新教材高一数学——第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式(作业设计)
【教案】二次函数与一元二次方程、不等式+教学设计高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
二次函数与一元二次方程、不等式教学设计课题名称二次函数与一元二次方程、不等式姓名学校年级教材版本人教版A版一、教学目标1.使学生能够运用一元二次方程以及二次函数图像、性质解决实际问题。
2.渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。
经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图像探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法。
3.激发学生学习数学的热情，培养学生勇于探索的精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
二、教学重难点重点：一元二次不等式的应用。
难点：一元二次方程的根的情况与二次函数图像与x轴的位置关系的联系，数形结合的运用。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程一、导入（复习导入）师生活动复习解一元二次不等式步骤：1、a变正，（二次项系数化为正数）2、判别式。
（利用一元二次方程，求出判别式的值）3、求根。
（根据判别式情况求出一元二次方程的根）4、画草图。
（利用二次函数绘制图像）5、求解集。
（根据数形结合的思想求不等式解集）复习上节课所学内容，检测学生学习情况。
二、新指探究利用一元二次不等式求解实际问题。
【例1】一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（单位：辆）与创造的价值y（单位：元）之间有如下关系：y=−2y2+220y若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？解：设这家工厂在一个星期内大约应该利用整条流水线生产x辆摩托车，根据题意得：−2y2+220y>6000移项整理，得：y2−110y+3000<0对于方程y2−110y+3000=0，∆=100>0，方程有两个实数根y1=50，y2=60画出二次函数y=y2−110y+3000的图像（图2.3-6），结合图象得不等式y2−110y+3000<0的解集为{y|50<y<60}，从而原不等式的解集为：{y|50<y<60}。
二次函数与一元二次方程不等式学案-高一上学期数学人教A版(1)
练习3：已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是 ，则不等式
x2－bx－a<0的解集是________
恒成立问题
【典例4】已知不等式ax2＋(a－1)x＋a－1＜0对于所有的实数x都成立，求a的取值范围．
练习4:不等式x2＋mx＋ ＞0恒成立的条件是()
二次函数与一元二次方程、不等式
一、学习目标：
1.结合一元二次函数图象及一元二次方程解一元二次不等式；（重点）
2.能解含有参数的一元二次不等式，利用一元二次函数图象解决不等式恒成立问题（重点）
二、知识导学：
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
3．不等式x2＋6x＋10<0的解集是()
A．ØB．RC．{x|x>5}D．{x|x<2}
4．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是()
A. B. C．ØD.
5.不等式－6x2－x＋2≤0的解集是________．
6.已知不等式ax2－bx＋4<0的解集为{x|1<x<2}，求a，b的值．
7.解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a>0个相等的实根x1，x2且x1＝x2
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
三、典例解析：
【典例1】不含参数的一元二次不等式的解法
解下列不等式：
(1)2x2－3x－2>0(2)x2－2x＋3>0.
新教材人教A版高中数学必修第一册2.3.1二次函数与一元二次方程不等式精品学案
第1课时二次函数与一元二次方程、不等式冏课前自主预习・__________________________________ __ _ _______ E］学习目标-M BM I a^^Bi !^^B I1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图象法解一元二次不等式.3.通过解不等式，体会数形结合、分类讨论的思想方法.E］要点梳理1.一元二次不等式一般地，我们把只含有一个未知数, 并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2 + bx+ c>0或ax2 + bx + c<0,其中a, b, c均为常数，a乒0.2.二次函数的零点一般地，对于二次函数y= ax2 + bx+ c,我们把使ax2 + bx+ c= 0的实数x叫做二次函数y= ax2+ bx+ c的零点.温馨提示：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标.(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点.3.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系温馨提示：（1）对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间.（2）对于二次项系数是负数（即a<0）的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解.思考诊断I IBM1.二次方程x2— x-6 = 0的根与二次函数y= x2— x-6的零点有怎样的关系？［答案］方程x2— x— 6= 0的判别式△ = 1 — 4 - 1 • （— 6） = 25>0,可知这个方程有两个不相等的实数根，解此方程得x1 = —2, x = 3.所以二次函数有两个零点：x1=—2, x2= 3.所以二次方程的根就是二次函数的零点2.画出二次函数y = x2—x —6的图象，你能通过观察图象，获得不等式x2— x—6>0及x2— x — 6<0的解集吗？［答案］二次函数y = x2— x- 6的图象如图，观察函数图象可知：当x<—2,或x>3时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0,即x2—x — 6>0的解集为{x|x<—2或x>3};当一2<x<3 时，函数图象位于x轴下方，此时y<0,即x2—x- 6<0;所以，不等式x2—x —6<0的解集是{x| — 2<x<3}3.判断正误(正确的打“挪，错误的打“X”)(1)mX —5x<0是一元二次不等式.( )(2)若a>0,则一元二次不等式ax2 +1>0无解.( )(3)若一元二次方程ax2 + bx+ c= 0的两根为x i, X2(x i<X2)，则一元二次不等式ax2 + bx + c<0 的解集为{x| x i<x<x2}.( )⑷ 不等式x2—2x+ 3>0的解集为R.( )［答案］(1) X (2) X (3) X (4) V题型一一元二次不等式的解法【典例1】解不等式：(1)2 x2-3x- 2>0;(2)— 3x2 + 6x— 2>0;一、 2 ，一(3)4 x — 4x + 1V 0;…2⑷ x — 2x+ 2>0.［思路导引］先求出对应一元二次方程的解，再结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集.2 1［解］(1)万程2x — 3x— 2= 0 的解是XI=—x2= 2.因为函数是开口向上的抛物线, 所以不等式的解集是x x <— 2或x >2⑵不等式可化为3x 2— 6x+ 2<0.-2x + 2是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集为 R解一元二次不等式的一般步骤(1) 通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2) 计算对应方程的判别式；⑶求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根;(4)根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集.［针对训练］1.解下列不等式：因为3x 2- 6x + 2= 0的判别式 △ = 36-4X 3X 2= 12>0,所以方程23x — 6x + 2= 0 的解是 xi = 1 —季,x2= 1 + 半.因为函数y = 3x 2— 6x + 2是开口向上的抛物线，所以不等式的解集是x1-奈x <1 + 乎212⑶方程4x — 4x+ 1 = 0的解是x1 = x2=板，函数y= 4x — 4x+ 1是开口向上的抛物线,1所以原不等式的解集是x x = 2... 2 2 2(4)因为x — 2x+ 2= 0的判别式 △ <0,所以万程x — 2x + 2= 0无解.又因为函数y = x，八 2 . _ 一(1)—x + 7x>6;(2)(2 —x)( x + 3)<0;2(3)4(2 x — 2x+ 1)>x(4 —x).［解］(1)原不等式可化为x2- 7x+ 6<0.解方程x2—7x + 6= 0 得，xi= 1, x2= 6.结合二次函数y= x2—7x + 6的图象知，原不等式的解集为{x|1<x<6}.⑵ 原不等式可化为(x — 2)( x + 3)>0.方程(x— 2)( x + 3) = 0两根为2和一3.结合二次函数y= (x —2)( x + 3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<—3或x>2}.⑶ 由原不等式得8x2—8x+4>4x — x2...•原不等式等价于9x2 - 12x+ 4>0.......2―一 (2)解方程9x — 12x + 4= 0,碍X I = x2 =—.3…，― 2 2结合二次函数y= 9x—12x+ 4的图象知，原不等式的解集为x x乒三3 题型二三个“二次”关系的应用【典例2】已知关于x的不等式x2+ ax+ b<0的解集为｛x|1<x<2｝,求关于x的不等式bx2 + ax+ 1>0 的解集.［思路导引］由x2 + ax+ b<0的解集为｛x|1<x<2｝，可知1,2是方程x2+ ax + b= 0的两根，可求出a, b的值，从而得解.［解］x2+ ax+ b<0 的解集为｛x|1<x<2｝,... 1,2 是x2+ ax+ b= 0 的两根.—a = 1 + 2, a= — 3,由韦达定理有得b= 1x 2, b= 2,代入所求不等式bx2 + ax+1>0,得2x2— 3x + 1>0.,-2 - ___ 1,、.由2x — 3x + 1>0? (2x — 1)( x —1)>0? x<2或x>1.•■- bx2 + ax+ 1>0 的解集为x x<2或x>1(1)一元二次不等式ax2 + bx+ c>0(a乒0)的解集的端点值是一元二次方程ax2 + bx+ c = 0的根，也是函数y= ax2 + bx+ c的图象与x轴交点的横坐标.(2)二次函数y = ax2 + bx+ c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2+ bx+ c>0的x ........ .__ , , …、…、… 一. …. 2 ……、的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax + bx+ c<0的x的值构成的，二者之间相互依存、相互转化.［针对训练］2.不等式ax 2+ bx+ 2>0的解集是x | — 1<x <1，贝U a- b 的值为()23A. 14 B . — 14 C . 10 D . — 10［解析］不等式ax 2+ bx+ 2>0的解集是x | 一 ；<x <3，可得一2, 3是一元二次方程 ax 2+ bx +2=0的两个实数根，.1.1 b 1,1 2 ..—2+ 3=—a -2x 3=a解得 a=— 12, b=— 2,a-b=- 12-( -2) =— 10,所以D 选项是正确的.［答案］D题型三含参数的一元二次不等式的解法【典例3】 解关于x 的不等式x 2— ax — 2a 2<0(a£ F).［思路导引］ 先求出方程x 2— ax — 2a 2 = 0的两根x 1 = 2a, x2= — a,再通过比较2a 与一 a 的大小写出不等式的解集.［解］原不等式转化为(x — 2a )( x+ a )<0，对应的一元二次方程的根为 a .① 当2a >— a,即a >0时，不等式的解集为 {x | — a <x <2a }； ② 当2a=— a,即a= 0时，原不等式化为 x 2<0,无解；③ 当2a <一 a,即a <0时，不等式的解集为 {x |2 a <x <— a }.；当a <0时，原不等式的解集为{x |2a <x < — a }.解含参数的一元二次不等式时(1) 若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论;(2) 若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 △进行讨论；(3) 若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论.［针对训练］3.解关于x 的不等式ax 2—(a+ 1)x+ 1<0.［解］①当a= 0时，原不等式即为一x+ 1<0,解得x >1.x1= 2a, x2=—综上所述，当a >0时，原不等式的解集为 {x | — a <x <2a }；当a= 0时，原不等式的解集②当a<0时，原不等式化为x-- （x— 1）>0，解得a1x<-或x>1.a③当a>0时，原不等式化为x—1（x- 1）<0.a若a= 1,即1时，不等式无解；a若a>1,即1<1时，解得1<x<1;a a若0<a<1,即->1 时，解得1<x<1.a a1 ,、综上，当a<0时，不等式的解集为x xy或x>1 ；a当a = 0时，不等式的解集为{x| x>1}；…―,…、,1当0<a< 1时，不等式的解集为x 1<XL；a当a= 1时，不等式的解集为？；1当a>1时，不等式的解集为x a<x<1 .课堂归纳小结1.解一元二次不等式的一般步骤是：（1）化为标准形式；（2）确定判别式△= b2—4ac的符号；（3）若0,则求出该不等式对应的二次方程的根；若△ <0,则对应的二次方程无根；（4）联系二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，1 .不等式一x2—5x + 6<0的解集为（）A. {x|xA6 或x< - 1}B. {x| — K x<6}C. {x| — 6< x< 1}D. {x|xv— 6 或x> 1}［解析］由一x2—5x + 6V0 得x2 + 5x — 6>0,即（x + 6）（ x— 1） >0,•■- x>l 或x< — 6.则可立即写出不等式的解集（在两根之内或两根之外）.2.解含字母参数的一元二次不等式，与解一般的一元二次不等式的基本思路是一致的，但要注意分类讨论思想的运用.3.解一元二次不等式，应首先尝试因式分解法，若能够进行因式分解，那么在解含参数的不等式时，就可以避免对的讨论.［答案］D2.一元二次方程ax2 + bx+ c = 0的根为2, —1,则当a<0时，不等式ax2+ bx+ c>0 的解集为( )A. {x|x<—1 或x>2}B. {x|xv—1 或x>2}C. {x| — 1<x<2}D. {x| — 1< x< 2}［解析］结合二次函数y= ax2 + bx+ c(a<0)的图象可得{x| -1< x<2},故选D.［答案］D3.若不等式ax2 + 8ax + 21<0的解集是{x| — 7<x<- 1},那么a的值是( )A. 1 B . 2C. 3 D . 4221 ［解析］由题可知一7和一1为ax + 8ax+ 21 = 0的两个根，.••一7X ( — 1) = —, a= 3.［答案］C4.不等式x2— 4x+ 5AO的解集为 .［解析］I，△ = ( — 4) 2 — 4X 5= — 4<0, 不等式x2- 4x + 5>0的解集为R.［答案］R5.当a>- 1时，关于x的不等式x2 + (a- 1)x-a>0的解集是.［解析］原不等式可化为(x+ a)( x — 1)>0 ,方程(x+ a)( x — 1) = 0的两根为一a, 1,.• a>-1,•■- - a<1,故不等式的解集为{x|x<—a或x>1}.［答案］{x|x<—a 或x>1}课后作业(十三)复习巩固一、选择题1.已知集合岬{x| —4<x<2} , N= {x|x2—x-6<0}，则"N=( )A. {x| — 4<x<3} B . {x| —4<x<- 2}C. {x| — 2<x<2} D . {x|2<x<3}［解析］由题意得N= {x| x2- x-6<0} = {x| — 2<x<3},所以"N= {x| — 2<x<2},选C.［答案］C2.已知集合M= {x| x2 — 3x— 28V 0}, N^ {x| x2—x — 6>0}，贝U " N为( )A. {x| - 4< x<—2 或3<xv 7}B. （x | — 4<x< - 2 或 3< x <7}C. （x | x< — 2 或 x >3}D. {x |x <— 2 或 x>3}2［解析］岷{x | x — 3x — 28V 0} = {x | — 4< x< 7}, N^ {x | x 3— x — 6>0} = {x | x < — 2 或 x >3},W 4 {x | — 4< x <- 2 或 3<x< 7}. ［答案］A 3.不等式x 2— px-q <0的解集是{x |2< x <3}，则不等式qx 2— px-1>0的解是（）［答案］5.若不等式ax 2— x-c >0的解集为{x | — 2<x <1},则函数B. x - ；<x<-!2 311C. x -<x<-D.{x | x <2或x >3 }［解析］易知方程x 2— px — q= 0的两个根是2,3.2+ 3 = p, p= 5, 由根与系数的关系得解得2x 3= — q,q= — 6,不等式 qx 2— px — 1>0 为—6x 2— 5x — 1>0,11解碍—5<x <一［答案］B4.若 0<a <1,不等式（a —x ） x —1 >0 a的解集是（1A. x a <x <一aB.1_<x <aa1C. x x >a 或x<-aD.1 x <a 或xk a［解析］ 不等式（a — x ） x —l >0 化为（x — a ） x —- a r<0, 一、， ,, 1…… 因为 0<a <1,故a <-,解集是 ay= ax 2— x — c 的图象为（）C D［解析］因为不等式的解集为{x| — 2<x<1},所以a<0,排除G D;又与坐标轴交点的横坐标为一2,1 ,故选B.［答案］B二、填空题6.设集合A= {x|( x — 1) 2<3x + 7, x€ F},则集合An Z中有个元素.［解析］由(x — 1)2<3x + 7,解得一1<x<6,即A= {x| —1<x<6}，则An Z= {0,1,2,3,4,5} ,故AD Z共有6个元素.［答案］67.方程x2+(nv 3)x +咛0的两根都是负数，贝U m的取值范围为 .2△ = mv 3 — 4m^ 0,［解析］x〔 + x2= 3 —m<0,xx = m>0,m>9.［答案］{mm^ 9}8.若关于x的不等式ax2— 6x + a2>0的解集为{x|1<x<n}，则a=,m^［解析］可知1, m是方程ax2—6x + a2= 0的两个根，且a<0,61 + m^- a=— 3 a= 2••- a解得或(舍去).m^- 3 m^21 x m^ a［答案］一3 —3三、解答题9.解不等式：0V x2— x-2< 4.［解］原不等式等价于{x2— x— 2> 0, x2— x — 2< 4.2解x -x— 2>0,得x<- 1 或x>2;解X2—x-2<4,得—2V x< 3.所以原不等式的解集为{x|xV— 1或x>2} A { x| — 2< x< 3} = {x| — 2< x< — 1或2< x< 3}.10.解关于x的不等式x2—3ax- 18a2>0.［解］将x2—3ax- 18a2>0 变形得(x-6a)( x+ 3a)>0 ,方程(x- 6a)( x+ 3a) = 0 的两根为6a, —3a,所以当a>0时，6a>- 3a,原不等式的解集为｛x|x< —3a或x>6a｝；当a = 0时，6a=— 3a= 0,原不等式的解集为｛x|x丰0｝;当a<0时，6a<—3a,原不等式的解集为｛x|x<6a或x> —3a}. 综合运用11.不等式mx— ax—1>0(m>0)的解集可能是( ). —1 A. X I x<- 1 或x>-4 B. RC. x| - 1<x<33 2D. ?［解析］因为△ = a2 + 4m>0,所以函数y= mx- ax—1的图象与x轴有两个交点，又m>0, 所以原不等式的解集不可能是 B C、D,故选A.［答案］A12.关于x的不等式ax— b>0的解集是(1 , +°°),则关于x的不等式(ax+ b)( x—3)>0的解集是( )A.{x| x<- 1 或x>3 }B. {x| —1<x<3}C. {x|1<x<3}D. {x| x<1 或x>3}［解析］由题意，知a>0,且1是ax— b= 0的根，所以a = b>0,所以(ax+ b)( x—3)= a(x+ 1)( x — 3)>0 ,所以x<- 1或x>3,因此原不等式的解集为｛x| x<—1或x>3｝.［答案］A13.关于x的不等式x2— 2ax- 8a2<0(a>0)的解集为{X|X I<X<X2}，且x2 —X I = 15,则a=( )5 A.27 B.215C H 15D.E［解析］由条件知XI,x2为方程x2— 2ax- 8a2= 0 的两根，贝U XI + x2= 2a, xx=— 8a2.2 2 2 2 2 2 5由(x2 —X I) = ( XI + X2)—4X I x2 = (2 a) — 4x ( —8a ) = 36a = 15 ,解得a= ~.［答案］A14.已知 A= {x |x 2— 3x+2<0}, B= {x |x 2— (a+ 1)x + a<0},若 A B,贝U a 的取值范 围是.匚一・ 一 _ _2 _ -一［解析］ A= {x | x — 3x + 2< 0} = {x |1 < x< 2}; 当 avi 时，B= {x | a<x< 1}, A B 不成立； 当 a >1 时，B= {x |1 < x<a},若 A B,须 a >2.［答案］a >215 .若不等式ax 2 + bx + c >0的解集为{x | — 3<x <4},求不等式bx 2 + 2ax — c — 3b <0的解， .__2…， ，、 - __ - 一 一 、 一一2［解］ 因为不等式ax + bx+ c >0的解集为{x | — 3<x <4}，所以a <0,且—3,4是方程ax+ bx + c= 0的两根.c , b —3 + 4= — —, a 由根与系数的关系，得一 .c —3X4= 一，a所以不等式bx 2 + 2ax — c — 3b <0,2即为—ax + 2ax+15 a <0. 因为一a >0,两边同除以一a,所以 x 2— 2x- 15<0，令 x 2— 2x- 15= 0,则△ = 64>0，且XI =— 3,x 2 = 5是方程的两个根，故所求的不等式的解集为 {x | — 3<x <5}.1x a <x <一 a所以b= — a,c= — 12a,。
二次函数与一元二次方程不等式(第1课时)(教学设计)高一数学系列(人教A版2019)
学生在小学和初中阶段已经学习了一元一次不等式的解法，在知识上已经具备了一定的知识经验和基础，在能力上初步具备了一定的解决问题的能力，同时这部分知识之前学过的二次函数也有密切的联系，因此学生对一元二次不等式的解法有一定的兴趣和积极性，但是学生能力有限，真正掌握还有一定的难度。
教学时，可以利用具体的一元二次不等式，让学生观察二次函数的图象，获得对解一元二次不等式方法的认识，培养学生直观想象的核心素养。
通过定义辨析，引导学生熟练掌握一元二次不等式特征，提高学生数学抽象的核心素养.】(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点.当x ＜2 或x ＞10时，图像在x 轴上方，y ＞０，即x 2-12x+20>0；当2<x ＜10时，y <０，即x 2-12x+20<0；故一元二次不等式x 2－12x ＋20＜0的解集是{x|2＜x ＜10}.求解一元二次不等式x 2－12x ＋20＜0解集的方法，是否可以推广到一般的一元二次不等式？一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系:注意：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．(2)对于二次项系数是负数(即a <0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．一元二次不等式的解法】先求出对应一元二次方程的解，再结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集.21225600.2 3.56x x x x y x x -+=∆>===-+解：对于方程，因为，所以它有两个实数根解得，画出二次函数的图象，如下图，256{|}023.x x x x x -+><>结合图象得不等式的解集为，或2122961001.3961x x x x y x x -+=∆====-+解：对于方程，因为，所以它有两个相等的实数根，解得画出二次函数的图象，如下图，29610{|}1.3x x x x -+>≠结合图象得不等式的解集为22230.80230.x x x x -+<∆=-<∴-+=解：不等式可化为，方程无实数根223y x x =-+∅画出二次函数因此，原不等式的解集为。
高中数学必修一 (教案)二次函数与一元二次方程、不等式
二次函数与一元二次方程、不等式【教材分析】三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法。
【教学目标】课程目标1．通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
2．使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题。
3．渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。
数学学科素养1．数学抽象：一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系；2．逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；3．数学运算：解一元二次不等式；4．数据分析：一元二次不等式解决实际问题；5．数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
【教学重难点】重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集；难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用。
【教学准备】【教学方法】以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
【教学过程】一、情景导入在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题。
类似地，能否从二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察。
研探。
二、预习课本，引入新课阅读课本，思考并完成以下问题1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系。
2．解一元二次不等方的步骤？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ=b 2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax 2+bx+c（a>0）的图象一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根有两相异实根x1，x2（x1<x2）有两相等实根x1=x2没有实数根ax2+bx+c>0（a>0）的解集{x|x>x2或x<x1}{x|x≠−2ba}Rax2+bx+c<0（a>0）的解集{x|x1<x<x2}∅∅ab2-=2．一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0）的求解的算法。
高一数学必修一-教案-2.3-二次函数与一元二次方程、不等式
高一数学必修一-教案-2.3-二次函数与一元二次方程、不等式(总15页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2．3 二次函数与一元二次方程、不等式第1课时二次函数与一元二次方程、不等式学习目标 1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系.2.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．知识点一一元二次不等式的概念定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数知识点二一元二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．知识点三二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集{x |x <x 1，或x >x 2}⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－b 2a Rax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集{x |x 1<x <x 2} ? ?预习小测 自我检验1．下面所给关于x 的几个不等式：①3x ＋4<0；②x 2＋mx －1>0；③ax 2＋4x －7>0；④x 2<0.其中一定为一元二次不等式的有________．(填序号) 答案 ②④解析 一定是一元二次不等式的为②④. 2．不等式x (2－x )>0的解集为________． 答案 {x |0<x <2}解析 原不等式可化为x (x －2)<0，∴0<x <2. 3．不等式4x 2－9<0的解集是________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32<x <32 解析 原不等式可化为x 2<94，即－32<x <32.4．已知一元二次不等式ax 2＋2x －1<0的解集为R ，则a 的取值范围是________． 答案 {a |a <－1}解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0，4＋4a <0，∴a <－1.一、解不含参数的一元二次不等式 例1 解下列不等式：(2)3x 2＋5x －2≥0； (3)x 2－4x ＋5>0.解 (1)不等式可化为x 2－5x ＋6<0.因为Δ＝(－5)2－4×1×6＝1>0，所以方程x 2－5x ＋6＝0有两个实数根：x 1＝2，x 2＝3. 由二次函数y ＝x 2－5x ＋6的图象(如图①)，得原不等式的解集为{x |2<x <3}．(2)因为Δ＝25－4×3×(－2)＝49>0，所以方程3x 2＋5x －2＝0的两实根为x 1＝－2，x 2＝13.由二次函数y ＝3x 2＋5x －2的图象(图②)，得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－2或x ≥13. (3)方程x 2－4x ＋5＝0无实数解，函数y ＝x 2－4x ＋5的图象是开口向上的抛物线，与x 轴无交点(如图③)．观察图象可得，不等式的解集为R .反思感悟 解一元二次不等式的一般步骤第一步：把一元二次不等式化为标准形式(二次项系数为正，右边为0的形式)；第二步：求Δ＝b 2－4ac ；第三步：若Δ<0，根据二次函数图象直接写出解集；若Δ≥0，求出对应方程的根写出解集． 跟踪训练1 解下列不等式： (1)4x 2－4x ＋1>0；解 (1)∵方程4x 2－4x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝12.作出函数y ＝4x 2－4x ＋1的图象如图．由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠12.(2)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0， ∵Δ＝36－40＝－4<0， ∴方程x 2－6x ＋10＝0无实根， ∴原不等式的解集为?.二、三个“二次”间的关系及应用例2 已知二次函数y ＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，且y >0的解集为{x |－3<x <2}． (1)求二次函数的解析式；(2)当关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R 时，求c 的取值范围． 解 (1)因为y >0的解集为{x |－3<x <2}，所以－3,2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3＋2＝－b －8a ，－3×2＝－a －aba，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝5，所以y ＝－3x 2－3x ＋18.(2)因为a ＝－3<0，所以二次函数y ＝－3x 2＋5x ＋c 的图象开口向下，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需Δ≤0，即25＋12c ≤0，所以c ≤－2512.所以当c ≤－2512时，－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R .反思感悟 三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式．跟踪训练2 已知关于x 的不等式ax2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <12. (1)求a ，c 的值；(2)解关于x 的不等式ax 2＋(ac ＋2)x ＋2c ≥0.解 (1)由题意知，不等式对应的方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两个实数根为13和12，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－5a ＝13＋12，c a ＝12×13，解得a ＝－6，c ＝－1.(2)由a ＝－6，c ＝－1知不等式ax 2＋(ac ＋2)x ＋2c ≥0可化为－6x 2＋8x －2≥0，即3x 2－4x ＋1≤0，解得13≤x ≤1，所以不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13≤x ≤1. 三、含参数的一元二次不等式的解法例3 设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2＋(1－2a )x －2>0.解 (1)当a ＝0时，不等式可化为x －2>0，解得x >2，即原不等式的解集为{x |x >2}．(2)当a ≠0时，方程ax 2＋(1－2a )x －2＝0的两根分别为2和－1a.①当a <－12时，解不等式得－1a<x <2，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1a <x <2； ②当a ＝－12时，不等式无解，即原不等式的解集为?；③当－12<a <0时，解不等式得2<x <－1a，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2<x <－1a ； ④当a >0时，解不等式得x <－1a或x >2，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1a 或x >2. 反思感悟 解含参数的一元二次不等式的步骤特别提醒：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算． 跟踪训练3 (1)当a ＝12时，求关于x 的不等式x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a x ＋1≤0的解集；(2)若a >0，求关于x 的不等式x 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a x ＋1≤0的解集．解 (1)当a ＝12时，有x 2－52x ＋1≤0，即2x 2－5x ＋2≤0，解得12≤x ≤2，故不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤2. (2)x 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a x ＋1≤0?⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －a )≤0，①当0<a <1时，a <1a，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a ≤x ≤1a； ②当a ＝1时，a ＝1a＝1，不等式的解集为{1}；③当a >1时，a >1a，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a≤x ≤a. 综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a ≤x ≤1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为{1}；当a >1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a≤x ≤a.1．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( ) C ．?答案 D解析 原不等式可化为(3x ＋1)2≤0， ∴3x ＋1＝0，∴x ＝－13.2．如果关于x 的不等式x 2<ax ＋b 的解集是{x |1<x <3}，那么b a等于( ) A ．－81 B ．81 C ．－64 D ．64 答案 B解析 不等式x 2<ax ＋b 可化为x 2－ax －b <0， 其解集是{x |1<x <3}，那么，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋3＝a ，1×3＝－b ，解得a ＝4，b ＝－3；所以b a＝(－3)4＝81.故选B. 3．不等式x 2－2x >0的解集是( ) A ．{x |x ≥2或x ≤0} B ．{x |x >2或x <0} C ．{x |0≤x ≤2} D ．{x |0<x <2}答案 B解析 解x 2－2x >0，即x (x －2)>0， 得x >2或x <0，故选B.4．不等式x 2－3x －10<0的解集是________． 答案 {x |－2<x <5}解析 由于x 2－3x －10＝0的两根为－2,5，故x 2－3x －10<0的解集为{x |－2<x <5}． 5．若方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有实数解，则m 的取值范围是________________． 答案 {m |m ≥9或m ≤1}解析 由方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有实数解， ∴Δ＝(m －3)2－4m ≥0， 即m 2－10m ＋9≥0， ∴(m －9)(m －1)≥0， ∴m ≥9或m ≤1.1．知识清单：解一元二次不等式的常见方法 (1)图象法：①化不等式为标准形式：ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)；②求方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根，并画出对应函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的简图； ③由图象得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解． 2．方法归纳：数形结合，分类讨论．3．常见误区：当二次项系数小于0时，需两边同乘－1，化为正的．1．(2019·全国Ⅰ)已知集合M ＝{x |－4<x <2}，N ＝{x |x 2－x －6<0}，则M ∩N 等于( ) A ．{x |－4<x <3} B ．{x |－4<x <－2} C ．{x |－2<x <2} D ．{x |2<x <3}答案 C解析 ∵N ＝{x |－2<x <3}，M ＝{x |－4<x <2}， ∴M ∩N ＝{x |－2<x <2}，故选C.2．若0<m <1，则不等式(x －m )⎝⎛⎭⎪⎫x －1m <0的解集为( )答案 D解析 ∵0<m <1，∴1m>1>m ， 故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ m <x <1m ，故选D. 3．二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3，如果a <0，那么ax 2＋bx ＋c >0的解集为( )A ．{x |x >3或x <－2}B ．{x |x >2或x <－3}C ．{x |－2<x <3}D ．{x |－3<x <2}答案 C解析 由题意知－2＋3＝－b a ，－2×3＝c a ，∴b ＝－a ，c ＝－6a ，∴不等式ax 2＋bx ＋c >0可化为ax 2－ax －6a >0，又a <0，∴x 2－x －6<0，∴(x －3)(x ＋2)<0，∴－2<x <3，故选C.4．若不等式5x 2－bx ＋c <0的解集为{x |－1<x <3}，则b ＋c 的值是( )A ．5B ．－5C ．－25D ．10答案 B解析 由题意知－1,3为方程5x 2－bx ＋c ＝0的两根，∴－1＋3＝b 5，－3＝c 5，∴b ＝10，c ＝－15，∴b ＋c ＝－5.故选B.5．若关于x 的二次不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是() A ．{m |m ≤－2或m ≥2} B ．{m |－2≤m ≤2}C ．{m |m <－2或m >2}D ．{m |－2<m <2}答案 B解析 ∵x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，∴Δ＝m 2－4≤0，∴－2≤m ≤2，故选B.6．不等式x 2－4x ＋4≤0的解集是________．答案 {2}解析 原不等式可化为(x －2)2≤0，∴x ＝2.7．不等式x 2＋3x －4<0的解集为________．答案 {x |－4<x <1}解析 易得方程x 2＋3x －4＝0的两根为－4,1，所以不等式x 2＋3x －4<0的解集为{x |－4<x <1}．8．关于x 的不等式(mx －1)(x －2)>0，若此不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1m <x <2，则m 的取值范围是________．答案 {m |m <0}解析 ∵不等式(mx －1)(x －2)>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1m <x <2， ∴方程(mx －1)(x －2)＝0的两个实数根为1m和2， 且⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，1m <2，解得m <0，∴m 的取值范围是m <0.9．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B .(1)求A ∩B ；(2)若不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，求不等式ax 2＋x ＋b <0的解集．解 (1)由x 2－2x －3<0，得－1<x <3，∴A ＝{x |－1<x <3}．由x 2＋x －6<0，得－3<x <2，∴B ＝{x |－3<x <2}，∴A ∩B ＝{x |－1<x <2}．(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ＋b ＝0，4＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2. ∴－x 2＋x －2<0，∴x 2－x ＋2>0，∵Δ＝1－8＝－7<0，∴不等式x 2－x ＋2>0的解集为R .10．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}．(1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0；(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R?解 (1)由题意知1－a <0，且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a <0，41－a＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3. ∴不等式2x 2＋(2－a )x －a >0，即为2x 2－x －3>0，解得x <－1或x >32. ∴所求不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－1或x >32. (2)ax 2＋bx ＋3≥0，即为3x 2＋bx ＋3≥0，若此不等式解集为R ，则Δ＝b 2－4×3×3≤0，∴－6≤b ≤6.11．下列四个不等式：①－x2＋x＋1≥0；②x2－25x＋5>0；③x2＋6x＋10>0；④2x2－3x＋4<1.其中解集为R的是( )A．① B．② C．③ D．④答案C解析①显然不可能；②中Δ＝(－25)2－4×5>0，解集不为R；③中Δ＝62－4×10<0.满足条件；④中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选C.12．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( ) A．{x|0<x<2} B．{x|－2<x<1}C．{x|x<－2或x>1} D．{x|－1<x<2}答案B解析根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，故不等式的解集是{x|－2<x<1}．13．若关于x的方程(a－2)x2－2(a－2)x＋1＝0无实数解，则a的取值范围是________．答案2≤a<3解析若a－2＝0，即a＝2时，原方程为1＝0不合题意，∴a＝2满足条件，若a－2≠0，则Δ＝4(a－2)2－4(a－2)<0，解得2<a<3，综上有a的取值范围是2≤a<3.14．已知不等式x2－2x＋5≥a2－3a对?x∈R恒成立，则a的取值范围为________．答案 {a |－1≤a ≤4}解析 x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4≥a 2－3a 恒成立，∴a 2－3a ≤4，即a 2－3a －4≤0，∴(a －4)(a ＋1)≤0，∴－1≤a ≤4.15．在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a －1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．答案 32解析 原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立，因为x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54， 所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32. 16．已知不等式ax 2＋2ax ＋1≥0对任意x ∈R 恒成立，解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a <0.解 ∵ax 2＋2ax ＋1≥0对任意x ∈R 恒成立．当a ＝0时，1≥0，不等式恒成立；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1.综上，0≤a ≤1.由x 2－x －a 2＋a <0，得(x －a )[x －(1－a )]<0.∵0≤a ≤1，∴①当1－a >a ，即0≤a <12时，a <x <1－a ；②当1－a ＝a ，即a ＝12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122<0，不等式无解； ③当1－a <a ，即12<a ≤1时，1－a <x <a . 综上，当0≤a <12时，原不等式的解集为{x |a <x <1－a }；当a ＝12时，原不等式的解集为?；当12<a ≤1时，原不等式的解集为{x |1－a <x <a }．。
2020高一数学新教材必修1教案学案 2.3 二次函数与一元一次方程、不等式(解析版)
（2）由题意，不等式 x2 x 12 (x 4)(x 3) 0 ，则不等式的解集为{x | 3 x 4} ；
1
（3）由题意，不等式 x2 3x 4 (x 4)(x 1) 0 ，则不等式的解集为{x | x 4 或 x 1} ；
（4）由题意，不等式 16 8x x2 (x 4)2 0 ，则不等式的解集为{x | x 4} ；
（6）－2x2＋3x－2＜0；
【答案】（1）{x | x 1或 x 4}；（2）{x | 3 x 4} ；（3）{x | x 4 或 x 1} ； 3
（4）{x | x 4} .(5) (6)R(7)[－2，1)∪(2，5]
【解析】（1）由题意，不等式 3x2 x 4 (x 1)(x 4}； 3
a
a
综上原不等式的解集是：当 a＝0 时，{x|x＜1}；
x|－1＜x＜1
当 a＞0 时， a
；
3
当 a＝－1 时，{x|x≠1}；
当－1＜a＜0
时，
x|x＜1
或
x＞－1 a
.
x|x＜－1或 x＞1
当 a＜－1 时，
a
，
【思路总结】
解含参数的一元二次不等式时
（1）关于不等式类型的讨论：二次项的系数 a＞0，a＝0，a＜0； （2）关于不等式对应的方程的根的讨论：两根(Δ＞0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ＜0)； （3）关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2．
2 (2)
3 a 3 b
,
a
1,
b
6
，所以
a+b=7.故选：A
（2）由题意知： 4,1是方程 ax2 bx c 0 的两个解，代入方程得到
二次函数与一元二次方程、不等式(第1课时)教案 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式2.2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第1课时）教材分析本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第3节《二次函数与一元二次方程、不等式》第１课时。
从内容上看它是我们初中学过的一元一次不等式的延伸，同时它也与一元二次方程、二次函数之间联系紧密，涉及的知识面较多。
从思想层面看，本节课突出体现了数形结合思想。
同时一元二次不等式是解决函数定义域、值域等问题的重要工具，因此本节课在整个中学数学中具有较重要的地位和作用。
学情分析学生在初中已经学习了一元一次不等式、一元二次方程和二次函数的相关知识，对不等式的性质有了初步了解，但因我校学生基础普遍较差，逻辑推理和抽象思维能力仍需提高，还需依赖具体形象的内容理解抽象的逻辑关系。
教学目的1. 理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；2. 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3.培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
教学重点一元二次不等式的解法教学难点理解一元二次方程、一元二次不等式及二次函数三者之间的关系教学过程一、情境导入问题园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是２４m，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？设这个矩形的一条边长为xｍ，则另一条边长为（１２－x）ｍ．由题意，得:（１２－x）x＞２０（０＜x＜１２）整理得x２－１２x＋２０＜０（０＜x＜１２）。
①求得不等式①的解集，就得到了问题的答案。
思考：类比一元一次不等式，这个不等式有什么特点？能否给这类不等式起个名字，并写出它的一般形式？由此导出课题。
一元二次不等式的定义：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0 或ax2+bx+c<0 ，其中a，b，c均为常数，a≠0.思考：为什么要规定a≠0？二、探索新知探究1：回顾一次函数与一元一次方程、不等式的关系请学生画出一次函数y=2x-6的图象，并回答下列问题：1.函数y=2x-6与x轴的交点为；2.方程2x-6=0的根为；3.不等式2x-6>0的解为；4.不等式2x-6<0的解为；师生完成上述问题后小结：三个“一次”的关系。
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2.3二次函数与一元二次方程、不等式
日期：10月9日
课题：二次函数与一元二次方程、不等式
设计者：
基础题A
1．求下列不等式的解集．
(1)2x2＋7x＋4>0；(2)3x2＋5≤3x；
(3)9x2－6x＋1>0. （4）－2x2＋x＋1 2<0
2．下列不等式中一元二次不等式的个数为()
①(m＋1)x2>x②－x2＋5x＋6>0
③(x＋a)(x＋a＋1)<0 ④2x2－x>2
A．1B．2 C．3 D．4 3．在下列不等式中，解集是∅的是()
A．2x2－3x＋2>0 B．x2＋4x＋4≤0
C．4－4x－x2<0 D．－2＋3x－2x2>0 4．不等式x2＋x－2<0的解集为________．
5．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x >0}，则∁U A 等于________．
6．若不等式x 2－ax －b <0的解集为{x |2<x <3}，求不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集．
开拓创新B
1. 已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |1<x <2}，求关于x 的不等式bx 2＋ax ＋1>0的解集．
2. 若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0
的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －13≤x ≤2，求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集
我要挑战C
3. m 为何值时，关于x 的方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0的两实数根均在区间(0,1)内？。