答案2012高考文科模拟题5

2012年高考文科数学模拟试题（五）1.集合{1,0,1}A =-，A 的子集中，含有元素0的子集共有（ ） A.2个 B.4个 C.6个 D.8个2.已知复数(3)(3)2i i z i+-=-，则||z =（ ）D.3.已知样本容量为30，在样本频率分布直方图中，各小长方形的高的比从左到右依次为2∶4∶3∶1，则第2组 的频率和频数分别为（ ）A.0.4，12B.0.6，16C.0.4，16D.0.6，12 4.方程20,(0,1)x x n n ++=∈有实根的概率为（ ） A.21 B.31 C .41D.435.已知*n N ∈，则不等式220.011nn -<+的解集为（ ） A.{|n n ≥199，*}n N ∈ B.{|n n ≥200，*}n N ∈ C.{|n n ≥201，*}n N ∈ D.{|n n ≥202，*}n N ∈6.已知1tan 2α=，则2(sin cos )cos 2ααα+=（ ） A.2 B.2- C.3 D.3-7.一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，则球的体积与正三棱锥体积 的比值为（ ）D. 8.若点(2,0)P 到双曲线22221x y a b-=）9.过点(1,1)的直线与圆22(2)(3)9x y -+-=相交于,A B 两点，则||AB 的最小值为（ ）A. B.4C.510.已知两个单位向量a 与b 的夹角为135︒，则||1a b λ+>的充要条件是（ ）A.λ∈B.(λ∈C.(,0))λ∈-∞+∞D.(,)λ∈-∞+∞11.设函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线0x =及1x =对称，且[0,1]x ∈时，2()f x x =，则3()2f -=（ ）A.12 B.14 C.34 D.9412.平面α把正四面体S ABC -分割成两个形状体积都一样的几何体，则这样的平面有（ ） A.4个 B.6个 C.12个 D .无数个频率组距13.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且55S a =，若40a ≠，则74a a = ． 14.已知函数()sin()6f x x πω=-(0)ω>在4(0,)3π单调增加，在4(,2)3ππ单调减少，则ω= ． 15.已知正方体1111ABCD A BC D -的各条棱长均为3，长为2的线段MN 的一个端点M 在DD 1上运动，另一端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 的中点P 的轨迹（曲面）与一顶点D 的三个面所围成的几何体的体积为 ．16.设函数22)224()2cos 2x x x f x x x π++++=++（x R ∈）的最大值、最小值分别为M 、N ，则M N += ． 17.随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图，如图. (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； (2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学,求身高为176cm 的同学被抽中的概率.解析 （1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160179: 之间，而乙班身高集中于170180: 之间。

因此乙班平 均身高高于甲班; (2)15816216316816817017117917918217010x +++++++++==甲班的样本方差为()()()()222221[(158170)16217016317016817016817010-+-+-+-+- ()()()()()22222170170171170179170179170182170]+-+-+-+-+-＝57 （3）设身高为176cm 的同学被抽中的事件为A ；从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm 的同学有：（181，173） （181，176） （181，178） （181，179） （179，173） （179，176） （179，178） （178，173） (178, 176) （176，173）共10个基本事件，而事件A 含有4个基本事件； ()42105P A ∴== ； 18.已知在⊿ABC 中，角C B A ,,的对边为,,,c b a 向量(2cos ,sin())2C m A B =-+ ，(cos ,2sin())2Cn A B =+ ，且m n ⊥ ．(Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)若22221c b a +=，求)sin(B A -的值． 解：（Ⅰ）由⋅m n =0得0)(sin 22cos222=+-B A C.即0)cos 1(2cos 12=--+C C ;整理得01coscos22=-+CC. 解得1cos1cos2C C=-=（舍）或.因为π<<C0，所以060=C．……………………………………5分（Ⅱ）因为ABBABA cossincossin)sin(-=-.由正弦定理和余弦定理可得===BRbBRaA cos,2sin,2sin,2222acbca-+bcacbA2cos222-+=代入上式得=-)sin(BAbcacbRbacbcaRa2222222222-+⋅--+⋅cRba4)(222-=．又因为22221cba=-,故=-)sin(BA43sin21442===CRccRc.所求43)sin(=-BA. ……………………………………………………10分19.如图边长为4的正方形ABCD所在平面与正PAD∆所在平面互相垂直，QM,分别为ADPC,的中点. （1）求四棱锥ABCDP-的体积；（2）求证：//PA平面MBD；（3）试问：在线段AB上是否存在一点N，使得平面⊥PCN平面PQB？若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由。

（1）解：Q为AD的中点，PAD∆为正三角形，PQ AD∴⊥.PAD ABCD⊥平面平面PQ ABCD∴⊥平面. …………3分4,AD PQ=∴=∴四棱锥ABCDP-的体积211433ABCDV S PQ=⋅=⨯⨯=…5分（2）证明：连接AC BD O交于点，连接MO，由正方形ABCD知O AC为的中点，M PC为的中点，//MO PA∴.……………………………………………………7分,,//MO MBD PA MBD PA MBD⊂⊂∴平面平面平面.…………………………9分（3）解：存在点,N N当为AB中点时，平面PQB PNC⊥平面.………………10分ABCD四边形是正方形，Q AD为的中点，BQ NC∴⊥.……………………11分由（1）知，,,PQ ABCD NC ABCD PQ NC⊥⊂∴⊥平面平面，又BQ PQ Q=，NC PQB∴⊥平面. ……………………………………………………13分,NC PCN PCN PQB⊂∴⊥平面平面平面. …………………………14分20.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>和圆O ：222x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为,A B ． （Ⅰ）（ⅰ）若圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e ；（ⅱ）若椭圆上存在点P ，使得90APB ∠=，求椭圆离心率e 的取值范围； （Ⅱ）设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，求证：2222a b ONOM+为定值．解：（1）（ⅰ）∵ 圆O 过椭圆的焦点，圆O ：222x y b +=，∴ b c =，∴ 2222b a c c =-=，∴ 222a c =，∴2e =． ………… 3分 （ⅱ）由90APB ∠=及圆的性质，可得OP =，∴2222,OP b a =≤∴222a c ≤∴212e ≥1e ≤<．…………………………………… 7分 （2）设()()()001122,,,,,P x y A x y B x y ，则011011y y xx x y -=--整理得220011x x y y x y +=+22211x y b += ， ∴PA 方程为：211x x y y b +=，PB 方程为：222x x y y b +=．PA 、PB 都过点()00,P x y ，∴21010x x y y b +=且22020x x y y b +=直线AB 方程为 200x x y y b +=．令0x =，得20b ON y y ==，令0y =，得2b OM x x ==，∴2222222220022442a y b x a b a b a b b bON OM++===， ∴2222a b ON OM+为定值，定值是22a b ． -…………………………15分 21.定义在R 上的偶函数()f x ，当0x >时，()ln ()f x x ax a R =-∈. 方程0)(=x f 在R 上恰有5个不同的实数解.（Ⅰ）求0x <时，函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）求实数a 的取值范围. 解：（1）设x<0，则－x>0∵)(x f 为偶函数， ∴ax x x f x f +-=-=)ln()()(（2）∵)(x f 为偶函数，∴)(x f =0的根关于0对称.由)(x f =0恰有5个不同的实数解，知5个实根中有两个正根，二个负根，一个零根. 且两个正根和二个负根互为相反数∴原命题)(0x f x 时当>⇔图像与x 轴恰有两个不同的交点 下面研究x>0时的情况∵),0(0)(01)(+∞∈>'≤∴-='x x f a a xx f ，时，当 即 ),0(ln )(+∞-=在ax x x f 为单调增函数，故),0(0)(+∞=在x f 不可能有两实根∴a>0 令ax x f 10)(=='，得当)(0)(1)(,0)(10x f x f a x x f x f a x ，时，递增，当时，<'>>'<<递减，∴ax x f 1)(=在处取到极大值1ln --a又当-∞→+∞→-∞→→)(,)(0x f x x f x ，当时， 要使x x f x 与时，)(0>轴有两个交点当且仅当1ln --a >0解得e a 10<<，故实数a 的取值范围（0，e1）方法二：（2）∵)(x f 为偶函数， ∴)(x f =0的根关于0对称.由)(x f =0恰有5个不同的实数解知5个实根中有两个正根，二个负根，一个零根. 且两个正根和二个负根互为相反数∴原命题)(0x f x 时当>⇔图像与x 轴恰有两个不同的交点 下面研究x>0时的情况x y x f ln 0)(=⇔=的零点个数与直线ax y =交点的个数. ∴当0≤a 时，x y ln =递增与直线y=ax 下降或是x 国，故交点的个数为1，不合题意 ∴a>0由几何意义知x y ln =与直线y=ax 交点的个数为2时，直线y=ax 的变化应是从x 轴到与x y ln =相切之间的情形.设切点tx k t t t x 1|)(ln )ln ,(='=⇒= ∴切线方为 )(1ln t x tt y -=-由切线与y=ax 重合知ea e t t t a 1,1ln ,1==⇒== 故实数a 的取值范围为（0，e1） 22.如图，过圆O 外一点M 作它的一条切线，切点为A ，过A 作直线AP 垂直于直线OM ，垂足为P . （1）证明：OM ·OP = OA 2；（2）N 为线段AP 上一点，直线NB 垂直于直线ON ， 且交圆O 于B 点.过B 点的切线 交直线ON 于K.证明：∠OKM = 90°.（1）证明 因为MA 是圆O 的切线，所以OA AM ⊥．又因为AP OM ⊥．在Rt OAM △中，由射影定理知，.2OP OM OA ⋅= （2）证明 因为BK 是圆O 的切线，BN OK ⊥． 同（1），有OK ON OB ⋅=2，又OB OA =， 所以OK ON OM OP ⋅=⋅，即ON OMOP OK=． 又NOP MOK =∠∠，所以ONP OMK △∽△，故90OKM OPN ==∠∠．23.已知圆1O 和圆2O 的极坐标方程分别为2ρ=，2πcos()24ρθ--=．（1）把圆1O 和圆2O 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：（1）224ρρ=⇒=，所以224x y +=；因为()2πcos 24ρθ--=，所以()2ππcos cos sin sin 244ρθθ-+=，所以222220x y x y +---=． ………5分（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为1x y +=．化为极坐标方程为cos sin 1ρθρθ+=，即()πsin 4ρθ+． ………………… 10分24.(1)设x 是正数，求证：()()()2331118x xx x +++≥；（2）若x R ∈，不等式()()()2331118x x x x +++≥是否仍然成立？如果仍成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x 的值．简证：（1）∵0x >，∴10x +≥>， 2120x x +≥>，3120x +≥>，三个同向正值不等式相乘得()()2331118x xx x+++≥． ---------5分简解：（2）x R ∈时原不等式仍然成立．思路1：分类讨论0x =、10x -<<、1x =-、1x <-证；思路2：左边=()()2221311024x x x ⎡⎤⎛⎫++-+≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．---------------10分。