ac -bc ,∴b 2+c 2-a 2=bc .在△ABC 中,由余弦定理,得cos A =b 2+c 2-a 22bc =bc 2bc =12,∴∠A =60°.在△ABC 中,由正弦定理,得sin B =b sin Aa. ∵b 2=ac ,∠A =60°,∴b sin B c =b 2sin60°ca =sin60°=32.故∠A =60°,b sin Bc 的值为32. 15.已知锐角三角形ABC 中,边a 、b 是方程x 2-23x +2=0的两根,角A 、B 满足2sin(A +B )-3=0,求角C 的度数,边c 的长度及△ABC 的面积.解析 由2sin(A +B )-3=0,得sin(A +B )=32. ∵△ABC 为锐角三角形,∴A +B =120°,∴C =60°. ∵a 、b 是方程x 2-23x +2=0的两个根, ∴a +b =23,ab =2.∴c 2=a 2+b 2-2ab cos C =(a +b )2-3ab =12-6=6. ∴c =6,S △ABC =12ab sin C =12·2·32=32.►重点班·选作题16.设△ABC 三边长分别为15,19,23,现将三边长各减去x 后,得一钝角三角形,则x 的范围为________.答案 (3,11)解析 由两边之和大于第三边,得 15-x +19-x >23-x ,∴x <11. ① 又因得到的三角形为钝角三角形, ∴(15-x )2+(19-x )2<(23-x )2.即x 2-22x +57<0,(x -3)(x -19)<0,3<x <19.② 由①、②可得3<x <11.17.在△ABC 中,已知c 4-2(a 2+b 2)c 2+a 4+a 2b 2+b 4=0,求角C . 解析 ∵c 4-2(a 2+b 2)c 2+a 4+a 2b 2+b 4=0, ∴[c 2-(a 2+b 2)]2-a 2b 2=0,∴c 2-(a 2+b 2)=±ab .∴cos C =a 2+b 2-c 22ab =±12,∴C =120°或C =60°.1.已知△ABC 的三个内角为A 、B 、C ,所对的三边分别为a 、b 、c ,若三角形ABC 的面积为S =a 2-(b -c )2,则tan A2等于________.答案 14解析 本题考查余弦定理和解三角形等.由S =12bc sin A ,又S =a 2-b 2-c 2+2bc ,由余弦定理知a 2-b 2-c 2=-2bc ·cos A ⇒12bc sin A =-2bc cos A +2bc ⇒sin A =4(1-cos A )⇒2sin A 2cos A 2=4×2sin 2A 2⇒tan A 2=14. 2.在△ABC 中,A 、B 、C 满足A +C =2B ,且最大角与最小角的对边之比为(3+1)∶2,求A 、B 、C 的度数.解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧A +C =2B ,A +B +C =180°,∴B =60°.不妨设最大角为A ,则最小角为C . 由b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得 (b c)2=(a c)2+1-2·a c·cos B . 将a c =3+12及cos B =12代入,得b c =62. ∴sin B sin C =62,∴sin C =22.∵c <b ,∴C =45°,∴A =75°. 3.在△ABC 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,设f (x )=a 2x 2-(a 2-b 2)x -4c 2. (1)若f (1)=0且B -C =π3,求角C 的大小;(2)若f (2)=0,求角C 的取值范围.解析 (1)∵f (1)=0,∴a 2-(a 2-b 2)-4c 2=0. ∴b 2=4c 2,∴b =2c .∴sin B =2sin C . 又B -C =π3,∴sin(C +π3)=2sin C .∴sin C ·cos π3+cos C ·sin π3=2sin C .∴32sin C -32cos C =0,∴sin(C -π6)=0. 又-π6<C -π6<5π6,∴C =π6.(2)若f (2)=0,则4a 2-2(a 2-b 2)-4c 2=0.∴a 2+b 2=2c 2,∴cos C =a 2+b 2-c 22ab =c 22ab.又a 2+b 2-2ab =(a -b )2≥0,∴a 2+b 2≥2ab . 即2c 2=a 2+b 2≥2ab ,∴ab ≤c 2. ∴cos C ≥12,∴0<C ≤π3.课时作业4 正、余弦定理习题课1.在△ABC 中,若a =18,b =24,A =44°,则此三角形的情况为( ) A .无解 B .两解C .一解D .解的个数不确定答案 B2.若△ABC 的内角A 、B 、C 满足6sin A =4sin B =3sin C ,则cos B 等于( ) A.154 B.34 C.31516D.1116 答案 D3.在△ABC 中,若2cos B sin A =sin C ,则△ABC 的形状一定是( ) A .等腰直角三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形 D .等边三角形答案 C解析 方法一 在△ABC 中,A +B +C =180°. ∴C =180°-(A +B ),∴sin C =sin(A +B ). ∴已知条件可化为2sin A cos B =sin C =sin(A +B ). ∴sin(A -B )=0.又-π<A -B <π,∴A -B =0,∴A =B .∴△ABC 为等腰三角形.方法二 运用正、余弦定理将角的三角函数式化为边的等式.2·a 2+c 2-b 22ac ·a 2R =c 2R.整理,得a 2-b 2=0,∴a =b .∴△ABC 为等腰三角形.4.在三角形ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,且a >b >c ,若a 2<b 2+c 2,则∠A 的取值范围是( )A .(π2,π)B .(π4,π2)C .(π3,π2)D .(0,π2)答案 C解析 ∵a 2<b 2+c 2,∴b 2+c 2-a 2>0.∴cos A =b 2+c 2-a 22bc>0.∴A <90°.又∵a 边最大,∴A 角最大.∵A +B +C =180°,∴3A >180°. ∴A >60°,∴60°<A <90°.5.在△ABC 中,已知(b +c )∶(c +a )∶(a +b )=4∶5∶6,则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A .6∶5∶4B .7∶5∶3C .3∶5∶7D .4∶5∶6答案 B解析 设b +c =4k ,c +a =5k ,a +b =6k (k >0),从而解出a =72k ,b =52k ,c =32k ,∴a ∶b ∶c =7∶5∶3.由正弦定理,得sin A ∶sin B ∶sin C =a ∶b ∶c =7∶5∶3.6.在△ABC 中,A ∶B =1∶2,C 的平分线CD 把三角形面积分为3∶2两部分,则cos A =( )A.13 B.12 C.34 D .0答案 C 解析∵CD 是∠C 的平分线,∴S △ACD S △BCD =12AC ·CD sinC 212BC ·CD sin C 2=AC BC =sin B sin A =32. ∵B =2A ,∴sin B sin A =sin2A sin A =2cos A =32.∴cos A =34.7.在钝角△ABC 中,a =1,b =2,则最大边c 的取值范围是( ) A .1<c <3B .2<c<3C.5<c <3 D .22<c <3答案 C8.三角形三边长为a ,b ,a 2+ab +b 2(a >0,b >0),则最大角为________. 答案 120°9.在△ABC 中,AB =2,AC =6,BC =1+3,AD 为边BC 上的高,则AD 的长是________. 答案310.已知△ABC 的面积为23,BC =5,A =60°,则△ABC 的周长是________. 答案 1211.已知等腰三角形的底边长为6,一腰长为12,则它的外接圆半径为________. 答案8155解析 cos A =b 2+c 2-a 22bc =122+122-622×12×12=78,∴sin A =1-cos 2A =158. ∴2R =asin A ,R =a 2sin A =8155. 12.已知△ABC 中,∠A =60°,最大边和最小边的长是方程3x 2-27x +32=0的两实根,那么BC 边长等于________.答案 7解析 ∵A =60°,所求为BC 边的长,而BC 即为角A 的对边,∴BC 边既非最大边也非最小边.不妨设最大边长为x 1,最小边长为x 2, 由题意得:x 1+x 2=9,x 1x 2=323. 由余弦定理,得BC 2=x 21+x 22-2x 1x 2cos A =(x 1+x 2)2-2x 1x 2-2x 1x 2cos A =92-2×323-2×323×cos60°=49.∴BC =7.13.在△ABC 中,已知BC =8,AC =5,三角形面积为12,则cos2C =________. 答案725解析 由题意得S △ABC =12·AC ·BC ·sin C =12,即12×8×5×sin C =12,则sin C =35. cos2C =1-2sin 2C =1-2×(35)2=725.14.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边为a ,b ,c ,若b =a cos C 且△ABC 的最大边长为12,最小角的正弦值为13.(1)判断△ABC 的形状; (2)求△ABC 的面积. 解析 (1)∵b =a cos C ,由正弦定理,得sin B =sin A cos C . 由A +B +C =π,得sin B =sin[π-(A +C )]=sin(A +C ). ∴sin(A +C )=sin A cos C .∴sin A cos C +cos A sin C =sin A cos C . ∴cos A sin C =0.∵0<A <π,0<C <π,∴sin C >0. ∴cos A =0,∴A =π2.∴△ABC 为直角三角形. (2)∵△ABC 的最大边长为12, 由第(1)问知,斜边a =12. 又∵△ABC 的最小角的正弦值为13,∴Rt △ABC 中最短直角边长为12×13=4.另一直角边长为122-42=8 2. ∴S △ABC =12×4×82=16 2.15.(2013·天津)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .已知b sin A =3c sin B ,a =3,cos B =23.(1)求b 的值;(2)求sin(2B -π3)的值.解析 (1)在△ABC 中,由a sin A =bsin B,可得b sin A =a sin B .又由b sin A =3c sin B ,可得a =3c ,又a =3,故c =1. 由b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,cos B =23,可得b = 6.(2)由cos B =23,得sin B =53,进而得cos2B =2cos 2B -1=-19,sin2B =2sin B cos B =459.所以sin(2B -π3)=sin2B cos π3-cos2B sin π3=45+318.课时作业5 应用举例(第1课时)1.若P在Q的北偏东44°50′,则Q在P的( )A.东偏北45°10′B.东偏北45°50′C.南偏西44°50′ D.西偏南45°50′答案 C2.在某次测量中,在A处测得同一方向的B点的仰角为60°,C点的俯角为70°,则∠BAC等于( )A.10° B.50°C.120° D.130°答案 D3.一只船速为2 3 米/秒的小船在水流速度为2米/秒的河水中行驶,假设两岸平行,要想使过河时间最短,则实际行驶方向与水流方向的夹角为( )A.120° B.90°C.60° D.30°答案 B4.江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则两条船相距( )A.10 3 m B.100 3 mC.2030 m D.30 m答案 D解析设炮台顶部为A,两条船分别为B、C,炮台底部为D,可知∠BAD=45°,∠CAD =60°,∠BDC=30°,AD=30.分别在Rt△ADB,Rt△ADC中,求得DB=30,DC=30 3.在△DBC中,由余弦定理,得BC2=DB2+DC2-2DB·DC cos30°,解得BC=30.5.某人向正东方向走x km后,他向右转150°,然后朝新方向走3 km,结果他离出发点恰好 3 km,那么x的值为( )A. 3 B.2 3C.23或 3 D.3答案 C6.两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为( )A.a km B.3a kmC.2a km D.2a km答案 B7.海上有A、B、C三个小岛,已知A、B相距10海里,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B、C的距离是( )A.10 3 海里 B.1063海里C.5 2 海里D.5 6 海里答案 D8.如图所示,设A、B两点在河的两岸,一测量者在A所在的河岸边选定一点C,测出AC 的距离为50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算A、B两点的距离为( ) A.50 2 m B.50 3 mC.25 2 m D.2522m答案 A9.一船向正北航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°方向上,另一灯塔在船的南偏西75°方向上,则这艘船的速度是每小时( )A.5 海里B.5 3 海里C.10 海里D.10 3 海里答案 D10.已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2 km,船B在灯塔C西偏北25°且到C的距离为 3 km,则A,B两船的距离为( )A.2 3 km B.3 2 kmC.15 kmD.13 km答案 D11.一船以24 km/h的速度向正北方向航行,在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上,15 min 后到点B 处望见灯塔在船的北偏东65°方向上,则船在点B 时与灯塔S 的距离是________km.(精确到0.1 km)答案 5.212.如图,为了测量河的宽度,在一岸边选定两点A ,B ,望对岸的标记物C ,测得∠CAB =30°,∠CBA =75°,AB =120 m ,则河的宽度是________m.答案 6013.已知船在A 处测得它的南偏东30°的海面上有一灯塔C ,船以每小时30海里的速度向东南方向航行半小时后到达B 点,在B 处看到灯塔在船的正西方向,问这时船和灯塔相距________海里.答案563-1214.A 、B 是海平面上的两个点,相距800 m ,在A 点测得山顶C 的仰角为45°,∠BAD =120°,又在B 点测得∠ABD =45°,其中D 是点C 到水平面的垂足,求山高CD .解析如图,由于CD ⊥平面ABD ,∠CAD =45°,所以CD =AD . 因此,只需在△ABD 中求出AD 即可.在△ABD 中,∠BDA =180°-45°-120°=15°. 由AB sin15°=ADsin45°,得AD =AB ·sin45°sin15°=800×226-24=800(3+1)(m).∵CD ⊥平面ABD ,∠CAD =45°, ∴CD =AD =800(3+1)≈2 186(m). 答:山高CD 为2 186 m.15.如图所示,海中小岛A 周围38海里内有暗礁,一船正向南航行,在B 处测得小岛A 在船的南偏东30°,航行30海里后,在C 处测得小岛在船的南偏东45°,如果此船不改变航向,继续向南航行,有无触礁的危险?思路分析 船继续向南航行,有无触礁的危险,取决于A 到直线BC 的距离与38海里的大小,于是我们只要先求出AC 或AB 的大小,再计算出A 到BC 的距离,将它与38海里比较大小即可.解析 在△ABC 中,BC =30,B =30°,∠ACB =135°, ∴∠BAC =15°.由正弦定理BC sin A =AC sin B ,即30sin15°=AC sin30°.∴AC =60cos15°=60cos(45°-30°)=60(cos45°cos30°+sin45°sin30°)=15(6+2). ∴A 到BC 的距离d =AC sin45°=15(3+1)≈40.98海里>38海里,所以继续向南航行,没有触礁危险.1.一船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2 km/h ,则经过 3 h 后,该船实际航行为( )A .215 kmB .6 km C.84 km D .8 km答案 B 2.如图,为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度,在海岸上选取距离1千米的两个观察点C 、D ,在某天10∶00观察到该航船在A 处,此时测得∠ADC =30°,2分钟后该船行驶至B 处,此时测得∠ACB =60°,∠BCD =45°,∠ADB =60°,则船速为________(千米/分钟).答案64解析 在△BCD 中,∠BDC =30°+60°=90°,CD =1,∠BCD =45°, ∴BC = 2.在△ACD 中,∠CAD =180°-(60°+45°+30°)=45°, ∴CDsin45°=AC sin30°,AC =22.在△ABC 中,AB 2=AC 2+BC 2-2AC ×BC ×cos60°=32,∴AB =62,∴船速为622=64 千米/分钟.3.如图,A ,B 是海面上位于东西方向相距5(3+3)海里的两个观测点.现位于A 点北偏东45°,B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号,位于B 点南偏西60°且与B 点相距20 3 海里的C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D 点需要多长时间?答案 救船到达D 点需要1小时.解析 由题意知AB =5(3+3)(海里),∠DBA =90°-60°=30°,∠DAB =90°-45°=45°,∴∠ADB =180°-(45°+30°)=105°. 在△DAB 中,由正弦定理,得DB sin ∠DAB =ABsin ∠ADB.∴DB =AB ·sin∠DAB sin ∠ADB =53+3·sin45°sin105°=53+3·sin45°sin45°cos60°+cos45°sin60°=533+13+12=103(海里).又∠DBC =∠DBA +∠ABC =30°+(90°-60°)=60°,BC =203(海里), 在△DBC 中,由余弦定理,得CD 2=BD 2+BC 2-2BD ·BC ·cos∠DBC=300+1 200-2×103×203×12=900.∴CD =30(海里),则需要的时间t =3030=1(小时).答:救援船到达D 点需要1小时. 4.如图所示,a是海面上一条南北向的海防警戒线,在a上点A处有一个水声监测点,另两个监测点B、C分别在A的正东方20 km处和54 km处.某时刻,监测点B收到发自静止目标P的一个声波,8 s后监测点A、20 s后监测点C相继收到这一信号.在当时的气象条件下,声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A到P的距离为x km,用x表示B,C到P的距离,并求x的值;(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离.(结果精确到0.01 km)答案(1)PB=x-12 km,PC=18+x km 132 7(2)17.71 km课时作业6 应用举例(第2课时)正、余弦定理的综合应用1.已知方程x 2sin A +2x sin B +sin C =0有重根,则△ABC 的三边a 、b 、c 满足关系式( ) A .b =ac B .b 2=ac C .a =b =c D .c =ab答案 B解析 由Δ=0,得4sin 2B -4sin A sinC =0,结合正弦定理得b 2=ac . 2.在△ABC 中,已知A =30°,且3a =3b =12,则c 的值为( ) A .4 B .8 C .4或8 D .无解答案 C解析 由3a =3b =12,得a =4,b =43,利用正弦定理可得B 为60°或120°,从而解出c 的值.3.在△ABC 中,A =60°,AB =2,且△ABC 的面积S △ABC =32,则边BC 的长为( ) A. 3 B .3 C.7 D .7答案 A 解析 由S △ABC =32,得12AB ·AC sin A =32. 即12×2AC ×32=32,∴AC =1,由余弦定理,得 BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cos A =22+12-2×2×1×12=3.∴BC = 3.4.在△ABC 中,2a cos B =c ,则△ABC 是( ) A .等腰三角形 B .直角三角形 C .等腰直角三角形 D .等边三角形答案 A解析 方法一 由余弦定理,得2a a 2+c 2-b 22ac=c .所以a 2+c 2-b 2=c 2.则a =b .则△ABC是等腰三角形.方法二 由正弦定理,得2×2R sin A cos B =2R sin C ,即2sin A cos B =sin C .又sin(A +B )+sin(A -B )=2sin A cos B ,所以sin(A +B )+sin(A -B )=sin C .又A +B +C =π,所以sin(A +B )=sin C .所以sin(A -B )=0.又0<A <π,0<B <π,则-π<A -B <π.所以有A =B ,则△ABC 是等腰三角形.讲评 方法一是转化为三角形的边的关系,利用代数运算获得三角形的关系式;方法二是转化为三角形的角的关系,利用三角函数知识获得了三角形的角的关系.方法二中,如果没有想到等式sin(A +B )+sin(A -B )=2sin A cos B ,那么就会陷入困境.由于受三角函数知识的限制,提倡将已知条件等式转化为边的关系来判断三角形的形状.5.(2013·安徽)设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c .若b +c =2a,3sin A =5sin B ,则角C =( )A.π3 B.2π3 C.3π4D.5π6答案 B解析 ∵3sin A =5sin B ,∴3a =5b .① 又b +c =2a ,②∴由①②可得,a =53b ,c =73b .∴cos C =b 2+a 2-c 22ab=b 2+53b 2-73b 22×53b 2=-12.∴C =23π.6.已知锐角三角形的边长分别是3,5,x ,则x 的取值范围是( ) A .1<x < 5 B .4<x <30 C .1<x <4 D .4<x <34答案 D解析 若5最大,则32+x 2-52>0,得x >4. 若x 最大,则32+52-x 2>0,得0<x <34. 又2<x <8,则4<x <34.7.在△ABC 中,已知sin A ∶sin B =2∶1,c 2=b 2+2bc ,则三内角A 、B 、C 的度数依次是________.答案 45°、30°、105°解析 ∵a =2b ,a 2=b 2+c 2-2bc cos A . ∴2b 2=b 2+c 2-2bc cos A ,又∵c 2=b 2+2bc , ∴cos A =22,A =45°,sin B =12,B =30°,∴C =105°.8.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若(3b -c )cos A =a cos C ,则cos A =______.答案33解析 由正弦定理,得(3sin B -sin C )cos A =sin A cos C . 化简得3sin B cos A =sin(A +C ). ∵0<sin B ≤1,∴cos A =33. 9.设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,a =2b sin A . (1)求B 的大小;(2)若a =33,c =5,求b .解析 (1)由a =2b sin A ,得sin A =2sin B sin A ,所以sin B =12.由△ABC 为锐角三角形,得B =π6.(2)根据余弦定理,得b 2=a 2+c 2-2a cos B =27+25-45=7,所以b =7.10.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且2a sin A =(2b +c )sin B +(2c +b )sin C .(1)求A 的大小;(2)若sin B +sin C =1,试判断△ABC 的形状.解析 (1)由已知,根据正弦定理,得2a 2=(2b +c )b +(2c +b )c ,即a 2=b 2+c 2+bc . 由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos A . 故cos A =-12,又A ∈(0,π),故A =120°.(2)由(1)得sin 2A =sin 2B +sin 2C +sin B sin C . 又sin B +sin C =1,得sin B =sin C =12.因为0°<B <90°,0°<C <90°,故B =C . 所以△ABC 是等腰的钝角三角形.11.在△ABC 中,已知B =45°,D 是BC 边上的一点,AD =10,AC =14,DC =6,求AB 的长.解析 在△ADC 中,AD =10,AC =14,DC =6,由余弦定理,得cos ∠ADC =AD 2+DC 2-AC 22AD ·DC =100+36-1962×10×6=-12.∴∠ADC =120°,∠ADB =60°.在△ABD 中,AD =10,∠B =45°,∠ADB =60°, 由正弦定理,得AB sin ∠ADB =ADsin B. ∴AB =AD ·sin∠ADB sin B =10sin60°sin45°=10×3222=5 6.12.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,设S 为△ABC 的面积,满足S =34(a 2+b 2-c 2). (1)求角C 的大小;(2)求sin A +sin B 的最大值.解析 (1)由题意可知12ab sin C =34·2ab cos C ,所以tan C = 3.因为0<C <π,所以C =π3.(2)由已知sin A +sin B =sin A +sin(π-C -A ) =sin A +sin(2π3-A )=sin A +32cos A +12sin A=3sin(A +π6)≤ 3.当△ABC 为正三角形时取等号, 所以sin A +sin B 的最大值是 3.13.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且2a sin A =(2b +c )sin B +(2c +b )sin C .(1)求A 的大小;(2)求sin B +sin C 的最大值.解析 (1)由已知,根据正弦定理,得2a 2=(2b +c )b +(2c +b )c ,即a 2=b 2+c 2+bc .由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos A .故cos A =-12,A =120°.(2)由(1),得sin B +sin C =sin B +sin(60°-B ) =32cos B +12sin B =sin(60°+B ). 故当B =30°时,sin B +sin C 取得最大值1. ►重点班·选作题14.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知cos2C =-14.(1)求sin C 的值;(2)当a =2,2sin A =sin C 时,求b 及c 的长.解析 (1)因为cos2C =1-2sin 2C =-14,及0<C <π,所以sin C =104.(2)当a =2,2sin A =sin C 时, 由正弦定理a sin A =csin C,得c =4.由cos2C =2cos 2C -1=-14,及0<C <π得cos C =±64.由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,得b 2±6b -12=0,解得b =6或2 6.所以⎩⎨⎧b =6,c =4.或⎩⎨⎧b =26,c =4.1.(2013·辽宁)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若a sin B cos C +c sin B cos A =12b ,且a >b ,则∠B =( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6答案 A解析 根据正弦定理,得a sin B cos C +c sin B cos A =12b 等价于sin A cos C +sin C cos A =12,即sin(A +C )=12.又a >b ,∴∠A +∠C =5π6,∴∠B =π6.故选A 项.2.(2012·北京)在△ABC 中,若a =2,b +c =7,cos B =-14,则b =________.答案 4解析 由余弦定理,得cos B =a 2+c 2-b 22ac =4+7-b 2-b 22×2×7-b =-14,解得b =4.3.(2011·湖北)设△ABC 的内角,A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若(a +b -c )(a +b +c )=ab ,则角C =________.答案2π3解析 ∵由(a +b -c )(a +b +c )=ab ,整理,可得a 2+b 2-c 2=-ab .∴cos C =a 2+b 2-c 22ab =-ab 2ab =-12,∴C =2π3.4.(2013·北京)在△ABC 中,a =3,b =26,∠B =2∠A . (1)求cos A 的值; (2)若c 的值.解析 (1)因为a =3,b =26,∠B =2∠A , 所以在△ABC 中,由正弦定理,得3sin A =26sin2A. 所以2sin A cos A sin A =263.故cos A =63.(2)由(1)知,cos A =63,所以sin A =1-cos 2A =33. 又因为∠B =2∠A ,所以cos B =2cos 2A -1=13.所以sin B =1-cos 2B =223. 在△ABC 中,sin C =sin(A +B )=sin A cos B +cos A sin B =539.所以c =a sin Csin A=5.5.(2013·江西)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知cos C +(cos A -3sin A )cos B =0.(1)求角B 的大小;(2)若a +c =1,求b 的取值范围.解析 (1)由已知得-cos(A +B )+cos A cos B -3sin A cos B =0,即有sin A sin B -3sin A cos B =0.因为sin A ≠0,所以sin B -3cos B =0.又cos B ≠0,所以tan B =3,又0<B <π,所以B =π3.(2)由余弦定理,有b 2=a 2+c 2-2ac cos B . 因为a +c =1,cos B =12,所以b 2=3(a -12)2+14.又0<a <1,于是有14≤b 2<1,即12≤b <1.6.(2013·四川)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2cos 2A -B2cos B -sin(A -B )sin B +cos(A +C )=-35,(1)求cos A 的值;(2)若a =42,b =5,求向量BA →在BC →方向上的投影. 解析 (1)由2cos2A -B2cos B -sin(A -B )sin B +cos(A +C )=-35,得[cos(A -B )+1]cos B -sin(A -B )sin B -cos B =-35,即cos(A -B )cos B -sin(A -B )sin B =-35.则cos(A -B +B )=-35,即cos A =-35.(2)由cos A =-35,0<A <π,得sin A =45.由正弦定理,有a sin A =b sin B ,所以,sin B =b sin A a =22.由题知a >b ,则A >B ,故B =π4. 根据余弦定理,有(42)2=52+c 2-2×5c ×(-35),解得c =1或c =-7(舍去).。

高中数学必修5《基本不等式作业》 二

3.4 基本不等式基础巩固一、选择题1.a 、b 、c 是互不相等的正数,且a 2+c 2=2bc ,则下列关系中可能成立的是( ) A .a >b >c B .c >a >b C .b >a >cD .a >c >b2.设{a n }是正数等差数列,{b n }是正数等比数列,且a 1=b 1,a 21=b 21,则( ) A .a 11=b 11 B .a 11>b 11 C .a 11<b 11D .a 11≥b 113.若正数x 、y 满足x +3y =5xy ,则3x +4y 的最小值是( ) A .245B .285C .5D .64.已知a >1,b >1,且lg a +lg b =6,则lg a ·lg b 的最大值为( ) A .6 B .9 C .12D .185.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x 件,则平均仓储时间为x8天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与平均到每件产品的仓储费用之和最小,每批应生产产品( ) A .60件 B .80件二、填空题6.已知2x +3y=2(x >0,y >0),则xy 的最小值是________.7.若实数x 、y 满足x 2+y 2+xy =1,则x +y 的最大值是________.一、选择题1.若a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数,且P =ab +cd ,Q =ax +cy ·b x +dy,则有( ) A .P =Q B .P ≥Q C .P ≤QD .P >Q2.已知x ≥52,则f (x )=x 2-4x +52x -4有( )A .最大值54B .最小值54C .最大值1D .最小值13.已知y >x >0,且x +y =1,那么( ) A .x <x +y 2<y <2xyB .2xy <x <x +y2<yC .x <x +y 2<2xy <yD .x <2xy <x +y2<y4.设a 、b 是正实数,给出以下不等式:①ab >2ab a +b ;②a >|a -b |-b ;③a 2+b 2>4ab -3b 2;④ab +2ab >2,其中恒成立的序号为( )A .①③B .①④C .②③D .②④二、填空题5.建造一个容积为8 m 3,深为2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元,那么水池的最低总造价为__________元.6.已知在△ABC 中,∠ACB =90°,BC =3,AC =4,P 是AB 上的点,则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值是________. 三、解答题7.若x >0,y >0,x +y =1,求证:(1+1x )·(1+1y )≥9.8.已知a 、b 、c ∈R +,求证:a 2b +b 2c +c 2a≥a +b +c .。

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高中数学作业5(共5篇) 第一篇:高中数学作业5 行为习惯从大的方面来说,可以决定一个人的成与败,好的习惯可以使一个人辉煌一生,璀璨一生,坏的行为习惯会奴役一个人的一生,改善学生学习行为不仅对学生的学习成绩会有很大提高,而且对学生的人生也会起了巨大的作用,育人先育心,教人先教法,很多教育的理论是相通的,我们需要不断的学习,不断的进步。 兴趣是最好的老师,一个老师要教好,先要有很大的人格魅力,让学生先喜欢自己,这样才能谈学生的兴趣,有兴趣才能产生爱好,爱好它就要去实践它,达到乐在其中,有兴趣才会形成学习的主动性和积极性。在数学学习中,我们把这种从自发的感性的乐趣出发上升为自觉的理性的“认识”过程,这自然会变为立志学好数学,成为数学学习的成功者。在我的教学过程中就有这样的实例,高一刚刚进来的时候,有一个学生的中考数学成绩是49分,后来喜欢上了数学,进过努力,高考的时候,靠了一个很理想的成绩。 数学能力是包括多方面的能力:计算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和分析解决问题能力共五大能力。这些能力是在不同的数学学习环境中得到培养的。在平时学习中要注意开发不同的学习场所,参与一切有益的学习实践活动,如数学第二课堂、数学竞赛、智力竞赛等活动。平时注意观察,比如,空间想象能力是通过实例净化思维,把空间中的实体高度抽象在大脑中,并在大脑中进行分析推理。其它能力的培养都必须学习、理解、训练、应用中得到发展。特别是,教师为了培养这些能力,会精心设计“智力课”和“智力问题”比如对习题的解答时的一题多解、举一反三的训练归类,应用模型、电脑等多媒体教学等,都是为数学能力的培养开设的好课型,在这些课型中,务必要用全身心投入、全方位智力参与,最终达到自己各方面能力的全面发展,做到真正的全面发展。 在成绩好的同时,还要有良好的品质,学生有了好的品质,良好的道德,就能深刻认识学习的重要性,对学生品质,道德的教育,有利于树立老师的良好形象,高中的学生处在思想极为活跃的阶段,对是非有自己的独道的认识,教师的言行对其有非常重要的影响,“近朱者赤,近墨者黑”,有什么样的老师,很有可能就有什么样的学生。教学任务如此紧,又如何实现在不耽搁教学任务的情况下实现对学生德的教育呢?我想,至少可以分为教学中,教学外两个方面。第一,教学中,以数学思想渗透德的教育。第二,教学外,以自身言行作出榜样。 学生的学习行为好了,学习也会慢慢的便好,到最后都回有一个很好的结果,因为方法比努力更重要。 第二篇:高中数学作业的作用 怎样做数学作业 才能发挥最大效益 做作业是学生巩固知识,训练方法,发展思维的重要的不可缺少的学习环节,它是在老师指导下进行的有目的学习活动。虽然作业天天做,但效果却大不同。有的同学有章有法,效果显著,成绩上升;有的同学疲于应付,心中厌烦,影响情绪,挫伤热情,导致成绩下降。其实,做作业有个方法或策略的问题,只有把握方法,遵循规律,保质保量,才能事半功倍,提高效益。下面以数学学科为例谈谈做作业的方法。 一,温故知新,把握要领 先把书看透,再动手做作业。做作业前,首先温故有关的知识,回顾概念,掌握要求,了解有关的注意事项,明确学习的目的,把握解题的规范化要求,然后再动手做作业,就心中有数,练中学,学中练,达到巩固目的,强化了知识,提高了能力。 但事实上,我们许多同学没有这个好习惯,拿到题目就做。这样,首先是速度慢,效率低。另外,由于概念不清,有的概念理解错误,做了题目起不到应有的作用,甚至还有反作用,巩固了错误,在相应方面形成了一个顽疾,为以后学习埋下后患。 二,明确题意,构建思路 题海战术的最大特点是以做题的数量作为标准,并期望以多取胜。由于高考升学的压力,不少同学不知不觉的掉进题海,拿到题目不假思索,跟着感觉走,时常出现张冠李戴,答非所问等现象,也会出现漏解或者画蛇添足,劳而无功。长期下去,最大的坏处是形成不严谨的思维习惯,不利于将来的发展。 审题是我们解题的前奏工作,不可忽视,在解题前必须审清题意,分析条件和结论,并且根据条件和结论进行联想:以前遇到过类似或者部分类似的问题吗?当时是用什么方法解决的?在这里还有效吗?等等。通过联想构建解题思路,设计解题程序,把握解题要点,为正确快速解题扫清障碍,奠定基础。 三,限定时间,一气呵成常听同学抱怨,作业太多,做不完了,有的同学为应付还不惜抄袭作业,影响优秀品质的形成。了解下来,问题大多是在时间安排上。觉得辛苦的同学,他们的作业都是在弹性的时间内完成,想做就做些,不想做就玩会儿;或者慢条斯理,认为时间还有的是,等会再完成。有一次,作业量并不大,可是有位同学居然没完成,他坦诚的说,晚上应该花上半小时就完成,可是当走到电视前时,就自我安慰,看会吧,睡前再做,而到睡前又想起语文老师布置的“周记”明天早自习要交,只有先写周记,早自习再做吧,早自习外语老师来检查背诵,所以就误了事。 但是,大部分同学还是对数学作业高度重视,应对自如,甚至还学有余力,额外做了些提高题,所以他们经常要求老师多布置些作业。调查下来,有两个是他们的共同特点:一是他们做作业限时完成,不拖拉,干净利落,遇到困难,待各项任务基本完成后,再进行钻研。另一方面,他们做到了心动不如行动。他们拿到问题,常常是立即投入战斗,而不是去想今天有多少作业,需多少时间,难度是否太大,能不能完成得了等等。他们遇到难题是先能做多少就做多少,能解决到什么程度就解决到什么程度,当解决了问题的部分时,常常会闪出好念头,悟出问题的解决方案。实际上每解决一点就是向目标靠近一步,这就是“吹尽黄沙始得金”的道理。 四,做后反思,提高效益 有人说题海战术是臭豆腐,闻的臭,吃的香。题海战术既然被人普遍使用,肯定有它存在的道理,不能全盘否定。但是它的效益不高的弊端也是很明显的。对它进行改进也是情理之中,实践证明解题后反思是提高效益的有效途径。 首先要反思题意。前面已经介绍了审题的重要性,这里不再详述。 其次要反思错误。要用批评的眼光去看待自己的解题过程,看看思路是否有问题,概念使用是否正确,计算是否有失误,思考是否周密等等。有时需要从不同的角度去思考,不同的方法去演算更能发现问题。千万别把检查答案当成“自我欣赏”,那么肯定发现不了错误,发现不了错误当然就谈不上克服错误了。 第三要反思方法,解完题后再思考,由于对这个问题的认识有了一定的高度,所以思考出的新方法常常更为简捷,巧妙,在很大程度上能激励我们的信心,即使我们发现不了巧思妙解,在思考过程中我们回顾了相关知识,尝试了许多方法,收获仍不可小视。 最后还要反思变化。研究性学习已经进入高考,提高探究创新能力已经刻不容缓。许多经典的数学问题可以进行变化,创设探究的契机。这些,大家只要利用原来问题的解题思路进行探索,知道他们都是周期函数。这样,我们解一题会一类,并训练了探究,创新能力,较大限度提高了解题的效益。 第三篇:有关高中数学作业的调查报告 一、问题的提出 作业是学习过程中重要的组成部分,作业完成的好坏将直接关系到学生对知识的掌握情况,同时对强化教学效果,进一步提高教学质量和促进教学改革有重要的意义。为了更深了解我校学生数学作业情况,进而采取更有利的改进措施,我们对我校学生的数学作业情况进行了调查,本次调查主要采用问卷的形式,现将调查结果总结如下: 二、调查 1.调查对象与方法 对高一,高二,高三按分层抽样进行问卷调查。 2.问卷设计与数据处理 共设置10个问题,以选择问答方式出现。 3.调查结果与结果分析 ABC183%17%0%240%50%10%370%27%3%475%20%5%50%94%6%696%4%0%71%29%70%826%59%15%966%32%2%从以上统计可以看出: (1)从老师每天布置的作业量上来说,约83%的学生认为作业不多;约有17%的学生认为作业比较多。 (2)从作业完成时间上来说,有接近40%的学生很快就能完成;有接近50%的学生大概需要30-60分钟完成;只有10%的学生完成作业需要一小时以上。总之家庭作业比较适当大部分都能在一小时内能够完成。由此可见本次调查是很有必要的,怎样让学生觉得作业不多,而且能起到让学生感到数学更简单的目的,将成为我们本次研究的一个重要方面。 (3)从完成作业方面看大约70%的学生能独立完成作业;大约27%的学生与同学讨论后能完成;大约3%的学生看参考答案或抄写别人的作业。 (4)在作业内容和形式方面有75%的同学认为内容有针对性,形式多样化;有20%的学生认为内容多样化,形式单一化;有5%的学生认为内容仅限于课本,形式很常规。 (5)从作业难度上分析,有94%的学生认为适中。 (6)从对待按时完成作业方面分析,有70%同学能在没按时完成时找参考书弄清楚或找同学讨论或找老师问;有29%的学生会抽空补上或抄写别人作业;有1%的学生无所谓。 (7)在完成老师留的作业外有59%的学生能复习巩固旧知,预习新课;有26%的学生做自己买的一些练习题;有15%的学生什么都不做,玩手机,上网,看电视。 (8)对于作业本改错有66%的学生能及时改错,总结反思;有32%的学生大概看一下,下次再说;有2%的学生不改错,直接做下次的作业。 统计完问卷后,归纳不外乎以下两种情况: 1.舍弃数量,提高质量。 2.布置弹性作业,学生自主选择。

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